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1 Sciences Industrielles - Lycée Blaise Pascal - ORSAY - PCSI - 2019/2020 CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE I - Rappels : Cinématique du point. 1 - Mouvement d’un point P par rapport à un repère R. Le mouvement d’un point P dans un repère R est défini par les coordonnées (x, y, z) du point dans ce repère, à chaque instant. Ces coordonnées sont des fonctions du temps. x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) On appelle vecteur position du point P dans le repère R(O, x , y , z ), le vecteur OP = x x + y y + z z La trajectoire du point mobile P dans le repère R est l’ensemble des points de R décrits par P au cours de son mouvement. 2 - Vitesse d’un point P par rapport à un repère R. Le vecteur vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère R est le vecteur tangent à la trajectoire (s’il existe) v (P/R) = lim dt0 OP (t+dt) - OP (t) dt = { d OP dt } R L’expression de la vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère cartésien R(O, x , y , z ), lorsque ce point est repéré par les coordonnées cartésiennes (x, y, z) du repère cartésien R(O, x , y , z ) est : v (P/R) = { d (x x + y y + z z ) dt } R = x x + y y + z z L’expression de la vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère cartésien R(O, x , y , z ), lorsque ce point est repéré par les coordonnées cylindriques (r, , z) du repère cylindrique R C (O, e r , e , z ) est : v (P/R) = { d (r e r + z z ) dt } R = r e r + r { d e r dt } R + z z = r e r + r z e r + z z = r e r + r e + z z L’expression de la vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère cartésien R(O, x , y , z ), lorsque ce point est repéré par les coordonnées sphériques (, , ) du repère sphérique R S (O, e , e , e ) est : v (P/R) = { d ( e ) dt } R = e + { de dt } R = e + ( z + e ) e = e + sin e + e 3 - Accélération d’un point P par rapport à un repère R. Le vecteur accélération d’un point P dans un repère R est le vecteur a (P/R) = { d v (P/R) dt } R = { d 2 OP dt 2 } R ( Dans certains ouvrages, l’accélération est notée (P/R) ) II - Champ des vitesses dans un solide indéformable - Torseur cinématique. 1 - Solide indéformable. Définition : On appelle solide indéformable, un milieu continu formé d’un ensemble de points dont les distances mutuelles sont invariables au cours du temps. Remarques : Ceci est une modélisation de la réalité qui est une très bonne approximation pour la plupart des problèmes de mécanique. Cependant cette modélisation ne peut pas permettre d’étudier les phénomènes liés à la déformabilité des solides, aussi minime soit elle, comme par exemple les phénomènes vibratoires.

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Sciences Industrielles - Lycée Blaise Pascal - ORSAY - PCSI - 2019/2020

CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE

I - Rappels : Cinématique du point.

1 - Mouvement d’un point P par rapport à un repère R.

Le mouvement d’un point P dans un repère R est défini par les coordonnées (x, y, z) du point dans ce repère, à chaque instant.

Ces coordonnées sont des fonctions du temps. x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)

On appelle vecteur position du point P dans le repère R(O, x

, y

, z

), le vecteur OP

= x x

+ y y

+ z z

La trajectoire du point mobile P dans le repère R est l’ensemble des points de R décrits par P au cours de son mouvement.

2 - Vitesse d’un point P par rapport à un repère R.

Le vecteur vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère R est le vecteur tangent à la trajectoire (s’il existe)

v

(P/R) = lim dt0

OP

(t+dt) - OP

(t)dt = { d OP

dt }R

L’expression de la vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère cartésien R(O, x

, y

, z

), lorsque ce

point est repéré par les coordonnées cartésiennes (x, y, z) du repère cartésien R(O, x

, y

, z

) est :

v

(P/R) = { d (x x

+ y y

+ z z

)

dt }R = x x

+ y y

+ z z

L’expression de la vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère cartésien R(O, x

, y

, z

), lorsque ce

point est repéré par les coordonnées cylindriques (r, , z) du repère cylindrique RC(O, er

, e

, z

) est :

v

(P/R) = { d (r er

+ z z

)

dt }R

= r er

+ r { d er

dt }R + z z

= r er

+ r z

er

+ z z

= r er

+ r e

+ z z

L’expression de la vitesse d’un point P dans son mouvement par rapport à un repère cartésien R(O, x

, y

, z

), lorsque ce

point est repéré par les coordonnées sphériques (, , ) du repère sphérique RS(O, e

, e

, e

) est :

v

(P/R) = { d ( e

)

dt }R

= e

+ { de

dt }R = e

+ ( z

+ e

) e

= e

+ sin e

+

e

3 - Accélération d’un point P par rapport à un repère R.

Le vecteur accélération d’un point P dans un repère R est le vecteur

a

(P/R) = { d v

(P/R)dt }R = { d

2 OP

dt2 }R ( Dans certains ouvrages, l’accélération est notée (P/R) )

II - Champ des vitesses dans un solide indéformable - Torseur cinématique.

1 - Solide indéformable.

Définition : On appelle solide indéformable, un milieu continu formé d’un ensemble de points dont les distances mutuelles sont

invariables au cours du temps.

Remarques :

Ceci est une modélisation de la réalité qui est une très bonne approximation pour la plupart des problèmes de mécanique.

Cependant cette modélisation ne peut pas permettre d’étudier les phénomènes liés à la déformabilité des solides, aussi minime

soit elle, comme par exemple les phénomènes vibratoires.

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2 - Champ des vitesses dans un solide indéformable.

