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24/09/2016

Khaled Hassine 1

24/09/2016 1Khaled Hassine

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Par :

Khaled Hassine

CCHAPITREHAPITRE II –– AALGÈBRELGÈBREDEDE BBOOLEOOLE


Théorèmes fondamentaux

Du transistor aux portes logiques

Introduction

Récapitulatif

PLAN

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Variables et fonctions binaires

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Introduction

Récapitulatif

PLAN

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Khaled Hassine

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De Boole à Shannon

George Boole (1815-1864) défini vers 1850 une algèbre applicable aux

raisonnements sur des propositions logiques :une proposition peut être vraie, à la quelle onattribue la valeur 1, ou fausse, dont la valeur est0.

Shannon en 1938 a appliqué cette algèbre à l'analyse des circuits

de commutation : le courant passe ou ne passepas, ce que l'on note également par 1 ou 0.

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Objectifs

Présenter d'une manière simplifiée les conceptsfondamentaux de l’algèbre de Boole en vue deson application aux conceptions des circuits debase d'un ordinateur.

Conception de quelques circuits très utiles pour lefonctionnement d'un ordinateur : combinatoires (additionneur, multiplexeur, ...)

séquentiels (registres, compteur, ...)




Introduction

Récapitulatif

PLAN

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Variables logiques

Une variable logique (ou encore binaire oubooléenne) est une variable dont la valeurappartient à un ensemble de deux élémentsreprésentés en binaire par les symboles 0 et 1.

(A est une variable logique, A {0,1}). Par convention, une variable logique est :

vraie si sa valeur est 1, fausse dans le cas contraire.


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En électronique

Deux états associés à deux niveaux de tension: V(0) et V(1) pour les états 0 (inférieur à +0.8 V) et

1 (+2 V et +5 V ).

On distingue les logiques positive et négativeselon que V(1) > V(0) ou V(1) < V(0).


En électronique …


Fonctions logiques

Une fonction logique (ou booléenne) est unefonction à n variables logiques dont la valeurappartient à l'ensemble {0,1} : F(A1, A2, ..., An) à {0,1}.

Toute fonction logique peut être réalisée àl’aide d’un petit nombre de fonctions logiquesde base aussi appelées opérateurs logiques ouportes (gates)


Table de vérité

La fonction F est parfaitement définie par ladonnée des ses valeurs pour les 2n

combinaisons possibles des n variables. Le tableau de correspondance entre les états d’entrée

et les états de sortie.

Le tableau représentant les 2n valeurs s'appellela table de vérité de la fonction.


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Fonctions logiques à une variable

A F1 : Coupure F2 : Identité F3 : Inverse F4 : Passage

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1


Opérateur complémentation

La fonction F3 : fonction de base très utile. C'est la fonction inverse appelée encore

complémentation ou négation de la variable A se lit : non A ou encore A barre.

À une fonction correspond toujours un opérateurréalisant cette fonction.

L'opérateur de complémentation, appelél’opérateur NON (NOT en anglais).


A

L’opérateur NON ou inverseur

15

A A

Fonctions à deux variables

16

00 01 10 11 ab Remarque

0 0 0 0 F0=0 Constante 0

0 0 0 1 F1=ab Fonction Intersection ET / AND

0 0 1 0 F2

0 0 1 1 F3=a

0 1 0 0 F4

0 1 0 1 F5=b

0 1 1 0 F6=ab Fonction Ou Exclusif / XOR

0 1 1 1 F7=a+b Fonction OU / OR

16 fonctions possibles

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Fonctions à deux variables …

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00 01 10 11 ab Remarque

1 0 0 0 F8 Fonction NAND

1 0 0 1 F9=ab Fonction égalité

1 0 1 0 F10

1 0 1 1 F11

1 1 0 0 F12=a

1 1 0 1 F13

1 1 1 0 F14=a+b Fonction NOR

1 1 1 1 F15=1 Constante 1

16 fonctions possibles

Intersection et réunion

Deux fonctions très importantes qui portentsur deux variables : La fonction intersection (ou produit logique) :

noté A x B (ou ALB)

la fonction réunion (ou somme logique) : noté A+ B (ou encore AnB).


A

BA+B

A

BAB

Fonctions de base

Toute fonction logique peut s'exprimer sous laforme d'une expression faisant intervenir lestrois fonctions : complémentation, produit logique somme logique,

d'où l'appellation «fonctions de base» ou«fonctions fondamentales».


Ou Exclusif

Une autre fonction intéressante à 2 variablesest très utilisée dans la pratique : c'est lafonction OU Exclusif.

L'opérateur de la fonction OU EXCLUSIF(notée et appelé en anglais XOR)


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Principale propriétés de lafonction Ou Exclusif


Porte à Trois Etats

La porte "3 états", ou "tri-state", n'est pas une portelogique au sens strict. Elle est principalement utiliséepour connecter une sortie sur une ligne commune àplusieurs circuits (un bus par exemple).

