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Analyse 03/A-U : 2014-2015/F. Sehouli Page 1

Chapitre 02 : Sries numriques

Introduction : La thorie des sries pour but de donner si possible un sens la somme

dune infinit de nombres. Supposons que lon dispose dun gteau et dun couteau parfait

permettant de couper sans jamais en perdre une miette!. Si lon commence par manger la

moiti du gteau puis la moiti de ce qui reste et ainsi e suite indfiniment, personne ne

doute que lon finira par manger tout le gteau. Et si on note

la fraction de gteaux

mange la premire fois , la fraction de gteau mange la deuxime fois , et dune faon gnrale la fraction de gteau mange la nmefois. Direque lon a tout mang signifie que si on fait la somme de on trouvera 1, quonnotera: .Paradoxe de Znon :Une course est organise entre une personne et une tortue, au dpart

la tortue possde 10 mtres davance sur la personne ; mais la tortue se dplace 1 mtre

par seconde alors que la personne court 10 mtres par seconde. La personne ne rattrapera

jamais la tortue. En effet ; la personne va dabord parcourir les 10 mtres de retard quil

possde sur la tortue, mais quand il y arrivera, la tortue aura avanc dune certaine distance

(1 mtre), et quand la personne aura parcouru ce mtre de retard, la tortue aura encore

avanc dune certaine distance et ainsi de suite. La personne naura jamais termin de

parcourir les retards successifs. Comme il y a une infinit dtapes on a tendance croire

que lensemble de ces tapes va durer un temps infini, or ce nest pas le cas: la somme

dune infinit de nombres positifs nest pas ncessairement infinie. En effet ; la personne

met une seconde pour parcourir les 10 mtres le sparant initialement de la tortue, puis

seconde pour parcourir le mtre davance, puis

seconde pour parcourir le

mtre que la

tortue possde comme avance

Ainsi le temps mis par la personne pour rattraper le retard vaut :


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I.

Dfinitions et proprits :

Dfinition :

Soit une suite numrique et pour chaque , soit la somme de(n+1) premiers termes de cette suite.

La suite est appele srie de terme gnral , cette srie sera note . est dite somme partielle dordre n de la srie. On dit que la srie converge si et seulement si la suite des sommes partielles

converge, dans ce cas est appele somme de la srie ,et dsigne par .

Une srie est dite divergente si elle nest pas convergente.

Exemples :

Srie gomtrique: , sa somme partielle .Et sa somme Dola srie gomtrique converge pour .

Si on revient lexemple du gteau (donn dans lintroduction):

Et pour le paradoxe de Znon : donc la personne rattrape sonretard au bout de

secondes.Reste dune srie convergente:

Si la srie du terme gnral est convergente, et de somme ,la diffrence sappelle reste dordre n de la srie. Onle note : Proposition 01 : Si la srie converge, alors .En effet: donc (car la srie convergeet ).Proposition 02 :Si la srie converge, alors . Donc si alors lasrie diverge.En effet: On a do . Si la srie converge lasuite converge, et donc Remarque :Cette condition est une condition ncessaire qui nest pas suffisante, car il existe dessries divergentes et dont les termes gnraux tendent vers 0 linfinie.


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Contre exemples :

La srie est une srie divergente, car

bien que la limite de

son terme gnral est nulle : La srie , dite srie harmonique, est une srie divergente bien que son terme gnral , en effet : On a i.e

Do

ce qui montre que

la srie harmonique diverge. On peut montrer sa divergence en montrant que la suite nestpas de Cauchy.Proposition 03 :Soit une suite numrique. La suite converge si et seulement si lasrie de terme gnral converge, i.e. Preuve :La somme partielle de la srie est Si la suite

converge, on note sa limite

, alors

ce qui

prouve que la srie converge.Et si on suppose que la srie converge vers S, on a . Ce qui prouve que la suite converge.

Exemples :

1)

Soit la srie , on a La suite

converge donc la srie

converge, en plus :

.2) Soit la srie , la suite converge donc la srie converge, et sa somme S


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Proprits et oprations sur les sries :

Proposition 01 : Soient et deux sries, on suppose quelles ne diffrent que par unnombre fini de termes (i.e. il existe tel que pour tout ) alors les deux sriessont de mme nature.