Soit un solide indéformable S auquel on attache un repère R1 (O1, x1

, y1

, z1

).

Ce solide est en mouvement par rapport à un repère R(O, x

, y

, z

).

Soient A et B deux points de ce solide S.

Définition : La vitesse du point A, appartenant au solide S, dans

son mouvement par rapport au repère R est le vecteur :

v

(AS/R) = { d OA

dt }R

De même, la vitesse du point B, appartenant au solide S, dans son mouvement par rapport au repère R est le vecteur :

v

(BS/R) = { d OB

dt }R

La dérivation, relativement à R, de la formule de Chasles OB

= OA

+ AB

conduit à { d OB

dt }R = { d OA

dt }R + { d AB

dt }R

Par définition de la vitesse, cette relation peut se mettre sous la forme v

(BS/R) = v

(AS/R) + { d AB

dt }R

La formule de la dérivation vectorielle (formule de la base mobile) permet d’écrire { d AB

dt }R = { d AB

dt }R1 + (R1/R) AB

Le fait que A et B soit deux points du solide indéformable S et que le repère R1

soit attaché au solide S permet d’écrire que { d AB

dt }R1 = 0

et (R1/R) = (S/R)

On obtient finalement la relation reliant les vitesses dans un solide indéformable, appelée :

Formule de changement de point v

(BS/R) = v

(AS/R) + (S/R) AB

(1)

Cette relation montre que :

- connaissant deux points ( ici les points A et B ) et donc le vecteur les reliant ( ici AB

),

- connaissant la vitesse du solide en l’un de ces points ( ici la vitesse en A, v

(AS/R) )

- et connaissant la vitesse de rotation de ce solide ( ici (S/R) ) ,

on peut trouver la vitesse en l’autre point ( ici la vitesse en B, v

(BS/R) ).

Cette relation montre aussi, qu’a priori, v

(BS/R) et v

(AS/R) sont différents. C’est pourquoi on parle du champ des

vitesses dans un solide, un champ en mathématiques étant une fonction (vectorielle ici) dépendant du point.

Vous connaissez sûrement déjà les champs scalaires de température ou de pression en physique.

En cinématique du solide indéformable, le champ ( la fonction du point ) a une forme particulière puisqu’il est complètement

défini par la seule donnée de sa valeur en un point, ici v

(AS/R) , et de la vitesse de rotation (S/R), grâce à la relation (1).

On l’appelle champ antisymétrique ( justification du choix du terme, hors programme ), ou champ de moment de torseur.

Le torseur est l’objet mathématique représentant ce champ, on le note { V S/R }

V comme vitesse, en grande lettre ronde et sans flèche car ce n’est ni un scalaire, ni un vecteur.

S/R car il s’agit du solide S dans son mouvement par rapport au repère R

Nous avons utilisé sa représentation en A par les éléments de réduction (S /R) et v

(AS/R)

Nous notons { V S/R } = { (S/R) ; v

(AS/R) }A

z

x

y

R

O

y1

x1

z1 S

R1

A

BO1

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{ V S/R } est le torseur cinématique du solide S dans son mouvement par rapport à R

(S/R) est la résultante de ce torseur cinématique ( justification du choix du terme, 2ème semestre )

v

(AS/R) est le moment en A du torseur cinématique ( justification du choix du terme, 2ème semestre )

Remarque : Le vecteur vitesse de rotation est un vecteur qui ne dépend pas du point, tandis que la vitesse d’un point du solide dépend

du point, d’où les notations (S/R) ( pas d’indication de point ) et v

(AS/R) ( indication du point A )

Par contre ces deux vecteurs dépendent en général du temps ( sauf mouvements permanents ou uniformes ).

3 - Propriétés du champ des vitesses dans un solide indéformable.

a - En multipliant scalairement par AB

la relation (1), on obtient :

v

(BS/R) . AB

= ( v

(AS/R) + (S/R) AB

) . AB

= v

(AS/R) . AB

+ ( (S/R) AB

) . AB

= v

(AS/R) . AB

0

La propriété v

(BS/R) . AB

= v

(AS/R) . AB

(1bis) est appelée équiprojectivité.

En effet, en divisant par AB cette équation nous formons le vecteur unitaire

AB

AB

v

(AS/R) . AB

AB

est la projection de v

(AS/R) sur AB

v

(BS/R) . AB

AB

est la projection de v

(BS/R) sur AB

Il y a égalité de ces projections.

Le champ des vitesses dans un solide indéformable est dit équiprojectif.

b - En multipliant scalairement par (S /R) la relation (1), on obtient :

v

(BS/R) . (S/R) = ( v

(AS/R) + (S/R) AB

) . (S/R)

= v

(AS/R) . (S/R) + ( (S/R) AB

) . (S/R)

= v

(AS/R) . (S/R)

Le scalaire v

(AS/R) . (S/R) est appelé invariant scalaire du torseur

III - Mouvements particuliers de solides indéformables.

1 - Solide immobile.

Un solide S est immobile par rapport à un repère R, si et seulement si, tous ses points ont une vitesse nulle (par rapport à R).

Soient A et B deux points quelconques, v

(BS/R) = v

(AS/R) = 0

Or la relation (1) donne v

(BS/R) = v

(AS/R) + (S/R) AB

soit 0

= 0

+ (S/R) AB

pour tout AB

Ceci impose donc que le vecteur vitesse de rotation (S /R) soit nul, ce qui paraît évident !

