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Chapitre IV : Modélisation du trafic

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Chapitre IV :Modélisation du trafic

La modélisation du trafic cherche à fournir une représentation simplifiée duphénomène complexe qu’est la circulation automobile afin de permettre une meilleurecompréhension de ses mécanismes internes et des paramètres qui déterminent sonévolution. Cette connaissance est utilisée pour prévoir l’évolution du phénomène à partird’un jeu de conditions initiales [Lesort, 1995]. Comme tout modèle, un modèle de trafic nepeut fournir une représentation exacte de la réalité tant celle-ci est la résultante demultiples interactions entre les véhicules qui composent le flux.

Plusieurs types de modèle existent et se distinguent par la finesse avec laquelle ilsreproduisent l’écoulement des véhicules. Ainsi, chaque modèle permet une représentationplus ou moins simplifiée des phénomènes physiques et se caractérise par une facilité plusou moins grande d’appréhension et de mise en œuvre. Choisir un modèle de trafic, pourune application donnée, consiste donc à déterminer le bon équilibre entre l’échellesouhaitée de représentation des phénomènes et la complexité du modèle retenu. Ce choixest d’autant plus délicat que plus un modèle est complexe, plus il est difficile de garantirque la représentation de l’écoulement fournie par celui-ci correspond bien à celle que laformulation du modèle laisse espérer.

Pour servir de support à un modèle d’estimation dynamique des nuisances sonores,un modèle de trafic doit être capable de reproduire correctement la cinématique desvéhicules durant les phases transitoires. Ce critère est nécessaire pour sélectionner lemodèle mais il n’est pas suffisant. La cohérence des solutions fournies par celui-ci et lamaîtrise de sa complexité sont des éléments tout aussi importants. La recherche d’un telmodèle va se concentrer sur les modèles macroscopiques qui proposent une vision agrégéedu trafic, corrélable avec le comportement moyen du flux, tout en conservant unereprésentation1 de la vitesse permettant l’estimation des niveaux de bruit.

IV.1 Les différents types de modèle de trafic

IV.1.1 Classification « classique » des modèles de trafic

Une première façon de classer les modèles de trafic est de considérer la façon dontils représentent l’écoulement. Cette approche permet de distinguer deux grands types : lesmodèles microscopiques et les modèles macroscopiques [Buisson, 1996]. 1 Il est nécessaire de faire ici la distinction entre représentation de la vitesse qui désigne la faculté du modèleà estimer ce paramètre et modélisation des phases transitoires. Ce dernier point peut nécessiter desmodifications structurelles à apporter au modèle afin que celles-ci soient représentées (cf. Chapitre V).

Un modèle d’écoulement du trafic pour l’estimation du bruit

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Les modèles microscopiques modélisent le comportement individuel de chaquevéhicule (cf. III.2.3.a) en représentant les interactions entre deux véhicules successifs. Lesvariables utilisées pour représenter l’écoulement sont la position ( )x t , la vitesse ( )x t etl’accélération ( )x t de chaque véhicule composant le flux. Cette représentation peut être

qualifiée de lagrangienne.

Les modèles macroscopiques sont fondés sur l’analogie entre la circulation desvéhicules et l’écoulement d’un fluide à l’intérieur d’un canal. Le comportement de ceux-ciest abordé de manière moyenne. Le trafic est représenté par trois variables : le débit Q(x,t),la densité ou concentration K(x,t) et la vitesse du flot V(x,t). Il s’agit d’une représentationeulérienne de l’écoulement puisque la prévalence est donnée au référentiel fixe. Uneparticule (ou un véhicule dans le cas du trafic), située en un point x à l’instant t, possèdeune vitesse v(t) égale à la vitesse du flot en ce point et à cet instant et une accélération a(t)égale à la dérivée particulaire de la vitesse du flot en ce point :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), )

, , ,( ) ,

v t V x t t

DV x t V x t V x ta t V x t

Dt t x

= ∂ ∂ = = + ∂ ∂

La représentation continue du flux de trafic reste une approche conceptuelle carcontrairement à un fluide, le nombre de particules présentes dans une fraction de flux estloin du nombre d’Avogadro. Pour mesurer ces variables macroscopiques sur le terrain, ilest donc nécessaire d’utiliser un échantillonnage spatio-temporel (∆x et ∆t) adapté auxvéhicules :

- Le débit Q est calculé comme le nombre de véhicules N qui passent en un point xentre les instants t et t+∆t

( ), ,( , , )

N x t t tQ x t t t

t

+ ∆+ ∆ =

∆- La concentration K correspond au nombre de véhicules présents entre x et x+∆x àl’instant t

( , , )( , , )

N x x x tK t x t x

x

+ ∆+ ∆ =∆

- La vitesse peut être définie de deux manières : la vitesse moyenne temporelle VT

qui correspond à la moyenne des vitesses des véhicules passant en un point x entreles instants t et t+∆t et la vitesse moyenne spatiale VE qui se calcule comme lamoyenne des vitesses des véhicules entre x et x+∆x à l’instant t. Cette dernièredéfinition est la plus souvent utilisée car il est possible de démontrer que la vitessemoyenne spatiale est égale à la vitesse du flot V.

L’échantillonnage rend plus difficile la comparaison de données de simulationfournies par un modèle macroscopique avec des mesures terrain. En effet, si le pas detemps d’agrégation est court, les mesures se rapprochent de la définition continue desvariables macroscopiques mais elles présentent alors des effets d’escalier marqués. Si, lepas de temps est long, ces effets sont atténués mais la dynamique des phénomènes n’estplus pleinement retranscrite (cf. validation expérimentale - chapitre VIII).


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IV.1.2 Classification intégrant le type de la loi de comportement

La classification des modèles de trafic en deux catégories suivant la représentationdu flux ne permet pas de caractériser toutes les différences conceptuelles existantes entreles modèles [Bourrel, 2000]. Ainsi certains d’entre eux utilisent une représentationmicroscopique du flux, tout en modélisant les interactions entre véhicules par une loicomportementale moyenne. Il s’agit plus dans ce cas d’un modèle macroscopique ayantune résolution microscopique qu’un modèle microscopique en tant que tel.

Pour améliorer la classification des modèles, Bourrel [2000] propose d’utiliser letype de la loi de comportement intégrée au modèle en complément de sa représentationpour le référencer. Ainsi, l’exemple précédent serait classé sous l’appellation« macroscopique/microscopique ». Afin d’éviter les confusions, ce type de modèle seradénommé dans le cadre de cette thèse modèle macroscopique à résolution particulaire.

