Chapitres 7-8-9-10

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  • CHAPITRE 7:

    Etat limite ultime de rsistance (ELUR)

    1. But

    Dterminer l'armature longitudinale selon le principe des justifications du BAEL 91

    (article A4.3)

    2. Hypothses de calcul (BAEL A 4.3.2)

    (H1) Le diagramme de dformation est linaire; les dformations normales (allongements

    ou raccourcissements) sont donc proportionnels en chaque point d'une section

    donne la distance de ce point l'axe neutre.

    (H2) La rsistance du bton la traction est suppose nulle.

    (H3) Chaque armature subit la mme dformation normale que la gaine de bton qui

    l'entoure; il n'y a pas de glissement relatif et l'adhrence est parfaite.

    (H4) Le raccourcissement ultime du bton est:

    5,3bu en flexion

    2bu en compression centre

    (H5) L'allongement ultime des armatures est limit 10su .

    (H6) Le diagramme des dformations limites d'une section passe par l'un des trois pivots A,

    B ou C; les dformations l'ELUR suivent "la rgle des trois pivots" .

  • 2

    Remarque:

    Les hypothses prcdentes sont de nature rglementaire. Il n'y a pas lieu de les justifier par

    des considrations thoriques ou mme des corrlations exprimentales.

    Si l'on veut maintenant comprendre ces hypothses, il faut savoir qu' l'ELUR. on limite

    volontairement la dformation en compression du bton et la dformation des armatures. Ce

    qui rend la scurit plus sr. En effet, les courbes de comportement rel prsentent des paliers

    de contrainte et il est moins sr de limiter cette dernire. D'autre part, la distinction entre un

    tat de flexion et de compression centr provient du fait que dans le premier le diagramme des

    dformations est linaire et tous les points de la section ne sont pas soumis la mme

    dformation ( il y' a donc une certaine rserve) alors que dans le deuxime cas tous les points

    de la section subissent la mme dformation normale (situation plus critique que la

    prcdente).

    L'hypothse (H3) est trs importante car le principe mme d'une structure en bton arm

    suppose l'existence d'un tat parfait d'adhrence entre le bton et les armatures. On verra plus

    loin que des dispositions spciales concernant l'ancrage des armatures doivent tre prises pour

    assurer la validit de cette hypothse.

    2. Rgles des trois pivots (BAEL A 4.3.3)

    Dans le calcul l'ELUR, les diverses positions que peut prendre le diagramme des

    dformations de la section passent par l'un des pivots A, B ou C; l'intrieur ou la frontire

    des domaines reprs (1), (2), (3) sur la figure 9.1.

    Les notations utilises sont:

    h: hauteur totale de la section

    d: hauteur utile de la section en flexion simple

    sA : section des aciers tendus

    Dans la suite, on dsignera par uY , la distance entre la fibre suprieure et la fibre neutre et on

    posera:

    d

    Yuu

  • 3

    Figure 6.1: Diagramme des trois pivots

    3. Analyse du diagramme des dformations limites d'une section

    3.1 Pivot A - domaine (1)

    Caractrisation

    ooo

    st /10 et ooo

    bc /5.30

    l'ELUR est atteint par les armatures

    Modes de sollicitations et type d'lments concerns

    traction simple (tirant)

    section entirement tendue en flexion compose (tirant)

    section partiellement comprime en flexion simple ou compose (poutre ou tirant)

    C

    Section avant dformation

    (3)

    (2)

    (1)

    C'

    As

    B'

    B A'

    A

    d h

    4h / 7

    3h / 7

    Raccourcissement

    Compression Allongement

    Traction

  • 4

    On distingue trois sous domaines:

    (1a) - le diagramme de dformation concide avec la frontire AA', auquel cas le bton est

    entirement tendu sous la traction simple;

    (1b) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires AA' et OO' pour lequel la

    section est dans un tat de flexion compose et le bton est entirement tendu;

    (1c) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires OO' et AB pour lequel la

    section est dans un tat de flexion simple et le bton est partiellement comprim.

    Il est utile de dterminer en fonction de *u la limite entre les domaines (1b) et (1c). Le

    thorme de Thals permet d'crire:

    10

    Yd

    5.3

    Y *u*

    u

    soit en divisant les deux membres par d et aprs rarrangement,

    2593.027

    7

    5.310

    5.3*u

    d2593.0Y*u

    b1

    A )/5.3(B ooo O

    O

    )/10(A ooo

    *

    uY

    d h a1

    1

  • 5

    Il vient alors la caractrisation des trois sous domaines prcdents sous la forme:

    u le domaine actif est le domaine (1a)

    0u le domaine actif est le domaine (1b)

    2593.00 *uu le domaine actif est le domaine (1c)

    Le pivot A correspond donc 2593.0u .