Le torseur cinématique d’un solide S fixe par rapport à un repère R est donc de la forme : { V S/R } = { 0

; 0

}A

On dit que le torseur cinématique est le torseur nul…

S

B

A

v

(AS/R) v

(BS/R)

v

(BS/R) . AB

AB

v

(AS/R) . AB

AB

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2 - Mouvement de translation.

Un solide indéformable S est animé d’un mouvement de translation, par rapport à un repère R, à un instant donné, si et

seulement si, tous ses points ont même vitesse à cet instant. On parle d’un champ de vitesse uniforme (dans l’espace).

Soient A et B deux points quelconques, v

(BS/R) = v

(AS/R)

Or la relation (1) donne v

(BS/R) = v

(AS/R) + (S/R) AB

soit v

(AS/R) = v

(AS/R) + (S/R) AB

soit, après simplification, à nouveau 0

= 0

+ (S/R) AB

pour tout AB

Ceci impose donc que le vecteur vitesse de rotation (S /R) soit nul, ce qui paraît évident !

Le torseur cinématique d’un mouvement de translation est donc de la forme : { V S/R } = { 0

; v

(AS/R) }A

On dit que le torseur cinématique est un couple ( justification du choix du terme, 2ème semestre )

La direction du mouvement de translation, donnée par v

(AS/R) , est appelée la direction du couple.

Remarque :

- Si la trajectoire d’un point est rectiligne, alors tous les points ont une trajectoire rectiligne, on parle de translation rectiligne.

- Si, de plus, la vitesse des points ne varie pas dans le temps, on parle de translation rectiligne uniforme.

- Si la trajectoire d’un point est circulaire, alors tous les points ont une trajectoire circulaire, on parle de translation circulaire.

3 - Mouvement de rotation autour d’un axe .

Un solide indéformable S est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe par rapport à un repère R, à un instant

donné, si et seulement si, tous les points de l’axe ont une vitesse nulle à cet instant.

Soient P et P’ deux points de l’axe de rotation, v

(P’S/R) = v

(PS/R) = 0

Or la relation (1) donne v

(P’S/R) = v

(PS/R) + (S/R) PP'

soit 0

= 0

+ (S/R) PP'

Ceci étant vrai pour tout P et P’ de l’axe de rotation , on en déduit une autre évidence, (S/R) est colinéaire à PP’, c’est à

dire que (S/R) est vecteur directeur de l’axe de rotation .

Le torseur cinématique d’un mouvement de rotation autour d’un axe est donc de la forme :

{ V S/R } = { (S/R) ; v

(AS/R) }A avec l’invariant scalaire nul

car v

(AS/R) . (S/R) = v

(PS/R) . (S/R) = 0

. (S/R) = 0

On dit que le torseur cinématique est un glisseur ( justification du choix du terme, hors programme)

L’axe du mouvement de rotation est appelé axe central du glisseur.

Si A appartient à l’axe de rotation : v

(AS/R) = 0

Si A n’appartient pas à l’axe de rotation : v

(AS/R) = (S/R) PA

pour tout P appartenant à l’axe

Remarque : Si l’axe de rotation est fixe par rapport à R et que le vecteur vitesse de rotation (S/R) ne varie pas en norme dans le

temps, ce qui revient à dire que le vecteur vitesse de rotation (S/R), ne varie ni en norme ni en direction au cours du temps,

on parle de mouvement de rotation uniforme.

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IV - Composition de mouvements.

1 - But.

Connaissant le mouvement du solide S par rapport à un repère R et

connaissant celui de ce repère R par rapport à un repère R0, déterminer le

mouvement du solide S par rapport au repère R0.

R0 est un repère d’origine O0

R est un repère d’origine O

RS est un repère attaché au solide S

2 - Composition des vitesses de rotation.

Soit u

un vecteur quelconque, d’après la formule de la base mobile, on a les 3 relations suivantes :

{ d u

dt }R0 = {

d u

dt }R + (R/R0) u

{ d u

dt }R0 = {

d u

dt }RS + (S/R0) u

{

d u

dt }R = { d u

dt }RS + (S/R) u

En retranchant la seconde relation à la somme des 2 autres, on obtient :

{ d u

dt }R = { d u

dt }R + (R/R0) u

- (S/R0) u

+ (S/R) u

soit 0

= [ (R/R0) -

(S/R0) + (S/R) ] u

Comme le vecteur u

est quelconque, si ce n’est qu’il est

attaché au solide S, alors on peut en déduire la relation de

composition des vitesses de rotation :

3 - Composition des vitesses des points.

Soit M un point du solide S, par définition de la vitesse, on a v

(MS/R0) = { d O0M

dt }R0

Compte tenu que O0M

= O0O

+ OM

, on en déduit que v

(MS/R0) = { d O0O

dt }R0 + {

d OM

dt }R0

Avec la formule de la base mobile, on remplace à droite en v

(MS/R0) = { d O0O

dt }R0 + {

d OM

dt }R + (R/R0) OM

Par définition de la vitesse, on peut alors écrire v

(MS/R0) = v

(OR/R0) + v

(MS/R) + (R/R0) OM

D’après la formule de changement de point les termes 1

et 3 de droite donnent v

(MR/R0), alors on peut en déduire la

relation de composition des vitesses de points :

v

(MS/R0) est la vitesse ‘absolue’ du point M

v

(MS/R) est la vitesse ‘relative’ du point M

v

(MR/R0) est la vitesse ‘d’entraînement’ du point M, c’est à dire la vitesse du point M considéré

attaché à R et mesurée par rapport à R0

On a donc la formule classique v

abs = v

rel + v

entr

R0

RS

R

S

O0

O

(S/R0) = (S/R) + (R/R0) (2)

v

(MS/R0) = v

(MS/R) + v

(MR/R0) (3)

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4 - Addition des torseurs cinématiques.

