CHAPITRE VI DEVELOPPER ET FACTORISER

6e – Chapitre VI – Développer et factoriser

- 1 -

CHAPITRE VI

DEVELOPPER ET FACTORISER

A) Propriétés des opérations ……………………… p 1

B) Développer (effectuer)

Exercices…………......................... p 1 (ex 1 à 6)

Solutions………….......................... p 12

C) Factoriser

Exercices …………......................... p 17 (ex 7 à 10)

Solutions…………........................... p 21

D) Problèmes ……………………………………… p 25 (ex 11 à 25)

A) Propriétés des opérations 1) Quelles propriétés des opérations permettent d’écrire les égalités suivantes ? (Attention,

il faut parfois appliquer deux ou plusieurs propriétés de suite !)

1re série

a) 3 3a b b a+ = +

b) ( ) 23 3x x x⋅ =

c) y a a y− + = −

d) ( )3 4 7x x+ + = +

e) 0 5 5x x+ =

f) 2a b a a b+ + = +

g) 2 21a a⋅ =

h) 37 50 1500 350⋅ = +

i) ( )6 2 6 12a b a b− = −

j) 3 2 12 3

aa⋅ =

k) ( )4 5x x y x y⋅ ⋅ = ⋅

l) ( )2 22 3 2 3y y y y+ − =

m) ( )( )1 1 1a b ab a b− + = + − −


- 2 -

2e série

a) ( )( ) ( )( )a b x y x y a b+ − = − +

b) ( )3 4 2 12 6a a+ = +

c) ( )3 4 2 5 4a a+ + = +

d) 97 8 800 24⋅ = −

e) 2 3 6a a a a+ + =

f) 21 41 20 40 40 20 1⋅ = ⋅ + + +

g) ( )( ) ( )( )9 4 4 9u a a u− + = + −

h) ( )5 6 5 1x x x x− = −

i) ( )( ) ( )2x x a a x x a x+ + = +

j) ( ) 22 2ab a a b⋅ ⋅ =

k) ( )7 7x x− + = − −

l) ( )( ) 22 2 4x x x+ − = −

2) Précisez si les expressions suivantes sont des sommes ou des produits et soulignez dans

chaque expression les termes :

a) 2a b+

b) ( )2a b+ ⋅

c) ( )2 3 7 1z t x+ − + −

d) ( ) ( ) 22 4 5 7a b x ab+ − + −

e) 3 4a b c⋅ ⋅

f) 3 5a b c+ −

g) ( )2a b c+ −

h) ( )( )( )22 3a b a x x+ + +

i) ( )56 4r⋅ −

j) 2 2 23 1a b c⋅ + −

k) ( )( )( 1) 2 3 1x x x+ + + −

l) ( ) ( )3 5 2 1 9 4 7 3x x y x− − ⋅ − ⋅ + − ⋅ −

B) Développer (effectuer) 3) Soulignez les termes, puis réduisez les expressions suivantes :

1re série

a) 7 3 2,8 19 9,5 4,12a b a b− + − + − =

b) 2 4 753 5 2

x y x y− + + =

c) 2 2 38 3 7 29 19 5,4x x x x x+ − − + − + =

d) 2 23 33 18 26 455 7 22 6 39 10y y y y− + + + − =

e) 7 3 9 17 9a ab b ba a b− + − − − =

f) 2 2 21 22 3 5 7 11,5 0,53 3

x x x x x x− + − − − + − − =


- 3 -

2e série

a) 7 3a a a− + − =

b) 5 3 9xy x x xy− + − =

c) 2 2 214 8 4 7 10b b b b b− − + − =

d) 2 24 9 12 7 3 5y y y y− − + − − + =

e) 5 11 2 424 6 3 15

ax x x ax x− + − − =

f) 2 223 17 4 3 5 2x x x x− + + + − =

3e série

a) 4 45 17x x− =

b) 2 2 2 25 10 25 9xy x y xy x y+ − − =

c) 2 4 7 3 415 6 10 5 15

yy− + − − + =

d) 2 23 5 4 2x x x x+ + − + − =

e) 5 16 314 21 2

ba b a a− + + − + =

f) 3 822 5 3x y xx y− + − − =

4) Effectuez (développez) et réduisez :

1re série

a) ( )25 3 7x x x− − + =

b) 24 182 3 5a aa − − =

c) ( ) ( )2 6 3 15 2x x− + − =

d) ( ) ( )25 7 2 8 4x x x x− + − − − =

e) ( ) ( ) ( )2 3 5 3 7 2a b c b a c c a b− + − + − − =

f) ( ) ( )9 5 2 4 7 93xx x− − + − =

2e série

a) ( ) ( )3 2 13 8 7y y− − − =

b) 5 6 8 713 10 7 3 8

x x − + − − − =

c) ( ) ( )13 2 3 7 4 7 2 5a b c a b c− + − − − + − + =

d) ( ) ( )2 5 7x x+ + =

e) ( ) ( )2 5 1x x− − =

f) 3 7 42 5 3 5y y + + =


- 4 -

3e série

a) ( ) ( ) ( ) ( )5 17 3 1 2 9a b b a− + + − − =

b) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 1x x x x+ − + − + =

c) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 2 3y y y y− + − − − =

d) ( ) ( ) ( )2 3 4 5x x x− + − + =

e) ( ) ( ) ( )3 3 1 2 5a b a b− − − + =

f) 5 1 3 43 2 2 5 8 5 6x x xx − + − + =

4e série

a) ( ) ( )2 3 2a a+ − =

b) ( ) ( )5 1 1 3 5y y− − − =

c) ( ) ( )3 4 2 5 4 2a a− + − + =

d) ( ) ( ) ( )2 2a b a b b b a− − + − =

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 1 2 1 7 3 1x x x x x x x− − + + − − + − =

