Chapitre L’optimisation à l’aide de la programmation ... · 3. Deux droites parallèles ont la...

Entrée en matièreEn contexte

Manuel • p. 4

1. a) 10x + 15y = 300

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : (15, 10), (18, 8) et (21, 6)

c)

d) 10x + 15y = 450. (Voir la droite associée à cette équation dans le graphique en c.)

e) Les deux droites sont parallèles, car elles ont la

même pente (–23 ).

f) Cette situation peut être associée à la région du plan cartésien qui se situe sous la droite modélisant l’équation 10x + 15y = 450.

Manuel • p. 5

2. a) x + y2

= 3 750

y = 2x

420 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

12

8

4

16

20

24

28

32

36

40

Heu

res

trav

aillé

es à

la f

irm

e de

son

dage

Heures travaillées au service à la clientèle

Le nombre d’heures travaillées en une semainepour des rémunérations de 300 $ et de 450 $

Rémunération de 300 $Rémunération de 450 $

b) En utilisant la méthode de substitution, on trouve que le revenu de Jenny a été de 2 500 $ pour le mois de juillet et de 5 000 $ pour le mois d’août.

3. On définit les variables, puis on représente la situation par un système d’équations :

x : la valeur des ventes sans l’intermédiaire d’un autre agent ($)

y : la valeur des ventes avec l’intermédiaire d’un autre agent ($)

0,05x + 0,025y = 72 000 x + y = 1 800 000

En utilisant la méthode de substitution, on trouve que la valeur des ventes que Caroline a réalisées sans l’intermédiaire d’un autre agent est de 1 080 000 $.

En brefManuel • p. 6

1. a) Pente Ordonnée à l’origine

Abscisse à l’origine

1) 4 –8 2

2) –2 10 5

3) 1 –2 2

4) –25 4 10

5) 2,5 0 0

6) 23

–23 1

7) 0 5 Aucune

8) N’existe pas Aucune 8

1Intersection CST Guide A Corrigé du manuel

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Chapitre

1

Reproduction autorisée © Chenelière Éducation inc.

CST5_GE-A_Ch1-Corrige-manuel.indd 1 8/13/10 2:40:48 PM

b) 1)

2)

3)

4)

1

2

x

y

1

2

x

y

1

1

x

y

2

1

x

y

5)

6)

7)

8)

2. a) 3x + 4y – 30 = 0

b) 3x – y – 6 = 0

c) 2x + y – 8 = 0

d) 2x – y – 6 = 0

e) x – 2 = 0

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

2 Corrigé du manuel Intersection CST Guide A Reproduction autorisée © Chenelière Éducation inc.


3. Deux droites parallèles ont la même pente. Exemple :

4. Les droites 1 , 2 et 5 sont parallèles. Les droites 3 et 4 sont parallèles.

5. a) 1) x > 1,6 3) x + 0,05 ≥ 1,78

2) x ≤ 1,8 4) x – 0,10 < 1,65

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Mathieu peut mesurer 1,73 m.

c) La taille de Mathieu, en mètres, se situe dans l’intervalle [1,73, 1,75[.

6. a) x < 4,5 c) x < 1

b) x ≥ 3 d) x ≤ 7

Manuel • p. 7

7. a) y ≥ 0,5x + 1 c) x > 2

b) y < 0,5x + 1 d) y ≤ 2

8. a)

1

1

x

y

y = x + 423

y = x − 223

1

1

x

y

b)

c)

d)

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

3Intersection CST Guide A Corrigé du manuelReproduction autorisée © Chenelière Éducation inc.


e)

f)

g)

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

h)

9. a) 1) x = 2y

2) x = y + 10

3) 0,15x + 0,2y = 5

4) 0,5x + y = 20

b)

c) Il y a 20 filles et 10 garçons dans le groupe.

Manuel • p. 8

10. On définit les variables, puis on représente la situation par un système d’équations.

x : la largeur (cm) y : la longueur (cm)

2x + 2y = 38

x = y2

– 5

x = 3 y = 16

La largeur est de 3 cm et la longueur est de 16 cm.

1

1

x

y

x

y

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

5

10

15

20

25

30

35

0



11. a) (2, 5)

b) (6, 4)

c) (9, 4)

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

12. a) x = 3,25 y = –2,25

b) x = 4,5 y = 2

c) x = 3 y = 10

d) x = 4 y = –3

e) x = 33985

y = 36685

f) x = 2921

y = –3142

13. a) Samuel a utilisé la méthode de substitution pour résoudre le système d’équations. Il n’a fait aucune erreur dans sa démarche de résolution.

b) Il n’existe aucune solution à ce système d’équations.

c) Il s’agit de droites parallèles distinctes.

14. a) (1,6, 4,8)

b) (6,5, 3,5)

Section 1 Le polygone de contraintes

Prendre de l’assuranceManuel • p. 9

On représente la situation par trois inéquations dans lesquelles x représente le nombre de conseillers et y, le nombre d’agents de bureau.1 x ≥ 20 2 y ≥ 8 3 x + y ≤ 60

On sait qu’il y a toujours eu au moins 20 conseillers (x = 20) travaillant pour cette compagnie. On remplace la variable x par 20 dans la 3e inéquation et on détermine la valeur maximale que peut prendre la variable y pour respecter cette contrainte :

20 + y ≤ 60 y ≤ 40

Donc, au cours d’une même période, le nombre maximal d’agents de bureau est de 40 lorsque 20 conseillers travaillent pour la compagnie.

On sait qu’il y a toujours eu au moins 8 agents de bureau (y = 8) travaillant pour cette compagnie. On remplace la variable y par 8 dans la 3e inéquation et on détermine la valeur maximale que peut prendre la variable x pour respecter cette contrainte :

x + 8 ≤ 60 x ≤ 52

Donc, au cours d’une même période, le nombre maximal de conseillers est de 52 lorsque 8 agents de bureau travaillent pour la compagnie.

CD 1



1ACTIvITéd’exploration Fera-t-il plus chaud demain ?

Manuel • p. 10

A La concentration moyenne de CO2 pourrait être, par exemple, de 700 ppm, de 650 ppm ou de 675 ppm.

B y ≥ x + 150 y ≤ 2x

C

D 1) Le couple vérifie uniquement la 1re inéquation.

2) Le couple vérifie uniquement la 2e inéquation.

3) Le couple vérifie les deux inéquations.

4) Le couple vérifie uniquement la 2e inéquation.

Manuel • p. 11

E L’ensemble-solution de ce système est la région hachurée où se supperposent les deux demi-plans.

F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Les points (200, 375), (240, 425) et (300, 500) font partie de la région-solution.

G x : la température moyenne planétaire aujourd’hui (°C) y : la température moyenne planétaire dans 25 ans (°C)

y ≥ x + 0,5

y ≤ x + 2

Conc

entr

atio

n m

oyen

ne d

e CO

2 da

ns 2

5 an

s (p

pm)

Concentration moyenne de CO2 actuelle (ppm)

Les effets du réchauffement de la planète

100 200 300 400 500 600 700

100

200

300

400

500

600

700

0

H

I Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le couple (17, 18) fait partie de la région-solution. Cela signifie que si la température moyenne de la Terre aujourd’hui est de 17 °C, elle pourra être de 18 °C dans 25 ans.

Ai-je bien compris ?

1. a) 1) x < y

2) x + y ≥ 25

3) y – x < 5

4) y – 10 ≥ 2(x – 10)

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Julie peut avoir 13 ans et Francis 16 ans ou Julie peut avoir 12 ans et Francis 15 ans.

2. a) x : le grand nombre y : le petit nombre

x + y ≤ 12 x – y ≥ 3

b)

420 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

15

10

5

20

25

30

35

40

45

Tem

péra

ture

moy

enne

dan

s 25

ans

(°C

)

Température moyenne aujourd’hui (°C)

La température moyenne de la Terre

x

y

2

2



2ACTIvITéd’exploration La création sous contraintes

Manuel • p. 12

A x : la longueur de la toile à l’intérieur du cadre (m) y : la largeur de la toile à l’intérieur du cadre (m)

B

C La région-solution forme un polygone ouvert. Cet ensemble de points n’est pas borné puisqu’il se poursuit à l’infini vers le haut et vers la droite du plan cartésien.

Manuel • p. 13

D x ≤ 3,5 2x + 2y ≤ 12

E

F Cette région-solution est bornée par les points dont les coordonnées sont (1,5, 1,5), (3, 1,5), (3, 3), (3,5, 2,5) et (3,5 1,75).

210 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3

2

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Larg

eur

de la

toi

le (

m)

Longueur de la toile (m)

Les dimensions de la toile

210 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3

2

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Larg

eur

de la

toi

le (

m)

Longueur de la toile (m)

Les dimensions de la toile

G Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : La longueur pourrait être de 3 m et la largeur, de 2 m.

La longueur pourrait être de 3 m et la largeur, de 3 m. La longueur pourrait être de 2,5 m et la largeur, de 2 m.

H La largeur maximale de la toile est de 3 m.


a) 1

2

3

2 4 8 120 6 10 14 16 18 20 22 24 26 28 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

x

y

x

y

2 40 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

2

4

6

8

10

12

14

16

20

18

22

24

26

x

y

2 40 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26



b) 1 Valeur minimale de x : 2 Valeur maximale de x : aucune

2 Valeur minimale de x : 0

Valeur maximale de x : 327

3 Valeur minimale de x : 6 Valeur maximale de x : 15

3ACTIvITéd’exploration Une description précise

Manuel • p. 14

A (voir au bas de la page)

B Pour déterminer les coordonnées du sommet A, on résout le système d'équations associé aux droites qui se croisent à ce sommet (x = y – 6 et 3x + y = 36) par la méthode de substitution.

Les coordonnées du sommet A sont (7,5, 13,5).

C Les coordonnées des sommets B et C peuvent être lues directement sur le graphique.

Pour déterminer les coordonnées du sommet D, on résout le système d’équations associé aux droites qui se croisent à ce sommet (y = 2x – 11 et 3x + y = 36) par la méthode de substitution.

Les coordonnées des sommets sont B(2, 8), C(7, 3) et D(9,4, 7,8).


A(3, 2) B(15, 50) C(36, 64) D(60, 40)

Mise en pratiqueManuel • p. 17

1. Niveau de difficulté : faible

a) x > 100

b) y ≤ 120 et y ≥ 0

c) x ≥ y et y ≥ 0

d) 20x + 25y ≥ 3 000

e) 25y ≥ 1 500

f) 20x ≥ 25y + 300 et y ≥ 0


a) x ≥ 40

b) y < 75 (ou y ≤ 74) et y ≥ 0

c) x + y < 120, x ≥ 0 et y ≥ 0

d) y ≥ x + 20 et x ≥ 0

e) y > 1,5x et x ≥ 0

f) xx + y

≤ 0,4, x ≥ 0 et y ≥ 0

1050 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 x

15

10

5

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75y

A

B

C

D

Réponse à la question A , page 14

Sommet A Sommet B Sommet C Sommet D

Les droites qui se croisent à ce sommet AB et AD AB et BC BC et CD AD et CD

Le système d’équations associé x = y – 6 3x + y = 36

x = y – 6 x + y = 10

x + y = 10 y = 2x – 11

y = 2x – 11 3x + y = 36




Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

a) Peter a au moins autant d’amis que Sophie.

b) Le nombre d’amis de Peter est inférieur au double du nombre d’amis de Sophie.

c) Peter et Sophie ont, au total, au plus 400 amis.

d) La différence entre le nombre d’amis de Sophie et de Peter est supérieure à 100.

Manuel • p. 18


a)

b)

2

2

x

y

2

2

x

y

c)

d)


Région A : y ≤ x + 2

y ≥ –2x + 8

Région B : y ≥ x + 2

y ≥ –2x + 8

Région C : y ≥ x + 2

y ≤ –2x + 8

Région D : y ≤ x + 2

y ≤ –2x + 8

1

1

x

y

2

2

x

y



6. Niveau de difficulté : moyen

On détermine d’abord l’équation de chacune des droites limitant les demi-plans.

La droite 1 passe par les points de coordonnées (0, 2) et (–2, 0).

a = 0 – 2–2 – 0

a = 1 b = 2 y = x + 2

La droite 2 passe par les points de coordonnées (0, –3) et (3, 0).

a = 0 – –33 – 0

a = 1 b = –3 y = x – 3

On choisit ensuite un couple qui fait partie des régions correspondant aux demi-plans et on remplace ses coordonnées dans les équations afin de déterminer le symbole d’inéquation approprié.

1 y ≥ x + 2 2 y ≤ x + 2 3 y ≥ x + 2 y ≤ x – 3 y ≤ x – 3 y ≥ x – 3


a)

Les coordonnées du sommet A peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation y = 2x et 2x + y = 30.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(12, 24) et B(7,5, 15).

2

2

x

y

A

B

b)

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et 3x + 2y = 42. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation y = 2x – 7 et 3x + 2y = 42. Enfin, le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 0 et y = 2x – 7.

Les coordonnées du sommet D peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 21), B(8, 9), C(3,5, 0) et D(0, 0).

c)

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x – y + 5 = 0 et 3x + y – 30 = 0. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation y = x et 3x + y – 30 = 0.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(6,25, 11,25) et B(7,5, 7,5).

3

3

x

y

A

B

CD

2

2

x

y

A

B



Manuel • p. 19


a) Le système d’inéquations associé à la région orange est :

y ≤ 5x + 2

y ≤ –3x + 9

2x – y ≤ 5

b) Le système d’inéquations associé à la région verte est :

y ≤ 5x + 2

y ≥ –3x + 9

2x – y ≥ 5

c) Le système d’inéquations associé à la région jaune est :

y ≤ 5x + 2

y ≥ –3x + 9

2x – y ≤ 5


Le point de coordonnées (8, 2) fait partie de l’ensemble-solution des systèmes d’inéquations 2 et 3 .


On représente chaque inéquation de chaque système sous la même forme :

1 y ≤ 12

x + 3

y ≥ –3x + 5

y ≥ 12

x – 2

3 y ≥ x2 – 2

y ≥ –3x + 5

y ≤ x2

+ 3

2 y ≤ 12

x + 3

y < 0,5x – 2

y ≥ x2 – 2

4 y ≥ 12

x – 2

y ≤ 12

x + 3

y ≥ –3x + 5

Les systèmes d’inéquations 1 , 3 et 4 ont le même ensemble-solution.

Manuel • p. 20



Les droites d’équation 2x + y2 = –1 et y = –4x + 8

sont des droites parallèles étant donné qu’elles ont la même pente.

a) On prend les deux droites parallèles et on choisit pour chacune de ces droites la région-solution opposée.

y ≥ –4x + 8

2x + y2 ≤ –1

b) On prend les deux droites parallèles et on choisit soit la région au-dessus soit la région au-dessous des deux droites.