IV.1.3 Choix de la classe de modèle à étudier

Le chapitre III a montré que les modèles microscopiques à loi de poursuitepermettent de construire des modèles dynamiques d’estimation du bruit mais qu’ils nefournissent pas forcément la meilleure représentation du trafic pour ce type d’application(cf. III.2.3.a).

Les modèles macroscopiques, quant à eux, n’ont jamais fait2 l’objet d’un couplageavec des lois d’émission de bruit. Il est donc intéressant de voir si cette forme dereprésentation du trafic est capable de modéliser les caractéristiques de l’écoulementnécessaires pour évaluer des niveaux de bruit et notamment la cinématique des véhicules.Dans le cadre de cette thèse, le choix a été fait de limiter l’étude des modèles de trafic à laseule classe des modèles macroscopiques.

IV.1.4 Généralités sur les modèles macroscopiques

Le principe général des modèles macroscopiques est d’étudier les interactions entreles véhicules de manière globale, en considérant que l’écoulement du trafic sur une voie estsimilaire à celui d’un fluide dans un canal. L’écoulement est supposé homogène etunidimensionnel suivant la variable x (son évolution temporelle étant représentée par lavariable t). Les trois variables Q, K et V sont reliées entre elles par des lois d’écoulement,bâties sur le même principe que les lois de mécanique des fluides et dont les fondementsont été posés par Lighthill et Whitham [1955] et Richards [1956] :

( ) ( ), ,0 (Equation de conservation)

( , ) ( , ) ( , ) (Définition de la vitesse du flot)

Q x t K x t

x tQ x t K x t V x t

∂ ∂+ =

∂ ∂ =

(IV.1)

Le système (IV.1) doit être complété par une troisième équation indépendante quidécrit le comportement des véhicules. Cette équation est appelée relation fondamentale dumodèle ; elle permet de distinguer les différents types de modèles macroscopiques.

2 A la connaissance de l’auteur


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Deux classes de modèles macroscopiques peuvent être identifiées selon que seulsles états d’équilibre du trafic sont représentés (modèle du 1er ordre), ou que les états de nonéquilibre et les processus de convergence vers l’équilibre sont pris en compte (modèle du2ème ordre). Ces deux classes vont être étudiées dans la suite de ce chapitre.

IV.2 Modèles macroscopiques du 1er ordre

IV.2.1 Description des modèles

IV.2.1.a Fondements des modèles

Les modèles du 1er ordre, appelés aussi modèles de Lighthill Whitham et Richards(LWR), supposent que le système est en permanence à l’équilibre, ce qui se traduit parl’hypothèse selon laquelle la vitesse n’est fonction que de la concentration :

( )( , )eqV V K x t= (IV.2)

En utilisant la définition macroscopique de la vitesse du flot (cf. IV.1), il estpossible de traduire cette équation IV.2 en une relation d’équilibre reliant le débit et laconcentration :

( ) ( )( , ) ( , )eq eqQ KV K x t Q K x t= = (IV.3)

La relation IV.3 est appelée diagramme fondamental du modèle. Dans le cas dumodèle de LWR, le système IV.1 se réduit à une seule équation hyperbolique scalaire de lavariable K (cf. IV.4) [Godlewski et Raviart, 1991]. Il est à noter que cette équation n’utiliseque deux variables : la concentration et le débit (par l’intermédiaire de la relationfondamentale). Ainsi, la vitesse du flot n’est pas une variable fondamentale d’un modèlemacroscopique du 1er ordre.

( )0eqQ KK

t x

∂∂ + =∂ ∂

(IV.4)

IV.2.1.b Diagramme fondamental

Le diagramme fondamental, en tant qu’équation phénoménologique, essaie dereproduire les situations d’équilibre caractérisant un site donné. Il représente donc lescaractéristiques du réseau sur lequel roulent les véhicules. Les observations suivantespermettent de préciser les grands principes permettant la construction d’un tel diagramme :

- Lorsque le nombre de véhicules sur un tronçon est très faible, les interactionsentre les véhicules sont limitées. Chacun peut donc rouler à sa vitesse désirée quipeut se caractériser par la vitesse maximale moyenne observée sur le tronçon. Cettevitesse est appelée vitesse libre et est notée Vlmax ;

- Lorsque le nombre de véhicules augmente, les interactions s’amplifient, ce quientraîne une diminution de la vitesse. Celle-ci est donc décroissante en fonction de laconcentration présente sur le tronçon ;

- Enfin, il existe un cas limite correspondant à la formation d’une file d’attente.Dans cette situation, il n’est plus possible de rajouter des véhicules sur le tronçon ; laconcentration est maximale (Kmax) et la vitesse est nulle.


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La première forme de diagramme fondamental suivant ces principes a été proposéepar Greenshields [1935]. Il s’agit d’une relation linéaire reliant la vitesse à laconcentration, qui se traduit par une relation parabolique entre le débit et cette mêmeconcentration. D’autres formes de diagramme ont été proposées par la suite pour essayerde trouver celle qui représente le mieux le comportement réel du trafic (cf. par exemple[Del Castillo et Benitez, 1995]). Cependant, il est très difficile de déterminer la formegénérique que doit revêtir un diagramme fondamental étant donnés les problèmes demesures3, liés à la différence de représentation entre les variables continues utilisées par lemodèle et les variables nécessairement discrètes mesurées sur le terrain, et la faibleobservation des états proches de la concentration maximale.

Il conviendra, pour chaque application du modèle, de calibrer la relationfondamentale grâce à des données relevées sur le site d’étude afin de déterminer la formela plus adaptée. Dans le cadre de ce chapitre, il est possible de travailler avec une formequelconque de diagramme fondamental à condition qu’elle soit continue et concave afin depouvoir utiliser les résultats théorique relatifs à la discrétisation des équationshyperboliques. Une telle forme est cohérente avec les trois principes de comportementspécifiques aux véhicules, énoncés ci-dessus.

Qmax

Kmax

Vc

Vlmax

Kc

Etatfluide

EtatCongestionné

Concentration K

Déb

it Q

Figure IV-1: Illustration de diagramme fondamental

Pour plus de commodité cette forme générique sera illustrée en utilisant lediagramme fondamental présenté à la Figure IV-1. Cette forme admet la particularité d’êtreparabolique dans la partie du diagramme où le trafic est fluide et linéaire dans la partie dudiagramme où le trafic est considéré comme saturé. Elle fait apparaître les paramètrescaractéristiques d’un diagramme fondamental qui sont, outre la concentration maximaleKmax et la vitesse libre Vlmax déjà présentées :

- La concentration critique Kc qui sépare les états de trafic fluide et saturé ;

- Le débit maximum Qmax ou capacité du tronçon étudié ;

- La vitesse critique Vc ou vitesse des véhicules à la concentration critique.