Preuve :Soit , posons :

La diffrence

est une constante, alors

Remarque :

Cette proposition permet de dire que les sries sont de mme nature (on parle de nature

dune srie pour dsigner sa convergence ou sa divergence) mais en cas de convergence,

elles nont pas ncessairement la mme somme.

On ne change pas la nature dune srie si on lui rajoute ou on lui retranche un nombre fini de

termes.

Se mfier du symbole de sommation

: ce nest pas une somme au sens usuel, car

elle nest pas commutative en gnral.

Les sommes partielles dune srie sont toujours dfinies, mais les restes ne le sont que

lorsque la srie converge.

Proposition 02 :Soient et deux sries numriques et un scalaire non nul : Si converge vers s, et converge vers l alors la srie converge vers (s+l). Si converge vers s alors converge vers s. Si converge et diverge alors la srie diverge

Preuve :exercice.

Remarque : Si les deux sries sont divergentes, on ne peut rien dire sur la nature de leur somme. Par

exemple :

Les sries divergent, et pourtant on a montr que converge. Soient et telles que , les deux sries divergent, mais la srie

converge.


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Soient et telles que , les deux sries divergent, et la srie diverge.Proposition 03 :Soit

une srie termes complexes

II. Sries termes positifs :

On appelle une srie termes rels positifs toute srie vrifiant : . Lessries vrifiant sont aussi appeles sries termes positifs car la naturedune srie ne change pas si on lui retranche un nombre fini de termes.

Si on note . Donc la suite des sommes partielles est croissante, ce qui entraine que : si la suite est majore alors elle converge (i.e. lasrie converge), et si nest pas majore alors et la srie diverge.Proposition 01 :une srie termes positifs converge si et seulement si la suite estmajore.

Thorme de comparaison avec son intgrale :

Thorme :Une srie dont le terme gnral est de la forme

; o

est une fonction

continue, positive et dcroissante vers 0 ; est de mme nature que la suite . .Preuve :Supposons que ; oest une fonction continue, positive et dcroissante vers 0 partir de n=1. Sur chaque segment on a ,do Comme On aura Or

Si , on a i.e

converge ainsi la srie

.


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2) La srie est une srie termes positifs telle que ,comme est (la srie harmonique) divergente, alors diverge aussi.

Thorme 02 :Etant donn deux sries termes positifs, dont les termes gnraux

et

sont

quivalent linfinie ( . Alors sont de mme nature : Exemple :Soit la srie . On a , do , comme est une srie gomtrique convergente alors la srie est convergente aussi.Rgle de Riemann :Soit

une srie termes positifs. On suppose que

et

l tels que . Si alors converge. Si alors diverge.

Preuve :

Si : signifie que est une srie deRiemann convergente (car ) donc converge.

Si

:

, comme diverge ( ) alors diverge.Si : on a et comme diverge ( ) alors diverge.

Exemple :Etudions la nature de la srie : Donc diverge.Rgle de DAlembert:Soit une srie termes positifs. Notons .

Si la srie converge. Si la srie diverge. Si , on ne peut rien conclure.

Exemple :

Soit la srie

de terme gnral

, donc

do la srie converge daprs le critre de DAlembert.


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Pour la srie on a , donc on ne peut rien conclureen appliquant le critre de DAlembert, bien quon a dj dmontr sa divergence.

La srie est une srie de Riemann convergente et .Rgle de Cauchy :Soit la srie positive de terme gnral . Notons

Si la srie converge. Si la srie diverge. Si : cas de doute, on ne peut rien conclure.

Exemple :Soit . On a donc la srie converge.Corollaire : Si

alors

,

et si alors Donc si on tombe sur le cas de doute en appliquant la rgle de DAlembert, il ne faut pas appliquer la

rgle de Cauchy car on ne pourra rien conclure aussi.

Rgle de Raabe-Duhamel :Soit et notons o .Alors Exemple : Considrons une nouvelle fois la srie . La limite , le critre deDAlembert ne permet pas de conclure sa nature, appliquons donc la rgle de Raabe-Duhamel : ce qui prouve la convergence de la srie.Rgle de Gauss :

Soit

, on suppose que

.