Elle remplace généralement une porte ET. En effet, lamise en parallèle sur une même ligne de plusieursportes ET introduit des capacités parasites. Ceciaugmente les constantes de temps et a pour effet dedétériorer les fronts de montée et de descente dessignaux. Cela peut perturber le fonctionnement d'unsystème.


Porte à Trois Etats …

Lorsque la commande C est à 0, l'impédance desortie est très grande : pratiquement déconnectée.

Les portes "3 états" fournissent une amplification depuissance.


C A Y Sortie1 0 0 faible impédance1 1 1 faible impédance0 X 0 haute impédance



Introduction

Récapitulatif

PLAN

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Le transistor

Un circuit logique est caractérisé par uncomportement binaire (deux états logiques).

Ceci est facilement obtenu avec des signauxélectriques ayant différentes tensions ouintensités de courant.

En pratique, l'état 0 est associé à une tension qui voisine le 0 L’état 1 pour une tension qui voisine les 5 volts.

Le composant de base d'un circuit logique estle transistor.


Collecteur

Emetteur

Base

Le transistor

Un transistor peut être perçu comme uninterrupteur électronique très rapide construit àbase d'un semi-conducteur (par exemple, lesilicium).


Porte NOT à base de transistor

Son fonctionnement est le suivant : Si Ve (la tension en entrée) voisine

le 0 ( 1 V), le transistor est en étatbloqué. On récupère VCC (égale à5 volts) comme tension en sortie(Vs).

Si Ve (la tension en entrée) voisineles 5 volts ( 2 V), le transistor esten état passant et la terre absorbetoute la tension VCC. La tension desortie (Vs) est alors nulle.


VCC

Ve

Vs

Porte NAND à base de transistor


VCC

Ve1

Ve2

Vs

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Porte NOR à base de transistor


VCC

Vs

Ve1 Ve2

Les circuits intégrés logiques

Les circuits intégrés logiques (CI, CIL, puce ouencore Chip) sont des composantes à base de semi-conducteur (le silicium), de taille 5 x 5 mm, quicontient des composants électroniques tels que lestransistors, les diodes, les résistances et les capacités..


Circuit intégré Broches

Circuits intégrés


Les circuits intégrés logiques

Les diverses composantes sont interconnectées dans la puce defaçon à former le circuit électronique.

Un circuit intégré est encapsulé dans un boîtier (Package enanglais) rectangulaire en plastique ou en céramique de 5 à 15 mmde long. Sur les deux long cotés de ce boîtier sont disposés, demanière symétrique, des broches (ou pattes) permettant d'assurerdes connexions électriques (entrés, sorties, alimentations, ...), d'oùl'appellation de ces circuits DIP (Dual Inline Package : Boîtiers àdeux rangées de connexions symétriques).

On n'accède au circuit interne qu'à partir des broches (externes)dont le nombre est normalisé. Les boîtiers les plus usuels disposentde 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40, 64 et 68 broches.

Il existe aussi d'autres présentations carrées disposant desconnexions reparties sur les 4 côtés ou en dessous du boîtier.


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Echèle d’intégration

Nom Signification Année de sortieNombre

de transistorsNombre de portes

logiques par boîtier3

SSIsmall-scale

integration1964 1 à 10 1 à 12

MSImedium-scale

integration1968 10 à 500 13 à 99

LSI large-scale integration 1971 500 à 20 000 100 à 9 999

VLSIvery large-scale

integration1980 20 000 à 1 000 000 10 000 à 99 999

ULSI ultra-scale integration 19844 1 000 000 et plus 100 000 et plus


Circuits intégrés logiques

Les circuits intégrés logiques sont classés en 5 famillesselon leur densité d'intégration (nombre de portes/mm2)

Ces distinctions ont peu à peu perdu de leur utilité avec lacroissance exponentielle du nombre de portes.

Aujourd'hui plusieurs centaines de millions de transistors(plusieurs dizaines de millions de portes) représentent unchiffre normal (pour un microprocesseur ou un circuitintégré graphique haut de gamme).

Afin de parvenir à de tels niveaux d'intégrations, un flot deconception complexe est utilisé.


Les différentes familles de circuitsintégrés

Les circuits intégrés sont classés par famille. Chaque famille ason propre circuit électronique de base qui est en général laporte NAND ou la porte NOR.


Abréviation Nom complet Circuit de base

TTL Tansistor Transistor Logic NAND

ECL Emitter Coupled Logic (logique à émetteur couplé) NOR ou OR

MOS Metal Oxyde Semi-conducteur

CMOS Complementary MOS NAND, NOR

I2L Integrated Injection Logic (logique à injectionintégrée)

NOR

Paramètres de comparaison descircuits intégrés

Fan out : le nombre d'utilisations du signal de sortie(d'une porte) comme signal d'entrée à d'autres portes

Puissance dissipée : puissance consommée par uneporte et qui doit être disponible à l'alimentation.

Délai de propagation : intervalle de temps que met unsignal pour se propager de l'entrée d'un circuit à sasortie. La vitesse d'exécution est inversementproportionnelle au délai de propagation.

