Chapitre VII. Tri Tri par tas Tri rapide. Tris faisant appel aux arbres Dichotomique (quick sort)...
-
Upload
claudie-daniel -
Category
Documents
-
view
127 -
download
5
Transcript of Chapitre VII. Tri Tri par tas Tri rapide. Tris faisant appel aux arbres Dichotomique (quick sort)...
Chapitre VII. Tri
Tri par tas
Tri rapide
Tris faisant appel aux arbres
• Dichotomique (quick sort)• Tri par fusion • Tris par tas • ….
Tri par tas
• Fait appel à la structure de l’arbre binaire parfait partiellement ordonné
• La complexité est • Le principe : prendre le tri par sélection et
accélérer la recherche de min par l’organisation adéquate de données
• (heapsort)
nn lg,
Rappel du tri par sélection
Tri par sélection
• Principe : on recherche le minimum dans la partie restante du tableau et on l’échange avec l’élément qui suit la partie déjà triée.
• Après k placements les k plus petits éléments du tableau sont déjà à leur place définitive
G
Arbre binaire parfait• Arbre binaire parfait : tous les niveaux sont complètement remplis, sauf
éventuellement le dernier niveau. Dans ce dernier cas les nœuds (feuilles) du dernier niveau sont groupés le plus à gauche possible. Arbre binaire parfait est un arbre équilibréparfait « imparfait »
Numérotation hiérarchique(1)
• Numéroter en ordre croissant à partir de 1 tous les nœuds• num(r)=1• num(n)=i => num(FG(n))=2i et num(FD(n))=2i+1
1
32
4 56 7
8 9 10
Numérotation hiérarchique(2)
• 2 < i < n => le père du noeud d’indice i
est à l’indice (i div 2)
• 1 < i < (n div 2) => le fils gauche du nœud d’indice i
est en 2i
le fils droit du nœud d’indice i
est en 2i+1
a b c d e f g h i j
Représentation sous forme d’un tableau
• Codage d’un arbre binaire parfait avec N nœuds par un tableau de N cases
• Un arbre binaire parfait comportant p nœuds et de hauteur
1 a
3 c2 b
4 d 5 e 6 f 7 g
8 h 9 i 10 j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p2log
Arbres binaires parfaits partiellement ordonnés
• ABPPO : est un arbre étiqueté par des éléments d’un ensemble muni d’un ordre total ( ex < sur un ensemble des entiers).
• contenu(n)<contenu(fils(n)) pour tout noeud n et pour tout fils(n)
(1;3)
(3,9)(2;5)
(4;6) (5;7) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13)
Ex. Arbre binaire parfait partiellement ordonné.
Notation : (index, contenu)
Tas
• Tas : un tableau représentant un arbre parfait partiellement ordonné.
- t[1] est la racine
- t[i div 2] est le père de t[i] pour tout i>1
- t[2*i] = FG(t[i]) (si il existe)
- t[2*i +1] = FD(t[i]) (si il existe)
- Si p est le nombre de nœuds de l’arbre et si 2*i=p, alors t[i] n’a qu’un seul fils t[p].
- Si i est supérieur à p div 2, t[i] est une feuille
Si M est la taille du tableau qui contient un tas de p éléments, alors p<M
(1) Adjonction d’un élément :
- ajouter le nouvel élément à la nouvelle feuille créée à cet effet
- réorganiser le tas pour maintenir la cohérence
Ajout (1)
(1;3)
(3,9)(2;5)
(4;6) (5;7) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;4)
(1;3)
(3,9)(2;5)
(4;6) (5;4) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;7)
1
Ajout (2)
(1;3)
(3,9)(2;5)
(4;6) (5;4) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;7)
(1;3)
(3,9)(2;4)
(4;6) (5;5) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;7)
(2)
Ajout (3)
Procédure Ajouter(réf t: tableau[1..M] d’entiers; réf p:entier, x:entier);{on suppose que p<M lors de l’appel – pas de vérification du débordement}
Var i : entier;
Début
{une nouvelle feuille est crée et x est placé dedans}
p:=p+1; t[p]:=x; i:=p;
{conformité à la définition : on effectue les échanges tant que x est inférieur à son père}
Tq (i>1) et (t[i]<t[i div 2]) faire
échanger(t[i]), t[i div 2]);
i:=i div 2
FTq
Fin Ajouter
Suppression (1)
(2) Suppression de l’élément minimal :
- retirer le min et le renvoyer ;
- réorganiser le tas : placer la dernière feuille dans la racine et réordonner l’arbre : pour chaque nœud chercher le plut petit de ces deux fils et permuter.
Suppression (2)
(1;3)
(3,9)(2;4)
(4;6) (5;5) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;7)
(3)
(3,9)(2;4)
(4;6) (5;5) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13) (11;7)
Suppression (3)
(1;7)
(3,9)(2;4)
(4;6) (5;5) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13)
(1;4)
(3,9)(2;7)
(4;6) (5;5) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13)
Suppression (4)
(1;4)
(3,9)(2;5)
(4;6) (5;7) (6;11) (7; 10)
(8; 12) (9;18) (10;13)
Suppression (5)Procédure SuppressionMin(réf t: tableau [1…M] d’entiers, réf p,min : entiers){on suppose que le tas n’est pas vide au moment de l’appel : p>0}Var i,j: entiers;Début { on retient le minimum} min:=t[1]; {réorganisation du tas} t[1]:=t[p]; p:=p-1; i:=1; {placer la dernière feuille à la racine} Tq i< (p div 2) faire {t[i] – n’est pas une feuille} { calcul de l’indice du plus petit des deux fils de t[i] ou de son seul fils 2*i=p} Si (2*i=p) ou (t[2*i]<t[2*i+1])
alors j:=2*i sinon j:=2*i +1FSiSi t[i] > t[j] {échange si la condition d’ordre n’est âs satisfaite} alors échanger(t[i], t[j]) i:=j; sinon sortir FSiFTq
FinSuppressionMin;
Utilisation d’un tas pour le tri d’un tableau (1)
• La base : le tri par sélection. Rechercher le minimum dans la partie du tableau non-triée et le placer à sa place définitive.