Le torseur cinématique du mouvement de S par rapport à R0 est { V S/R0 }

ses éléments de réduction en M sont { (S/R0) ; v

(MS/R0) }M

Le torseur cinématique du mouvement de S par rapport à R est { V S/R }

ses éléments de réduction en M sont { (S/R) ; v

(MS/R) }M

Le torseur cinématique du mouvement de R par rapport à R0 est { V R/R0 }

ses éléments de réduction en M sont { (R/R0) ; v

(MR/R0) }M

Les deux relations de composition des vitesses (S/R0) = (S/R) + (R/R0) (2)

et v

(MS/R0) = v

(MS/R) + v

(MR/R0) (3)

permettent de définir ici l’addition de deux torseurs cinématiques { V S/R0 } = { V S/R } + { V R/R0

}

pour représenter la composition de deux mouvements.

- La résultante de la somme de deux torseurs est la somme des résultantes de ces torseurs.

- Le moment en un point M de la somme de deux torseurs est la somme des moments en M de ces torseurs.

5 - Composition des accélérations.

On montre (en TD par exemple) que les accélérations sont également reliées entre elles mais par une formule plus complexe,

utilisée surtout en physique :

a

(MS/R0) = a

(MS/R) + a

(MR/R0) + 2 (R/R0) v

(MS/R)

c’est à dire a

abs = a

rel + a

entr + a

Coriolis

6 - Mouvement hélicoïdal - Décomposition d’un mouvement en la somme d’un mouvement de

rotation et d’un mouvement de translation.

La composition d’un mouvement de translation rectiligne uniforme de direction et d’un mouvement de rotation uniforme

d’axe est un mouvement hélicoïdal uniforme d’axe .

Le torseur cinématique représentatif de ce mouvement hélicoïdal uniforme est la somme

- du couple, torseur cinématique représentatif du mouvement de translation uniforme et

- du glisseur, torseur cinématique représentatif du mouvement de rotation uniforme

De manière inverse, on montre que pour tout mouvement, à tout instant, il existe un axe de position variable dans le temps,

tel que le torseur cinématique de ce mouvement soit la somme d’un couple de direction et d’un glisseur d’axe central .

Comme la somme d’un couple de direction et d’un glisseur d’axe définit un mouvement hélicoïdal d’axe , mais que la

position de l’axe varie au cours du temps, on parle de mouvement hélicoïdal tangent.

Pour résumer : Tout mouvement est une succession de mouvements hélicoïdaux tangents différents.

( Analogie avec : Toute courbe est une succession de droites tangentes différentes)

Preuve : On cherche un couple de direction { C } = { 0

; v1

(A) }A = { 0

; v1

(P) }P A point quelconque

un glisseur d’axe { G } = { 2 ; v2

(A) }A = { 2 ; 0

}P P point de

dont la somme est un torseur quelconque connu { V } = { ; v

(A) }A = { ; v

(P) }P

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- La composition des vitesses de rotation conduit à = 0

+ 2 avec 2 vecteur directeur de

donc on définit 2 par 2 = et on en déduit que est vecteur directeur de

- { G } est un glisseur donc 2 . v2

(A) = 0 donc v2

(A) est orthogonal à 2 donc à

- { C } est un couple de direction donc v1

(A) est vecteur directeur de donc colinéaire à

- La composition des vitesses de points conduit à v

(A) = v1

(A) + v2

(A)

Donc v1

(A) est la projection de v

(A) sur , c’est à dire sur soit

v2

(A) est la projection de v

(A) sur le plan de normale ,

c’est à dire sur le plan orthogonal à soit

L’axe du mouvement hélicoïdal tangent est appelé Axe Instantané de Rotation du mouvement et axe central du torseur.

C’est l’ensemble des points P pour lesquels le vecteur vitesse v

(PS/R) est colinéaire au vecteur vitesse de rotation (S/R).

En effet v

(P) = v1

(P) + 0

= v1

(P) = v1

(A) = ( v

(A) .

. )

Remarques : On a prouvé ici que si l’axe existait alors il avait les propriétés définies ci-dessus.

On montrera en TD qu’il existe vraiment…

On montrera aussi que le torseur cinématique étant donné par ses éléments de réduction en A

{ V S/R } = { (S/R) ; v

(AS/R) }A un point P de l’axe central est donné par la formule

AP

= (S/R) v

(AS/R)

(S/R) . (S/R) + (P) (S/R) (4)

Ceci montrant à nouveau que l’axe central est une droite de vecteur directeur (S/R)

On montrera enfin que l’axe central, l’axe instantané de rotation, est le lieu des points P où v

(PS/R) est minimale.

V - Liaisons entre solides.

1 - Degrés de liberté d’un solide par rapport à un autre.

Le mouvement d’un solide S par rapport à un autre ou par rapport à un repère R est représenté par un torseur, on l’a appelé

torseur cinématique et noté : { VS/R}

Ce torseur est défini par ses éléments de réduction en un point M, ce sont les 2 vecteurs (S/R) et v

(MS/R).

Chacun de ces 2 vecteurs de l’espace est représenté dans une base par 3 scalaires.

Il faut donc 6 scalaires pour définir le mouvement d’un solide S dans l’espace ( tandis qu’il n’en fallait que 3 pour définir le

mouvement d’un point P dans l’espace ).

Chacun des 3 scalaires définissant (S/R) correspond à un mouvement de rotation différent.