f) 3 5 25 1 12 7 3 4 35x x xx − + − − + =

5e série

a) ( ) ( )22 3 5 1x x x+ + + =

b) ( )( )2 3 2 7y y y− − + =

c) ( ) ( )2 3a b c b a+ − − =

d) 2

2 5 6 117 3 86 2 5 9

xx x x − − + − + − =

e) ( ) ( )a b c a b c+ + − − =

f) ( ) ( ) ( ) ( )27 2 5 2 1 3x x x x x+ − − − − − =

6e série

a) ( ) ( )2 5 5 2x x y+ − − + =

b) ( ) ( )2 3 5 2 3 2x x y y− − − + + − =

c) ( ) ( ) ( )5 5 5 5x y y x− − + − + − + − − − =


- 5 -

d) ( ) ( )8 5x x+ ⋅ − =

e) ( ) ( )2 4 5x x⋅ − ⋅ + =

f) ( ) ( )4 2 2x y x y− ⋅ + ⋅ − =

7e série

a) ( ) ( )22 3 3 1x x x− ⋅ − + =

b) ( ) ( )6 3 2 5 2 7x x x− + − − =

c) ( ) ( )213 7 3 4 9 7 11y y y y− − − − + =

d) ( )23 24 4 32 3x x x − ⋅ + − =

e) ( )( )23 2 5x x x− + − =

f) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 2 5x x x x− ⋅ − − − ⋅ − =

8e série

a) (3 1)( 2 2)x x− − + =

b) ( ) ( )3 2 3 2 2 36 4 2 20 16 4x x x x x x− + − − − − + =

c) 1 2 1 336 3 4 2

x y x y − ⋅ − + − − ⋅ =

d) (2 5)( 3 7) (5 3 )(1 2 )x x x x− − + − − − =

e) [3 4(1 2 )][ 5(3 2) 8 12]a a b b− − − − + − =

f) [3 2( 1)][ (2 1)]x x x x+ + − − =

9e série

a) ( )2 36 9 4x xy x− − =

b) 5 12 148 21 15

a b a − + ⋅ =

c) ( ) ( )3 22 3 3 23 2 5x y y x y⋅ ⋅ ⋅ =

d) ( ) ( )4 2 3 2 3 7x y y x− − − =

e) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 1 2 5 2 4a b a b− + − − − − + =

f) 2 3 5 3 4125 8 6 2 4 7

xx x x − − + − − =


- 6 -

10e série

a) ( ) ( )2 3 2b b+ − − =

b) ( ) ( )2 25 2 3x y xy− − =

c) [3 5( 1)][ (2 1)]x x x x− + − − =

d) ( ) ( )2 28 2 11 5m m m m− + − =

e) ( ) ( )3 4 1 2 3 6y x y x− − − + ⋅ =

f) 2

2 34 8 818 182 3 5 2 6a a aa a − − − − − + =

11e série

a) ( )3x x− − =

b) ( )2 3 3x x y− =

c) ( ) ( )2 6 3 4a b c b c− − + − =

d) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 5 2 3 1m u m u− + − + − − − =

e) ( ) 2( )x y x xy− ⋅ − =

f) ( )2 4 34 3 1x y x y xy− + − =

12e série

a) ( ) ( ) ( )4 3 11 4 2 5x x x x− − − + =

b) ( ) ( )2 23 2 5 7 4x x x x− + − =

c) ( )2 23 5 (5 3 )a b b b− ⋅ + =

d) ( ) ( )27 11 2 3x x x− − + =

e) ( ) ( )2 24 1 3 5 7a a a a a− − − + − =

f) ( ) ( ) ( )2 3 5 4x x x− − + =

13e série

a) 2 13 95 3 176 2

x x − − + =

b) ( ) ( )23 4 8 5x x x− + − − =

c) ( ) ( ) ( )3 2 7 1 4 7a b a b a a b+ − + − − − − =


- 7 -

d) ( ) 25 4 4 3 92 3xx x − − − − =

e) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 8 4 5 2 3x x x x− − − + − =

f) ( ) ( ) ( )7 3 1 2 9 4x x x+ − − =

5) Développez en utilisant les identités remarquables, puis réduisez :

1re série

a) ( )27x + =

b) ( )22 5a b+ =

c) ( )25 3x − =

d) ( ) ( )11 11x x+ − =

e) ( ) ( )3 4 4 3x x− + =

f) 2

32a + =

2e série

a) ( )23 7y − =

b) 5 57 3 7 3

y y − + =

c) 2

510yx − =

d) 2

2 3a b + =

e) 2

24a − =

f) 1 11 12 2

x x+ + − + =

3e série

a) 2

22x + =

b) 232

2x y − =

c) 2 255 3

2 2a a − − + =

d) 4 42 25 5

x y y x − ⋅ + =

e) ( ) ( ) ( )22 3 3 2 3 2x x x− − − + =

f) 22

4 3a b − =

4e série

a) ( )22 4x − =

b) ( )22x + =

c) ( )22 3x − =

d) ( ) ( ) ( )25 3 5 3 2 3 4x x x− + − + =

e) ( ) ( )3 2 2 3x x+ ⋅ − =

f) ( ) ( ) 23 2 2 3x x+ − =


- 8 -

5e série

a) 21 2

2x + =

b) ( )22 5x − =

c) 1 12 22 2

x x − ⋅ + =

d) ( ) ( ) ( )22 3 3 2 5 7x x x− + − − =

e) ( ) ( )( ) ( )22 22 6 16 1 4 1 4 1a a a a a− + + + + − =

f) ( ) ( )x y z x y z− + − − =

6e série

a) 22 7

7 2x y + =

b) ( )23 7a b− =

c) 23 2

4 3x + =

d) ( ) ( ) 24 1 1 4x x+ − =

e) 2

33 24 7

a − =

f) 2 22 23 3

y x x y + − =

7e série

a) 235

10x + =

b) 7 78 82 2

y y + − =

c) 214

3x y + =

d) 2

34ba − =

e) ( )235xy x− =

f) ( ) ( )2 22 3 5 7x x+ − − =

6) Développez en utilisant les identités remarquables à chaque fois que c’est possible, puis

réduisez les expressions suivantes :