2x + y2 ≥ –1 2x +

y2 ≤ –1

y ≥ –4x + 8 ou

y ≤ –4x + 8

c) On prend les deux droites parallèles et on choisit la région-solution qui est commune aux deux.

y ≤ –4x + 8

2x + y2 ≥ –1


a) La contrainte x ≥ 0 n’est pas nécessaire puisqu’il est déjà précisé que x > 8.

b) Le demi-plan qui est représenté par l’inéquation 2x + y ≥ 7 est déjà inclus dans le demi-plan représenté par l’inéquation y > –2x + 4 étant donné que leurs droites frontières respectives sont parallèles. La contrainte 2x + y ≥ 7 n’est donc pas nécessaire pour trouver l’ensemble-solution.

c) Le demi-plan qui est représenté par l’inéquation y ≥ 4x + 6 est déjà inclus dans le demi-plan repré-senté par l’inéquation 4x – y < 6 étant donné que leurs droites frontières respectives sont parallèles. La contrainte y ≥ 4x + 6 n’est donc pas nécessaire pour trouver l’ensemble-solution.




On représente les trois droites et les points A(0, 1) et B(6, 5) dans un plan cartésien :

À partir du graphique, on choisit les symboles d’inégalités qui déterminent chacun des systèmes d’inéquations.

a) x – 2y + 4 ≤ 0

y ≤ –3x – 4

2x – y ≥ 7

b) x – 2y + 4 ≥ 0

y ≥ –3x – 4

2x – y ≤ 7

c) x – 2y + 4 > 0

y ≥ –3x – 4

2x – y < 7


Remarque : Dans le manuel, à la question 14 de la page 20, on devrait lire « Détermine quatre couples » au lieu de « Détermine 12 couples ».

Pour déterminer les couples qui font partie de l’ensemble-solution, on trace le polygone de contraintes et on cible les couples faisant partie de la région-solution qui ont des coordonnées entières.

x

y

y = −3x − 4

x − 2y + 4 = 0

2x − y = 7

B(6, 5)

A(0, 1)

En observant le polygone de contraintes ABC, on obtient les quatre couples suivants : (2, 1), (3, 1), (1, 0), (2, 0).

Manuel • p. 21


a) 4 b) 2 c) 1 d) 3


a)

1

1

A

BC

x

y

1

1

x

y



b)

c)


Pour chaque polygone de contraintes, on détermine les inéquations qui décrivent chaque demi-plan qui constitue la région-solution.

a) On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, 2) et (5, 0) :

y = a x + b

a = y2 – y1x2 – x1

a = –25

b = 2

y = –25

x + 2

L’inéquation associée au demi-plan que délimite

cette droite est y > –25

x + 2.

1

x

y

1

2

x

y

2

On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, 1) et (5, 2) :

a = 15

b = 1

y = 15

x + 1


cette droite est y ≥ 15

x + 1.

On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, –4) et (–1, 1) :

a = –5

b = –4

y = –5x – 4

L’inéquation associée au demi-plan que délimite cette droite est y ≥ –5x – 4.

Le système d’inéquations associé au polygone de contraintes est :

y > –25

x + 2

y ≥

15

x + 1

y ≥ –5x – 4

b) On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, 0) et (4, –1) :

a = –14

b = 0

y = –14

x


cette droite est y < –14

x.

On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, –3) et (2, –2) :

a = 12

b = –3

y = 12

x – 3


cette droite est y ≥ 12

x – 3.


a = –3

b = 6

y = –3x + 6

L’inéquation associée au demi-plan que délimite cette droite est y ≤ –3x + 6.




x ≥ 0

y < –14

x

y ≥

12

x – 3

y ≤ –3x + 6

c) On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, 4) et (5, 3) :

a = –15

b = 4

y = –15

x + 4


cette droite est y < –15

x + 4.

On détermine l’équation de la droite passant par les points de coordonées (0, –2) et (1, 0) :

a = 2

b = –2

y = 2x – 2

L’inéquation associée au demi-plan que délimite cette droite est y < 2x – 2.


a = –1

b = 3

y = –x + 3

L’inéquation associée au demi-plan que délimite cette droite est y > –x + 3.


y < –15

x + 4

y < 2x – 2

y > –x + 3

Manuel • p. 22


a) On détermine les coordonnées des sommets en résolvant les systèmes d’équations associés aux droites qui se croisent à chaque sommet.

Sommet A :

x – y = 2 2x – 5y + 5 = 0

Les coordonnées du sommet A sont (5, 3).

Sommet B :

x – y = 2 y = –2x – 7

Les coordonnées du sommet B sont (–53,

–113 ).

Sommet C :

y = –2x – 7 2x – 5y + 5 = 0

Les coordonnées du sommet C sont (–103 ,

–13).

b) On détermine les coordonnées des sommets en résolvant les systèmes d’équations associés aux droites qui se croisent à chaque sommet.

Sommet A :

2x – 3y + 21 = 0 2x + y = 10

Les coordonnées du sommet A sont (98,

314 ).

Sommet B :

2x + y = 10 2x + 2y = 5

Les coordonnées du sommet B sont (7,5, –5).

Sommet C :

x = 0 2x + 2y = 5

Les coordonnées du sommet C sont (0, 2,5).

Sommet D :

x = 0 2x – 3y + 21 = 0

Les coordonnées du sommet D sont (0, 7).




a) On détermine d’abord les équations de chacune des droites qui délimitent le polygone de contraintes.

Droite 1 : y = 4

Droite 2 : x = –2

Droite 3 : y = –x

Droite 4 : La droite passe par les points de coordonées (2, –1) et (3, 1).

y = a x + b

a = y2 – y1x2 – x1

a = 2 b = –5

y = 2x – 5

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = –2 et y = 4. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation y = 4 et y = 2x – 5. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 2x – 5 et y = –x. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation y = –x et x = –2.

Les coordonnées des sommets du polygone

de contraintes sont A(–2, 4), B(4,5, 4), C(53,

53) et

D(–2, 2).

Les sommets C et D font partie de l’ensemble-solution étant donné qu’ils constituent le point de rencontre de deux droites qui ne sont pas en tirets.

b) On détermine d’abord les équations de chacune des droites qui délimitent le polygone de contraintes.

Droite 1 : y = –8

Droite 2 : x = 3

Droite 3 : La droite passe par les points de coordonées (6, –6) et (8, –7).

a = –0,5 b = –3

y = –0,5x – 3

Droite 4 : La droite passe par les points de coordonées (4, 5) et (8, 6).

a = 0,25

b = 4

y = 0,25x + 4

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation y = 0,25x + 4 et x = 3. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation x = 3 et y = –0,5x – 3. Enfin, le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = –8 et y = –0,5x – 3.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(3, 4,75), B(3, –4,5) et C(10, –8).

Aucun des sommets de ce polygone de contraintes ne fait partie de l’ensemble-solution.


On trace les polygones de contraintes associés à chacun des systèmes d’inéquations.

a)

Ce polygone de contraintes est borné.

b)

Ce polygone de contraintes n’est pas borné.

2

2

x

y

2

x

y

2



c)

Ce polygone de contraintes n’est pas borné.

Manuel • p. 23


a) 1 x : la quantité de raisins (kg) y : la quantité de limes (kg)

2 x : la valeur de l’actif de Rodrigue (milliers de $) y : la valeur du passif de Rodrigue (milliers de $)

3 x : le prix d’un stylo ($) y : le prix d’un crayon ($)

4 x : la mesure d’un côté isométrique (cm) y : la mesure de la base (cm)

b) 1 x ≥ 0 y ≥ 0

4x + 2y ≤ 8

x + y ≤ 3

2 x ≥ 0 y ≥ 0

x ≥ 2y x – y < 10

3 x ≥ 0 y ≥ 0

x ≥ 4y 5x + 10y ≤ 10

4 x ≥ 0 y ≥ 0

2x + y ≥ 30

x ≥ y

2

2

x

y c) 1

2

3

Quantité de raisins (kg)

Qua

ntit

é de

lim

es (

kg)

Le prix des fruits

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

Valeur de l’actif de Rodrigue (milliers de $)

Vale

ur d

u pa

ssif

de

Rod

rigu

e (m

illie

rs d

e $)

Le bilan financier de Rodrigue

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

0

Prix d’un stylo ($)

Prix

d’u

n cr

ayon

($)

Le prix des crayons

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0



4


a) x ≥ 0

y ≥ 0

y ≤ –x + 45

y ≥ 2x – 36

b)

Les coordonnées de chacun des sommets peuvent être lues sur le graphique. Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont : A(0, 45), B(27,18), C(18,0) et D(0, 0).

Mesure d’un côté isométrique (cm)

Mes

ure

de la

bas

e (c

m)

Les dimensions d’un triangle isocèle

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

0

CD

A

B

20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

x

y

c) Le couple (25, 20) est une solution de ce système d’inéquations. On peut vérifier graphiquement que ce couple fait partie du polygone de contraintes. On peut également le vérifier algébriquement :

x ≥ 0 25 ≥ 0

Vrai

y ≥ 0 20 ≥ 0

Vrai

y ≤ –x + 45 20 ≤ –25 + 45 Vrai 20 ≤ 20

y ≥ 2x – 36 20 ≥ 2(25) – 36 Vrai 20 ≥ 14

Manuel • p. 24


Le sommet E est le seul qui fait partie de la région-solution, car il est le seul qui appartient à deux droites qui sont formées d’un trait plein et non de tirets.


a) Elles indiquent le demi-plan qui respecte l’inéquation.

b)

c) Il a colorié chaque demi-plan qui ne respectait pas les inéquations afin de déterminer la région-solution, qui est la région qui demeure en blanc dans sa représentation.

x

y

40

4

8

12

16

20

24

28

32

8 12 16 20 24 28 32

La méthode de Gloria



d) Plusieurs réponses sont possibles. Voici l’exemple de la méthode de Gloria.

e) L’avantage principal de la méthode de Gloria est qu’on choisit chaque fois le bon demi-plan. Par contre, en utilisant seulement les flèches, la région-solution n’apparaît pas de façon évidente. L’avantage principal de la méthode d’Eugen est qu’on voit très bien la région-solution. Par contre, advenant une erreur en cours de route, il faut effacer ce qu’on a colorié, ce qui rend la tâche beaucoup plus ardue.

Manuel • p. 25


a) x : le temps attendu par Christina (min) y : le temps attendu par William (min)

x ≥ 0

y ≥ 0

x ≥ 10

y ≥ x + 5

x ≤ 20

y ≤ 20

b)

3

3

x

y

Temps attendu par Christina (min)

Tem

ps a

tten

du p

ar W

illia

m (

min

)

La file d’attente au cinéma

A(10, 15)

B(10, 20) C(15, 20)

c) Plusieurs réponses sont possibles. Il suffit de choisir un couple qui fait partie du polygone de contraintes. Par exemple, Christina peut avoir attendu 12 minutes et William, 18 minutes.


a) 1%•1000$ = 10 $

b) x ≥ 0

y ≥ 0

x ≥ 30

x ≤ 40

y ≥ 50

12x + 10y ≤ 900

c)

d) En observant le polygone de contraintes, il est possible de déterminer que Patricia a pu vendre pour un maximum de 54 000 $.


a) x : le temps qu’il a fallu pour parcourir 20 km à vélo (min)

y : le temps qu’il a fallu pour parcourir 5 km à la course (min)

x ≥ 30

y ≥ 0,5x

y ≤ 20

x > y + 16,5

Temps travaillé (h)

Vale

ur t

otal

e de

s ve

ntes

(mill

iers

de

dolla

rs) La travail de Patricia

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

46

47

48

49

50

0

51

52

53

54

55

56

57

58



b)

c) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Le point de coordonnées (36, 19) fait partie du polygone de contraintes. Ce point signifie que Nicolas peut avoir consacré 36 min à la course à pied et 19 min au vélo.

16,5 + 36 + 19 = 71,5 min ou 1 h 11 min 30 s

Nicolas peut avoir réalisé le triathlon en 1 h 11 min 30 s.

Manuel • p. 26

28. Niveau de difficulté : élevé

a) x : le nombre de femmes diplômées y : le nombre d’hommes diplômés

x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 0,2y

x < 5

x + y > 20

b)

Temps pour parcourir 20 km à vélo (min)

Tem

ps p

our

parc

ouri

r 5

km à

la c

ours

e (m

in)

Le triathlon de Nicolas

B(40, 20)A(36,5, 20)

C(33, 16,5)

Nombre de femmes

Nom

bre

d’ho

mm

es

L’école de la Faune

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

13

0

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

En traçant le polygone de contraintes, on remarque qu’il y a seulement quatre solutions possibles : (4, 17), (4, 18), (4, 19) et (4, 20).

c) Étant donné qu’il y a seulement quatre possibilités,

la probabilité qu’elle ait raison est de 14.


a) x : le nombre de femmes dans l’ascenseur y : le nombre d’hommes dans l’ascenseur

x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≤ 16

50x + 90y ≤ 1 150

b) Il est impossible de transporter toutes ces personnes en utilisant seulement trois fois l’ascenseur. En divisant le nombre d’hommes par 3, on obtient environ 11 hommes par fois. Il est alors impossible de transporter en plus les femmes, qui sont au nombre de 15. Il aurait fallu qu’il y ait seulement 30 hommes et 15 femmes (10 hommes et 5 femmes chaque fois) pour que ce soit possible.

Nombre de femmes dans l’ascenseur

Nom

bre

d’ho

mm

es d

ans

l’asc

ense

ur

La capacité de l’ascenseur

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

2

4

6

8

10

12

14

1618

20

22

0



La recherche de Section 2 la solution optimale

Une jeune entrepriseManuel • p. 27

Pour que le profit soit maximal, il faut déterminer le nombre de nichoirs et de mangeoires que l’atelier peut produire cette semaine en respectant les différentes contraintes.

On détermine la quantité maximale de plastique disponi-ble cette semaine :

Aaffiche = 0,6 • 1,2

Aaffiche = 0,72 m2

Il y a 15 affiches.

15 • 0,72 = 10,8

Il y a 10,8 m2 de plastique disponible cette semaine.

On représente la situation par un système d’inéquations :

x : le nombre de nichoirs produits y : le nombre de mangeoires produites

x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 6 y ≥ 18

x + 23

y ≤ 32

0,4x + 0,2y ≤ 10,8

On trace le polygone de contraintes représentant cette situation afin de déterminer toutes les solutions possibles :

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

4

0

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

Nombre de nichoirs produits

Nom

bre

de m

ange

oire

s pr

odui

tes

La production de nichoirs et de mangeoires de cette semaine

A

B

D C

CD 1

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 6 et x + 2

3 y = 32. Le sommet B est,

pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 0,4x + 0,2y = 10,8 et x + 2

3 y = 32. Le sommet C est le

point de rencontre des droites d’équation 0,4x + 0,2y = 10,8

et y = 18. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 6 et y = 18.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(6, 39), B(12, 30), C(18, 18) et D(6, 18).