Chacun des 3 scalaires définissant v

(MS/R) correspond à un mouvement de translation différent.

Définition : On dit qu’un solide S dans l’espace possède 3 degrés de liberté (D.D.L.) en rotation et 3 degrés

de liberté en translation, soit 6 degrés de liberté en tout.

v1

(A) = ( v

(A) .

. )

v2

(A) = v

(A) - ( v

(A) .

. )

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2 - Paramétrage géométrique de la position d’un solide par rapport à un autre ou par rapport

à un repère. Angles d’Euler.

Puisque un solide possède 6 D.D.L. pour se mouvoir dans l’espace, il faut 6 scalaires pour paramétrer sa position.

Autrement dit, il faut 6 paramètres pour positionner un repère R(O, x

, y

, z

) par rapport à un repère R0 (O0, x0

, y0

, z0

).

- Il faut 3 scalaires (correspondant à 3 translations) pour positionner l’origine O par rapport à l’origine O0,

c’est à dire passer de R0 (O0, x0

, y0

, z0

) à R0’ (O, x0

, y0

, z0

).

- Pour passer de la base (x0

, y0

, z0

) à la base ( x

, y

, z

), il faut également 3 scalaires (correspondant cette fois ci à 3

rotations). Plusieurs choix sont possibles, angles d’Euler, angles de lacet/roulis/tangage, … :

Nous pouvons chercher, par exemple, comment passer directement de z0

à z

.

Cela se fait par une rotation d’angle autour du vecteur normal au plan (z0

, z

), appelons n

ce vecteur.

Puisque n

est normal à z0

, il appartient au plan (x0

,y0

), appelons l’angle entre x0

et n

, soit = (x0

, n

).

Pour compléter les bases intermédiaires,

- appelons v

le vecteur du plan (x0

,y0

) directement

perpendiculaire à n

, c’est à dire tel que = (y0

, v

)

- appelons w

le vecteur z

n

.

Les vecteurs n

et w

appartiennent au plan ( x

, y

),

- appelons l’angle tel que = ( n

, x

) = ( w

, y

)

Plutot que la représentation en perspective 3D ci-dessus, on préférera

les figures en 2D ci-dessus dans lesquelles les angles sont vus en vraie grandeur.

On a donc :

Les angles , et sont appelés Angles d'Euler et (R/R0) = z0

+ n

+ z

Les angles de lacet/roulis/tangage reposent sur le même principe mais sont plus particulièrement adaptés au

déplacement d’un véhicule. Le lacet correspond à la direction, ou le cap suivi par le véhicule. Le roulis est la rotation

autour de l’axe longitudinal du véhicule. Le tangage est la troisième rotation.

3 - Liaisons entre solides. Liaisons normalisées.

Définition : Deux solides S1 et S2 sont reliés par une liaison si un ou plusieurs degrés de liberté de S1 par rapport à S2 sont supprimés.

Le point d’écriture du torseur cinématique et la base de projection des éléments de réduction en ce point étant choisis

convenablement, il y a autant de 0 (‘zéros’) parmi les 6 scalaires représentant le torseur cinématique que de D.D.L. supprimés.

Toutes les liaisons mathématiquement envisageables sont listées dans l’Annexe I.

Parmi le grand nombre de liaisons imaginables, il en existe un certain nombre qui sont normalisées, car elles sont obtenues

par des formes simples des solides S1 et S2.

(x0

,y0

, z0

) ( n

, v

, z0

) ( n, w, z) z0

n

( x

, y

, z

) z

x0

y0

z0

O0

x0

y0

z0

O

n

z

v

w

y

x

x0

y0

z0

n

v

v

z0

n

w

z

n

w

z

x

y

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9

Ce sont les liaisons élémentaires suivantes :

Sphère sur plan ===> Appui ponctuel

Sphère dans cylindre ===> Linéaire annulaire

Sphère dans sphère ===> Rotule

Cylindre sur plan ===> Linéaire rectiligne

Cylindre dans cylindre ===> Pivot glissant

Plan sur plan ===> Appui plan

Auxquelles on rajoute des liaisons obtenues par associations

simples de liaisons élémentaires et qui ont leur propre schématisation.

Toutes les liaisons normalisées sont reprises dans l’Annexe II. Pour chaque liaison on précise entre autres, la représentation

schématique en perspective, ou en projection dans le plan, les caractéristiques géométriques et l’allure du torseur cinématique.

Les liaisons normalisées sont parfaites, c’est à dire qu’elles ont des géométries parfaites, sont sans jeu et ne développent pas

de frottement. Elles constituent un modèle.

Nous modéliserons les liaisons réelles des mécanismes étudiés par ces

liaisons en faisant des hypothèses.

Exemple : Dans la réalité, pour mettre un cylindre dans un cylindre il faut un

minimum de jeu pour éviter un blocage de la liaison. Mais si le cylindre

contenant est trop court, des rotations parasites apparaissent. La liaison

pivot glissant devient alors une liaison linéaire annulaire.

VI - Géométrie et cinématique du contact ponctuel entre deux solides.

1 - Vitesse de glissement.

Soient S1 et S2 deux solides en mouvement l’un par rapport à l’autre et par

rapport à un repère R, de telle sorte que leurs surfaces soient en contact en un point I.

Au point I, on distinguera 3 points différents.

I S1 , la particule de matière de S1

qui un instant plus tard est en I1

I S2 , la particule de matière de S2

qui un instant plus tard est en I2

I le point géométrique, sans existence matérielle,

qui un instant plus tard est en I’

Le point I S1 (respectivement I S2) est appelé point

coïncidant avec le point géométrique I à l’instant t.