3 Ces problèmes seront approfondis au Chapitre VIII consacré à la validation expérimentale qui passenécessairement par la calibration du diagramme fondamental sur le site d’étude.


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L’intérêt de cette forme apparaîtra surtout au chapitre V lorsqu’il s’agira demodéliser les phases transitoires d’accélération avec un modèle du 1er ordre. Ce diagrammeservira à simplifier la représentation des solutions du modèle LWR. En aucun cas il nes’agira d’une restriction par rapport au cas général et il sera toujours vérifié que lesrésultats obtenus restent valables pour un diagramme simplement concave.

IV.2.2 Résolution des modèles du 1er ordre

Le modèle LWR se caractérise la possibilité de calculer analytiquement sessolutions exactes. Cette propriété est en théorie vérifiée pour toutes les situations de traficpossibles. En pratique, ce mode de résolution est très fastidieux dès que le scénario étudiéest un peu complexe. Dans ce cas, la résolution numérique est nécessaire. Deux types derésolution peuvent être proposées : la discrétisation spatio-temporelle et la résolutionparticulaire.

IV.2.2.a Résolution analytique

La résolution analytique de l’équation hyperbolique IV.4 est basée sur le conceptdes caractéristiques, qui représentent les lieux du plan (x,t) le long desquels laconcentration est constante. Ceci se traduit par la condition suivante :

( )( ),0

dK x t t

dt=

Combinée avec l’équation IV.4, cette condition donne :

( ) ( )( ),( ) ( ) 0eqdQ KdK x t t K K K

x t x tdt x t x dK

∂ ∂ ∂= + = − = ∂ ∂ ∂

Les caractéristiques sont donc des droites de pente Q’eq(K). Cette pente correspond

à la dérivée de la relation fondamentale en K. Les solutions analytiques sont représentéesdans un diagramme espace/temps par le tracé des caractéristiques ou ensemble des droitesqui portent chacune une valeur de concentration (propagation de l’information). Cecipermet de connaître la concentration et donc le débit en tout point x et à tout instant t.

Lorsque deux caractéristiques se rencontrent, il se forme une onde de choc. Il s’agitdu lieu des discontinuités de la solution de IV.4. La vitesse u d’une onde de choc estdonnée par la formule de Rankine-Hugoniot (cf. [Lebacque, 1993]) :

[ ]

[ ]

Qu

K=

[Q] et [K] correspondent aux sauts du débit et de la concentration au droit de l’onde de choc.

Ainsi donnée, la définition des caractéristiques et des ondes de choc ne permet pasde construire des solutions uniques de IV.4. Afin de garantir l’unicité, les solutionsentropiques de IV.4 sont utilisées. Elles consistent à n’admettre que les ondes de choc pourlesquelles la concentration amont est inférieure à la concentration aval (cf. Figure IV-2a) età considérer que toute discontinuité de la concentration telle que la concentration amontsoit supérieure à la concentration aval donne naissance à un éventail. Dans ce dernier cas,toutes les concentrations comprises entre les concentrations aux frontières de la


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discontinuité sont supposées présentes au droit de la discontinuité. L’éventail correspondalors à la propagation de ces concentrations à leur vitesse propre (cf. Figure IV-2b).

x0

x

Kamont

Kaval

K

a: Condition initiale (Cas Onde de choc)

x0

x

Kamont

Kaval

b: Condition initiale (Cas Eventail)

K

Q

K

(Kam

Qam

)

(Kav

Qav

)

Onde de choc

Diagramme fondamental

Q

K

(Kav

Qav

)

(Kam

Qam

)

Caractéristiquescorrespondant à l’éventail

(Kc Q

max)

Diagramme fondamental

(Kam

Qam

)

(Kav

Qav

)

Onde de choc

x

x0

t

Diagramme espace/temps

(Kam

Qam

)

(Kav

Qav

)

Eventail

x

x0

t

(Kc Q

max)


Figure IV-2: Solutions analytiques en cas de discontinuité de la concentration (onde de choc et éventail)

Dans le cadre des solutions entropiques, les ondes de choc correspondent à desondes de décélération et les éventails à des ondes d’accélération. De plus, ces solutionssont dotées des propriétés suivantes [Lebacque, 1993] :

- Elles sont la limite, lorsque la viscosité tend vers 0, des solutions de viscosité deIV.4 [Schochet, 1988] ;

- Il y a existence, unicité et dépendance continue vis-à-vis des conditions initialesdes solutions ;

- Le débit est maximisé localement. Le débit en tout point apparaît comme leminimum de l’offre en aval de ce point et la demande en amont [Lebacque, 1996].Ces notions seront définies au paragraphe suivant concernant la discrétisation spatio-temporelle du modèle de LWR.

La présentation des solutions du modèle de LWR a pour l’instant été faite pour unréseau homogène, caractérisé par un diagramme fondamental qui ne dépend ni de l’espace,ni du temps. Ce modèle sait aussi représenter l’impact de variations spatio-temporelles des


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caractéristiques du réseau, qu’elles soient continues [Newell, 1999] ou discontinues[Michalopoulos, 1988 ; Mongeot et Lesort, 2000]. Dans le cas d’une discontinuité spatiale(respectivement temporelle), le débit (respectivement la concentration) se conserve de partet d’autre. La vitesse est par définition discontinue dans les deux cas (cf. IV.1). Ces règlespermettent d’adapter le tracé des caractéristiques en conséquence au droit de ladiscontinuité.

IV.2.2.b Résolution par discrétisation spatio-temporelleIV.2.2.b.i Schéma de discrétisation

La discrétisation spatio-temporelle choisie ici consiste à découper le tronçon étudiéen cellules de longueur ∆x et à calculer l’état du trafic tous les pas de temps ∆t. Laconcentration Ki

t∆t est supposée uniforme à l’intérieur de chaque cellule i et est calculée àchaque instant t∆t. Le débit Qi

t∆t est supposé constant entre les deux instants (t-1)∆t et t∆tet représente le nombre de véhicules sortant de la cellule i entre ces deux instants (cf.Figure IV-3).

