Cinmatique des milieux continus

Jean Garrigues

8 novembre 2012

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Avant-propos

Lobjectif de ce cours est dintroduire les outils ncessaires la description du mouvement, de la dfor-mation 1 et de la vitesse de dformation dun milieu continu dformable au sens le plus gnral du terme,cest--dire en pratique les solides dformables, les liquides et les gaz. Tous les concepts prsents dans cecours sont valables pour pour lun quelconque de ces milieux continus.

Les dveloppements qui suivent se placent rsolument dans le cadre de la physique classique (non re-lativiste et non quantique). Nous admettrons donc que lespace dans lequel les mouvements de milieuxcontinus se produisent est de dimension 3 et dautre part, que la distance entre deux points et le temps sontdes grandeurs communes tous les observateurs du mouvement.

La lecture de ce cours suppose une matrise suffisante de lalgbre et de lanalyse tensorielle 2 : en effet,toutes les grandeurs physiques relatives aux milieux continus dformables sont reprsentes par des champsde tenseurs dordre 0 ou plus.

Dans la mesure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes :

les nombres rels sont en minuscules italiques (exemple : a,); les vecteurs sont en minuscules italiques grasses (exemple : vvv); les tenseurs sont en majuscules italiques grasses (exemple : TTT ); les termes dune matrice sont rangs dans un tableau entre crochets, deux indices, lindice de

gauche est lindice de ligne, et lindice de droite est lindice de colonne :[m11 m12 m13

m21 m22 m23m31 m32 m33

]=[mi j]

la transposition des matrices est note avec un T en exposant (exemple : MT ); les espaces dentits mathmatiques sont en majuscules doubles (exemples : lespace des rels : R,

lespace des vecteurs de dimension 3 : V3). le produit vectoriel de deux vecteurs de V3 est not .

1. Contrairement aux cours lmentaires sur les dformations, on ne fera ici aucune concession gomtrique. Les dformations nesont ni petites ni grandes .

2. Lauteur propose un autre cours intitul Algbre et analyse tensorielle pour ltude des milieux continus disponible surhttp://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923

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Chapitre 1

Concepts fondamentaux

Dans ce chapitre, avant daborder les chapitres traitant de la cinmatique des milieux continus proprementdite, on dfinit le concept de milieu continu. On prcise ensuite un certain nombre de concepts fondamen-taux sur lesquels sappuie la cinmatique en gnral.

1.1 Le modle milieu continu tridimensionnel

On suppose que lespace dans lequel ont lieu les mouvements de milieux matriels, est mathmatiquementreprsentable par un espace affine de points, de dimension 3 et muni dune distance. On le note E 3.

1.1.1 Milieu continu

Soit D un domaine volumique ouvert de E 3. On dit que le domaine D est rempli dun milieu matrielcontinu 1 si, tout instant t et en chaque point M du domaine D , on peut dfinir des champs de grandeursphysiques relatives ce milieu matriel.

Ces grandeurs physiques peuvent tre mathmatiquement reprsentes par :

des champs scalaires (masse volumique, temprature, etc) des champs vectoriels (vitesse, acclration, etc) des champs tensoriels (dformations, contraintes, etc)

Lorsque la nature de la grandeur physique nest pas prcise, elle sera note AAA .

Cette modlisation continue de toute matire (il existe quelquechose de matriel en tout point gom-trique M du domaine D ) est assurment une idalisation. Nos connaissances en physique atomique sonten flagrante contradiction avec cette hypothse ! En un point M et un intant t donns, il ny a pratique-ment aucune chance dy trouver un corpuscule (atome, noyau, lectron, ...) et bon nombre de grandeursphysiques macroscopiques perdent leur sens cette chelle dobservation.

EXEMPLES : Des grandeurs macroscopiques telles que la pression, la temprature ou la vitesse, qui semblent na-turellement descriptibles par des champs mathmatiques p(M,t), T (M,t) ou vvv(M,t), perdent de leur sens au niveaumicroscopique : en gnral, il ny que du vide au point M et linstant t, auquel on ne peut associer aucune grandeurphysique.

1. Lusage du qualificatif continu pour dsigner un milieu matriel qui occupe tous les points dun domaine ouvert D E 3 esttraditionnel. Cette continuit na aucun rapport avec la continuit des applications dont on parle en analyse.

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1. CONCEPTS FONDAMENTAUX

Le modle milieu continu de la matire prsente nanmoins une grande utilit pratique, car les vrifica-tions des prdictions de ce modle se font macroscopiquement : quand on veut vrifier une pression, unetemprature ou une vitesse en un point et un instant donn, on effectue cette mesure avec un appareilmacroscopique dont le point de mesure est en fait un petit volume contenant un trs grand nombrede corpuscules. La mesure effectue est donc une moyenne statistique, sur un petit volume et sur un petitintervalle de temps, des interactions des corpuscules avec la zone sensible de lappareil de mesure 2.

REMARQUE : Les prvisions dun modle continu de la matire peuvent tre incorrectes si la taille du point demesure ne contient pas suffisamment de corpuscules pour que la moyenne statistique soit significative. Par exemple,dans les hautes couches de latmosphre, le libre parcours moyen des corpuscules est de lordre du mtre. Si lonveut que les prdictions dun modle continu de la matire dans cette rgion corroborent correctement des mesures, ilfaudrait un instrument dont le point de mesure ait un volume dau moins 1 km3 !

Le modle continu de la matire, ignorant dlibrment la structure corpusculaire de la matire, ne peutdonc fournir aucun renseignement sur les mouvements individuels des corpuscules microscopiques.

1.1.2 Dfinition dune particule en mcanique des milieux continus

Lespace E 3 est constitu de points gomtriques (concept mathmatique). Un milieu matriel continu estconstitu de points matriels que lon appellera particules. Par dfinition, les particules sont donc desentits matrielles de volume nul.

chaque instant, chaque particule P du milieu matriel continu concide avec un certain point gomtriqueM du domaine D E 3, et en chaque point gomtrique M D E 3 se trouve une particule P.Quand le milieu continu est en mouvement, ses particules sont en mouvement, cest--dire que le pointgomtrique avec lequel elles concident varie avec le temps.

1.2 Champs matriels

La continuit suppose du milieu matriel permet de poser la dfinition suivante :

DFINITION : Soit D E 3 un domaine dtude contenant un milieu continu, de particule gnrique P,et soit AAA une grandeur physique macroscopique (scalaire, vectorielle ou tensorielle). On appelle champmatriel toute application dfinie par :

(P,t) D R AAA (P,t) Vp (p > 0 N) (1.1)o Vp est lespace vectoriel des tenseurs dordre p.

On suppose de plus que ces champs sont diffrentiables presque partout sur D .

PRCISION : Le sens de la locution presque partout est celui que lon dfinit dans la thorie de la mesure. Ilsignifie que lensemble des points de D o les champs ne sont pas diffrentiables est de volume nul. On admet donc lapossibilit dexistence de points de discontinuit isols, de lignes de discontinuit et de surfaces de discontinuit. Onnexclut donc pas a priori lexistence de phnomnes physiques tels que la cavitation, la fissuration ou les ondes dechoc. strictement parler, les champs matriels sont donc des distributions, et les intgrales qui seront crites dans lasuite sont prendre au sens de Lebgue.Dans une premire lecture, on peut ignorer cette extension en supposant que les champs sont partout diffrentiables etque les intgrales sont au sens classique de Riemann. On peut traiter la plupart des discontinuits simples en considrantdes domaines diffrentiables par morceaux .

On peut donc dfinir en tout point de D un gradient de la grandeur physiqueAAA , ainsi que tous les oprateursdiffrentiels qui en dcoulent (divergence, rotationnel, laplacien).

2. On rappelle quune mole dair (22,4 litres dans les conditions normales de pression et de temprature) contient 6,021023 mol-cules. Combien y a-t-il de molcules dans un point de mesure de 1 mm3 ?

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1.3. Observateurs en physique classique

1.3 Observateurs en physique classique

La notion dobservateur, appel aussi rfrentiel ou encore solide de rfrence 3, est normalement dfiniedans les cours de mcanique gnrale. On en rappelle ici la dfinition.

DFINITION : On appelle observateur (ou rfrentiel ou encore solide de rfrence) un ensemble de troispoints (A,B,C) non colinaires dont les distances sont constantes dans le temps, et sur lesquels on aconstruit, par un moyen quelconque, un repre cartsien orthonorm direct.

REMARQUES : Les trois points distance constante (A,B,C) forment un solide de rfrence . Le repre cartsienorthonorm construit sur ces trois points est un rfrentiel . Le tout est un observateur .

Il existe une infinit de manires pour contruire gomtriquement un repre orthonorm direct partir de 3 points(A,B,C) :

Exemple 1 : les trois vecteurs lis 4 dorigine A dfinis par : eee1 = ABABABABABAB ; eee2 =eee1ACACACeee1ACACAC ; eee3 = eee1 eee2 constituent

un repre orthonorm direct dorigine A. Exemple 2 : uuuAB = ABABABABABAB ; uuuAC =

ACACACACACAC ; eee1 =

uuuAB+uuuACuuuAB+uuuAC ; eee2 =

uuuABuuuACuuuABuuuAC ; eee3 = eee1 eee2. Les trois vecteurs lis

{eee1,eee2,eee3}, constituent un repre orthonorm direct dorigine A. Exemple 3 : prendre comme origine le centre de gravit du triangle ABC et construire un repre orthonorm

direct dorigine G sur les directions principales dinertie du triangle ABC (on sait quon peut toujours trouverdes directions principales dinertie orthogonales).

Un observateur tant choisi, chaque point M E 3 (ou la particule qui se trouve en M), on associe demanire biunivoque, par projection orthogonale sur le repre cartsien de lobservateur, trois coordonnescartsiennes orthonormes (1,2,3) R3 :

(M E 3,R ) (1,2,3) R3 (1.2)

Cependant, cette reprsentation des points de E 3 par trois rels nest pas la plus commode. On prfre unereprsentation vectorielle des points de E 3 de la manire suivante :

DFINITION : Soit V3 un espace vectoriel de dimension 3 dont une base orthonorme est {vvv1,vvv2,vvv3}. Soitun observateur R . On appelle vecteur position dun point M pour lobservateur R (ou vecteur position dela particule P qui se trouve en M) le vecteur xxxM V3 dfini par la bijection :

(1,2,3) R3 xxxM = 1 vvv1 +2 vvv2 +3 vvv3 V3 (1.3)

Avec les bijections (1.2) et (1.3), on tablit la bijection suivante qui, pour un observateur R , tout pointM E 3 associe un vecteur position xxxM V3 :

(M E 3,R ) xxxM = 1 vvv1 +2 vvv2 +3 vvv3 V3 (1.4)

Soit un autre observateur R dfini par les trois points distance constante (A,B,C) sur lesquels on construitun repre orthonorm direct {eeei} qui permet dassocier de manire biunivoque tout point M les troiscoordonnes (1,2,3) R3. ce triplet de coordonnes on associe comme prcdemment un vecteurposition xxxM du mme espace vectoriel V3 dont les composantes sur la base orthonorme de V3 sont lescoordonnes {i} du point M: xxxM = 1 vvv1 + 2 vvv2 + 3 vvv3 :

(M E 3,R ) (1,2,3) R3 xxxM = 1 vvv1 + 2 vvv2 + 3 vvv3 V3 (1.5)3. Les termes rfrentiel et solide de rfrence sont plutt employs dans les cours franais de mcanique gnrale. Le mot obser-

vateur a t mis la mode par des mcaniciens contemporains amricains (NOLL, TRUESDEL, COLEMAN et autres), se revendiquantde la mcanique rationnelle . Il ny a absolument aucune diffrence conceptuelle entre ces trois dnominations. Lauteur de ce coursa choisi dutiliser le mot observateur peut-tre en raison de son aspect anthropomorphe : il lui semble que lon imagine mieux lesdiffrences dans lobservation dun mouvement quand on parle dun changement dobservateur plutt que dun changement de rf-rentiel.