Le sommet A contient le nombre maximal d’objets qui peuvent être produits (45, soit 6 nichoirs et 39 mangeoires). Par contre, comme les nichoirs permettent de réaliser un profit plus grand, le sommet A ne constitue pas nécessai-rement la solution optimale.

On calcule le profit réalisé pour quelques points qui se trouvent à l’intérieur du polygone de contraintes :

Point de coordonnées (8, 32) 8 • 10 + 32 • 6 = 272



Le profit réalisé varie de 272 $ à 288 $ à l’intérieur du polygone de contraintes.

On calcule le profit réalisé pour les quatre sommets du polygone de contraintes :

A(6, 39) 6 • 10 + 39 • 6 = 294

B(12, 30) 12 • 10 + 30 • 6 = 300

C(18, 18) 18 • 10 + 18 • 6 = 288

D(6, 18) 6 • 10 + 18 • 6 = 168

L’atelier doit produire 12 nichoirs et 30 mangeoires tout en respectant les contraintes afin de réaliser un profit maximal de 300 $.



1ACTIvITéd’exploration Les mélanges de fruits séchés

Manuel • p. 28

Remarque : Dans l’Activité d'exploration 1 des pages 28 et 29 du manuel, on devrait lire « mélange ordinaire » au lieu de « mélange régulier ».

A

B En observant le polygone de contraintes, on remarque que les couples (10, 50), (22, 40), (30, 24) et (40, 40) appartiennent à l’ensemble-solution puisqu’ils sont situés à l’intérieur du polygone de contraintes. Le couple (52, 18), situé à l’extérieur du polygone de contraintes, ne fait pas partie de l’ensemble-solution.

C 1,30 • 20 + 1,90 • 30 = 83 Le profit réalisé est de 83 $.

Manuel • p. 29

D P = 1,30x + 1,90y

E P = 1,30(10) + 1,90(50) = 108

P = 1,30(22) + 1,90(40) = 104,60

P = 1,30(30) + 1,90(24) = 84,60

P = 1,30(40) + 1,90(40) = 128

Le couple (40, 40) permet de réaliser le plus grand profit, soit 128 $.

F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Le couple (30, 48) permet de réaliser un profit de 130,20 $.

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72

6

0

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

Nombre de sachets de mélangeordinaire confectionnés

Nom

bre

de s

ache

ts d

e m

élan

geex

otiq

ue c

onfe

ctio

nnés

A

B

D

C

Les mélanges de fruits séchés


1. a) Elle cherche à minimiser le coût de ses achats.

b) C = 3x + 2,50y

c)

d) Les couples font tous partie de l’ensemble-solution.

(6, 11) : C = 45,50 $

(7, 10) : C = 46 $

(8, 7) : C = 41,50 $

e) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le couple (5, 10) respecte les contraintes que Françoise s’est imposées.

2. a) (16, 15) : Z = 18

(12, 14) : Z = 18,8

(10, 10) : Z = 15

b)


Le couple (20, 18) correspond à une solution plus avantageuse que les solutions correspondant aux couples énumérés en a.

8 16 246 14 224 12 202 10 180

8

6

4

2

14

12

10

20

18

16

Nombre de livres de recettes achetés

Nom

bre

de r

oman

s ac

heté

s Les achats de Françoise

C

A

B

2

2

x

y

D

B

C

A



2ACTIvITéd’exploration Émettre des conjectures

Manuel • p. 31

A 1) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1 (40, 40) : R = 8(40) - 3(40) R = 200 $

2 (10, 12) : C = 12(10) + 12 + 30 C = 162 $

3 (2, 4) : Q = 2 + 0,5(4) Q = 4 L

2) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1 (90, 60) : R = 8(90) – 3(60) R = 540 $

2 (8, 8) : C = 12(8) + 8 + 30 C = 134 $

3 (7, 5) : Q = 7 + 0,5(5) Q = 9,5 L

3) 1 (90, 20) : R = 8(90) – 3(20) R = 660 $

2 (10, 0) : C = 12(10) + 0 + 30 C = 120 $

3 (6, 7) : Q = 6 + 0,5(7) Q = 9,5 L

B Étant donné que les coordonnées d’un sommet se révèlent plus avantageuses quant à la fonction à optimiser, on peut évaluer cette fonction avec chacun des sommets des polygones de contraintes.

1 La solution optimale, soit 660 $, correspond au sommet de coordonnées (90, 20).

2 La solution optimale, soit 120 $, correspond au sommet de coordonnées (10, 0).

3 La solution optimale, soit 9,5 L, correspond aux sommets de coordonnées (6, 7) et (9, 1).

C La solution optimale se trouve toujours à un sommet. Lorsqu’il y a deux sommets qui correspondent à une solution optimale, la fonction à optimiser aura la même valeur pour les coordonnées de tous les points qui se situent entre ces deux sommets.

D 1) Faux, cela dépend de la fonction à optimiser. Par exemple, dans le deuxième exemple de modélisation, la solution optimale se trouve à un des points les plus bas.

2) Faux, cela dépend de la fonction à optimiser. Par exemple, dans le troisième exemple de modélisation, la solution optimale correspond à un sommet situé loin de l’origine alors que d’autres sommets se situent plus près de l’origine.

3) Vrai. Le troisième exemple de modélisation en est un bon exemple, puisque les coordonnées de deux de ses sommets maximisent la fonction.


a) A(5, 19) B(5, 7) C(9, 3) D(18, 6)

b) A(5, 19) : C = 18,20 $

B(5, 7) : C = 8,60 $

C(9, 3) : C = 7,80 $

D(18, 6) : C = 15,60 $

c) Carlos doit acheter neuf breloques et trois bibelots afin de minimiser le coût total de ses achats.

3ACTIvITéd’exploration Une balade en voiture

Manuel • p. 32

A Remarque : À la question A de la page 32 du manuel, les coordonnées du troisième point donné devraient

être (114, 11

2).

B (34, 2 1

2) : D = 100(0,75) + 50(2,5) D = 200 km

(1, 2) : D = 100(1) + 50(2) D = 200 km

(114, 11

2) : D = 100(1,25) + 50(1,5) D = 200 km

1 2 30

1

2

3

Temps passé sur les autoroutes (h)

Le temps passé à rouler sur les autoroutes et les routes

Tem

ps p

assé

sur

le

s ro

utes

sec

onda

ires

(h)



C

La pente de la droite est de –2.

y = –2x + b2 = –2(1) + bb = 4 y = –2x + 4

L’équation de la droite est y = –2x + 4.

D

E Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : On peut utiliser le point de coordonnées (0, 3) et le point de coordonnées (0,75, 1,5) pour tracer la droite 100x + 50y = 150 :

D = 100(0) + 50(3) = 150

D = 100(0,75) + 50(1,5) = 150

On peut utiliser le point de coordonnées (1, 3) et le point de coordonnées (2,5, 0) pour tracer la droite 100x + 50y = 250 :

D = 100(1) + 50(3) = 250

D = 100(2,5) + 50(0) = 250

F Ce sont des droites parallèles.

1 2 30

1

2

3



Tem

ps p

assé

sur

le

s ro

utes

sec

onda

ires

(h)

1 2 30

1

2

3



Tem

ps p

assé

sur

le

s ro

utes

sec

onda

ires

(h)

Manuel • p. 33

G Les points limites sont les sommets de coordonnées (0,5, 2) et (2,25, 1,5).

1 2 30

1

2

3


Tem

ps p

assé

sur

le

s ro

utes

sec

onda

ires

(h)


On substitue les coordonnées de ces sommets dans l'équation D = 100x + 50y :100(0,5) + 50(2) = 150100(2,25) + 50(1,5) = 300

L'équation de la droite passant par le sommet de coordonnées (0,5, 2) est 100x + 50y = 150 et celle de la droite passant par le sommet de coordonnées (2,25, 1,5) est 100x + 50y = 300.

H La distance minimale que Cynthia a pu parcourir est de 150 km et la distance maximale, de 300 km.

I On trace les droites associées à la distance parcourue dans le même plan cartésien que le polygone de contraintes représentant la situation :

1 2 30

1

2

3


Tem

ps p

assé

sur

le

s ro

utes

sec

onda

ires

(h)

Z = 350

Z = 125


On remarque que les deux droites ne touchent pas le polygone de contraintes. Il est donc impossible que la distance parcourue par Cynthia soit de 350 km ou de 125 km.



J 0,5 + 2 = 2,52,25 + 1,5 = 3,75

Au minimum, Cynthia a passé 2,5 heures à rouler sur des autoroutes et sur des routes secondaires.

Au maximum, Cynthia a passé 3,75 heures à rouler sur des autoroutes et sur des routes secondaires.


a)

b)

c) Les chandails et les pantalons de Gabrielle peuvent occuper un volume minimal de 7,8 L et un volume maximale de 12,6 L.

Nombre de chandails

Les pantalons et les chandails de Gabrielle

Nom

bre

de p

anta

lons

A(4, 4)

E(4, 6)D(6, 6)

C(10, 2)B(6, 2)

Les pantalons et les chandails de Gabrielle

A(4, 4)

E(4, 6)D(6, 6)

C(10, 2)B(6, 2)

Nombre de chandails

Nom

bre

de p

anta

lons

4ACTIvITéd’exploration Rénover au moindre coût

Manuel • p. 34

A

La règle de la fonction à optimiser est C = 4x + 6y.

La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (60, 50).

À ce sommet, C = 4(60) + 6(50) = 540.

Le coût minimal du recouvrement du plancher est de 540 $.

B Non, puisqu’en retirant la contrainte traduite par l’inéquation x ≥ 30, le sommet qui correspond à la solution optimale demeure le même.

C Si on retire la contrainte traduite par l’inéquation, 2x + y ≥ 170, le sommet de coordonnées (30, 50) permet maintenant de minimiser les coûts. À ce sommet, C = 4(30) + 6(50) = 420.

Le coût minimal du recouvrement du plancher sera alors de 420 $.

Si on retire la contrainte traduite par l’inéquation x ≤ 2y, le coût minimal demeure le même.

Si on retire la contrainte traduite par l’inéquation, y ≥ 50, le sommet qui permet maintenant de minimiser les coûts est le point de rencontre des droites d’équation 2x + y = 170 et x = 2y. Les coordonnées de ce nouveau sommet sont (68, 34). À ce sommet, C = 4(68) + 6(34) = 476.

Le coût minimal du recouvrement du plancher sera de 476 $.

20 40 60 80 100 120 140 1600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Nombre de carreaux de céramique

Nom

bre

de c

arre

aux

de p

orce

lain

e Le plancher de Karim



D Il devrait retirer la contrainte traduite par l’inéquation 2x + y ≥ 170 pour que le coût minimal du recouvre-ment du plancher soit de 420 $.

E La nouvelle règle de la fonction à optimiser est C = 6,5x + 3,5y. On estime la valeur de la nouvelle fonction à optimiser pour chacun des sommets du polygone de contraintes :

Sommet de coordonnées (30, 110) : C = 6,5(30) + 3,5(110) = 580




Avec les nouveaux prix, le coût minimal du recouvre-ment du plancher sera de 370 $.


a) L’entreprise peut réaliser un profit maximal de 535 $.

b) L’entreprise devrait retirer la contrainte traduite par l’inéquation 4x + 3y ≤ 360 pour que son profit maximal soit plus grand. Le profit maximal serait ainsi de 580 $.

Mise en pratiqueManuel • p. 40


a) Le point C(8, 3)

b) Le point B(0, 10)

c) Le point C(7, 8)

d) Le point C(6, 8)


a) Sommet A : Z1 = 793

Sommet B : Z1 = 31,5

Sommet C : Z1 = 29,25

Sommet D : Z1 = 8

Sommet E : Z1 = 3

Sommet F : Z1 = 15

b) Sommet A : Z2 = –716

Sommet B : Z2 = -9,25

Sommet C : Z2 = -6,625

Sommet D : Z2 = 4

Sommet E : Z2 = 1,5

Sommet F : Z2 = -7,5

c) Sommet A : Z3 = 313

Sommet B : Z3 = -15,5

Sommet C : Z3 = -25,25

Sommet D : Z3 = -38

Sommet E : Z3 = -13

Sommet F : Z3 = 11

d) Sommet A : Z4 = 916

Sommet B : Z4 = 25316

Sommet C : Z4 = 13,75

Sommet D : Z4 = 1

Sommet E : Z4 = 0,375

Sommet F : Z4 = 9

Manuel • p. 41


Remarque : À la question 3b de la page 41 du manuel, il ne devrait pas y avoir de sommet F.

a) Les coordonnées de tous les points situés sur le côté BC maximisent la fonction et les coordonnées du sommet D minimisent la fonction.

b) Les coordonnées de tous les points situés sur le côté IJ maximisent la fonction et les coordonnées du sommet K minimisent la fonction.

c) Il est impossible de déterminer les coordonnées du ou des points qui maximisent cette fonction. Les coordonnées du sommet G minimisent la fonction.

d) Il est impossible de déterminer les coordonnées du ou des points qui maximisent cette fonction. Les coordonnées des sommets M et N minimisent cette fonction.


a) Valeur maximale : Z1 = 1 535

Valeur minimale : Z1 = 0

b) Valeur maximale : Z2 = 141

Valeur minimale : Z2 = -260

c) Valeur maximale : Z3 = 1 005

Valeur minimale : Z3 = -100

d) Valeur maximale : Z4 = 1 398,5

Valeur minimale : Z4 = 0

Manuel • p. 42


a) 2 b) 3 c) 4 d) 1




a) On trace le polygone de contraintes associé au système d’inéquations :

200 400 600 800 1 000 1 2000

200

400

600

800

1 000

1 200

x

y

A B

D

C

E

Les coordonnées des sommets A, B, D et E peuvent être lues directement sur le graphique.

A(0, 700) B(200, 700) D(400, 0) E(0, 0)

On trouve les coordonnées du sommet C en résolvant le système d’équations associé aux droites d’équation x + y = 900 et 3x – y = 1 200 :

C(525, 375)

On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets :

A(0, 700) : Z = 3(0) + 4(700) = 2 800

B(200, 700) : Z = 3(200) + 4(700) = 3 400

C(525, 375) : Z = 3(525) + 4(375) = 3 075

D(400, 0) : Z = 3(400) + 4(0) = 1 200

E(0, 0) : Z = 3(0) + 4(0) = 0

Les valeurs minimale et maximale sont 0 et 3 400.

b) On trace le polygone de contraintes associé au système d’inéquations :

200 400 600 800 1 000 1 2000

200

400

600

800

1 000

1 200

x

y

A

BE

D C

Les coordonnées des sommets A, B, C, D et E peuvent être lues directement sur le graphique.

A(100, 400) B(700, 100) C(300, 0) D(0, 0) E(0, 200)


A(100, 400) : Z = 3(100) + 4(400) = 1 900

B(700, 100) : Z = 3(700) + 4(100) = 2 500

C(300, 0) : Z = 3(300) + 4(0) = 900

D(0, 0) : Z = 3(0) + 4(0) = 0

E(0, 200) : Z = 3(0) + 4(200) = 800

Les valeurs minimale et maximale sont 0 et 2 500.

