Chapitre VII

Chapitre VII : Noyau et Image

Introduction

Après avoir vu tout une série d’exemples, nous allons étudier lesapplications linéaires plus en détails.

Applications injectives/surjectives

Il est souvent utile de savoir si une application linéaire est injectiveet/ou surjective. Rappelons qu’une fonction (pas nécessairementlinéaire)

f : A→ B

est injective si deux éléments distincts de A ont des imagesdistinctes (c’est-à-dire si x , y ∈ A et f (x) = f (y) alors x = y). Elleest surjective si tout point dans B est dans l’ensemble image def :

Im(f ) = {y | y = f (x) pour un certain x ∈ V }.

Donc f est surjective si Im(f ) = B .

Applications injectives/surjectives

Exemple 1

La fonction f : R→ R : x 7→ x2 n’est ni injective (vu quef (1) = f (−1)) ni surjective (vu que les réels négatifs ne sont pasdans l’image de f ).

Si f : A→ B est une application quelconque (pas nécessairementlinéaire) on a

Im(f ) ⊆ B

mais Im(f ) 6= B en règle générale. Ici, on a par exempleIm(f ) = R+.

Image

Exemple 2

L’applicationf : R→ R2 : x 7→ (x , 8x)

est linéaire et son image est la droite vectorielle d’équationy = 8x.L’application

g : R2 → R2 : (x , y) 7→ (2x , 3y)

est linéaire et son image est R2 tout entier. En effet, quel que soit(z , t) ∈ R2 on a

f (z2,t3) = (z , t)

donc (z , t) est bien dans l’image de g.

Image

Proposition 1

Soient V et W deux espaces vectoriels sur K et f : V →W uneapplication linéaire. Alors Im(f ) est un sous-espace vectoriel de W .

Démonstration : Il faut montrer que 0W est dans Im(f ), que siu, v ∈ Im(f ) alors u + v ∈ Im(f ) et que si u ∈ Im(f ) et λ ∈ Kalors λu ∈ Im(f ).L’élément neutre 0W est dans l’image vu que f (0V ) = 0W (donc0W est l’image par f du neutre 0V ).

Image

Si u, v ∈ Im(f ) alors il existe z , t ∈ V tels que u = f (z) etv = f (t). Mais alors

u + v = f (z) + f (t) = f (z + t)

donc u + v ∈ Im(f ). Finalement, si λ ∈ K il vient

λu = λf (z) = f (λz)

et donc λu ∈ Im(f ). �

Noyau

Pour voir si l’application linéaire f : V →W est surjective, onregarde son image. Pour voir si elle est injective, on regarde plutôtson noyau, noté Ker(f ), et défini par :

Ker(f ) = {x ∈ V | f (x) = 0W }.

Noyau = "Kernel" (en anglais)

Noyau

Proposition 2

Le noyau Ker(f ) de l’application linéaire f : V →W est unsous-espace vectoriel de V .

Démonstration : Si u, v ∈ Ker(f ) alors u + v aussi vu que

f (u + v) = f (u) + f (v) = 0W + 0W = 0W .

De même, λu ∈ Ker(f ) dès que λ ∈ K vu que

f (λu) = λf (u) = λ0W = 0W .

�

Noyau

Proposition 3

Soient V et W deux espaces vectoriels sur K et f : V →W uneapplication linéaire. Alors f est injective si et seulement siKer(f ) = {0V }.

Démonstration : Supposons que f est injective. Si x ∈ Ker(f ) alorsf (x) = 0W donc x = 0V vu que f (0V ) = 0W et f est injective.Donc Ker(f ) = {0V }. De même, si Ker(f ) = {0V } et sif (x) = f (y) on en déduirait f (x)− f (y) = 0W donc f (x − y) = 0Wdonc x − y ∈ Ker(f ) et donc x − y = 0V c’est-à-dire x = y . �

Noyau

Exemple 3

L’applicationf : C[X ]→ C : p(X ) 7→ p(0)

est une forme linéaire sur l’espace vectoriel C[X ] des polynômes àcoefficients complexes. Le noyau est constitué des polynômes p(X )tels que p(0) = 0, c’est-à-dire les polynômes p qui n’ont pas determe indépendant. Par exemple, p(X ) = (1+ i)X + X 2 est dans lenoyau mais pas q(X ) = i − 2X 3. Donc, f n’est pas injective.

Noyau

Exemple 4

Considérons l’opérateur linéaire

f : R3 → R3 : (x , y , z) 7→ (x + y + z , x − y , x + z).

Le noyau de f est l’ensemble des éléments de R3 qui sont envoyéssur (0, 0, 0) par f . Donc, (x , y , z) ∈ Ker(f ) si et seulement si

x + y + z = 0x − y = 0x + z = 0

(1)

On résout le système et on trouve Ker(f ) = {(0, 0, 0)} donc f estbien injective.