1re série

a) ( ) ( ) ( )22 3 3 2 1x x x− + − + =

b) ( ) ( ) ( )25 7 3 8 3 7x x x− + + − =

c) ( ) ( )232 3 3 2

4y y y + − + − =

d) 2 26 53

3 5 2a a + − − =


- 9 -

e) ( ) ( ) ( )28 9 9 8 6 4y y y− + − − =

f) ( ) ( ) ( )22 2 4x x x− + + =

2e série

a) ( ) ( )2

5 4 155xx x + − + − =

b) ( ) ( )1 1 7 2 5 13 3y y y y y + + − − + =

c) ( )22 3a + =

d) 23

7a b− =

e) ( )237 5x− =

f) ( )219 3 5 7x x− − =

3e série

a) ( ) ( ) ( )23 3 5 1 7 2x x x− − + − =

b) 2 3 33 6 5 5

x x ⋅ − ⋅ + =

c) ( ) ( ) ( )25 4 7 6 6 7x x x− + + − =

d) ( )2 2

321 24 2 23 3

x x x ⋅ + − − + − =

e) ( ) ( )2 22 8x x x+ − − + =

f) ( ) ( ) ( )22 3 2 2a a a a− − − − + =

4e série

a) ( ) ( ) ( )8 4 2 5 1 1x x x− ⋅ ⋅ − − − + =

b) ( )23 24 4 32 3x x x − ⋅ + − =

c) ( ) ( )5 5y x y x+ + ⋅ − − =

d) ( ) ( )3 311 8 8 11x x+ − =

e) ( ) ( ) ( )27 8 5 3 3 5x x x− − + − =


- 10 -

f) ( )2

23 32 5a b a b + − − =

5e série

a) ( 3)( 2)x x+ − + =

b) ( ) ( ) ( )22 1 9 5 3 4x x x− − − − =

c) 21( )2

x− + =

d) ( ) ( )22 23 1 5 8 7c c c− − − + =

e) 3 3(2 )( 2 )5 5

x x− + =

f) 1 1 1(3 )(3 ) 3( )2 2 2

x x x− + − − =

6e série

a) ( 5)( 5)x x+ − =

b) 2(3 7 )a b− =

c) ( 6)(4 ) ( 5)(3 )a b b a− + + − + =

d) 21 1(5 )(5 ) (3 4 )2 2

a a a+ − − − =

e) 3 3 35 55 5 (2 )7 7

x x x + − + =

f) ( )( ) ( )23 3 38 9 9 8 6 4y y y− + − − =

7e série

a) ( ) ( )3

3 3 25 1 1 53

x x x + − + =

b) ( )23 7 2a a− − =

c) ( ) ( ) ( )222 3 3 2 3 1y y y− + − + =

d) ( ) ( ) ( )22 3 3 2 3 2x x x− + − + =

e) ( ) ( ) ( )25 5 25x x x− + + =

f) ( ) ( ) ( )2212 3 7 7 3 3 5 2b b b b− − + + − =


- 11 -

8e série

a) ( )(5 ) 1 2 4 ( 3)x x x x− − − + =

b) ( )22(3 2 ) 4x y x y+ + − =

c) 2 ( 4) 3 ( 1)( 1)x x x x− ⋅ − − ⋅ − + =

d) ( ) ( )( )24 4 43ab b ab b ab b− + + − =

e) ( ) ( ) ( )29 7 4 13 6a b a b b a− − + − =

f) ( ) ( )23 2 3x x y x y− − − =

9e série

a) ( ) ( ) ( )23 4 4 3 9 16x x x+ − + =

b) ( ) ( )2 23 24 3 5 2z z z + − − − =

c) ( ) ( )2 25 2 1 7 3y y y− − − =

d) ( ) ( )113 13 3 1 3 22 2c c c c + − − − + =

e) ( ) ( ) ( )5 1 3 4 7a a a+ − − =

f) ( ) ( ) ( )25 8 2 9 2 5 4x x x− − − − =

10e série

a) 253

3 10x y ⋅ − =

b) ( )24 6 2 32 2x y x y+ − + =

c) ( ) ( )23 10 8 3 2 112 9x x x x x − − − − + =

d) ( ) ( ) ( )22 21 3 1 3 1a a a a− − − ⋅ ⋅ + =

e) ( ) ( )2 1 2 1a b a b+ − + + =

f) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 1 1 4 4 1 7x x x x x− − + − − + + =