4. On peut les appeler aussi bipoints ordonns.

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1. CONCEPTS FONDAMENTAUX

Les deux vecteurs xxxM et xxxM , tous deux lments de V3, sont des vecteurs diffrents car leurs composantessur la base orthonorme de V3 sont diffrentes.

Dans toute la suite du cours, les points M E 3 seront reprs par leur vecteur position pour un certainobservateur : xxxM V3.Cette mthode de reprage des positions dune particule par un vecteur de lespace vectoriel V3 prsentelavantage de ne pas avoir se soucier de systmes de coordonnes. Pour chaque observateur, les pointsde E 3 seront biunivoquement reprsents par des vecteurs positions (tenseurs dordre 1) propres chaqueobservateur et appartenant au mme espace vectoriel V3, dans lequel on dispose de tous les outils delalgbre et de lanalyse.

1.4 Mouvement par rapport un observateur

DFINITION : Quand le vecteur position dune particule P pour un observateur R varie au cours dutemps, on dit que la particule P est en mouvement pour cet observateur.

DFINITION : Le vecteur position dune particule P pour un observateur R un instant t quelconque estappel position actuelle de P pour lobservateur R .

Lors de ltude du mouvement dun milieu matriel (ventuellement continu), toute libert est laisse auscientifique qui fait cette tude, dans le choix dun observateur (ou rfrentiel ou solide de rfrence).Le choix dun observateur est arbitraire. Il ny a aucune raison a priori de privilgier un observateurplutt quun autre 5. Dire quune particule est en mouvement sans prciser quel observateur on utilise pourobserver ce mouvement, na aucun sens.

En particulier, un observateur R est dit en mouvement par rapport lobservateur R si les vecteurs posi-tions des points A, B et C pour lobservateur R sont des fonctions du temps.

1.5 Tenseur de changement dobservateur

1.5.1 Vecteur matriel

Soient deux observateurs R et R tant a priori en mouvement lun par rapport lautre. Soient deuxparticules P et P dun milieu continu en mouvement. On note :

xxxt et xxxt les vecteurs positions, un instant t quelconque, des particules P et P pour lobservateur R , xxxt et xxx

t les vecteurs positions, au mme instant t, des mmes particules P et P pour lobservateur R .

Lindice t rappelle que ces quatre vecteurs positions sont des positions actuelles (donc a priori fonction dutemps).DFINITIONS : On appelle vecteur matriel, un ensemble ordonn de deux particules. Il sera not :{P,P}.La particule P est appele origine du vecteur matriel {P,P}. La particule P est appele extrmit duvecteur matriel {P,P}.Un vecteur matriel est reprsent par chaque observateur par la diffrence entre le vecteur position delextrmit P et le vecteur position de lorigine P :

pour lobservateur R , le vecteur matriel actuel est reprsent par le vecteur : {P,P}R = xxxtxxxt V3; pour lobservateur R , le vecteur matriel actuel est reprsent par le vecteur : {P,P}

R= xxxtxxxt V3.

5. Mais on peut tre motiv, pour simplifier des calculs, den choisir un pour lequel un maximum dentits sont fixes (par exempleune frontire ou une partie de frontire dun domaine dtude D E 3).

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1.5. Tenseur de changement dobservateur

ATTENTION : Un vecteur matriel (lment de E3 E3) nest pas un lment de lespace vectoriel V3 (V3 estun espace mathmatique qui sert calculer sur les vecteurs). La locution considrons le vecteur PPPPPP na pas desens vectoriel tant quon ne prcise pas quel observateur on utilise. En effet, chaque observateur associe au vecteurmatriel {P,P} un vecteur de V3 diffrent (revoir comment on associe un vecteur position de V3 chaque particule).Ce malencontreux raccourci de langage est lorigine de bien des malentendus.

Par exemple; si on dessine au tableau trois points O, O et P, il semble naturel dcrire dans lespace de points E3lgalit : OOOPPP = OOOOOO+OOOPPP sans prciser dobservateur (on devrait plutt lcrire : {O,P} = {O,O}+{O,P}). Pour unobservateur R cette gomtrie scrit dans V3 :

{O,P}R xxxPt

= {O,O}R xxxOt

+{O,P}R o {O,P}R 6= {O,P}R = xxxPt

On ne peut donc en dduire : xxxPt = xxxO + xxxPt comme on pourrait le faire trop rapidement en regardant la figure car la

reprsentation pour lobservateur R du vecteur matriel {O,P} nest pas le vecteur position de la particule P pourlobservateur R .Pour un observateur R cette mme gomtrie scrit dans le mme espace vectoriel V3 :

{O,P}R= {O,O}

R+{O,P}

R=xxxOt + xxxPt

En particulier, bien quon puisse crire dans lespace de points E3 lgalit OOOOOO =OOOOOO (quon devrait crire {OOO,OOO}={OOO,OOO}), on ne peut pas en dduire lgalit vectorielle dans V3 : xxxOt =xxxOt .Les seules relations quon puisse crire dans V3 pour les deux observateurs sont :

{O,P}R = xxxPt xxxOt et {O,P}R = xxxPt xxxOt

qui sont les dfinitions universelles (cest--dire valables pour tout observateur) de la reprsentation dun vecteurmatriel par un observateur.

Toutes ces remarques justifient le fait quaucune figure ne sera dessine en cinmatique, car si elles induisent desrelations vraies dans E3E3, elles induisent trop rapidement des relations fausses dans V3.

1.5.2 Changement dobservateur des vecteurs matriels

La dfinition de la distance actuelle (cest--dire linstant t) entre les deux particules P et P est la normede la diffrence des vecteurs positions. Cette dfinition est la mme pour tous les observateurs (on dit quecette dfinition est universelle).

d(P,P,t) = xxxt xxxt et d(P,P,t) = xxxt xxxtREMARQUE : Luniversalit est une proprit attribuable une relation (loi, dfinition) : la relation est la mme pourtous les observateurs.

Dautre part, en physique classique, la distance actuelle des deux particules est un scalaire d(P,P,t) quia la mme valeur pour tous les observateurs : on dit que la distance actuelle entre deux particules est unegrandeur scalaire objective. On peut donc crire :

d(P,P,t) = d(P,P,t) xxxt xxxt= xxxt xxxt t P P (1.6)REMARQUE : Lobjectivit est une proprit attribuable une grandeur physique scalaire 6 : sa valeur actuelle est lamme pour tous les observateurs.

Lobjectivit des distances actuelles (1.6) tant vraie quel que soit le couple de particules (P,P), il existe chaque instant une rotation unique (elle est donc fonction du temps), not QQQt R R telle que :

xxxt xxxt =QQQtR R (xxxt xxxt) t P P (proprit des tenseurs orthogonaux) (1.7)

6. On dfinira au chapitre 3 page 23 lobjectivit de grandeurs physiques tensorielles dordre 1 ou plus.

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1. CONCEPTS FONDAMENTAUX

RAPPEL : Une rotation est un tenseur du second ordre orthogonal et de dterminant gal +1. On montre en algbretensorielle 7 quon peut aussi la dfinir par son axe unitaire wwwt et un angle t [0,pi]. Pour dterminer cette rotation demanire unique, il suffit de prendre les vecteurs positions actuels, pour les deux observateurs R et R , de 3 particulesquelconques non alignes. Une des proprits des tenseurs orthogonaux est : QQQ vvv = vvv vvv QQQ orthogonal. Onest donc assur que lobjectivit des distances actuelles pour 3 particules suffit garantir lobjectivit des distancesactuelles pour tout couple de particules.

DFINITION : La rotation QQQtR R est appel tenseur de changement dobservateur actuel entre les obser-vateurs R et R .

CONVENTION DE NOTATION : Lorsquaucune ambigut nest craindre, le tenseur de changement dob-servateur actuel QQQtR R entre les deux observateurs sera not plus simplement QQQt .Les proprits algbriques des rotations impliquent que :

les angles non orients forms par les positions actuelles de trois particules sont les mmes pour tousles observateurs : les angles sont des grandeurs scalaires objectives;

les aires du triangle form par les positions actuelles de trois particules sont les mmes pour tous lesobservateurs : les aires sont des grandeurs scalaires objectives;

les produit mixtes form par les positions actuelles de quatre particules sont les mmes pour tous lesobservateurs : les volumes sont des grandeurs scalaires objectives.

1.6 Relation avec les concepts introduits en cinmatique lmentaire

RAPPELS DALGBRE : On peut identifier langle et laxe dune rotation QQQt par les formules suivantes 8 :

cost =TrQQQt 1

2t [0,pi] et wwwt =HHH : QQQt

sint= HHH : QQQtHHH : QQQt

Le vecteur yyy =QQQt .xxx est le rsultat de la rotation du vecteur xxx par la rotation daxe unitaire wwwt et dangle t .La relation inverse est : QQQt = cost GGG+(1 cost)wwwt wwwt sint HHH wwwt .Il y a donc une bijection entre les rotations gomtriques et les tenseurs orthogonaux de dterminant 1.

En drivant temporellement lidentit QQQT QQQ =GGG on trouve : ddt QQQTt QQQt =QQQTt

ddt QQQt =

( ddt QQQ

Tt QQQt

)T.

