Probabilites et statistique

Christophe GUYEUXguyeux@iut-bm.univ-fcomte.fr

28 aout 2007

Table des matieres

I Probabilit es 6

1 Elements d’analyse combinatoire 71.1 Quelques rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 La factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Denombrement : les permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Permutation sans repetition d’objets discernables . . . . . . . 101.2.2 Permutation avec repetition d’objets discernables . . . . . . . 11

1.3 Denombrement : les arrangements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Arrangements sans repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Arrangements avec repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Denombrement : les combinaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1 Combinaisons et arrangements. . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Combinaison sans repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Combinaison avec repetition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Proprietes des arrangements et des combinaisons. . . . . . . . . . . 161.5.1 Valeurs remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2 Formules remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Pascal et Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 Le triangle de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2 Le binome de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Probabilit es 232.1 Notions d’experience aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Vocabulaire des evenements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 L’ensemble des parties deΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Composition d’evenements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Definition d’une probabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

2.3.2 Proprietes d’une probabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3 Equiprobabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Probabilites conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Proprietes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Evenements independants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.2 Formule des probabilites totales. . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Les variables aleatoires discretes 373.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Loi de probabilite d’une vad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Caracterisation d’une variable aleatoire discrete . . . . . . . . 413.1.3 Moyenne d’une fonction quelconque de Y, g(Y). . . . . . . . 48

3.2 Quelques lois de probabilite de vad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1 Loi de bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 Loi hypergeometrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.4 Loi de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Variables aleatoires continues 654.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 Densite de probabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.2 Moyenne et variance d’une variable aleatoire continue . . . . 674.1.3 Fonction de repartition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.1.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Quelques lois de probabilite de variables aleatoirescontinues. . . . . 734.2.1 Loi uniforme ou rectangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.2 Loi de Laplace ou exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.3 La loi normale (ou de Laplace-Gauss). . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Theoreme central limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.2 Correction pour la continuite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Lois de variables aleatoires multivaries. . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4.2 Variables aleatoires multivariees. . . . . . . . . . . . . . . . 864.4.3 Densite d’une variable aleatoire multivariee discrete . . . . . 864.4.4 Lois marginales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4.5 Independance de variables aleatoires. . . . . . . . . . . . . . 90

2

4.4.6 Covariance et correlation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4.7 Esperance et variance d’une somme de variables aleatoires . . 93

II Statistiques 96

5 Statistiques descriptives 975.1 Population ou echantillon ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1 La statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.1.2 Classification des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.1.3 Echantillon aleatoire simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Description numerique d’un EAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.1 Un premier exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.2 Representation graphique simple. . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.3 Descriptions numeriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.4 Le cas particulier des variables continues. . . . . . . . . . . 1055.2.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Description graphique d’un EAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.1 Le diagramme en tiges et feuilles. . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.2 Le diagramme en boıte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.4 Series statistiques a deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4.1 Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4.2 Representation d’une serie statistique double. . . . . . . . . 1135.4.3 Valeurs remarquables d’une serie statistique double . . . . . . 1145.4.4 Ajustements affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.5 Autres types d’ajustements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Echantillonnage 1226.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2 Echantillon aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2.1 Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Lois echantillonnales deX etS2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3.1 Resultat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4 Echantillon tire d’une loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4.1 Loi normale pour la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4.2 Loi du khi-deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.4.3 Loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5 Generalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5.1 Le theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5.2 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3

6.5.3 Distribution d’echantillonnage des pourcentages. . . . . . . 1386.5.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7 Estimation 1427.1 Estimateur et estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.2 Qualites d’un estimateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Intervalles de confiance lorsqueX → N(µ, σ2 . . . . . . . . . . . . . 148

7.3.1 Intervalle de confiance pourµ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.3.2 Intervalle de confiance pourσ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.4 Intervalle de confiance pour une proportionπ . . . . . . . . . . . . . 1527.5 Taille de l’echantillon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

III Annexes 1597.7 Annales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.7.1 Partiel du 26 mars 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 Les lois statistiques 1698.1 Loi normale centree reduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.1.1 Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.1.2 Caracteristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.2 Loi du khi-deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.2.1 Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.2.2 Caracteristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.3 Loi de Student. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.3.1 Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.3.2 Caracteristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9 Tables statistiques 1759.0.3 Table de la loi normale centree reduite. . . . . . . . . . . . . 1759.0.4 Table de la loi du khi-deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.0.5 Table de la loi de Student. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10 Programme 18110.1 Informations generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.2 Objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3 Competences minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.4 Contenu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.5 Prolongements possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18210.6 Indications de mise en oeuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4

11 Sources 18311.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311.2 Sites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Index 183

5

Premiere partie

Probabilit es

6

Chapitre 1

Elements d’analyse combinatoire

1.1 Quelques rappels

1.1.1 La factorielle

DEFINITION 1. Factorielle n, note n !, est le nombre egal a– 0 ! = 1,– n ! = 1*2*3*...*(n-1)*n. ♦

EXEMPLE 1. 4 ! = 1*2*3*4 = 24.

EXEMPLE 2. 6 ! = 1*2*3*4*5*6 = 720.

REMARQUE 1. On peut encore definir ce nombre par recurrence :– 0 ! = 1,– n ! = n*(n-1) !.

REMARQUE 2. (2n) ! = 1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2n-1)*(2n), ce qui n’est pas egala 2 n !

Exercice 1. Calculez 7 !

7

Exercice 2. Exprimez simplement (n+1) !-n !

Exercice 3. Exprimez simplement le produit des nombres pairs jusqu’a 2n, et le pro-duit des nombres impairs jusqu’a 2n+1.

1.1.2 Les ensembles

Soit E un ensemble, et A et B deux parties de E (c’est-a-dire deux sous-ensemblesde E.)

E

A

B

FIG. 1.1 – Parties d’un ensemble

DEFINITION 2 (CARDINAL ). On appellecardinald’un ensemble son nombre d’elements.♦

NOTATION : On notecard(E) le cardinal de l’ensemble E.

Reunion d’ensembles

DEFINITION 3 (REUNION). On noteA ∪ B l’ensemble, appelereunion de A et B,constitue des elements appartenant a Aou a B. ♦

8

E

A

B

A U B

FIG. 1.2 – Reunion d’ensembles

Intersection d’ensembles

DEFINITION 4 (INTERSECTION). On noteA ∩ B l’ensemble, appeleintersection deA et B, constitue des elements appartenant a Aet a B. ♦

E

A

B

FIG. 1.3 – Intersection d’ensembles

Relation entre cardinalites

PROPRIETE I : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)

Ensemble complementaire

DEFINITION 5 (COMPLEMENTAIRE). On noteCAE l’ensemble, appelecomplementaire

de A dans E, constitue des elements appartenant a E, mais pas a A. ♦

9

NOTATION : On note encoreA quand il n’y a pas d’ambiguite.

Exercice 4. On considere les ensemblesA = 1; 2; 3; 4; 5; 6, B = 1; 3; 4; 5, etC = 4.Calculez toutes les unions, et toutes les intersections possibles. Quels sont les complementairesdeB, C dansA ?

Exercice 5. On se place sur l’ensembleN des entiers naturels.

1. Quel est le complementaire de l’ensemble des entiers pairs ? des entiers im-pairs ? de l’ensemble0; 1; 2?

2. Calculez toutes les reunions et les intersections possibles des ensembles precedemmentdefinis.

Exercice 6. On se place surR, et on noteA = [0; 1], B = R+, C = [−5, 5], D = 0etE = R

∗.

1. Quel est le complementaire deA, B, C,D etE ?

2. Calculez toutes les reunions et les intersections possibles des ensembles precedemmentdefinis.

1.2 Denombrement : les permutations

1.2.1 Permutation sans repetition d’objets discernables

Introduction

Comme exemple d’introduction, considerons le nombre de dispositions de six ob-jets discernables dans six cases consecutives numerotees avec un et un seul objet parcase.

Chacun des objets peut etre place dans la premiere case, ce qui donne six possibi-lites d’occuper la premiere place.

Une fois la premiere place occupee par l’un des objets :

10

– il reste encore cinq candidats pour la deuxieme place,– la deuxieme place etant attribuee, il reste seulement quatre candidats pour la

troisieme place,– etc.– pour l’avant-derniere place, il ne reste plus que deux objets,– une fois l’un des deux place, la derniere place doit etreoccupee par le dernier

objet.Il y a ainsi 6*5*4*3*2*1 ou 6 ! = 720 possibilites de disposersix objets discer-

nables.

Generalisation

Disposer des objets d’un ensemble E de cardinal n, dans n cases avec un et un seulobjet par case, revient a ordonner les elements de E.

Il est commode de representer un tel ordonancement par un n-uplet (ou n-liste)d’elements de E :(x1, x2, . . . , xn), les parentheses etant la pour signaler que l’ordre ade l’importance.

(x1, x2, . . . , xn) est encore appelee une permutation des elements de E.

PROPRIETE II : Il y a n ! permutations (sans repetition) de n elements.

PREUVE En effet, pour former un n-uplet d’elements de E :– nous devons choisir un element de E pour la premiere place du n-uplet (il y a

n possibilites),– il y a n-1 choix possibles d’un element de E pour la deuxieme place,– n - 2 pour la troisieme,– etc.– il n’y a plus qu’un seul choix d’element pour la derniereplace.

Donc au total n(n-1)(n-2) . . . *2*1 permutations. (Cette propriete se demontre ri-goureusement, par recurrence sur n.)

1.2.2 Permutation avec repetition d’objets discernables

Presentation

Pour determiner le nombre des dispositions possibles d’objets de plusieurs classeset mutuellement indiscernables dans chaque classe, il est utile de considerer le nombrede dispositions possibles de ces objets en les supposant tous discernables, et ensuite de

11

trouver combien de ces dispositions sont indiscernables.

Le nombre des dispositions possibles de ces objets est egalau nombre de dispo-sitions possibles des objets consideres comme discernables divise par le nombre desdispositions indiscernables.

Exemple

Par exemple, si nous devons determiner le nombre total de dispositions d’ob-jets dont deux sont d’une premiere classe, trois d’une deuxieme classe et cinq d’unetroisieme classe, alors nous calculons le nombre total de dispositions de ces objetsconsideres comme indiscernables, ce qui donne (2 + 3 + 5) !,soit 3 628 800 disposi-tions possibles.

Mais certaines dispositions restent inchangees lorsque les objets indiscernablesd’une meme classe sont echanges mutuellement, et il y a 2 !*3 !*5 ! soit 1 440 faconsde permuter les objets de chacune de ces classes.

Nous obtenons au total 3 628 800/1 440 = 2 520 dispositions differentes. Il s’agitaussi du nombre de permutations avec repetition de 10 el´ements avec 2, 3 et 5 repetitions.

Generalisation

PROPRIETE III : Le nombre de permutations den elements, repartis dansk classesdont

– n1 sont de classe 1,– n2 sont de classe 2,– . . .– nk sont de classek,

(avecn =∑k

i=1 ni) indiscernables dans chaque classe, ou le nombre de permuta-tions de n elements avecn1, n2, . . . , nk repetitions, est egal a

n!

n1!n2! . . . nk!

12

1.3 Denombrement : les arrangements

1.3.1 Arrangements sans repetition

Presentation

Nous disposons de n objets discernables et nous voulons en placer k, en tenantcompte de l’ordre, dans k cases numerotees de 1 a k avec un et un seul objet par case.

Le nombre de dispositions est alors egal au nombre de k-listes distinctes formees apartir de ces objets.

Au lieu de constituer un n-uplet, a partir de n objets discernables (k 6), nousformons ici des k-uplets(x1, x2, . . . , xk) a partir de ces n objets tels que pouri 6= j,on aitxi 6= xj .

DEFINITION 6 (ARRANGEMENT SANS REPETITION). Un telk-uplet s’appelle unar-rangement sans repetitionden elements prisk ak. ♦

Theoreme

PROPRIETE IV : Le nombre d’arrangements sans repetition den elements prisk

ak est egal aAkn =

n!

(n − k)!(si k 6 n et 0 sinon).

PREUVE En effet :– il y a n choix possibles de l’objet qui occupe la premiere place duk-uplet,– n − 1 choix pour l’objet de la deuxieme place,– etc.– il ne reste plus quen − (k − 1) objets pour lakieme place.

soit doncn − k + 1 choix possibles.

Le produitn · (n − 1) . . . (n − k + 1) s’ecrit bien sous la forme :n!

(n − k)!.

1.3.2 Arrangements avec repetition

Presentation

Lorsque nous voulons placer des objets pris parmi n objets discernables dans kemplacements en tenant compte de l’ordre, ces objets pouvant apparaıtre plusieurs

13

fois, le nombre de dispositions est alors egal au nombre de k-uplets formes a partir deces n objets.

DEFINITION 7 (ARRANGEMENT AVEC REPETITION). Un tel k-uplet, aveck 6 n,(x1, x2, . . . , xk) forme a partir de cesn objets s’appelle un arrangement avec repetitiondek elements pris parmin. ♦

Resultat

PROPRIETE V : Comme chaque emplacement peut etre occupe indifferemmentpar l’un quelconque de ces n objets, il y en a au totalnk.

Exemple

Quand nous tirons 11 fois l’un de 3 numeros en tenant compte de l’ordre d’appari-tion nous obtenons au total311 = 177147 tirages differents.

Comme exemple tire de la genetique, nous pouvons donner le nombre total decodons de base (triplets formes de quatre codes) :43 = 64.

1.4 Denombrement : les combinaisons

1.4.1 Combinaisons et arrangements

Comparaison avec les arrangements

Contrairement aux arrangements, les combinaisons sont desdispositions d’objetsqui ne tiennent pas compte de l’ordre de placement de ces objets.

Exemple

Par exemple, si a, b et c sont des boules tirees d’une urne, abc et acb correspondentau meme tirage. Il y a donc moins de combinaisons que d’arrangements.

1.4.2 Combinaison sans repetition

Presentation

Si nous tironssans remisek objets parmin objets discernables, et nous les dispo-sons sans tenir compte de l’ordre d’apparition, nous pouvons representer cesk objets

14

par une partie ak elements d’un ensemble a n elements (notes entre accolades.)

On appelle, de telles parties, descombinaisons sans repetition den elements prisk ak.

Nombre de combinaisons

Pour determiner le nombre de ces dispositions, nous pouvons calculer le nombred’arrangements dek objets et diviser par le nombre de dispositions obtenues lesunesa partir des autres par une permutation.

Il y a(

n

k

)=

Akn

k!.

NOTATION : On note aussiCkn au lieu de

(n

k

).

Exemples

EXEMPLE 3. Au jeu du loto, nous devons choisir parmi 49 numeros, 6 numeros differentssans tenir compte de l’ordre, et il y a

(496

)= 49!

6!·43! = 13 983 816 choix possibles.

EXEMPLE 4. Sur le meme principe, le jeu« euro-millions» demande de choisir 5nombres entre 1 et 50 et 2 nombres entre 1 et 9, soit

(505

)×(92

)= 76 275 360 possibi-

lites.

1.4.3 Combinaison avec repetition

Presentation

Supposons que nous tirions, avec remise,k objets parmin objets discernables, etque nous les disposions sans tenir compte de l’ordre d’apparition.

Ces objets peuvent apparaıtre plusieurs fois, et nous ne pouvons les representer niavec une partie ak elements, ni avec un k-uplet, puisque leur ordre de placement n’in-tervient pas.

Il est cependant possible de representer de telles dispositions avec descombinai-sons avec repetition.

15

Resultat

Le nombre de combinaisons avec repetition de n elementspris k a k est egal a :Γk

n =(

n+k−1k

).

Exemple

Donnons l’exemple du jeu de domino.

Les pieces sont fabriquees en disposant cote a cote deux elements de l’ensemble : blanc, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Si nous retournons un domino, nous changeons l’ordre des deux elements, mais ledomino reste identique.

Nous avons une combinaison avec repetition de 7 elements pris 2 a 2, et au total ily a :Γ2

7 =(82

)= 28 dominos dans un jeu.

1.5 Proprietes des arrangements et des combinaisons

1.5.1 Valeurs remarquables

PROPRIETE VI : A0n = C0

n = 1.

PREUVE Il n’y a, pour chaque cas (ordonne et desordonne), qu’uneseule facon dene prendre aucun element dans un ensemble a n elements...n’en prendre aucun !On peut encore, pour s’en assurer, utiliser les formules donnant lesAp

n et lesCpn.

PROPRIETE VII : A1n = C1

n = n.

PREUVE Comme precedemment : soit en reflechissant un peu, soit en calculant.

PROPRIETE VIII : Ann = n!, maisCn

n = 1.

16

PREUVE L’arrangement a deja ete traite. Quant a la combinaison : il n’y a qu’uneseule maniere de prendre les n elements d’un ensemble a nelements...tous lesprendre ! (ici, l’ordre n’importe pas.)

1.5.2 Formules remarquables

PROPRIETE IX : Cpn = Cn−p

n .

PREUVE Choisir p elements parmi n revient a refuser n-p elements parmi n...

PROPRIETE X : Cpn = Cp−1

n−1 + Cpn−1.

PROPRIETE XI : 1 6 k 6 n : kCkn = nCk−1

n−1.

PROPRIETE XII (FORMULE DE VANDERMONDE) :∑n

k=0 CkaCn−k

b = Cna+b.

PREUVE En effet, supposons que l’on aita garcons etb filles, et que l’on souhaitecompter le nombre de groupes constituables dek individus. Il est egal :

– au nombre de groupes avec 0 garcon etk filles : C0aC

kb ,

– ajoute au nombre de groupes de 1 garcon etk − 1 filles : C1aC

k−1b

– ajoute, etc.

1.6 Pascal et Newton

1.6.1 Le triangle de Pascal

On utilise la proprietex precedente pour construire le triangle de Pascal, permettantd’obtenir tous les coefficients binomiaux :

17

p 0 1 2 3 4 5 6 7

n0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 1

PROPRIETE XIII : La somme des termes de lanieme ligne du triangle de Pascal estegale a2n :

n∑

k=0

Ckn = 2n

PROPRIETE XIV : La somme alternee des termes de lanieme ligne du triangle dePascal est nulle :

n∑

k=0

(−1)kCkn = 0

PROPRIETE XV : La somme des carres des termes de lanieme ligne du triangle dePascal est egale aCn

2n :n∑

k=0

(Ck

n

)2= Cn

2n

PREUVE Application directe de la formule de Vandermonde.

1.6.2 Le binome de Newton

18

PROPRIETE XVI : Si a et b commutent (ab = ba), alors :

(a + b)n =

n∑

k=0

Cknakbn−k

EXEMPLE 5. (a − b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

1.7 Exercices

Exercice 7. Calculez, en utilisant des factoriels,C24 , A2

4, C17 , C3

7 etA37.

Exercice 8. ComparezC17 etC6

7 , C27 etC5

7 , C37 etC4

7 . Generalisez.

Exercice 9. 1. Montrez queCkn = Ck−1

n−1 + Ckn−1.

2. Application : calculezCkn, pour n allant de 1a 5, et k allant de 0a n.

Exercice 10. On considere un jeu de 32 cartes ; les mains sont constituees de 8 cartes(non ordonnees.)

1. Quel est le nombre de mains possibles ?

2. Combien de mains contiennent un as au moins ?

3. Combien conprennent au moins un coeur ou une dame ?

4. Combien ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus ?

19

Reponses :C832 = 10518300, C8

32 − C828 = 7410195, C8

32 − C821 = 10314810, C2

4 ∗C8

16 − 2 ∗ 4 = 77212, le 2*4 correspondant aux 4 mains d’une seule couleur, qui sontcomptees 3 fois dans le calcul precedent (nombre de mainsde deux couleurs.)

Exercice 11. Dix livres deuxa deux distincts sont places cotea cote sur uneetagere.Quel est le nombre de dispositions qui placent cote a cote trois livres fixees de lacollection ?

Reponse : 8*3*2*1*7 ! = 241920.

Exercice 12. Une urne contient 5 boules blanches indiscernables et 8 boules noiresindiscernables.On tire successivement 6 boules de l’urne en remettant chaque fois la boule tiree.

1. Quel est le nombre de resultats possibles ?

2. Combien de ces resultats amenent :

(a) 5 boules noires et une boule blanche, dans cet ordre,

(b) une boule noire au plus,

(c) trois boules blanches et trois noires,

(d) une boule blanche au moins.

Reponses :26 = 64, un seul,1 + C16 = 7, C3

6 = 20, 64-1=63.

Exercice 13. Reprendre l’exercice12en supposant les boules blanches numerotees de1 a 5, et les boules noires de 6a 13.

Reponses :136 = 4826809, 85∗5 = 163840, 56+C16∗55∗8 = 165625, C3

6∗53∗83 =1280000, 136 − 86 = 4564665.

Exercice 14. On considere un jeu de 52 cartes, et une main de 13 cartes (non or-donnees).

1. Combien y a-t-il de mains en tout ?

20

2. Combien de mains :

(a) Contiennent les 4 as.

(b) Contiennent 4 trefles, dont la dame de trefle.

(c) Ne contiennent aucun coeur.

(d) Contiennent trois carreaux au plus.

Reponses :C1352 , C9

48, C312C

939, C13

39 , etC1339 + C1

13C1239 + C2

13C1139 + C3

13C1039 .

Exercice 15. Un tiroir contient 5 paires de chaussures noires, 3 paires dechaussuresvertes et deux paires de chaussures rouges. On choisit deux chaussures au hasard.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2. Combien amenent deux chaussures de meme couleur ?

3. Combien amenent un pied gauche et un droit ?

4. Combien permettent de reconstituer une vraie paire de chaussures ?

Reponses :C220, C2

10 + C26 + C2

4 , 10*10, 5*5+3*3+2*2.

Exercice 16. Une urne A contient deux boules blanches, 3 boules bleues et 5rouges,toutes numerotees. Une urne B contient 4 boules bleuesegalement numerotees. On tiresimultanement 2 boules de l’urne A que l’on place dans l’urne B. Puis ontire simul-tanement 3 boules de l’urne B.

Quel est le nombre de tirages tricolores possibles, si l’on appelle tirage la succes-sion des deux ensembles de numeros obtenus dans l’urne A, puis dans l’urne B ?

Reponse : (5*2)*4

Exercice 17. Une entreprise comprend 35 employes dont 16 femmes et 19 hommes.On elit le bureau directeur du comite d’entreprise, compose d’un president, d’un vice-president et d’un tresorier. Les postes sont non cumulables.

1. Quel est le nombre de bureaux possibles ?

2. Quel est le nombre de bureaux :

(a) ou le poste de vice-president est occupe par une femme ?

21

(b) ou le president et le tresorier sont des hommes ?

(c) ou le president et le vice-president sont de sexes differents ?

3. Quel est le nombre de bureaux possibles, sachant que le president est un homme,le vice-president une femme, et que Monsieur Dupond refuse de sieger avecMadame Dupuis ?

Reponses : 35*34*33, 16*34*33, 19*18*33, 19*16*33+16*19*33, 18*16*32+15*32+15*18.

22

Chapitre 2

Probabilit es

2.1 Notions d’experience aleatoire

2.1.1 Definitions

DEFINITION 8 (EXPERIENCE ALEATOIRE). Uneexperience aleatoireest une experienceayant un nombre fini de resultats possibles, et dont il est impossible de connaıtre l’issuea l’avance. ♦

DEFINITION 9 (UNIVERS). L’ universest l’ensemble de toutes les issues possiblesassociees a cette experience. On le note traditionnellementΩ. ♦

DEFINITION 10 (EVENEMENT). Un evenement lie au lance d’un de peut etre« Obte-nir un nombre pair», ou encore« obtenir 5 ou 6». Il concretise une attente, l’ensembledes resultats acceptables d’une experience aleatoire.C’est une partie deΩ. ♦

DEFINITION 11 (EVENEMENT ELEMENTAIRE). Un evenement elementaireest uneissue possible, c’est-a-dire un sous-ensemble deΩ a un seul element. ♦

2.1.2 Exemples

EXEMPLE 6. Notre experience aleatoire consiste a lancer un de a6 faces. AlorsΩ =1; 2; 3; 4; 5; 6, et5 est un evenement elementaire.

23

EXEMPLE 7. On considere l’experience aleatoire :« lancer deux des discernablesa 6 faces». Alors Ω = (1; 1); (1; 2); (1; 3); ...; (1; 6); (2; 1); ...; (2; 6); ...; (6; 6) et(3; 3) est un evenement elementaire.

2.2 Vocabulaire desevenements

2.2.1 L’ensemble des parties deΩ

PROPRIETE XVII : Soit E une experience aleatoire etΩ l’univers des possibles as-socie a cette experience. L’ensemble P(Ω) de toutes les parties deΩ, est l’ensemblede tous les evenements lies aΩ.

REMARQUE 3. Ω est l’evenement certain.

REMARQUE 4. Ø est l’evenement impossible.

2.2.2 Exemples

EXEMPLE 8. Soit l’experience E :« Tirer a pile ou face.»Alors Ω = P, F. Ici,P (Ω) = Ø, P, F, P, F, ce qui represente tous les evenements possibles etimaginables lies a une piece.

EXEMPLE 9. Soit l’experience E :« Lancer un de imaginaire a 3 faces.»Alors– Ω = 1, 2, 3,– P(Ω) = Ø, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3.

et1, 2 est l’evenement« obtenir un nombre strictement plus petit que 3.»

24

2.2.3 Composition d’evenements

Reunion d’evenements

PROPRIETE XVIII : La loi ∪ dans P(Ω) correspond a l’emploi duou inclusif entredeux evenements.

EXEMPLE 10. Dans l’experience E : lancer un de a 6 faces,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, onconsidere les evenements : A :« obtenir un nombre pair»= 2, 4, 6, B : « obtenir unnombre impair»= 1, 3, 5, Alors A∪B est l’evenement« obtenir un nombre pair ouun nombre impair», qui est egal aΩ.

Intersection d’evenements

PROPRIETE XIX : La loi ∩ dans P(Ω) correspond a l’emploi duet entre deuxevenements.

EXEMPLE 11. Dans l’experience precedente, on considere l’ev´enement :C : « obtenir un nombre premier»= 2, 3, 5. Alors A ∩ B est l’evenement« obtenirun nombre pair et premier», qui est egal a2.

Evenement complementaire

DEFINITION 12. Soit A un evenement lie a une experience aleatoire E d’univers as-socieΩ. On appelleevenement complementairede A, et l’on noteA, l’ensemble

ei ∈ Ω tel queei /∈ A

des evenements elementaires n’appartenant pas a A. ♦

25

EXEMPLE 12. On reprend l’experience aleatoire precedente.L’evenement complementaire d’obtenir un nombre pair en lancant un de a six facesestobtenir un nombre impair en lancant un de a six faces. Celui d’obtenir un nombrepremierestobtenir 1,4 ou 6.