11e série

a) ( ) ( )2 22 23 5 2y y y− − + =

b) ( ) ( ) ( )22 5 7 4 3 1x x x x − − + − − =


- 12 -

c) 2 12 245 3 5y y + − =

d) 2

25 5 25

5 5 25x x x

x x x + − + =

e) ( ) ( )2 25 9 2a a− − − =

f) ( ) ( ) ( ) ( )4 11 11 4 9 5 9c c c c+ − − − + =

Solutions Exercice 3

1re série

a) 12 6,5 1,32a b− + − b) 22 315 2

x y− c) 3 221 16 1,6x x x− − −

d) 25 17 321 10 2

y y+ − e) 2 20 8a ab b− − + f) 219 13 123 3

x x− − −

2e série

a) 5a− b) 2 8x xy− − c) 213 14b b−

d) 211 9 4y y− + − e) 7 112 10

ax x− f) 226 9 19x x+ −

3e série

a) 412x− b) 2 220xy x y− + c) 14 4315 30

y−

d) 24 5 1x x+ + e) 59 142 2

a b− f) 86 5x y

− −

Exercice 4

1re série

a) 3 25 15 35x x x− + − b) 2

32 93 10

aa a− − c) 4 33x− +

d) 3 25 10 43 32x x x− + + e) 5 24 10ab ac bc− + f) 2 233 293

x x− − +

2e série

a) 13 47y − b) 17 4724 21

x + c) 33 41 92 57a b c− + −

d) 22 19 35x x+ + e) 25 11 2x x− + f) 27 9 126 5 25

y y+ +


- 13 -

3e série

a) 17 8 3 60a b ab− + − b) 23 4 5x x− − c) 24 2 3y y− + −

d) 22 3 14x x+ − e) 8 2 8 10a b ab− + + + f) 25 89 148 60 2

x x− −

4e série

a) 23 4 4a a+ − b) 215 83 16y y− + − c) 212 31 30a a− + +

d) 2 22 5 2a ab b− + e) 28 4 8x x− − f) 27 29 2530 21 4

x x− + +

5e série

a) 3 23 11 11 2x x x+ + + b) 3 22 5 13 21y y y+ − − c)

2 22 3 3a b ab ac bc− + − + −

d) 27 11 822 30 9

x x− − + e) 2 2 2 2a b c bc− − − f) 3 25 34 12 17x x x− − − +

6e série

a) 3 2x y− b) 4 11 15x y− − c) 2x

d) 2 3 40x x+ − e) 22 2 40x x+ − f) 2 28 8 12x y xy− + −

7e série a) 3 22 9 11 3x x x− + − b) 221 42x x− + c) 219 14 2y y− +

d) 2 108 163xx− + − e) 3 23 16 7 10x x x− + − + f) 212 30 11x x− +

8e série

a) 26 8 2x x− + − b) 312x− c) 1328

x y− +

d) 212 42 40x x− + − e) 77 22 28 8ab a b− − + + f) 25 3 2x x− + +

9e série

a) 3 554 24x y x− + b) 27 812 15

a ab− + c) 12 10120x y

d) 2 12 14xy x y− + e) 16 22 13 11ab a b+ − − f) 2117 188 320 21 7

x x− +

10e série

a) 23 8 4b b− − − b) 3 2 315 6x y xy− + c) 22 3 5x x+ −

d) 4 3 222 98 40m m m− + e) 24 18 3xy x y− − + f) 3 24 9 95

a a a+ −


- 14 -

11e série

a) 2 3x x− + b) 5 23x x y− c) 2 23 24 6 8 22b c ab ac bc− − − + +

d) 9 17 4u m mu− − − e) 3 2 22x x y xy− + f) 5 5 3 5 2 44 12 4x y x y x y− − +

12e série

a) 25 43 44x x− − + b) 238 26x x− c) 2 2 2 3 215 9 25 15a b a b b b+ − −

d) 3 27 25 43 33x x x− + − e) 3 27 16 21a a a− + f) 3 22 5 37 60x x x− + + −

13e série

a) 2 13 17512 2

x x− + − b) 3 224 23 37 20x x x− + − + c) 2 23 21 5 6 3a b ab a b− + + + −

d) 255 134 72x x− + e) 215 31 9x x− + − f) 3 224 10 127 63x x x− − +

Exercice 5

1re série

a) 2 14 49x x+ + b) 2 24 20 25a ab b+ + c) 225 30 9x x− +

d) 2 121x − e) 29 16x− f) 2

3 94a a+ +

2e série

a) 29 42 49y y− + b) 225

49 9y

− c) 2

225100yx xy− +

d) 2 2

4 3 9a ab b

+ + e) 2

416a a− + f)