∆i

Ωi+1

Cellule i Cellule i+1

Kit∆t K

i+1t∆t

Réseau

∆x

Qit∆t

Figure IV-3: Discrétisation du réseau

Le schéma de Godunov est utilisé pour résoudre numériquement l’équation IV.4 dumodèle, tel que présenté par Lebacque [1996]. Ce schéma est du premier ordre(approximation de la concentration par des fonctions constantes par morceaux), et estconsidéré comme optimal parmi les schémas du premier ordre [Godlewski et Raviart,1991]. Etant conservatif, le schéma de Godunov vérifie l’équation de conservation :

( )( 1)1

t t t t t t t ti i i i

tK K Q Q

x∆ − ∆ ∆ ∆

−∆= + −∆

(IV.5)

Le caractère spécifique de ce schéma réside au niveau du calcul du flux Qit∆t. Celui-

ci correspond à la solution entropique exacte du débit sortant de la cellule i entre (t-1)∆tet t∆t, en considérant la concentration uniforme4 dans les cellules i et i+1 à l’instant (t-1)∆t.De plus, il est possible de montrer [Lebacque, 1996] que :

( )( ) ( )( )( )1 11 1min ;t t t tt t

i i i i iQ K K− ∆ − ∆∆+ += ∆ Ω (IV.6)

Dans la formule IV.6, ∆i représente la demande de la cellule i qui se définit commele débit maximum pouvant sortir de cette cellule et i+1 représente l’offre de la cellule i+1,qui correspond au débit maximum pouvant être accueilli par cette autre cellule. Cesgrandeurs sont définies par la formule IV.7 et représentées à la Figure IV-4.

4 Cette condition initiale correspondant à un profil de concentration en « marche d’escalier » est appeléeproblème de Riemann.


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Qmax

Kmax

K

Q

Demande ∆

Kc

Qeq

(diagramme

fondamental)

Qmax

Kmax

K

Q

Offre Ω

Kc

Qeq

(diagramme

fondamental)

Figure IV-4: Fonctions d'offre et de demande

( ) ( ) ( ) ( )max

max

si si

si si

ceq c

eq cc

Q K KQ K K KK K

Q K K KQ K K

≤≤ ∆ = Ω = >> (IV.7)

Les fonctions d’offre et de demande de deux cellules consécutives traduisent lescaractéristiques physiques de chaque cellule et elles n’ont aucune raison d’être identiques.Ceci permet de traiter de manière discrète les discontinuités spatiales et temporelles.

IV.2.2.b.ii Impact du schéma numérique

L’usage d’un schéma numérique aux différences finies (SNDF) pour calculer lessolutions d’une équation aux dérivées partielles (EDP) nécessite que les trois pointssuivants soient vérifiés [Godlewski et Raviart, 1991] [Zhang, 2001]5 :

- Le SNDF est consistant avec l’EDP originale. Pour cela, il faut que le schémanumérique converge vers l’EDP lorsque ∆t et ∆x tendent vers 0 ;

- Le SNDF est stable : les erreurs introduites par la résolution numérique ne doiventpas s’accroître indéfiniment lorsque le temps augmente ;

- Le SNDF est convergent : les solutions du SNDF doivent converger vers lessolutions exactes de l’EDP lorsque ∆t et ∆x tendent vers 0.

Le schéma de Godunov est consistant par nature (cf. IV.5). Le fait que le modèle deLWR se réduise à une équation hyperbolique permet de conclure sur les deux autres points.En effet, un schéma linéaire conservatif et consistant converge vers la solution exacte del’EDP associée si la condition de stabilité est vérifiée ([Leveque, 1992] cité par [Zhang,2001]). Cette condition, appelée condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy), traduit le faitque le rapport ∆x/∆t associé à la discrétisation ne peut excéder la vitesse maximale descaractéristiques6. Dans le cas du modèle de LWR, cette vitesse est égale à Vlmax. Ainsi, laconvergence et la stabilité du schéma de Godunov sont assurées si :

max (Condition CFL dans le modèle LWR)x

Vlt

∆ ≥∆

5 Cet article propose en préambule un rappel particulièrement clair des conditions que doit respecter unSNDF pour que sa validité soit garantie.6 Physiquement, il est possible de traduire cette contrainte en disant que ni les véhicules ni les ondes de chocne peuvent traverser plus d’une cellule par pas de temps.


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A ∆x et ∆t fixés, les différences observées entre les solutions du SNDF et lessolutions du modèle sont dues au phénomène appelé viscosité numérique. En effet, leschéma numérique fait qu’il existe toujours une parcelle d’information qui se propage à lavitesse numérique ∆x/∆t de traversée des cellules. La stabilité garantit que ce phénomènene diverge pas mais pas pour autant qu’il soit négligeable.

Les informations dans le modèle de LWR sont portées par les caractéristiques dontles vitesses maximales sont Q’eq(K=0), soit Vlmax, dans le sens amont vers aval etQ’eq(Kmax) dans le sens opposé. Pour minimiser la viscosité numérique, il convient de faireen sorte que la vitesse numérique de traversée des cellules soit la plus proche possible de lavitesse de propagation des caractéristiques. Ceci peut être obtenu en choisissant l’égalitéstricte de la condition CFL.

IV.2.2.b.iii Estimation de la vitesse

Comme la vitesse n’est pas une variable fondamentale du modèle de LWR (cf.IV.2.1.a), elle n’est pas calculée par le processus de discrétisation. Elle ne peut qu’êtreestimée a posteriori en fonction des valeurs de débits et de concentrations obtenues.Plusieurs concepts de vitesse peuvent être proposés :

- La vitesse d’équilibre de la cellule i : Veq(Kit∆t). Cette vitesse correspond

physiquement à la vitesse des véhicules d’une cellule à condition que le trafic soitdans un état stationnaire. Cette définition conduit à définir le profil cinématique7

d’un tronçon par une fonction en escalier, exactement comme le profil deconcentration ;

- La vitesse de sortie moyenne d’une cellule i : Vit∆t=Qi

(t+1)∆t/Kit∆t. Cette vitesse

correspond à la vitesse de sortie exacte d’une cellule à condition que la concentrationsoit homogène et que l’écoulement soit FIFO8. Elle est égale à la vitesse d’équilibrequand le trafic est stationnaire. Elle permet d’appréhender la vitesse aux frontièresdes cellules, même si le débit s’écarte du débit d’équilibre. Ce point peut êtreintéressant pour la modélisation de la vitesse durant les phases transitoires ;

- La vitesse d’entrée moyenne d’une cellule i : Ve,it∆t= Qi-1

t∆t/Kit∆t. Cette définition

est analogue à la définition précédente en considérant cette fois le flux entrant dans lacellule ;

- La vitesse de sortie VSit∆t. A la sortie d’une cellule, il est possible de déterminer

la vitesse associée à la solution exacte de la concentration K [Lebacque, 1997]. Eneffet, le schéma de Godunov détermine le débit Qi

t∆t correspondant au débitd’équilibre exact observé en ce point entre (t-1)∆t et t∆t. En utilisant les diagrammesd’offre et de demande réciproques (cf. Figure IV-5), il est possible de déterminer laconcentration K et donc la vitesse d’équilibre associée (cf. IV.8). Cette définition estintéressante dans les situations où le débit de sortie est correctement estimé mais oùla discrétisation fait que la concentration de la cellule ne correspond pas au pointd’équilibre associé au débit.

