CinématiqueCinématiqueÉtude du mouvement d’un corps en fonction du temps,

indépendamment de toute cause pouvant le provoquer ou le modifier.

Le mouvement s’effectue le long d’une trajectoire, la trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, …)

Mouvement : modification de la position d’un corps pendant un intervalle de temps. On attribue à la position du corps une ou plusieurs valeurs numériques (coordonnées) qui situent le corps en fonction du temps dans un référentiel.

Trajectoire : l’ensemble des positions successives du corps dans l’espace.

Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction changent au cours du temps.

Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve sur une droite, la vitesse est constante en direction et en norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et en norme.

On distingue :

Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la trajectoire se trouve sur une droite, la direction du déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie au cours du temps (augment ou diminue). L’accélération (ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est constant en direction, mais sa norme varie.

Mouvement rectiligne varié : l’accélération n’est pas constante dans le temps.

Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du vecteur vitesse V est constante, mais sa direction change.

Notion de référentielNotion de référentiel

L’ensemble repère – horloge constitue un référentiel.

Tout observateur est muni d’un temps t associé à une horloge et d’un espace affine E (ou vectoriel) orienté à 3 dimensions.

À tout instant t, il existe un point M(t) de l’espace E avec lequel coïncide le point matériel à l’instant t (point coïncidant).

Dans l’espace à 3 dimensions, il faut trois données (coordonnées) pour définir la position d’un point M.

La description du mouvement d’un point matériel exige de connaître sa position dans l’espace à tout instant. Pour cela, nous devons définir :

Un repère d’espace

Une horloge

tx

ttxx

tdéplacemendu duréetdéplacemenvouv

12

12

tx

tttxxxtv

11

111

)()(

x

dtdx

tx

tttxxxtv

0t0tlimitelimite

11

111 )(

)()(

Vitesse moyenne :

Vitesse instantanée :

C’est la limite de cette expression quand l’intervalle de temps t tend vers un infiniment petit dt :

Mouvement à une dimensionMouvement à une dimension

Vitesse :Vitesse :

AccélérationAccélération accélération moyenne :

tv

ttvv

variation la de duréevitesse de variationou

12

12

La vitesse d’un mobile est susceptible de varier, elle peut :• Augmenter (accélération positive > 0)• Diminuer (accélération négative < 0)• si la vitesse est constante, l’accélération est nulle

L’accélération rend compte de la rapidité avec laquelle la vitesse change.

Remarque : si la vitesse et l’accélération ont même signe, l’accélération est positive, si leurs signes différent, l’accélération est négative.

accélération instantanée :

x

dtxd

dtdtdxd

vdtdv

tv

tttvvvt

0t0tlimitelimite 2

2

11

111

)(

)()()(

Équation du mouvement : équation horaireÉquation du mouvement : équation horaireL’équation horaire d’un mouvement rectiligne, uniformément accéléré s’écrit :

oo xtvtx 221)(

Cette équation est obtenue par intégration de la définition de l’accélération : dtdv soitCdt

dv ste

Ktdtdtv(t) d’où

Puisque est constante, on peut la sortir de l’intégrale, K est une constante d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales (position et vitesse). En appelant vo la vitesse à l’instant t = 0, on a : ovttv )(

De même :

dtvdttdtvtdtvxdtvdxdtdxv oo )(

'21)( 2 Ktvttx o K’ est déterminée à partir de la position initiale xo à t = 0 :

oo xtvttx 221)(

Systèmes de coordonnéesSystèmes de coordonnées

 Une quantité physique peut être déterminée entièrement :  par sa grandeur SCALAIRE

c’est le cas d’un volume, du temps, de la masse, de l’énergie ....  par sa grandeur et sa direction VECTEUR

c’est le cas d'un déplacement, d’une vitesse, d’une accélération, d'une force ...

u

O

A

= vecteur unitaire | | = 1

uAuAAOA

u

u

Rappels sur le calcul vectoriel

on peut aussi faire l'addition de façon analytique :en prenant des coordonnées cartésiennes

jBiBB

jAiAA

yx

yx

jBAiBABA yyxx

)()(

yyy

xxx

BAC

BAC

d’où :

Addition

elle est commutative :   associative :

ABBA

CBACBA

)()(

on peut faire l'addition de deux vecteurs graphiquement :BetA

=+

B

A

A

BC

O

x

z

yji

k

m

kzjyixOM

M

z

y

x

jyixOmavkzOmOM

ec

ruOM

= vecteur unitaire (vecteur radial)ru

(cylindriques dans 3D)

O

M

Axe polaire

Angle polaireru

Dans l’espace à 3 dimensions, on ajoute la coordonnée z : kzuOM r

zM

Les 3 coordonnées de M sont alors :