• Transformer le tableau en tas (avec la procédure « ajouter »)
• Utiliser le tas pour extraire le min et le placer à l afin du tableau
• (tri par ordre décroissant)
min
1 M
Tas de M éléments
min
1 M-1
Tas de M -1 éléments
Etc…
Utilisation d’un tas pour le tri d’un tableau (2)
Procédure Tri-par-Tas(réf t: tableau[1…M] d’entiers)Var p, min: entiers
Début
p:=0
Tq p<M faire {construction du tas}
ajouter(t,p,t[p+1]);
{p augmente de 1 à chaque appel de « ajouter »}
FTq
Tq p>1 faire
SuppressionMin(t,p,min)
{p diminue de 1 à chaque appel SuppressionMin}
t[p+1]:=min
FTq
Fin Tri-par-Tas
Complexité du tri pas tas
• Construction du tas : M appels de la procédure ajouter. Sa complexité dans le pire de cas est de
• La sélection de l’élément le plus petit se fait par M-1 appels de la procédure SuppressionMin. Sa complexité dans le pire des cas est de
• La complexité du tri par tas est donc en • Avec « comparaison » comme opération fondamentale.
M2log
M2log
MM 2log
Tri rapide(Quick Sort)
• Tri dichotomique : on partage une liste à trier ( tableau) en deux sous-listes L1,L2:
• Les éléments de L1 sont tous inférieurs à tous les éléments de L2
• On recommence jusqu’à avoir les sous-listes réduits à un élément
Principe de tri rapide
Élément Pivot
Choisir un élément pivot et placer les éléments inférieurs à gauche, supérieurs – à - droite
Pivot se trouve à sa place définitive
Choix du Pivot – 1er élément du tableau
Recommencer avec les deux sous-listes tq atteindre 1 élément
Exemple
• 101 212 21 123 47 79 195
• 47 79 21 101 123 212 195
• 21 47 79 101 123 212 195• • 21 47 79 101 123 212 195
• 21 47 79 101 123 195 212
Tri rapide – pivot
• Supposons que nous avons une procédure placer (réf t,val i,j,réf k):
• t est défini entre i, j,• k – emplacement définitif du pivot
(paramètre de sortie)• placer : place élément t[i] à la k-ème place
et renvoie k.
Algorithme général
• Procédure tri-rapide(réf t: tableau[1..n+1] des entiers; val i,j : entiers)
• {t[n+1] contint une sentinelle}• Var k : entier;• Début
– Si i<j alors {plus qu’un élément dans le sous-tableau}– Placer(t,i,j,k) {partitionner t selon le principe du pivot et placer
t[i] en k}– Tri-rapide(t,i,k-1)– Tri-rapide(t,k+1,j)– Fsi
Fin Tri-rapide
L’appel tri-rapide(t,1,n) provoque le tri du tableau complet
Procédure de partition et de placement(1)
G D
Avancer G Tq t[G] < Pivot
Reculer D Tq t[D] > Pivot
Permuter
G D
Procédure de partition et de placement(2)
• Ajout d’une sentinelle t[n+1] > t[i] pour tout i=1, ….,n
• Quand on appelle « placer » sur une partie de tableau qui n’est pas la fin du tableau, cette sentinelle existe : l’élément qui se trouve à l’indice j+1 est le pivot de l’appel précédent. Il est donc supérieur à tous les éléments entre i et j.
Procédure de partition et de placement(3)
• Procédure placer (réf t: tableau[1..n+1] des entiers; i,j, : entiers, réf k: entier)
• Var G : entier;• Début
– G:=i+1;k:=j– TQ G<k faire {Le pivot est t[i]
• TQ t[k] >t[i] k:=k-1;• TQ t[G] < t[i] G:=G+1;• Si G<K alors• échanger(t [G], t[k])• G:=G+1• k:=k-1FTQÉchanger(t[i], t[k])
Fin placer
Analyse
• Graphe d’appels est un arbre binaire• Complexité au pire• Opération fondamentale : comparaison.• A chaque niveau de l’arbre au pire n
comparaisons• La hauteur de l’arbre est
• C est donc (?)
n2log
Version itérative• Procédure tri-rapide-iter(réf t : tableau[1..n+1]des entiers)• Var Q:PILE; i,j,k : entiers• i:=1;j:=n;pile-vide(Q);• TQ vrai faire• TQ i<j faire• placer(t,i,j,k) emplilerQ5i,j,k);j:=k-1• FTQ• Si non estèvide(Q) alors• (i,j,k):=sommet(Q); dépiler(Q);i:=k+1• sinon• sortir• FSIFTQFintri-rapide_iter