Exercice 18. Ecrire, a l’aide des operations ensemblistes∪, ∩ et CΩ, et a l’aide desevenementsA, B, C, A1, ..., An, lesevenements suivants :

1. l’un au moins desevenementsA, B, C est realise,

2. l’un et l’un seulement desevenementsA ouB se realise,

3. A etB se realise, mais pasC,

4. Tous lesevenementsAn, n > 1 se realisent,

propri etes

PROPRIETE XX : A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B

2.3 Definition d’une probabilit e

2.3.1 Definitions

DEFINITION 13 (PROBABILIT E). Soit E une experience aleatoire etΩ son univers as-socie (suppose fini ou denombrable). On appelleprobabilite, notee p, toute applicationde l’ensemble des evenements P(Ω) dansR, qui verifie :

– pour tout evenement E,0 6 p(E) 6 1,– p(Ω) = 1,– si deux evenements E et F sont incompatibles (E ∩ F = ∅), alorsp(E ∪ F ) =

p(E) + p(F ). ♦

DEFINITION 14 (ESPACE PROBABILISE DISCRET). SoitΩ un ensemble fini ou denombrable,etp une probabilite surΩ. On dit que le triplet(Ω, P (Ω), p) forme unespace probabi-lise discret. ♦

26

2.3.2 Proprietes d’une probabilite

PROPRIETE XXI : Si E = e1, e2, ..., en (ou lesei sont donc des evenementselementaires), alorsp(E) = p(e1) + p(e2) + ... + p(en),

PROPRIETE XXII : p(E) = 1–p(E)

2.3.3 Equiprobabilite

DEFINITION 15. L’ equiprobabilitecorrespond au cas ou les evenements ont tous lameme probabilite. ♦

EXEMPLE 13. Lancer d’un de non pipe, etc.

PROPRIETE XXIII : S’il y a n evenements elementaires equiprobables dansΩ,alors la probabilite de chaque evenement elementairevaut 1

net, pour tout

evenement E,

p(E) =nombre d’elements de Enombre d’elements deΩ

=nombre de cas favorables

nombre de cas totalΩ

EXEMPLE 14. On tire au hasard un ensemble de 5 cartes dans un jeu de 32. Alors la

probabilite que cette main contienne au moins un As est egale a1 − C528

C532

27

Exercice 19. ABCDEF est un hexagone regulier. On place dans un sac six jetons in-discernables au toucher marques de ces six lettres.On tire au hasard, et simultanement, trois jetons qui permettent de definir un tri-angle. Quelle est la probabilite que ce triangle soitequilateral ? Isocele (sansetreequilateral) ? Rectangle ?

Reponses : 0,1 ; 0,3 ; 0,6.

Exercice 20. Un representant de commerce doit visiter successivement quatre villesA, B, C et D.

1. Determinez tous les itineraires permettant de visiter les quatre villes.

2. Le representant choisit au hasard l’un de ces itineraires.

(a) Calculez la probabilite que, sur cet itineraire, les villes C et D se suiventdans cet ordre.

(b) Calculez la probabilite que cet itineraire commence par la ville C et setermine par la ville D.

(c) Calculez la probabilite que, sur cet itineraire, la ville C soit situee avant laville D.

Reponses : 24 itineraires, 624

, 224

, 1224

.

Exercice 21. Une urne contient six jetons indiscernables au toucher numerotes de 1a6. On en tire simultanement deux au hasard. Calculez la probabilite de tirer :

1. deux numeros consecutifs,

2. deux numeros dont la somme vaut 7,

3. deux numeros premiers entre eux.

Reponses :515

, 315

, 1115

28

2.4 Probabilites conditionnelles

2.4.1 Definition

DEFINITION 16 (PROBABILITE CONDITIONNELLE). Soit p une probabilite sur un uni-versΩ et A un evenement de probabilite non nulle. La« probabilite que l’evenementB soit realise sachant que A l’est deja»est definie par

p(B/A) =p(A ∩ B)

p(A)

On l’appelleprobabilite conditionnelle. ♦

NOTATION : On note encorePA(B).

Exercice 22. Une societe comprend40% de cadres,20% d’entre eux parlent l’anglais.On interroge au hasard un employe de la societe et on considere lesevenements :

– C : « l’employe est un cadre»,– A : « l’employe parle anglais».

On demande :

1. De traduire,a l’aide des deuxevenements precedents, les donnees de l’enonce.

2. Calculer la probabilite que l’employe interroge soit un cadre qui parle anglais.

Exercice 23. Dans une population,60% des familles ont une voiture,65% des famillesont un televiseur et24% des familles n’ont ni voiture, ni televiseur.On choisit une famille au hasard, calculer la probabilite que cette famille ait unevoiture sachant qu’elle possede un televiseur.

2.4.2 Proprietes

PROPRIETE XXIV :p(Ω/A) = 1

29

PROPRIETE XXV (FORMULE DES PROBABILITES COMPOSEES) :

p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A).

Exercices

Exercice 24. Dans un lycee,55% deseleves sont des filles,22% d’entre-ellesetudientl’allemand. On choisit au hasard uneleve du lycee et on considere lesevenements :

– F : ”L’ eleve est une fille“.– A : ”L’ eleveetudie l’allemand“.

On demande :

1. de traduirea l’aide desevenements A et F, les donnees de l’enonce.

2. Calculer la probabilite que l’eleve choisi soit une fille quietudie l’allemand.

Reponse : 0,121

Exercice 25. Dans une population, onetudie deux caracteres genetiques notes A et B.55% des individus possedent le caractere A,42% le caractere B, et27% ne possedentni A ni B.On choisit un individu au hasard dans la population.

1. Calculez la probabilite qu’il possede le caractere A sachant qu’il possede dejale caractere B.

2. Calculez la probabilite qu’il possede le caractere B sachant qu’il possede dejale caractere A.

Reponses : 0,57 ; 0,44.

2.5 Evenements independants

2.5.1 Definition

DEFINITION 17. Deux evenements sont independants sip(A ∩ B) = p(A)p(B). ♦

30

REMARQUE 5. Cela signifie que la realisation de A n’intervient pas dans la realisationde B. On a alors : p(B/A) = p(B) et p(A/B) = p(A).

EXEMPLE 15. On lance un de rouge et un de bleu, simultanement, tousdeux ayantsix faces. Les evenements :

– A : « obtenir 1 avec le de bleu»,– B : « obtenir 4 avec le de rouge»,

sont independants : le de rouge se moque de savoir quel serale resultat du de bleu.

REMARQUE 6. A∩B est l’evenement« obtenir 1 avec le de bleu et 4 avec le rouge»,et on ap(A ∩ B) = p(A)p(B) = 1/6 ∗ 1/6 = 1/36

Exercice 26. On fait l’hypothese que chacun des moteurs d’un avion bi-moteur tombeen panne avec une probabilite egalea 0,0001 et ceci d’une facon independante del’autre moteur.Quelle est la probabilite que l’avion arrivea bon port sachant qu’il peut voler avec unseul moteur ?

2.5.2 Formule des probabilites totales

DEFINITION 18. Dire que les evenementsB1, ..., Bn forment une partition de l’uni-versΩ signifie que les evenementsBi sont deux a deux disjoints, et que leur reunionest egale aΩ. ♦

PROPRIETE XXVI (FORMULE DES PROBABILITES TOTALES) : On suppose queles evenementsB1, ..., Bn forment une partition de l’universΩ. Alors, pour toutevenementA :

P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + ... + P (A ∩ Bn)

ou encore :

P (A) = PB1(A).P (B1) + PB2

(A).P (B2) + ... + PBn(A).P (Bn)

31

2.5.3 Exemple

EXEMPLE 16. Deux etudiantse1 et e2 produisent du code. Ils produisent respective-ment 1/3 et 2/3 des lignes de code d’un projet a rendre.

– e1 ecrit50% de lignes boguees,– e2 ecrit60% de lignes boguees,

Soient les evenements :– A1 : « la ligne de code provient de l’etudiante1 »,– A2 : « la ligne de code provient de l’etudiante2 »,– B : « la ligne de code est boguee».

1. Quelle est la probabilite que la ligne de code consider´ee provienne dee1 ? Reponse :p(A1) = 1

3.

2. On choisit au hasard une ligne de code dee1. Quelle est la probabilite qu’ellesoit boguee ? Reponse :p(B/A1) = 50

100.

3. On choisit une ligne au hasard du projet. Quelle est la probabilite qu’elle pro-vienne dee1 et qu’elle soit boguee ? Reponse :p(A1∩B) = p(B/A1)p(A1) = 1

6.

4. On choisit au hasard une ligne du projet. Quelle est la probabilite qu’elle soitboguee ? Reponse :p(B) = p(B/A1)p(A1) + p(B/A2)p(A2) = 1/6 + 2/5 =17/30.

5. Quelle est la probabilite qu’une ligne boguee soit ecrite par e1 ? Reponse :p(A1/B) = p(A1 ∩ B)/p(B) = 1/6 ∗ 30/17 = 5/17

Exercice 27. On dispose de deux urnesU1 etU2 indiscernables.U1 contient 4 boulesrouges et 3 vertes,U2 contient 2 rouges et 1 verte. On choisit une urne au hasard, eton tire une boule de cette urne.Quelle est la probabilite qu’elle soit rouge ?

Reponse :1321

Exercice 28. On teste l’efficacite d’un medicament sur unechantillon d’individusayant un taux de glycemie anormalementeleve. Dans cette experience,60% des in-dividus prennent le medicament, les autres recoivent un placebo.On etudie la baisse du taux de glycemie apres l’experimentation. On constate une

32

baisse de ce taux chez80% d’individus ayant pris le medicament : on ne constate au-cune baisse pour90% des personnes ayant pris le placebo.On choisit au hasard une personne dans l’ensembleΩ des individus ayant participe al’experience. Calculez la probabilite de l’evenement ”L’individu a une baisse du tauxde glycemie“.

Reponse : 0,52.

Exercice 29. Au RU, dans la vitrine patisserie,– 60% des gateaux sonta base de creme,– parmi ceux qui sonta base de creme,30% ont aussi des fruits,– parmi les gateaux qui n’ont pas de creme,80% ont des fruits.

On prend un gateau au hasard.

1. Calculez la probabilite d’avoir un gateaua la creme et comportant des fruits.

2. Calculez la probabilite d’avoir un gateau avec des fruits et sans creme.

3. Calculez la probabilite d’avoir un gateau avec des fruits.

Reponses : 0,18 ; 0,32 ; 0,5.

Exercice 30. Dans une usine, l’energieelectrique est fournie par deux generateurs.On fait l’hypothese que sur une periode donnee, chacun des generateurs tombe enpanne avec une probabilite egalea 0,005 et ceci d’une facon independante de l’autregenerateur.Quelle est la probabilite que sur cette periode l’usine possede toujours un generateurenetat de marche ?

Reponse : 0,999975.

2.6 Exercices

33

Exercice 31. Battez un jeu ordinaire de 52 cartes, puis retournez les cartesa partirdu dessus du paquet, unea une, jusqu’a ce que vous ayez retourne un as. Combienaurez-vous alors retourne de cartes, en moyenne ?

Reponse : 10,6.

Exercice 32. Dans un pays ou il nait autant de filles que de garcons et ou l’ echographien’est pas encore repandue, le docteur X prevoit le sexe des enfantsa naıtre. Il se trompeune fois sur dix si c’est un garcon, et une fois sur 20 sinon.Il vient de direa madame Y qu’elle attend une fille. Quelle est la probabilite que cesoit vrai ?

Reponse :1921

Exercice 33. On suppose que la probabilite que l’anniversaire d’une personne tombeun mois donne estegalea 1/12.Six amis vont dıner ensemble au restaurant. Quelle est la probabilite que les anniver-saires de ces six amis tombent tous dans des mois differents ?

Reponse : 0,00137.

Exercice 34. Denis affirme que Carine lui avait dit que Bob lui avait confie qu’Alicelui avait assure qu’elle avait reussi lesepreuves de son examen.On sait que chacun des quatre amis dit la verite une fois sur trois et ment deux fois surtrois. Quelle est la probabilite qu’Alice ait vraiment reussi son examen ?

Reponse :4181

.

Exercice 35. Une urne contient 3 boules bleues, 6 blanches et 9 rouges. On tire suc-cessivement deux boules.Determiner la probabilite d’obtenir une boule blanche puis une rouge quand :

34

1. le tirage a lieu avec remise,

2. le tirage a lieu sans remise.

Exercice 36. Une urne contient 7 billets de 50$ et trois billets de 20$. On supposeque les 10 billets ont le meme format. Soient l’experience aleatoire consistanta tirerdeux billets successivement et sans remise dans l’urne.

1. SiA = “tirer deux billets de 50$, calculerp(A)

2. SiA = “tirer un billet de 50 $, puis un billet de 20, calculerp(A)

3. SiA = “tirer un billet de 20 $, puis un billet de 50, calculerp(A)

4. Quelle en est la loi de probabilite ?

Exercice 37. Soit l’experience aleatoire consistanta tirer une carte d’un paquet de52. Determiner la probabilite desevenements “tirer un as”, et “tirer un coeur”.

Exercice 38. Une urneU1 contient 6 boules rouges et 9 noires. Une urneU2 contient7 boules rouges, 3 noires et 18 vertes.Soit l’experience aleatoire consistanta tirer simultanement une boule dans chaqueurne. Calculer la probabilite de tirer deux boules noires.

Exercice 39. On considere une partie de tarota cinq. Soient lesevenements A : “ il ya trois bouts dans le chien ” ; B : “ il y a deux bouts dans le chien” ; C : “ il y a unbout dans le chien ” et D : “ il n’y a pas de bout dans le chien ”.

1. Calculerp(A), p(B), p(C) etp(D).

2. Calculer la probabilite d’avoir trois atouts dans le chien.

3. Calculer la probabilite de ne rien avoir de cela dans le chien.

4. Que se passe-t-il quand on jouea quatre ?

35

Exercice 40. Un club de tennis comporte, commes adherents :60% d’hommes pour40% de femmes. Parmi les hommes,30% pratiquent le tennis en competition, pour20% chez les femmes. On choisit au hasard un adherent, et on note :

– H l’ evenement : “L’adherent est un homme”,– F l’ evenement : “L’adherent est une femme”,– C l’evenement : “L’adherent pratique le sport en competition.”

On vous demande de

1. Trouvez les probabilitesp(H), p(F ) etpF (C).

2. Decrire l’evenementC ∪ F et calculer sa probabilite.

3. Justifiez quep(C) = 1350

.

4. L’adherent choisi pratique le tennis en competition. Quelle est la probabilite quecet adherent soit une femme ?

36

Chapitre 3

Les variables aleatoires discretes

3.1 Theorie

3.1.1 Loi de probabilite d’une vad

Introduction a partir d’un exemple

EXEMPLE 17. Considerons l’experience aleatoire qui consiste alancer trois fois unepiece de monnaie. Voici tous les resultats possibles de l’experience :

(FFF ), (FFP ), (FPF ), (PFF ), (FPP ), (PFP ), (PPF ), (PPP )

Relions maintenant a chaque resultat le nombre Y de piles :

Resultats possibles Y=y

(FFF) [Y=0](FFP), (FPF), (PFF) [Y=1](FPP), (PFP), (PPF) [Y=2]

(PPP) [Y=3]

La fonction Y qui fait correspondre a chaque resultat possible un nombre reel estappele une variable aleatoire...

Definition d’une variable aleatoire discrete

DEFINITION 19. Soit(Ω, P (Ω), p) un espace probabilise discret. Une variable aleatoirediscrete (v.a.d.) definie sur(Ω, P (Ω), p) est une application X deΩ dansR ♦

37

Pour chaque valeur de Y, on peut determiner le nombre de resultats correspondantet construire ainsi untableau de probabilite :

Y 0 1 2 3 Total

n(y) 1 3 3 1 8

fY (y) 18

38

38

18

1

fY (y) represente la probabilite relative, c’est-a-dire

Pr(Y = y) =nombre de resultats favorablesnombre de resultats possibles

Le tableau suivant represente alors laloi de probabilitede la variable aleatoireY :Y 0 1 2 3 Total

fY (y) 18

38

38

18

1

REMARQUE 7. La somme des probabilites de la loi doit etre egal a 1.

Exercices

Exercice 41. On lance deux fois un de a six faces.Soit la variable aleatoire discreteX representant le nombre de 6 obtenus.Determiner la loi de probabilite deX.

Exercice 42. Dans une fete foraine, pour une mise initiale de 3 euros, le joueur estinvite a lancer deux desequilibresa six faces, numerotees de 1a 6.

1. Si les deux des presentent le meme chiffre, le joueur empoche le montant marquepar les des (deux euros pour le double un, etc.).

2. Si un seul 6 apparaıt, le joueur gagne la valeur de l’autre de.

3. Sinon, il a perdu.

En designant parG la variable aleatoire definie par le gain algebrique du joueur,determinez la loi de probabilite deG.

38

Comparaisons avec la statistique

En statistique, on decrit des ensembles de donnees et on porte peu d’interet aufait qu’ils puissent appartenir a un ensemble plus grand qu’on appelle population. Onetudie ces ensembles de donnees dans le seul but immediatde mieux les connaıtre,d’en resumer l’information et de bien les decrire. Pour cefaire, on utilise des tableauxde frequences, des graphiques (diagrammes en batons, histogrammes, diagramme entiges et feuilles ou en boıte) et aussi des resumes numeriques (x, s2, Q1...)

On veut pouvoir tirer des conclusions pour un ensemble d’individus beaucoup plusgrand, la population dans son (vaste) ensemble.

La loi de probabilite est une modelisation mathematiquede la population ou duphenomene aleatoire et non de l’echantillon.

Les caracteristiques d’une loi de probabilite sont donc celles de la populationqu’elle modelise. La population est souvent non observable entierement. L’informa-tion qu’on a d’elle nous vient, en particulier, de l’observation d’un echantillon. Lemodele propose pour decrire la population est souvent lefruit de beaucoup de reflexionsur l’echantillon et des connaissances des domaines etudies : biologie, psychologie, fi-nance, etc.

Il est important de bien distinguer la difference entre un tableau de frequences desdonnees d’un echantillon (statistique) et un tableau representant la loi de probabilited’une variable aleatoire definie sur une population (probabilite).

EXEMPLE 18. Une experience aleatoire consistant a lancer trois fois une piece demonnaie et a noter le nombre de piles est repetee dix fois. Voici les resultats :

2, 0, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 2

Le tableau de frequences correspondant a cet echantillon est

y 0 1 2 3 Total

ny 2 3 4 1 10

fy 0,2 0,3 0,4 0,1

Alors que la loi de probabilite de la variable Y : nombre de piles en trois lances est :

Y 0 1 2 3 Total

fY (y) 0,125 0,375 0,375 0,125 1

39

Puisqu’il est bien utile de distinguer la population de l’echantillon, on utilise generalementdes notations differentes :

Echantillon Population

x moyenne µs2 variance σ2

s ecart-type σp proportion π

De facon generale, on dira qu’une loi d’une variable aleatoire discrete est connuesi, pour chacune des valeurs possibles de cette variable, onconnaıt la probabilite. Cesprobabilites seront soit ecrites de facon exhaustive (A) :

y 0 1 2 3 Total

fY (y) 0,064 0,288 0,432 0 ;216 1

ou soit sous une forme analytique (A’) :

fY (y) = Cy30, 6y0, 43−y, y = 0, 1, 2, 3

Ce sont deux formes equivalentes d’une meme loi.

Densite de probabilite

DEFINITION 20 (DENSITE DE PROBABILITE). La fonction qui donne chacune desvaleurs possibles de la variable aleatoire discrete, la probabilite de ces valeurs s’ap-pelle densite de probabiliteet est noteefY (y) :

fY (y) = Pr([Y = y]), y ∈ Dy

ouDy est le domaine des valeurs de la variable aleatoire Y ♦

Cette densite de probabilite possede deux proprietes:

PROPRIETE XXVII : 1. fY (y) > 0, ∀y ∈ Dy,

2.∑

y∈DyfY (y) = 1.

40

Fonction de repartition

DEFINITION 21. On appellefonction de repartitionde la variable aleatoire X l’appli-cation :

F : R −→ [0; 1]x 7−→ p(X 6 x)

PROPRIETE XXVIII : la fonction de repartition F est croissante, continue parmor-ceaux, et en escalier. On a de plus :

– p(X > x) = 1–F (x)– p(a < X < b) = F (b) − F (a)

3.1.2 Caracterisation d’une variable aleatoire discrete

Esperance

Soit une variable aleatoire discrete Y dont la densite est noteefY (y).

DEFINITION 22 (ESPERANCE MATHEMATIQUE). L’ esperance mathematiquede Y estla moyenne ponderee de Y :

µY = E(Y ) =∑

y∈Dy

yfY (y)

EXEMPLE 19. Considerons la variable aleatoire discrete Y dont ladensite est donneeen (A) ou (A’). On calcule la moyenne de Y, noteeµY ouE(Y ), comme suit :

µY = E(Y ) =

3∑

y=0

yCy3 (0, 6)y(0, 4)3−y = 1, 8

Exercice 43. Calculez l’esperance de la variable aleatoireG de l’exercice42.

41

REMARQUE 8. L’esperance de X, vad prenant les valeursx1, x2, ...,xn avec des pro-babilitesp1, p2, ...,pn est

E(X) =n∑

i=1

pixi = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn

Exercice 44. On lance deux des cubiques bienequilibres, dont les faces sont numeroteesde 1a 6. Si la somme des resultats est paire, le joueur gagne1 euro ; sinon, il perd 1euro.

1. Precisez l’univers associe a l’experience du lancer des des, ainsi que la loi deprobabilite correspondante.

2. G designe la variable aleatoire donnant le gain d’un joueur ; determiner la loide probabilite de G, puis calculez son esperance.

Reponse : Pour la premiere question :

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p(X = xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Exercice 45. On a place dans une urne cinq boules indiscernables au toucher : troisnoires et deux blanches. On tire au hasard unea une toutes les boules de cette urne, eton appelle R le rang de la premiere boule blanche tiree.Determiner la loi de probabilite de R et son esperance.

Reponse :xi 1 2 3 4

p(X = xi) 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1

et esperanceegalea 2.

PROPRIETE XXIX : On a evidemment :– E(k) = k– E(X+k) = E(X) + k– E(kX) = k E(X)

42

Mode

DEFINITION 23 (MODE). Le modeest la valeur ayant la plus grande probabilite (lavaleur la plus frequente). ♦

Variance

Considerons la variable aleatoire discrete Y dont la densite est donnee parfY (y) etdont la moyenne estµY .

DEFINITION 24 (VARIANCE). La variancede Y est la moyenne des carres des ecartsde Y a la moyenneµY :

σ2Y = V ar(Y ) = E[(Y − µY )2] =

∑

y∈Dy

(y − µY )2fY (y)

REMARQUE 9. La variance de X, vad prenant les valeursx1, x2, ...,xn avec des pro-babilitesp1, p2, ...,pn est

V (X) =

n∑

i=1

pix2i − E(X)2 = p1x

21 + p2x

22 + ... + pnx

2n − E(X)2

EXEMPLE 20. Pour calculer la variance de Y,σ2Y , on peut faire comme suit :

y (y − µY )2 (y − µY )2fY (y)

0 (0 − 1, 8)2 3,24*0,064 = 0,207361 (1 − 1, 8)2 0,64*0,288 = 0,184322 (2 − 1, 8)2 0,04*0,432 = 0,017283 (3 − 1, 8)2 1,44*0,216 = 0,31104

0,72000 =σ2Y

REMARQUE 10. La variance est une estimation de l’ecart moyen a la moyenne : plusles valeurs seront eloignees de la moyenne, plus la variance sera grande. Seulement,pour certaines raisons techniques, la variance s’interesse au carre des ecarts : elle n’estdonc pas dans la meme unite que X (si la variable aleatoireX est eneuros, la variancesera donc eneuros2). Pour cette raison, on introduit l’ecart type, egal a laracine carreede la variance.

43

Ecart type

DEFINITION 25 (ECART TYPE). L’ ecart typede X estσX =√

V (X) ♦

REMARQUE 11. Cet ecart type mesure l’ecart moyen a la moyenne (de combien depoints on s’ecarte, en moyenne, de la moyenneµX).

Exercice 46. Calculez l’esperance, la variance et l’ecart type de la loi de probabilite

xi −5 2 3

p(X = xi) 0, 3 0, 6 0, 1

Exercice 47. Faire de meme avec

xi −10 −5 0 15 20

p(X = xi) 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

Moment d’ordre quelconque

DEFINITION 26 (MOMENT D’ ORDRE S). Le moment d’ordre sde X est

ms(X) =

n∑

i=1

pixsi = p1x

s1 + p2x

s2 + ... + pnx

sn

DEFINITION 27 (MOMENT CENTRE D’ ORDRE S). Le moment centre d’ordre sde Yest

µs(Y ) =∑

y∈D

(y − E(Y ))s fY (y)

REMARQUE 12. Pours = 2, on retrouve la variance.

44

Exemples

EXEMPLE 21. Dans une classe de 20 eleves, sur un devoir d’algebre-geometrie, 5eleves ont eu la note 12, 10 eleves la note 13 et 5 elevesla note 14.

Loi de probabilite :

xi 12 13 14

p(X = xi) 5/20 10/20 5/20

Fonction de repartition :

E(X) = (5/20) 12 +(10/20) 13 +(5/20) 14 = 13V (X) = (5/20)122 + (10/20)132 + (5/20)142 − 132 = 0, 25σ =

√0, 25 = 0, 5

m3(X) = (5/20)123 + (10/20)133 + (5/20)143

µ3(X) = (5/20)(12 − 13)3 + (10/20)(13 − 13)3 + (5/20)(14 − 14)3

EXEMPLE 22. Sur un deuxieme devoir, 10 eleves ont eu 20, 10 autres ont eu la note6. Loi de probabilite :

xi 6 20

p(X = xi) 10/20 10/20

E(X) = (10/20)6 + (10/20)20 = 13V (X) = (10/20)62 + (10/20)202 − 132 = 49σ =

√49 = 7

45

EXEMPLE 23. On lance un de au hasard. Un 6 rapporte10 euros, un 5 ou un 4 rap-porte6 euros, un 3 rapporte5 euros, enfin un 2 ou un 1 ne rapporte rien.Soit X la v.a.d. qui a un evenement associe son gain.

Loi de probabilite :

xi 0 5 6 10

p(X = xi) 1/3 1/6 1/3 1/6

E(X) = 4,5V(X) = 12,58σ = 3,55

Exercices

Exercice 48. On lance trois fois une piece de monnaieequilibree.SoitX la variable aleatoire discrete representant le nombre de piles obtenus.

1. Determiner la loi de probabilite deX.

2. Determiner la fonction de repartitionFX .

3. Calculer le mode, E(X), V (X) etσ(X).

4. Calculer le moment non centre d’ordre 3 ainsi que le moment centre d’ordre 3.

Exercice 49. Soit l’experience aleatoire consistanta lancer simultanement deux desnon pipes distincts.SoitX la variable aleatoire discrete representant la somme du resultat du premier deavec celui du second de.

1. Determiner la loi de probabilite deX.

46

2. Determiner la fonction de repartitionFX .

3. Calculer le mode, E(X), V (X) etσ(X).

Exercice 50. On choisit au hasard deux numeros distincts de l’ensemble−2,−1, 0, 1, 2et on designe parX leur produit,X etant une variable aleatoire discrete.

1. Determiner la loi de probabilite deX.

2. Determiner la fonction de repartitionFX .

3. Calculer le mode, E(X), V (X) etσ(X).

Exercice 51. Soit l’experience aleatoire consistanta lancer simultanement un de nonpipe et une piece de monnaie dont les faces sont marques +3 et -3.SoitX la variable aleatoire discrete representant la somme des chiffres obtenus.

1. Determiner la loi de probabilite deX.

2. Determiner la fonction de repartitionFX .

3. Calculer E(X), V (X) etσ(X).

Exercice 52. Soit l’experience aleatoire consistanta lancer un de non pipe.SoitX la variable aleatoire discrete representant le numero obtenu.

1. Determiner la loi de probabilite deX.

2. SiY etW sont deux variables aleatoires discretes avecY = (X−3) etW = Y 2,determiner la loi de probabilite deY et celle deW .