7 Le profil cinématique est la représentation de la vitesse du flot en fonction de l’espace.8 FIFO : First In First Out. Les véhicules ne se doublent pas. C’est le cas dans le modèle LWR pour un fluxhomogène (absence de flux partiels).


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( )( )( )( )

11

11

si

si

t t t teq i i i i

t ti

t t t teq i i i i

V Q QVS

V Q Q

− ∆ ∆+∆

− ∆ ∆+

∆ = ∆ ≤ Ω= Ω = Ω < ∆

(IV.8)

Qmax

Kc

Q

K

Demande réciproque ∆−1

Qmax

Kc

Q

K Kmax

Offre réciproque Ω−1

Figure IV-5: Diagramme d'offre et de demande réciproque

Le fait que la vitesse ne soit pas une variable fondamentale du modèle de LWRdiscrétisé pose un vrai problème pour déterminer le comportement cinématique du flux endehors des états stationnaires. L’usage d’un tel modèle pour des applications acoustiquespasse donc nécessairement par la définition d’un concept de vitesse qui soit adapté à lamodélisation des phases transitoires. Ce propos ne sera pas abordé ici car, comme va lemontrer le paragraphe IV.2.3, le modèle de LWR n’est pas en l’état apte à modéliser lesphases transitoires. Il fera cependant l’objet de développements ultérieurs (cf. Chapitre V).

IV.2.2.c Résolution particulaire

La résolution particulaire du modèle de LWR consiste à décomposer le flux detrafic en particules élémentaires correspondant aux véhicules et à régir leur comportementnon pas par une loi de poursuite mais par la relation d’équilibre. La concentration estapproximée en tout point par l’inverse de l’interdistance qui sépare les deux véhicules lesplus proches. La vitesse du véhicule n qui suit le véhicule n-1 est à l’instant t∆t :

( )1

1

( ) ( )n eqn n

x t t Vx t t x t t−

∆ = ∆ − ∆

(IV.9)

A partir de la vitesse de tous les véhicules à un instant donné, il est possible decalculer les positions de chacun à l’instant suivant :

( ) ( ) ( )( 1)n n nx t t x t t x t t t+ ∆ = ∆ + ∆ ∆

L’interdistance entre deux véhicules doit toujours être supérieure à l’interdistanceminimale (qui correspond à l’inverse de la concentration maximale) même si le véhicule leplus en avant s’arrête brutalement. Pour que cette propriété soit vérifiée, il est nécessaired’introduire une contrainte sur le pas de temps :

max max

1t

K Vl∆ ≤ (IV.10)

Le schéma de discrétisation ci-dessus ne pourra être qualifié pleinement derésolution particulaire que lorsque la convergence des solutions de ce schéma vers lessolutions du modèle sera démontrée lorsque ∆t et la taille des particules tendent vers 0.Cette démonstration n’a pas été achevée dans le cadre de cette thèse.


84

Malgré cette conjecture, la résolution particulaire reste intéressante. Pour le calculdes émissions de bruit, elle permet de connaître directement une représentation moyennedu déplacement individuel des véhicules, grâce à la loi de comportement de typemacroscopique (cf. IV.9). Elle s’affranchit ainsi des problèmes liés au comportementstochastique des modèles microscopiques à loi de poursuite. Une telle représentationpermet de plus d’assigner facilement des comportements spécifiques aux véhicules,comme une accélération bornée par exemple. Ceci ouvre la possibilité de modéliser lesétats hors équilibre, telles que les phases de redémarrage. Cet aspect n’a pas été approfondidans le cadre de cette thèse qui s’est concentrée sur les modes de résolution « classique »du modèle de LWR pour lesquels la convergence était assurée. Ceux-ci ont d’ailleursl’avantage de ne pas nécessiter l’adoption d’une résolution temporelle très fine commec’est la cas avec la résolution particulaire (de l’ordre de la dizaine de millisecondes du faitde la contrainte IV.10).

IV.2.3 Modélisation de la cinématique

Le but de ce paragraphe est d’étudier les capacités de représentation de lacinématique des véhicules par le modèle de LWR. Pour cela, le redémarrage d’une filed’attente après le passage d’un feu tricolore au vert va être étudié d’une part d’un point devue analytique et d’autre part en utilisant la version discrétisée du modèle. Le diagrammefondamental utilisé pour cette étude sera celui présenté à la Figure IV-1.

IV.2.3.a Redémarrage à un feu – solutions analytiques

Eventail

t

x

feu rouge I

Vite

sse

[m/s

]

0

Onde de chocTrajectoires de véhicule

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figure IV-6: Solutions analytiques du modèle de LWR dans le cas d'un redémarrage à un feu

La Figure IV-6 représente la solution analytique du modèle de LWR dans le casd’un feu tricolore qui passe au rouge à l’instant 0 puis au vert au point I. Sur cette figure,les caractéristiques sont représentées comme portant une vitesse constante plutôt qu’une


85

concentration9 constante afin de mieux appréhender la représentation de la cinématiquefournie par le modèle. Le champ de vitesse ainsi défini permet de déterminer la trajectoiredes véhicules qui redémarrent (les deux premières ont été dessinées sur la Figure IV-6).

L’analyse de ces solutions montre qu’à l’intérieur de l’éventail (correspondant à lazone de redémarrage des véhicules) l’accélération des véhicules n’est pas réaliste. Auvoisinage de I, origine spatiotemporelle de la discontinuité relative au changement decouleur du feu, l’accélération du trafic est arbitrairement grande et même infinie en I. Cecise démontre en utilisant la formule IV.11 de l’accélération dans le modèle de LWR qui aété introduite par Pipes [1969] :

2

( , ) eqdV Ka x t K

dK x

∂= − ∂ (IV.11)

Avec le diagramme de Greenshields, la formule IV.11 donne une accélération audroit du feu en fonction du temps égale à :

max( 0, )4

Vla x t

t= =

Pour t=0, l’accélération est bien infinie. Des résultats similaires peuvent êtreobtenus avec d’autres formes de diagramme. Ainsi, pour ceux qui n’ont pas une vitessed’équilibre dérivable au niveau de la concentration critique Kc, l’accélération est infinie auniveau de la caractéristique portant Kc. C’est le cas du diagramme fondamental qui sert icià illustrer le modèle.