Les tenseurs ddt QQQTt QQQt et QQQTt ddt QQQt sont donc opposs et antisymtriques.Soit wwwt le vecteur adjoint au tenseur antisymtrique ddt QQQTt QQQt . Il est dfini par :

wwwt =12

HHH :( d

dt QQQTt QQQt

) ddt QQQ

Tt QQQt =HHH wwwt

Il dcoule des proprits des tenseurs antisymtriques que :( d

dt QQQTt QQQt

)xxx =wwwt xxx xxx V3 (1.8)

En cinmatique lmentaire, on nintroduit gnralement pas le tenseur de changement dobservateur, carla bijection entre tenseurs orthogonaux de dterminant 1 et les rotations gomtriques nest pas supposeconnue. Le tenseur rotation QQQt y est donc dfini comme une rotation gomtrique daxe unitaire wwwt etdangle t [0,pi]. Le vecteur gnralement not R /R = t wwwt est appel vecteur rotation de R par rapport R . La seule nouveaut ici est donc de reprsenter cette rotation gomtrique par un tenseur orthogonal

7. Voir le cours Algbre et analyse tensorielle pour ltude des milieux continus, du mme auteur, section 1.6.108. voir le cours Algbre et analyse tensorielle pour ltude des milieux continus du mme auteur, section 1.6.10

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1.6. Relation avec les concepts introduits en cinmatique lmentaire

de dterminant +1, qui se prte mieux au calcul tensoriel. Le tourn dun vecteur vvv par la rotation R (t ,t )scrit simplement :

R (t ,t )(vvv) =QQQt vvv

En appliquant la dfinition du tenseur de changement dobservateur (voir (1.7) page 5) aux points A et Bdun observateur R, il vient :

xxxBt xxxAt =QQQt (xxxBt xxxAt ) (1.9)

En drivant par rapport au temps lgalit (1.9) (par dfinition, les points A et B sont fixes pour lobservateurR ), on obtient :

000 = ddt QQQt (xxxBt xxxAt )+QQQt (vvvBvvvA) vvvBvvvA =

(QQQTt

ddt QQQt

) (xxxBt xxxAt ) (1.10)

o le tenseur du second ordre QQQTt ddt QQQt est antisymtrique.Si on note www = 12 HHH : (QQQTt ddt QQQt) le vecteur adjoint au tenseur antisymtrique QQQTt ddt QQQt , alors (voir (1.8))(

QQQTt ddt QQQt

) (xxxBt xxxAt ) =www (xxxBt xxxAt )

Lquation (1.10) scrit alors :

vvvBvvvA =www (xxxBt xxxAt ) vvvB = vvvA +w (xxxBt xxxAt ) = vvvA +w{A,B}R

On reconnat la formule habituellement donne dans les cours de mcanique gnrale pour dcrire le champdes vitesse dun solide (ici le solide est constitu des points (A,B,C) distance constante dfinissant lob-servateur R ) o le vecteur www gnralement not

R /Rest le vecteur vitesse de rotation actuelle de lobser-

vateur R pour lobservateur R habituellement introduit en mcanique gnrale. On a donc :

www =R /R

=12

HHH :(

QQQTt ddt QQQt

)= adj

(QQQTt

ddt QQQt

)) =adj

( ddt QQQ

Tt QQQt

)(1.11)

La connaissance des valeurs actuelles du tenseur de changement dobservateur QQQt permet donc de retrouverles concepts introduits en mcanique gnrale et inversement.REMARQUE : On peut aussi envisager le changement dobservateur inverse. De la dfinition (1.7) page 5 on crit :

xxxt xxxt =QQQTt (xxxt xxxt) xxxBt xxxAt =QQQTt (xxxBt xxxAt )En drivant par rapport au temps (par dfinition, les points A et B sont fixes pour lobservateur R ), on obtient :

000 = ddt QQQTt (xxxBt xxxAt )+QQQTt (vvvB vvvA) vvvB vvvA =

(QQQt ddt QQQ

Tt

) (xxxBt xxxAt )

o le tenseur QQQt ddt QQQTt est antisymtrique de vecteur adjoint www. On a alors :vvvB vvvA =www (xxxBt xxxAt ) vvvB = vvvA +www (xxxBt xxxAt ) = vvvA +www{A,B}R

Le vecteur www est donc le vecteur vitesse de rotation de R pour lobservateur R :

www = R /R

= adj(

QQQt ddt QQQTt

)=adj

( ddt QQQt QQQ

Tt

)(1.12)

Les deux vecteurs R /R

V3 et R /R V3 ne sont pas opposs, le premier tant valu par ses composantes dansle repre de lobservateur R et le second dans le repre de lobservateur R .

En utilisant lidentit (QQQt QQQt QQQt)3HHH =HHH, on montre que :R /R

=QQQt R /R (1.13)

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1. CONCEPTS FONDAMENTAUX

1.7 En bref...

Le modle milieu continu est une idalisation de la matire. Ses prvisions ne peuvent corroborer que desvrifications macroscopiques.

Pour dcrire des grandeurs associes des particules tout instant, on utilise des champs matriels sca-laires, vectoriels ou tensoriels, (presque partout) diffrentiables.Pour dcrire le mouvement dun milieu continu, il faut choisir un observateur.

Luniversalit de la dfinition des distances, ainsi que lobjectivit de la distance entre deux particulesimpliquent lexistence dun tenseur de changement dobservateur qui est une rotation (tenseur orthogonalde dterminant +1).

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Chapitre 2

Descriptions du mouvement dun milieucontinu

2.1 Transformation entre deux instants

Considrons un milieu continu en mouvement pour un certain observateur R .

Soit P une particule du milieu continu en mouvement pour cet observateur. On note xxxt et xxxt les vecteurspositions, pour lobservateur R , de la particule P aux instants t et t .

Considrons la transformation gomtrique fff t t : V3 V3, qui, dans un certain mouvement du milieucontinu dcrit avec lobservateur R , associe toute position xxxt V3 (vecteur position de P linstant t), laposition xxxt V3 (vecteur position de la mme particule P mais linstant t ) :

xxxt V3 xxxt = fff t t (xxxt) V3 (2.1)

On suppose que :

1. toutes les particules dont la position linstant t est xxxt ont une position xxxt linstant t ;2. deux particules distinctes P et Q dont les positions linstant t sont xxxPt et xxxQt , ne peuvent occuper

la mme position un autre instant t (autrement dit, les xxxt nont quun seul antcdent dans latransformation fff t t ).

Dans ces conditions, la fonction fff t t est inversible.REMARQUE : En fait, en mcanique des milieux continus, il est possible que linversibilit de fff t t ne soit vraie quepresque partout (voir note 1.2 page 2). Par exemple, dans le cas o une cavitation se produirait dans le mouvement entreles instants t et t , il existerait une particule de position xxxt (le germe de la cavitation) qui aurait plusieurs positions linstant t : ce seraient tous les points sur la surface dlimitant la bulle de cavitation. Dans le cas dune fissuration,cest toute une ligne de positions xxxt qui auraient deux positions xxxt : une sur chaque lvre de la fissure ouverte.

De plus, on a videmment : fff t t = I (identit) et fff t t = fff t t fff t t (transitivit).En mcanique des milieux continus, on utilise principalement deux mthodes pour dcrire le mouvementdes particules dun milieu continu par rapport un observateur R . On utilise aussi ces deux mthodes pourdcrire les champs matriels de grandeurs physiques AAA (P,t) dun milieu continu. Ce sont les mthodes deLagrange et dEuler. Ces deux mthodes ne diffrent que par la manire dont on identifie les particules.

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2. DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU

2.2 Description de Lagrange

DFINITIONS : On appelle instant de rfrence un instant t0 choisi arbitrairement 1. On appelle instantactuel un instant t quelconque.

Dans la description de Lagrange, les particules sont identifies par leur position de rfrence, cest--dire quon dsigne (on nomme) les particules par la position de rfrence xxx0 quelles occupent linstantde rfrence t0 pour un observateur R .

Soit un champ matriel AAA (P,t) dcrivant la valeur dune grandeur tensorielle dordre p 0 pour touteparticule et tout instant.

DFINITION : La description de Lagrange du champ matriel AAA (P,t) est la fonction AAA L dfinie par :

(xxx0,t) V3R AAA L(xxx0,t) = AAA (P,t) Vp3o xxx0 est la position de rfrence de la particule P pour un observateur R .REMARQUE : Quand on a choisi un systme de coordonnes, largument vectoriel xxx0 de la fonction AAA L, peut treremplac par 3 rels (x10 ,x20 ,x30) qui sont les coordonnes du point occup par la particule P lintant t0. Dans ce casles quatre arguments rels (x10 ,x20 ,x30 , t) de la fonction AAA L sont appels variables de Lagrange.

DFINITION : On appelle description de Lagrange du mouvement pour un observateur R , la descriptionde Lagrange du champ matriel des positions actuelles xxxt(P,t) pour cet observateur :

(xxx0,t) V3R fff (xxx0,t) = xxxt(P,t) V3 (2.2)

REMARQUE : La notation fff pour la description de Lagrange du mouvement est traditionnelle. On devrait noter cettefonction xxxt L (description de Lagange des positions actuelles).

2.3 Description dEuler

Dans la description dEuler, les particules sont identifies par leur position actuelle.DFINITION : La description dEuler du champ matriel AAA (P,t) est la fonction AAA E dfinie par :

(xxxt ,t) V3R AAA E(xxxt ,t) = AAA (P,t) Vp3o xxxt est la position actuelle de la particule P pour lobservateur R .

REMARQUE : Quand on a choisi un systme de coordonnes, largument vectoriel xxxt de la fonction AAA E , peut treremplac par 3 rels (x1t ,x2t ,x3t ) qui sont les coordonnes du point occup par la particule P lintant t. Dans ce casles quatre arguments rels (x1t ,x2t ,x3t , t) de la fonction AAA E sont appels variables dEuler.

DFINITION : On appelle description dEuler du mouvement pour lobservateur R , la description dEu-ler du champ matriel des vitesses actuelles vvv(P,t) pour cet observateur :

(xxxt ,t) V3R vvvE (xxxt ,t) = vvv(P,t) V3 (2.3)

ILLUSTRATION : On peut considrer la description dEuler du mouvement comme la donne de la collection des photographies du champ des vitesses tous les instants.

1. On donnera plus loin des motivations physiques pour choisir cet instant arbitraire.

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2.4. Equivalence des deux descriptions

2.4 Equivalence des deux descriptions

Tout champ matrielAAA (P,t) peut donc tre dcrit aussi bien par la mthode de Lagrange que par la mthodedEuler. Pour une particule P, de position de rfrence xxx0 et de position actuelle xxxt , on a videmment :

AAA (P,t) = AAA L(xxx0,t) = AAA E(xxxt ,t) (2.4)

Pour un observateur R , les deux fonctions AAA L et AAA E sont deux applications diffrentes, mais leur valeurpour une particule donne et un instant donn est la mme.

La question se pose de savoir si les deux descriptions du mouvement qui ont t donnes prcdemmentsont quivalentes : si un mouvement est dcrit par lune des mthodes, peut-on trouver lautre description?

2.4.1 Passage de la description de Lagrange du mouvement celle dEuler

Supposons que lon connaisse la description de Lagrange du mouvement fff dun milieu matriel continu.La position actuelle des particules est donne par :

xxxt = fff (xxx0,t)La vitesse dune particule, identifie ici par sa position de rfrence xxx0, est par dfinition la drive parrapport au temps de sa position actuelle :

vvvL(xxx0,t) =dxdxdxtdt =

fff (xxx0,t)t (drive particule constante, cest--dire xxx0 constant) (2.5)

Le champ vectoriel vvvL(xxx0,t) est la description de Lagrange du champ des vitesses. Pour obtenir la descrip-tion dEuler des vitesses, il faut donner le champ des vitesses en fonction des positions actuelles.

La fonction fff tant inversible tout instant, on peut crire : xxx0 = fff1 (xxxt ,t).En substituant xxx0 par sa valeur dans (2.5), on obtient le champ des vitesses en fonction des positionsactuelles xxxt et de t, cest--dire la description dEuler des vitesses :

vvvE (xxxt ,t) = vvvL( fff1 (xxxt ,t) ,t) = fff ( fff1 (xxxt ,t) ,t)

t (2.6)

REMARQUE : La traduction de lquation vectorielle (2.6) en un systme de trois quations relles portant sur descoordonnes dpend la fois du systme de coordonnes utilis (signification des trois variables relles de position(x1t ,x

2t ,x

3t )) et de la base sur laquelle on projette cette galit vectorielle en trois quations relles.