3. Determiner la fonction de repartition deY et deW .

4. Calculer E(X), V (X).

5. En deduire E(Y ), V (Y ), E(W ).

47

Exercice 53. SoitX une variable aleatoire discrete telle que :X(Ω) = 1, 2, 3. Onsuppose que les valeurs prises parX sontequiprobables.SiZ = 1

Xest une variable aleatoire discrete, calculer E(Z).

3.1.3 Moyenne d’une fonction quelconque de Y, g(Y)

Esperance mathematique de g(Y)

Nous venons de definir et d’apprendre a calculer

µY = E(Y )

σ2Y = E(Y − µY )2

On remarque alors que ces deux parametres de la population sont, en quelque sorte,des moyennes. En statistiques, le concept de moyenne est tr`es important. Souvent, ondoit calculer la moyenne d’une fonction de Y, disons g(Y), alors qu’on connaıt la loide Y et non celle de g(Y).

DEFINITION 28 (ESPERANCE MATHEMATIQUE DE G(Y)). L’ esperance mathematiquede g(Y), notee E(g(Y)), est definie par :

E(g(Y )) =∑

y∈Dy

g(y)fY (y)

On peut utiliser ce resultat pour trouver une autre formulepour la variance :

σ2Y = E[(Y −µY )2] =

∑

y

(y−µY )2fY (y) =∑

y2fY (y)−2µY

∑

y

yfY (y)+µ2Y

∑

y

fY (y)

doncσ2Y = E(Y 2) − 2µY E(Y ) + µ2

Y 1

D’ou la formule, souvent la plus rapide :

σ2Y = E(Y 2) − µ2

Y

48

EXEMPLE 24. Reprenons l’exemple precedent, et utilisons la nouvelle formule :

E(Y 2) =

3∑

y=0

y2fY (y) = 02.0, 064 + 12 ∗ 0, 288 + 22.0, 432 + 32.0, 216 = 3, 96

PuisqueµY = 1, 8, on aσ2

Y = 3, 96 − 1, 82 = 0, 72.

Dans le cas discret,E(aY + b) =∑

(ay + b)fY (y) = a∑

yfY (y) + b∑

fY (y),soit

E(aY + b) = aE(Y ) + b

De meme

V ar(aY + b) = a2V ar(Y )

3.2 Quelques lois de probabilite de vad

3.2.1 Loi de bernoulli

Presentation

DEFINITION 29 (EXPERIENCE DEBERNOULLI). On appelleexperience de Bernoulliune experience ne donnant suite qu’a deux resultats possibles distincts generalementappeles succes (S) et echec (E) avec Pr(succes) =π. ♦

EXEMPLE 25. Choisir aleatoirement une boule dans une urne ne contenant que deuxtypes de boules, est une experience de Bernoulli ou S (obtenir une boule blanche, parexemple) et E (obtenir une boule noire) sont les deux seuls r´esultats possibles.

Les exemples d’application de ce modele sont nombreux : lesresultats S et E s’ap-pellent souvent male et femelle, observe et non observe,mort et vivant, present etabsent, etc.

49

Variable aleatoire

A partir d’une experience de Bernoulli, on definit la variable aleatoire Y commesuit :

– Y=0 si echec,– Y=1 si reussite.La variable de Bernoulli ne prend que deux valeurs, 0 et 1 avecles probabilites

respectives(1 − π) etπ. On ecrit alors :

y 0 1 Total

fY (y) 1 − π π 1

NOTATION : On noteY → B(1, π)

Cette loi est le modele probabiliste de l’experience du type Pile ou Face. On pour-rait aussi l’ecrire sous la forme :

fY (y) = πy(1 − π)1−y, poury = 0, 1

Propri etes

Pour cette loi, on a

E(Y ) = 0(1 − π) + 1π = π = µY

etE(Y 2) = 02(1 − π) + 12π = π

doncV ar(Y ) = π − π2 = π(1 − π) = σ2

Y

PROPRIETE XXX : Pour une variable aleatoireY suivant une loi de BernoulliB(1, π), on a :

E(Y ) = π, V ar(Y ) = π(1 − π)

3.2.2 Loi binomiale

Definition

DEFINITION 30 (LOI BINOMIALE ). Si l’on effectuen epreuves independantes, avecuniquement deux issues possibles (la reussite et l’echec), et si la variable aleatoirediscrete X represente le nombre de reussites obtenues aubout desn epreuves, alors on

50

dit que X suit uneloi binomialeB(n,p), oup est la probabilite de reussite.On a dans ce cas

p(X = xi) = Cxi

n pxi(1 − p)n−xi

REMARQUE 13. Cela revient a reproduiren fois une experience de Bernoulli de loiB(1, p).

PROPRIETE XXXI : Soit X une variable aleatoire suivant une loi binomiale, alorsE(X) = np, etV (X) = np(1 − p).

Exemple

EXEMPLE 26. On effectue trois lancers d’une piece.Soit X la variable aleatoire comptabilisant le nombre de Pile a la fin de ces lancers.Alors X suit une loi binomiale B(3 ;0,5), et l’on a

p(X = xi) = Cxi

3 0, 5xi0, 53−xi = Cxi

3 0, 125

D’ou la loi de probabilite :

xi 0 1 2 3

p(X = xi) 0, 125 0, 375 0, 375 0, 125

Exercices

Exercice 54. SoitX une v.a. binomiale de parametresn=30 etp=6%.

1. CalculerP (X = 6), P (X ≤ 3), P (X < 3), P (X = 7, 5), P (3 ≤ X ≤ 6),P (3 < X ≤ 6).

2. Determiner les valeurs dex0 telles queP (x0 ≤ X) ≤ 0, 63.

3. CalculerP (X = 24) dans le cas ou p=0,94.

51

Exercice 55. On considere une population tres nombreuse ou chaque individu estsusceptible de posseder un caractere C avec la probabilite p=0,9. On effectue 20observations et on designe parX le nombre d’individus ayant le caractere C dansl’ echantillon.

1. Donner la loi de la variable aleatoire discreteX.

2. DeterminerE(X) etV (X).

3. CalculerP (12 ≤ X < 15), P (15 < X ≤ 18), P (X = 14),P (|X − E(X)| ≤ 2), P (|X − E(X)| > 1).

Exercice 56. Soit l’experience aleatoire consistanta lancern fois une piece de mon-naie. On designe parX le nombre de fois ou pile apparaıt au cours de cesn lancers.

1. Donner la loi de la variable aleatoire discreteX.

2. Determiner la probabilite d’obtenirk fois pile lors de cesn lancers.

3. Calculer E(X) etV (X).

4. Soit l’evenementA = ”obtenir une fois pile”, calculerp(A) pourn = 3.

5. Soit l’evenementB = ”obtenir au moins 2 fois pile”, calculerp(A) pourn = 3.

6. Soit l’evenementC = ”obtenir au plus 3 fois pile”, calculerp(A) pourn = 7.

Exercice 57. Sachant que la probabilite d’avoir un garcon est de 48%, quelle est laprobabilite pour une famille de 5 enfants, d’avoir 3 garcons et deux filles ?

Exercice 58. Une urne contient 7 boules rouges et 3 blanches.Lorsqu’un candidat tire une boule blanche dans l’urne, il gagne une voiture, sinon ildoit donner 1200 euros.Quelle est la probabilite qu’il perde 6000 euros sur 6 tirages avec remise ?

52

Exercice 59. Dans un stand de tir, la probabilite pour qu’un tireur atteigne la cibleest 0,4.

1. Sachant qu’il tire 10 fois, quelle est la probabilite pour qu’il atteigne la cible aumoins 4 fois ?

2. Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilite qu’il atteigne la cible aumoins une fois soit superieur a 0,9 ?

Exercice 60. On tire avec remise 7 cartes d’un jeu de 32 cartes.SoitX le nombre de rois obtenus.Determiner la loi de probabilite, l’esperance et la variance deX.

Exercice 61. Une urneU1 contient 3 boules rouges et 7 noires, et une autre urneU2

contient 2 boules rouges et une noire.On effectue alternativement dansU1 et dansU2 des tirages d’une boule avec remise.SoitX le nombre de boules rouges obtenues au cours des2n premiers tirages (n ∈N

∗).Calculer l’esperance et la variance deX.

3.2.3 Loi hypergeometrique

Presentation

Nous avons associe la loi binomiale a un echantillonnageavec remise, ou la pro-babiliteπ d’un succes demeurait constante.

La loi hypergeometriqueest utilisee lorsque l’echantillon de taillen est tire sans

remise d’une population finie de tailleN . Il y a doncCnN =

N !

n!(N − n)!facons de

choisirsans remisen individus parmiN .

53

Dans la population, il y a, tout comme pour la loi binomiale, deux sortes d’indivi-dus :Nπ qui representent les succes, etN(1 − π) qui representent les echecs.

Pour obteniry succes enn tentatives, il va falloir choisiry individus parmis lesindividus-succes etn − y individus parmis lesN(1 − π) individus-echecs. Ce quirepresenteCy

NπCn−y

N(1−π) facons de choisir (nombre de cas favorables).

Variable aleatoire

DEFINITION 31 (LOI HYPERGEOMETRIQUE). La variable aleatoire discrete X suitune loi hypergeometriquede parametresN1, N2 etn, quand elle verifie

∀k ∈ [0, n], fX(k) =Ck

N1Cn−k

N2

CnN1+N2

On peut alors l’associer a un tirage sans remise. ♦

NOTATION : On noteX → H(N1, N2, n).

REMARQUE 14. En notantπ = N1

Nla probabilite d’etre dans la bonne partie de la

population (avecN = N1 + N2), on trouve

fX(k) =Ck

NπCn−kN(1−π)

CnN

Les parametres(N, n, π) modelisent aussi bien que (N1, N2, n) la loi hypergeometrique,aussi trouve-t-on dans la litterature les deux notations :H(N1, N2, n) et H(N, n, π),que nous utiliseront ici.

La loi hypergeometrique a un mecanisme semblable a celui de la loi binomialeB(n, π). En effet, on recherche dans les deux cas le nombre de succesen n experiencesaleatoires.

La difference provient du fait que dans la binomiale la probabilite de succes resteconstante (echantillonnage avec remise ou population de taille infinie) alors que dansl’hypergeometrique la probabilite de succes ne reste pas constante (echantillonnagesans remise dans une population de taille finie).

Il n’est donc pas etonnant de trouver une certaine similitude dans les formules demoyenne et de variance...

Propri etes

54

PROPRIETE XXXII : Pour la loi hypergeometrique

E(Y ) = nπ = µY

V ar(Y ) = nπ(1 − π)N − n

N − 1= σ2

Y

REMARQUE 15. Le termeN − n

N − 1est lefacteur de correctionpour une population

finie.

REMARQUE 16. Si on previligie la notationH(N, n, π), alorsE(X) =nN1

N1 + N2et

V ar(X) =N1N2(N1 + N2 − n)

(N1 + N2)2(N1 + N2 − 1).

Le Loto

EXEMPLE 27 (LE LOTO). Une grille est composee de 49 numeros, et il faut en choisir6 (version simplifiee du loto).

Gagner au loto fait intervenir la loi hypergeometrique, qui donne la probabilite dunombre de bons numeros (n est le nombre de boules tirees,N1 le nombre de casescochees sur la grille,N2 le nombre des autres cases) :

– probabilite d’obtenir 6 bons numeros :1

C649

,

– probabilite d’obtenir 5 bons numeros :C5

6C143

C649

,

– probabilite d’obtenir 4 bons numeros :C4

6C243

C649

,

– etc.Cela fait environ :

– une chance sur 14 millions de cocher les six bons numeros (on a donc autant dechance de gagner, que l’on joue ou pas !),

– une sur 5000 d’en cocher 5,– une sur 1000 d’en cocher 4,– une probabilite 0,018 d’en cocher 3,– etc.

D’apres les propres chiffres du loto, un joueur recupere, en moyenne, un peu moinsde la moitie du billet (a chaque fois qu’il joue) : la seule maniere de s’enrichir avec le

55

loto, et de n’y pas jouer.

Ce jeu est doncextremementdefavorable au joueur (pour comparer, a Las Vegas, onpeut voir sur l’enseigne de nombreux etablissements des pourcentages tels que 96%,ou 97%, qui sont une mesure du desequilibre des jeux qu’ilsproposent : un joueurrecupere en moyenne 96 dollars quand il joue 100 dollars),mais... les rapports du lotosont publies a chaque tirage, et les probabilites de tirer 3, 4, 5 et 6 bons numeros n’ontrien de secret : la part de reve doit etre consideree comme un profit a part entiere.

S’il semblerait raisonnable d’attribuer, aux joueurs du loto cochant 6 bons numeros,14 millions de fois leur mise (moins les frais d’organisation), comme cela fonctionnea la roulette (au casino), il n’en est rien : la somme redistribuee au loto est une propor-tion de la masse d’argent apportee par les joueurs - le resteva dans les caisses de l’etat.

Le loto est donc un impot des pauvres, mis en place par la gauche : les contri-buables, dans ce cas, sont les desherites, ceux qui revent d’une vie meilleure, ceuxqui attendent du ciel une vie meilleure, et qui n’ont pas eu lachance de faire desmathematiques.

Approximation par une loi binomiale

LorsqueN > 10n, il est generalement admis d’approximer la loiH(N, n, π) parune loiB(n, π)

EXEMPLE 28 (APPROXIMATION D’ UNE H(100 ;10 ;0,1)PAR UNE B(10 ;0,1)).y 0 1 2 3 4 5 6

H(100 ;10 ;0,1) 0,330 0,408 0,202 0,052 0,008 0,001 0,000B(10 ;0,1) 0,349 0,387 0,194 0,057 0,011 0,001 0,000

L’approximation de la loi hypergeometrique par la loi binomiale est bonne car ladeviation maximale est de l’ordre de 0,02.

Exemples

EXEMPLE 29. Dans un groupe de 20 personnes, 8 sont des fumeurs. On choisit auhasard 5 personnes. Quelle est la probabilite d’obtenir 3 fumeurs si

56

1. Le choix est fait sans remise ?

2. Le choix est fait avec remise ?

Reponse :

1. Choix sans remise.Etant donne que le choix de 5 personnes est fait sans remise d’une population de20 et que Y est le nombre de fumeurs, on a queY → H(20; 5; 0, 4). Donc

Pr(Y = 3) =C3

8C212

C520

= 0, 2384

2. Choix avec remise.Soit Y le nombre de fumeurs choisis parmi 5, alors que la proportion de fumeursdans la population estπ = 8/20 = 0, 4. Puisque le choix est fait avec remise, ona queY → B(5; 8/20). Donc

Pr(Y = 3) = C35 (0, 4)3(0, 6)2 = 0, 230

Exercices

Exercice 62. Un individu acheten billets de loterie.m billets sont mis en vente, donts sont gagnants.

Quelle probabilite a-t-il de gagner ?

Reponse :P (X = k) =Ck

s Cm−km−s

C − mn, carX → H(m, n, s

m).

Exercice 63. Une urne contienta boules blanches numerotees de 1a a, et b boulesnoires numerotees dea + 1 a a + b.

On tire successivementn boules sans remise. SoitX la variable aleatoireegale aunombre de boules blanches obtenues. Donnez la loi deX.

Reponse :X → H(a + b, n, aa+b

.

57

3.2.4 Loi de Poisson

La variable aleatoire

DEFINITION 32 (LOI DE POISSON). SoitX une variable aleatoire discrete, telle que

∀k ∈ N, fX(k) = e−λ λk

k!

Alors on dit queX suit uneloi de Poissonde parametreλ. ♦

NOTATION : On note cela :X → P (λ).

PROPRIETE XXXIII :E(X) = λ, V (X) = λ.

La loi de Poisson sera d’abord presentee comme une bonne approximation de laloi binomiale, dans le cas particulier ou un succes est un ´evenement rare (c’est-a-dire quandπ est petit). Ensuite, on verra cette loi comme une necessit´e pour etudierdes phenomenes dont les resultats sont du type succes-´echecs, mais dont le nombred’echecs ne peut etre evalue.

Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson

Lorsque n (le nombre d’experiences de Bernoulli) est grand, il devient technique-ment difficile de calculer la probabilite normalement obtenue par la loi de Bernoulli.

Ainsi, la probabilite

Pr(Y = y) = Cy1000, 01y(0, 99)100−y

est difficile a evaluer a moins d’utiliser une tres grande precision de calcul exigee parla petite valeur deπ = 0, 01.

Lorsque n est grand,π est petit etλ = nπ est modere, on peut prouver que :

Cynπy(1 − π)n−y ≈ e−λλy

y!

et doncB(n, π) ≈ P (λ)

C’est l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. Illustrons cela :

58

y Cy100π

y(1 − π)100−ye−λλy

y!erreur

0 0, 3660 0, 3679 0, 00191 0, 3697 0, 3679 −0, 00182 0, 1849 0, 1839 −0, 00103 0, 0610 0, 0613 0, 00034 0, 0149 0, 0153 0, 00045 0, 0029 0, 0031 0, 00026 0, 0005 0, 0005 0, 00007 0, 0001 0, 0001 0, 0000

−−−−−− −−−−−−1, 0000 1, 0000

Si une erreur dans le calcul de la probabilite d’au plus 0,0020 est acceptable, alorsl’approximation par la loi de Poisson est utilisee. Pourπ etλ un peu plus grand, l’ap-proximation est forcement moins bonne, telle qu’illustr´ee par le tableau suivant ouB(100 ;0,1) est comparee a P(10)

59

y C100y0, 1y0, 9100−ye−1010y

y!erreur

0 0, 0000 0, 0000 0, 00001 0, 0003 0, 0005 0, 00022 0, 0016 0, 0030 0, 00113 0, 0059 0, 0076 0, 00174 0, 0159 0, 0189 0, 00305 0, 0339 0, 0378 0, 00396 0, 0596 0, 0631 0, 00357 0, 0889 0, 0901 0, 00128 0, 1148 0, 1126 0, 00229 0, 1304 0, 1251 0, 005310 0, 1319 0, 1251 0, 006811 0, 1199 0, 1137 0, 006212 0, 0988 0, 0948 0, 004013 0, 0743 0, 0729 0, 001414 0, 0513 0, 0521 0, 000815 0, 0327 0, 0347 0, 002016 0, 0193 0, 0217 0, 002417 0, 0106 0, 0128 0, 002218 0, 0054 0, 0071 0, 001719 0, 0026 0, 0037 0, 001120 0, 0012 0, 0019 0, 000721 0, 0005 0, 0009 0, 000422 0, 0002 0, 0004 0, 000223 0, 0001 0, 0002 0, 000124 0, 0000 0, 0001 0, 0001

−−−−−− −−−−−−1, 0000 1, 0000

Deja, pourλ = 10, l’erreur maximale est de 0,0068, alors qu’elle etait de 0,0019pourλ = 1.

Le tableau suivant nous fournit l’erreur maximale d’approximation d’uneB(100; π)par uneP (nπ) :

π n λ = nπ erreur maximale

0,01 100 1 0,00190,10 100 10 0,00680,15 100 15 0,00870,20 100 20 0,0105

60

La necessite de la loi de Poisson si le nombre d’echecs est inconnu

Pour utiliser une loi binomiale, on doit, en particulier, fixer la taille de l’echantillonn. Il existe des experiences ou, meme si l’observation est de type succes-echecs, lenombre d’echecs est, soit infini, soit inconnu.

Par exemple, si on peut compter le nombre d’appels telephoniques recus (succes)pour une periode d’une heure, on ne peut pas, par contre, evaluer ceux qu’on aurait purecevoir (echecs). De meme, on peut compter le nombre de pucerons (succes) presentssur une feuille de chou, mais on ne peut pas evaluer le nombrede pucerons qui auraientpu etre la, mais qui n’y sont pas (echecs).

On utilise la loi de Poisson lorsque la moyenne et la variancede l’echantillon sontdu meme ordre de grandeur.

Comme la loi de Poisson est une loi binomiale oun → ∞, π → 0, nπ → λ, alors :

EP (Y ) = EB(Y ) = nπ = λ

V arP (Y ) = V arB(Y ) = nπ(1 − π) = λ

EXEMPLE 30. On observe le nombre de bacteries sur une plaque de Petri divisee encarres. Soit y le nombre de bacteries dans un carre.

y ny fy Py dy = fy − Py

0 5 0, 0424 0, 0498 −0, 00741 19 0, 1610 0, 1494 0, 01162 26 0, 2203 0, 2240 −0, 00373 26 0, 2203 0, 2230 −0, 00374 21 0, 1780 0, 1680 0, 01005 13 0, 1102 0, 1008 0, 0094

6 et+ 8 0, 0678 0, 0840 −0, 0162

200 1, 000 1, 000 0, 000

A partir de ce tableau, on est en mesure de calculer la moyenneet la varianceechantillonnale :

y = 2, 9322, s2 = 2, 4911

On remarque donc que la moyenne et la variance de l’echantillon sont voisines.LesPy sont les valeurs theoriques calculees a partir de la loi de Poisson (λ = 3, 0).

61

Exemples

EXEMPLE 31. A un peage d’autoroute, le nombre moyen d’arrivee des vehicules estde 30 vehicules par heure.Quelle est la probabilite pour que, durant 12 minutes, trois vehicules passent le peage ?

ReponseNous sommes ici dans le cadre d’une loi de Poisson : les voitures arrivent au compte-goutte, on a affaire a un phenomene rare. Soit doncX la variable aleatoire (discrete)qui compte le nombre de vehicules arrivant audit peage en 12 minutes ; on vient devoir queX suit une loi de PoissonP (λ). Il reste a determiner le parametreλ.

Sachant que trente vehicules, en moyenne, arrivent a ce p´eage en une heure, onen deduit qu’en 12 minutes, on est en droit d’attendre 6 vehicules. Or,λ est aussil’esperance de la variable aleatoireX. Ainsi, λ = 6.

D’ou P (Xt = 3) = e−6 63

3!= 0, 0892 : la probabilite pour que, durant 12 minutes,

trois vehicules passent le peage est donc de 0,0892.

Exercices

Exercice 64. Soit une v.a. de Poisson de parametreλ = 3.

1. CalculerP (X = 3), P (X < 6), P (7 ≤ X), P (6 < X < 9).

2. Determiner les valeurs dex0 telles queP (X < x0) ≤ 0, 9.

Exercice 65. Un restaurateur a un stock de 700 kg de steak de viande.Ces 700 kg contiennent des virus avec une moyenne de 3 virus par kilo. Une etudemedicale montre qu’il est dangereux d’avaler au moins 9 virus. Un client commandeun steak de 1 kilo et le mange ; quelle est la probabilite qu’il soit gravement malade ?

62

Exercice 66. Le central telephonique de la societe X recoit des appelsa raison de60 appels par heure en moyenne. En supposant que le nombre d’appels pendant unintervalle de temps quelconque suit une loi de Poisson, calculer la probabilite pourque, durant deux minutes, le central recoive exactement trois appels.

Exercice 67. Le nombre d’accidents hebdomadairesa un croisement donne peutetremodelise par une variableX suivant une loi de PoissonP (1).

1. Calculer la probabilite qu’une semaine donnee on n’enregistre aucun accident.

2. Calculer la probabilite qu’une semaine donnee on enregistre au plus trois acci-dents.

3. Sachant qu’une annee comporte 52 semaines, determiner le nombre moyen desemaines sans accident au cours d’une annee.

3.2.5 Exercices

3.3 Exercices

Exercice 68. On lance indefiniment une piece de monnaie avec laquelle la probabilited’obtenir pile estp ∈]0, 1[. On noteAi l’ evenement “leiieme lancer donne un pile”etX la variable aleatoire discreteegale au numero du lancer o est obtenu le premierface.

1. Pour toutk ∈ N∗, exprimer l’evenement(X = k) en fonction desevenements

Ai, i ∈ N∗ et calculerP (X = k).

2. Determiner l’esperance mathematique et la variance deX.

Exercice 69. Soit l’experience aleatoire qui consistea lancer indefiniment un de nonpipe.SoitX la v.a. qui indique le nombre de lancers necessaires pour obtenir le nombre 3.

1. Determiner la loi de la v.a.X.

2. Calculer la probabilite d’obtenir le numero 3 au12e lancer.

63

3. Calculer l’esperance mathematique et la variance deX.

Exercice 70. Supposons que le temps d’attentea un gichet automatique obeissea uneloi exponentielle avec une moyenne de temps d’attenteegalea 15 minutes. Quelle estla probabilite qu’une personne attende entre 5 et 10 minutesa ce guichet ?

Exercice 71. Soit X une variable aleatoire discrete qui peut prendre chacune desvaleurs 1,2,3,...,24 avec la meme probabilite

1. Determiner la loi de la v.a.X.

2. CalculerP (X = 3).

3. Calculer l’esperance mathematique et la variance deX.

Exercice 72. On tire avec remise 37 jetons d’une urne contenant 666 jetonsnumerotesde 1a 666.SoitS la somme des numeros obtenus.Calculer l’esperance et la variance deS.

64

Chapitre 4

Variables aleatoires continues

4.1 Theorie

4.1.1 Densite de probabilite

Presentation

Lorsque la variable aleatoire observee est continue, l’ensemble des valeurs prisespar cette variable n’est pas denombrable et, generalement, il est donne par un intervallefini ou infini [a,b]. Sont generalement considerees comme variable aleatoire continuesdes variables du type suivant :

– la duree de vie,– le poids,– la temperature,– la longueur,– la vitesse,– etc.Le concept de variable aleatoire continue est une abstraction mathematique : la

duree de vie d’une piece electronique, le poids de la recolte de ble par hectare sont descaracteres qui ne peuvent etre mesures qu’avec une precision limitee. Cela contredit,par le fait meme, la definition de variable aleatoire continue dont l’ensemble des va-leurs forme un intervalle.

Mais le modele mathematique qu’entraıne le concept de variable continue nousfournit une simplification mathematique plus importante que l’imprecision qu’on doitaccepter.

65

Densite de probabilite d’une variable aleatoire continue

Pour une variable aleatoire discrete X, nous avions defini la densite de probabilitecomme etant :

fX(x) = Pr(X = x), x ∈ DX(domaine des valeurs de X)

Cette fonction de densite possede les deux caracteristiques suivantes :

1. fX(x) > 0, ∀x ∈ DX ,

2.∑

x∈DXfX(x) = 1.

De facon semblable, on definit la densite de probabilited’une variable aleatoirecontinue par les deux proprietes suivantes :

1. fX(x) > 0, ∀x ∈ R,

2.∫∞−∞ fX(x)dx = 1.

EXEMPLE 32. Verifions que la fonction

f(x) = 3x2 0 6 x 6 1= 0 ailleurs

satisfait aux proprietes d’une densite d’une variable aleatoire continue.

1. f(x) = 3x2 > 0 pour0 < x < 1,

2. ∫ ∞

−∞3x2dx =

∫ 0

−∞0dx +

∫ 1

0

3x2dx +

∫ ∞

1

0dx = 1

DEFINITION 33 (DENSITE DE PROBABILITE). On dit alors que cette fonction est unedensite de probabilite d’une variable aleatoire continue, la densite de probabilitefX(x)n’est pas une probabilite, mais simplement une fonction aintegrer sur un intervallepour obtenir la probabilite associee a cet intervalle. ♦

Ainsi, la probabilite que la variable aleatoire X prenne une valeur dans un intervalle[c,d] se calcule comme suit :

Pr(c 6 X 6 d) =

∫ d

c

fX(x)dx

66

4.1.2 Moyenne et variance d’une variable aleatoire continue

Soit une variable aleatoire continue X dont la densite estnoteefX(x).

DEFINITION 34 (MOYENNE (ESPERANCE) D’ UNE VAC). On definit l’esperance deX, (appele aussi moyenne), noteeE(X) ouµX , le nombre

E(X) =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx

Cette moyenne ponderee (la ponderation etant la fonction de densitefX(x)) estdite esperance mathematique et est encore noteeE(X).