2 2 34

x x+ −

3e série

a) 2

2 44x x+ + b) 2 294 6

4x xy y− + c) 235 7520

4 4a a− − +

d) 2 216425

x y− e) 25 12 13x x− − + f) 2 24

16 3 9a ab b

− +

4e série

a) 24 16 16x x− + b) 2 4 4x x+ + c) 22 12 18x x− +

d) 241 48 7x x− − + e) 24 9x − f) 4 281 72 16x x− +

5e série

a) 21 2 44

x x+ + b) 22 20 50x x− + c) 2 144

x −


- 15 -

d) 234 70 45x x− + − e) 4 3 2254 24 72 1a a a− − − f) 2 2 22x xy y z− + −

6e série

a) 2 24 49249 4

x xy y+ + b) 2 29 42 49a ab b− + c) 29 416 9

x x+ +

d) 4 2256 32 1x x− + e) 3 69 3 416 7 49

a a− + f) 2 24 49

x y−

7e série

a) 2 925 3100

x x+ + b) 249 644

y− c) 2

2 8163 9

yx xy+ +

d) 2

2 392 16

ba ab− + e) 2 2 4 625 10x y x y x− + f) 216 82 45x x− + −

Exercice 6

1re série

a) 23 2 10x x− − b) 234 67 7x x− − c) 2 3 15332 16

y y− − +

d) 280 79 4819 5 100

a a− + − e) 287 48 32y y− + − f) 416 x−

2e série

a) 226 5 20525

x x− + b) 3 2190 4035 19 3

y y y+ − + c) 4 26 9a a+ +

d) 2 26 9

49a ab b− + e) 6 325 70 49x x− + f) 3 275 210 147 19x x x− + − +

3e série

a) 231 105 12x x− − b) 2 6

9 3 25x x

− − c) 224 40 52x x− − +

d) 6 2 88 17 49

x x x+ + + e) 3 4x − f) 22 8 5a a− + −

4e série

a) 24 8 28x x− + − b) 2 108 163xx− + − c) 2 2 10 25y x x− − −

d) 664 121x− e) 240 112 89x x− + f) 2 235 16 334 25 5

a b ab− − +

5e série

a) 2 6x x− − + b) 219 47 25x x− + − c) 2 14

x x− +


- 16 -

d) 4 29 11 8 6c c c− + − e) 2 9425

x − f) 2 59 34

x x− +

6e série

a) 2 25x − b) 2 29 42 49a ab b− + c) 3 2 39a b ab− − + −

d) 2 379 244

a a+ − e) 6 3 2525 849

x x− + + f) 6 387 48 32y y− + −

7e série

a) 6 3425 19

x x− + + b) 24 31 49a a− + − c) 4 23 15 1y y− − +

d) 25 12 13x x− − − e) 4625 x− f) 278 60 61b b− +

8e série

a) 22 23 5x x− − + b) 2 225 4 5x xy y+ + c) 25 8 3x x− + +

d) 2 2 510 6a b ab− e) 2 2105 172 36a ab b− + f) 2 29 9x xy y− + −

9e série

a) 4256 81x − b) 236 108 81z z+ + c) 3 29 62 69 5y y y− + − +

d) 237 3 1714

c c− − + e) 3 220 91 86 21a a a− + − − f) 245 186 136x x− +

10e série

a) 2 225 3

3 100x yxy− + b) 6 2 32 4y x y− − c) 3 2262 26 33

3x x x− + − +

d) 4 28 1a a− − + e) 2 24 4 1a ab b+ + − f) 210 2 2x x+ −

11e série

a) 4 3 23 20 31 9y y y− − − + b) 2100 625x − c) 241625

y−

d) 4

4625

625x

x− e) 23 26 56a a− + − f) 2126 36 97c c+ −


- 17 -

B) Factoriser

7) Mettez (tous !) les facteurs communs en évidence :

1re série

a) 5 35x − =

b) 28 28x x+ =

c) 14 49 21a b ab− + =

d) 212 9a ab+ =

e) 2 242 18a b ab− =

f) 2 2 2 216 24 40x y y x x y− + =

2e série

a) 2 32 4 6x x x− + =

b) 2 410 15a a− =

c) 2 327 9 3x x x+ − =

d) ( ) ( )5 2 7 2x x x+ − + =

e) 2 3 3 2 245 54 72ax y a xy a y− + =

f) ( ) ( ) ( )23 4 5 3 4 3 4 7x x x x x+ − + + + =

3e série

a) 210 5 5xy x x− − =

b) 2( 5) 7 ( 5) ( 5)x x x x− − ⋅ − + − =

c) (3 3) ( 1) ( 1)x x x+ − + ⋅ − =

d) 5 460 45 15x x− + =

e) 6 12 18ax bx cx− + =

f) (2 3)( 3) (2 3)(7 2 )x x x x− + + − − =

4e série

a) 7 42x − =

b) 4 2 3 2 321 14 35a b a b a b+ − =

c) 2 3 3 2 2 227 36 45ax y a xy a y− + =

d) 2( 3) 2 ( 3) ( 3)x x x x− − ⋅ − + − =

e) ( ) ( )3 1 2 4 8x x x− − − =

f) 2 239 52x y xy− =

5e série

a) 212 2x y xy− =

b) 13 3 5 45 10x y x y− =

c) 3 275 25 500y y y+ − =

d) ( ) ( )2 1 4 1x x x− − − =

e) 55 27 89 102t y y t− =

f) 7 25 8 36 9 3635 42 14x y x y x y− + =


- 18 -

8) Factorisez :

Vous procéderez dans l’ordre suivant :

d’abord vous soulignez les TERMES de l’expression

si ces termes ont des facteurs communs, vous les mettez en évidence (attention : il

faut mettre TOUS les facteurs communs en évidence !)

ensuite vous utilisez (si possible !) la formule de la différence de deux carrés

enfin vous vérifiez si vous ne pouvez pas encore factoriser certains des facteurs obtenus !

1re série

a) 2 25x − =

b) 2

916y

− =

c) 2 49 49a b− =

d) ( )22 5 4x + − =

e) 12 18 24x y xy− + =

f) 3 234 51 85x x x− + =

2e série

a) 27 28a − =

b) 227 75x− =

c) ( ) ( )23 1 3 1x x x− − − =

d) 318 8ab c abc− =

e) 4 29 81

25 49a b

− =

f) ( ) ( )2 2 24 1 9 1x x x− − − =

3e série

a) 2 3 2 2 336 12 24a b a b a b− + =

b) 5 318 2x x− =

c) 215 10 5xy x x− − =

d) ( ) ( )2 28 2 4 1x x x− − − ⋅ =

e) 2( 5) 7 ( 5) (5 )x x x x+ − ⋅ + + + =

f) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 1 1 4x x x x− ⋅ + − − ⋅ − =