Manuel • p. 43


a) La règle des fonctions T et R

b) La règle de la fonction S

c) La règle des fonctions P et T

d) La règle de la fonction R


a) Le sommet E correspond à la solution optimale, car un déplacement vers la droite de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à optimiser.

b) Le sommet D correspond à la solution optimale, car un déplacement vers le bas de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à optimiser.

c) Le sommet A correspond à la solution optimale, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet de diminuer la valeur de la fonction à optimiser.

Manuel • p. 44


a) Il n’existe aucun point dont les coordonnées maximisent la fonction à optimiser P.

b) Il n’existe aucun point dont les coordonnées maximisent la fonction à optimiser R.

c) Il y a une infinité de points dont les coordonnées minimisent la fonction Z. Il s’agit des coordonnées de tous les points situés sur le côté CD du polygone de contraintes.




Il faut d’abord déterminer les coordonnées des diffé-rents sommets en résolvant les systèmes d’équations des droites se croisant à ces sommets.

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation y = 8 et y = 1,5x + 3. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équa-tion y = 8 et y = 0,8x. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 2 et y = 0,8x. Le sommet D est, quant à lui, le point de rencontre des droites d’équation y = 2 et x = 0. Enfin, le sommet E est le point de rencontre des droites d’équation y = 1,5x + 3 et x = 0.


de contraintes sont A(103

, 8), B(10, 8), C(2,5, 2), D(0, 2) et E(0, 3).

a) A(103

, 8) : P = 3(8) – 103

= 623

B(10, 8) : P = 3(8) – 10 = 14

C(2,5, 2) : P = 3(2) – 2,5 = 3,5

D(0, 2) : P = 3(2) – 0 = 6

E(0, 3) : P = 3(3) – 0 = 9

La valeur maximale de la fonction à optimiser P = 3y – x est 62

3.

b) A(103

, 8) : C = 3(103 ) + 5(8) = 50

B(10, 8) : C = 3(10) + 5(8) = 80

C(2,5, 2) : C = 3(2,5) + 5(2) = 17,5

D(0, 2) : C = 3(0) + 5(2) = 10

E(0, 3) : C = 3(0) + 5(3) = 15

La valeur minimale de la fonction à optimiser C = 3x + 5y est 10.


a) On trace d’abord le polygone de contraintes associé au système d’inéquations ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :

2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 110

2

4

6

8

10

12

1

3

5

7

9

11

x

y

A

B

D C

Les coordonnées des sommets A, C et D peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation x − 3y = 3 et 2x + 3y =18.


Les coordonnées des sommets A et B, ainsi que celles de tous les points entre ces deux sommets, peuvent maximiser la fonction. Cependant, comme les valeurs des variables x et y doivent être entières, seul le sommet A(0, 6) ainsi que les points de coordonnées (3, 4) et (6, 2) maximisent la fonction.

b) On trace d’abord le polygone de contraintes associé au système d’inéquations ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :

2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 110

2

4

6

8

10

12

1

3

5

7

9

11

x

y

A B

CD

Les coordonnées des sommets A, B, C, et D peuvent être lues directement sur le graphique.


Les coordonnées du sommet B(4, 4) maximisent cette fonction.

Manuel • p. 45


a) Polygone 2

b) Polygone 1

c) Polygone 1

d) Polygone 2


Remarque : L’équation de la question b2 devrait se lire y ≥ x – 3 et l’équation de la question b3 devrait se lire 2x + y ≥ 7.



Il faut d’abord déterminer les coordonnées des différents sommets en résolvant les systèmes d’équations des droites se croisant à ces sommets.

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et 2x + y = 7. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équa-tion y = 5 et y = x − 3. Enfin, le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation 2x + y = 7 et y = x − 3.


de contraintes sont A(1, 5), B(8, 5) et C(103

, 13).

a) La valeur maximale correspond au sommet B(8, 5).

Z = 2x + 3y

Z = 2(8) + 3(5) = 31

La valeur maximale de la fonction à optimiser est 31.

b) 1) La valeur maximale correspondrait au

sommet C(103

, 13).

Z = 2x – 3y

Z = 2(103 ) – 3(1

3) = 173

La valeur maximale de la fonction à optimiser serait 17

3.

2) En traçant la nouvelle droite d’équation y = x - 1, le sommet B disparaîtrait et les coordonnées du nouveau sommet D seraient (6, 5).

Z = 2x + 3yZ = 2(6) + 3(5)Z = 27

La nouvelle valeur maximale serait 27.

3) En traçant la nouvelle droite d’équation 2x + y = 2, on remarque que les coordonnées du sommet qui maximisent cette fonction demeureraient et que l’apparition des nouveaux sommets ne changerait pas la valeur maximale de la fonction.

Manuel • p. 46


a) 1 85 2

43 3 -1

5

b)

c) 1 Z = 165 2 Z = -15 3 Z = 10,5

d) 1 Déplacement vers le bas

2 Déplacement vers le haut

3 Déplacement vers le haut


a) 1

2

2

x

y

D

A

B

C

2

2

x

y

12

3



2

2

2

x

y

A

BC

3

2

2

x

y

A

B

D

C

b) 1 On trace la droite baladeuse afin de déterminer les coordonnées du sommet qui maximisent la fonction Z :

2

2

x

y

D

A

B

C

La solution optimale correspond au sommet B de coordonnées (8, 12). À ce sommet, Z = 12(8) + 6(12) = 168.

2 On trace la droite baladeuse afin de déterminer les coordonnées du sommet qui minimisent la fonction Z :

2

2

x

y

A

C

B

La solution optimale correspond au sommet A de coordonnées (6, 18). À ce sommet, Z = 9(6) + 8(18) = 198.

3 On trace la droite baladeuse afin de déterminer les coorodnnées du sommet qui minimisent la fonction Z :

2

2

x

y

A

B

D

C

La droite baladeuse est parallèle au côté DC du polygone, donc les sommets C et D ainsi que tous les points compris entre ces deux sommets correspondent à des solutions optimales.

Les coordonnées du sommet C peuvent être lues directement sur le graphique. Ces coordonnées sont (14, 3).

Aux sommets C et D, ainsi qu’aux points de la droite CD, Z = 3(14) + 6(3) = 60.




La règle de la fonction à optimiser est P = 76x + 57y.

On calcule le profit que réalisera l’entreprise si elle fabrique 14 causeuses et 40 chaises berçantes :

P = 3 344 $

On calcule le profit réalisé en évaluant la fonction pour chacun des sommets. On observe que le sommet B maximise également le profit.

B(23, 28) : P = 3 344 $

Donc, l’entreprise prend une bonne décision en fabriquant 14 causeuses et 40 chaises berçantes.

Manuel • p. 47


Remarque : À la question 17 de la page 47 du manuel, on devrait lire « employé permanent » au lieu de « employé régulier ».

a) L’objectif est de minimiser le coût pour honorer la commande.

La règle de la fonction à optimiser est C = 45x + 25y.

b) On doit résoudre les systèmes d’équations des droites se croisant à ces sommets.

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et x + y = 150. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x + y = 150 et y = 0. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 0 et 2x + 3y = 240. Le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation 2x + 3y = 240 et x + y = 100. Le sommet E est, quant à lui le point de rencontre des droites d’équation x + y = 100 et 2x + y = 120. Enfin, le sommet F est le point de rencontre des droites d’équation 2x + y = 120 et x = 0.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 150), B(150, 0), C(120, 0), D(60, 40), E(20, 80) et F(0, 120).

c) A(0, 150) : C = 3 750 $

B(150, 0) : C = 6 750 $

C(120, 0) : C = 5 400 $

D(60, 40) : C = 3 700 $

E(20, 80) : C = 2 900 $

F(0, 120) : C = 3 000 $

d) Comme madame Dufferin veut minimiser les coûts, elle devrait demander à ses employés permanents de travailler 20 heures supplémentaires et elle devrait faire travailler les employés surnuméraires pendant 80 heures.


a) x : le nombre de bénévoles affectés au service d’entretien ménager

y : le nombre de bénévoles affectés au service d’épicerie

b) N = x + y, où N représente le nombre total de bénévoles.

c) x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 5 x ≤ 10 y ≥ x y - x ≤ 15 8x + 2y ≤ 120

d)

e) On peut tracer la droite baladeuse afin de déterminer le sommet qui correspond à la solution optimale :

Le sommet A(9, 24) correspond à la solution optimale. L’association doit faire appel à 9 bénévoles affectés au service d’entretien ménager et 24 bénévoles affectés au service d’épicerie.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

0

468

101214161820222426

26Nombre de bénévoles

affectés au service d’entretien ménager

Nom

bre

de b

énév

oles

affe

ctés

au

serv

ice

d’ép

icer

ie

Le nombre de bénévoles

A

B

C

D

E

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

0

468

101214161820222426

26Nombre de bénévoles

affectés au service d’entretien ménager

Nom

bre

de b

énév

oles

affe

ctés

au

serv

ice

d’ép

icer

ie

Le nombre de bénévoles

A

B

C

D

E



Manuel • p. 48


a)

b) S = 15x + 12,50y

c) Les coordonnées des quatre sommets peuvent être lues directement sur le graphique.



A(4, 7) : S = 15(4) + 12,50(7) = 147,50

B(5, 7) : S = 15(5) + 12,50(7) = 162,50

C(6, 6) : S = 15(6) + 12,50(6) = 165

D(4, 4) : S = 15(4) + 12,50(4) = 110

La somme d’argent totale maximale que peuvent avoir recueillie Stéphanie et Boris est de 165 $.

d) La nouvelle fonction à maximiser est S = 12,50y – 15x.


A(4, 7) : S = 12,50(7) - 15(4) = 27,50

B(5, 7) : S = 12,50(7) - 15(5) = 12,50

C(6, 6) : S = 12,50(6) - 15(6) = -15

D(4, 4) : S = 12,50(4) - 15(4) = -10

Les coordonnées du sommet A maximisent cette fonction. Au maximum, Boris peut avoir recueilli 27,50 $ de plus que Stéphanie.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13

Nombre de kilomètres parcouruspar Stéphanie

Nom

bre

de k

ilom

ètre

s pa

rcou

rus

par

Bor

is

Le marchethon

A B

C

D


On cherche à maximiser et à minimiser le montant de la recette.

On peut déterminer le prix d’un billet acheté à l’avance. 20 $ • (1 - 0,20) = 16 $

La règle de la fonction à optimiser est M = 20x + 16y.

On trace le polygone de contraintes et la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :

La solution optimale correspond aux sommets B(120, 120) et D(40, 80).

B(120, 120) : M = 20(120) + 16(120) = 4 320

D(40, 80) : M = 20(40) + 16(80) = 2 080

Le montant minimal de la recette de ce spectacle est de 2 080 $ et le montant maximal est 4 720 $.


On cherche à maximiser le nombre de clients que Fatima peut accueillir dans son restaurant.

x : le nombre de tables pour deux personnesy : le nombre de tables pour quatre personnes

La règle de la fonction à optimiser est N = 2x + 4y.

Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.

x ≥ 0 y ≥ 0 2,5x + 3,5y ≤ 42 x ≥ y

x ≥ 5 y ≥ 5

20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140

160

140 160 180Nombre de billets vendus à prix régulier

Nom

bre

de b

illet

s ve

ndus

à p

rix

rédu

it

180

Les recettes du spectacle

A

B

C

D



On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :

Les coordonnées des sommets A et C peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et 2,5x + 3,5y = 42.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(7, 7), B(9,8, 5) et C(5, 5).


A(7, 7) : N = 2(7) + 4(7) = 42

B(9,8, 5) : N = 2(9,8) + 4(5) = 39,6

C(5, 5) : N = 2(5) + 4(5) = 30

La solution optimale se trouve au sommet A.

Fatima devra installer sept tables pour deux personnes et sept tables pour quatre personnes pour accueillir le plus grand nombre de clients possible.

Manuel • p. 49


L’objectif est de minimiser le coût.

x : le nombre d’heures travaillées par Gabrielley : le nombre d’heures travaillées par Fred

La règle de la fonction à minimiser est C = 10x +15y.


x ≥ 0 y ≥ 0 8x + 10y ≥ 34 x ≤ 3 y ≤ 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13

Nombre de tablespour deux personnes

Nom

bre

de t

able

spo

ur q

uatr

e pe

rson

nes Le restaurant de Fatima

A

BC

On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à cette fonction :

La solution optimale correspond au sommet C(3, 1) étant donné qu’un déplacement vers le haut de la droite baladeuse augmente la valeur de la fonction à optimiser.

Gabrielle devra donc travailler trois heures et Fred, une heure, afin que Michel paie le moins cher possible pour faire repeindre sa clôture.


a) L’objectif est de minimiser le nombre de points.

x : le nombre de paniers à deux pointsy : le nombre de paniers à trois points

La règle de la fonction à optimiser est P = 2x + 3y + 8.


y ≥ 0 x ≥ 0 x + y ≥ 26 x + y ≤ 35 2x ≥ 3y y ≥ 5 x ≥ y + 6

0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,40

0,4

0,8

1,2

1,6

2

2,4

2,8 3,2 3,6

Nombre d’heures travaillées par Gabrielle

2,8

3,2

3,6

Nom

bre

d’he

ures

tra

vaill

ées

par

Fred

La clôture de Michel

A B

C




Les coordonnées des sommets B, D et E peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = y + 6 et x + y = 35. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et x + y = 26.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(20,5, 14,5), B(30, 5), C(21, 5), D(16, 10) et E(18, 12).

On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets.

A(20,5, 14,5) : P = 2(20,5) + 3(14,5) + 8 = 92,5

B(30, 5) : P = 2(30) + 3(5) + 8 = 83

C(21, 5) : P = 2(21) + 3(5) + 8 = 65

D(16, 10) : P = 2(16) + 3(10) + 8 = 70

E(18, 12) : P = 2(18) + 3(12) + 8 = 80

La solution optimale correspond au sommet C.

Le nombre de points minimal obtenu par l’équipe est de 65.

b) Il est impossible que cette équipe ait été déclarée gagnante si l’équipe adverse a obtenu 90 points. En effet, bien que la valeur de la fonction à opti-miser au sommet A est supérieure à 90 (92,5), on ne peut considérer cette solution valable dans le contexte de la situation puisque l’équipe ne peut pas avoir obtenu une fraction d’un panier.

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

4

0

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

52

Nombre de paniersà deux points

Nom

bre

de p

anie

rsà

troi

s po

ints

La partie de basket-ball

AE

B

C

D

On doit déterminer le couple faisant partie du polygone de contraintes situé le plus près du sommet A qui possède des coordonnées entières. Il s’agit du point de coordonnées (20, 14). La valeur de la fonction à optimiser est de 90 pour ce point. L’équipe n’a donc pu obtenir qu’un maximum de 90 points.