EXEMPLE 33. Soit la densite

f(x) = 3x2 0 6 x 6 1= 0 ailleurs

Notant que la densite n’est non nulle que sur l’intervalle ]0 ;1], on a

E(X) =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx =

∫ ∞

−∞x3x2dx =

3

4

Variance

Considerons la variable aleatoire continue X dont la densite est noteefX(x) et lamoyenneµX .

DEFINITION 35 (VARIANCE). On definit lavariancede X, noteeσ2X par

σ2X =

∫ ∞

−∞(x − µX)2fX(x)dx

NOTATION : On note aussi cette integraleE(X − µX)2.

NOTATION : Une autre notation deσ2X est Var(X).

REMARQUE 17. On remarque queσ2X est aussi une moyenne ponderee des carres des

ecarts a la moyenne(x − µX)2.

67

REMARQUE 18. Il est souvent plus facile d’utiliser la formule suivante pour calculerune variance :

σ2X = E(X − µX)2 = E(X2) − µ2

X

EXEMPLE 34. Reprenant l’exemple precedent, on veut calculerσ2X en utilisant la for-

mule precedente :

E(X2) =

∫ 1

0

x23x2dx =3

5

Alors

σ2X =

3

5−(

3

4

)2

PROPRIETE XXXIV : Comme dans le cas discret, on a, pour une variable aleatoirecontinue,

E(aX + b) = aµX + b

V ar(aX + b) = a2σ2X

4.1.3 Fonction de repartition

DEFINITION 36 (FONCTION DE REPARTITION). La fonction de repartition d’une va-riable aleatoireX est la fonction

FX(x) = p(X 6 x)

PROPRIETE XXXV : On a les liens suivants entre la densite de probabilite etlafonction de repartition :

1. La densite de probabilitefX est la derivee de la fonction de repartitionFX(x),

2.∫

fXdx = FX(x),

3.∫ b

afX(x)dx = FX(b) − FX(a) = p(a < x 6 b),

4.∫ a

−∞ fX(x)dx = FX(a) = P (X 6 a),

5.∫∞

afX(x)dx = 1 − FX(a) = P (X > a).

68

4.1.4 Exercices

Exercice 73. P est une loi de probabilite sur[0; +∞[ de densitef definie parf(x) =2e−2x.

CalculezP ([n; n + 1]) pour tout entier naturel n.

Exercice 74. P est une loi de probabilite sur [1 ;10] de densite f definie parf(x) =λx−2.

Determinezλ.

Exercice 75. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

332

x(4 − x) si 0 ≤ x ≤ 40 sinon

Calculer la fonction de repartition de la variable aleatoireX.

Exercice 76. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

ax si 0 ≤ x ≤ θ0 sinon

ou θ est un parametre positif fixe

1. Determiner la constantea en fonction deθ.

2. Calculer la fonction de repartition de la variable aleatoireX.

69

Exercice 77. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

1 + x si − 1 ≤ x ≤ 01 − x si 0 ≤ x ≤ 1

0 sinon

1. Calculer la fonction de repartition de la v.a.X.

2. CalculerP (X ≤ 13), P (X ≤ −1

3), P (X < 1

3), P (X < −1

3), P (X = 0),

P (−13≤ X ≤ 1

7),P (−1

3< X < 1

7), P (X = 1

2).

Exercice 78. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

kxθ−1 si 0 ≤ x ≤ θ

0 sinon

ou 1 ≤ θ

1. Determiner la constante k.

2. Calculer la fonction de repartition de la v.a.X.

Exercice 79. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

1 + x si − 1 ≤ x ≤ 01 − x si 0 ≤ x ≤ 1

0 sinon

1. Determiner le mode deX.

2. Calculer l’esperance mathematique deX.

3. Calculer la variance deX et en deduireσ(X).

70

Exercice 80. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

332

x(4 − x) si 0 ≤ x ≤ 40 sinon

1. Determiner le mode deX.

2. Calculer l’esperance mathematique deX.

3. Calculer la variance deX et en deduireσ(X).

Exercice 81. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

(x

θ)θ−1 si 0 ≤ x ≤ θ0 sinon

o θ est un nombre positif fixe

1. Calculer l’esperance mathematique deX.

2. En deduireV (X).

3. Sachant que la fonction de repartition de la v.a.X est

FX(x) =

0 si x ≤ 0(x

θ)θ si 0 ≤ x ≤ θ

1 sinon

determiner la mediane deX.

Exercice 82. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

2xθ2 si 0 ≤ x ≤ θ0 sinon

ou θ est un nombre positif fixe Calculer l’esperance mathematique deX, etV (X).

71

Exercice 83. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

k

(1−x)2si 2 ≤ x < 4

0 sinon

1. Determiner la constantek.

2. Calculer la fonction de repartition de la v.a.X.

3. CalculerE(X).

Exercice 84. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

ke−x si x > 4

0 six ≤ a

ou a est un reel donne

1. Determiner la constantek.

2. Calculer la mediane deX.

Exercice 85. SoitX la v.a. continue de densite :

fX(x) =

1|x|3 si |x| > 1

0 sinon

1. Verifier quefX est bien une densite de probabilite.

2. Determiner la fonction de repartition de la v.a.X.

3. CalculerE(X) etV (X).

Exercice 86. La variable aleatoireX a pour densite de probabilite au pointx reel :

fX(x) =1

2e−|x−θ|, θ ∈ R

Determiner la mediane deX, et calculerE(X).

72

4.2 Quelques lois de probabilite de variables aleatoirescontinues

Se rapportant aux deux conditions necessaires pour dire qu’une fonction est unedensite de probabilite, il est facile d’en ecrire une infinite. Par contre, il y a des loisconnues dont l’interpretation est facile et utile. Nous allons en detailler certaines.

4.2.1 Loi uniforme ou rectangulaire

Definition

DEFINITION 37 (LOI UNIFORME). La loi uniforme, definie sur l’intervalle [a,b] apour densite de probabilite :

fX(x) =1

b − a, x ∈ [a, b]

...dont la courbe representative est

1

b−a

x

f (x)X

a b

Propri etes

On peut calculer la moyenne et la variance de cette loi uniforme :

E(X) =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx =

∫ b

a

x1

b − adx =

a + b

2

73

De meme,

E(X2) =

∫ ∞

−∞x2fX(x)dx =

∫ b

a

x2 1

b − adx =

a2 + ab + b2

3

Et donc

V ar(X) = E(X2) − E(X)2 = · · · =(a − b)2

12

PROPRIETE XXXVI : Si X → U([a, b]), alors

E(X) =a + b

2, V ar(X) =

(a − b)2

12

Exercices

Exercice 87. On choisit un reel au hasard entre 0 et 1. Quelle est la probabilite d’ob-tenir un nombre entre1

8et 1

6.

Reponse :P([

18; 1

6

])=∫ 1

61

8

1dx =1

24.

Exercice 88. Un appareil de mesure automatique du potassium sanguin est deregle etdonne des resultats entre 0 et 10 mmol/L de facon uniforme.

Determiner la densite de cette loi uniforme sur [0,10].

4.2.2 Loi de Laplace ou exponentielle

Presentation

La loi de Laplace ou exponentielle est associee a l’etudede la duree de vie, autemps d’attente entre deux evenements aleatoires, ou aun temps d’attente pour unepremiere observation d’un evenement aleatoire A.

74

La variable aleatoire T (temps) peut prendre (conceptuellement, du moins) toutesles valeurs de[0;∞[, et sa densite devrait decroıtre avec les grandes valeurs de T. Si T,par exemple, est la duree d’un appel telephonique, il estvraisemblable que les longsappels telephoniques soient moins frequents.

Definition

DEFINITION 38 (LOI DE LAPLACE). La variable aleatoire T obeit a uneloi de La-placede parametreλ, noteeL(λ), si sa densite est donnee par

fT (t) = λe−λt si t > 0, et 0 sinon

Son graphe a alors l’allure suivante :

λ

t

f (t)T

Propri etes

PROPRIETE XXXVII : SoitX suivant une loi de Laplace de parametreλ, alors

E(T ) =1

λ, V ar(T ) =

1

λ2

Exemple

75

EXEMPLE 35. On suppose que le temps d’attente dans une clinique vet´erinaire obeita une loi exponentielle de parametreλ = 0, 2. Calculons la probabilite que le tempsd’attente soit inferieur a 3mn.

Reponse :

Pr(T 6 t) =

∫ t

0

λe−λtdt

donc

Pr(T 6 3) =

∫ 3

0

0, 2e−0,2tdt = 0, 4512

Exercices

Exercice 89. Une variable aleatoireX a une loi de probabilite exponentielle de pa-rametreλ sur [0; +∞[.

Calculez la valeur deλ sachant que la probabilite pour queX soit inferieur a 70estegala 0,05.

Reponse :7, 33 ∗ 10−4

Exercice 90. La duree de vie X (en heures) d’un composantelectronique aete modelisepar la loi exponentielle de parametreλ = 0, 0006 sur [0; +∞[.

1. Quelle est la probabilite qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une dureede vie inferieurea 1000 heures ?

2. Quelle est la probabilite qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encoreenetat de marche au bout de 500 heures ?

4.2.3 La loi normale (ou de Laplace-Gauss)

Presentation

Une des plus anciennes et des plus importantes lois de la theorie des probabilitesest la loi de Laplace-Gauss ou loi normale.

76

DEFINITION 39 (LOI NORMALE). On dit qu’une vacX suit uneloi normalede pa-rametreµ etσ si sa densite est egale a :

f(x) =1

σ√

2πe−

1

2

x − µ

σ

!2

PROPRIETE XXXVIII : µ et σ2 sont respectivement la moyenne et la variance dela variable aleatoire X.

La densite de la loi normale est symetrique par rapport a la droitex = µ et possededeux points d’inflexion dont les abscisses sontµ − σ etµ + σ.

NOTATION : Puisque la loi normale est caracterisee completement par les parametresµ etσ2, on ecritX → N(µ, σ2) pour indiquer que X obeit a la loi normale de moyenneµ et de varianceσ2.

77

PROPRIETE XXXIX : On pourrait montrer que

E(X) =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx = µ

et queV ar(X) = σ2

Il est aussi possible de calculer

Pr(µ − σ 6 X 6 µ + σ) =

∫ µ+σ

µ−σ

fX(x)dx

Pr(µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) =

∫ µ+2σ

µ−2σ

fX(x)dx

Pr(µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) =

∫ µ+3σ

µ−3σ

fX(x)dx

Il en resulte que siX → N(µ, σ2), on doit s’attendre a trouver, pour un echantillonde grande taille (n > 100) :

– 68 % des observations dans l’intervallex ± s– 95 % des observations dans l’intervallex ± 2s– et presque toutes les observations dans l’intervallex ± 3s

EXEMPLE 36. La duree de la grossesse pour les humains suit une loi normale demoyenne 266 jours et d’ecart-type 16 jours. Il est possiblede calculer la proportionde nourrissons se presentant avec deux semaines de retard en calculant :

Pr(X > 280) =

∫ ∞

280

1√2π16

e−

1

2

0

@

x − 266

16

1

A

2

dx

Apres quelques calculs laborieux, on trouverait :

Pr(X > 280) = 0, 1908 (ou 19% des nourissons)

Il serait extremement penible de calculer des integrales de ce type a chaque fois quel’on desire evaluer une probabilite d’une loi normale. Pour eviter cela, on va utiliserun changement de variable qui amenera une variableX → N(µ, σ2) a une variableZ → N(0, 1)...

78

La loi normale centree reduite

Si on poseZ =X − µ

σ, avecE(X) = µ etV ar(X) = σ2, alors

E(Z) = E

(X − µ

σ

)=

1

σ[E(X) − µ] = 0

V ar(Z) = V ar

(X − µ

σ

)=

1

σ2V ar(X − µ)

1

σ2V ar(X) = 1

La variableZ suit une loiN(0, 1) et sa densite est

fZ(z) =1√

1√

2πe−

s2

2

Pour eviter des integrations laborieuses, cette densit´e a ete tabulee et permet decalculer les probabilites de toute loi normale.

Si la loi normale est quelconque, disonsN(µ, σ2), il faut d’abord utiliser la trans-formation :

Z =X − µ

σ

avant d’utiliser la table.Voici un exemple illustrant les principaux cas :

EXEMPLE 37. ConsideronsX → N(3, 4) et calculons les probabilites suivantes :

1. Pr(X 6 5),

2. Pr(X > 2, 2),

3. Pr(|X| > 3, 4),

4. Pr(|X| 6 2, 0).

Reponses :

1. Pr(X 6 5) = Pr(Z 6 (5 − 3)/2) = Pr(Z 6 1) = 0, 8413

2. Pr(X > 2, 2) = Pr(Z > (2, 2− 3)/2) = 1−Pr(Z 6 −0, 4) = 1− 0, 2446 =0, 6554

3. Pr(|X| > 3, 4) = Pr(X 6 −3, 4) + Pr(X > 3, 4) = 0, 4214

4. Pr(|X| 6 2, 0) = 0, 3023

79

EXEMPLE 38. Supposons que la theorie dise que le contenu en acide ascorbique par100 grammes de haricots de Lima obeisse a la loiN(96mg, 620mg2).

La proportion des observationsY d’acide ascorbique par 100 grammes de haricotsqui depasse 110 mg est selon ce modele donne par :

Pr(Y > 110) = Pr

(110 − 96√

620

)≈ 1 − Pr(Z 6 0, 56) = 0, 2877

Historiquement, cette loi fut decouverte par De Moivre (1667-1705). Il travaillaitalors sur un probleme d’approximation pose par Bernoulli(1654-1705). De Moivrepublia l’equation en 1733, mais il semble qu’il n’ait pas utilise ses resultats avec desdonnees experimentales. L’utilisation de la loi normalecommenca veritablement avecdeux mathematiciens astronomes : Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855) qui,independamment, redecouvrirent cette loi. En particulier, Gauss demontra son utilitecomme modele pour decrire les erreurs de mesure dans les sciences physiques.

Carte de controle

PROPRIETE XL : Soit une variable aleatoireX suivant une loi normaleN(m; σ),

etT =X − m

σ, qui suit donc une loi normale centree reduite. Alors

1. p(m − σ < X < m + σ) = p(−1 < T < 1) = 2π(1) − 1 = 0, 64. Parexemple,64% d’une population est proche de l’age moyenm aσ pres.

2. p(m − 2σ < X < m + 2σ) = p(−2 < T < 2) = 95%.

3. p(m − 3σ < X < m + 3σ) = p(−3 < T < 3) = 99, 8%.

Exercices

Exercice 91. SoitZ la variable aleatoire obeissanta la loi normale centree reduite.Calculez :

1. Pr(Z > 1),

2. Pr(Z 6 −1),

3. Pr(Z > 0),

4. Pr(|Z| 6 1, 645),

5. Pr(|Z| > 1, 96),

6. Pr(Z2 > 3, 84).

80

Exercice 92. SoitX la variable aleatoire obeissanta la N(2,9). Calculez :

1. Pr(X 6 3),

2. Pr(1 6 X 6 3),

3. Pr(|X| > 1),

4. Pr(|X| 6 1, 5),

5. Pr(X > 2),

6. Pr(X2 > 4).

Exercice 93. Si l’on suppose que la taille des habitants de France obeit a la loi nor-male de moyenne 175 cm et de variance 43cm2, quelle est la probabilite de trouverun individu depassant 190 cm ?

Exercice 94. Si l’on suppose que la longueur d’une espece de serpent suit une loinormale de moyenne 200 cm et de variance 50cm2, quelle est la longueur qu’unserpent doit avoir pour qu’il y ait 5 % des serpents de son espece dont la longueur soitplus petite ouegalea la sienne ?

Exercice 95. La v.a.X suit une loi normaleN(0, 1). CalculerP (X < 0, 33), P (X <2, 1), P (X ≤ 2, 57), P (X > 1), P (X < −0, 42), P (X ≤ −0, 7), P (X > −0, 12).

Exercice 96. Soit une loi normale centree reduite.Determiner le reelx0 dans les trois cas suivants :

1. P (X > x0) = 0, 8315

2. P (X 6 x0) = 0, 0239

81

3. P (X < x0) = 0, 0082

Exercice 97. La v.a.X suit une loi normaleN(3, 2).CalculerP (X < 4), P (X < 6), P (X ≤ 5), P (X > 1), P (X < 4), P (1 ≤ X ≤ 2),P (X > 3).Quelle est la loi suivie par la variable aleatoireY = 3X + 1 ?

Exercice 98. SoitX une variable aleatoire de loi normaleN(m, σ).On sait queP (X > 3) = 0, 8413 etP (X > 9) = 0, 0228.Calculerm etσ.

Exercice 99. SoitY une variable aleatoire de loiN(1, 2).On definit la variable aleatoireX par Y = ln(X − 2).

1. CalculerP (2, 1 < X < 3)

2. Sachant queX est une variable aleatoire normale telle queP (X < −1) = 0, 5etP (−1, 6 < X < −0, 4) = 0, 7, determinerE(X) etV (X).

Exercice 100.SoitX une variable aleatoire qui suit une loi normaleN(m1, σ1).SoitY une variable aleatoire qui suit une loi normaleN(m2, σ2).Y etX sont deux v.a. independantes.

1. Determiner la loi suivie par la variable aleatoireZ = X + Y .

2. Meme question pour la variable aleatoireW = aX + bY .

3. Quelle est la loi de1n(X1 + ... + Xn) ? On supposera les v.a.Xi independantes

et de meme loi queX.

82

Exercice 101.Le prixX d’un ordinateur est suppose distribue selon une loi normalede parametres m=1000 euros etσ = 70 euros.

1. Calculer les probabilite desevenementsm−σ < X < m+σ etX > 10002. Determiner un intervalle centre sur la moyennem et ayant95% de chances de

contenirX.

4.3 Theoreme central limite

4.3.1 Enonce

La loi normale est utilisee pour l’approximation de lois dont les probabilites sontplus laborieuses a calculer.

Pour cela, on utilise un outil tres puissant : letheoreme central limite.

PROPRIETE XLI (THEOREME CENTRAL LIMITE) : Si un echantillonX1, X2, . . . , Xn est tire d’une loi quelconque de moyenneµ et de varianceσ2, alors la somme desXi suit une loi normale de moyennenµ et de variancenσ2,a la condition quen soit suffisamment grand.

REMARQUE 19. En general, on demande quen > 30.

En resume,

SiXi → Quelconque(µ, σ2), alorsn∑

i=1

Xi → N(nµ, nσ2)

EXEMPLE 39. SiXi suit une loi de Bernoulli de moyenneπ et de varianceπ(1 − π),alorsY =

∑ni=1 Xi suit uneN(nπ, nπ(1 − π)) Mais nous avons aussi vu queY →

B(n, π).

Par consequent, le theoreme central limite permet l’approximation normale de laloi binomiale :

83

Si X → B(1, π), alorsY =∑

Xi → N(nπ, nπ(1 − π)) et

Z =Y − nπ√nπ(1 − π)

→ N(0, 1)

EXEMPLE 40. SiX → B(20; 0, 3), alorsPr(Y 6 10) = 0, 983 par la table de la loinormale.

Ici, µ = nπ = 20 ∗ 0, 3 = 6 etσ2 = nπ(1 − π) = 20 ∗ 0, 3 ∗ 0, 7 = 4, 2.En utilisant l’approximation normale :

Pr(Y 6 10) = Pr

(Z 6

10 − 6√4, 2

)= 0, 9744

L’approximation n’est pas tres bonne : il faut utiliser la correction pour continuite.

4.3.2 Correction pour la continuite

Le theoreme central limite est avant tout un theoreme limite, c’est-a-dire que laloi de la somme n’est normale que lorsqu’on imagine la tailleechantillonnale devenueinfiniment grande.

Pour une taille moderee, on parle d’approximation et lorsque l’approximation estcelle d’une loi discrete par une loi continue, une correction ditecorrection pour lacontinuite, ameliore souvent l’approximation.

84

A

9 9,5 10 10,5 11

B

loi normale

loi binomiale

La vraie probabilite est representee par les tuyaux d’orgues etPrB(Y 6 10) estla partie foncee du graphique. Cette probabilite est approximee par la surface sous lacourbe de la loi normale (les deux petits triangles A et B etant presque equivalents) :PrN(Y 6 10, 5).

Dans l’exemple

Pr(Y 6 10, 5) = Pr

(Z 6

10, 5 − 6√4, 2

)= 0, 9859

On pourra utiliser cette correction pour continuite dans les cas suivants :

PrB(Y 6 y) = PN(Y 6 y +1

2)

PrB(Y > y) = PN(Y > y − 1

2)

PrB(Y = y) = PN(y − 1

26 Y 6 y +

1

2)

4.4 Lois de variables aleatoires multivaries

4.4.1 Introduction

Souvent, il est necessaire d’etudier plusieurs caracteres de facon simultanee sur lesmemes individus.

85

Ainsi, voulant tenir compte simultanement de l’age (X1, mois), du poids (X2, kg),du sexe (X3) et de la quantite de nourriture prise (X4, kg), on associe a l’individu Kl’observation multivariee :

individu K : (Xk1, Xk2, Xk3, Xk4)

4.4.2 Variables aleatoires multivariees

Si plusieurs caracteres sont etudies simultanement sur chacun des individus, onparle d’etude multivariee. Pour chacun des caracteres, on associe une variable aleatoire.Ces variables aleatoires associees aux caracteres sontsoit discretes, soit continues.

EXEMPLE 41. Une experience aleatoire est conduite sur une especeparticuliere desouris. Le biologiste, devant eventuellement tuer les souris pour finaliser son experience,veut profiter de son organisation experimentale pour observer quelques autres ca-racteristiques :

1. X1 : age,

2. X2 : poids,

3. X3 : taux d’hemoglobine dans le sang,

4. X4 : niveau du bruit systolique.

Ce genre d’etude nous conduit a la variable aleatoire multivariee(X1, X2, X3, X4).Nous allons surtout etudier le cas bivarie de la variable (X,Y) ou X et Y sont des

variables discretes.

4.4.3 Densite d’une variable aleatoire multivari ee discrete

Presentation

Pour une variable aleatoire univariee discrete Y, la fonction de densite donne, pourchaque valeur possible y, la probabilite de son observation :

fY (y) = Pr(Y = y)

De facon semblable pour une variable bivariee discrete,la probabilite associee achacune de ses valeurs possibles est donnee par lafonction de densite jointe:

fXY (x, y) = Pr(X = x, Y = y)

ou l’evenement (X=x,Y=y) veut dire la realisation simultannee des evenements (X=x)et (Y=y).

86

En particulier, cette fonction satisfait aux deux caracteristiques deja exigees pourune densite dans le cas d’une seule variable discrete, a savoir :

1. fXY (x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ R2,

2.∑

x

∑y fXY (x, y) = 1.

Ici aussi, il faut bien distinguer entre– un tableau des frequences observees (statistique),– un tableau des probabilites jointes (loi de probabilite).

Definitions

DEFINITION 40 (LOI CONJOINTE). Soit (X,Y) un couple de var discretes definies surΩ, tels queX(Ω) = x1, ..., xn, ... etY (Ω) = y1, ..., yn, ....On appelleloi conjointede (X,Y) la famille des reelspi,j definis par :

∀(i, j) ∈ N2, pi,j = P (X = xi, Y = yj)

REMARQUE 20. Cespi,j sont positifs et leur somme vaut 1.

Exercice 102.Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On tire succes-sivement, sans remise, deux boules de l’urne, et on note(Xi)i=1,2 la variable aleatoirereelleegalea 1 si la i-eme boule blanche tiree est blanche, et 0 sinon.

Calculez les coefficients de la loi conjointe du couple(X1, X2).

Exercice 103.Un sac contient des jetons numerotes de 1a n.

On en tire successivement deux, avec remise, et on noteX1 (resp.X2) le plus petit(resp. le plus grand) des numeros tires.

Determinez la loi conjointe du couple.

87

4.4.4 Lois marginales

La premiere loi marginale du couple (X,Y) est la loi de X, et la deuxieme loi mar-ginale de ce couple est la loi de Y.

On peut les definir ainsi :

∀i ∈ N : P (X = xi) =

n∑

j=1

P (X = xi, Y = yj)

∀i ∈ N : P (Y = yj) =n∑

i=1

P (X = xi, Y = yj)

Exemples

EXEMPLE 42. Une experience aleatoire consiste a lancer une piece de monnaie et unde. On lance d’abord la piece et on pose X=1 si on obtient pile, et X=0 sinon. On lanceensuite le de et on pose Y=chiffre sur le sommet du de.

Si l’experience est repetee 30 fois, voici le tableau des frequences relatives ob-servees :

HH

HH

HH

XY

1 2 3 4 5 6 Total

1 230

230

230

330

0 330

1230

0 230

330

130

330

530

430

1230

Total 430

530

330

630

530

730

1

Le tableau des probabilites conjointes est :

HH

HH

HH

XY

1 2 3 4 5 6 Total

1 112

112

112

112

112

112

12

0 112

112

112

112

112

112

12

Total 16

16

16

16

16

16

1

88

EXEMPLE 43. Considerons maintenant une loi de probabilitefXY (x, y) ou X representele nombre d’enfants par menage et Y la region.

HH

HH

HH

XY

A B C D fX(x)

0 0,06 0,040 0,030 0,010 0,1401 0,032 0,040 0,200 0,020 0,2922 0,012 0,026 0,200 0,150 0,388

3+ 0,006 0,018 0,124 0,032 0,180

fY (y) 0,110 0,124 0,554 0,212 1,000

Cette derniere table contient trois lois de probabilite :

1. la loi des probabilites jointes : celle donnant la probabilite de chaque case,

2. la loi marginale de X : (nombre d’enfants par menage)

X 0 1 2 3+

fX(x) 0,140 0,292 0,388 0,810

3. la loi marginale de Y : (les differentes regions repertoriees)

Y A B C D

fY (y) 0,110 0,124 0,554 0,212

Les lois marginales de X et de Y sont simplement obtenues par addition des ligneset des colonnes respectivement :

fX(x) =∑

y∈DY

fXY (x, y), ∀x ∈ DX

fY (y) =∑

x∈DX

fXY (x, y), ∀y ∈ DY

Exercice 104.Calculez les lois marginales des exercices precedents.

89

Exercice 105.La loi conjointe du couple aleatoire fini(X, Y ) est donnee par le ta-

bleau suivant :

HH

HH

HH

XY

0 1 2

3 3α 6α 7 α

7 9α 12α 15α

37 0 0 18α

X(Ω) = 3, 7, 37, Y (Ω) = 0, 1, 2.

1. Determiner la constanteα.

2. Donner les lois marginales deX etY .

3. Quelle est la loi deY sachant queX > 6 ?

4.4.5 Independance de variables aleatoires

Chez un individu, il est vraisemblable de penser que deux caracteres soient reliesentre eux. Chez un enfant, on admet que l’age et le poids soient des caracteres associes.Par contre, chez l’adulte, ces memes caracteres sont moins ou pas du tout associes.

Le concept d’independance en probabilite est fondamentalement defini en termesd’evenements. Deux evenements A et B sont dits independants en probabilite si etseulement si :

Pr(A ∩ B) = Pr(A)Pr(B)

Pour les variables aleatoires discretes X et Y, la definition d’independance est sem-blable. Les variables X et Y sont independantes si et seulement si :

fXY (x, y) = fX(x)fY (y), ∀x, y

EXEMPLE 44. Retournant au dernier exemple ou les deux caracteres ´etudies sont Y,la region et X, le nombre d’enfants par menage, on remarqueque la relation :

fXY (x, y) = fX(x)fY (y)

n’est pas satisfaite pour toutes les valeurs de (x,y). On ditalors que les variablesaleatoires X et Y sont dependantes en probabilite.