Définition : On appelle vitesse de glissement en I de S1 par rapport à S2 le vecteur v

(IS1/S2).

v

(IS1/S2) = - v

(IS2/S1) = v

(IS1/R) - v

(IS2/R)

R

configuration à

l’instant t

IS2

S1

S2

S1 configuration à

l’instant t + tI1

I’I2

===> Encastrement ( liaison complète )

===> Pivot ( pivot non glissant )

===> Glissière ( 1 D.D.L. en translation )

===> Hélicoïdale ( vis/écrou )

===> Rotule à doigt

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Remarques : v

(IS1/S2) ne dépend pas du repère R, mais seulement du mouvement relatif des solides S1 et S2.

v

(IS1/S2) est un vecteur du plan tangent en I aux surfaces de contact.

sinon il y aurait rupture du contact ponctuel entre le solide S1 et le solide S2

ou il y aurait pénétration du solide S1 dans le solide S2 (impossible avec solides indéformables)

On dit que : Il y a roulement sans glissement si v

(IS1/S2) = 0

2 - Roulement - Pivotement.

Soient S1 et S2 deux solides en mouvement l’un par rapport à l’autre et par rapport à un repère R, de telle sorte que leurs

surfaces soient en contact en un point I.

Le torseur cinématique du mouvement de S1 par rapport à S2 est { VS1/S2 } = { (S1/S2), v

(IS1/S2) }I

Soit n

21 le vecteur unitaire normal au plan tangent en I aux surfaces de

contact entre S1 et S2 , et orienté de S2 vers S1.

- La composante ( (S1/S2). n

21 ) n

21 est perpendiculaire à ,

c’est la composante de pivotement de (S1/S2).

- La composante (S1/S2) - (

(S1/S2). n

21 ) n

21 appartient à ,

c’est la composante de roulement de (S1/S2).

VII - Mouvement plan sur plan.

1 - Définition.

Il y a mouvement plan sur plan d’un solide S1 par rapport à un solide S2 si

et seulement si un plan 1 de S1 reste en permanence confondu avec un plan 2 de S2.

2 - Centre instantané de rotation.

Soient A et B deux points de 1 appartenant à S1 dans le mouvement plan sur plan de S1 par rapport à S2

La formule (1) de changement de point s’écrit ici v

(BS1/S2) = v

(AS1/S2) + (S1/S2) AB

Les points A et B étant des points du plan 1 et restant dans ce plan, AB

est un vecteur du plan 1 tout comme les vecteurs

vitesse v

(BS1/S2) et v

(AS1/S2). Ceci impose que le vecteur vitesse de rotation (S1/S2) soit orthogonal au plan 1.

Ce vecteur vitesse de rotation (S1/S2) est vecteur directeur de l’axe instantané de rotation , l’axe central du torseur

cinématique, donc l’axe coupe orthogonalement le plan 1 du mouvement plan sur plan.

On appelle centre instantané de rotation, C.I.R., l’intersection de l’axe instantané de rotation avec le plan du mouvement

plan sur plan. On le note très souvent I. Par exemple ici I12 comme C.I.R. du mouvement de S1 par rapport à S2.

I

S2

S1

n21

(S1/S2)

pivotement

roulement

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Propriétés du C.I.R. : I12 axe central du torseur, donc v

(I12S1/S2) (S1/S2) = 0

c’est à dire v

(I12S1/S2) colinéaire à (S1/S2)

I12 1 plan du mouvement plan sur plan, donc v

(I12S1/S2) .

(S1/S2) = 0

c’est à dire v

(I12S1/S2) orthogonal à (S1/S2)

Donc v

(I12S1/S2) = 0

Application de la formule générale (4) au cas particulier du mouvement plan sur plan

AI12

= (S1/S2) v

(AS1/S2)

(S1/S2) .

(S1/S2) = 0 puisque I12 1

Application de la formule générale (1) au cas particulier du mouvement plan sur plan

v

(AS1/S2) = v

(I12S1/S2) + (S1/S2) I12A

= 0

+ (S1/S2) I12A

v

(AS1/S2) = (S1/S2) I12A

ou v

(BS1/S2) = (S1/S2) I12B

Construction graphique du C.I.R. I12

v

(AS1/S2) = (S1/S2) I12A

connaissant v

(AS1/S2), I12 est sur la droite DA

issue de A et perpendiculaire à v

(AS1/S2)

v

(BS1/S2) = (S1/S2) I12B

connaissant v

(BS1/S2), I12 est sur la droite DB

issue de B et perpendiculaire à v

(BS1/S2)

I12 est sur l’intersection des droites DA et DB

3 - Degrés de libertés en mouvement plan sur plan. Liaisons planes.

Dans le cas du mouvement plan sur plan :

- La rotation est perpendiculaire au plan, donc il n’y a qu’un seul D.D.L. en rotation,

- La translation se fait dans les 2 directions du plan, donc il y a 2 D.D.L. en translation.

Il y a donc 3 degrés de liberté en tout.

Les liaisons dans une modélisation planes correspondent donc à la suppression de 1 à 3 de ces 3 seuls degrés de liberté.

On peut donc envisager la suppression :

- d’un des degrés de liberté en translation, on obtient une liaison ponctuelle plane

- d’un des degrés de liberté en translation et du degrés de liberté en rotation, on obtient une liaison glissière

- des deux degrés de liberté en translation, on obtient une liaison pivot

- de tous les degrés de liberté, on obtient une liaison encastrement.

4 - Base et Roulante.