Noyau et image

Exemple 5

Considérons maintenant l’opérateur

f : R3 → R3 : (x , y , z) 7→ (x , y , 0).

Le noyau est Ker(f ) = {(0, 0, z) | z ∈ R} qui est un sous-espace dedimension 1, donc f n’est pas injective. Remarquons que l’imageest le plan de R3 d’équation z = 0 et est donc un sous-espace dedimension 2. Ainsi

dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = 3 = dimR3.

Noyau et image

Dans l’exemple précédent, on a donc une application linéairef : R3 7→ R3 telle que :

dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = 3 = dimR3.

En fait, cette égalité n’est pas un hasard.

Noyau et image

Théorème 6

Soit V , W deux espaces vectoriels de dimension finie sur le corps Ket f : V →W une application linéaire. Alors

dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V ).

L’idée de la preuve est la suivante : on prend une base {w1, . . . ,wk}de l’image ainsi que des vecteurs v1, . . . , vk de V tels quef (vi ) = wi . Si {u1, . . . , ul} est une base de Ker(f ), on montre que

B = {v1, . . . , vk , u1, . . . , ul}

est une base de V .

Noyau et image

Le théorème précédent implique en particulier que, si un opérateurlinéaire sur un espace vectoriel de dimension finie f : V → V estinjectif, alors il est aussi surjectif ! En effet, s’il est injectif, alorsKer(f ) = {0V } donc dim(Ker(f )) = 0 donc

dim(Im(f )) = dimV .

Comme Im(f ) ⊆ V et dim(Im(f )) = dimV , on doit avoirIm(f ) = V (exercice), donc f est surjectif.

Noyau et image

De même, si un opérateur linéaire f : V → V (avec V dedimension finie) est surjectif, alors Im(f ) = V donc on doit avoirdim(Ker(f )) = 0 et donc Ker(f ) = {0V } (c’est-à-dire, f estinjectif).

Noyau et image

Théorème 7

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K etf : V → V un opérateur linéaire. Alors f est injectif si et seulementsi f est surjectif.

Donc, pour étudier l’injectivité/surjectivité de f , il suffit de calculerson noyau et de regarder s’il est réduit à {0V } ou pas. C’est bienpratique !

Noyau et image

Exemple 8

On avait vu lors d’un des exemples précédents que l’opérateur

f : R3 → R3 : (x , y , z) 7→ (x + y + z , x − y , x + z)

est injectif. Donc, f est aussi surjectif, c’est à-dire Im(f ) = R3. S’ilavait fallut démontrer que Im(f ) = R3 immédiatement à partir dela définition de f , cela aurait été plus difficile.

Noyau et image

Le théorème ?? n’est bien sûr plus vrai dans les cas ou f n’est pasun opérateur linéaire :

Exemple 9

L’applicationf : R→ R2 : x 7→ (x , 0)

est linéaire. On a Ker(f ) = {0} tandis que l’image de f est ladroite vectorielle d’équation y = 0. Donc f est injective mais passurjective. On a cependant bien

dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = 0+ 1 = 1 = dimR.

Bijection

Rappelons qu’une fonction f : A→ B (pas nécessairement linéaire)est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.

Le concept de bijection permet d’exprimer que A et B ont "lemême nombre d’éléments". La bijection f fait en effet correspondreun élément de B à tout élément de A, et tout élément de B seraatteint une et une seule fois.

Isomorphisme

Si l’application linéaire f : V →W est bijective, on dit que f estun isomorphisme d’espaces vectoriels.

Le concept d’isomorphisme permet d’exprimer que V et W sont"les mêmes" espaces vectoriels mais vu différemments. En effet, Vet W auront "le même nombre d’éléments" (vu que f est bijective)et "la même structure" (vu que f est linéaire).

Isomorphisme

Exemple 10

SoitR2[X ] = {a + bX + cX 2 | a, b, c ∈ R}

l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2.L’ensemble R2[X ] forme un sous-espace de R[X ]. L’application

f : R2[X ]→ R3 : a + bX + cX 2 7→ (a, b, c)

est un isomorphisme d’espace vectoriel (on le vérifie facilement).Donc, R2[X ] est juste une autre façon de voir l’espace vectoriel R3

muni de l’addition composante par composante.

Automorphisme

Un isomorphisme f : V 7→ V de V dans lui même est appeléautomorphisme de V ou encore permutation linéaire de V .

Résumé des points importants du chapitre

1 Les définitions du noyau et de l’image d’une applicationlinéaire f : V →W ,

2 Le noyau est un sous-espace de V , l’image un sous-espace deW . L’application f est injective si et seulement siKer(f ) = {0V },

3 Si V et W sont de dimension finie, alorsdim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V ),

4 Les définitions d’isomorphisme/automorphisme.