L’analyse des solutions du modèle montre aussi que les véhicules décélèrentinstantanément lorsqu’ils rencontrent la file d’attente constituée durant le feu rouge. Plusgénéralement, les décélérations sont toujours infinies à la traversée des ondes de choc.

Ces résultats se confirment en regardant la trajectoire des premiers véhicules quiredémarrent (cf. Figure IV-6). Le premier passe instantanément d’une vitesse nulle à lavitesse libre lorsque le feu passe au vert. Le second, après s’être arrêté brutalement aucontact de la file d’attente, redémarre avec une accélération manifestement très supérieureaux capacités réelles d’un véhicule léger10.

IV.2.3.b Redémarrage à un feu – solutions numériques

Afin d’éviter le problème de la définition de la vitesse dans le modèle discret(cf. IV.2.2.b.iii), les solutions numériques du modèle n’ont pas été utilisées directementmais ont servi à reconstituer les trajectoires des premiers véhicules qui redémarrent au feuvert (cf. Annexe 4 pour la méthodologie). Ces trajectoires sont présentées à la Figure IV-7.La trajectoire du premier véhicule est comparée à la trajectoire théorique d’un véhicule

9 Les caractéristiques portant à la fois l’information concentration constante et débit constant, elles portentaussi l’information vitesse constante étant donnée la définition continue de la vitesse (cf. IV.1).10 L’accélération maximale d’un véhicule léger se situe aux alentours de 1.5 m.s-2 [Andre et al, 1986].


86

accélérant uniformément11 jusqu’à atteindre sa vitesse d’équilibre afin de montrer ledécalage existant entre les solutions du modèle et les trajectoires observables sur le terrain.

0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25

30

35

40

Distance au feu [m]

Tem

ps é

coul

é de

puis

le p

assa

ge a

u ve

rt [s

] Les 10 premiers véhicules

0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25

30

35

40

Distance au feu [m]

Tem

ps é

coul

é de

puis

le p

assa

ge a

u ve

rt [s

] Premier véhicule

Trajectoire simuléeTrajectoire théorique

Figure IV-7: Trajectoires des véhicules lors du redémarrage à un feu (modèle de LWR discrétisé)12

Les résultats du modèle de LWR discrétisé montrent donc également quel’accélération des véhicules au moment du redémarrage à un feu est très supérieure auxvaleurs physiques. En ce qui concerne l’arrêt des véhicules en amont de la file d’attente, ladiscrétisation étale légèrement la zone de décélération qui, dans le modèle continu, seréduit à l’onde de choc. Les valeurs de décélération restent cependant bien supérieures auxvaleurs admissibles.

IV.2.3.c Conclusion

Le modèle de LWR ne permet pas de rendre compte des phases de décélération oud’accélération autrement que de manière très sommaire. Ces phases transitoires sont soitéclipsées soit d’une ampleur fortement réduite et l’état d’équilibre final est directementatteint. Ce mode de représentation s’explique par le caractère même du modèle qui tout enétant dynamique reste un modèle d’équilibre qui ne modélise pas les phénomènes detransition.

Le modèle de LWR ne peut être utilisé en l’état pour servir de support à un modèleacoustique. En effet, si les accélérations ne sont pas réalistes, les véhicules ont tendance àatteindre très vite leur vitesse d’équilibre. La phase où les véhicules accélèrent en utilisantdes rapports de boîte faibles n’est pas représentée. Or, celle-ci est particulièrementimportante quand il s’agit d’estimer correctement les nuisances sonores.

11 L’accélération choisie (1.5 m.s-2) correspond à une valeur réaliste de l’accélération maximale d’un véhiculeléger.12 Les paramètres utilisés pour obtenir ces résultats par simulation sont : Vlmax=20 m.s-1 ; Vc=12 m.s-1 ;Qmax=0.479 véh.s-1 ; Kmax=0.214_véh.m-1 ; ∆x=20 m ; ∆t=1 s. Ces paramètres caractérisent bien une route àune seule voie ce qui permet de reconstituer les trajectoires des véhicules (cf. Annexe 4).


87

IV.2.4 Bilan avantages / Inconvénients

Pour être utilisé dans le cadre d’applications acoustiques, le modèle de LWR a pourinconvénients majeurs :

- de ne pas modéliser correctement les phases transitoires ;

- de ne pas travailler avec la vitesse comme variable fondamentale. Celle-ci n’estd’ailleurs pas définie dans la version discrétisée du modèle.

Cependant, le modèle de LWR a de sérieux atouts :

- Sa robustesse : il garantit par construction que les variables Q et K restent, en toutpoint et à tout instant, cohérentes par rapport aux limites physiques du réseau (Qmax,Kmax…) ;

- L’existence de solutions analytiques. Le modèle de LWR permet le calcul exactde ses solutions de manière assez aisée pour des scénarios simples. Il autorise ainsil’étude théorique du comportement du trafic, ce qui sert de guide à la discrétisation.L’existence des solutions analytiques permet d’étudier la cohérence du modèle et demaîtriser sa complexité ;

- L’existence d’extensions. Le modèle de LWR a fait l’objet de nombreuxdéveloppements dont l’intérêt est évident dans le cadre de la modélisation ducomportement du trafic, en milieu urbain. Ainsi, la modélisation des intersections aété introduite de plusieurs manières par différents auteurs [Daganzo, 1995 ; Buissonet al, 1996]. Le traitement des discontinuités spatio-temporelles ne pose pas deproblèmes particuliers (cf. IV.2.2) et la représentation de plusieurs classes devéhicules ayant des comportements différents fait l’objet de recherches (cf. pour unmodèle biphasique poids lourds/véhicules légers [Chanut, 2001], pour lessingularités mobiles telles que les autobus [Lebacque et al, 1998] [Newell, 1998][Giorgi, Leclercq et Lesort, 2002] et pour la différenciation entre deux types deconducteurs, les lièvres et les tortues [Daganzo, 2002]).

Les atouts du modèle de LWR rendent son utilisation tout à fait intéressante pourdes applications acoustiques, à condition que soit résolu le problème des phasestransitoires. Ce problème est potentiellement soluble car il n’y a pas unicité des solutionsde ce modèle. Il est donc peut-être possible de trouver une autre solution qui ne soit pasentropique mais qui vérifie certaines contraintes sur l’accélération et la décélération et dereprésenter ainsi les phases transitoires dans ce modèle. Cette méthode consiste àintroduire un degré de liberté en ne restreignant plus les solutions à celles qui maximisentle débit et à utiliser ce degré de liberté pour modéliser les phases transitoires. Cette pisted’étude sera explorée au chapitre V. Il convient auparavant de vérifier que les modèles du2ème ordre n’offrent pas directement une représentation cohérente de la cinématique desvéhicules durant les phases transitoires.