L’objectif est de maximiser le périmètre du pictogramme.

x : la mesure d’un grand côté (soit la base du rectangle ou un des trois côtés du triangle équilatéral), en centimètres

y : la mesure d’un petit côté (soit la hauteur du rectangle), en centimètres

La règle de la fonction à optimiser est P = 3x + 2y.


x > 0

y > 0

y ≤ 20

2x + 2y ≤ 80

3x ≤ 90

4x + 2y ≤ 135

On trace le polygone de contraintes associé à la situation :

Les sommets A, E et F ne correspondent pas des solutions possibles étant donné que les mesures des côtés doivent être plus grandes que 0.

Les coordonnées des sommets B peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation 2x + 2y = 80 et 4x + 2y = 135. Le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 30 et 4x + 2y = 135.

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

4

0

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

52

Mesure d’un grand côté (cm)

Mes

ure

d’un

pet

it c

ôté

(cm

) Le périmètre du pictogramme

B

C

D

A

F E



Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont B(20, 20), C(27,5, 12,5) et D(30, 7,5).


B(20, 20) : P = 3(20) + 2(20) = 100

C(27,5, 12,5) : P = 3(27,5) + 2(12,5) = 107,5

D(30, 7,5) : P = 3(30) + 2(7,5) = 105

La solution optimale correspond au sommet C.

Le périmètre maximal de ce pictogramme est de 107,5 cm.

Manuel • p. 50


a) L’objectif est de minimiser la hauteur de la tour.

x : le nombre de pièces de 0,25 $y : le nombre de pièces de 1 $

La règle de la fonction à optimiser est H = 1,6x + 2y.


x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≥ 15

0,25x + y ≥ 9

4x + 7y ≥ 9

On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à cette fonction :

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Nom

bre

de p

ièce

s de

1 $

La monnaie de Christophe

D

24 26 28 30 32

Nombre de pièces de 0,25 $

34 36

B

A

C

La solution optimale se trouve au sommet B(5, 10), car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à optimiser.

H = 1,6(5) + 2(10) = 28

La hauteur minimale de cette tour serait de 28 mm.

b) On pourrait retirer l’inéquation qui représente la droite qui passe par le sommet C, c’est-à-dire, 0,25x + y ≥ 9.


a) On évalue la valeur de la fonction à optimiser pour chacun des sommets :

A(0, 0) : P = 0 $

B(30, 0) : P = 6 000 $

C(30, 15) : P = 9 750 $

D(20, 30) : P = 11 500 $

E(0, 40) : P = 10 000 $

Le profit maximal de cette entreprise est de 11 500 $.

b) 1) Le profit maximal de cette entreprise est de 14 000 $.

2) Le profit maximal de cette entreprise est de 10 800 $.

3) Le profit maximal de cette entreprise est de 11 250 $.


L’objectif est de maximiser le revenu de Gaby.

x : le nombre de bouquets à 15 $y : le nombre de bouquets à 45 $

La règle de la fonction à optimiser est R = 15x + 45y.


x ≥ 0

y ≥ 0

x ≥ y

x + 6y ≤ 36

3x + 2y ≤ 33



On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction :

La solution optimale correspond au sommet B, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à maximiser. Par contre, ce sommet ne comprend pas des coordonnées composées de nombres entiers. Dans ce cas, la solution du problème correspond au point de coordonnées entières de la région-solution qui est le plus près de la droite baladeuse, soit le point de coordonnées (8, 4).

Gaby doit préparer huit bouquets à 15 $ et quatre bouquets à 45 $ afin de maximiser son revenu.

Manuel • p. 51


a) L’objectif est de maximiser le chiffre d’affaires de Pablo.

x : le nombre de bacs cubiques vendus y : le nombre de bacs allongés vendus

La règle de la fonction à maximiser est R = 15x + 20y.


x ≥ 0 y ≥ 0 2,5x + 3y ≤ 130 20x + 40y ≤ 1 600 x + y ≤ 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13 14 15 16

Nombre de bouquets à 15 $

14

Nom

bre

de b

ouqu

ets

à 45

$Les bouquets à préparer

AB

CD

On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction :

La solution optimale correspond au sommet B, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à maximiser. Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équations 20x + 40y = 1 600 et 2,5x + 3y = 130.

Les coordonnées du sommet B sont (10, 35). Pour maximiser le chiffre d’affaires de son entreprise,

Pablo doit vendre 10 bacs cubiques et 35 bacs allongés.

b) R = 15x + 20yR = 15(10) + 20(35)R = 850 $

P = 9x + 10yP = 9(10) + 10(35)P = 440 $

Le chiffre d’affaires maximal de l’entreprise est de 850 $ et le profit maximal est de 440 $.

Consolidation

Manuel • p. 52

1. Contraintes d’un problème

Niveau de difficulté : faible

a) x : le nombre de filles y : le nombre de garçons

x ≥ y

b) x : le temps pris par Florien pour faire la course de 100 m, en secondes.

y : le temps pris par Jerry pour faire la course de 100 m, en secondes.

y - x > 1

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

4

0

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

52 56 60 x

y

Nombre de bacs cubiques vendus

Nom

bre

de b

acs

allo

ngés

ven

dus La vente de bacs de fines herbes

A B

C

D



c) x : le nombre de personnes qui attendent à la caisse rapide

y : le nombre de personnes qui attendent à une autre caisse

x ≤ 2y

d) x : un nombre y : un autre nombre

3x ≥ y3

+ 20

e) x : la température maximale à Montréal (°C) y : la température maximale dans les Laurentides

(°C)

x ≥ y + 5

f) x : la largeur d’une fenêtre y : la hauteur d’une fenêtre

xy <

23

g) x : le nombre de médailles récoltées par le Canada y : le nombre de médailles récoltées par les États-Unis

x ≤ 2y

h) x : le nombre de femmes acceptées en faculté de médecine

y : le nombre d’hommes acceptés en faculté de médecine

x > 0,6(x + y) ou 0,4x > 0,6y

2. Système d’inéquations


a) La région A est associée au système d’inéquations 1 .

La région B est associée au système d’inéquations 3 .

La région C est associée au système d’inéquations 4 .

b) L’ensemble-solution du système d’inéquations 2 est l’ensemble vide.

Manuel • p. 53

3. Système d’inéquations


a) Il s’agit de l’affichage 3 .

b) 1 2x – y ≥ 0 2 2x – y ≥ 0 x + 2y ≤ 12 x + 2y ≥ 12

c) Il s’agit des coordonnées du point de rencontre des deux droites, soit (2,4, 4,8).

d) On remplace ce couple dans chacun des systèmes pour déterminer à quel affichage il appartient.

1 2(2,5) – 4,9 ≥ 0 0,1 ≥ 0 2,5 + 2(4,9) ≤ 12 12,3 ≤ 12

Les deux inéquations sont respectées.

2 2(2,5) – 4,9 ≥ 0 0,1 ≥ 0 2,5 + 2(4,9) ≥ 12 12,3 ≥ 12

La deuxième inéquation n’est pas respectée.

3 2(2,5) – 4,9 ≤ 0 0,1 ≤ 0 2,5 + 2(4,9) ≥ 12 12,3 ≥ 12

La première inéquation n’est pas respectée.

Le couple (2,5, 4,9) fait partie de l’ensemble-solution de l’affichage 2 .

4. Système d’inéquations, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes

Niveau de difficulté : moyen

a) On détermine l’équation de la droite qui supporte chaque côté du polygone de contraintes. On détermine ensuite le symbole d’inégalité qui respecte la région-solution.

Équation de la droite qui supporte le côté AD :

a = 9 – 37 – 4

a = 2

y = 2x + b 3 = 2(4) + b b = –5

y = 2x – 5

y ≤ 2x – 5

Équation de la droite qui supporte le côté DC :

a = 9 – 67 – 10

a = –1

y = –x + b 9 = –(7) + b b = 16

y = –x + 16

y ≤ –x + 16



Équation de la droite qui supporte le côté BC :

a = 3 – 67 – 10

a = 1

y = x + b 6 = 10 + b b = –4

y = x – 4

y ≥ x – 4

Équation de la droite qui supporte le côté AB :

Il s’agit d’une droite horizontale, donc le taux de variation est de 0.

y = 3

y ≥ 3

Le système d’inéquations associé à ce polygone de contraintes est le suivant :

y ≤ 2x – 5

y ≤ –x + 16 y ≥ x – 4 y ≥ 3

b) On détermine l’équation de la droite qui supporte chaque côté du polygone de contraintes. On détermine ensuite le symbole d’inégalité qui respecte la région-solution.

Équation de la droite qui supporte le côté AB :

a = 2 – 65 – 3

a = –2

y = –2x + b 6 = –2(3) + b b = 12

y = –2x + 12

y ≥ –2x + 12

Équation de la droite qui supporte le segment qui passe par le point A :

a = 3 – 60 – 3

a = 1

y = x + 3

y < x + 3

Équation de la droite qui supporte le segment qui passe par le point B :

a = 0 – 21 – 5

a = 0,5

y = 0,5x + b 0 = 0,5(1) + b b = –0,5

y = 0,5x – 0,5

y ≥ 0,5x – 0,5

Le système d’inéquations associé à ce polygone de contraintes est le suivant :

y ≥ –2x + 12 y < x + 3 y ≥ 0,5x – 0,5

5. Système d’inéquations, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes


a)

Le premier quadrant du plan cartésien est partagé en 11 régions.

b) Le système d’inéquations 2 n’a aucune solution.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13 x

y



c) Système 1

Les coordonnées des sommets A, B et D du poly-gone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet C est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation y = 1

2 x + 1

et y = –2x + 20.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(5, 6), B(7, 6), C(7,6, 4,8) et D(4, 3).

Système 3

Les coordonnées des sommets B et C du poly-gone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet A est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation y = 3(x – 3) et y = –2x + 20.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(5,8, 8,4), B(7, 6) et C(10, 6).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13 x

y

A

D

B

C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13 x

y

A

B C

Manuel • p. 54

6. Contraintes d’un problème, représentation graphique d’une situation, système d’inéquations, coordonnées des sommets du polygone de contraintes


a) x : le nombre de panneaux de contreplaqué y : le nombre de sacs de sable

x ≥ 8

y ≥ 5 30x + 36y ≤ 1 320 50x + 20y ≤ 1 800

b)

c) Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 8 et 30x + 36y = 1 320. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 30x + 36y = 1 320 et 50x + 20y = 1 800. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et 50x + 20y = 1 800. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 8 et y = 5.


d) Il suffit de prendre des couples qui se trouvent dans le polygone de contraintes.


Saïd peut charger 16 panneaux de contreplaqué et 12 sacs de sable dans son camion.



4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

4

0

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

52 56 60 64

Nombre de panneaux de contreplaqué

56

Nom

bre

de s

acs

de s

able

La livraison de Saïd

A

B

CD



7. Fonction à optimiser, recherche de la solution optimale, méthode de la droite baladeuse


a) La pente de la droite baladeuse peut se calculer à partir de

–ab

.

–44

= –1

b) Le sommet D correspond à la solution optimale, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à maximiser.

c) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Z = 5x + 4y – 100

La pente de la nouvelle droite baladeuse est –54

.

d) 1) La pente de la droite baladeuse ne doit pas être supérieure ou égale à la pente du segment DC et elle ne doit pas être inférieure ou égale à la pente du segment ED.

Pente du segment DC : a = 20 – 3530 – 20

a = –1,5

Pente du segment ED : a = 35 – 4520 – 0

a = –0,5

Pour que la solution optimale se trouve exclusivement au point D, la pente de la droite baladeuse doit être située dans l’intervalle ]–1,5, –0,5[.

2) La pente de la droite baladeuse ne doit pas être supérieure ou égale à la pente du segment DC et elle ne doit pas être inférieure ou égale à la pente du segment BC.

Pente du segment DC : a = 20 – 3530 – 20

a = –1,5

Pente du segment BC : a = 0 – 2035 – 30

a = –4

Pour que la solution optimale se trouve exclusivement au point C, la pente de la droite baladeuse doit être située dans l’intervalle ]–4, –1,5[.

8. Fonction à optimiser, comparaison de solutions, recherche de la solution optimale


a) Il n'y a pas de solution optimale, car la valeur de Z peut augmenter indéfiniment.

b) (1, 6) : Z = 2(1) + 6 = 8

(5, 2) : Z = 2(5) + 2 = 12


c) (1, 6) : Z = 2(1) – 6 = –4

(5, 2) : Z = 2(5) – 2 = 8


d) Il n'y a pas de solution optimale, car la valeur de Z peut diminuer indéfiniment.

Manuel • p. 55

9. Contraintes d’un problème, fonction à optimiser, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation


a) 1) (4, 0) : Z = 30 + 0 – 4(4) = 14

(4, 8) : Z = 30 + 8 – 4(4) = 22

(8, 8) : Z = 30 + 8 – 4(8) = 6

La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (8, 8). La valeur de Z qui correspond à cette solution est 6.

2) On trace le nouveau polygone de contraintes :

Les coordonnées des nouveaux sommets du polygone de contraintes sont (4, 0), (4, 6) et (6, 4).

x

y

10

123456789

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10



On évalue la fonction à minimiser pour les coordonnées de chacun des sommets du polygone de contraintes :

(4, 6) : Z = 30 + 6 – 4(4) = 20

(4, 0) : Z = 30 + 0 – 4(4) = 14

(6, 4) : Z = 30 + 4 – 4(6) = 10

L’ajout de la contrainte traduite par l’inéquation x + y ≤ 10 modifie la solution optimale. La nouvelle solution optimale correspond au sommet de coordonnées (6, 4) et la valeur de Z qui correspond à cette solution est 10.

b) 1) (2, 9) : Z = 4(2) + 9 = 17

(4, 8) : Z = 4(4) + 8 = 24

(6, 2) : Z = 4(6) + 2 = 26

(6, 0) : Z = 4(6) + 0 = 24

(2, 0) : Z = 4(2) + 0 = 8

La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (6, 2). La valeur de Z qui correspond à cette solution est 26.

2) On trace le nouveau polygone de contraintes :

Les coordonnées des nouveaux sommets du polygone de contraintes sont (2, 0), (2, 8), (5, 6), (6, 2) et (6, 0).