Les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques sont :

zzyx

sincos

Dérivée d’un vecteur tournant par rapport à son Dérivée d’un vecteur tournant par rapport à son angle polaireangle polaire

u

ur

M

dtudrudt

drdtOMdvurOM r

rr

)cossin(sincos jidtd

dtd

dud

dtudjiu rr

r

Or : ujiji

)2sin()2cos(cossin

D’où : uudtd

dtud r

Finalement : ururudtdru

dtdr

dtOMdv rr

x

y

Oi

j

Avec r = OM toujours positif

= (OZ, OM)

= (OX, OM)

rurOM

Le vecteur OM est représenté dans la base ),,( uuur

Le vecteur OM s’écrit :

Les coordonnées de M sont :

r

M

Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques de M sont :

cossinsincossin

rzryrx

Le produit scalaire de deux vecteurs (on dit A scalaire B) est la quantité scalaire (un nombre) que l’on obtient en multipliant le produit des grandeurs |A| et |B| des deux vecteurs par le cosinus de l’angle qu’ils forment :

BetA

cos),cos( BABABABA

),( BA vecteurs les entre angle

et

Produit scalaire

BB

AA

où

Propriétés :

2AAA

)0A( nullegrandeur une a vecteursdesun l' siou ),09( lairesperpendicusont ursdeux vecte ces si

0BA

La relation constitue un critère d’orthogonalité des deux vecteurs. 0BA

)cos()cos( BAouBABA

Le produit scalaire de deux vecteurs peut être considéré comme le produit de la grandeur d’un des vecteurs par la projection de l’autre sur le premier :

Le produit scalaire est

Expression analytique (en cartésiennes) :

zzyyxxzyx

zyx BABABABABBBBAAAA

),,(),,(

BCACBAC

)(distributif par rapport a l’addition :

ABBA

)cos(cos commutatif : car

Produit vectoriel

Sa grandeur est :

BetA

BetA

produit vectoriel (produit extérieur) de deux vecteurs (on dit A vectoriel B, ou A cross B) faisant entre eux un angle orienté est un vecteur perpendiculaire au plan formé par

sin),sin( BABABABA

BA

A

B

AB

bouchon) du tire règle encoreou droitemain la de (règle direct un trièdreforment , BAetBA

Sa direction est telle que

Propriétés

0sin00 carAA

)0( parallèlessont vecteursles sinulest vecteursdesun l' si0

BA

La relation constitue un critère de parallélisme de deux vecteurs non nuls.0 BA

BA

BetA La grandeur du produit vectoriel est égale à la surface du parallélogramme

formé par les deux vecteurs .

Le produit vectoriel est anti-commutatif : ABBA

Expression analytique :

kBABAjBABA

iBABA

BA

xyyx

zxxz

yzzy

)()(

)(

distributif par rapport à l’addition : BCACBAC

)(

Vecteur rotation Vecteur rotation

Pour un mouvement dans un plan, on peut définir un axe perpendiculaire à ce plan. En désignant par k le vecteur unitaire porté par cet axe, on définit le vecteur rotation :

kkdtd

Remarque :

ur

u

En tenant compte des propriétés du produit vectoriel

et de , nous pouvons écrire : u

dtd

dtud r

De manière analogue, nous obtenons :

ruu

-ur

dtud

uudtduk

dtdu r

rr

Mouvement dans l’espace :Mouvement dans l’espace : expression des vecteurs vitesse et accélération expression des vecteurs vitesse et accélérationdans un référentiel galiléendans un référentiel galiléen

Cartésiennes : )( kzjyixOM

kzjyixkdtdxj

dtdyi

dtdx

dtOMdv

où zyx vdtdxetv

dtdyv

dtdx ,

Sont les composantes du vecteur vitesse dans la base ),,( kji

kzjyixkdt

zdjdt

ydidt

xddtvd

22

2

2

22

où zyx dtxdet

dtyd

dtxd 2

22

2

22

,

Sont les composantes du vecteur accélération dans la base ),,( kji

Polaires, cylindriques :Polaires, cylindriques : kzuOM r

dtkdz

dtudk

dtdzu

dtd

dtOMdv r

r

udt

kdtkd

rud mais fixe,est car 0 avec

kzuukdtdzu

dtdu

dtdv rr

leorthoradia vitesseet radiale vitesseoù u

dtd

dtd

)(),,( kzuudtd

dtvdz r

rr u

dtd

dud

dtud u

dtud

et avec

kzuu

leorthoradiaaccélradialeaccél

r

..

2 )2()(

kzdtud

uudtud

u rr

Si le mouvement est circulaire (r = constante) et uniforme (vitesse angulaire = constante)

00

steste CetC

Le vecteur accélération s’écrit :

centripèteaccél

ru

.

2),(

L’accélération centripète est dirigée vers le centre de la trajectoire

La direction de la vitesse est toujours celle de la tangente orientée à la courbe représentative de la trajectoire s :

dsOMd par définie est tangente lav

dtdsv

Vitesse le long d’une trajectoire :

Sur la trajectoire on définit l’abscisse curviligne s