Définitions : On appelle base du mouvement plan sur plan du solide S par rapport au repère R la trajectoire du Centre Instantané

de Rotation dans le repère R.

On appelle roulante du mouvement plan sur plan du solide S par rapport au repère R la trajectoire du Centre

Instantané de Rotation dans un repère lié au solide S.

S1

DB

B

DA

A

I12

v

(AS1/S2) v

(BS1/S2)

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Propriété : La base et la roulante d’un mouvement donné sont deux courbes tangentes roulant sans glisser l’une sur l’autre.

Preuve : On a vu que v

(IS/R) = 0

On sait que v

(IS/R) = v

(I/R) - v

(I/S)

Exemple : Pour toute position du couple (A,B), IAB est un triangle rectangle en I, d’hypoténuse AB

La roulante est le demi cercle de diamètre AB.

Pour toute position du couple (A,B), OAIB est un rectangle, de diagonale AB = OI = cste

La base est le quart de cercle de rayon AB et de centre O.

Remarque : La longueur de l’arc base est la même que celle de l’arc roulante, ce qui est

compatible avec le fait que base et roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre.

5 - Théorème des trois plans glissants.

Enoncé : Soient S1 et S2 deux solides en mouvement plan sur plan, l’un par rapport à l’autre et par rapport à un repère R0.

Soit le plan de ces trois mouvements plan sur plan et n

un vecteur unitaire normal à ce plan .

Soient 10 le vecteur vitesse de rotation du solide S1 par rapport au repère R0

20 le vecteur vitesse de rotation du solide S2 par rapport au repère R0

12 le vecteur vitesse de rotation du solide S1 par rapport au solide S2

On sait que ces trois vecteurs sont orthogonaux au plan , on peut donc poser : 10 = 10 n

et 20 = 20 n

Soient I10 le centre instantané de rotation du solide S1 par rapport au repère R0

I20 le centre instantané de rotation du solide S2 par rapport au repère R0

I12 le centre instantané de rotation du solide S1 par rapport au solide S2

Alors on a la relation : 10 I10I12

= 20 I20I12

Les trois C.I.R. sont alignés

Application : Soient deux roues coplanaires de rayon R1 et R2 tournant autour de leurs axes respectifs

(parallèles) et roulant sans glisser l’une sur l’autre selon le schéma ci-contre :

La relation 10 I10I12

= 20 I20I12

en projection sur x

conduit à 10 R1 = 20 ( - R2 )

soit

20 = -

R2

R1

Démonstration du théorème : Pour tout point A v

(AS1/R0) = 10 I10A

(a)

v

(AS2/R0) = 20 I20A

(b)

v

(AS1/S2) = 12 I12A

(c)

Par composition des vitesses la combinaison d’équations (a) - (b) - (c) donne 0

= 10 I10A

- 20 I20A

- 12 I12A

Par composition des vitesses de rotation, on remplace 12 par 10 -

20 soit

0

= 10 I10A

- 20 I20A

- ( 10 -

20 ) I12A

= 10 ( I10A

- I12A

) - 20 ( I20A

- I12A

)

= 10 I10I12

- 20 I20I12

= n

( 10 I10I12

- 20 I20I12

)

La quantité entre parenthèses est un vecteur construit sur 3 points du plan donc c’est un vecteur du plan .

Ce vecteur est donc orthogonal à n

. Son produit vectoriel avec n

normé ne peut être nul que s’il est nul. CQFD.

vitesse de I sur la base

vitesse de I sur la roulante

I

BO

A

S1S2I10 I20

I12

x

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VIII - Chaînes de solides.

1 - Définitions.

On appelle chaîne de solides un ensemble de solides en liaisons les uns avec les autres.

On modélise un mécanisme réel constitué de plusieurs solides en liaisons les uns avec les autres par un graphe des liaisons.

- Chaque solide ( éventuellement ensemble de solides en liaisons encastrement ) est appelé nœud.

Il est représenté par le numéro du solide ( éventuellement principal ) entouré d’un cercle.

- Chaque liaison entre 2 solides ( ou éventuellement 2 ensembles de solides ) est appelé arc.

Il est représenté par une ligne polygonale joignant les deux nœuds. On y indique les caractéristiques

cinématiques de la liaison.

Exemple : Pour cet exemple :

La et Lb sont des liaisons en parallèle.

Lc et Ld sont des liaisons en série.

Si Le existe, la chaîne de solides est dite fermée.

Si Le n’existe pas, la chaîne de solides est dite ouverte.

Une chaîne simple est une chaîne fermée formée d’un

ensemble de liaisons en série.

Une chaîne complexe est une chaîne dont on peut

extraire plus d’une chaîne simple.

2 - Liaisons équivalentes - Graphe minimal des liaisons.

La liaison cinématiquement équivalente à l’ensemble des liaisons situées entre les solides Si et Sk est la liaison théorique Léq

qui autorise le même mouvement relatif entre Sk et Si.

- Si La et Lb sont deux liaisons en parallèle, la liaison cinématiquement équivalente Léq doit être compatible avec

chacune des liaisons La et Lb donc il faut que : { VLéq } = { VLa } = { VLb }

- Si Lc et Ld sont deux liaisons en série, la liaison cinématiquement équivalente Léq doit permettre tous les D.D.L.

permis par les liaisons Lc et Ld donc il faut que : { VLéq } = { VLc } + { VLd }

Graphe minimal des liaisons :

La réduction d’un graphe, obtenue par substitution de liaisons en série ou en parallèle par des liaisons équivalentes,

permet de regrouper des mécanismes technologiquement différents en classe de mécanismes cinématiquement équivalents.