4e série

a) (4 4) ( 1) ( 1)x x x− − + ⋅ − =

b) 236 18 48x x+ − =

c) 3 24 6 12x x x+ − =

d) 2 1254

x − =

e) 212 27x − =

f) ( )2 23 2 4x x− − =

5e série

a) 232 2x− =

b) 35 20x x− =

c) 3 212 36 48x x x− + =

d) 24 49

9 64a

− =

e) ( ) ( )24 9 4y y y+ − + =

f) 264 4x − =


- 19 -

6e série

a) 2 1164

x − =

b) 3x x− =

c) 416 1x − =

d) 8 16 20ab bc bd+ − =

e) 2 3 23 9

x y xy− =

f) ( ) ( )218 8 2 8z a z− − − =

7e série

a) 3 2 2 4 315 25 40a b a b a b− + =

b) 312 75x x− =

c) ( ) ( )2 23 4 5 4x x x− − − =

d) 6 100x − =

e) 363 175x x− =

f) ( ) ( ) 275 5 2 5 2 12x x x+ − + =

8e série

a) ( )22 3 25x − − =

b) 2 256436

y − =

c) (8 8) ( 1) ( 1)x x x− − + ⋅ − =

d) ( )24 1 9x + − =

e) ( ) ( )281 2 7 25 7 2y x x+ − + =

f) ( ) ( )2 2 29 1 16 1x x x− − − =

9e série

a) 249 16m − =

b) 2 2 2x y t− =

c) ( ) ( )29 4 4 4 9a x a+ ⋅ − + =

d) 3 4xy xy− =

e) ( ) ( )2 29 2 3x x− − + =

f) ( ) ( )2 2 24 100 4y y y− − − =

10e série

a) ( )2249 2 5a a− + =

b) 2 25

16 9x

− =

c) 332 50y y− =

d) ( )2264 7 5x x− − =

e) 2 22 50

3 3a x

− =

f) 2 3 3 2 2 4 2 4 349 91 56 14a bc a b c a b c a b c− + − =


- 20 -

9) Pour chacun des trinômes suivants, analysez s’il s’agit d’un trinôme carré parfait. Si oui

factorisez-le, sinon expliquez pourquoi ce n’est pas un trinôme carré parfait. 1re série

a) 2 6 9x x− + =

b) 2 24yz y z− + + =

c) 24 4 1a a+ + =

d) 2 236 60 25u uv v− + =

e) 4 2 3 616 81a a b b+ + =

f) 2 216 8a b ab+ − =

2e série

a) 2 2 2121 9 66x y z xyz+ + =

b) 6 4 12 820 25 4a y a y− + + =

c) 6 4100 49x y+

d) 2

210 259 3x xy y+ + =

e) 2 2400 120 9x xy y+ − =

f) 2

14a a− + =

3e série

a) 2 14 49x x− + =

b) 2 4 64

144 3x x

+ + =

c) 236 38 9x x+ + =

d) 2 14

x x− + =

e) 14 7 1838

c c− + =

f) 22

114

xx

+ + =

4e série

a) 2 0,6 0,09z z− + =

b) 24 1 4y y+ − =

c) 6 210 25x x− + =

d) 10

56 364

x x+ + =

e) 4

625 5

4x

x x− + =

f) 4 20,49 1,44 1,68x x+ + =

5e série

a) 2 8

24 22x yy

y x− + =

b) 2 3 412 36z z z+ + =

c) 6 12 44

310 600100

a aa

− +

d) ( ) ( )23 8 3 16x x+ − + +

e) ( ) ( )2 4296 121 169a b a b− + + −

f) 4 6 8 10 2 3 4 54α β γ + δ − α β γ δ


- 21 -

10) Complétez les trinômes suivants pour en faire des trinômes carrés parfaits puis factorisez-les : 1re série

a) 216 8x x+ +

b) 2x x− +

c) 2 4994

y + +

d) 2

9x x+ +

e) 4 681a b+ +

f) 2144 25

324x+ −

2e série

a) 31 4x+ +

b) 20,25 3a a−

c) 100,09 0,04y + −

d) 24 12a ab+ +

e) ( ) ( )21 6 1x x+ − + +

f) ( ) ( )2 22 7 25 11y y− + − −

3e série

a) 60,25 0,0004x + −

b) 2 6 4 216 9x y x y+ −

c) 4 29 214

x x− +

d) 8

6981yx + −

e) ( )29 11 8 25x − + −

f) 2

25 3 32 2x x − − − +

Solutions :

Exercice 7

1re série

a) ( )5 7x − b) ( )24 2 7x x + c) ( )7 2 7 3a b ab− +

d) ( )3 4 3a a b+ e) ( )6 7 3ab a b− f) ( )4 4 6 10xy x y xy− +

2e série

a) ( )22 1 2 3x x x− + b) ( )2 25 2 3a a− c) ( )23 9 3x x x+ −

d) ( ) ( )2 5 7x x+ − e) ( )2 2 29 5 6 8ay x y a x ay− + f) ( ) ( )23 4 5 7x x x+ − +

3e série

a) ( )5 2 1x y x− − b) ( )2( 5) 3 2x x− − + c) ( )( 1) 4x x+ −

d) ( )5 415 4 3 1x x− + e) ( )6 2 3x a b c− + f) ( )(2 3) 10x x− − +

4e série


- 22 -

a) ( )7 6x − b) ( )2 27 3 2 7a b a b a+ − c) ( )2 2 29 3 4 5ay x y a x a− +

d) ( )( 3) 2x x− − − e) ( ) ( )1 2 3 4x x− − f) ( )13 3 4xy x y−

5e série

a) ( )2 6 1xy x − b) ( )5 3 85 2x y x y− c) ( )225 3 20 1y y y− +

d) 24 6 2x x− + − e) ( )55 27 47 621t y t y− f) ( )7 25 11 2 117 5 6 2x y xy x y− +

Exercice 8

1re série

a) ( ) ( )5 5x x− + b) 3 34 4y y − +

c) ( ) ( )2 23 7 3 7a b a b− +

d) ( ) ( )2 3 2 7x x+ + e) ( )6 2 3x y xy− + f) ( )217 2 3 5x x x− +

2e série

a) ( ) ( )7 2 2a a− + b) ( ) ( )3 3 5 3 5x x− + c) ( ) ( ) ( )3 1 1 1x x x− − +

d) ( ) ( )2 3 2 3 2abc b b− + e) 2 23 9 3 9

5 7 5 7a b a b

− +

f) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 3x x x x− + − +

3e série

a) ( )2 212 3 2a b ab b− + b) ( )( )32 3 1 3 1x x x+ − c) ( )5 3 2 1x y x− −

d) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2x x x− + − e) ( )6 1 ( 5)x x− + f) ( ) ( )2 1 7 1x x− +