88

IV.3 Modèles macroscopiques du deuxième ordre13

IV.3.1 Description des modèles

IV.3.1.a Fondements des modèles

Les modèles du deuxième ordre ont été développés pour pallier au constat suivant :le modèle de LWR ne permet pas de modéliser les états qui s’éloignent fortement del’équilibre. Ainsi, les phénomènes d’ondes d’arrêt et de redémarrage14 et la propagationvers l’avant des perturbations à l’intérieur d’un flux de trafic dense ne peuvent pas êtreétudiés avec ce modèle. De plus, certains auteurs (cf. [Zhang, 1999] pour la liste détaillée)ont observé que, durant les phases d’accélération et de décélération les chemins suivis parle couple (K, V) ne correspondent pas aux états d’équilibre (K, Veq(K)).

Pour modéliser ces états hors équilibre, les modèles du second ordre proposent decompléter le système IV.1 non pas par une relation d’équilibre mais par une équationdynamique indépendante traduisant le comportement de l’accélération du flux. Cetteaccélération a est généralement égale à un terme de relaxation vers la vitesse d’équilibreVeq(K) additionné d’un terme B décrivant le comportement individuel des véhicules :

( ) (Relaxation) eqV K VV V

a V Bt x τ

−∂ ∂= + = +∂ ∂

Le terme B permet de distinguer les différents modèles du second ordre. La plupartsont construits ou peuvent être a posteriori reconstruits par intégration d’une loi depoursuite décrivant le comportement microscopique des véhicules. Le modèle de Payne15

[1971], par exemple, dérive de la loi de poursuite suivante :

( )1

1 avec : temps de réaction

( ) ( )n eqn n

x t Vx t x t

τ τ−

+ = −

La vitesse du véhicule n qui suit le véhicule n-1 est égale, au bout du temps deréaction 2, à la vitesse d’équilibre correspondant à la concentration estimée entre les deuxvéhicules. L’équation dynamique IV.12 du modèle de Payne est obtenue grâce auxapproximations suivantes :

( )( )( )

( )

1

1

( )

1( ) ( )

( ) / 2

( ) ( ) ( ) , ( , )

n

n n

n n

n n n

x t x

x t x tK y

y x t x t

x t x t x t V x t a x tτ τ τ

−

−

= − ≈

≈ + + ≈ + ≈ +

13 La rédaction de cette partie a été facilitée par la présentation au séminaire trafic de l’INRETS réalisée parJ.P. Lebacque et consacrée aux « Résultats nouveaux sur les modèles macroscopiques du second ordre »(10/11/2000).14 Plus communément connus sous l’appellation de « bouchons en accordéon »15 Le modèle de Payne sert de référence dans la littérature consacrée aux modèles du 2ème ordre.


89

Le modèle de Payne peut alors s’écrire :

( )( ) ( )'1 avec

2eq eq

V K V V KV V KV

t x K x

υ υτ τ

−∂ ∂ ∂+ = − = −∂ ∂ ∂

(IV.12)

Ce modèle et ses variantes [Papageorgiou et al, 1990] (caractérisées par uncoefficient # constant) ont été beaucoup décriés dans la littérature et notamment parDaganzo [1995b] avec son célèbre article intitulé « Requiem for second-order fluidapproximations of traffic flow ». Les critiques sont les suivantes :

- L’obtention de la relation IV.12 suppose la variation continue et lente de l’état dutrafic afin de pouvoir négliger les termes d’ordre deux et plus lors de l’intégration dela loi microscopique. Ce raisonnement devient faux si les variations du trafic sontrapides ou importantes ce qui limite en théorie grandement les possibilitésd’utilisation de ce modèle ;

- Le modèle ne respecte pas en tout point les contraintes de capacité et de vitesse. Ilest possible d’observer des vitesses négatives et donc des débits négatifs danscertaines situations. Ce phénomène est appelé « wrong-way travel » (propagationdans le mauvais sens) ;

- Le modèle ne respecte pas le caractère anisotrope des véhicules. En effet, lesvéhicules ne réagissent qu’à des sollicitations provenant de l’aval. Or, le modèle dePayne, parce qu’il inclut la propagation d’ondes à une vitesse supérieure à la vitessedu flux, fait que sous certaines conditions les véhicules réagissent à des sollicitationsprovenant de derrière eux.

La première de ces critiques est facilement contournable en considérant le modèlede Payne uniquement de manière macroscopique sans prendre en compte le lien avec la loide poursuite. Les deux critiques suivantes sont préjudiciables à l’utilisation d’un telmodèle. Elles peuvent être illustrées grâce à l’exemple de Daganzo [1995b] qui considère,comme condition initiale, une file d’attente arrêtée avec un débit nul en entrée du réseau(cf. Figure IV-8).

K

x

stop

arriè

re fi

le d

’atte

nte

Q=0

Etat initialEvolution de la file d’attente

Figure IV-8: Exemple de Daganzo - Évolution de l’arrière d’une file d'attente avec un modèle du 2ème ordre

De part et d’autre de la discontinuité correspondant à l’arrière de la file d’attente letrafic est à l’équilibre. L’équation IV.12 se résume donc à :

1V V KV

t x K x

υτ

∂ ∂ ∂+ = −∂ ∂ ∂

Le deuxième membre de cette équation (appelée ici terme d’anticipation) vaconduire les véhicules arrêtés à l’arrière de la file d’attente à reculer puisque le gradient deconcentration est positif. Ceci correspond à un phénomène de diffusion vers l’arrière. Cet


90

effet n’est pas physique et illustre bien à la fois le phénomène d’isotropie induit par lemodèle et celui de propagation dans le mauvais sens des informations.

Ces critiques ont conduit au développement d’autres modèles du deuxième ordreessayant de corriger ces deux défauts.