En effet, dans la population etudiee, le fait de connaitrela region nous fournit uneinformation particuliere concernant la grandeur de la famille : pour la region D, on saitque 75 familles sur 106 comptent deux enfants alors que pour la region A, il n’y a que6 familles sur 55 qui comptent 2 enfants.

90

Quoique moins intuitive, la definition d’independance enprobabilite de variablesaleatoires continues se definit de facon semblable. Pourdes variables aleatoires discretesou continues, on a la definition suivante de l’independance en probabilite...

DEFINITION 41 (INDEPENDANCE DE VARIABLES ALEATOIRES). Deux variables aleatoires(continues ou discretes) sontindependantes en probabilitesi et seulement si :

fXY (x, y) = fX(x)fY (y), ∀(x, y)

c’est-a-dire que la densite jointe est le produit des densites marginales. ♦

4.4.6 Covariance et correlation

Considerons la fonction des variables aleatoires X et Y suivantes : g(X,Y). On pose

E(g(X, Y )) =∑

x

∑

y

g(x, y)fXY (x, y) (cas discret)

Covariance

DEFINITION 42 (COVARIANCE). La covarianceentre X et Y, notee Cov(X,Y) ouσXY se definit comme suit :

Cov(X, Y ) = E(X − µX)(Y − µY ) = E(XY ) − µXµY

REMARQUE 21. La covarianceCov(X, Y ) peut s’interpreter qualitativement, selonque les deux variables aleatoires ont tendances a varier dans le meme sens (covariancepositive), ou en sens contraire (covariance negative).

PROPRIETE XLII : On a :– cov(X,Y) = cov(Y,X)– cov(aX+bX’,Y)=a cov(X,Y)+b cov(X’,Y)– cov(X,X) = V(X)

DEFINITION 43. Deux var verifiant cov(X,Y)=0 sont dites non correlees. ♦

91

PROPRIETE XLIII : Deux var independantes sont non correlees. La reciproque estfausse.

Coefficient de correlation lineaire

Lorsque X et Y sont, par exemple, des tailles que l’on exprimeen metres, puis encentimetres, les variables aleatoires X et Y se trouvent multipliees par102.

Du fait queCov(αX, λY ) = αλCov(X, Y ), la covariance se trouve multipliee par10000.

Nous allons maintenant definir un indice qui donne une ideede la liaison entre Xet Y, mais qui ne soit plus dependant des effets d’echelle :

DEFINITION 44 (COEFFICIENT DE CORRELATION). Le coefficient de correlation entreX et Y est note

ρX,Y =σXY

σXσY

REMARQUE 22. Ce coefficient est exprime par un nombre sans unite, compris entre-1 et 1. Il donne une idee de la« liaison»entreX etY : plusρX,Y est proche (en valeurabsolue) de 1, plusY semble dependre deX de maniere affine (Y ≃ aX + b).

Si les variables X et Y sont independantes,

E(XY ) =∑

x

∑

y

xyfXY (x, y) =∑

x

∑

y

xyfX(x)fY (y)

et donc,E(XY ) =

∑

x

xfX(x)∑

y

yfY (y) = E(X)E(Y )

Par consequent,

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E(X)E(Y ) − E(X)E(Y ) = 0

PROPRIETE XLIV : Lorsque X et Y sont des variables aleatoires independantes, lacovariance entre X et Y et le coefficient de correlation sontegaux a 0.

92

Exercice 106.Une urne contient 4 jetons numerotes de 1a 4.On tire successivement et sans remise deux jetons et on noteX et Y les variablesaleatoires discretes correspondantes respectivement au premier et au second numeroobtenus.

La loi du couple(X, Y ) est donnee par le tableau :

backslashboxXY 1 2 3 4

1 0 1/12 1/12 1/12

2 1/12 0 1/12 1/12

3 1/12 1/12 0 1/12

4 1/12 1/12 1/12 0

1. Donner les lois marginales deX et deY .

2. Calculer Cov(X, Y ).

3. Les v.a.X etY sont-elles independantes ?

Exercice 107.La loi du couple(X, Y ) est donnee par le tableau :

HH

HH

HH

XY

1 2 3

1 0 0.5 0

2 0.25 0 0.25

1. Donner les lois marginales deX et deY .

2. Calculer Cov(X, Y ). Les v.a.X etY sont-elles independantes ?

3. Determiner la loi de la v.a. Z=3X+6Y+7.

4.4.7 Esperance et variance d’une somme de variables aleatoires

PROPRIETE XLV : Soit X et Y deux variables aleatoires, alors que a et b sont desconstantes. On peut montrer que

E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )

93

et que

V ar(aX + bY ) = a2V ar(X) + b2V ar(Y ) + 2abCov(X, Y )

EXEMPLE 45. Soit X et Y deux variables aleatoires de densite jointe:

HH

HH

HH

YX

-1 0 1

0 18

38

28

68

1 0 18

18

28

18

48

38

1

Alors

E(X) = −11

8+ 0

4

8+ 1

3

8=

2

8et

E(X2) = (−1)21

8+ 024

8+ 123

8=

4

8

Donc

V ar(X) = E(X2) − E(X)2 =28

64

De meme

E(Y ) = 06

8+ 1

2

8=

2

8

E(Y 2) = 02 6

8+ 122

8=

2

8

V ar(Y ) = E(Y 2) − E(Y )2 =12

64

D’ou

E(XY ) = (0∗ (−1))∗ 1

8+(0∗0)

3

8+(0∗1)

2

8+(1∗ (−1))0+(1∗0)

1

8+(1∗1)

1

8=

1

8

Soit

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =4

64

ρX,Y =464√

2864

√1264

= 0, 218

94

Soit maintenant la variable aleatoireZ = 2X − 3Y. Alors

E(Z) = 2E(X) − 3E(Y ) = −0, 25

et

V ar(Z) = 22V ar(X) + (−3)2V ar(Y ) + 2(2 ∗ (−3))Cov(X, Y ) = 2, 6875

Exercice 108.SoientX etY deux variables aleatoires discretes avecX(Ω) = −1, 0, 1etY (Ω) = −1, 0, 1.

La loi du couple(X, Y ) est donnee par le tableau :

HH

HH

HH

XY

-1 0 1

-1 1/5 0 1/5

0 1/15 1/15 1/15

1 1/5 0 1/5

1. Donner les lois marginales deX et deY .

2. Calculer E(X), V (X), E(Y ), V (Y ) et Cov(X, Y ).

3. Les v.a.X etY sont-elles independantes ?

4. Determiner la loi deY conditionnee parX = 0.

5. En deduire E[Y/X = 0].

95

Deuxieme partie

Statistiques

96

Chapitre 5

Statistiques descriptives

5.1 Population ouechantillon ?

5.1.1 La statistique

Objectifs et methodes

La statistique traite essentiellement de la cueillette, dela presentation, de l’analysedes observations, et de l’interpretation de ces analyses.

Elle s’appuie sur la theorie des probabilites et, a partir d’un sous-ensemble d’ob-servations, elle permet de tirer certaines conclusions pour un plus grand ensemble (touten tenant compte de l’incertitude qui en resulte).

Echantillon et population

Definitions

DEFINITION 45 (POPULATION). Une populationP est un ensemble de taille N d’in-dividus, d’objets, d’animaux,... dont on veut etudier uneou plusieurs caracteristiquesnotees X, Y... ♦

REMARQUE 23. On parle encore devariableau lieu decaracteristique.

DEFINITION 46 (ECHANTILLON ). Un echantillon est un sous-ensemble dePde bienplus petite taille. ♦

NOTATION : On note les valeurs de la variable etudieeX comme un n-uplet :(x1, x2, . . . , xn)ouxi ∈ P.

97

Exemple Considerons les etudiants de premiere annee de DUT informatique commenotre populationP, avec N=113. On associe a chaque personne formant la populationun numero :

000, 001, 002, . . . , 111, 112Un echantillon de cette classe pourrait etre l’ensemble des personnes portant les

numeros suivants :

(021, 032, 101, 003, 098, 047, 053), (n = 7)

Les caracteres a etudier pour chaque personne pourraient etre :X1 : le sexe :M,FX2 : l’age : [0,120] (annees)X3 : le poids : [0,100] (kg)X4 : l’interet pour la philosophie :grand, moyen, aucun

Voici les resultats (fictifs) obtenus par echantillonnage :

021 M 21,2 71 moyen032 F 23,0 52 aucun101 F 21,4 54 grand003 F 22,3 51 aucun098 M 20,1 72 moyen047 M 22,2 80 grand053 M 23,1 82 aucun

On notera alors les valeurs echantillonnales deX2 ainsi : (21,2 ; 23,0 ; 21,4 ; 22,3 ;20,1 ; 22,2 ; 23,1).

5.1.2 Classification des variables

Les variables de l’exercice precedent sont differentesa plusieurs egars :– certaines sontquantitatives(X2 etX3), et les autresqualitatives,– certaines sont continues (les valeurs quelles prennent sont un intervalle deR) et

d’autres discretes (valeurs finies ou denombrables)

EXEMPLE 46. Le nombre d’etudiants inscrits a l’universite, le nombre d’enfants dansune famille, le nombre d’especes de poissons dans un aquarium sont des variablesdiscretes.

EXEMPLE 47. La taille d’un individu, la vitesse d’une automobile ou le poids d’uninsecte, sont generalement consideres comme des variables continues.

98

REMARQUE 24. On considere comme continue une variable dont les modalites sonten grand nombre avec peu de repetitions.

Exercice 109.Parmi les variables suivantes, lesquelles peuventetre considerees commecontinues : poids d’un animal, vitesse d’une voiture, salaire d’un professeur, especed’un animal, nombre de larves sur une feuille ?

Peut-on considerer, selon les circonstances, des variables parfois continues et par-fois discretes ?

Exercice 110.Decrivez (qualitatif ou quantitatif, discret ou continu, etc.) les variablessuivantes :

1. Le poids d’un poulet.

2. L’opinion sur un parti politique.

3. Le prix d’une voiture.

4. La profession d’une personne.

5. Le resultata un test de quotient intellectuel.

6. La longueur d’un poisson.

5.1.3 Echantillon aleatoire simple

Definition

DEFINITION 47 (EAS). On appelleechantillon aleatoire simple(EAS) de taille n,tire d’une population de taille N, un echantillon obtenu de telle facon que tout echantillonde meme taille ait la meme chance ou probabilite d’etre choisi. ♦

REMARQUE 25. En general, on peut, a partir d’une population de taille N, formerN !

(N − n)!EAS sans remise, etNn EAS avec remise (ces EAS etant equiprobables).

99

Obtention d’un EAS

Pour obtenir un EAS de taille 10 (par exemple) a partir d’unepopulation de 489individus (auxquels on a attribue un numero, de 000 a 488), on peut proceder de plu-sieurs manieres, comme par exemple :

1. en utilisant une table de nombres aleatoires : on choisitun point de depart (unnumero de ligne et de colonne de la table) et on lit les chiffres 3 par 3, en omettantceux qui se trouvent etre superieurs a 488,

2. en utilisant un logiciel de simulation (comme le logicielR).

Nous allons maintenant aborder certaines descriptions graphiques et numeriquesd’un EAS. Notons des a present que le choix de la representation de l’EAS depend desa nature.

5.2 Description numerique d’un EAS

L’exemple suivant va nous permettre de definir les diversesmanieres de decrire unEAS.

5.2.1 Un premier exemple

EXEMPLE 48 (UN EAS OBTENU EN LABORATOIRE). On a 6 mesures de la concen-tration enCu d’une solution dont la vraie concentration est connue, a savoir µ0 =60, 0ppm (partie par million).

( x1 x2 x3 x4 x5 x6 )( 58,2 61,0 56,6 61,5 53,8 56,9 ) ppm

5.2.2 Representation graphique simple

La representation graphique d’un caractere quantitatifse fait souvent a l’aide desecteurs (camembert) ou d’histogrammes :

EXEMPLE 49 (LA POPULATION FRANCAISE). La variable aleatoire discrete considereeest l’application qui, a un individu associe son age.

On peut aussi simplement representer graphiquement un EASavec undiagrammeen taches(on reprend notre exemple precedent) :

100

FIG. 5.1 – Un exemple d’histogramme

52,0 54,0 56,0 58,0 60,0 62,0

FIG. 5.2 – Diagramme en taches

5.2.3 Descriptions numeriques

Les differentes manieres de decrire numeriquement un EAS seront donnees a partirde l’exemple??; la generalisation est immediate.

Moyenne experimentale La moyenne experimentaleest egale a

x =1

n

n∑

i=1

xi =1

6(58, 2 + 61, 0 + 56, 6 + 61, 5 + 53, 8 + 56, 9) = 58, 0ppm

REMARQUE 26. La moyenne correspond au centre de gravite de l’echantillon desdonnees.

Etendue experimentale On ecrit les n observations selon un ordre croissant :

X(i) : 53, 8 56, 6 56, 9 58, 2 61, 0 61, 5

et on appelle cela lastatistique d’ordre, que l’on note ainsi :

X(i) : x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)

L’ etendue experimentaleest alors

eX = x(n) − x(1) = 61, 5 − 53, 8 = 7, 7

101

Variance experimentale

s2X =

1

n − 1

[n∑

i=1

(xi − x)2

]= 8, 42

Plus les observations sont eloignees dex, plus elles sont dispersees, et plusx2X est

grand.

REMARQUE 27. Le diviseur n-1 dans la formule des2X est appele lenombre de degres

de libertedes2X .

Ecart type experimental sX =√

s2X

Cet ecart type mesure l’ecart moyen a la moyenne. Il est, contrairement as2X , dans

la meme unite que les donnees experimentales (ce qui en fait son interet).

REMARQUE 28. sX est aussi appeledeviation standard experimentale.

Exercice 111.On donne

nombres d’unites de x 10 15 20 25 40 50 60 80

cout de l’activite 280 420 525 580 905 1030 1380 1680

1. Calculer le cout moyen de l’activite

2. Calculer l’ecart-type.

Exercice 112.On lance 120 fois un de a 6 faces, et on obtient :

i 1 2 3 4 5 6

nb 15 21 25 19 14 26

On suppose qu’on gagne un euro si le 1 sort, deux euros si le 2 sort, etc.

1. Calculer le gain moyen,

2. Calculer l’ecart-type.

102

Mediane experimentale x. La mediane experimentaleest la valeur telle que :– la proportion desx > x est inferieure ou egale a 0,5,– la proportion desx < x est inferieure ou egale a 0,5.Comment obtenir la mediane experimentale ?

On reprend la statistique d’ordreX(i). Alors

1. si n est impair, la mediane est unique : c’est x =x(n+1

2 )

2. si n est pair, la mediane peut prendre toutes valeur comprise dans[x(n

2 ), x(n+1

2 )

],

et l’on convient de prendre comme mediane experimentale ˜x =1

2

[x(n

2 )+ x(n+1

2 )

].

EXEMPLE 50. Pour l’exemple precedent, on trouve x=57,6 ppm.

REMARQUE 29. La moyenne et la mediane experimentale sont des caracteristiquesrelatives au centre de l’ensemble des observations obtenues.

REMARQUE 30. Les valeurs relatives de la moyenne et de la mediane nousinformentde l’allure globale de la repartition des observations : symetrique, asymetrie a droiteou a gauche (qui n’est pas forcement clairement visible sur le diagramme en taches.)

Pour cela, on definit uncoefficient d’asymetrie :

g1 =

∑ni=1(xi − x)3

ns3X

Et alors :– sig1 > 0, l’EAS est asymetrique a droite, et alorsx >x,– sig1 = 0, l’EAS est symetrique, et alorsx =x,– sig1 < 0, l’EAS est asymetrique a gauche, et alorsx <x.

REMARQUE 31. Si la repartition est asymetrique, la mediane est souvent plus interessanteque la moyenne.

Coefficient de variation experimental CV(X). Souvent on a besoin d’obtenir unemesure de la variabilite des observations (mesurees parsX) relative au niveau desobservations.

103

EXEMPLE 51. Une variation de 1 mL sur des mesures dont le niveau moyen est de 5mL est plus grande que celle de 1 mL sur des mesures dont le niveau moyen est de 100mL.

Une telle mesure de la variabilite relative est donnee parle coefficient de variationgeneralement exprime en %, et definit ainsi :

DEFINITION 48 (COEFFICIENT DE VARIATION).

CV (X) =sX

x.100

EXEMPLE 52. Dans notre exemple du chapitre, CV(X)=5,003%.

REMARQUE 32. On dit que la dispersion de ces observations represente5% de lamoyenne experimentale.

REMARQUE 33. CV(X) est independant des unites des observations.

REMARQUE 34. Les statistiqueseX , s2X , sX , CV (X) sont des statistiques associees a

la dispersion des observations de l’EAS etudie.

Les p-quantiles experimentaux

DEFINITION 49. On appellep-quantile experimentald’un EAS la valeur, noteeqp,telle que

1. la proportion dex < qp de l’EAS est inferieure ou egale a p,

2. la proportion dex > qp de l’EAS est inferieure ou egale a 1-p. ♦

Comment determiner un p-quantile ?

1. Si np n’est pas entier, alorsqp est unique et sa valeur estqp = x([np]+1), ou [np]est la partie entiere de np.

EXEMPLE 53. On considere un EAS de taille n=15 :

104

Xi : 1,27 1,33 1,31 1,42 1,44 1,26 1,29 1,301,33 1,36 1,29 1,44 1,40 1,42 1,38

X(i) : 1,26 1,27 1,29 1,29 1,30 1,31 1,33 1,331,36 1,38 1,40 1,42 1,42 1,44 1,44

Alors q0,29 = x([4,35]+1) = x(5) = 1, 30.

2. Si np est entier, alorsqp n’est pas unique : il peut prendre toutes les valeurs dansl’intervalle ferme[x(np), x(np+1)]. Voici quelques suggestions de valeurs tradi-tionnellement prises, dans le cadre de l’exemple precedent, et pour p=0.60, n=15(et np=9) :

(a) la moyenne :qp =x(np) + x(np)+1

2= 1, 37,

(b) qp = x(np) + p(x(np)+1 − x(np)) = 1, 372,

(c) qp = x(np) + (1 − p)(x(np)+1 − x(np)) = 1, 368.

REMARQUE 35. Un p-quantile n’est pas necessairement une observation (pas forcementun desxi).

REMARQUE 36. La mediane est simplement le 0,5-quantile.

REMARQUE 37. Les deux quantiles suivants son tres utilises :– 0,25-quantile, appele lepremier quartileet noteQ1 : il separe la population triee

X(n) au niveau du premier quart des individus,– 0,75-quantile, appele letroisieme quartileet noteQ3 : il separe la population

trieeX(n) au niveau du troisieme quart des individus,On appelle alorsetendue interquartilela valeur :

EIQ = q0,75 − q0,25 = Q3 − Q1.

5.2.4 Le cas particulier des variables continues

Representation en tableau

EXEMPLE 54. Taille d’une population de 100 personnes.

105

Classes [1m ; 1,5m[ [1m ; 1,75m[ [1,75m ; 2m[

Centre 1,25 m 1,625 m 1,875 m

Effectifs 4 60 36

Frequence 0,04 0,6 0,36

Caracteristiques

On retrouve moyenne, variance et ecart-type, comme pour les variables discretes.Lesxi des formules correspondent alors aux centres des classes.

EXEMPLE 55. Pour le tableau precedent,

x =1

100(1, 25 ∗ 4 + 1, 625 ∗ 60 + 1, 875 ∗ 36)

Exercice 113.

classes [244; 246[ [246; 248[ [248; 249[ [249; 251[

effectifs 11 132 200 192

1. Calculer la moyenne,

2. Calculer l’ecart-type.

5.2.5 Exercices

Exercice 114.xi 1 2 3, 2 4, 1 6, 2

ni 5 8 6 3 5

1. Calculer la moyenne,

2. Calculer l’ecart-type.

106

Exercice 115.mesures 1 2 3 4

frequences 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2

1. Calculer la moyenne,

2. Calculer l’ecart-type.

Exercice 116.Un champ de haricots est divise en 25 parcelles. Pour chaque parcelle,on dispose de la recolte X, exprimee en tonnes : 1, 2, 4, 6, 6, 10, 9, 1, 4, 6, 6, 2, 7, 7, 4,1, 3, 3, 4, 6, 5, 6, 5, 3, 4.

1. Donnez une representation graphique de ces donnees.

2. Calculez la moyenne.

3. Calculez la mediane.

4. CalculezQ1.

5. CalculezQ2.

6. CalculezQ3.

7. Verifiez que dans l’ecart interquartile, il y a au plus 50% des observations.

8. Calculez l’ecart-type de cet ensemble de donnees.

Exercice 117.On considere 40 poids de jeunes adolescents, calcules en kg : 37, 46,41, 32, 39, 52, 45, 54, 36, 40, 31, 53, 35, 42, 35, 36, 43, 49, 51,42, 42, 39, 45, 51, 44,53, 43, 39, 46, 39, 52, 34, 39, 50, 36, 45, 41, 36, 49, 36.

Verifier que :

1. le poids moyen vaut 42,45.

2. L’ecart-type des poids est de 6,417.

3. La mediane estegalea 42.

4. L’intervalle interquartile comprend au plus 50% des poids.

5. L’etendue est de 23.

107

5.3 Description graphique d’un EAS

Quand le nombre d’observations est grand (plus de 15 valeurs), le diagrammeen taches n’est plus approprie. Il vaut alors mieux utiliser le diagramme en tiges etfeuilles, ou le diagramme en boıte, methodes dues a Tukey(1977).

5.3.1 Le diagramme en tiges et feuilles

On illustre ce diagramme a l’aide d’un exemple :

EXEMPLE 56. Les donnees qui suivent consistent en 60 mesures experimentales dela concentration enCu, X, d’une solution. La vraie valeur de cette concentration estconnue et estµ0 = 60, 0ppm

Xi : 61,0 65,4 60,0 59,2 57,0 62,5 57,7 56,2 62,9 62,556,5 60,2 58,2 56,5 64,7 54,5 60,5 59,5 61,6 60,858,7 54,4 62,2 59,0 60,3 60,8 59,5 60,0 61,8 63,864,5 66,3 61,1 59,7 57,4 61,2 60,9 58,2 63,0 59,556,0 59,4 60,2 62,9 60,5 60,8 61,5 58,5 58,9 60,561,2 57,8 63,4 58,9 61,5 62,3 59,8 61,7 64,0 62,7

Le diagramme en tiges et feuilles est alors :

ni Tiges Feuilles

2 54 4 50 554 56 0 2 5 54 57 0 4 7 86 58 2 2 5 7 9 98 59 0 2 4 5 5 5 7 812 60 0 0 2 2 3 5 5 5 8 8 8 99 61 0 1 2 2 5 5 6 7 87 62 2 3 5 5 7 9 93 63 0 4 83 64 0 5 71 65 41 66 3

60

108

On a mis en tige les parties entieres de chaque valeur (avec,dans la colonneni, lenombre de valeurs ayant cette partie entiere), et en feuille les decimales, rangees dansl’ordre croissant, de chacune de ces valeurs. Ce choix, frequent, n’est pas obligatoire.

Dans un tel diagramme, les feuilles sont choisies pour que l’on obtienne une bonnedispersion des observations - le but etant de faciliter la reconnaissance de l’allure glo-bale de la repartition des observations. On peut, pour cela, utiliser des tiges multiples(afin de mieux etaler les observations) :

EXEMPLE 57. Considerons deux caracteristiquesX1 (age en annees) etX2 (poids enkilo) de 37 etudiants :

ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X1 29 19 19 20 27 20 19 18 19 19 23 22

X2 68 66 71 69 71 63 62 71 70 74 72 68

ID 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

X1 22 23 24 19 20 28 30 19 19 28 21 37

X2 67 62 70 65 72 67 64 70 70 66 61 72

ID 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 35 36 37

X1 20 19 20 28 33 21 49 26 56 24 19 23 20

X2 72 70 72 64 68 64 73 58 66 69 72 70 64

1. Un diagramme en tiges et feuilles deX2 : tiges simples.

(ni) Tiges Feuilles

(1) 5 8(19) 6 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9(17) 7 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4

Cet etalement de l’EAS etant insuffisant, on raffine le diagramme en tiges doubles,et on note que :– les tiges * sont associees aux feuilles 0, 1, 2, 3, 4,– les tiges• sont associees aux feuilles 5,6,7,8,9...

2. Un diagramme en tiges et feuilles deX2 : tiges doubles.

109

(ni) Tiges Feuilles

5*(1) 5• 8(8) 6* 1 2 2 3 4 4 4 4(11) 6• 5 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9(17) 7* 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4

7•

3. Desirant obtenir un meilleur etalement des observations, on peut passer aux tigestriples, quadruples, etc.

Le diagramme en tiges et feuilles est tres simple d’utilisation, et possede de nom-breuses proprietes interessantes :

– il est facile et rapide a construire.– il presente les observations en ordre croissant, et permet donc d’obtenir rapide-

ment le minimum et le maximum, l’etendue experimentale, la k-ieme valeur etla mediane.

– ce diagramme nous informe aussi sur l’allure globale de la repartition des obser-vations : la symetrie, l’asymetrie a droite ou a gauche,la bimodalite, etc.

REMARQUE 38. A partir d’un diagramme en tiges et feuilles, on peut facilementconstruire un histogramme en identifiant une classe a chacune des tiges.

Exercice 118.On considere l’ensemble de donnees :

Xi : 63 67 65 80 61 73 70 76 65 7774 72 77 84 69 37 57 79 32 7577 63 78 79 73 76 91 61 83 5969 66 70 53 57 42 86

En faire un diagramme en tiges et feuilles, puis construire l’histogramme correspon-dant.

Exercice 119.Faire de meme avec les observations suivantes :

110

Xi : -43 -20 -18 -11 -10 -15 -15 -15 -3 00 0 -5 -5 0 -5 -5 8 8 85 20 15 15 30 35 38 50 45 5050 55 55 60 0 0 0

5.3.2 Le diagramme en boıte

La plus petite observation non aberrante

0,25−quantile = Q

Moyenne

Mediane

0,75−quantile = Q

La plus grande observation non aberrante

1

3

0,75

0,75Valeurs aberantes : eloignees de q d’au moins 1,5*EIQ unites.

Valeurs extremes : eloignees de q d’au moins 3*EIQ unites

Valeurs aberantes : eloignees de q d’au moins 1,5*EIQ unites.

Valeurs extremes : eloignees de q d’au moins 3*EIQ unites

0,25

0,25

FIG. 5.3 – Diagramme en boıte

Un diagramme en boıte permet de transmettre plusieurs informations :

1. la mediane x est notee par un trait dans la boıte,

2. la moyennex est notee par un + dans la boıte,

3. les 0,25- et 0,75-quantiles sont notes par les extremites de la boıte,

4. les observations abetantes sont notees par des o,

111

5. les observations extremes sont notees par des *,

6. la plus petite (et la plus grande) observation non aberrante est notee par lesextremites des droites situees aux extremites de la boıte,

7. l’allure globale de la repartition des observations estindiquee par les valeursrelatives des moyenne, mediane et quartiles. Si la mediane est au centre de laboıte, et que les valeurs aberrantes et extremes sont egalement nombreuses achaque extremite de la boıte, on parle d’un EAS symetriquement distribue.

5.3.3 Exercices

Exercice 120.Voici le pourcentage de voitures vendues, aux Etats-Unis, par diversmanufacturiers :

General Motors 33,7Ford 12,5Chrysler 12,3Hyundai 8,7Honda 8,4Toyota 7,5Renault 1,9Mazda 1,5Autres 13,5

Representez ces donneesa l’aide de secteurs circulaires.