Immunité au bruit ou marge de bruit minimum quiaffecte la valeur de sortie d'un signal.


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Fan out


AB

CD

Fan out de A = 2 - Fan out de B = 1- Fan out de C =1

Emitter Coupled Logic : ECL

Développé dés 1963 par Motorola, le circuitde base de la technologie ECL est la porteNOR (ou OR)


Délai depropagation

Puissancedissipée

Immunité aubruit

Fan out

ECL environ 1.5 ns 250 mW 0.3 V > 7

(A + B)A + B

A

B

NORDeux portes sont disponibles.

OR

Tansistor Tansistor Logic : TTL

Le circuit de base pour la famille logique TTLest la porte NAND. Le Fan out pour la familleTTL = 10.


Série Nom de la version Abrégé Délai depropagation (ns)

Puissance dissipéepar porte (mW)

Immunitéau bruit

74 Standard serie 74 TTL 10 10 0.4 V à 1 V74L Low Power 47L

puissance basse)LTTL 33 1 0.4 V

74H High Speed (grandevitesse)

HTTL 6 22 0.4 V

74S Schottky 74S STTL 3 19 0.4 V74LS Low Power Schottky LSTTL 9.5 2

Exemples de circuits intégrés TTL(de Texas Instruments)


12 11 101314 9 8

2 3 41 5 6 7Ground (masse)

Fonction : Y = A

SN 7404

6A 6Y 5A 4A5Y 4Y

1A 1Y 2A 3A2Y 3Y

12 11 101314 9 8

2 3 41 5 6 7Ground (masse)

VCC

Fonction : Y = A. B

SN 7403

4A 4B 4Y 3B3A 3Y

1A 1B 1Y 2B2A 2Y

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Metal Oxyde Semi-conducteurMOS

Le principal inconvénient de la famille MOSpar rapport à TTL et ECL est le grand délai depropagation. Par contre, ils offrent une grandedensité d'intégration / puce.



Puissancedissipée

Immunité aubruit

Fan out

CMOS 25 ns 15 µW 2.4 V >50

Integrated Injection Logic I2L


Puissancedissipée

Densitéd'intégration

Tensiond'alimentation

I2L 25 ns à 250ns

6 nW à 70µW

200portes/mm2

1 à 15 V




Introduction

Récapitulatif

PLAN

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Liste des théorèmes


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Remarques

La loi d'inversion est aussi dite loi decomplémentarité.

Les lois d'absorption et de De Morgan sont utilespour la simplification des expressions logiques. Leslois de "De Morgan" permettent, en particulier, detrouver le complément d'un élément d'expressionbooléenne. Il faut pour cela : Changer les opérations ET en opérations OU et vice versa. Complémenter chaque terme de l'expression.


Exemple


CBA

CBAE

)CB(AE

la forme oude la loi de"De Morgan"

la forme etde la loi de"De Morgan"

Autres relations intéressantes


AA

BAAABABAA ))((

ABABA ))((

La loi de De Morgan peut facilement être généralisée à Nvariables binaires

nn AAAAAA 2121nn AAAAAA 2121

Démonstration de la loi dedistributivité

(A+B)(A+C)

= AA + AC + AB + BC

= A + AC + AB + BC

= A (1+B+C)+BC

= A + BC


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Démonstration du théorème deConsensus


CAABCABCAB Forme ET :

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

AB AC AB C C AC B B

ABC ABC ACB ACB

BC A A ABC ACB

BC ABC ACB B C AC ACB

B C A ACB BC AB ACB

AB C B AB AB C B A

AB CB C A

Démonstration du théorème deConsensus


Forme OU : ( )( )( ) ( )( )A B B C A C A B A C

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

A B B C A C AB BB AC BC A C

AB B AC BC A C B AC A C

AB AAC CB ACC AB CB AC

( )( )A B A C AB CB AC

Exemple d'utilisation du théorèmede consensus


( ) ( )

( ) ( )

BC BCD ABD ABC ABCD ACD

BC ABD ABC ABCD ACD

B C AC ABD CD AB A

B C A ABD CD B A

BC BA ABD CDB CDA

BC BA ABD CDAB

BC ABD AB CDAB

BC ABD AB CD


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Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations oud'instructions permettant de résoudre un problème. Le motalgorithme vient du nom latinisé du mathématicien Al-Khawarizmi, surnommé « le père de l'algèbre ». ...

Un algorithme est une méthode générale pour résoudre unensemble de problèmes. Il est dit correct lorsque, pourchaque instance du problème, il se termine en produisant la bonnesortie, c'est-à-dire qu'il résout le problème posé. Onmesure l'efficacité d'un algorithme notamment par sa durée decalcul, par sa consommation de mémoire RAM (en partant duprincipe que chaque instruction a un temps d'exécution constant),par la précision des résultats obtenus , etc.


Généralité sur les algorithmesConcept de complexitéVecteurs et matricesReprésentation interneCalculs numériques approchés

Définition d’un algorithmeStructure d’un algorithmeTypes des donnéesTypes d’instructions

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