2.4.2 Passage de la description dEuler du mouvement celle de Lagrange

Inversement, supposons que lon connaisse la description dEuler du mouvement vvvE dun milieu matrielcontinu :

vvv(P,t) = vvvE (xxxt ,t)

Trouver la description de Lagrange du mouvement, cest trouver la description de Lagrange des positionsactuelles xxxt des particules, cest--dire trouver la fonction fff telle que xxxt = fff (xxx0,t).La description de Lagrange des vitesses est la vitesse de la particule (identifie par xxx0) est :

vvvL(xxx0,t) = fff (xxx0,t)

t (voir quation (2.5))

Elle est aussi par dfinition : vvvL(xxx0,t) = vvvE(xxxt ,t) = vvvE( fff (xxx0,t),t).

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La fonction inconnue fff est donc solution de lquation diffrentielle vectorielle :

fff (xxx0,t)t = vvvE( fff (xxx0,t),t) avec les 3 conditions initiales fff (xxx0,t0) = xxx0 (2.7)

La solution de cette quation diffrentielle vectorielle, assortie des 3 conditions initiales donne la descrip-tion de Lagrange du mouvement.

REMARQUE : La traduction de lquation diffrentielle vectorielle (2.7) en un systme de trois quations diffrentiellesportant sur des coordonnes dpend la fois du systme de coordonnes utilis (signification des trois variables rellesde position) et de la base sur laquelle on projette cette quation vectorielle en trois quations relles (suivant la basechoisie, la rsolution de lquation diffrentielle en fff peut tre plus ou moins aise).Les deux descriptions du mouvement sont donc quivalentes : partir de lune on peut trouver lautre, etinversement.

On a aussi lquivalence entre les deux descriptions de tout champ matriel AAA (P,t) :

si le champ matriel AAA (P,t) est connu par sa description de Lagrange AAA L(xxx0,t), alors sa descriptiondEuler est : AAA E(xxxt ,t) = AAA L( fff1(xxxt ,t),t) ;

si le champ matriel AAA (P,t) est connu par sa description dEuler AAA E(xxxt ,t), alors sa description deLagrange est : AAA L(xxx0,t) = AAA E( fff (xxx0,t),t).

2.4.3 Comparaison des deux descriptions

Les deux descriptions prsentent chacune leurs commodits suivant le type de milieux continus que lontudie.

Les mcaniciens spcialiss dans les solides dformables prfrent souvent la description de Lagrange 2,car ils peuvent donner un sens physique linstant de rfrence t0 (par exemple, un instant o le solidedformable na jamais t soumis aucun effort). En outre, ils peuvent identifier physiquement des parti-cules en marquant des points sur le solide dformable dans sa position de rfrence. Les positions xxx0 tantfacilement matrialisables, la description de Lagrange leur semble la plus naturelle pour suivre lvolutiondes grandeurs physiques des particules dun solide dformable au cours de sa dformation.

Les mcaniciens spcialiss dans les fluides (liquides ou gaz, ces notions seront prcises plus tard) pr-frent gnralement employer la description dEuler car la position individuelle des particules un instantarbitraire t0 leur est de peu dintrt. Ils prfrent donc la description dEuler qui nutilise pas de conceptde position de rfrence. En outre, la description dEuler donne directement les indications dun instrumentde mesure plac en un certain point dobservation de lcoulement.

EXEMPLE : Si lon observe lcoulement dune rivire avec un capteur de vitesse situ en un point gomtrique Mfixe 3, la fonction vvvE(xxxM ,t) pour xxxM fix, est la vitesse linstant t de la particule dont la position actuelle est le point M.Si lon regarde lvolution de cette mesure au cours du temps, la fonction vvvE(xxxM ,t) donne les vitesses des diffrentesparticules qui passent au point dobservation fixe M.

La diffrence essentielle entre les deux description rside dans le fait que la description de Lagrange dunchamp matriel AAA (P,t) dcrit la distribution des valeurs actuelles ( linstant t) de la grandeur physique AAAsur des positions un instant diffrent : linstant de rfrence t0 ; alors que la description dEuler du mmechamp matriel dcrit la distribution des valeurs actuelles de la grandeur physique AAA sur les positionsactuelles. On peut prter une plus grande signification physique cette dernire. Quoi quil en soit, les deuxdescriptions tant mathmatiquement quivalentes, toute discussion supplmentaire ne serait quaffaire detraditions ou dhabitudes.

2. sauf peut-tre quand les dformations ne sont pas petites (voir plus loin).3. pour un certain observateur.

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2.5. Champ des dplacements

2.5 Champ des dplacements

Cette mthode de description du mouvement nest traditionnellement employe que par les mcaniciensdes solides dformables. Dans la suite, elle ne sera voque quoccasionnellement.

DFINITION : On appelle vecteur dplacement dune particule P, la diffrence entre la position actuelleet la position de rfrence (pour un observateur R ) :

uuu(P,t) = xxxPt xxxP0 (2.8)

Le champ matriel uuu(P,t) peut, comme tout champ matriel, tre dcrit par la mthode de Lagrange ou lamthode dEuler :

uuuL : (xxx0,t) V3R uuuL(xxx0,t) = xxxPt xxxP0 = fff (xxx0,t)xxx0 V3uuuE : (xxxt ,t) V3R uuuE(xxxt ,t) = xxxPt xxxP0 = xxxt fff1(xxxt ,t) V3

La description du mouvement au moyen de la description de Lagrange du champ des dplacements uuuL estvidemment quivalente la description de Lagrange du mouvement fff . On passe de lune lautre par :

fff (xxx0,t) = xxx0 +uuuL(xxx0,t) uuuL(xxx0,t) = fff (xxx0,t)xxx0

2.6 Oprateurs diffrentiels lagrangiens et eulriens

2.6.1 Rappel danalyse tensorielle

On sait de lanalyse des champs 4 dans E 3 que les variations locales dun champ (scalaire, vectoriel outensoriel) AAA (M) diffrentiable, sont dcrites par un champ doprateurs linaires tangents appel gradientdu champ AAA et not gradAAA , tel que :

[dAdAdA ](M,dMdMdM) = [(gradAAA )(M)] dMdMdM

o dMdMdM est un vecteur arbitraire et o dAdAdA , appel diffrentielle en M de la fonction AAA (M), tend vers ladiffrence AAA (M+dMdMdM)AAA (M) quand dMdMdM 0.Si lon choisit de reprsenter les points M de E 3 par un vecteur position xxx (ce qui suppose le choix dunobservateur), loprateur gradAAA est redfini ainsi :

[dAdAdA ](xxx,dxdxdx) = [(gradAAA )(xxx)] dxdxdx ou plus brivement : dAdAdA = gradAAA dxdxdx

o loprateur linaire gradAAA est une application linaire V3 Vp3 dfinie en chaque point xxx o AAA (xxx) estdiffrentiable. Les rgles de lalgbre tensorielle impliquent que si la grandeur AAA est un tenseur dordre p,alors gradAAA est un champ de tenseurs dordre p+1.

2.6.2 Gradients lagrangien et eulrien

On considre maintenant un milieu continu (a priori en mouvement pour un observateur R ), sur lequel estdfini un champ matriel de tenseurs dordre p 0 : AAA (P,t) Vp. Les deux modes de description de cechamp matriel, celui de Lagrange comme celui dEuler, sont tous les deux des applications (diffrentes)V3 Vp3 . On peut donc dcrire les variations spatiales locales de ces champs ( t constant) avec ungradient.

4. Voir le cours Algbre et analyse tensorielle pour ltude des milieux continus, du mme auteur, section 3.3.

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2. DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU

DFINITION : On appelle gradient lagrangien de AAA le gradient de sa description de Lagrange. On le notegradLAAA :

gradLAAA = gradAAA L

DFINITION : On appelle gradient eulrien de AAA le gradient de sa description dEuler. On le notegradEAAA :

gradEAAA = gradAAA E

On a donc :

dAdAdA = dAdAdA L = dAdAdA E = gradLAAA dxdxdx0 = gradEAAA dxdxdxt (2.9)

o gradLAAA et gradEAAA sont des tenseurs dordre p+1.

En particulier, le gradient lagrangien du champ matriel des positions actuelles des particules est dfinipar :

dxdxdxt = gradL fff dxdxdx0 (2.10)o le tenseur gradL fff (= gradLxxxt) est un tenseur du second ordre. Il est dfini pour toute particule et toutinstant, cest--dire que cest un champ matriel.

En particulier, linstant t = t0, sa valeur est le tenseur mtrique GGG.

REMARQUE : Le gradient eulrien des positions actuelles xxxt est le tenseur mtrique GGG, en effet, sa dfinition estdddxxxt = gradExxxt dddxxxt dddxxxt gradExxxt =GGG.NOTATION : Le gradient lagrangien des positions actuelles gradL fff est traditionnellement not FFF . On pose :

gradL fff =FFF (2.11)

La fonction fff tant inversible, le dterminant de son gradient nest jamais nul : detFFF 6= 0 P t. linstantde rfrence t0, ce gradient prend pour valeur le tenseur mtrique GGG dont le dterminant est +1. On en dduitla proprit suivante :

detFFF > 0 P t (2.12)

Relations entre gradients lagrangiens et eulriens :

La fonction fff tant inversible, on sait de lanalyse des champs de tenseurs que son gradient, qui est uneapplication V3 V3, est aussi inversible. On a donc la relation :

gradE( fff1) = (gradL fff )1 =FFF1 (2.13)

De lgalit (2.9) page 14, il vient :

gradLAAA dxdxdx0 = dAdAdA = gradEAAA dxdxdxt= gradEAAA gradL fff dxdxdx0 (daprs (2.10))

gradLAAA dxdxdx0 = gradEAAA FFF dxdxdx0Cette galit tant vraie dxdxdx0 arbitraire, on en dduit la relation entre les gradients lagrangien et eulriende tout champ tensoriel AAA :

gradLAAA = gradEAAA FFF gradEAAA = gradLAAA FFF1 (2.14)

En particulier, si le champ matriel AAA (P,t) est le champ des vitesses vvv(P,t), il vient :

gradLvvv = gradEvvv FFF gradEvvv = gradLvvv FFF1 (2.15)

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2.7. Drive particulaire

2.6.3 Versions lagrangienne et eulrienne des autres oprateurs diffrentiels

En consquence de ce qui prcde, on dfinit une version lagrangienne et une version eulrienne des op-rateurs diffrentiels dduits du gradient (ces oprateurs sont dfinis en analyse tensorielle) :

divLAAA = gradLAAA : GGG LAAA = divLgradLAAA rotLAAA =gradLAAA : HHH (2.16)divEAAA = gradEAAA : GGG EAAA = divEgradEAAA rotEAAA =gradEAAA : HHH (2.17)

o GGG est le tenseur mtrique et HHH le tenseur dorientation.