Exercice 121.Soient deux ensembles de donnees representant la taille de differentespersonnes (exprime en cm) :

Ensemble de donnees I : 197, 174, 180, 162, 202, 168, 175, 166, 172, 184, 165,166, 179, 171, 159, 180, 191, 192, 170, 194.

Ensemble de donnees II : 165, 181, 157, 184, 185, 179, 179, 162, 169, 182, 184,185, 179, 162, 169, 182, 184, 192, 163, 164.

Pour chacun de ces ensembles de donnees, calculez :

1. La moyenne.

2. La mediane.

112

3. La variance.

4. le coefficient de variation.

Comparez les deux ensembles de donneesa l’aide de diagrammes en boıte, et presentezles diagrammes en tiges et feuilles pour I et II.

5.4 Series statistiquesa deux variables

5.4.1 Presentation

On considere une population d’effectif n.

Si on etudie deux caracteres X et Y de cette population, on dit que l’on etudie uneserie statistique double.

Chaque individu de cette population est designe par un nombre compris entre 1 etn. A chaque individu i (1 6 i 6 n) correspond un couple (xi; yi) , ouxi est la modalitedu caractere X etyi est la modalite du caractere Y associe a l’individu i.

5.4.2 Representation d’une serie statistique double

Tableau a deux entrees

On represente une serie statistique a deux variables (X etY ) a l’aide d’un tableaua deux entrees :

EXEMPLE 58. x est le poids de l’individu (en kg), y est l’esperance devie (en annees)

X 55 65 75 85 95

Y 69 73 75 72 70

Nuage de points

On peut representer graphiquement une serie statistiquea deux variables (x et y)en procedant ainsi :

1. Le plan P etant muni d’un repere orthogonal, on peut associer au couple (xi, yi)de la serie statistique, le pointMi de coordonnees (xi, yi).

113

2. L’ensemble des pointsMi ainsi obtenus constitue lenuage de pointsrepresentantla serie statistique.

FIG. 5.4 – Exemple de nuage de points

5.4.3 Valeurs remarquables d’une serie statistique double

Point moyen

DEFINITION 50 (POINT MOYEN). On appelle point moyen d’un nuage den pointsMi de coordonnees (xi, yi), le pointG de coordonnees (xG, yG), ou :

xG = x =1

n

n∑

i=1

xi, yG = y =1

n

n∑

i=1

yi

Covariance d’une serie statistique double

DEFINITION 51 (COVARIANCE). On appellecovariance d’une serie statistique double(X ; Y) ou les caractere X et Y sont quantitatifs le nombre, note cov(X,Y) ouσXY ,defini par :

σXY =1

n

n∑

k=1

(xi − x)(yi − y) =1

n

n∑

k=1

xiyi − xy

114

La covariance est une mesure de la variation simultanee de deux variables aleatoires.C’est-a-dire que la covariance devient plus positive pourchaque couple de valeurs quidifferent de leur moyenne dans le meme sens, et plus negative pour chaque couple devaleurs qui different de leur moyenne dans le sens oppose.

REMARQUE 39. L’unite de mesure de la covariance cov(X,Y) est le produit de l’unitedes variables aleatoires X et Y.

5.4.4 Ajustements affines

Methodes rudimentaires

Introduction Dire que deux caracteresx ety d’une population semblent lies revienta affirmer qu’il semble exister une fonctionf telle quey = f(x) ; le nuage de pointssemble alors coıncider avec la courbe def .

La plus simple des fonctions envisageables est une fonctionaffine (f(x) = ax+b) ;et dans ce cas, le nuage de points tend a se confondre avec unedroite.

On va donc, dans ce qui suit :

1. Chercher, pour une serie statistique (a deux entrees)quelconque, la droite appro-chant le mieux le nuage de points.

2. Voir a partir de quand on peut supposer qu’un lien affine existe effectivemententre x et y (remplacer y par ax+b, ou a et b sont donnes par le(1), facilitel’etude...mais, en a-t-on le droit ?)

Nous presentons, dans ce qui suit, plusieurs methodes d’ajustement affine.

Ajustement a la regle On trace la droite D au juge puis, a l’aide de deux points deD, on obtient l’equation de la droite.

Ajustement affine par la methode de Mayer– On partage le nuage de points en deux sous-nuages ayant le mˆeme nombre de

points (eventuellement, a un pres).– On calcule le point moyen de chacun des sous nuages :G1 etG2.– La droite (G1G2) est ladroite de Mayer, dont on peut trouver l’equation a l’aide

des coordonnees deG1 etG2.

REMARQUE 40. Cette droite passe par le point moyenG.

115

Exercice 122.On donne la serie statistique double

chomage 6, 5 4, 5 4, 9 7, 2 0, 6 4, 5

inflation 7, 1 3, 9 9, 5 8, 4 6, 7 6, 7

1. Representer le nuage de points,

2. Trouver la droite de Mayer graphiquement, puis par le calcul,

3. Quel est le point moyen ?

Exercice 123.Faire de meme avec

t 10 20 30 40 50 60

x 0, 3 0, 5 1 1, 4 2 2, 5

REMARQUE 41. La droite de Mayer est une bonne approximation affine si lenuagede points est allonge.

Ajustement affine par la methode des moindres carres

La droite de regression de Y en X Si on se contente de tracer a main levee la droitequi ”passe au mieux” par les points representatifs, differentes personnes vont obtenirdes resultats differents.

Il existe une methode mathematique pour determiner la ”meilleure” droite : c’estla methode des moindres carres.

Elle consiste, dans sa version la plus simple, a trouver la droite qui minimise lescarres des ecartsMiPi des points representatifs a cette droite, comme suit :

Soit y = ax + b l’equation de la droite cherchee. Les coefficientsa et b peuventetre calcules a partir des formules suivantes :

a =σXY

σ2X

b = y − ax

La droite d’equation y = ax + b est alors appelee alorsdroite de regression de Y enX. On dit aussi que l’on a obtenu cette equation parla methode des moindres carres.

116

FIG. 5.5 – Droite de regression

La droite de regression de X en Y De la meme facon on peut definir une droited’equation de X en Y d’equation x = a’y + b’, en faisant correspondre a chaque pointMi du nuage un pointPi de la droite D ayant la meme ordonnee queMi (donc sur lameme horizontale, et non plus sur la meme verticale) et en minimisant encore le carredes ecarts.

On trouve alorsa′ =σXY

σ2Y

, et b′ = y − a′x.

REMARQUE 42. Les deux droites de regression de Y en X et de X en Y passenttoutesdeux par le point moyen.

Exercices

Exercice 124.On a, au cours d’une experience, releve les mesures suivantes :

X 1 2 3 4

Y 0 2 2 5

1. Calculer l’equation de la droite de regression de y en x,

2. Calculer les valeursyi estimees par cette droite. Les comparer auxyi,

3. Calculer l’ecart quadratique moyen1N

∑N

i=1(yi − yi)2.

117

Exercice 125.Faire de meme avec

xk 6, 5 4, 5 4, 9 7, 2 0, 6 4, 5

yk 7, 1 3, 9 9, 5 18, 4 6, 7 6, 7

Coefficient de correlation lineaire

La corr elation On parle de correlation quand, pour quantifier deux mesures, on doitfaire appel a une loi ou l’un des facteurs depend de l’autre. Cela signifie que les deuxfacteurs varient simultanement, si un seul varie au depart.

Correlation n’est pas synonyme de causalite au sens strict, car la relation peutegalement trouver son origine dans une cause commune, ou dans une correlation for-tuite.

EXEMPLE 59. La relation de proportionnalite est une relation de correlation.

REMARQUE 43. Il ne faut pas non plus confondre correlation et dependance : deuxvariables aleatoires independantes ont une correlation nulle, mais deux variables ayantune correlation nulle ne sont pas forcement independantes.

Le coefficient de correlation lineaire La qualite de la correlation peut etre mesureepar uncoefficient de correlationrXY : soientDY et DX les droites de regressions deY en X et de X en Y , ces deux droites sont confondues lorsque leurs coefficientsdirecteurs a et a’ sont non nul et que aa’ = 1, c’est a dire lorsque le nombrerXY definipar :

rXY =σXY

σXσY

est tel quer2XY = 1.

PROPRIETE XLVI : Le coefficient de correlation est compris entre -1 et +1. Plus ils’eloigne de zero, meilleure est la correlation.

– r = +1 : correlation positive parfaite,– r = -1 : correlation negative parfaite,– r = 0 : absence totale de correlation.

118

REMARQUE 44. Si le coefficient de correlation n’est pas suffisamment proche de 1 envaleur absolue il sera alors utile d’envisager d’autres types d’ajustements.

5.4.5 Autres types d’ajustements

Presentation

Le nuage de points representant une serie statistique double(X, Y ) peut etre tel queses points(xi; yi) sont proches d’une courbe connue (parabole, exponentielle, etc.) quin’est pas une droite.

L’idee, dans ce cas, consiste a effectuer un changement devariables pour obtenirun nouveau nuage de points qui, lui, se rapproche d’une droite : on pourra alors ap-pliquer la methode des moindres carres pour trouver ladite droite et, en effectuant lechangement de variable inverse, retrouver l’equation (dela parabole, de la fonctionexponentielle, etc.) permettant d’expliciter ce lien.

Les ajustements classiques

Les cas classiques sont quand le nuage de points se concentreautour...

– d’une certaine droite D : dans ce cas, comme on l’a vu, on realise un ajustementaffine et, pour determiner l’equation de cette droite D, onutilise la methode desmoindres carres.

– d’une certaine hyperbole d’equation de la forme :y =1

ax + b. Dans ce cas, on

posez = 1y, pour obtenir un nouveau nuage de points qui, lui, se rapproche d’une

droitez = cx + d, que l’on determine avec la methode des moindres carres.Onen deduit alors l’equation de hyperbole :y = 1

ax+b.

– d’une courbe de fonction puissance d’equation de type :y = axb. On remarquealors queln(y) = b ln(x) + ln(a) ; donc on poseV = ln(y) et U = ln(x), ondetermine l’equation de la droite de regression de V en U avec la methode desmoindres carres, et l’equation obtenue est de la formev = Au+B. On en deduitfinalement l’equation de la courbe de fonction puissance :y = axb puisque A =b et B = ln a.

– d’une courbe de fonction exponentielle d’equation :y = abx. On remarque, cettefois-ci, queln(y) = x ln(b)+ ln(a). On pose alorsZ = ln(y), et l’on determinel’equation de la droite de regression de Z en X avec la methode des moindrescarres . L’equation obtenue est de la formez = Ax+B. On en deduit finalement

119

l’equation de la courbe :y = abx puisqueA = ln(b) etB = ln(a).

– d’une maniere generale pour une equation de la forme y =f(x) , on s’arrange avecun changement de variable pour obtenir une equation de la formev = Au + B,ou (U, V) represente une serie statistique double.

Utilisation du coefficient de correlation lineaire

Pour s’assurer de la pertinence de notre changement de variable (donc de notremodele statistique), on peut calculer le coefficient de correlation lineaire pour voir sile nouveau nuage de points s’approche bien de notre droite deregression. Si ca n’estpas le cas, on peut alors recherche une autre courbe...

Exercices

Exercice 126.On donne le tableau d’observations suivant :

t 11,9 14,5 15,5 17,3 17,4 17,7 19 19,2 19,6

x 11,1 14,2 15,1 17,9 17,1 17,1 18,3 19,2 19,7

t 22,9 23,3 25 27,2 27,3 25,3

x 23 22,8 25,3 26,3 27,5 23,9

Ajustez lineairement x en t, et determinez le coefficient de correlation lineaire.

Exercice 127.On donne le tableau d’observations suivants :

t 0,5 2 4,2 1,25 4 3 2,7 0,7

x 5 10 50 7,5 47 24 18,3 4

Ajustez x en t suivant la loix = bat.

Exercice 128.On donne le tableau d’observations suivants :

120

t 1 0,1 3 4,2 1,8 2,5

x 5 0,08 45 85 12 35

Ajustez x en t suivant la loix = bta.

Exercice 129.On donne le tableau d’observations suivants :

t 10 20 30 40 1,8 2,5

x 0,3 0,5 1 1,4 2 2,5

Ajustez x suivant la loix = asin2t + b.

121

Chapitre 6

Echantillonnage

6.1 Introduction

L’utilisation de la plupart des methodes statistiques requiers une cueillette d’infor-mations sur une population, soit pour decrire cette population, soit pour prendre unedecision concernant ses parametres. La qualite des donnees recueillies va influer for-tement sur l’image de la population ou sur la decision a prendre. C’est pourquoi il estessentiel d’accorder une attention toute particuliere ala collecte de ces donnees.

Pour recueillir des donnees, on utilisera soit un recensement, soit un echantillonnage.

1. Un recensementest une enquete effectuee aupres de l’ensemble des individusd’une population.

2. Par contre, lors d’unechantillonnageon n’interroge qu’un echantillon de la po-pulation afin d’obtenir, a un moment precis, une image de cette population.

Lors d’un echantillonnage, on determine d’abord la population cible formee d’in-dividus sur lesquels on va mesurer un caractere X. Puis l’echantillon de taille n (fixe al’avance) est tire de facon aleatoire.

Le principal avantage d’un echantillonnage en est le cout, et tout l’enjeu consiste as’assurer que le resultat de l’echantillonnage se rapproche de celui issu du recensementque l’on aurait fait a sa place.

6.2 Echantillon aleatoire

6.2.1 Presentation

Considerons une population quelconque dont le caractereetudie est note X. Decette population, on preleve une suite d’echantillons de taille n (avec ou sans remise).Pour chacun des echantillons, on calcule les statistiquessuivantes :X, S, Q2, Q3.

122

Numero Echantillons x s q2 q3

1 x′1 x′

2 x′3 . . . x′

n x′ s’ q′2 q′32 x′′

1 x′′2 x′′

3 . . . x′′n x′′ s’ q′′2 q′′3

3 x′′′1 x′′′

2 x′′′3 . . . x′′′

n x′′′ s”’ q′′′2 q′′′3...

......

......

......

......

...—– —– —– —– —– —– —– —– —–

X1 X2 X3... Xn X S Q2 Q3

On peut alors considerer la suite des observationsx′1, x

′′1, x

′′′1,

... (premiere co-lonne) comme les valeurs observees d’une meme variable aleatoireX1. De meme, onpeut considerer la suite des observationsx′

2, x′′2, x

′′′2, . . . (deuxieme colonne) comme

les valeurs observees d’une meme variable aleatoireX2, etc.

Les variables aleatoiresX1, X2, X3, . . . , Xn ainsi definies, representent respective-ment les resultats obtenus pour les individus 1, 2, 3, ..., nde chaque echantillon.

Remarquons que les variablesX1, X2, X3, . . . , Xn sont des copies identiques de lavariable aleatoire parente X, en ce sens que chacune d’elleobeit a la meme loi : cellede X. On parle alors d’un echantillon aleatoire issu de la variable aleatoire X.

Si l’echantillonnage est effectue avec remise, les n variablesX1, X2, X3, . . . , Xn

sont independamment et identiquement distribuees. Sinon, lesX1, X2, X3, . . . , Xn sontidentiquement distribuees, mais dependantes et de fait,elles sont correlees negativement.

6.2.2 Exemples

EXEMPLE 60. Soit une population de taille N=20 individus pour lesquels le caractereX prend les valeurs suivantes :

ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X 3 2 3 2 2 6 6 6 7 6 7 7 2 7 7 7 6 6 6 6On verifie facilement que la loi de X (la loi de la population)est :

x 2 3 6 7

fX(x) 0,2 0,1 0,4 0,3

Considerons maintenant un echantillonnage effectue avec remise de taille n=2. Onverifiera queX1 etX2 possedent la meme loi, celle de X, et qu’elles sont independantes.Pour ce faire, on dressera la liste des202 = 400 echantillons possibles. Puisque plu-sieurs ont meme valeur, nous en indiqueront la frequence :

123

(X1, X2) nij f(xi1, xi2)

(2,2) 16 0,04(2,3) 8 0,02(2,6) 32 0,08(2,7) 24 0,06(3,2) 8 0,02(3,3) 4 0,01(3,6) 16 0,04(3,7) 12 0,03(6,2) 32 0,08(6,3) 16 0,04(6,6) 64 0,16(6,7) 48 0,12(7,2) 24 0,06(7,3) 12 0,03(7,6) 48 0,12(7,7) 36 0,09

400 1,00

Le tableau peut aussi se presenter sous la forme d’une tabledes probabilites commesuit :

X2

X1 2 3 6 7 fX1(x1)

2 0,04 0,02 0,08 0,06 0,20

3 0,02 0,01 0,04 0,03 0,10

6 0,08 0,04 0,16 0,12 0,40

7 0,06 0,03 0,12 0,09 0,30

fX2(x2) 0,20 0,10 0,40 0,30 1,00

A l’examen de cette derniere table, on remarque que :

1. les deux densites marginalesfX1(x1) et fX2

(x2) sont identiques a la loi de lapopulation ;

2. les variables aleatoiresX1 etX2 sont independantes, puisque

∀(x1, x2), fX1,X2(x1, x2) = fX1

(x1)fX2(x2)

124

EXEMPLE 61. Considerons maintenant un echantillonnage aleatoire sans remise detaille n=2. De la meme facon, on verifiera queX1 et X2 possedent la meme loi, cellede la population, mais par contre elles sont dependantes. On dresse la liste des 20*19= 380 echantillons possibles :

(X1, X2) nij fX1X2(xi1, xi2)

(2,2) 12 0,0316(2,3) 8 0,0211(2,6) 32 0,0842(2,7) 24 0,0632(3,2) 8 0,0211(3,3) 2 0,0053(3,6) 16 0,0421(3,7) 12 0,0315(6,2) 32 0,0842(6,3) 16 0,0421(6,6) 56 0,1474(6,7) 48 0,1263(7,2) 24 0,0632(7,3) 12 0,0315(7,6) 48 0,1263(7,7) 30 0,0789

380 1,0000

Le tableau peut aussi se presenter sous la forme d’une tablede frequences (proba-bilites) :

X2

X1 2 3 6 7 fX1(x1)

2 0,0316 0,0211 0,0242 0,0632 0,20

3 0,0211 0,0053 0,0421 0,0315 0,10

6 0,0842 0,0421 0,1474 0,1263 0,40

7 0,0632 0,0315 0,1263 0,0789 0,30

fX2(x2) 0,20 0,10 0,40 0,30 1,00

A l’examen de cette derniere table, on remarque que :

125

1. les deux densites marginalesfX1(x1) et fX2

(x2) sont identiques a la loi de lapopulation ;

2. les variables aleatoiresX1 etX2 sont dependantes, puisqu’il existe au moins unecase telle que

fX1,X2(x1, x2) 6= fX1

(x1)fX2(x2)

6.3 Loisechantillonnales deX et S2

6.3.1 Resultat

Les connaissances de la loi echantillonnale d’une statistique reposent en particuliersur le plan d’echantillonnage choisi.

Puisque nous ne traiterons que d’echantillonnage aleatoire simple (EAS), exami-nons l’effet produit sur la loi de la moyenneX et la loi de la variance echantillonnaleS2, par un plan d’echantillonnage avec ou sans remise.

Considerons un EAS de taille n d’une population de taille N de moyenneµ et devarianceσ2 ou de proportion de succesπ. Pour les deux methodes d’echantillonnage(avec et sans remise), nous posons :

X =1

n

n∑

i=1

Xi

S2 =1

n − 1

n∑

i=1

(Xi − X)2

P =M

nou M est le nombre de succes.

On a alors, pour un echantillonnage avec remise :

E(X) = µ

V ar(X) =σ2

n

E(S2) = σ2

E(P ) = π

V ar(P ) =π(1 − π)

n

126

Alors que, pour un echantillonnage aleatoire sans remise:

E(X) = µ

V ar(X) =σ2

n

N − n

N − 1

E(S2) = σ2 N

N − 1

E(P ) = π

V ar(P ) =π(1 − π)

n

N − n

N − 1

Le facteurN − n

N − 1est appelefacteur de correction pour population finie.

Si la population est infinie (ou de tres grande taille),

N − n

N − 1→ 1 et

N

N − 1→ 1

On retrouve alors les resultats de l’echantillonnage avec remise.En pratique, on dira que siN > 10000 alors l’echantillonnage avec et sans remise

sont equivalents.

6.3.2 Exemples

EXEMPLE 62. Considerons une population de taille N=4 :

3, 4, 6, 7

On verifie immediatement que

µ = E(X) = 5, 0

σ2 = V ar(X) = 2, 5

Tirons maintenant tous les echantillons aleatoires avecremise possibles(X1, X2)de taillen = 2.

127

X1 X2 Pr(X1, X2) X S2 [X − E(X)]2

3 3 116

3, 0 0, 0 4, 00

3 4 116

3, 5 0, 5 2, 25

3 6 116

4, 5 4, 5 0, 253 7 1

165, 0 8, 0 0, 00

4 3 116

3, 5 0, 5 2, 25

4 4 116

4, 0 0, 0 1, 004 6 1

165, 0 2, 0 0, 00

4 7 116

5, 5 4, 5 0, 25

6 3 116

4, 5 4, 5 0, 256 4 1

165, 0 2, 0 0, 00

6 6 116

6, 0 0, 0 1, 00

6 7 116

6, 5 0, 5 2, 25

7 3 116

5, 0 8, 0 0, 007 4 1

165, 5 4, 5 0, 25

7 6 116

6, 5 0, 5 2, 25

7 7 116

7, 0 0, 0 4, 00

E(X) = 5, 0 E(S2) = 2, 5 V ar(X) = 1, 25

On voit queE(X) = 5, 0 = µ

E(S2) = 2, 5 = σ2

V ar(X) = 1, 25 =σ2

n

Tirons maintenant tous les echantillons aleatoires sansremise possibles(X1, X2) de taillen = 2.

128

X1 X2 Pr(X1, X2) X S2 [X − E(X)]2

3 4 112

3, 5 0, 5 2, 25

3 6 112

4, 5 4, 5 0, 25

3 7 112

5, 0 8, 0 0, 004 3 1

123, 5 0, 5 2, 25

4 6 112

5, 0 2, 0 0, 00

4 7 112

5, 5 4, 5 0, 256 3 1

124, 5 4, 5 0, 25

6 4 112

5, 0 2, 0 0, 00

6 7 112

6, 5 0, 5 2, 257 3 1

125, 0 8, 0 0, 00

7 4 112

5, 5 4, 5 0, 25

7 6 112

6, 5 0, 5 2, 25

E(X) = 5, 0 E(S2) = 3, 333 V ar(X) = 0, 833

On voit queE(X) = 5, 0 = µ

E(S2) = 3, 333 =N

N − 1σ2

V ar(X) = 0, 833 =σ2

n

N − n

N − 1

EXEMPLE 63. Considerons une population de taille N=20 avec une proportion deπ =0, 3 succes.

Tirons un echantillon de taille n=10 avec remise. SoitP =M

nla proportion ob-

servee de succes ou M est la variable aleatoire : nombre de succes en n tentatives.Ici,

M → B(10; 0, 3)

129

M Pr(M=m) P P*[Pr(M=m)] [P − E(P )]2 [P − E(P )]2 ∗ [Pr(M = m)]

0 0,028248 0,0 0,000000 0,09 0,0025421 0,121061 0,1 0,012106 0,04 0,0048422 0,233474 0,2 0,046695 0,01 0,0023353 0,266828 0,3 0,080048 0 0,0000004 0,200121 0,4 0,080048 0,01 0,0020015 0,102919 0,5 0,051460 0,04 0,0041176 0,036757 0,6 0,022054 0,09 0,0033087 0,009002 0,7 0,006301 0,16 0,0014408 0,001447 0,8 0,001157 0,25 0,0003629 0,000138 0,9 0,000124 0,36 0,00005010 0,000006 1,0 0,000006 0,49 0,000003

E(P)=0,3 Var(P)=0,021

On voit que

E(P ) = 0, 3 = π

V ar(P ) = 0, 021 =π(1 − π)

n

Tirons maintenant un echantillon de taille n=10 sans remise. Ici,

M → B(10; 0, 3)

M Pr(M=m) P P*[Pr(M=m)] [P − E(P )]2 [P − E(P )]2 ∗ [Pr(M = m)]

0 0,005418 0,0 0,000000 0,09 0,0004881 0,655015 0,1 0,006502 0,04 0,0026012 0,243808 0,2 0,048762 0,01 0,0024383 0,371517 0,3 0,111455 0,00 0,0000004 0,243808 0,4 0,097523 0,01 0,0024385 0,655015 0,5 0,032508 0,04 0,0026016 0,005418 0,6 0,003251 0,09 0,000488

E(P)=0,3 Var(P)=0,011053On voit que

E(P ) = 0, 3 = π

V ar(P ) = 0, 011053 =π(1 − π)

n

N − n

N − 1

130

6.4 Echantillon tir e d’une loi normale

Cette section ne fait pas appel au theoreme central limiteen ce sens que les resultatsexposes ne sont pas les resultats limites alors que n, la taille de l’echantillon, tend versl’infini. Les resultats sont exacts.

Dans tous les resultats de cette section, on fait l’hypoth`ese d’un EAS de taille n,note (X1, X2, . . .Xn), tire avec remise suivant une loi normale de moyenneµ et devarianceσ2 :

Xi → N(µ, σ2)

REMARQUE 45. Dans la plupart des cas, la relativement grande taille den fait qu’onpeut considerer que le tirage est avec remise (meme s’il est sans remise).

6.4.1 Loi normale pour la moyenne

Le theoreme

PROPRIETE XLVII : Si (X1, X2, . . . , Xn) est un EAS tire d’uneN(µ, σ2), alorsX

obeit a laN(µ,σ2

n) : Si Xi → N(µ, σ2)Alors X → N(µ,

σ2

n)

Exemple

Considerons X, la circonference de la tete humaine. Supposons qu’une theorieavance qu’en Europe,X → N(60, 0cm; 1, 54cm2). Un EAS de taille 12 est choisi.

60,1 63,1 60,8 61,1 61,3 61,158,0 57,3 59,2 63,0 61,2 59,9

On obtient alors :x = 60, 50933cm

s2 = 3, 06

s = 1, 75cm

La moyenne echantillonnalex = 60, 5 est plus grande que la moyenne theoriqueµX = 60, 0. Doit-on pour cela mettre en doute la theorie, ou voir commeaccep-table que la moyenne echantillonnalex puisse s’eloigner quelque peu de la moyennetheoriqueµ ?

131

Pour resoudre ce probleme, on utilise le theoreme precedent, et on calcule la pro-babilite qu’une moyenne echantillonnale puisse etre observee qui soit au moins aussigrande que celle deja observee, etant donne le modelede la loi normale.

Xi → N(µ, σ2)

X → N

(µ,

σ2

n

)

Z =X − µ

σ√n

Donc

Pr(X > 60, 5) = Pr

Z >60, 5 − 60, 0

1, 24√12

= Pr(Z > 1, 40) = 0, 0808

Si X → N(60; 1, 54), la probabilite d’observer une moyenne echantillonnaleaumoins aussi grande que celle observee est 0,08. On concluraqu’il n’y a pas d’evidencestatistique forte pour mettre en doute la theorie. On considere que l’ecart entreµ =60, 0 etx = 60, 5 est du a la variabilite echantillonnale.