Alors : lorsque n tend vers linfinie i.e. Exemple : Soit avec . Ce qui prouve que la srie diverge.


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III.

Sries termes quelconques :

Sries absolument convergente :

Dfinition : On dit que la srie

est absolument convergente lorsque

.

Exemple : La srie converge absolument car le module du terme gnral est gal quon peut majorer par La srie nest pas absolument convergente, car et diverge.

Lemme : Toute srie absolument convergente est convergente.

Dfinition : On dit la srie

est semi-convergente lorsque

converge mais

Rgles de DAlembert et de Cauchy pour les sries termes quelconques :

Rgle 1 : Soit Si converge absolument Si ne converge pas absolument Si cas de doute.

Rgle 2 : Soit

Si converge absolument Si ne converge pas absolument Si cas de doute.

Critre dAbel:

Thorme :Soit la srie tel que , avec La suite est positive, dcroissante vers 0.

Alors la srie converge.Exemples fondamentaux :

Exemple 1 :Sries de la forme ou .Notons Ce qui donne


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Et Do et Ces majorations sont indpendantes de n, donc on peut appliquer le critre dAbel pour dmontrer la

convergence des sries et sachant que la suite est positive,dcroissante vers 0 pour tout . En plus pour , les sries convergeabsolument.

Rsultat :

Exemple 2 :Sries alternes

Dfinition : On appelle srie alterne une srie dont le terme gnral est alternativementpositif puis ngatif i.e. Corollaire :(critre de Leibnitz) Toute srie alterne dont la valeur absolue du termegnral dcroit vers 0 est convergente

En effet : Pour tout entier n, , si de plus la suite est dcroissante vers 0,alors converge daprs le critre dAbel.Cas particulier :La srie est une srie alterne convergente pour . Dailleurs lasrie est semi-convergente pour et absolument convergente pour .Proposition : Le reste dordre n dune srie alterne convergente est major par:

Exemple : Trouvons un entier n tel que la somme partielle

approche la somme de la srie

moins de prs.Cette srie est une srie alterne absolument convergente, donc .Utilisation du dveloppement asymptotique :

Cest une technique trs utilise pour les sries termes quelconques pour lesquelles les critres

prcdents ne sappliquent pas. Dans de nombreuses situations, on conclut sur la nature dune srie

en se ramenant une srie plus simple, pour les sries termes positifs par exemple, il suffit de se

ramener un quivalent, ceci nest plus le cas avec les sries termes quelconques. Par ailleurs, un

quivalent correspond une approximation au premier ordre, laquelle ne permet pas forcment de

conclure. Dans ces cas, il suffit de donner un dveloppement asymptotique du terme gnral.


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Exemple : Soit la srie , la suite nest pas dcroissante donc on ne peut pasappliquer le critre dAbel. Mais on a , dans ce cas onpeut utiliser le dveloppement limit de

au voisinage de 0 :

Do , on a :

Notation de Landau : On dit quune fonctionest un au voisinage de 0, sil existe tels que, au voisinage de 0, on ait Do est le terme gnral dune srie absolument convergente, alors la srie converge.

Remarque :En utilisant le dveloppement asymptotique; il faut dvelopper un ordre suffisamment

lev pour obtenir un reste absolument convergent.

IV. Produit de Cauchy de deux sries :

Dfinition :Soit et deux sries numriques. On appelle produit de Cauchy de et la srie o pour tout n entier ; Thorme 01 :Le produit de Cauchy de deux sries absolument convergentes est absolument

convergent.

Thorme 02 :Le produit de Cauchy dune srie absolument convergente et une srie convergente

est convergent.

Remarque : Le produit de Cauchy de deux sries convergentes nest pas ncessairement convergent.

Exemple 1 :La srie est une srie alterne convergente. On va calculer le produit deCauchy de cette srie par elle-mme :

Or ce qui implique


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Do , ce qui signifie diverge.Exemple 02 :Considrons maintenant la srie qui est une srie alterne convergente. Leproduit de Cauchy de cette srie par elle-mme converge aussi, en effet :

On a

, donc

La suite est positive dcroissante vers 0, donc la srie alterne converge.

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