On dduit de (2.14) des relations entre oprateurs lagrangiens et eulriens :

divLAAA = gradLAAA : GGG = (gradEAAA FFF) : GGG = gradEAAA : FFFT (2.18)divEAAA = gradEAAA : GGG = (gradLAAA FFF1) : GGG = gradLAAA : FFFT (2.19)rotLAAA =gradLAAA : HHH =(gradEAAA FFF) : HHH =antisym (gradEAAA FFF) : HHH (2.20)rotEAAA =gradEAAA : HHH =(gradLAAA FFF1) : HHH =antisym (gradLAAA FFF1) : HHH (2.21)

2.7 Drive particulaire

Soit un milieu continu en mouvement pour un observateur R . chaque particule P (en mouvement) onassocie une grandeur physique (scalaire,vectorielle ou tensorielle) par un champ matriel AAA (P,t). On sin-tresse la drive temporelle de la grandeur AAA pour un particule donne (on dit souvent quon suit laparticule dans son mouvement ).DFINITION : On appelle drive particulaire de AAA , note AAA , la drive temporelle de la grandeur AAA particule constante :

AAA (P,t) =AAA (P,t)

t = limt tAAA (P,t )AAA (P,t)

t t (2.22)

Si AAA est un champ tensoriel dordre p, sa drive particulaire est donc aussi un champ tensoriel dordre p.

REMARQUE : La drive particulaire dcrit lvolution de la grandeur physique AAA pour une une particule P donne.Elle traduit donc lvolution temporelle des proprits de la matire en P.

Si le champ matriel AAA (P,t) est dcrit par la mthode de Lagrange :

Sa description de Lagrange est : AAA L(xxx0,t) = AAA (P,t), o xxx0 est la position de rfrence de la particule P.

La drive particulaire du champ AAA est la drive particule constante, cest--dire xxx0 constant. Ladescription de Lagrange de la drive particulaire est donc :

AAA L =AAA L (xxx0,t)

t (2.23)

Si le champ matriel AAA (P,t) est dcrit par la mthode dEuler :

Sa description dEuler est : AAA E(xxxt ,t) = AAA (P,t), o xxxt est la position actuelle de la particule P.

un instant t , la position de la mme particule P est le point xxxt , et la grandeur AAA (P,t ) observe en xxxt pour cette mme particule est donc AAA E(xxxt ,t ).

La variation de la grandeur AAA pour la particule P entre les instants t et t est donc : AAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t).

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2. DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU

La drive particulaire du champ AAA est donc :

AAA E = limt tAAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t)

t t= lim

t tAAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t )+AAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t)

t t= lim

t tAAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t )

t t + limt tAAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t)

t t= lim

t tgradAAA E (xxxt xxxt)+xxxt xxxt)OOO (xxxt xxxt)

t t + limt tAAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t)

t t= gradAAA E lim

t t(xxxt xxxt)

t t + limt txxxt xxxt)OOO (xxxt xxxt)

t t + limt tAAA E(xxxt ,t )AAA E(xxxt ,t)

t tAAA E = gradAAA E vvvE +vvvE lim

t tOOO (xxxt xxxt)

000

+AAA E

t

La description dEuler de la drive particulaire du champ AAA (P,t) est donc :

AAA E = gradEAAA vvvE +AAA E

t (2.24)

VOCABULAIRE : Dans beaucoup douvrages de mcanique des fluides, la description dEuler de la drive particulaireAAA E est souvent appele drive totale de la fonction AAA E(xxxt ,t) (on considre son argument xxxt , comme une fonction dutemps). Le terme AAA Et est appel drive propre et le terme gradEAAA vvvE est appel drive convective.REMARQUE : En prenant comme champ matriel les positions actuelles AAA (P,t) = xxxt(P,t), sa description dEuler estvidemment xxxtE = xxxt . On a donc xxxtEt = 000. Dautre part, gradExxxt = GGG car dddxxxtE = GGG dddxxxt . Lquation (2.24) conduit xxxt = vvvE . On retrouve bien que la vitesse dune particule est la drive particulaire de sa position actuelle.

En particulier, la drive particulaire du gradient lagrangien des positions actuelles FFF = gradL fff est :

FFF =FFFt =

(gradL fff )t = gradL

( ffft)= gradLvvv

On peut donc rcrire les relations (2.15) page 14 ainsi :FFF = gradEvvv FFF gradEvvv = FFF FFF1 (2.25)

2.8 Acclration dune particule

DFINITION : Lacclration dune particule pour un observateur R est la drive particulaire de savitesse pour cet observateur.

Quand la vitesse est dcrite par la mthode de Lagrange, en utilisant (2.23) page 15, on trouve la descriptionde Lagrange des acclrations :

L (xxx0,t) =vvvL (xxx0,t)

t =2 ffft2 (2.26)

Quand la vitesse est dcrite par la mthode dEuler, en utilisant (2.24) page 16, on trouve la descriptiondEuler des acclrations:

E (xxxt ,t) =vvvEt +gradE vvv vvvE (2.27)

En utilisant lidentit graduuu uuu = 12 grad(uuu uuu)+ (rotuuu)uuu uuu V3, on obtient une autre forme utile dela description dEuler des acclrations :

E(xxxt ,t) =vvvEt +

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gradE(vvv2)+(rotE vvv)vvvE (2.28)

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2.9. Outils danalyse du mouvement

Le lecteur pourra vrifier quon a bien les changement de description suivants :

E(xxxt ,t) = L( fff1(xxxt ,t),t) et L(xxx0,t) = E( fff (xxx0,t),t)

2.9 Outils danalyse du mouvement

2.9.1 Trajectoire dune particuleDFINITION : La trajectoire de la particule P pour un observateur R est lensemble des positions (pourcet observateur) occupes par cette particule au cours du temps.On sait de la cinmatique lmentaire, qu chaque instant, le vecteur vitesse actuelle dune particule pourun observateur R est tangent la trajectoire (pour cet observateur) au point de sa position actuelle xxxt .Si le mouvement est dcrit par la mthode de Lagrange, la description de Lagrange donne directement latrajectoire. En effet, lquation vectorielle xxxt = fff (xxx0,t) pour xxx0 constant et t ],+[ dfinit lensembledes positions actuelles de la particule identifie par xxx0, cest--dire la trajectoire de la particule xxx0.QUATIONS RELLES : Lorsquon a choisi un systme de coordonnes, lquation vectorielle des trajectoires setraduit par 3 quations relles qui sont les quations paramtriques des trajectoires :

xxxt = fff (xxx0,t)

x1t = f 1(x01,x02,x03,t)x2t = f 2(x01,x02,x03,t)x3t = f 3(x01,x02,x03,t)

(t est le paramtre ; x01, x02 et x03 identifient la particule)

Si le mouvement est dcrit par la mthode dEuler, la recherche des trajectoires revient rechercher ladescription de Lagrange du mouvement. Il suffit donc dintgrer lquation diffrentielle vectorielle (2.7)page 12.

2.9.2 Lignes de courant un instant t

DFINITION : On appelle lignes de courant linstant t pour un observateur R , les lignes de champdu champ des vitesses actuelles (pour cet observateur), cest--dire les courbes L qui sont tangentes auxvitesses actuelles, en chacun de leur point.

Les lignes de courant visualisent donc, par leur tangente, la direction des vecteurs vitesses un instant t. un autre instant t , elles sont gnralement diffrentes.

Si le mouvement est dcrit par la mthode dEuler, on connait le champ des vitesses actuelles vvvE(xxxt ,t)et on en cherche les lignes de champ L par la mthode qui suit.

La manire la plus gnrale de dcrire toute courbe L de lespace E 3 est den donner des quations pa-ramtriques, cest--dire de donner une fonction vectorielle ggg() qui dfinit le point courant M de L parlquation vectorielle xxxM = ggg().QUATIONS RELLES : Lorsquon a choisi un systme de coordonnes, la dfinition paramtrique de la courbe L estdonne par trois quations relles :

xxxM = ggg()

x1M = g1()

x2M = g2()

x3M = g3()

( est le paramtre ; x1M , x2M et x3M sont les coordonnes du point courant M)

La recherche de la fonction vectorielle ggg() se ramne donc la recherche des trois les fonctions relles g1, g2 et g3.Pour certaines courbes de lespace E3, il est possible de prendre comme paramtre lune des coordonnes (par exemple = x1M), la dfinition dune courbe se ramne alors deux quations. Cependant, puisque lon ne connat pas a prioriles particularits des lignes de courant recherches, il est prfrable dutiliser un paramtrage gnral.

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2. DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU

On sait de ltude des courbes paramtriques, que le vecteur dgdgdg()d est tangent la courbe L au point ggg().Il dcoule de la dfinition des lignes de courant quon recherche des courbes L de point courant xxxM = ggg()telles que la tangente en M L soit colinaire la vitesse vvvE(M,t) en M ( linstant t choisi). On cherchedonc la fonction vectorielle ggg() telle que :

vvvE(ggg(),t) dgdgdg()

d vvvE(ggg(),t)dgdgdg()

d = 000 (2.29)

La rsolution de lquation diffrentielle vectorielle (2.29), dinconnue ggg() et o t est une constante, donneles lignes de courant linstant t.

REMARQUE : Lcriture du paralllisme de deux vecteurs aaa et bbb sous la forme vectorielle aaabbb = 000 est une critureredondante. Si lon projette cette quation vectorielle sur une base, on obtient un systme de seulement 2 quationsrelles indpendantes 5. Lquation (2.29) est donc quivalente un systme de 2 quations diffrentielles relles (etnon 3). Il ny a donc que deux constantes dintgration C1 et C2. Les lignes de courant sont une famille de courbes deux paramtres C1 et C2.

Si le mouvement est dcrit par la mthode de Lagrange, on cherche la description dEuler des vitessessuivant la mthode donne en section 2.4 page 11 et on est ramen au problme prcdent.

DFINITIONS : Lensemble des lignes de courant sappuyant sur une courbe C donne engendre unesurface appele nappe de courant. Si la courbe C est ferme la surface engendre est appele tube decourant.

2.9.3 Ligne dmission un instant t

Soit N un point gomtrique fixe pour un observateur R . Chaque particule P a sa propre trajectoire. On nesintresse ici quaux particules P dont la trajectoire passe par N, cest--dire qui sont passes ou qui vontpasser par le point fixe choisi N.

DFINITION : On appelle ligne dmission de N linstant t pour un observateur R , lensemble despositions (pour cet observateur), un instant t choisi, des particules dont la trajectoire passe par N.Puisqu un instant t donn, il existe toujours une particule qui se trouve en N, la ligne dmission de N linstant t passe toujours par N.ILLUSTRATION : Imaginons que dans un mouvement de milieu continu, il existe au point N pinceau ponctuel quicolore les particules qui y passent. Si on prend une photographie du milieu continu linstant t, les particules coloresde la photographie dessinent la ligne dmission de N linstant t.

Si le mouvement est dcrit par la mthode de Lagrange, on note xxxN le vecteur position du point dmis-sion fixe N. Les particules dont la trajectoire passe par N sont les particules (cest--dire les xxx0) qui sontsolutions de :

xxxN = fff (xxx0,t1) (t1 est linstant o la particule xxx0 passe au point N) (2.30)En rsolvant en xxx0 lquation vectorielle (2.30), on trouve : xxx0 = fff1(xxxN ,t1). Les xxx0 trouvs sont les par-ticules dont la trajectoire passe par N (elles y passent linstant t1). On slectionne toutes ces particulesquand on fait varier le paramtre t1 dans lintervalle ],+ [.Lquation de la ligne dmission linstant t choisi est la position de ces particules cet instant. Cestdonc la courbe dfinie par lquation vectorielle paramtrique de paramtre t1 :

xxx = fff ( fff1(xxxN ,t1),t) ggg(t1)

o t1 ],+ [ et o t est une constante.