Par contre, imaginons que nous ayons observe une moyenne echantillonnalex =61, 2. Alors la probabilite d’observer une moyenne echantillonnale au moins aussigrande serait, toujours en supposant queX → N(60; 1, 54)

Pr(X > 61, 2) = Pr

Z >61, 2 − 60, 0

1, 24√12

= Pr(Z > 3, 40) = 0, 0003

Selon la theorie enoncee, l’observation d’une moyenne ´echantillonnale aussi grandeque 61,2 est tres improbable.

6.4.2 Loi du khi-deux

Exercices preliminaires

Pour calculer les probabilites suivantes, on utilisera latable de la loi du Khi-deuxproposee en annexes.

Exercice 130.SiU → χ230, calculez :

132

1. Pr(U > 40, 26).

2. Pr(16, 79 < U < 53, 67).

Reponses : 0,10 ; 0,97.

Exercice 131.SiU → χ220, calculezu tel que :

1. Pr(U < u) = 0, 95.

2. Pr(U < u) = 0, 90.

3. Pr(U < u) = 0, 05.

4. Pr(U < u) = 0, 975.

Reponses : 31,41 ; 28,41 ; 10,85 ; 34,17.

Exercice 132.SiU → χ2123, calculez approximativementu tel que :

1. Pr(U < u) = 0, 95.

2. Pr(U < u) = 0, 90.

Reponses : 149,6 ; 143,4.

Le theoreme

PROPRIETE XLVIII : Si (X1, X2, . . . , Xn) est un EAS tire d’uneN(µ, σ2), alors

U =(n − 1)S2

σ2obeit a la loiχ2

n−1

Si Xi → N(µ, σ2)

Alors U =(n − 1)S2

σ2→ χ2

n−1

Si U obeit a une loiχ2r :

E(U) = r

133

V ar(U) = 2r

Dans le contexte present, les deux resultats suivants sont interessants a connaıtre :

Si Z → N(0, 1) alorsU = Z2 → χ21

Si Zi → N(0, 1) alorsU =

r∑

i=1

Z2i → χ2

r

Exemple

Revenons a l’exemple precedent, ou la variance echantillonnale observee ests2 =3, 06 alors que la variance theorique estσ2 = 1, 54. Le scientifique est en droit de sedemander si la theorie est exacte ou plus particulierement si l’ecart entres2 et σ2 estacceptable.

Une facon de voir si l’ecart entres2 etσ2 est exceptionnel ou non est de calculer laprobabilite d’obtenir uns2 encore plus eloigne deσ2.

Pr(obtenir uns2 > 3, 06 alors queσ2 = 1, 54)

= Pr

((n − 1)S2

σ2>

11 ∗ 3, 06

1, 54

)= Pr(χ2

11 > 21, 9) = 0, 025

Puisque la probabilite d’observer uns2 aussi grand que 3,06, lorsqu’on considerela theorie vraie, est petite, le scientifique a sans doute raison de douter de cette theorie.

Approximation normale pour la loi de χ2

Si le nombrer de degres de liberte est grand (hors table), alors

Z =√

2χ2 −√

2r − 1 → N(0, 1)

χ2 =(Z +

√2r − 1)2

2

EXEMPLE 64. D’apres la table duχ2,

Pr(χ2100 < 124, 3) = 0, 9500

En utilisant l’approximation

Z =√

2 ∗ 124, 3−√

2 ∗ 100 − 1 = 1, 66

Pr(Z < 1, 66) = 0, 9515

Soit une erreur de159500

= 0, 0016

134

6.4.3 Loi de Student

Exercices preliminaires

Pour calculer les probabilites suivantes, on utilisera latable de la loi de Studentproposee en annexes.

Exercice 133.SiT → t20, calculez :

1. Pr(T < 1, 90).

2. Pr(T > 1, 725).

3. Pr(|T | > 2, 086).

Reponses : 0,964 ; 0,05 ; 0,05.

Exercice 134.SiT → t60, calculez approximativement

1. Pr(T > 2, 43).

2. Pr(−1, 30 < T < 1, 30).

3. Pr(|T | > 2, 0).

Reponses : 0,01 ; 0,80 ; 0,05.

Le theoreme

PROPRIETE XLIX : Si (X1, X2, . . . , Xn) est un EAS tire d’uneN(µ, σ2),

alors T =X − µ√

S2√n

suit une loi de Student avec n-1 degres de liberte :

Si Xi → N(µ, σ2)Alors T =X − µ√

S2√n

→ tn−1

135

REMARQUE 46. On a alors E(T)=0,V ar(T ) =r

r − 2ou r est le nombre de degres

de liberte.

La loi de Student ressemble beaucoup a la loi normale. Elle est utilisee quandl’ecart-typeσ n’est pas connu et que l’on peut calculer S.

Exemple

On s’interesse a la concentration en vitamine C (en mg par 100 g) de 17 cannettesd’une meme marque de commerce de jus de tomates. Les concentrations sont les sui-vantes et on suppose qu’elles forment en EAS tire d’une loi normaleN(µ, σ2) : 16, 22,21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.

On verifie que

∑x = 340,

∑x2 = 7054

et que

x = 20, 0 et s2 = 15, 875

Supposons maintenant que l’exigence du ministere de l’industrie et du commercesoit que la concentration moyenne minimale en vitamine C soit de 22 mg par 100 g.Peut-on considerer que cette compagnie ne satisfait pas aux exigences gouvernemen-tales ?

Le probleme peut toujours s’exprimer comme suit : l’ecartentre la moyenne echantillonnaleet l’exigence gouvernementale est-il trop grand pour etredu a la variabilite echantillonnale ?

Pour discuter ce probleme, calculons la probabilite d’observer une moyenneX aumoins aussi petite que celle observee,

Pr(X < 20) = Pr

X − µ√S2

n

<20 − 22√

15,87517

= Pt(T < −2, 0697) = 0, 025

La probabilite d’observer une moyenne au moins aussi petite que 20 a partir del’hypothese que la firme n’est pas en defaut est de moins de 3chances sur 100. Sila production de la firme respecte le standard gouvernemental, on doit avouer quel’echantillon observer est pour le moins exceptionnel ! Onconcluera vraisemblable-ment que la firme ne satisfait pas a l’exigence gouvernementale.

136

Exercice 135.Un chercheur est interesse a connaıtre la duree de vie du poisson “Co-nardus Ordinarus”. Ses experiences l’amenenta considerer que la duree de vie suitune loi normale de moyenne 153 jours.

Un chercheur incredule tire unechantillon de n=10 alvins et il obtient les dureesde vie suivantes : 160, 155, 152, 157, 154, 156, 158, 157, 156,155.

Le chercheur incredule va-t-iletre convaincu apres avoir analyse les 10 observa-tions ?

Reponse :Pr(X > 156) = Pr(t9 > 4, 29) < 0, 005...improbable queµ = 153.

Approximation normale pour la loi de Student

PROPRIETE L : Si le nombre de degres de liberte est grand (> 40), alors

t → N(0, 1)

EXEMPLE 65. D’apres la table,

Pr(T40 < 1, 05) = 0, 8500

Avec l’approximation,Pr(Z < 1, 05) = 0, 8531

Soit une erreur de 0,36%.

6.5 Generalisation

6.5.1 Le theoreme

On considere, ce qui est legitime, que la population a un grand effectif, et qu’on tireune faible proportion d’elements : on assimile alors un tirage sans remise a un tirageavec remise.

137

PROPRIETE LI : Si (X1, X2, . . . , Xn) est un EAS de moyenneµ et d’ecart-typeσ,et si n est suffisamment grand, alorsX suit approximativement une loi normaleN(µ, σ2

n).

6.5.2 Remarques

REMARQUE 47. n est suffisamment grand des qu’il depasse 30 individus.

REMARQUE 48. Si la population est elle meme normale, on se retrouve dans le cadredu chapitre precedent, et ce resultat vaut, comme on l’a vu, meme sin est petit.

REMARQUE 49. Lorsque les echantillons de taille n sont preleves sans remise dansune population d’effectif N, on a

X ∼ N(m;σ√n

√N − n

N − 1)

6.5.3 Distribution d’ echantillonnage des pourcentages

PROPRIETE LII : On considere une population dont un pourcentagep d’elementspossede une certaine propriete.

Soit F la va qui a tout echantillon (aleatoire, preleveavec remise, d’effectifn fixe), associe le pourcentage d’elements de cet echantillon possedant cettepropriete.

Alors, pour n suffisamment grand, F suit approximativement la loi normale

N(p;

√p(1 − p)

n)

6.5.4 Exercices

Exercice 136.Apres la correction d’uneepreuve de bac (comportant un grand nombrede candidats), on constate que les notes ont pour moyenne 12 et pour ecart-type 3. Onse propose de prelever unechantillon aleatoire non exhaustif de 100 notes.

138

1. Quelle est la probabilite d’avoir la moyenne d’un telechantillon superieurea12,5 ?

2. Quelle est la probabilite d’avoir la moyenne d’un telechantillon comprise entre12,5 et 12,9 ?

Exercice 137.Une machine fabrique des disques pleins en grande serie. On supposeque la variable aleatoireX qui, a chaque disque tire au hasard, associe son diametre,suit la loi normaleN(µ, σ), o µ = 12, 8mm etσ = 2, 1mm.

1. Quelle loi suit la variable aleatoireY qui a tout echantillon aleatoire non ex-haustif de taillen = 49 associe la moyenne des diametres des disques de cetechantillon ?

2. Determinez un intervalle centre en 12,8 tel que la variable aleatoire prenne sesvaleurs dans cet intervalle avec la probabilite 0,95.

3. On se propose de prelever unechantillon aleatoire non exhaustif de taillen.Determinezn pour que la moyenne des diametres des disques preleves ne s’ecartepas de 12,8 de plus de 0,2mm avec une probabilite de 0,95.

Exercice 138.A partir des donnees recueillies dans l’exercice135, croyez-vous quel’ ecart entre la varianceechantillonnales2 et la variance theoriqueσ2 = 5, 97 soittrop grand pour qu’il soit attribue a la variabilite echantillonnale?

Reponse :Pr(S2 < 4, 889) = Pr(χ29 < 7, 37) > 25%...possible queσ2 = 5, 97.

Exercice 139.Dans uneecole de 1000eleves, on choisit 17eleves au hasard pourleur faire subir un test mesurant le quotient intellectuel.On obtient les resultats sui-vants : 109, 97, 92, 122, 103, 98, 107, 138, 111, 95, 101, 102, 104, 95, 115, 107, 103.

Supposant que la moyenne minimale acceptablea un test de quotient intellectuelsoit de 110, doit-on considerer cetteecole commeetant sous la moyenne acceptable ?

Reponse :Pr(X < 105, 82) = Pr(t16 < −1, 53) > 5%...possible queµ = 110.

139

Exercice 140.Un candidat a obtenu55% des suffrages exprimesa uneelection.

1. Quelle est la probabilite d’avoir, dans unechantillon aleatoire non exhaustif detaille n = 100 preleve parmi les suffrages exprimes, strictement moins de50%de voix pour le candidat A ?

2. Meme question avecn = 2000.

Exercice 141.Une machine automatique fabrique des entretoises destineesa un mon-tage de roulements. La longueur de ces entretoises doitetre comprise, au sens large,entre 37,45 et 37,55mm. La variable aleatoireX, qui associea chaque entretoise salongueur, est une variable gaussienne de moyenne 37,50mm.

1. Quel doitetre l’ecart-type de la variable aleatoireX pour que 998 sur 1000 despieces fabriquees soient bonnes ?

2. On preleve unechantillon non exhaustif dans la production. Quel doitetre l’ef-fectif de cetechantillon pour que la moyenne des longueurs des pieces preleveesappartiennea l’intervalle [37,495 ;37,505] avec une probabilite de 0,95.

Exercice 142.Une machine automatique fabrique des pieces.

1. On choisit au hasard un lot de 10000 pieces et on mesure les longueurs enmmde ces pieces. On obtient :

longueur [244, 246[ [246, 248[ [248, 250[ [250, 252[ [252, 254[ [254, 256[

effectif 113 1318 3510 3530 1390 139

Calculer au 1/100eme pres, la moyenne et l’ecart-type de ce lot.

2. On considere dans la suite que la distribution de ce lot est normale, demoyenneµ = 250 et d’ecart-typeσ = 1, 94. On examine unechantillon de 36 pieces dece lot. Quelle est la probabilite que la moyenne de cetechantillon soit exterieura l’intervalle [249,7 ;250,9] ?

3. On fabrique maintenant un lot de pieces. On regle la machine pour que la lon-gueur des pieces suive une loi normale de moyenne 400, l’ecart-type restant1,94. La longueur d’une piece est acceptable si elle est comprise entre 397 et403mm. Quel est le pourcentage de pieces dont la longueur est acceptable ?

140

Exercice 143.Une machine est chargee de conditionner des paquets de farine : lamasse d’un paquet est une variable aleatoire qui suit une loi normale d’ecart-typeconstant,σ = 30, et dont la moyenneµ peutetre modifie. Un paquet est refuse si samasse est inferieurea 955g.

1. Quelle doitetre la valeur de la moyenneµ sur laquelle regler la machine, pourque la probabilite d’accepter un paquet soitegalea 0,99.

2. La machine est reglee de telle sorte queµ = 1025. Afin de verifier le reglage dela machine, on preleve unehantillon de 20 paquets et on en determine la massemoyennex. Determinez l’intervalle centre enµ contenantx avec une probabilita 0,95.

Exercice 144.Un avion peut transporter une charge de 4 tonnes. La population desmasses des passagers est gaussienne de moyenne 75kg et d’ecart-type 10kg.Quel nombre maximum de sieges doit-on prevoir pourequiper l’avion, si on veut quele risque de surcharge ne depasse pas10−6 ?On donnep(N(0; 1) > 4, 7534) = 10−6.

141

Chapitre 7

Estimation

7.1 Estimateur et estimation

Definition Les donnees de base pour estimer un parametre d’une loi de probabilitesont les n observations(x1, x2, . . . , xn) de l’echantillon aleatoire(X1, X2, . . . , Xn).L’echantillon est souvent la seule information quantitative dont on dispose pour mieuxconnaıtre la population consideree.

DEFINITION 52 (ESTIMATEUR). Un estimateurest une fonction de l’echantillon dontune valeur est une estimation particuliere de ce qui est a estimer. ♦

Exemples Afin de mieux comprendre les trois conceps de parametre, d’estimateuret d’estimation, etudions quelques exemples...

EXEMPLE 66. Considerons la population de la ville de Sedan. On voudrait connaıtrela proportionπ de fumeurs de cigarettes de cette population. Le parametrede la po-pulation a estimer estπ. Un echantillon aleatoire simple sans remise, de taille n=500,s’ecrit

(X1, X2, . . . , X500)

ouXk = 1 si la k-ieme personne choisie fume, et 0 sinon.

Alors, si on note parP la proportion de fumeurs dans l’echantillon, on ecrira alorsque l’estimateurP deπ est

P =1

500

500∑

k=1

Xk = X

Pour un echantillon donne, on obtient une seule valeurp, appelee une estimation deπ.

142

EXEMPLE 67. Le caractere etudie estX, la taille d’un individu. Le parametre a esti-mer estµ, la moyenne de la population. Considerons un echantillonde taillen = 20 :176, 178, 176, 161, 181, 183, 179, 194, 161, 169, 146, 175, 159, 171, 184, 184, 183,172, 185, 166.

On peut calculer la moyennex = 174, 15cm de cet echantillon. Il s’agit d’une es-timation du parametreµ.

Dans cet exemple, comme dans le precedent, on note que l’estimation obtenue n’estqu’une valeur parmi les autres possibles, car l’echantillon de taillen = 20 obtenu enest un parmi bien d’autres possibles.

En statistique, pour tenir compte de tous les echantillonspossibles de taille n,(x1, x2, . . . , xn), on utilise le concept d’echantillon aleatoire(X1, X2, . . . , Xn).

Dans ce meme esprit, l’estimateur est une variable aleatoire. Par exemple, l’esti-mateur de la moyenne est

µ = X =1

n

n∑

k=1

Xk

Notations Une estimation est une valeur particuliere de l’estimateur. Pour aider adistinguer les concepts de parametres, d’estimateurs et d’estimations, on les note differemment.

Parametres Estimateurs Estimations

µ µ = X x

λ λ = X xπ π = P pσ2 σ2 = S2 s2

θ θ = θ(X1, X2, . . . , Xn) θ(x1, x2, . . . , xn)

EXEMPLE 68. Reprenons les donnees de l’exemple sur la taille des individus. Consideronsle probleme d’estimerσ2, la variance de la population dont on etudie le caractereX.Nous proposons trois estimateurs et leur valeur respectivepour un echantillon obtenu :

1. σ21 =

e2

n=

(x(n) − x(1))2

n= 115, 200

143

2. σ22 = 1

n

∑(xk − x)2 = 121, 5278

3. σ23 = s2 = 127, 924.

Ne connaissant pasσ2, on ne peut pas, sur la base des trois valeurs obtenues, choisir lemeilleur estimateur. Nous devons donc determiner des criteres de choix. Les criteres dechoix se rapporteront aux estimateurs et non aux estimations. On parle alors de qualited’un estimateur.

7.2 Qualites d’un estimateur

Puisqu’un estimateur est une variable aleatoire, les criteres de choix ou qualitesseront associes a sa loi. En effet, les qualites successivement exigees seront :

1. d’etre non biaise,

2. de posseder une variance petite.

DEFINITION 53 (ESTIMATEUR NON BIAISE). Un estimateurθ = θ(X1, X2, . . . , Xn)d’un parametre est ditnon biaisesi

E(θ) = θ

Pour une population finie de taille N, cette definition dit simplement queθ est unestimateur sans biais pourθ si la moyenne de toutes les valeurs possibles deθ, alorscalculee sur tous les echantillons possibles de taille n,est θ. Cette qualite ne veutpas dire queθ, calcule sur un echantillon, soit pres deθ ! Pour illustrer le conceptd’estimateur sans biais, examinons l’exemple fictif suivant :

EXEMPLE 69. Considerons la population fictive suivante ne contenant que N=4 elements

0, 1, 2, 13

pour laquelle on peut verifier queµ = 4 etσ2 = 27, 5. Considerons tous les echantillonsaleatoires simples avec remise (EASAR), de taille n=2, et calculonsx ets2 (sans tenircompte de l’ordre) :

144

EASAR possibles x s2

(0,0) 0,0 0,0(0,1) 0,5 0,5(0,2) 1,0 2,0(0,13) 6,5 84,5(1,0) 0,5 0,5(1,1) 1,5 0,0(1,2) 1,5 0,5(1,13) 7,0 72,0(2,0) 1,0 2,0(2,1) 1,5 0,5(2,2) 2,0 0,0(2,13) 7,5 60,5(13,0) 6,5 84,5(13,1) 7,0 72,0(13,2) 7,5 60,5(13,13) 13,0 0,0

Somme : 64,0 440,0Moyenne : 4, 0 = µ 27, 5 = σ2

Remarques :

1. La moyenne des16x possibles est effectivement 4,0, la moyenne de la popula-tion.

2. La moyenne des16s2 possibles est effectivement 27,5, la variance de la popula-tion.

3. Meme si un estimateur est non biaise (c’est le cas deX et deS2), on peut ob-server des estimations tres eloignees du parametre a estimer. Ainsi, on peut ob-serverx = 13, laquelle valeur est plus de trois fois plus grande queµ = 4.De plus, il se peut que la valeur du parametre ne soit pas elle-meme observablepar echantillonnage ; c’est la situation ici ou il n’existe pas dex base sur unechantillon de taillen = 2 qui soit egale aµx = 4.

PROPRIETE LIII : La moyenneX de l’echantillon est un estimateur sans biais dela moyenneµ de la population, quelque soit la loi de probabilite.

REMARQUE 50. Le theoreme est vrai pour un echantion aleatoire simple, avec et sansremise

145

PREUVE La preuve ne sera donnee que dans le cas : avec remise.

E(X) = E

(1

n

n∑

k=1

Xk

)

1

n

n∑

k=1

E (Xk) =1

n(nµ) = µ

On pourrait encore demontrer les resultats suivants...

PROPRIETE LIV : La varianceS2 d’un echantillon EASAR est un estimateur sansbiais de la varianceσ2 de la population, quelque soit la loi de probabilite.

PROPRIETE LV : La varianceN − 1

NS2 d’un echantillon aleatoire simple sans re-

mise (EASSR) est un estimateur sans biais de la varianceσ2 de la population,quelque soit la loi de probabilite.

EXEMPLE 70. Reprenons l’exemple ou la population est constituee de quatre indivi-dus : 0, 1, 2, 13.

Considerons tous les echantillons EASSR de taille n=2 et calculonsx, s2 etN − 1

Ns2.

146

EASSR possibles x s2 N − 1

Ns2

(0,1) 0,5 0,5 0,375(0,2) 1,0 2,0 1,500(0,13) 6,5 84,5 63,375(1,0) 0,5 0,5 0,375(1,2) 1,5 0,5 0,375(1,13) 7,0 72,0 54,000(2,0) 1,0 2,0 1,500(2,1) 1,5 0,5 0,375(2,13) 7,5 60,5 45,375(13,0) 6,5 84,5 63,375(13,1) 7,0 72,0 54,000(13,2) 7,5 60,5 45,375

Somme : 48,0 440,0 330,000Moyenne : 4, 0 = µ 27, 5 = σ2

On remarque queX et queN − 1

NS2 sont non biaises respectivement pourµ etσ2

lorsqu’on utilise un EASSR.

Il existe ordinairement plusieurs estimateurs non biaises pour un meme parametre.Prenon, par exemple, un echantillon de taille n=5 d’une population de moyenneµ.Alors

∑5i=1 aiXi est non biaise pourµ si a1, a2, a3, a4, a5 sont des constantes non

toutes nulles telles que∑5

i=1 ai = 1.Une deuxieme qualite d’un estimateur nous permettra de faire un choix parmi les

estimateurs non biaises. En effet, parmi les estimateurs non biaises, on tentera de choi-sir celui qui possede la plus petite variance. Considerons l’exemple suivant.

EXEMPLE 71. Pour estimerµ, la moyenne de la population, considerons quatre esti-mateurs obtenus a partir d’un echantillon de taillen = 5. Notonsσ2 la variance de lapopulation.

1. µ1 = X3 : la troisieme observation,

2. µ2 =X1 + X2

2: la moyenne des deux premieres observations,

3. µ3 = 15X1 + 2

5X2 + 1

5X4 + 1

5X5 : une ponderation des cinq observations,

4. µ4 = X : la moyenne des cinq observations.

Notons d’abord que les quatre estimateursµ1, µ2, µ3, µ4 sont non biaises.

147

Calculons leur variance respective pour choisir le meilleur de ces estimateurs,c’est-a-dire l’estimateur ayant la plus petite variance :

V (µ1) = σ2

V (µ2) =1

4(σ2 + σ2) =

σ2

2

V (µ3) =1

25σ2 +

4

25σ2 +

1

25σ2 +

1

25σ2 =

7

25σ2

V (µ4) =σ2

5

Parmi ces estimateurs non biaises, il apparaıt queµ4) = X est celui qui possede la pluspetite variance. Utilisant les deux criteres de choix,µ4) = X est le meilleur estimateurparmi les quatre estimateurs consideres.

7.3 Intervalles de confiance lorsqueX → N(µ, σ2

En general, l’on n’est pas satisfait d’une estimation ponctuelle d’un parametre.

On souhaite de plus savoir si cette estimation est precise ou non, en prenant unintervalle de confiancepour le parametre inconnu, de la forme :

µ ∈ x ± a

σ2 ∈ s2 ± b

π ∈ p ± c

On desire avoir un intervalle de confiance qui soit centre sur l’estimateur (nonbiaise, si possible) du parametre.

DEFINITION 54 (INTERVALLE DE CONFIANCE). L’intervalle de confiance au niveau1−α pour un parametreθ est un intervalle aleatoire[C1(X1, X2, . . . , Xn), C2(X1, X2, . . . , Xn)]qui recouvre la vraie valeur du parametre avec une grande probabilite1 − α :

Pr(θ ∈ [C1, C2]) = 1 − α

148

7.3.1 Intervalle de confiance pourµ

Lorsqueσ2 est connu, nous savons que

X → N

(µ,

σ2

n

)

ou encore que

Z =X − µ

σ√n

→ N(0, 1)

lorsqueσ2 est inconnu

T =X − µ

S√n

→ tn−1

Nous allons utiliser cette statistique pour trouver l’intervalle de confiance pourµ.Il s’agit de trouverC1 etC2 tels que

Pr(µ ∈ [C1, C2]) = 1 − α

ou encorePr(C1 6 µ 6 C2) = 1 − α

Pr(X − C2 6 X − µ 6 X − C1) = 1 − α

Pr

(X − C2

S√n

6X − µ

S√n

6X − C1)

S√n

)

= 1 − α

Pr

(X − C2

S√n

6 tn−1 6X − C1)

S√n

)= 1 − α

Nous pouvons representer cette probabilite par le graphique suivant :

149

Par consequent,X − C2

S√n

= t(n−1, α2 )

= −t(n−1,1−α2 )

etX − C1

S√n

= t(n−1,1−α2 )

d’ou

C1 = X − t(n−1,1−α2 )

S√n

C2 = X + t(n−1,1−α2 )

S√n

Finalement,µ ∈ [C1, C2] =⇒

µ ∈ X ± t(n−1,1−α2 )

S√n

EXEMPLE 72. Utilisant les valeurs numeriques de l’echantillon del’exemple precedentde la taille des individus, oux = 174, 15, s2 = 127, 924, n = 20 et 1 − α = 0, 90, onobtient l’intervalle

µ ∈ 174, 15± 1, 729 ∗ 11, 31√20

µ ∈ [169, 78; 178, 52]

Ce dernier intervalle est ditintervalle de confiance pour le parametreµ avec un niveaude confiance1 − α = 0, 90.

7.3.2 Intervalle de confiance pourσ2

LorsqueX → N(µ, σ2) alors

U =(n − 1)S2

σ2→ χ2

n−1

Nous allons utiliser cette statistique pour trouver l’intervalle de confiance pourσ2.Il s’agit de trouverC1 etC2 tels que

Pr(σ2 ∈ [C1, C2]) = 1 − α

ou encore :

150

Pr(C1 6 σ26 C2) = 1 − α

Pr(1

C26

1

σ26

1

C1) = 1 − α

Pr((n − 1)S2

C26

(n − 1)S2

σ26

(n − 1)S2

C1) = 1 − α

Pr((n − 1)S2

C26 χ2

n−1 6(n − 1)S2

C1) = 1 − α

Nous pouvons representer cette probabilite par le graphique suivant :

et donc(n − 1)S2

C2= χ2

(n−1, α2

(n − 1)S2

C1= χ2

(n−1,1−α2

d’ou

C1 =(n − 1)S2

χ2(n−1,1−α

2

C2 =(n − 1)S2

χ2(n−1, α

2

Finalement

151

σ2 ∈[

(n − 1)S2

χ2(n−1,1−α

2

;(n − 1)S2

χ2(n−1, α

2

]

EXEMPLE 73. Notons parX1 le gain en poids d’un porc. Considerons un EAS de 18porcs et supposons queX obeisse a une loi normale : 44, 34, 22, 8, 47, 31, 40, 30, 32,35, 18, 21, 35, 18, 21, 35, 29, 22.

On verifie quex = 29 et queσ2 = 101, 529. Si on fixeα = 10%, alors l’intervallede confiance pourσ2 sera :

σ2 ∈[(18 − 1) ∗ 101, 529

27, 59;(18 − 1) ∗ 101, 529

8, 672

]

σ2 ∈ [63; 199]

7.4 Intervalle de confiance pour une proportionπ

Nous allons seulement etudier le cas ou la taille n de l’echantillon est suffisammentgrande pour pouvoir appliquer le theoreme central limite.