    3.2. Pivot B - domaine (2)

    Caractrisation

    Ce domaine correspond un diagramme de dformation qui satisfait simultanment

    5.3bu dans la fibre suprieure de la section et 10su dans les aciers tendus.

    Modes de sollicitations et type d'lments concerns

    L'ELUR est atteint par le bton en flexion est la section est partiellement comprim en flexion

    simple ou en flexion compose (cas gnral des poutres)

    *

    uY

    2

    b2

    )/5.3(B ooo O

    O

    )/10(A ooo

    d h

    a2 c2

  • 6

    On distingue l aussi trois sous domaines remarquables:

    (2a) - la dformation dans les aciers tendus dpasse la dformation correspondant la limite

    d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la section est dans un tat de flexion

    simple ou compose;

    (2b) - la dformation dans les aciers tendus est un allongement qui reste infrieur la

    dformation correspondant la limite d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la

    section est dans un tat de flexion simple ou compose;

    (2c) - les aciers tendus subissent un raccourcissement. Les aciers ne jouent pas vraiment leur

    meilleur rle dans ce cas ou l'axe neutre passe dans l'enrobage (partie inutile d'un point de vue

    mcanique de la section).

    Comme dans le cas prcdent, on caractrise en termes de u ces trois domaines.

    La frontire entre le domaine (2a) et (2b) correspond un allongement des armatures tendues

    gal l'allongement )E(f sse qui est fonction de la nuance d'acier utilis et pour lequel

    u . se calcule par l'application encore une fois du thorme de Thals, sous la

    forme

    5.3

    5.3

    L'autre frontire correspond la limite d'une section entirement comprime du bton, pour

    laquelle la dformation de la fibre infrieure est nulle. Dans ce cas d

    hcu .

    D'o la caractrisation suivante des trois domaines:

    u*

    u 2593.0 le domaine actif est le domaine (2a)

    1u le domaine actif est le domaine (2b)

    dh1 u le domaine actif est le domaine (2c)

  • 7

    3.3. Pivot C - domaine (3)

    Caractrisation

    Dans ce domaine la dformation de compression du bton au point C doit toujours vrifier

    2bub .

    Modes de sollicitations et type d'lments concerns

    L'ELUR est atteint par compression du bton et la section est entirement comprime.

    C'est le cas de la compression simple ou de la flexion compose avec section entirement

    comprime (cas gnral des poteaux et des poutres).

    La position du point C est localise par l'application du thorme de Thals et on a:

    2

    Yh

    25.3

    Y cc

    h7

    3Yc

    On distingue pour ce pivot, le cas de la compression simple correspondant la frontire CC'

    et le cas de la flexion compose avec une section entirement comprime qui correspond au

    domaine (3). La caractrisation en termes de u est immdiate et on obtient:

    udh le domaine actif est le domaine (3)

    u le domaine actif est la frontire CC'

    )/2(C ooo

    C

    h7

    4

    h7

    3

    )/5.3(B ooo

    O

    O

    h

    3

  • 8

    4. Diagramme des contraintes

    Pour le calcul l'ELUR, on adoptera pour le bton le diagramme contraintes-dformations en

    parabole-rectangle. La dformation augmentant linairement vers le haut partir de l'axe

    neutre, la contrainte augmente galement mais en suivant la courbe parabole rectangle.

    En flexion simple, le diagramme parabole-rectangle est remplace par le diagramme

    rectangulaire simplifi.

    5. Recommandations du BAEL

    e

    28t

    f

    fdb23.0;

    1000

    BmaxAs o B est la section de bton.

    La section d'armatures tendues As est au moins gale la valeur minimale fixe par la rgle

    du millime et la condition de non fragilit

    La contrainte s dans les armatures tendues ne doit pas tre infrieure s

    ef

    (sinon les

    armatures sont mal utilises) la dformation st des armatures tendues doit vrifier

    oo

    o

    sust

    ss

    e /10E

    f

    la part du moment de flexion quilibr par les aciers comprims doit tre infrieure 40%

    du moment total, soit: Mu4.0)dd(A ss

    pour empcher le flambement des armatures comprimes, celles-ci doivent tre entoures

    de cadres tous les 15 diamtres au maximum

    6. Diagramme contraintes-dformations simplifi du bton

    6.1 Diagramme rectangulaire simplifi (Pivot B)

    Pour le calcul l'ELUR en flexion simple lorsque le pivot est en B, le diagramme parabole-

    rectangle peut tre remplac par le diagramme rectangulaire simplifi.

  • 9

    Le diagramme parabole-rectan