La fonction ggg(t1,xxxN ,t) = fff ( fff1(xxxN ,t1),t) est lquation paramtrique, de paramtre t1, de la courbe dmis-sion de N linstant t choisi.

5. Lune dentre elles est une combinaison linaire des deux autres.

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2.10. Mouvement stationnaire

QUATIONS RELLES : Lorquon a choisi un systme de coordonnes, lquation paramtrique vectorielle (de para-mtre t1) xxx = ggg(t1,xxxN ,t) de la ligne dmission de N linstant t choisi, se traduit par trois quations relles :

xxx = ggg(t1,xxxN ,t)

x1 = g1(t1,x1N ,x2N ,x

3N ,t)

x2 = g2(t1,x1N ,x2N ,x

3N ,t)

x3 = g3(t1,x1N ,x2N ,x

3N ,t)

o (x1,x2,x3) sont les coordonnes du point courant de la ligne dmission, (x1N ,x2N ,x3N) sont celles du point dmission(fixe), t est une constante et t1 est le paramtre.Si le mouvement est dcrit par la mthode dEuler, on cherche la description de Lagrange du mouvementet on est ramen au cas prcdent.

2.9.4 Dbits travers une surface

Soit S une surface gomtrique fixe (pour un observateur R ) orientable 6 et oriente 7 traverse par unmilieu continu en mouvement. On appelle n la normale unitaire en un point courant N de S .

DFINITION : On appelle dbit volumique travers la surface S fixe pour un observateur R , le flux duvecteur vitesse (pour cet observateur) travers la surface S :

qv(t) =S

vE(N,t) n(N) ds (2.31)

Lunit lgale de dbit volumique est le m3.s1.

DFINITION : On appelle dbit massique travers la surface S fixe pour un observateur R , le flux de laquantit de mouvement par unit de volume vvv (pour cet observateur) travers la surface S :

qm(t) =S

E(N,t)vE (N,t) n(N) dS (2.32)

o E est la description dEuler de la masse volumique du milieu continu. Lunit lgale est le kg.s1.

Noter que le signe dun dbit (massique ou volumique) dpend de lorientation choisie pour S .VOCABULAIRE : Le scalaire vvvE nnn est parfois appel vitesse dbitante travers la surface.Par ailleurs, dans la littrature scientifique, il rgne un certain flou dans lemploi du mot flux : en mathmatiques, leflux dun vecteur www travers une surface S est le scalaire dfini par lintgrale : =

S www nnn ds ; cest la dfinition qui

sera utilise dans ce cours. Chez certains auteurs, notamment les thermodynamiciens, le mot flux dsigne parfoislintgrande www nnn (un scalaire) ou parfois encore le vecteur www lui-mme.REMARQUE : Si la surface S nest pas fixe (mais reste indformable), on dfinit le dbit qui la traverse de la mmemanire, mais en prenant le flux de la vitesse relative du milieu continu par rapport S ; ce qui revient calculer ledbit travers une surface fixe mais avec les vitesses vues par un observateur R S li la surface indformable S .

2.10 Mouvement stationnaire

DFINITION : On dit quun mouvement est stationnaire ou permanent pour un observateur R , si les des-criptions dEuler (pour cet observateur) de toutes les grandeurs physiques sont indpendantes du temps:

AAA E (xxxt ,t)t = 0 la grandeur physique AAA observe et xxxt (2.33)

6. Cest--dire quon peut y dfinir une normale. Toutes les surfaces ne sont pas orientables ; par exemple, une bande de Mbiusnest pas orientable car elle na quune face.

7. On a choisi une face positive et une face ngative parmi les deux choix possibles.

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2. DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU

Si lon mesure une grandeur physique AAA (une vitesse par exemple) en un point dobservation fixe M, lamesure de la grandeur AAA (xxxM,t), pour les diffrentes particules qui passent en M au cours du temps, estconstante dans le temps : AAA (xxxM,t) = AAA (xxxM).En un autre point dobservation fixe M, la mesure de la grandeur physique AAA (xxxM ,t) est diffrente, maistoujours constante dans le temps.En particulier, en prenant comme champ matriel AAA (P,t) le champ des vitesses vvv(P,t), la stationnaritimplique : vvvEt = 000. On en dduit que, dans un mouvement stationnaire, les lignes de courant sont lesmmes tout instant.

De plus, puisque les trajectoires sont aussi des courbes tangentes au champ des vitesses actuelles, on endduit que, dans un mouvement stationnaire, les trajectoires sont confondues avec les lignes de courant.REMARQUES : En mcanique des milieux continus fluides (liquides et gaz), ltude des mouvements stationnaires estun cas particulier important : elle consiste tudier les coulements en rgime tabli (sil existe). Les coulements nonstationnaires sont aussi appels coulements transitoires ou rgimes transitoires.En prsence dcoulements fluides turbulents, le sens du mot stationnaire est rduit la stationnarit de la seulevitesse moyenne. Les fluctuations autour de la vitesse moyenne ne sont pas stationnaires.En dynamique des solides dformables (vibrations) et en acoustique, on donne souvent un sens diffrent ladjectif stationnaire : on parle de vibrations stationnaires . Dans un tel mouvement, la description dEuler des vitessesnest pas indpendante du temps, ce sont seulement lamplitude et la frquence de vibration des grandeurs qui sontconstantes dans le temps.Le sens du mot stationnaire peut donc varier donc suivant le contexte.

2.11 Changements dobservateur

NOTATION : On convient de surmonter dun les grandeurs physiques mesures avec un observateur R .Toutes les dfinitions des concepts dvelopps dans ce chapitre reposent sur la reprsentation des positionsdes particules P par un vecteur position xxx. Le vecteur position dune particule P est donc un vecteur diffrentpour chaque observateur : xxxP0 6= xxxP0 et xxxPt 6= xxxPt .

Il sensuit que les drives temporelles des vecteurs positions sont aussi diffrentes. Les vitesses et lesacclrations mesures par deux observateurs diffrents ne sont donc pas les mmes, ni en direction, ni enmodule : vvv(P,t) 6= vvv(P,t) et (P,t) 6= (P,t) 8.

En consquence, la fonction fff utilise dans la description de Lagrange du mouvement, qui relie des vecteurspositions diffrents, est donc une fonction diffrente pour les deux observateurs : fff 6= fff . De mme, lechamp des vitesses actuelles utilis dans la description dEuler du mouvement est diffrent pour les deuxobservateurs : vvvE 6= vvvE . Les trajectoires, lignes de courant et lignes dmission sont donc des courbes deforme diffrentes pour des observateurs diffrents.

EXEMPLE : Soit une particule P en mouvement pour un observateur R . Si lobservateur R est choisi tel que sonorigine est toujours confondue avec la particule P (on peut dire que lorigine de lobservateur R est lie la particuleP 9), la trajectoire de la particule P pour lobservateur R se rduit un point alors que la trajectoire de la mmeparticule pour lobservateur R est une courbe.

8. On sait crire les relations de changement dobservateur pour les vitesses et les acclrations. Ce sont des relations compliquesfaisant intervenir la fois la vitesse relative des origines, la vitesse de rotation relative des observateurs ainsi que leurs drivestemporelles, quil est inutile de dtailler ici (voir nimporte quel cours de cinmatique du point).

9. Pour prciser compltement le mouvement relatif des deux observateurs, il faudrait aussi prciser la vitesse de rotation relativeentre R et R

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2.12. En bref...

2.12 En bref...

Un champ matriel est une fonction AAA (P,t) qui associe une valeur de la grandeur AAA (scalaire, vectorielleou tensorielle) toute particule et tout instant. Suivant la nature (la dfinition) de la grandeur AAA , ellepeut changer ou non de valeur quand on change dobservateur. Ltude de ces changements est lobjet duchapitre suivant.

Les descriptions de Lagrange AAA L(xxx0,t) et dEuler AAA E(xxxt ,t) dun champ matriel AAA (P,t) sont quivalentes.Quand on considre le gradient de chacune de ces descriptions, on dfinit une version lagrangienne et duneversion eulrienne des oprateurs diffrentiels gradient, divergence, rotationnel et laplacien.

Le champ matriel des drives particulaires AAA (P,t) dune grandeur AAA peut tre dcrit par la mthode deLagrange ou celle dEuler.

Pour apprhender le mouvement dun milieu continu pour un observateur R , on peut analyser les trajec-toires des particules, les lignes de courant un instant t donn, les lignes dmission dun point donn uninstant t donn. Toutes ces courbes sont diffrentes pour un autre observateur.Les mouvements stationnaires pour un certain observateur ont la mme apparence chaque instant pourcet observateur. Dans le cas dune dfinition stricte de la stationnarit, les lignes de courant et les tra-jectoires sont confondues pour cet observateur. Un mouvement stationnaire pour un observateur ne lestgnralement pas pour un autre observateur.

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2. DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU

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Chapitre 3

Objectivit

3.1 Dfinitions et notations

Dans ce chapitre, on considre deux observateurs quelconques, nots R et R , a priori en mouvement relatifquelconque.

CONVENTIONS DE NOTATION : Dans la suite, on convient de surmonter dun les grandeurs vues parlobservateur R . Les vecteurs positions actuelles dune particule P(i) pour les deux observateurs sont notesrespectivement xxx(i)t et xxx

(i)t .

On a montr en section 1.5 page 4 quil existe une rotation, fonction du temps, appel tenseur de change-ment dobservateur de R R linstant t, not QQQtR R ou plus simplement QQQt tel que, pour tout couple departicules (P(1),P(2)) et tout instant, on a la relation suivante (voir (1.7) page 5) :

xxx(1)t xxx(2)t =QQQt (xxx(1)t xxx(2)t ) t P(1) P(2) (3.1)

Soit un vecteur matriel dfini par le couple de particules {P(1),P(2)}. un instant t, lobservateur R lereprsente par le vecteur xxx(2)t xxx(1)t et lobservateur R le reprsente par le vecteur xxx(2)t xxx(1)t . On criradonc :

xxx(2)t xxx(1)t =QQQt (xxx(2)t xxx(1)t ) t {P(1),P(2)} (3.2)

ou encore, pour un changement arbitraire de particule au voisinage dune particule P :

dddxxxt =QQQt dddxxxt (3.3)

3.2 Objectivit des grandeurs physiques scalairesDFINITION : Soit une grandeur physique scalaire A dont la dfinition est universelle. Lapplication decette dfinition avec lobservateur R conduit au champ matriel scalaire A (P,t) et lapplication de cettemme dfinition avec lobservateur R conduit au champ matriel scalaire A (P,t). On dit que la grandeurscalaire A est objective si :

A (P,t) = A (P,t) P t (3.4)

Autrement dit, lapplication de la dfinition universelle de la grandeur scalaire A conduit une valeuractuelle identique pour tous les observateurs.

Il existe des grandeurs physiques scalaires objectives et dautres qui ne le sont pas.