Si on note parP = Mn

l’estimateur deπ, ouM est le nombre de succes, l’approxi-mation normale nous dit que

P → N

(π;

π(1 − π)

n

)

doncP − π√

π(1−π)n

→ N(0, 1)

etP − π√

P (1−P )n

→ tn−1

mais comme n est grand, la variable de Student peut etre approximee par une variablenormale

Z =P − π√

P (1−P )n

→ N(0, 1)

L’intervalle de confiance au niveau1 − α pour une proportionπ sera de la forme :π ∈ [C1; C2], avec

152

Pr(C1 6 π 6 C2) = 1 − α

Pr

P − C2√P (1−P )

n

6P − π√

P (1−P )n

6P − C1√

P (1−P )n

= 1 − α

Pr

P − C2√P (1−P )

n

6 Z 6P − C1√

P (1−P )n

= 1 − α

On peut representer cette equation par le schema suivant:

Par consequent :

P − C2√P (1−P )

n

= −z(1−α2)

P − C1√P (1−P )

n

= z(1−α2)

D’ou

C1 = P − z(1−α2)

√P (1 − P )

n

C1 = P + z(1−α2)

√P (1 − P )

n

153

PROPRIETE LVI : Intervalle de confiance au niveau1− α pour une proportionπ :

π ∈ P ± z(1−α2)

√P (1 − P )

n

EXEMPLE 74. On considere l’experience d’un vaccin inocule a 49 souris de memeespece et de meme age. Soit la variable aleatoire X qui prend la valeur 1 si on obtientun succes et 0 si on obtient un echec. La variable aleatoire Y =

∑49i=1 Xi obeit a une

loi binomialeB(49, π) ouπ est la proportion de succes theorique associe a ce vaccin.On observe 35 succes et 14 echecs.

On veut construire un intervalle de confiance au niveau1 − α = 0, 95. Alors

p =m

n=

35

49= 0, 7143

Puisque n est grand, on utilisera l’approximation normale.L’equation generale d’un intervale de confiance de niveau 1 − α est :

π ∈[p − z(1−α

2)

√p(1 − p)

n; p − z(1+ α

2)

√p(1 − p)

n

]

Utilisant les valeurs numeriques, on obtient

π ∈[0, 7143 − 1, 96

√0, 7143(1− 0, 7143)

49; 0, 7143 + 1, 96

√0, 7143(1 − 0, 7143)

49

]

d’ou

π ∈ [0, 59; 0, 84]

Ce dernier intervalle est dit intervalle de confiance pourπ avec un niveau deconfiance de 0,95.

7.5 Taille de l’echantillon

Apres avoir tire un echantillon de taille n, on calcule l’estimation p deπ et on endeduit un intervalle de confiance au niveau1 − α pourπ :

154

π ∈ p ± z(1−α2

√p(1 − p)

n

Avant de tirer l’echantillon, on se donne une precision d,telle que :

π ∈ p ± d oud est la precision requise sur l’estimationp.

Par exemple, on voudrait avoirp ± 3%(d = 3%).Il s’ensuit immediatement que

d = z(1−α2

√p(1 − p)

n

et donc

n =z2(1−α

2

p(1 − p)

d2

Avant de tirer l’echantillon, on ne connaıt evidemment pas la valeur dep. Pouretre sur d’obtenir une precision6 d, nous allons choisir une taillen concervatrice enprenant le maximum du produitp(1 − p). Ce maximum est obtenu pourp = 1 − p =0, 5, et doncp(1 − p) = 0, 25. On pose alors

n0 =z2(1−α

2

4d2=(z(1−α

2

2d

)2

En choisissant1 − α = 95%, n0 devient alors

n0 =1, 962

4d2≈ 1

d2

Ce qui permet de remplir le tableau suivant :d n0

1 % 100002% 25003 % 11114 % 6255 % 400

La taille n de l’echantillon sera alors la valeurn0 arrondie a l’entier superieur sil’echantillon est EASAR ou si la taille N de la population est tres grande (N > 10000).

Si l’echantillon est EASSR et que la taille de la populationest finie, alors n seral’entier superieur a

n0

1 + n0

N

155

EXEMPLE 75. On desire tirer un echantillon pour estimer la proportion de fumeursdans la population francaise. Quelle doit etre la taille de cet echantillon pour obtenirune precision de±3% avec un niveau de confiance de95% ?

n0 =z2(0,975

4(0, 03)2=

(1, 96

2 ∗ 0, 03

)2

= 1067, 11

On s’interesse maintenant a la proportion de fumeurs chezles 300 etudiants eninformatique, en effectant un echantillonnage sans remise.

n0

1 + n0

N

=1067, 11

1 + 1067,11300

= 234, 17

doncn = 235.

On a parfois une idee de la valeur maximum (ou minimum) deπ. Notonsp0 cettevaleur.

Si l’echantillonnage est EASAR ou si la population est tres grande, la taille n seral’entier superieur a

n0 =z2(1−α

2)p0(1−p0)

d2

Si l’echantillonnage est EASSR et si la population est de taille N finie, la taillensera l’entier superieur a

n0

1 + n0

N

EXEMPLE 76. Sachant qu’il y a moins de 30 % de fumeurs chez les 300 etudiants eninformatique, quelle doit etre la taille de l’echantillon pour obtenir une precision de±30% avec un niveau de confiance de95% ?

n0 =1, 962 ∗ 0, 30 ∗ 0, 70

0, 032= 896, 373

n0

1 + n0

N

=896, 373

1 + 896,373300

= 224, 77

d’ou n=225.

156

7.6 Exercices

Exercice 145.On s’interessea la longueur (en cm) de l’index de la main droite chezles droitiers. Supposons que cette variable est normalement distribuee. On preleve unechantillon de 15 droitiers et on mesure l’index de leur maindroite. Les resultats sontles suivants : 8,4 ; 8,6 ; 8,7 ; 9,1 ; 9,2 ; 8,9 ; 8,8 ; 9,1 ; 9,2 ; 9,1; 8,5 ; 8,4 ; 8,6 ; 9,7.

Ces resultats vous portent-ilsa penser que

1. la longueur moyenne de l’index de la main droite chez les droitiers est de 8,5cm ?

2. l’ecart-type de la longueur de l’index de la main droite chez les droitiers est de8,5cm.

Exercice 146.Sachant que n=38, quelle doitetre la valeur de∑38

i=1 x2i pour que l’in-

tervalle de confiance pour la moyenne de la population se lise: µ ∈ 69 ± 1 ?

Exercice 147.Un professeur en sciences sociales veut estimer la proportion π defemmes dans la population. Pour ce faire, il considere un EAS de 30 personnes. Dansce groupe, il denombre 18 femmes. A partir de cette experience, construire un inter-valle de confiance pourπ au niveau1 − α = 0, 95.

Exercice 148.Si une personne exige une precision d=0,04 et un niveau de confiance1− α = 0, 95, quelle doitetre la taille de l’echantillon pour satisfairea ces exigencesdans le cas d’un intervalle de confiance pourπ ?

Exercice 149.Donnez un intervalle de confiance au niveau 95% pour la moyenne etl’ ecart-type de la taille des jeunes adultes males si unechantillon de taille n=1462donnex = 176, 23, s2 = 256, 69.

157

Exercice 150.Sachant que le coefficient de variation du poids des levraults est de28%, quelle doitetre la taille de l’echantillon pour obtenir une precision relatived =3% en estimant, au niveau de 95%, la moyenne des poids (l’intervalle de confiancesera de la formeµ ∈ y ± dy) ?

158

Troisi eme partie

Annexes

159

7.7 Annales

7.7.1 Partiel du 26 mars 2007

Dire, pour chacune des assertions suivantes, si elle est vraie ou fausse (+1pour une bonne reponse, -1 pour une mauvaise). La calculatrice est autorisee,ainsi qu’une feuille simple de resume de cours.

———————————–

QUESTION 1 : Pour arreter de fumer, S.C. grignote des bonbons qu’il prend au ha-sard dans une de ses deux poches, qui en contiennent chacune cinq.On appelleX le nombre de bonbons encore presents dans une poche lorsqu’ils’apercoit que l’autre est vide.

1. On a, pourk = 0, . . . , 5 : p(X = k) =

(1

2

)10−k

C10−k5

2. E(X) =256

4373. σ ≈ 1, 40.

V.F.V.

———————————–

QUESTION 2 : Une urne contient 5 boules blanches indiscernables et 8 boulesnoires indiscernables.On tire successivement 6 boules de l’urne en remettant chaque fois la boule tiree.

1. Il y a 213 resultats possibles

2. Un seul resultat aboutita 5 boules noires et une boule blanche, dans cetordre,

3. 7 tirages contiennent exactement une boule noire,

4. C36 tirages contiennent trois boules blanches et trois noires,

5. 32 tirages contiennent une boule blanche au moins.

FVFVF

———————————–

QUESTION 3 : Dans un journal, on a comptabilise le nombre de lignes de chaquepetite annonce. On a obtenu le tableau de repartition suivant :

nombre de lignes 1 2 3 4 5 6

nombre d’annonces2 8 21 39 22 7

160

1. La moyenne de cette serie est 10,85.

2. L’ecart type est de 2,3.

3. Le pourcentage d’annonces dont le nombre de lignes presente unecart avecla moyenne superieur a l’ ecart type est de 37%.

V. F. F.

———————————–

QUESTION 4 : On a place dans une urne sept boules indiscernables au toucher :trois noires et quatre blanches.On tire au hasard une a une toutes les boules de cette urne, eton appelle R le rangde la premiere boule blanche tiree.

1. P (R = 3) = 435

.

2. E(X) = 2.

V.F.

———————————–

QUESTION 5 : Soit X une variable aleatoire discrete, etfX sa fonction densite deprobabilite. Alors

1. fX est croissante,

2. fX est positive,

3. fX(x) = P (X 6 x).

F. V. F.

———————————–

QUESTION 6 : On considere un jeu de 32 cartes ; les mains sont constitu´ees de 8cartes (non ordonnees.)

1. Le nombre de mains possibles est 10518300.

2. 410195 mains contiennent un as au moins.

3. C832 − C8

21 mains contiennent au moins un coeur ou une dame.

4. C1632 mains ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus.

VFVF

———————————–

161

QUESTION 7 : Une urne contientn jetons numerotes de 1 an.On tire les jetons un a un, sans remise, et on note(j1, j2, . . . , jn) la liste (ordonnee)des numeros obtenus.

1. Il y a n ! resultats possibles.

2. Il y an!

k!resultats qui verifientj1 < j2 < . . . < jk.

On effectue maintenant lesn tirages en remettant chaque fois le le jeton tire.

1. Il y a nn resultats possibles.

2. Ckn+k−1n

(n−k) resultats verifientj1 6 j2 6 . . . 6 jn

V. V. V. V.

———————————–

QUESTION 8 : Sur les factorielles, les arrangements et les nombres de combinai-sons.

1. 10 ! = 3628700

2.(2n + 1)!

2n!= 2n + 1

3. Ckn = Ak

nn!

4. A210 = 90

5. C47 = C3

7

FFVVV

———————————–

QUESTION 9 : On considere une variable aleatoire dont la loi de probabilite est :

xi −10 −5 0 5 10

p(X = xi) 0, 2 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2

1. Le mode est 0.

2. P(X=5) = 0,2.

3. E(X) = 0

4. σ = 5

VVFF

———————————–

QUESTION 10 : Dans le triangle de Pascal

162

1. La somme par ligne donne les puissances de 2.

2. La somme alternee par ligne donne 0.

3. Il y a autant d’entiers pairs que d’impairs.

VVF

———————————–

QUESTION 11 : On tire au hasard 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Soit X la variablealeatoire egale au nombre de rois obtenus.

1. X suit une loi hypergeometriqueH(32, 5,5

32).

2. E(X) = 0,625.

3. V (X) =945

1984On note maintenant Y la variable aleatoire egale au nombrede rois obtenus lorsquel’on tire successivement 5 cartes avec remise

1. Y suit une loi binomialeB(5, 18)

2. E(Y)=0,525

3. V (Y ) =33

64On effectue maintenant une serie infinie de tirages successifs, en remettant chaquefois la carte tiree. Soit Z le rang d’apparition du premier roi.

1. Z suit une loi geometrique de parametre 18

2. E(Z) = 8

3. V(Z) = 56

Soit U le nombre de cartes autres qu’un roi qu’il aura fallu tirer pour obtenir lepremier roi.

1. La loi de U s’ecrit P (U = k) =

(7

8

)k1

8.

2. Son esperance vaut 7.

3. Sa variance vaut 54.

FVVVFFVVVVVF

———————————–

QUESTION 12 : On lance un de au hasard. Un 6 rapporte8 euros, un 5 ou un 4rapporte4 euros, un 3 rapporte3 euros, enfin un 2 ou un 1 ne rapporte rien.Soit X la v.a.d. qui a un evenement associe son gain.

163

1. La loi de probabilite de X est

xi 0 3 5 8

p(X = xi) 1/3 1/6 1/3 1/6

2. E(X) = 2,5

3. V(X) = 12,18

4. σ = 3,35

5. Le mode est 5.

6. Le moment d’ordre 3 non centre est 2,4.

7. Le moment centre d’ordre 3 vaut 0.

FFFFFF

———————————–

QUESTION 13 : Soient A et B deux ensembles finis.

1. Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)

2. (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = ∅3. Card(A) + Card(B) = Card(A) + Card(B)

FFF

———————————–

QUESTION 14 : Dans une population, on etudie deux caracteres genetiques notesA et B.55% des individus possedent le caractere A,42% le caractere B, et27% ne possedentni A ni B.On choisit un individu au hasard dans la population.

1. La probabilite qu’il possede le caractere A sachant qu’il possede deja le ca-ractere B, estegalea 0,57.

2. La probabilite qu’il possede le caractere B sachant qu’il possede deja le ca-ractere A, estegalea 0,54.

FF

———————————–

QUESTION 15 : 1. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 289 = 41905

2. 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 2892 = 8087664

164

3. 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 2893 = 1756029025

VFV

———————————–

QUESTION 16 : Pour un examen, dix examinateurs ont prepare chacun deux su-jets. On dispose donc de 20 sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques.Deux candidats se presentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, lessujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxieme.On noteA1 l’evenement :« Les deux sujets obtenus par le premier candidat pro-viennent du meme examinateur»etA2 l’evenement :« Les deux sujets obtenus parle deuxieme candidat proviennent du meme examinateur».

1. P (A1) = 119

.

2. PA1(A2) = 4

19

3. La probabilite que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets prove-nant d’un meme examinateur estegalea 1

323

4. PA1(A2) = 15

19

5. P (A2 ∪ A1) = 33323

VFVFV

———————————–

QUESTION 17 : On considere un jeu de 52 cartes, et une main de 13 cartes (nonordonnees).

1. Il y a A1352 mains en tout.

2. 8 mains contiennent les 4 as.

3. 220 mains contiennent 4 trefles, dont la dame de trefle.

4. C1339 mains ne contiennent aucun coeur.

5. C1339 + C1

13C1239 + C2

13C1139 mains contiennent trois carreaux au plus.

FFFVF

———————————–

QUESTION 18 : Soit X une variable aleatoire discrete suivant une loibinomialeB(5 ; 0,5) .

1. p(X=2)=0,3

2. E(X) = 2,5

3. V(X) = 2,5

165

FVF

———————————–

QUESTION 19 : On considere une urne contenanta boules blanches etb boulesnoires. On suppose les boules blanches (respectivement noires) indiscernables entreelles. On tire alors les boules une a une successivement, sans remise, jusqu’a viderl’urne.

1. On peut operer deCaa+b facons pour vider l’urne.

2. Ca−1k−1 tirages amenent la derniere boule blanche en k-ieme position.

3.a+b∑

k=a

Ca−1k−1 = Ca

a+b

VVV

———————————–

QUESTION 20 : Soit l’experience aleatoire consistant a lancern fois une piece demonnaie. On designe parX le nombre de fois ou pile apparaıt au cours de cesnlancers.

1. X suit une loi de Bernoulli.

2. La probabilite d’obtenirk fois pile lors de cesn lancers estegalea 1k.

3. E(X) = n.

4. Soit l’evenementA = ”obtenir une fois pile”, alorsp(A) = 1n.

5. Soit l’evenementB = ”obtenir au moins 2 fois pile”, alorsp(A) = 23

pourn = 3.

6. Soit l’evenementC = ”obtenir au plus 3 fois pile”, alorsp(A) = 47

pourn = 7.

VFFFF

———————————–

QUESTION 21 : 1. La fonction densite de probabilite est la primitive de la fonc-tion de repartition.

2. Dans le cas discret,fX(x) est la probabilite que la variable aleatoireX soitegalea x.

3. La somme, sur toutes les valeurs possibles de la variable aleatoire X, defX ,donne 1.

166

FVV

———————————–

QUESTION 22 : Une urne contient2n papiers sur lesquels sont reproduits les2n

parties d’un ensemble E a n elements.On tire un papier au hasard. Soit X la v.a.r. egale au cardinal de la partie tiree.

1. P (X = k) =Ck

n

2n

2. X suit une loi binomiale de parametres n et12

3. E(X) = n2

4. V (X) = n3

VVVF

———————————–

QUESTION 23 : Dans une fabrique en serie, 8 % des articles presententdes defauts.

1. La probabilite pour que dans un controle portant sur 40 articles, il y ait 4articles defectueux, est deC4

40(0, 08)4(0, 92)36

2. La probabilite pour que dans un controle portant sur 40 articles, il y ait auplus 4 articles defectueux, est de 0,1.

3. On risque d’avoir 5 articles sur les 40 avec des defauts.

VFV

———————————–

QUESTION 24 : On lance un de au hasard. Un 6 rapporte10 euros, un 5 ou un 4rapporte6 euros, un 3 rapporte5 euros, enfin un 2 ou un 1 ne rapporte rien.Soit X la v.a.d. qui a un evenement associe son gain.

1. La loi de probabilite est

xi 0 5 6 10

p(X = xi) 1/3 1/6 1/3 1/6

2. E(X) = 3,5

3. V(X) = 12,85

4. σ = 2,55

VFFF

167

———————————–

QUESTION 25 : Deux etudiantse1 et e2 produisent du code. Ils produisent respec-tivement 1/3 et 2/3 des lignes de code d’un projet a rendre.

– e1 ecrit45% de lignes boguees,– e2 ecrit55% de lignes boguees,

On choisit une ligne au hasard du projet.

1. La probabilite qu’elle provienne dee1 et qu’elle soit boguee vaut16.

2. La probabilite qu’elle soit boguee vaut16/30.

3. La probabilite qu’une ligne boguee soitecrite pare1 vaut 5/17.

FFF

168

Chapitre 8

Les lois statistiques

8.1 Loi normale centree reduite

8.1.1 Presentation

Il y a convergence d’une loi binomiale vers une loi normale (encore appelee deGauss) quand le nombre d’epreuves augmente.

De plus, l’experience montre qu’un grand nombre de grandeurs physiques suiventune loi normale : le theoreme central limite justifie d’ailleurs que la loi normale est laloi des phenomenes naturels.

EXEMPLE 77. Si une usine fabrique des barres metalliques de longueur 2m, la lon-gueur d’une barre donnee n’est jamais exactement 2m. Elle suit une loi normale d’esperance2, et de variance d’autant plus petite que les tolerances des machines sont faibles.

8.1.2 Caracteristiques

Densite de probabilite

f(x) =1√2π

exp

(−x2

2

)

Esperance et variance

E(X) = 0, V(X) = 1.

169

De meme, tous les moments d’ordre impair sont nuls.

Fonction de repartition

Il est difficile de calculer les valeurs de la fonction de repartition, car on ne connaitpas de primitives a la densitef (en fait, on definit une nouvelle fonction usuelle, ap-peleefonction d’erreur, a partir de cette fonction de repartition). On utilise plutot destables.

Courbes representatives

FIG. 8.1 – Densite de la loi normale

On remarque que la loi normale se concentre essentiellementautour de sa moyenne :c’est la celebrecourbe en cloche.

8.2 Loi du khi-deux

8.2.1 Presentation

La principale utilisation de cette loi consiste a apprecier l’adequation d’une loi deprobabilite a une distribution empirique en utilisant letest duχ2

170

FIG. 8.2 – Fonction de repartition de la loi normale

8.2.2 Caracteristiques

Densite de probabilite

Elle fait intervenir la fonctionΓ de Euler :

f(x) =1

2n2 Γ(

n2

)e−x2 x

n2−1χ[0,∞[(x)

Esperance et variance

E(X) = n, V(X) = 2n.

Mediane

Approximativementn − 23

171

FIG. 8.3 – Densite de la loi du khi-deux

FIG. 8.4 – Fonction de repartition de la loi du khi-deux

Courbes representatives

8.3 Loi de Student

8.3.1 Presentation

Soient Z une variable aleatoire de loi normale centree et reduite et U une variableindependante de Z et distribuee suivant la loi la loi duχ2 a k degres de liberte. Pardefinition la variable

172

T =Z√U/k

suit uneloi de Studenta k degres de liberte.

Elle permet d’estimer l’esperanceµ d’une loi normale dont la varianceσ2 est sup-posee inconnue.

Lorsque k est grand, la loi de Student peut etre approchee par la loi normale centreereduite.

8.3.2 Caracteristiques

Densite de probabilite

f(x) =1√kπ

Γ(k−12

)

Γk2

(1 +

x2

k

)− k+1

2

Esperance et variance

Son esperance ne peut pas etre definie pour k = 1, et est nulle pourk > 1.Sa variance est infinie pourk 6 2 et vaut k

k−2pourk > 2.

Mediane, mode

Ils sont nuls tous les deux.

Fonction de repartition

Il est edifficile de calculer les valeurs de la fonction de repartition, car on ne connaitpas de primitives a la densitef . On utilise plutot des tables.

Courbes representatives

173

FIG. 8.5 – Densite de la loi de Student

FIG. 8.6 – Fonction de repartition de la loi de Student

174

Chapitre 9

Tables statistiques

9.0.3 Table de la loi normale centree reduite

La table ci-dessous comporte les valeurs de la fonction de r´epartition de la loinormale :

175

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7793 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8906 0.8925 0.8943 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000176

177

9.0.4 Table de la loi du khi-deux

k 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.500 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.45 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88

2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 1.39 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60

3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 2.37 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84

4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 3.36 7.78 9.94 11.14 13.28 14.86

5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 4.35 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75

6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 5.35 10.65 12.59 14.45 16.81 18.55

7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 6.35 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28

8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 7.34 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96

9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 8.34 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 9.34 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19

11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 10.34 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76

12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 11.34 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30

13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 12.34 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82

14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 13.34 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32

15 4.60 5.23 6.27 7.26 8.55 14.34 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80

16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 15.34 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27

17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 16.34 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72

18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.87 17.34 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16

19 6.84 7.63 8.81 10.12 11.65 18.34 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58

20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 19.34 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00

21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 20.34 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40

22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 21.34 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80

23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 22.34 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18

24 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 23.34 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56

25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 24.34 34.28 37.65 40.65 44.31 46.93

26 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 25.34 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29

27 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 26.34 36.74 40.11 43.19 46.96 49.65

28 12.46 13.57 15.31 16.93 18.94 27.34 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99

29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 28.34 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34

30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 29.34 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67

40 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 39.34 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77

50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 49.33 63.17 67.50 71.42 76.15 79.49

60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 59.33 74.40 79.08 83.30 88.38 91.95

70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 69.33 85.53 90.53 95.02 100.42 104.22

80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 79.33 96.58 101.88 106.63 112.33 116.32

90 59.20 61.75 65.65 69.13 73.29 89.33 107.57 113.14 118.14 124.12 128.30

100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 99.33 118.50 124.34 129.56 135.81 140.17

178

179

9.0.5 Table de la loi de Student

γ

k 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0025 0,0010 0,0005

1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6

2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60

3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92

4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610

5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869

6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959

7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408

8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041

9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781

10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587

11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437

12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318

13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221

14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140

15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073

16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015

17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965

18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922

19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883

20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850

21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819

22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792

23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,767

24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745

25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725

26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707

27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690

28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674

29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659

30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646

40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551

50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496

60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460

80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416

100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390

120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373

∞ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

180

Chapitre 10

Programme

10.1 Informations generales

Nom de l’unit e de formation PROBABILITES ET STATISTIQUE : TC-CCG-MATH4

Volume horaire 50 heures

Pre-requis Aucun.

10.2 Objectifs

– Connaıtre les lois usuelles de probabilite (binomiale,Poisson, Gauss, exponen-tielle, etc.).

– Comprendre la notion d’incertitude.

10.3 Competences minimales

– Mesurer une incertitude sur une estimation ou une prevision.– Evaluer l’adequation d’un modele a une serie observee.

10.4 Contenu

– Description uni et bi-variees de donnees statistiques.– Notions de base de probabilites (conditionnement, independance, etc.).– Variables aleatoires discretes et variables aleatoires continues.– Elements de statistique inferentielle (estimation, tests dans les cas les plus simples).– Simulations.– Correlation et regression simple.

181

10.5 Prolongements possibles

– Methodes de Monte-Carlo.– Initiation aux series chronologiques (lissage, desaisonnalisation).– Algorithmes de classification.– Processus aleatoires : files d’attente, chaınes de Markov.– Aspects probabilistes de la transmission de l’information.– Analyse en composantes principales.– Fiabilite.– Sondages.

10.6 Indications de mise en oeuvre

Utiliser un logiciel specifique de statistique afin d’illustrer les notions et outilsintroduits et pratiquer la simulation.

182

Chapitre 11

Sources

11.1 Cours

Maths (Premiere S), collection Declic (Hachette).Math (Term S), collection Hyperbole (Nathan).Cours en ligne de Jean-Michel Bernarbotto (IUT).Methodes statistiques, Robert Cote et Herve Morin (Universite Laval).Statistique pour scientifiques, Robert Cote (Universit´e Laval).Probabilites 1, prepa HEC, par Alain Combrouze (PUF).Magazine tangente.

11.2 Sites

Wikipedia.

183

Index

ecart type,44experimental,102

echantillon,97echantillon aleatoire simple,99echantillonnage,122equiprobabilite,27etendue experimentale,101etendue interquartile,105evenement,23

certain,24impossible,24

evenementselementaires,23complementaires,25indepentants,30

arrangementavec repetition,14sans repetition,13

cardinal,8coefficient d’asymetrie,103coefficient de correlation,92coefficient de correlation lineaire,118coefficient de variation,104covariance,91, 114

deviation standard,102densite de probabilite

continu,66discret,40

diagrammeen boıte,111

diagramme en taches,100droite

de Mayer,115

de regressionde X en Y,117de Y en X,116

ensemblecomplementaire,9intersection,9reunion,8

esperanced’une vac,67

esperance mathematique,41de g(Y),48

espace probabilise discret,26estimateur,142

non biaise,144experience aleatoire,23

fonction de repartition,41, 68Formule

des probabilites totales,31formule

des probabilites composees,30de Vandermonde,17

independance,91intervalle de confiance,148

loide Bernoulli,49de Laplace,75binomiale,50conjointe,87de Poisson,58hypergeometrique,54marginale,88normale,77uniforme,73

184

methode des moindres carres,116mediane experimentale,103mode,43moment

centre d’ordre s,44d’ordre s,44

moyenned’une vac,67experimentale,101

nuage de points,114

p-quantile experimental,104point moyen,114population,97probabilite,26

conditionnelle,29

quartilepremier,105troisieme,105

recensement,122

statistique d’ordre,101

tatou,100triangle de Pascal,17

univers,23

variablealeatoire discrete,37non correlee,91

variance,43continue,67experimentale,102

185