4e série

a) ( )( 1) 3x x− − b) ( )26 6 3 8x x+ − c) ( )22 2 3 6x x x+ −

d) 1 15 52 2

x x − +

e) ( ) ( )3 2 3 2 3x x− + f) ( ) ( )2 5 2x x− −

5e série

a) ( ) ( )2 4 4x x− + b) ( ) ( )5 2 2x x x− + c) ( )212 3 4x x x− +

d) 2 7 2 73 8 3 8a a − +

e) ( ) ( ) ( )4 3 3y y y+ − + f) ( ) ( )4 4 1 4 1x x− +

6e série

a) 1 14 42 2

x x − +

b) ( ) ( )1 1x x x− + c) ( ) ( ) ( )24 1 2 1 2 1x x x+ − +


- 23 -

d) ( )4 2 4 5b a c d+ − e) ( )23 29xy xy − f) ( ) ( ) ( )2 8 3 3z a a− − +

7e série

a) ( )2 2 25 3 5 8a b a b a b− + b) ( ) ( )3 2 5 2 5x x x− + c) ( ) ( ) ( )2 2 3 5x x x− + −

d) ( )( )3 310 10x x− + e) ( ) ( )7 3 5 3 5x x x− + f) ( ) ( )23 5 2 5 2x x+ −

8e série

a) ( ) ( )4 4 1x x− + b) 5 58 86 6

y y − +

c) ( )( 1) 7x x− −

d) ( ) ( )8 1 2 1x x+ − e) ( ) ( ) ( )2 7 9 5 9 5x y y+ − + f) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 4 3 4x x x x− + − +

9e série

a) ( ) ( )7 4 7 4m m− + b) ( ) ( )x yt x yt− + c) ( ) ( ) ( )9 4 2 1 2 1a x x+ − +

d) ( ) ( )2 2xy y y− + e) ( ) ( )3 2 12x x− − + f) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 10 10y y y y− + − +

10e série

a) ( ) ( )5 9 5 1a a+ − b) 5 54 3 4 3x x − +

c) ( ) ( )2 4 5 4 5y y y− +

d) ( ) ( )3 7 13 7x x+ − e) ( ) ( )2 5 53

a x a x− + f) ( )2 2 3 2 27 7 13 8 2a bc c ab b c a b− + −

Exercice 9

1re série

a) 2( 3)x −

b) Non, car le double produit devrait être 2yz−

c) ( )22 1a +

d) ( )26 5u v−

e) Non car le double produit devrait être 2 318a b

f) ( )24a b− 2e série

a) ( )211 3xy z+

b) ( )26 45 2a y−

c) Non, car il n’y a pas de double produit

d) 2

53x y +

e) Non, car le 2e carré est précédé de –

f) 2

12a −


- 24 -

3e série :

a) ( )27x − b) 2

812x +

c) ( )22 2non, car 36 6 9 3 , mais 38 2 6 3et x x x x= = ≠ ⋅ ⋅

d) 21

2x −

e)

27 3

2c −

f) 2 2

2 22

1 1 1 11 24 2 2 2

x x x xx x x x

+ + = + + ⋅ ⋅ = +

4e série

a) ( )20,3z − b) ( )22 1y − c) ( )26 3 2 2 3non, car et 25 5 , mais10 2 5x x x x= = ≠ ⋅ ⋅

d) 25

62x

+

e) 22

35

2x

x

−

f) ( )220,7 1,2x +

Exercice 10

1re série : a) ( )2216 8 1 4 1x x x+ + = +

b) 2

2 1 14 2

x x x − + = −

c) 2

2 49 79 21 34 2

y y y + + = +

d) 22 9 3

9 4 3 2x xx + + = +

e) ( )24 6 2 3 2 381 18 9a b a b a b+ + = +

f) 2

2144 25 20 12 5

324 3 18x x x + − = −

2e série : a) ( )23 6 31 4 4 1 2x x x+ + = +

b) ( )220,25 3 9 0,5 3a a a− + = −

c) ( )210 5 50,09 0,04 0,12 0,3 0,2y y y+ − = −

d) ( )22 24 12 9 2 3a ab b a b+ + = +

e) ( ) ( ) ( )2 21 6 1 9 2x x x+ − + + = −

f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 7 25 11 10 2 7 11 7 18y y y y y− + − − − − = −


- 25 -

3e série : a) ( )26 3 30,25 0,0004 0,02 0,5 0,02x x x+ − = −

b) ( )2 6 4 2 3 4 3 216 9 24 4 3x y x y x y xy x y+ − = −

c) 2

4 2 29 321 49 74 2

x x x − + = −

d) 28 4

6 3 4 329 381 3 9y yx x y x

+ − = −

e) ( ) ( ) ( ) ( )22 29 11 8 25 30 11 8 3 11 8 5 33 29x x x x− + − − = − − = −

f) 22 21 1 5 15125 3 3 5 3

2 2 100 2 10 2 10x x x x − − − + = − − = −

C) Problèmes 11) Montrez comment on peut faire mentalement les calculs suivants, en utilisant les identités

remarquables ou la distributivité : a) 2102

b) 97 103⋅

c) 3,16 4,08 5,92 3,16⋅ + ⋅

d) 2598

e) 56 64⋅

f) 2 26 12 34 34+ ⋅ +

g) 25005

h) 498 502⋅ =

i) 21 2 49 49+ ⋅ +

j) 696 703 696⋅ +

k) 99,8 100,2⋅

l) 2100,5

m) 56 0,7 56 0,04 0,26 56⋅ + ⋅ + ⋅

n) 396 404⋅ =

o) 2699

p) 2 285 15− =

q) 2 267 17 2 17 67+ − ⋅ ⋅ =

r) 2 28002 7998− =

s) 2 2203 202−

12) Soient a, b, c trois nombres positifs.

a) Effectuer ( )2a b c+ + .

b) En donnant une interprétation géométrique de ( )2a b c+ + , retrouvez cette formule.

c) Appliquez la formule trouvée pour effectuer ( )22 3 2x x+ + .