On évalue la fonction à maximiser pour les coordonnées de chacun des sommets :

(2, 8) : Z = 4(2) + 8 = 16

(5, 6) : Z = 4(5) + 6 = 26

(6, 2) : Z = 4(6) + 2 = 26

(6, 0) : Z = 4(6) + 0 = 24

(2, 0) : Z = 4(2) + 0 = 8

L’ajout de la contrainte x + y ≤ 10 change la solution optimale. La solution optimale correspond aux sommets de coordonnées (5, 6) et (6, 2), ainsi qu’à tous les points situés sur la droite passant par ces deux sommets.

x

y

10

123456789

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10

10. Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes, fonction à optimiser, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation


a) 1) x ≥ y

2) x + y ≤ 100

3) y ≥ 10

4) x ≤ 3y

b) On remplace x par 48 et y par 18 dans chacune des inéquations déterminées en a :

1) 48 ≥ 18

2) 48 + 18 ≤ 100

3) 18 ≥ 10

4) 48 ≤ 3(18)

Toutes les inéquations sont respectées, donc il est possible que l’urne contienne 48 billes blanches et 18 billes noires.

c)

Les coordonnées des quatre sommets du polygone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.

A(50, 50), B(75, 25), C(30, 10) et D(10, 10)

d) L’urne peut contenir au minimum 10 billes blanches.

e) L’urne peut contenir au maximum 50 billes noires.

f) M = 1 + 0,16x + 0,15y

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

5

0

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

65 70 75 80

Nombre de billes blanches

70

Nom

bre

de b

illes

noi

res Le contenu de l’urne

A

B

C

D



g) On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :

A(50, 50) : M = 1 + 0,16(50) + 0,15(50) = 16,5

B(75, 25) : M = 1 + 0,16(75) + 0,15(25) = 16,75

C(30, 10) : M = 1 + 0,16(30) + 0,15(10) = 7,3

D(10, 10) : M = 1 + 0,16(10) + 0,15(10) = 4,1

La masse maximale de l’urne est de 16,75 kg.

h) On modifie la règle de la fonction à maximiser : M = 1 + 0,15x + 0,16y

On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :

A(50, 50) : M = 1 + 0,15(50) + 0,16(50) = 16,5

B(75, 25) : M = 1 + 0,15(75) + 0,16(25) = 16,25

C(30, 10) : M = 1 + 0,15(30) + 0,16(10) = 7,1

D(10, 10) : M = 1 + 0,15(10) + 0,16(10) = 4,1

La masse maximale de l’urne serait alors de 16,5 kg.

Manuel • p. 56

11. Beaucoup de boulot au mois de mars…

Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale


L’objectif est de maximiser les profits P de l’entreprise Dufresne et fils.

x : le nombre de meubles d’ordinateur du modèle A y : le nombre de meubles d’ordinateur du modèle B

La règle de la fonction à maximiser est P = 60x + 80y.


x ≥ 0

y ≥ 0

3x + 2y ≤ 420

x + y ≤ 160

2x + 4y ≤ 550


Les coordonnées des sommets C, D et E peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et 2x + 4y = 550. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 2x + 4y = 550 et x + y = 160.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 137,5), B(45, 115), C(100, 60), D(140, 0) et E(0, 0).


A(0, 137,5) : P = 60(0) + 80(137,5) = 11 000

B(45, 115) : P = 60(45) + 80(115) = 11 900

C(100, 60) : P = 60(100) + 80(60) = 10 800

D(140, 0) : P = 60(140) + 80(0) = 8 400

E(0, 0) : P = 60(0) + 80(0) = 0

La solution optimale, soit 11 900 $, correspond au sommet B de coordonnées (45, 115).

L’entreprise Dufresne et fils doit produire 45 meubles du modèle A et 115 meubles du modèle B pour maximiser son profit.

20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140 160

Nombre de meubles d’ordinateur du modèle A

140

160

Nom

bre

de m

eubl

es d

’ord

inat

eur

du m

odèl

e B

La production du mois de mars

A

B

C

DE



12. … et au mois d’avril

Modification des conditions d’une situation


Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : On peut répartir les heures attribuées à la main-d’œuvre entre les trois tâches de façon différente. Cependant, il faut faire en sorte que ces nouvelles contraintes permettent de tracer un polygone de contraintes, c’est-à-dire qu’elles permettent d’obtenir une région-solution. Afin de déterminer une nouvelle répartition des heures qui permette de faire un profit encore plus grand que celui réalisé au mois de mars, on peut tracer la droite baladeuse associée à l'équation de la fonction à maximiser sur la représentation graphique du polygone de contraintes qui représente la production du mois de mars.

On peut, par exemple, attribuer 170 heures pour l’assemblage et 540 heures pour la finition et laisser le même nombre d’heures pour le découpage.


Nom

bre

de m

eubl

es d

’ord

inat

eur

du m

odèl

e B

La production du mois de mars

A

B

C

D

20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140 160

140

160

E

Le polygone de contraintes suivant représente la nouvelle situation.

On obtient les coordonnées des deux nouveaux sommets B(70, 100) et C(80, 90).

On évalue la fonction à maximiser pour ces nouveaux sommets.

B(70, 100) : P = 60(70) + 80(100) = 12 200

C(80, 90) : P = 60(80) + 80(90) = 12 000

La nouvelle solution optimale correspond au sommet B de coordonnées (70, 100). L’entreprise Dufresne et fils ferait un profit de 12 200 $ en produisant 70 meubles du modèle A et 100 meubles du modèle B.

13. Le coût du tennis


Niveau de difficulté : élevé

x : le nombre d’heures jouées en simple y : le nombre d’heures jouées en double

La règle de la fonction à optimiser est F = 30 + 13x + 6,5y.

Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant :

x ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≥ 10 x + y ≤ 14 y ≥ 4 x + 3y ≤ 24


Nom

bre

de m

eubl

es d

’ord

inat

eur

du m

odèl

e B

La production du mois d’avril

A

D

B

C

20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140 160

140

160

E




Les coordonnées des quatre sommets peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées du polygone de contraintes sont A(3, 7), B(9, 5), C(10, 4) et D(6, 4).


A(3, 7) : F = 30 + 13(3) + 6,5(7) = 114,50

B(9, 5) : F = 30 + 13(9) + 6,5(5) = 179,50

C(10, 4) : F = 30 + 13(10) + 6,5(4) = 186

D(6, 4) : F = 30 + 13(6) + 6,5(4) = 134

La pratique du tennis a coûté à Éric environ 186 $ au maximum et environ 114,50 $ au minimum pour le mois de septembre.

Manuel • p. 57

14. Le bon dosage

Polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation


a) x : la quantité de crème 15 % (mL) y : la quantité de lait 2 % (mL)

21 3 5 7 9 11 13 154 6 8 10 120

2

1

3

5

7

9

11

13

15

4

6

8

10

12

14 16

Nombre d’heures jouées en simple

14

16N

ombr

e d’

heur

es jo

uées

en

doub

leLe coût du tennis

A

D

B

C

Les deux premières inéquations sont les contraintes de positivité. La troisième représente la quantité maximale de crème 15 % dont Léonard dispose. La quatrième représente la quantité maximale de lait 2 % dont Léonard dispose. La cinquième indique que le mélange de Léonard doit contenir au moins 9 % de matières grasses. La sixième indique que le mélange doit contenir au plus 11 % de matières grasses.

b) Léonard cherche à maximiser la quantité de liquide obtenue.

La règle de la fonction à maximiser est Q = x + y.


Les coordonnées des trois sommets peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées du polygone de contraintes sont A(140, 120), B(270, 120) et C(0, 0).


A(140, 120) : Q = 140 + 120 = 260

B(270, 120) : Q = 270 + 120 = 390

C(0, 0) : Q = 0 + 0 = 0

La solution optimale, soit 390 mL, correspond au sommet B de coordonnées (270, 120).

Pour que Léonard atteigne son objectif, il faut qu’il mélange 270 mL de crème 15 % et 120 mL de lait 2 %.

40 80 120 160 200 2400

20

40

60

80

100

120

280 320

Quantité de crème 15 % (mL)

140

160

Qua

ntit

é de

lait

2 %

(m

L)

Le potage aux poireaux

A

B

C



c) On modifie la troisième inéquation, ce qui modifie le polygone de contraintes.

Les coordonnées du nouveau sommet qui maximisent la quantité obtenue sont B(200, 120). Pour que Léonard atteigne son objectif, il faut qu’il mélange 200 mL de crème 15 % et 120 mL de lait 2 %.

15. Un échange à optimiser




x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 12 x ≤ 36 y ≥ 4 y ≤ 16 x ≤ 3y 2x ≥ 3y

On trace le polygone de contraintes associé à ce système d’inéquations et on trace la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :

40 80 120 160 200 2400

20

40

60

80

100

120

280 320

Quantité de crème 15 % (mL)

140

160

Qua

ntit

é de

lait

2 %

(m

L)Le potage aux poireaux

A B

D

C

Les sommets E et C correspondent aux solutions optimales.

C(36, 12) : Z = 36 – 36 + 12 = 12

E(12, 8) : Z = 36 – 12 + 8 = 32

Au maximum, après l’échange, Marie pourrait posséder 32 romans et disques compacts, et au minimum, elle pourrait en posséder 12.

Manuel • p. 58

16. Pas trop de contraintes, s’il vous plaît !

Contraintes d’un problème


L’objectif est de maximiser le nombre de personnes N qui seront évacuées dans la prochaine heure.

x : le nombre d’hélicoptères y : le nombre d’embarcations

La règle de la fonction à maximiser est N = 16x + 8y.


x ≥ 0

y ≥ 0

y > x

x ≤ 10

y ≤ 30

3x + 2y ≤ 54

x + y ≤ 25

42 6 10 14 18 22 26 30 348 12 16 200

2

1

3

5

7

9

11

13

15

17

4

6

8

10

12

24 28 32 36

Nombre de disques compacts échangés

14

16

18

Nom

bre

de r

oman

s éc

hang

és

L’échange de Marie

A B

C

D

E



On trace le polygone de contraintes qui représente la situation.

Les coordonnées des sommets B, C et D peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x + y = 25 et 3x + 2y = 54. Le sommet E est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et x + y = 25.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(4, 21), B(10, 12), C(10, 10), D(0, 0) et E(0, 25).


A(4, 21) : N = 16(4) + 8(21) = 232

B(10, 12) : N = 16(10) + 8(12) = 256

C(10, 10) : N = 16(10) + 8(10) = 240

D(0, 0) : N = 16(0) + 8(0) = 0

E(0, 25) : N = 16(0) + 8(25) = 200

La solution optimale correspond au sommet B.

En respectant toutes les contraintes du problème, on peut, au maximum, évacuer 256 personnes dans la prochaine heure.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

26 28 30 32

Nombre d’hélicoptères

28

30

32N

ombr

e d’

emba

rcat

ions

L’opération de sauvetage

A

B

C

D

E

Pour augmenter le nombre de personnes évacuées, il faudrait retirer la contrainte qui indique que chaque équipe de sauvetage doit inclure une personne compé-tente en soins d’urgence parmi les 25 qui sont sur place (x + y ≤ 25). En effet, en traçant la droite baladeuse dans le graphique, on constate qu’un déplacement de celle-ci vers le haut augmente la valeur de la fonction à maximiser. Si on retire la contrainte x + y ≤ 25, cela permet de déplacer plus haut la droite baladeuse.

Les coordonnées du nouveau sommet B seraient (10, 15).

N = 16(10) + 8(15) = 280

On pourrait alors évacuer 280 personnes dans la prochaine heure.

17. Un jardin circulaire



Remarque : À la question 17 de la page 58 du manuel, dans le carton à gauche de la figure, on devrait lire : « Nombre de plantes maximal : 800 ».

L’objectif est de minimiser le coût du projet d’aménagement du jardin public.

x : l’aire de la section A (m2) y : l’aire de la section B (m2)

La règle de la fonction à minimiser est C = 35x +20y.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

26 28 30 32

Nombre d’hélicoptères

28

30

32

Nom

bre

d’em

barc

atio

ns

L’opération de sauvetage

A

B

C

E

D




x > 0

y > 0

2,5x + 5y ≤ 800

x + y ≥ 240

y ≤ x


Les coordonnées des trois sommets peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(160, 80), B(320, 0) et C(240, 0).

On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :

A(160, 80) : C = 35(160) + 20(80) = 7 200

B(320, 0) : C = 35(320) + 20(0) = 11 200

C(240, 0) : C = 35(240) + 20(0) = 8 400

La solution optimale, soit 7 200 $, correspond au sommet A(160, 80).

Pour minimiser le coût du projet, il faut que l’aire de la section A soit de 160 m2 et l’aire de la section B, de 80 m2.

40 80 120 160 200 2400

20

40

60

80

100

120

280 320

Aire de la section A (m2)

140

160

Air

e de

la s

ecti

on B

(m

2 )

Le jardin public

A

BC

Manuel • p. 59

18. Le temps des tomates



On cherche à calculer le coût maximal de la corvée de tomates.

x : le nombre de pots de 1 L y : le nombre de pots de 500 mL

On calcule le coût pour faire les conserves dans les deux formats :

Pot de 1 L (10 tomates) : 10 • 0,15 + 1 = 2,50. Le coût pour faire une conserve dans un pot de 1 L est de 2,50 $.

Pot de 500 mL (5 tomates) : 5 • 0,15 + 0,80 = 2,50. Le coût pour faire une conserve dans un pot de 500 mL est de 1,55 $.

La règle de la fonction à maximiser est C = 2,50x + 1,55y.

On détermine le nombre maximal de tomates qui peuvent être utilisées : 20 • 80 = 1 600

Un maximum de 1 600 tomates peuvent être utilisées.


x ≥ 0

y ≥ 0 10x + 5y ≤ 1 600

y ≥ x x ≥ 50


40 80 120 160 200 2400

40

80

120

160

200

240

280 320

Nombre de pots de 1 L

280

320

Nom

bre

de p

ots

de 5

00 m

L La corvée de tomates

A

B

C




A(50, 220) : C = 2,50(50) + 1,55(220) = 466

B(3203

, 3203 ) : C = 2,50(320

3 ) + 1,55(3203 ) = 432

C(50, 50) : C = 2,50(50) + 1,55(50) = 202,50

Au maximum, la famille Gagnon peut faire 50 pots de 1 L et 220 pots de 500 mL. Il en coûtera alors 466 $ pour effectuer cette corvée de tomates.

19. Un problème du xixe siècle

Système d’inéquations, polygone de contraintes


On détermine d’abord les neuf inéquations qui traduisent les conditions de la question.