Lorsque aucune réduction n’est plus possible, on est en présence du graphe minimal.

Celui ci ne doit cependant comporter que des liaisons normalisées du tableau AFNOR.

3 - Schéma cinématique.

Définition : Le schéma cinématique est la représentation graphique 2D ou 3D du modèle cinématique décrit par le graphe

minimal des liaisons.

Il constitue la synthèse des informations recueillies dans le graphe minimal des liaisons et donne une représentation

du principe de fonctionnement.

Il utilise la représentation normalisée AFNOR pour chaque liaison.

Il respecte les caractéristiques des liaisons (centres, axes, directions...).

La

Lb

Ld

Le

Lc

1 432

1

2 4

3

Chaîne simple

2

1

5

3 4

Chaîne complexe

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4 - Equations de fermeture de chaîne.

Soit un mécanisme constitué de une ou plusieurs chaînes simples. Pour chaque chaîne simple, on peut écrire :

- Une équation de fermeture de chaîne géométrique indépendante. C’est une relation de Chasles vectorielle du type

A1A2

+ A2A3

+ .... + AnA1

= 0

où les Ai sont des points particuliers de la chaîne simple.

Par projection, on peut obtenir jusqu'à 3 équations scalaires indépendantes liant les paramètres

géométriques de position des solides de la chaîne.

- Une équation de fermeture de chaîne cinématique indépendante. C’est un relation de Chasles torsorielle du type

{ VS1/S2 } + { VS2/S3 } + ... + { VSp/S1 } = { 0 } où les Si sont tous les solides de la chaîne simple.

Par projection et choix d’un point d’écriture des torseurs, on peut obtenir jusqu'à 6 équations scalaires

indépendantes liant les paramètres cinématiques de la chaîne.

Remarque : Par dérivation des équations de fermeture de chaîne géométrique, on peut retrouver certaines des équations de

fermeture de chaîne cinématique.

Annexe I : Toutes les liaisons mathématiquement possibles

dont toutes les liaisons normalisées

1 degré de liberté supprimé : x = 0

Vx = 0 sphère sur plan

2 degrés de liberté supprimés : x = y = 0

x = 0 et Vx = 0

x = 0 et Vy = 0 cylindre sur plan

Vx = Vy = 0 sphère dans cylindre creux

3 degrés de liberté supprimés : x = y = z = 0

x = y = 0 et Vx = 0

x = y = 0 et Vz = 0 plan sur plan

x = 0 , Vx = Vy = 0

x = 0 , Vy = Vz = 0

Vx = Vy = Vz = 0 sphère dans sphère creuse

4 degrés de liberté supprimés : x = y = z = 0 et Vx = 0

x = y = 0 et Vx = Vy = 0 cylindre dans cylindre

x = y = 0 et Vx = Vz = 0

x = 0 et Vx = Vy = Vz = 0 rotule à doigt

5 degrés de liberté supprimés : x = y = z = 0 et Vx = Vy = 0 glissière

x = y = 0 et Vx = Vy = Vz = 0 pivot

6 degrés de liberté supprimés : x = y = z = 0 et Vx = Vy = Vz = 0 encastrement

+ Liaisons dont les degrés de liberté sont liés par des relations ( Ex : hélicoïdale )

{ VS1/S2 } = {

x

y

z

Vx

Vy

Vz

}M

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Annexe II : Liaisons Normalisées ( Norme NF EN ISO 3952-1 remplaçant la norme NFE 04015 )

Nombrede

degrésde

liberté

Nom de laliaisons

( type decontact )

Schématisation enprojection orthogonale

Schématisationen perspective

Caractéristiquesgéométriques

Torseur cinématique

dans la base ( x

, y

, z

)

{ V S1/S2 } =

{ (S/R) ; v

(PS/R) }P

Particularités

0 Encastrement A + + aucune{ 0

; 0

}P P

1 Pivot a q & axe ( O, x

) { x

; 0

}P P ( O, x

)

1 Glissière z s é direction x

{ 0

; v x

}P P

1Hélicoïdale

( vis/ écrou )

e d 2 axe ( O, x

) { x

; p

2 x

}P

P ( O, x

)p > 0 pas à droitep < 0 pas à gauchep en mm par tour

2Pivot

glissant

( cylindre/ cylindre)

r f 3 axe ( O, x

) { x

; v x

}P P ( O, x

)

2 Rotule àdoigt b O

B centre Onormale au plan

de la rainure x

direction

du doigt y

{x

y

0 ;

000

}O

O centre de lasphère

3Rotule

( sphère/ sphère )

^t O 6 centre O {x

y

z

; 000

}O

O centre de lasphère

3 Appui plan

( plan / plan )

y 5 normale z {

00z

; vx

vy

0 }

P

P

4Linéairerectiligne

( cylindre /plan )

i k - ligne ( O, x

)

normale z {

x

0z

; vx

vy

0 }

P

P ( O, x

)

4Linéaire

annulaire

( sphère/ cylindre )

o l ç centre O

axe ( O, x

) {x

y

z

; vx

00

}O

O centre de lasphère

5Ponctuelle

( sphère/ plan )

p I m 9 point de contact I

normale z {

x

y

z

; vx

vy

0 }

P

P ( I, z

)

x

O

x

x

O

x

O

x

O

z

x

O

z

z

z

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Annexe III

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SCHEMATISATION DES PRINCIPAUX

ORGANES DE TRANSMISSION

MODELISATION DES ROULEMENTS

Annexe IV