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3. OBJECTIVIT

EXEMPLES : La norme du vecteur vitesse dune particule nest pas une grandeur physique scalaire objective carvvv(P,t) 6= vvv(P,t). Il en est de mme pour lnergie cintique massique de cette particule ou la norme de son accl-ration.En revanche, la masse volumique, la pression ou la temprature dune particule sont des grandeurs scalaires objectives.

3.3 Objectivit des grandeurs physiques vectoriellesDFINITION : Soit une grandeur physique vectorielle AAA dont la dfinition est universelle. Lapplication decette dfinition avec lobservateur R conduit au champ matriel vectoriel AAA (P,t) et lapplication de cettemme dfinition avec lobservateur R conduit au champ matriel vectoriel AAA (P,t). On dit que la grandeurvectorielle AAA est objective si :

AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t ) {P(2),P(1}

R

= AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t ) {P(2),P(1}R

P P(1) P(2) t (3.5)

Autrement dit, pour une grandeur vectorielle objective, le produit scalaire de la grandeur vectorielleactuelle AAA (P,t) avec tout vecteur matriel actuel {P(1),P(2)} 1 a la mme valeur, tout instant t, pour tousles observateurs (cest donc une grandeur scalaire objective). On peut exprimer cette dfinition de manireimage en disant que la valeur actuelle des champs matriels vectoriels AAA (P,t) et AAA (P,t) ont la mmeposition par rapport la position actuelle de la matire du milieu continu pour tous les observateurs.

ILLUSTRATION : Supposons que les deux observateurs R et R dessinent chacun simultanment, un instant t quel-conque, leur champ matriel vectoriel respectif AAA (PPP,t) et AAA (P,t) sur les positions actuelles des particules. Quand lagrandeur vectorielle est objective, les deux dessins sont superposables.De la dfinition (3.5), pour une grandeur AAA vectorielle objective, il vient :

AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t ) = AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t ) P P(1) P(2) tAAA (P,t) QQQt (xxx(1)t xxx(2)t ) = AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t ) P P(1) P(2) t

AAA (P,t) QQQt = AAA (P,t) P t

On en dduit la formule de changement dobservateur de toute grandeur vectorielle objective :

AAA (P,t) = AAA (P,t) QQQTt =QQQt AAA (P,t)

Inversement,

AAA (P,t) = AAA (P,t) QQQTt AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t ) = AAA (P,t) QQQTt (xxx(1)t xxx(2)t ) = AAA (P,t) (xxx(1)t xxx(2)t )

On en dduit une caractrisation des grandeurs vectorielles objectives :THORME : Une grandeur vectorielle AAA est objective si et seulement si sa formule de changementdobservateur est :

AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t) = RQQQt (AAA (P,t)) (rotation par QQQt du vecteur AAA (P,t)) (3.6)

Les proprits des tenseurs orthogonaux montrent que si AAA est une grandeur vectorielle, alors sa norme estune grandeur scalaire objective (cest--dire : AAA = AAA ).

1. ou plus prcisment : lapplication de cette dfinition par les observateurs.

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3.4. Objectivit des grandeurs physiques tensorielles du second ordre

3.4 Objectivit des grandeurs physiques tensorielles du second ordreDFINITION : Soit AAA une grandeur physique tensorielle dordre 2 dont la dfinition est universelle. Lap-plication de cette dfinition avec lobservateur R conduit au champ matriel tensoriel AAA (P,t) et lapplica-tion de cette mme dfinition avec lobservateur R conduit au champ matriel tensoriel AAA (P,t). On dit quela grandeur tensorielle dordre 2 AAA est objective si :

(xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) = (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) P P(i) t (3.7)

Autrement dit, laction de AAA sur tout couple de vecteurs matriels est un scalaire objectif.Comme prcdemment, on dduit de (3.7) la formule de changement dobservateur de toute grandeurtensorielle du second ordre objective par la suite dquivalences suivantes (toutes valables P P(i) t) :

(xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) = (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t )

(QQQt (xxx(1)t xxx(2)t )) AAA (P,t) (QQQt (xxx(3)t xxx(4)t ))= (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) (xxx(1)t xxx(2)t ) QQQTt AAA (P,t) QQQt (xxx(3)t xxx(4)t ) = (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) QQQTt AAA (P,t) QQQt = AAA (P,t) AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t) QQQTt

On en dduit une caractrisation des grandeurs tensorielles du second ordre objectives :THORME : Une grandeur tensorielle du second ordre AAA est objective si et seulement si sa formule dechangement dobservateur est :

AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t) QQQTt = RQQQt (AAA (P,t)) (rotation par QQQt du tenseur AAA (P,t)) (3.8)

Lquation (3.8) et les proprits algbriques des tenseurs orthogonaux permettent daffirmer que, si lagrandeur AAA est une grandeur tensorielle du second ordre objective, on a les rsultats suivants :

les valeurs propres de AAA (P,t) et de AAA (P,t) sont les mmes, ce sont donc des grandeurs scalairesobjectives ; il en est de mme pour les invariants ;

les vecteurs propres unitaires de AAA (P,t) et de AAA (P,t) sont lis par la relation uuu(P,t) = QQQt uuu(P,t), cesont donc des grandeurs vectorielles objectives;

on reprsente plus efficacement les directions propres non orientes par des tenseurs du second ordreuniaxiaux unitaires (UUU = uuuuuu et UUU = uuu uuu) ; on montre facilement que la relation de changementdobservateur est : UUU(P,t) = QQQt UUU(P,t) QQQTt , cest--dire que les tenseurs uniaxiaux dfinissant lesdirections propres sont des grandeurs tensorielles du second ordre objectives (l orientation desdirections propres par rapport la position actuelle de la matire du milieu continu est la mmepour tous les observateurs tout instant).

partir de la dfinition (3.7), par la suite des quivalences suivantes (toutes valables P P(i) t), on vadonner une dfinition quivalente de lobjectivit dune grandeur tensorielle du second ordre :

(xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) = (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t )

(QQQt (xxx(1)t xxx(2)t )) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) = (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) (xxx(1)t xxx(2)t ) QQQTt AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) = (xxx(1)t xxx(2)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) QQQTt AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) = AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t ) AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t )

vvv

=QQQt (AAA (P,t) (xxx(3)t xxx(4)t )

vvv

)

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3. OBJECTIVIT

On peut donc poser la dfinition quivalente suivante pour lobjectivit des grandeurs tensorielles du secondordre :

DFINITION QUIVALENTE : Un grandeur tensorielle du second ordre est objective si et seulement si sonproduit contract simple avec tout vecteur matriel est une grandeur vectorielle objective.

3.5 Objectivit des grandeurs physiques tensorielles dordre pLa dfinition quivalente de lobjectivit des grandeurs tensorielles dordre 2 donne dans la fin de la sec-tion prcdente permet de gnraliser par rcurrence la dfinition de lobjectivit des grandeurs tensoriellesde tous ordres :

DFINITION : Une grandeur tensorielle dordre p est une grandeur objective si son produit contractsimple avec tout vecteur matriel est une grandeur tensorielle dordre p1 objective :

AAA(p) est objectif AAA (p) (xxx(1)t xxx(2)t ) est objectif P(1);P(2) t (3.9)

En remarquant que la formule de changement dobservateurs pour un tenseur du second ordre AAA (2) peut sercrire avec le produit tensoriel de Kronecker 2 :

AAA(2)(P,t) =QQQTt AAA (2)(P,t) QQQt AAA

(2)(P,t) = (QQQt QQQt) : AAA (2)(P,t)

on montre facilement que la formule de changement dobservateur pour les grandeurs tensorielles objec-tives dordre p scrit :

AAA(p)

(P,t) = (QQQt QQQt p termes

)pAAA (p)(P,t) =QQQpt p AAA (p)(P,t) = RQQQt (AAA (p)(P,t)) (3.10)

3.6 Exemples de changement dobservateur

3.6.1 Changement dobservateur du champ FFF(P,t)

Le gradient lagrangien des positions actuelles a t dfini en (2.10) page 14 :dddxxxt = gradL fff dddx0 =FFF dddx0 (notation introduite en (2.11) page 14)

La relation entre les reprsentations actuelles dun vecteur matriel par deux observateurs R et R a tdonne en (3.3) page 23 :

dddxxxt =QQQt dxdxdxtEn particulier, linstant t = t0, on a :

dddxxx0 =QQQ0 dxdxdx0 (3.11)o QQQ0 est le tenseur de changement dobservateur linstant t0.La dfinition universelle du gradient lagrangien des positions actuelles, pour un observateur R scrit :

dddxxxt = FFF dddxxx0 QQQt dxdxdxt = FFF QQQ0 dxdxdx0 dxdxdxt =QQQTt FFF QQQ0 FFF

dxdxdx0

La formule de changement dobservateur pour le gradient lagrangien des positions actuelles est donc :

FFF =QQQTt FFF QQQ0 FFF =QQQt FFF QQQT0 (3.12)2. Voir la dfinition dans lannexe B.1 du cours Algbre et analyse tensorielle pour ltude des milieux continus, du mme auteur.

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3.6. Exemples de changement dobservateur

Cette formule est diffrente de la formule de changement dobservateur dune grandeur tensorielle dusecond ordre objective donne en (3.8) page 25.

Le gradient lagrangien des positions actuelles, traditionnellement not FFF, est un champ de grandeurstensorielles du second ordre non objectif.

REMARQUE : Le gradient eulrien des positions actuelles est dfini par dddxxxt = gradExxxt dddxxxt , cest--dire gradExxxt =GGG.Cest un champ de tenseurs (uniforme) qui est videmment objectif.

3.6.2 Changement dobservateur des oprateurs diffrentiels eulriens dune gran-deur objective

Gradient eulrien dun champ scalaire objectif

Soit A une grandeur scalaire objective . Lapplication de sa dfinition avec un observateur R conduit auchamp matriel A (P,t) et cette mme dfinition avec un observateur R conduit au champ matriel A (P,t).Lobjectivit de cette grandeur implique que la formule de changement dobservateur est (voir (3.4) page23) :

A (P,t) = A (P,t) AE(xxxt ,t) = AE(xxxt ,t)

La dfinition du gradient eulrien (vecteur) pour lobservateur R est :

dA = gradEA dddxxxtdA = gradEA dddxxxt (objectivit de A )dA = gradEA QQQTt dddxxxt (daprs (3.3) page 23)

gradE A dddxxxt = gradEA QQQTt dddxxxt (dfinition du gradient eulrien pour lobservateur R )gradE A = gradEA QQQTt (lgalit prcdente est vraie dddxxxt )gradE A =QQQt gradEA (gradEA est un vecteur)

ce qui est la formule de changement dobservateurs pour les grandeurs vectorielles objectives (voir (3.6)page 24).

Le gradient eulrien dun champ de grandeurs scalaires objectives est un champ de grandeurs vectoriellesobjectif.