On peut exprimer la mesure de la première partie x en fonction des deux autres parties :

1. La mesure de la première partie x est supérieure à 0. x > 0

2. La mesure de la première partie x ne dépasse pas le double de la mesure de la deuxième partie y. x ≤ 2y

3. La mesure de la première partie x ne dépasse pas le double de la mesure de la troisième partie 1 – x – y.

x ≤ 2(1 – x – y) x ≤ 2 – 2x – 2y 3x ≤ 2 – 2y 2y ≤ –3x + 2

y ≤ –32 x + 1

On peut exprimer la mesure de la deuxième partie y en fonction des deux autres parties :

4. La mesure de la deuxième partie y est supérieure à 0. y > 0

5. La mesure de la deuxième partie y ne dépasse pas le double de la mesure de la première partie x. y ≤ 2x

6. La mesure de la deuxième partie y ne dépasse pas le double de la mesure de la troisième partie 1 – x – y.

y ≤ 2(1 – x – y) y ≤ 2 – 2x – 2y 3y ≤ –2x + 2

y ≤ –23

x + 23

On peut exprimer la mesure de la troisième partie 1 – x – y en fonction des deux autres parties :

7. La mesure de la troisième partie 1 – x – y est supérieure à 0.

1 – x – y > 0 y < –x + 1

8. La mesure de la troisième partie 1 – x – y ne dépasse pas le double de la mesure de la première partie x.

1 – x – y ≤ 2x –y ≤ 3x – 1 y ≥ –3x + 1

9. La mesure de la troisième partie 1 – x – y ne dépasse pas le double de la mesure de la deuxième partie y.

1 – x – y ≤ 2y –3y ≤ x – 1 y ≥

–x3

+ 13

On trace le polygone de contraintes représentant la situation :

Manuel • p. 60

20. Musique !

Recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation


a) La règle de la fonction à minimiser est C = 2x + 2,50y.

Les coordonnées des sommets sont (2, 6), (5, 3) et (12, 3).

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,600

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70 0,80 x

0,70

0,80

y

0,90

1

0,90 1

A

B

C

D

E

F




(2, 6) : C = 2(2) + 2,50(6) = 19

(5, 3) : C = 2(5) + 2,50(3) = 17,50

(12, 3) : C = 2(12) + 2,50(3) = 31,50

Le sommet de coordonnées (5, 3) correspond au coût minimal. Edward a acheté cinq chansons sur le premier site et trois chansons sur le deuxième site. Il a payé 17,50 $.

b) Le nombre de chansons achetées sur chaque site serait demeuré le même. C’est la règle de la fonction à minimiser qui change puisque le coût unitaire d’une chanson est modifié :

C = 1,4x + 1,75y

Edward aurait donc pu payer 12,25 $ au lieu de 17,50 $ pour le même nombre de chansons.

c) Il faut reprendre le polygone de contraintes, y représenter l’inéquation y ≥ x et déterminer les coordonnées des sommets du nouveau polygone de contraintes.

Les coordonnées des nouveaux sommets sont (4, 4) et (12, 12).

On évalue la fonction à minimiser pour chacun des nouveaux sommets :

(4, 4) : C = 2(4) + 2,50(4) = 18

(12, 12) : C = 2(12) + 2,50(12) = 54

Avec l’ajout de la nouvelle contrainte, Edward aurait acheté quatre chansons sur chacun des deux sites et aurait payé 18 $.

10

123456789

101112

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Nombre de chansons achetées à 2,00 $

Nom

bre

de c

hans

ons

ache

tées

à 2

,50 $

Le coût des chansons achetées dans Internet

21. La bonne décision



On cherche à déterminer le nombre d’actions que le courtier a achetées en tenant compte de toutes les contraintes, sachant qu’Omar voulait avoir le plus grand nombre d’actions possibles.

x : le nombre d’actions de la compagnie AZX y : le nombre d’actions de la compagnie BST

La règle de la fonction à maximiser est N = x + y.


x ≥ 0

y ≥ 0

6,25x + 7,5y ≤ 3 000 7,5y ≥ 6,25x 6,25x ≥ 900 7,5y ≥ 900


Les coordonnées des sommets A, B et C peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(144, 280), B(240, 200) et C(144, 120).

80 160 240 320 400 4800

80

160

240

320

400

480

560 640

Nombre d’actions de la compagnie AZX

560

640

Nom

bre

d’ac

tion

s de

la c

ompa

gnie

BST

Les actions d’Omar

A

B

C



Le sommet B de coordonnées (240, 200) correspond au plus grand nombre possible d’actions que le courtier en valeurs mobilières a pu acheter, soit 440 actions.

En vendant les actions des deux compagnies trois mois plus tard, Omar réalise un profit de 4,25 $ par action vendue.

La règle de la fonction à maximiser est P = 4,25x + 4,25y.


A(144, 280) : P = 1 802 $

B(240, 200) : P = 1 870 $

C(144, 120) : P = 1 122 $

Omar a bien fait de dire à son courtier d’acheter le plus grand nombre d’actions possibles. Il n’aurait pas pu faire un profit plus grand.

Manuel • p. 61

22. Un beau magot

Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, coordonnées d’un polygone de contraintes


Il faut déterminer le nombre de billets de 10 $, 20 $ et 100 $. On cherche à minimiser le montant d’argent.

x : le nombre de billets de 10 $ y : le nombre de billets de 20 $

30 – x – y : le nombre de billets de 100 $

La règle de la fonction à minimiser est M = 10x + 20y + 100(30 – x – y).

On détermine les inéquations traduisant les contraintes de la situation :

y ≥ x + 30 – x – y2y ≥ 30 y ≥ 15

y ≥ x + 10

y ≤ 30 – x – y + 202y ≤ –x + 50

y ≤ –x2

+ 25


x ≥ 0

y ≥ 0 y ≥ 15

y ≥ x + 10

y ≤ –x2

+ 25


Les coordonnées des sommets A, B et D peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet C est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation y = 15 et y = x + 10.



A(0, 25) : M = 10(0) + 20(25) + 100(5) = 1 000

B(10, 20) : M = 10(10) + 20(20) + 100(0) = 500

C(5, 15) : M = 10(5) + 20(15) + 100(10) = 1 350

D(0, 15) : M = 10(0) + 20(15) + 100(15) = 1 800

Au minimum, il y a 500 $ dans cette liasse de billets.

23. Boisson aux fruits

Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation


a) L’objectif est de minimiser la quantité de sucre dans la boisson aux fruits.

x : la quantité de jus de fruits (L) y : la quantité de boisson gazeuse (L)

La règle de la fonction à minimiser est Q = 90x + 120y.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

26 28 30 32

Nombre de billets de 10 $

28

Nom

bre

de b

illet

s de

20

$

La liasse de billets

A

B

CD




x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≥ 4,5

xy ≥ 2

x

y ≤ 3


Les coordonnées du sommet A peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet B est, pour sa part, le point de ren-contre des droites d’équation x

y = 3 et x + y = 4,5.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(3, 1,5) et B(3,375, 1,125).

On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets.

A(3, 1,5) : Q = 90(3) + 120(1,5) = 450

B(3,375, 1,125) : Q = 90(3,375) + 120(1,125) = 438,75

La solution optimale, soit 438,75 g de sucre, correspond au sommet B de coordonnées (3,375, 1,125).

Alain devrait utiliser 3,375 L de jus de fruits et 1,125 L de boisson gazeuse pour minimiser la quantité de sucre.

b) 120 g3

= 40 g de sucre dans le soda à saveur de lime

La nouvelle règle de la fonction à minimiser est Q = 90x + 40y.


A(3, 1,5) : Q = 90(3) + 40(1,5) = 330

10,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 60

1

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

2

3

4

5

6

Quantité de jus de fruits (L)

Qua

ntit

é de

boi

sson

gaz

euse

(L)

La boisson aux fruits

A

B

B(3,375, 1,125) : Q = 90(3,375) + 40(1,125) = 348,75

La solution optimale, soit 330 g de sucre, corres-pond au sommet A de coordonnées (3, 1,5).

Dans ce cas, Alain devrait utiliser 3 L de jus de fruits et 1,5 L de soda à saveur de lime pour minimiser la quantité de sucre.

24. Combien coûte un bain ?



Il faut d’abord déterminer le coût maximal et minimal d’un bain.

x : la quantité d’eau chaude (L) y : la quantité d’eau froide (L)

La règle de la fonction à optimiser est

C = 0,25100

(x + y) + 0,40100

y.


x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≥ 150

x + y ≤ 200

60x + 10yx + y

≥ 34

60x + 10yx + y

≤ 38

On trace le polygone de contraintes qui représente la situation.

20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140 160

Quantité d’eau chaude (L)

140

160

Qua

ntit

é d’

eau

froi

de (

L)

Le coût d’un bain

A

B

C

D



Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation 60x + 10y

x + y = 34 et x + y = 150. Le

sommet B est, pour sa part, le point de rencontre

des droites d’équation 60x + 10yx + y

= 34 et x + y = 200.

Le sommet C est le point de rencontre des droites

d’équation 60x + 10yx + y

= 38 et x + y = 200. Enfin,

le sommet D est le point de rencontre des droites

d’équation 60x + 10yx + y

= 38 et x + y = 150.



A(72, 78) : C = 0,25100

(72 + 78) + 0,40100

(78) = 0,687

B(96, 104) : C = 0,25100

(96 + 104) + 0,40100

(104) = 0,916

C(112, 88) : C = 0,25100

(112 + 88) + 0,40100

(88) = 0,852

D(84, 66) : C = 0,25100

(84 + 66) + 0,40100

(66) = 0,639

L’eau utilisée lorsque Sabrina prend un bain coûte au maximum environ 0,92 $ et au minimum environ 0,64 $.

Lorsque Sabrina prend une douche, on considère que x + y = 50. Donc, les coordonnées des nouveaux sommets à utiliser pour calculer combien il en coûte lorsqu’elle prend une douche au lieu d’un bain sont les points de rencontre des droites d’équation

x + y = 50, 60x + 10yx + y

= 34 et 60x + 10yx + y

= 38.

Les coordonnées des nouveaux sommets sont (24, 26) et (28, 22).

On évalue la fonction à optimiser pour ces sommets :

(24, 26) : C = 0,25100

(24 + 26) + 0,40100

(26) = 0,229

(28, 22) : C = 0,25100

(28 + 22) + 0,40100

(22) = 0,213

L’eau utilisée lorsque Sabrina prend une douche rapide coûte au maximum environ 0,23 $ et au minimum environ 0,21 $.

Économie :

Coût maximal : 0,92 – 0,23 = 0,69

Coût minimal : 0,64 – 0,21 = 0,43

L’économie totale réalisée lorsque Sabrina prend une douche rapide au lieu d’un bain se situe entre 0,43 $ et 0,69 $.

Manuel • p. 62

25. Nouveau départ



a) L’objectif est de minimiser le montant déboursé par Nicolas.

x : le nombre de verres sur pied y : le nombre de verres ballons

La règle de la fonction à minimiser est M = 1,50x + 0,75y.


x ≥ 0

y ≥ 0

y ≥ 4 x ≥ 4

x ≥ 16

y ≤ x + 2


Les coordonnées des sommets A et B peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(16, 18) et B(16, 4).

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

26 28 30 32

Nombre de verres sur pied

28

Nom

bre

de v

erre

s ba

llons

Les achats de Nicolas

A

B




A(16, 18) : M = 1,50(16) + 0,75(18) = 37,50

B(16, 4) : M = 1,5(16) + 0,75(4) = 27

La solution optimale correspond au sommet B de coordonnées (16, 4). Nicolas devrait débourser au minimum 27 $ pour répondre à ses besoins.

b) La nouvelle fonction à minimiser est M = 1,50x + 0,50y.

On évalue la fonction à minimiser pour le sommet :

B(16, 4) : M = 26 $

Nicolas n’a toujours pas suffisamment d’argent.

c) On retire l’inéquation x ≥ 16 du système d’iné-quations et on ajoute la nouvelle contrainte 1,50x + 0,50y ≤ 14.

On trace le polygone de contraintes qui représente la nouvelle situation :

Le plus grand nombre de verres possible corres-pond au point ayant des coordonnées entières situé le plus près du sommet A, c’est-à-dire (6, 8), ou au point de coordonnées (7, 7).

Nicolas peut donc acheter six verres sur pied et huit verres ballons ou sept verres sur pied et sept verres ballons avec ses 14 $ tout en respec-tant les autres contraintes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13 14 15 16

Nombre de verres sur pied

14

15

16

17

Nom

bre

de v

erre

s ba

llons

Les achats de Nicolas

A

BC

D

26. Le fromage de chez nous

Polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes, recherche de la solution optimale


a) La fonction à minimiser est C = 8x + 12y.

On trace d’abord le polygone de contraintes associé au système d’inéquations ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction à minimiser :

Les coordonnées des six sommets du polygone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(30, 40), B(40, 40), C(50, 30), D(50, 20), E(40, 20) et F(30, 30).

Le sommet E correspond à la solution optimale.

Pour minimiser les coûts, il faut produire 40 kg de cheddar et 20 kg de brie.

b) La fonction à maximiser est R = 24x + 26y.

105 15 25 35 45 55 65 7520 30 40 50 600

10

5

15

25

35

45

55

65

75

20

30

40

50

60

70 80

Quantité de cheddar (kg)

70

80

Qua

ntit

é de

bri

e (k

g)

La production de fromage

A B

C

DE

F



On reprend le même polygone de contraintes qu’en a et on trace la droite baladeuse associée à la nouvelle fonction à maximiser :

Le sommet C correspond à la solution optimale.

Pour maximiser les revenus, il faut produire 50 kg de cheddar et 30 kg de brie.

c) La fonction à maximiser est P = 16x + 14y.

On reprend le même polygone de contraintes qu’en a et on trace la droite baladeuse associée à la nouvelle fonction à maximiser :


Qua

ntit

é de

bri

e (k

g)


105 15 25 35 45 55 65 7520 30 40 50 600

10

5

15

25

35

45

55

65

75

20

30

40

50

60

70 80

70

80

A B

C

D

F

E


Qua

ntit

é de

bri

e (k

g)


105 15 25 35 45 55 65 7520 30 40 50 600

10

5

15

25

35

45

55

65

75

20

30

40

50

60

70 80

70

80

A B

C

DE

F

Le sommet C correspond à la solution optimale.

Pour maximiser les profits, il faut produire 50 kg de cheddar et 30 kg de brie.

Manuel • p. 63

27. Sur les ailes d’Air Fleurdelisé (1)



a) R = 75x + 15y

b) On trace le polygone de contraintes qui repré-sente la situation :

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x + y = 720 et x = 240. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 100x + 20y = 36 000 et x + y = 720. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation 100x + 20y = 36 000 et y = x + 120. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 240 et y = x + 120.


50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

300

350 400

Prix d’un siège en classe économique ($)

350

400

450

500

Prix

d’u

n si

ège

en c

lass

e af

fair

es (

$)

Le vol Montréal-Toronto

A

B

C

D




A(240, 480) : R = 75(240) + 15(480) = 25 200

B(270, 450) : R = 75(270) + 15(450) = 27 000

C(280, 400) : R = 75(280) + 15(400) = 27 000

D(240, 360) : R = 75(240) + 15(360) = 23 400

La solution optimale, soit 27 000 $, correspond aux sommets B et C ainsi qu'à tous les points situés sur la droite BC.

Ainsi, le prix en classe économique pourrait varier de 270 $ à 280 $ et celui en classe affaires devrait alors prendre la bonne valeur parmi celles comprises entre 400 $ et 450 $.

c) Le revenu maximal serait de 27 000 $.