13) Développez et réduisez l’expression ( ) ( ) ( )2 22 2 1A x y x y = − − − − + puis calculez la

valeur de A si 12

x = − et 2y = − .


- 26 -

14) a) Calculez rapidement la valeur numérique de

( ) ( )8 1 4 3 2 5 2 3A x y x x y= + − + − − + − − pour 23

x = et 5y = − .

b) Calculez rapidement la valeur numérique de

( ) ( ) ( )3 5 4 3 5 1M a b a b= − + + − − − − pour 0,5a = − et 25

b = .

15) Montrez que …

a) la somme de 5 entiers pairs consécutifs est un multiple de 10.

b) la somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3.

c) le produit de deux nombres impairs est impair.

d) le produit de 2 multiples de 3 est divisible par 9.

e) le carré d’un multiple de 5 est un multiple de 25.

f) la différence des carrés de deux entiers successifs est toujours impaire.

16) Quel est le reste de la division des nombres suivants par 5 :

5 1n + 5 3n + 10n 5 9n + 20 15n + 5 1n − 5 4n −

17) Soient m et n deux entiers naturels.

a) Parmi les entiers suivants lesquels sont certainement pairs ? impairs ? Justifiez !

6 4n m+ , 2 3n + , 2 4n − , 8 6m + , 2 1m − , 3n , 38 26 22m n+ − , 24 1n +

b) Parmi les entiers suivants lesquels sont certainement des multiples de 3 :

18n , 3 6 12n m+ + , 6 3n + , 9 3m − , 3 1n + , 12m , 3 2n − , 24 6m +

c) Parmi les entiers suivants recherchez ceux qui sont certainement multiples d’un

entier naturel 1> , à préciser :

15 25n + , 14 7n − , 18 8m + , 4n + , 12 6n + , 2 3n m+ , 18 63 27n m− + , 4 8n − ,

( ) ( )2 22 2n m+ , 19 22 14n m n+ +

18) Recopiez et complétez :

a) ( )2 2... 3 25 ... ...y x− = − +

b) ( ) ( ) 23 ... ... 3 100 ...t+ − = −

c) ( )23 64x − = − +

d) ( )24 ... ... 16 ...m m+ = + +

e) ( )224 28 49 ... ...x x+ + = +

f) ( )2 10a a+ = + +

g) ( ) ( )236 9 ... ... ... ...m − = + −

h) ( )2 34 ... ... 16 ...a a+ = + +

i) ( )224 4 ...x x− + =

j) ( )224 ... 9x + + =


- 27 -

k) ( )221 2 ...9 3

x xy+ + =

19) Résolvez les équations suivantes (Rappel : si et seulement si a c ad bcb d= = ) :

a) 3 2 2 13 2

x x+ −=

−

b) 4 4 53 12

x−=

−

c) 15 324 16x− −

=

20) a) Montrez que ( )a b b a− − = − .

b) Complétez :

( )5 7x − = −

( )3 8x− + = −

c) Utilisez ce qui précède pour factoriser les expressions :

( 3)(2 3 ) 2 (3 )x y y x− + − −

(2 3)(4 7) (3 2 )( 4)x x x x− + − − − − =

21) Pierre dit à un groupe d’amis : « Choisissez chacun un nombre quelconque : entier ou

décimal, positif ou négatif, puis faites les calculs suivants :

Vous multipliez votre nombre par 3, vous ajoutez 5 au résultat puis vous calculez

le carré du nombre obtenu

Maintenant reprenez votre nombre de départ, multipliez-le par 4, retranchez 5

au résultat puis calculez le carré du nombre obtenu

Faites la somme des résultats des deux calculs précédents

Reprenez de nouveau votre nombre de départ, multipliez-le par 5, retranchez 1

au résultat puis calculez le carré du nombre obtenu

Retranchez le dernier nombre obtenu de la somme obtenue à la troisième étape

Quand tout le monde a fini, Pierre, qui ne connaît pas les nombres choisis par ses amis,

dit : « Et maintenant je vais vous dire votre résultat final ! Si vous ne vous êtes pas

trompés dans vos calculs vous avez tous obtenu …. ». Complétez la phrase de Pierre !

22) On considère l’expression ( ) ( ) 22 1E x x x= + − − .

a) Développez et réduisez E.

b) Comment peut-on en déduire facilement le résultat de 22002 1999 2000⋅ − ?

23) Résolvez les équations suivantes :


- 28 -

a) 2 6 3 56 9 2

x x x− − +− =

b) ( )2 1 11 3 2 3 03 2 3

x x ⋅ − − ⋅ − ⋅ + =

c) ( ) ( )2 2 12 2 23

x x x + − − = ⋅ −

24) Soit l’expression ( ) ( ) ( ) ( )28 9 7 7 2 17A x x x x= − + − − − −

a) Montrez comment on peut calculer rapidement la valeur numérique de A pour les valeurs suivantes :

a) 8,61x = b) 147x = − c) 83

x =

b) En vous servant de ce qui précède, montrez comment on peut calculer mentalement : 2125 142 126 7 249⋅ − − ⋅ =

25) Calculez en fonction de x le périmètre et l’aire des figures suivantes (tous les angles sont

droits) :

a)

b)

CHAPITRE VI DEVELOPPER ET FACTORISER

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