Gradient eulrien dun champ vectoriel objectif

Soit AAA une grandeur vectorielle objective. Lapplication de sa dfinition avec un observateur R conduit auchamp matriel vectoriel AAA (P,t) et cette mme dfinition avec un observateur R conduit au champ matrielvectoriel AAA (P,t). Lobjectivit de cette grandeur implique que la formule de changement dobservateur est(voir (3.6) page 24) :

AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t) AAA E(xxxt ,t) =QQQt AAA E(xxxt ,t)

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3. OBJECTIVIT

La dfinition du gradient eulrien (tenseur dordre 2) pour lobservateur R est :

dddAAA = gradEAAA dddxxxtQQQTt dddAAA = gradEAAA dddxxxt (objectivit de AAA )QQQTt dddAAA = gradEAAA QQQTt dddxxxt (daprs (3.3) page 23)

QQQTt gradEAAA dddxxxt = gradEAAA QQQTt dddxxxt (dfinition du gradient eulrien pour lobservateur R )gradEAAA dddxxxt =QQQt gradEAAA QQQTt dddxxxt

gradEAAA =QQQt gradEAAA QQQTt (lgalit prcdente est vraie dddxxxt )

ce qui est la formule de changement dobservateurs pour les grandeurs tensorielles dordre 2 objectives(voir (3.8) page 25).Le gradient eulrien dun champ de grandeurs vectorielles objectives est un champ de grandeurs tenso-rielles dordre 2 objectif.

Gradient eulrien dun champ tensoriel du second ordre objectif

Soit AAA une grandeur tensorielle objective du second ordre . Lapplication de sa dfinition avec un observa-teur R conduit au champ matriel tensoriel dordre 2 AAA (P,t) et cette mme dfinition avec un observateurR conduit au champ matriel tensoriel dordre 2 AAA (P,t). Lobjectivit de cette grandeur implique que laformule de changement dobservateur est (voir (3.8) page 25):

AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t) QQQTt AAA E(xxxt ,t) =QQQt AAA E(xxxt ,t) QQQTtLa dfinition du gradient eulrien (tenseur dordre 3) pour lobservateur R est :

dddAAA = gradEAAA dddxxxtQQQTt dddAAA QQQt = gradEAAA dddxxxt (objectivit de AAA )QQQTt dddAAA QQQt = gradEAAA QQQTt dddxxxt (daprs (3.3) page 23)

QQQTt (gradEAAA dddxxxt) QQQt = gradEAAA QQQTt dddxxxt (dfinition du gradient eulrien pour lobservateur R )gradEAAA dddxxxt =QQQt (gradEAAA QQQt dddxxxt) QQQTtgradEAAA dddxxxt = [(QQQt QQQt QQQt)3gradEAAA ] dddxxxt ( est le produit tensoriel de Kronecker)

gradEAAA = (QQQt QQQt QQQt)3gradEAAA (lgalit prcdente est vraie dddxxxt )

ce qui est la formule de changement dobservateurs pour les grandeurs tensorielles dordre 3 objectives(voir (3.10) page 26).Le gradient eulrien dun champ de grandeurs tensorielles dordre 2 objectives est un champ de grandeurstensorielles dordre 3 objectif.On gnralise sans difficult aux champs de tenseurs de grandeurs objectives dordre suprieur.

Autres oprateurs eulriens sur des champs de grandeurs objectives

Les versions eulriennes des oprateurs diffrentiels divergence, rotationnel et laplacien ont t dfinis en(2.17) page 15. partir des formules de changement dobservateur du gradient eulrien dune grandeurobjective, on montre facilement que :Lapplication des oprateurs diffrentiels eulriens des champs matriels objectifs engendre des champsmatriels objectifs.

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3.6. Exemples de changement dobservateur

EXEMPLE : Si AAA est une grandeur vectorielle objective, on agradEAAA =QQQt gradEAAA QQQTt gradEAAA : GGG = (QQQt gradEAAA QQQTt ) : GGG = gradEAAA : GGG divEAAA = divEAAA

On montre de mme que si AAA est une grandeur vectorielle objective, on a :rotEAAA = rotEAAA et EAAA =EAAA

Oprateurs eulriens sur des champs de grandeurs non objectives

La formule de changement dobservateur des grandeurs non objectives tant spcifique chaque grandeur,il faut donc tablir une formule de changement dobservateur au cas par cas.

Toutefois, il se peut que lapplication doprateurs eulriens des grandeurs non objectives conduise unegrandeur objective. Par exemple, on verra plus loin (voir (5.28) page 66) que la divergence eulrienne duchamp des vitesses (champ vectoriel non objectif) est nanmoins une grandeur objective.

3.6.3 Changement dobservateur des oprateurs diffrentiels lagrangiens

Cas dun champ scalaire objectif

Soit A une grandeur scalaire objective . Lapplication de sa dfinition avec un observateur R conduit auchamp matriel scalaire A (P,t) et cette mme dfinition avec un observateur R conduit au champ matrielscalaire A (P,t). Lobjectivit de cette grandeur implique que la formule de changement dobservateur est(voir (3.4) page 23) :

A (P,t) = A (P,t) AL(xxxt ,t) = AL(xxxt ,t)La dfinition du gradient lagrangien (vecteur) pour lobservateur R est :

dA = gradLA dddxxx0dA = gradLA dddxxx0 (objectivit de A )dA = gradLA QQQT0 dddxxx0 (daprs (3.11) page 26)

gradLA dddxxx0 = gradLA QQQT0 dddxxx0 (dfinition du gradient lagrangien pour lobservateur R )gradLA = gradLA QQQT0 (lgalit prcdente est vraie dddxxx0)gradLA =QQQ0 gradLA (gradLA est un vecteur)

ce qui est diffrent de la formule de changement dobservateurs pour les grandeurs vectorielles objectives(voir (3.6) page 24).Le gradient lagrangien dun champ de grandeurs scalaires objectives est un champ de grandeurs vecto-rielles non objectif.

Cas dun champ vectoriel objectif

Soit AAA une grandeur vectorielle objective. Lapplication de sa dfinition avec un observateur R conduit auchamp matriel vectoriel AAA (P,t) et cette mme dfinition avec un observateur R conduit au champ matrielvectoriel AAA (P,t). Lobjectivit de cette grandeur implique que la formule de changement dobservateur est(voir (3.6) page 24) :

AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t) AAA L(xxxt ,t) =QQQt AAA L(xxxt ,t)

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3. OBJECTIVIT

La dfinition du gradient lagrangien (tenseur dordre 2) pour lobservateur R est :

dddAAA = gradLAAA dddxxx0QQQTt dddAAA = gradLAAA dddxxx0 (objectivit de AAA )QQQTt dddAAA = gradLAAA QQQT0 dddxxx0 (daprs (3.11) page 26)

QQQTt gradLAAA dddxxx0 = gradLAAA QQQT0 dddxxx0 (dfinition du gradient eulrien pour lobservateur R )gradLAAA dddxxx0 =QQQt gradLAAA QQQT0 dddxxx0

gradLAAA =QQQt gradLAAA QQQT0 (lgalit prcdente est vraie dddxxx0)

ce qui nest pas la formule de changement dobservateurs pour les grandeurs tensorielles dordre 2 objec-tives (voir (3.10) page 26).Le gradient lagrangien dun champ de grandeurs vectorielles objectives est un champ de grandeurs tenso-rielles dordre 2 non objectif.Dune manire gnrale, le gradient lagrangien dun champ matriel de grandeurs objectives nest pas unchamp matriel de grandeurs objectives. Ceci provient du fait que la formule de changement dobservateurdune grandeur objective scrit avec le tenseur QQQt alors que la formule de changement dobservateur desvariations arbitraires de la variable xxx0 scrit : dddxxx0 =QQQ0 dddxxx0.Il sen suit que lapplication des oprateurs diffrentiels lagrangiens des champs matriels objectifsengendre des champs matriels non objectifs.EXEMPLE : On a donn en (2.18) page 15 lexpression de la divergence lagrangienne dun champ matriel pourun observateur quelconque R . Si le champ matriel AAA est une grandeur vectorielle objective, sa divergence scrit :divLAAA = gradEAAA : FFFT . Pour un observateur R , elle scrit :

divLAAA = gradEAAA : FFFT= (QQQt gradEAAA QQQTt ) : (QQQt FFF QQQT0 )T = (QQQt gradEAAA QQQTt ) : (QQQ0 FFFT QQQTt ) 6= gradEAAA : FFFT

3.6.4 Changement dobservateur de la drive particulaire dune grandeur objec-tive

La dfinition (universelle) de la drive particulaire dun champ matriel AAA (P,t) a t donne en (2.22)page 15 :

AAA =tAAA (P,t)

Drive particulaire dune grandeur scalaire objective

Soit A (P,t) un champ matriel dune grandeur scalaire objective. Sa formule de changement dobservateurest donc : A (P,t) = A (P,t).

Lapplication de la dfinition universelle de la drive particulaire pour un observateur R scrit :

A =At =

At =

A

ce qui est la formule de changement dobservateur dune grandeur scalaire objective.La drive particulaire dun champ matriel scalaire objectif est un champ scalaire objectif.

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3.7. En bref ...

Drive particulaire dune grandeur vectorielle objective

La formule de changement dobservateur dune grandeur vectorielle objective est : AAA (P,t) =QQQt AAA (P,t).Lapplication de la dfinition universelle de la drive particulaire pour un observateur R scrit :

AAA =AAAt =

(QQQt AAA )t =

ddt QQQt AAA +QQQt

AAAt =

ddt QQQt AAA +QQQt

AAA 6=QQQt AAA

La drive particulaire dun champ matriel vectoriel objectif est un champ vectoriel non objectif.Il en est de mme pour la drive particulaire de tout champ matriel non scalaire, car la formule dechangement dobservateur contient QQQt et la relation entre les drives particulaires contient ncessairementdes ddt QQQt .

3.7 En bref ...

Lobjectivit est une proprit des grandeurs physiques.Une grandeur physique scalaire A est objective si lapplication de la dfinition (universelle) de cette gran-deur pour tous les observateurs donne le mme scalaire. Sa formule de changement dobservateur est:A = A .

Si on note QQQt le tenseur de changement dobservateur (une rotation) entre deux observateurs R et R : une grandeur physique AAA vectorielle est objective si et seulement si sa formule de changement dob-

servateur est : AAA =QQQt AAA = RQQQt (AAA ). une grandeur physique AAA tensorielle dordre 2 est objective si et seulement si sa formule de change-

ment dobservateur est : AAA =QQQt AAA QQQTt = RQQQt (AAA ). dune manire gnrale, une grandeur tensorielle dordre p est objective si AAA = RQQQt (AAA ).

On a donn quelques exemples de champs de grandeurs objectives et non objectives. Dune manire g-nrale, les oprateurs eulriens appliqus des champs de grandeurs objectives engendrent des champsobjectifs. Il se peut que les oprateurs eulriens appliqus des champs de grandeurs non objectifs en-gendrent des champs objectifs. En revanche, les oprateurs lagrangiens appliqus des champs objectifsnengendrent jamais de champs objectifs.Seules les drives particulaires de champs scalaires sont des champs scalaires objectifs.

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Chapitre 4

Dformation dun milieu continu

4.1 Introduction

Un solide, tel quil est dfini en mcanique gnrale, est un milieu continu rput indformable, cest--direque la distance entre tout couple de particules est constante dans le temps. Pour analyser la dformation un instant t dans un mouvement de milieu continu a priori dformable, il faudrait comparer les distancesactuelles entre tout couple de particules avec les distances de ces mmes couples un instant t0 de rfrencearbitrairement choisi. linstant t0 le milieu continu est donc dclar non dform !

REMARQUE : Le choix dun instant de rfrence est arbitraire mais important car la valeur de la grandeur tensorielledformation a