28. Sur les ailes d’Air Fleurdelisé (2)

Modification des conditions d’une situation


a) On reprend les sommets trouvés à la question 27. La règle de la nouvelle fonction à maximiser est R = 80x + 10y.


A(240, 480) : R = 24 000 $

B(270, 450) : R = 26 100 $

C(280, 400) : R = 26 400 $

D(240, 360) : R = 22 800 $

L’hypothèse de Gabrielle a un effet sur les prix optimaux et le revenu généré par le vol. Le prix d’un siège en classe économique devrait être de 280 $ et celui d’un siège en classe affaires devrait être de 400 $. Le revenu maximal serait alors de 26 400 $.

b) On ajoute la nouvelle contrainte y > = 425 dans le polygone de contraintes qui représente la situation :

Les coordonnées des nouveaux sommets sont A(240, 480), B(270, 450), C(275, 425) et D(240, 425).


A(240, 480) : R = 80(240) + 10(480) = 24 000

B(270, 450) : R = 80(270) + 10(450) = 26 100

C(275, 425) : R = 80(275) + 10(425) = 26 250

D(240, 425) : R = 80(240) + 10(425) = 23 450

La solution optimale correspond au sommet C et à un revenu de 26 250 $. L’ajout de la contrainte du directeur diminue de 150 $ les revenus maximaux.

50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

300

350 400

Prix d’un siège en classe économique ($)

350

400

450

500

Prix

d’u

n si

ège

en c

lass

e af

fair

es (

$)

Le vol Montréal-Toronto

A

D C

B



b) On ajoute la nouvelle contrainte y > = 425 dans le polygone de contraintes qui représente la situation :

Les coordonnées des nouveaux sommets sont A(240, 480), B(270, 450), C(275, 425) et D(240, 425).


A(240, 480) : R = 80(240) + 10(480) = 24 000

B(270, 450) : R = 80(270) + 10(450) = 26 100

C(275, 425) : R = 80(275) + 10(425) = 26 250

D(240, 425) : R = 80(240) + 10(425) = 23 450

La solution optimale correspond au sommet C et à un revenu de 26 250 $. L’ajout de la contrainte du directeur diminue de 150 $ les revenus maximaux.

Manuel • p. 64

29. Consommation d’essence



a) L’objectif est de minimiser la consommation hebdomadaire d’essence de la voiture de Sandra.

x : le nombre de kilomètres parcourus en ville y : le nombre de kilomètres parcourus sur

l’autoroute

La règle de la fonction à minimiser est

C = 7,5100

x + 6100

y.


x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≥ 300

x + y ≤ 500

x ≤ 3y


Les coordonnées des sommets A et D peuvent être lues directement sur le graphique.

Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation x + y = 500 et x = 3y. Le sommet C est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x + y = 300 et x = 3y.


100 200 300 400 500 6000

100

200

300

400

500

600

Nombre de kilomètresparcourus en ville

Nom

bre

de k

ilom

ètre

spa

rcou

rus

sur

l’aut

orou

te

La voiture de Sandra

A

B

C

D


A(0, 500) : C = 7,5100

(0) + 6100

(500) = 30

B(375, 125) : C = 7,5100

(375) + 6100

(125)

= 35,625

C(225, 75) : C = 7,5100

(225) + 6100

(75) = 21,375

D(0, 300) : C = 7,5100

(0) + 6100

(300) = 18

La solution optimale correspond au sommet D. Au minimum, la voiture de Sandra consomme 18 L d’essence par semaine.

b) Cette consommation correspond à 0 km en ville et à 300 km sur l’autoroute.

c) La nouvelle règle de la fonction à minimiser est

C = 8,5100

x + 7100

y.


A(0, 500) : C = 8,5100

(0) + 7100

(500) = 35

B(375, 125) : C = 8,5100

(375) + 7100

(125) = 40,625

C(225, 75) : C = 8,5100

(225) + 7100

(75) = 24,375

D(0, 300) : C = 8,5100

(0) + 7100

(300) = 21

La réponse en a est modifiée. Au minimum, la voiture de Sandra consomme 21 L au lieu de 18 L. La réponse en b reste la même.

30. Bon voyage !

Recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation


a) L’objectif est de minimiser le coût du voyage.

La règle de la fonction à minimiser est C = 40x + 60y.


A(12, 12) : C = 40(12) + 60(12) = 1 200

B(15, 6) : C = 40(15) + 60(6) = 960

C(24, 6) : C = 40(24) + 60(6) = 1 320

La solution optimale correspond au sommet B. Lucie parcourra 1 500 km en six jours pour un coût de 960 $.



b) Les réponses ne seraient pas différentes, car on retirerait le sommet C et on ajouterait les coor-données des deux nouveaux sommets, soit D(20, 6) et E(20, 20). Ce serait toujours le sommet B qui correspondrait à la solution optimale.

c) En ajoutant la nouvelle contrainte, le sommet B ne ferait plus partie du nouveau polygone de contrain-tes. Il y aurait un nouveau sommet F(13, 10) qui est le point de rencontre des droites d’équation y = 10 et y = –2x + 36.

On évalue la fonction à minimiser pour le nouveau sommet :

F(13, 10) : C = 40(13) + 60(10) = 1 120

Elle parcourrait 1 300 km en 10 jours et le voyage lui coûterait 1 120 $.

Manuel • p. 65

31. Inégalités du triangle

Contraintes d'un problème, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes


Dans cette situation, la mesure des trois côtés du terrain triangulaire est inconnue. Par contre, il y a une relation entre la mesure des deux côtés : un côté mesure le double de l’autre. On représente un des côtés ayant cette relation par x et l’autre, par 2x. On représente le troisième côté par y. Les variables de la situation sont donc les suivantes.

x : la mesure d’un côté du terrain (m) y : la mesure du troisième côté du terrain (m)

On représente la situation par le système d’inéquations suivant, sachant que la situation met en relation la mesure de chacun des côtés d’un terrain triangulaire, le périmètre du terrain et la propriété voulant que la somme des mesures de n’importe quelle paire de côtés de tout triangle est toujours plus grande que la mesure du troisième côté.

x > 0

y > 0

80 ≤ 3x + y ≤ 100

x + 2x > y ou 3x > y

x + y > 2x ou y > x

2x + y > x ou y > –x


105 15 25 35 45 5520 30 40 50 600

10

5

15

25

35

45

55

20

30

40

50

60

Mesure d’un côté du terrain (m)

Mes

ure

du t

rois

ièm

e cô

té d

u te

rrai

n (m

) Un terrain triangulaire

D

A

B

C

Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation 3x = y et 3x + y = 80. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x = y et 3x + y = 80. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation x = y et 3x + y = 100. Enfin, le sommet D est le point de ren-contre des droites d’équation 3x = y et 3x + y = 100.


de contraintes sont A(403

, 40), B(20, 20), C(25, 25)

et D(503

, 40). Dans la détermination des mesures de côtés, on doit

tenir compte du fait qu’aucun sommet du polygone de contraintes ne fait partie de la région-solution. Le troisième côté, représenté par la variable y, peut prendre toutes les valeurs, en mètres, qui se situent dans l’intervalle ]20, 50[. Sachant cela, on peut associer ces valeurs aux bonnes mesures pour les deux autres côtés du terrain triangulaire pour que les contraintes soient respectées.

32. Des réparations urgentes

Contraintes d'un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d'une situation


Pour être en mesure de vérifier l’affirmation de Bernard, on doit d’abord définir les variables de la situation, puis la traduire à l’aide d’un système d’inéquations du premier degré à deux variables en tenant compte des contraintes de temps et de budget.

x : le nombre de réparations effectuées par Laflèche Électrique inc.

y : le nombre de réparations effectuées par Électricité 100 watts inc.



x ≥ 0

y ≥ 0

30 ≤ x ≤ 60

y ≤ 80

150x + 250y ≤ 15 000


Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 30 et 150x + 250y = 15 000. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x = 30 et y = 0. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation x = 60 et y = 0. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation 150x + 250y = 15 000 et x = 60.


On calcule, pour chaque sommet, le nombre total de réparations et le budget correspondant.

Sommet A Nombre de réparations effectuées : 30 + 42 = 72 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 42 = 15 000

Sommet B Nombre de réparations effectuées : 30 + 0 = 30 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 0 = 4 500

Sommet C Nombre de réparations effectuées : 60 + 0 = 60 Budget correspondant : 150 • 60 + 250 • 0 = 9 000

Sommet D Nombre de réparations effectuées : 60 + 24 = 84 Budget correspondant : 150 • 60 + 250 • 24 = 15 000

50

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

30

35

40

45

505560

2520

15105

Nombre de réparations effectuées par Laflèche Électrique inc.

65

707580

85

Des réparations urgentes

Nom

bre

de r

épar

atio

ns e

ffec

tuée

spa

r Él

ectr

icit

é 10

0 w

atts

inc.

A

B C

D

Selon les contraintes actuelles de la situation, il n’est effectivement pas possible d’atteindre l’objectif de 90 réparations à faire en quatre jours sans dépenser plus de 15 000 $. En fait, il n’est possible de faire que 84 réparations au maximum, c’est-à-dire 60 réparations effectuées par Laflèche Électrique inc. et 24 réparations effectuées par Électricité 100 watts inc.

On doit donc modifier les contraintes de temps ou de budget pour atteindre l’objectif, qui est d’effectuer 90 réparations. On commence par modifier la contrainte de temps en ajoutant une journée de plus à l’échéancier des travaux, qui seraient terminés en cinq jours plutôt qu’en quatre. On traduit la situation avec la nouvelle contrainte de temps par un système d’inéquations et on trace le polygone de contraintes qui représente la situation modifiée.



x ≥ 0

y ≥ 0

30 ≤ x ≤ 75

y ≤ 100

150x + 250y ≤ 15 000

Les coordonnées des sommets E et F sont les mêmes que celles des sommets A et B du polygone de contraintes de la situation initiale, soit E(30, 42) et F(30, 0).

50 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

30

35

40

45

505560

2520

15105


70

75

80

85

9095

100

65

105


Nom

bre

de r

épar

atio

ns e

ffec

tuée

spa

r Él

ectr

icit

é 10

0 w

atts

inc.

E

F G

H



Le sommet G est le point de rencontre des droites d’équation x = 75 et y = 0. Le sommet H est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 150x + 250y = 15 000 et x = 75.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont E(30, 42), F(30, 0), G(75, 0) et H(75, 15).

On calcule, pour chaque sommet, le nombre total de réparations et le budget correspondant :

Sommet E Nombre de réparations effectuées : 30 + 42 = 72 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 42 = 15 000

Sommet F Nombre de réparations effectuées : 30 + 0 = 30 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 0 = 4 500

Sommet G Nombre de réparations effectuées : 75 + 0 = 75 Budget correspondant : 150 • 75 + 250 • 0 = 11 250

Sommet H Nombre de réparations effectuées : 75 + 15 = 90 Budget correspondant : 150 • 75 + 250 • 15 = 15 000

En modifiant la contrainte de temps, soit en passant de quatre à cinq jours pour effectuer les travaux, l’objectif de 90 réparations est atteint. Laflèche Électrique inc. effectuera 75 réparations et Électricité 100 watts inc. effectuera 15 réparations, pour un total de 90 réparations. Le tout coûtera 15 000 $, ce qui correspond au budget alloué.

On peut également modifier la contrainte de budget en augmentant le budget total alloué aux réparations pour que les 90 réparations soient faites en quatre jours, tout en conservant ce budget à son minimum. On traduit la situation modifiée à l’aide d’un système d’inéquations du premier degré en tenant compte de cette nouvelle contrainte et on trace le polygone de contraintes qui représente la situation modifiée :



x ≥ 0

y ≥ 0

30 ≤ x ≤ 60

y ≤ 80

x + y ≥ 90

Le sommet I est le point de rencontre des droites d’équation y = 80 et x = 30. Le sommet J est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x + y = 90 et x = 30. Le sommet K est le point de rencontre des droites d’équation x = 60 et x + y = 90. Enfin, le sommet L est le point de rencontre des droites d’équation x = 60 et y = 80.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont I(30, 80), J(30, 60), K(60, 30) et L(60, 80).

L’objectif est de minimiser la valeur du budget selon le nombre de réparations à effectuer par chaque compagnie. La fonction à minimiser est B = 150x + 250y.

On calcule, pour chaque sommet, le nombre total de réparations et le budget correspondant :

Sommet I(30, 80) Nombre de réparations effectuées : 30 + 80 = 110 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 80 = 24 500

Sommet J(30, 60) Nombre de réparations effectuées : 30 + 60 = 90 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 60 = 19 500

Sommet K(60, 30) Nombre de réparations effectuées : 60 + 30 = 90 Budget correspondant : 150 • 60 + 250 • 30 = 16 500

Sommet L(60, 80) Nombre de réparations effectuées : 60 + 80 = 140 Budget correspondant : 150 • 60 + 250 • 80 = 29 000

Le budget doit être augmenté d’un minimum de 1 500 $, pour atteindre 16 500 $, afin que les 90 réparations soient effectuées en quatre jours.

50 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

30

35

40

45

505560

6570

7580

8590

2520

15105



Nom

bre

de r

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inc.

I L

K

J



Manuel • p. 66

33. Transport au meilleur coût



L’objectif est de minimiser le coût total associé au transport des vélos.

x : le nombre de vélos qui partent de l’usine A vers Montréal

y : le nombre de vélos qui partent de l’usine B vers Montréal

350 – x : le nombre de vélos qui partent de l’usine A vers Québec

250 – y : le nombre de vélos qui partent de l’usine B vers Québec

La règle de la fonction à minimiser est C = 7x + 8y + 4(350 – x) + 6(250 – y) ou C = 3x + 2y + 2 900.


x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≥ 200

(350 – x) + (250 – y) ≥ 200


100 200 300 400 500 6000

100

200

300

400

500

600

Nombre de vélos qui partent de l’usine Avers Montréal

Nom

bre

de v

élos

qui

par

tent

de

l’usi

ne B

vers

Mon

tréa

l La production de vélos

A

BC

D

Les coordonnées des sommets A, B, C et D peuvent être lues directement sur le graphique.



A(0, 400) : C = 3(0) + 2(400) + 2 900 = 3 700

B(400, 0) : C = 3(400) + 2(0) + 2 900 = 4 100

C(200, 0) : C = 3(200) + 2(0) + 2 900 = 3 500

D(0, 200) : C = 3(0) + 2(200) + 2 900 = 3 300

La solution optimale, soit 3 300 $, correspond au sommet de coordonnées D(0, 200).

Caroline devrait envoyer 200 vélos de l’usine B vers l’entrepôt de Montréal, aucun vélo de l’usine A vers Montréal, 350 vélos de l’usine A vers Québec et 50 vélos de l’usine B vers Québec pour minimiser les coûts reliés au transport.



Chapitre L’optimisation à l’aide de la programmation ... · 3. Deux droites parallèles ont la...

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