IV.3.1.b Les différents types de modèles du deuxième ordreIV.3.1.b.i Formalisme commun

Pour faciliter l’étude des différents modèles du 2ème ordre, le formalisme dessystèmes hyperboliques peut être adopté. Le système IV.1 peut s’écrire :

0 0K KV K V K

K Vt x t x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⇔ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

En considérant le vecteur (K,V) qui sera noté U par la suite, le modèle de Paynepeut être exprimé par le système suivant :

( )'

0

( )

2eqeq

V KK K

V K VV KV Vt xV

K ττ

∂ ∂ + = − ∂ ∂

Ce système correspond à un système hyperbolique mis sous forme conservative. En

posant ' ( )

( )2

eqV Kc K

τ= − , il se réduit à l’équation IV.13 :

0( ) ( ) avec ( ) et ( ) ( )²( ) eq

V KU F U U s U F U s U V K Vc K

t x VK τ

∂ ∂ + = = = − ∂ ∂

(IV.13)

Les propriétés de ce système sont largement contrôlées par les valeurs propres de lamatrice de flux F. Ces valeurs propres correspondent à la vitesse des caractéristiques,comme dans le modèle de LWR, et déterminent la façon dont les perturbations sepropagent à l’intérieur du flux de trafic. Ainsi, la matrice F associée au modèle de Payneadmet deux valeurs propres réelles distinctes16 1 et 2 telles que :

( )1 2( )V c K V c Kλ λ= − < + =

Pour ce modèle, comme c(K) > 0, 2 > V. Il existe donc des caractéristiques qui sepropagent plus vite que le trafic ce qui démontre formellement le caractère isotrope dumodèle de Payne.

IV.3.1.b.ii Première famille de modèles

Parmi les différents modèles du 2ème ordre développés depuis le modèle de Payne, ilest possible d’identifier une première famille où chaque élément se distingue uniquementpar la forme prise par le coefficient c(K) dans l’équation IV.13. Cette famille peut êtreprésentée sous la forme synthétique du Tableau IV.1. Ce tableau regroupe la valeur du

16 Lorsque la matrice F admet deux valeurs propres distinctes, le système est dit strictement hyperbolique.


91

coefficient c(K), un exposé rapide des principes qui ont conduit au modèle ainsi que lesréférences bibliographiques dans lesquelles ces modèles sont décrits.

Nom dumodèle

c(K) Mode de construction

Payne[1971]

( )'

2eqV K

τ−

Loi de poursuite :

1

1( )

( ) ( )n eqn n

x t Vx t x t

τ−

+ = −

Ross[1988]

0Modèle de Payne sans anticipation +

relaxation vers la vitesse libre17

Del Castillo[1993]

( )' ( )exp eqeq

V K VKV K

a

− −

18

Linéarisation du modèle de Payne autourd’une situation d’équilibre => expressiondu temps de réponse 2 en fonction de la

concentration K

Zhang 1[1998 ; 2000]

' ( )eqKV K−Loi de poursuite :

( )( )( ) ( ) ,n eq nx t V K x t tτ+ = + ∆19

Tableau IV.1: Première famille de modèles du second ordre

Parmi ces modèles, le modèle de Ross est particulier car les deux valeurs propres dela matrice F sont identiques et égales à V. Le système n’est donc plus strictementhyperbolique. De plus, comme la relaxation se fait vers la vitesse libre, ce modèle doit êtrecomplété par un faisceau de contraintes qui garantissent que les caractéristiques du réseausont respectées (Qmax, Kmax…). Ce modèle présente des insuffisances d’un point de vuemathématique (non unicité des solutions) et en ce qui concerne les vitesses de propagationdes perturbations (cf. [Newell, 1989] et [Lebacque, 1993b]).

Les deux autres modèles admettent, comme le modèle de Payne, deux valeurspropres distinctes. La plus grande de ces valeurs est supérieure à la vitesse du flux carc(K)>0. Ces deux modèles ne traduisent donc pas correctement le caractère anisotrope desvéhicules. De plus, il est encore possible de trouver des situations de trafic où la vitesse desvéhicules est temporairement négative20. Cependant, ces deux modèles présentent desérieux avantages par rapport au modèle de Payne.

Les modèles de Zhang et de Del Castillo convergent vers le modèle de LWR quand2 tend vers 0. De plus, lorsque une situation d’équilibre est atteinte, l’équilibre se conserveet les deux modèles se réduisent au modèle de LWR21. En effet si V=Veq(K), l’équationdynamique de IV.13 se résume à IV.14 qui n’est rien d’autre que l’équation del’accélération dans le modèle de LWR (cf. IV.11). Dans ce cas, le système IV.13 estéquivalent à l’équation hyperbolique du modèle de LWR (cf. IV.4).

17 Dans le modèle de Ross, Vlmax remplace Veq(K) dans le terme de relaxation s(U) qui devient (Vlmax-V)/2.18 Avec a constante à définir (cf. [Del Castillo, 1993]).19 Cette loi de poursuite peut être traduite en disant que la vitesse du véhicule n à l’instant t+2 est égale à lavitesse d’équilibre correspondant aux conditions de trafic que le véhicule voit devant lui (à une distance ∆) àl’instant t.20 La démonstration de ce point nécessite que soit introduite la résolution analytique du problème de Riemannpar les modèles du second ordre. Il sera développé par la suite (cf IV.3.2.a).21 Cette propriété est aussi vérifiée pour le modèle de Payne si le diagramme fondamental de Greenberg estutilisé [Greenberg, 1959].


92

( )2'²( )( )eq

V V c K K KV K V K

t x K x x

∂ ∂ ∂ ∂+ = − = −∂ ∂ ∂ ∂

(IV.14)

Cette convergence est très intéressante car elle garantit la représentation correctedes états d’équilibre. A titre de comparaison, la convergence du modèle de Payne vers lemodèle de LWR n’est assurée que lorsque 2 et # tendent vers 0 [Scochet, 1988]. Cettedernière propriété doit cependant être relativisée étant donnée la définition de#=V’

eq(K)/(22). L’équivalence avec le modèle de LWR dans les situations d’équilibrepermet aux modèles de Del Castillo et de Zhang de ne pas modéliser la diffusion versl’arrière d’une file d’attente arrêtée. En effet, dans l’exemple de Daganzo, le système étantà l’équilibre à l’état initial, les solutions de ces modèles correspondent au modèle de LWRqui ne prévoit pas de diffusion. De plus, si en amont de la file d’attente il existe uneconcentration faible correspondant à un état de non équilibre, les deux modèles du secondordre prévoient certes une diffusion vers l’arrière avec dans ce cas des vitesses négatives(phénomène d’isotropie dû à la propagation suivant la deuxième valeur propre) mais cephénomène est transitoire [Zhang, 2000].

Un autre avantage de ces modèles sur le modèle de Payne est que le temps deréaction 2 n’apparaît plus que dans le terme de relaxation. Il peut donc être calibréuniquement en considérant ce phénomène sans que ce calibrage influence le termed’anticipation. En effet, les études faites sur le modèle de Payne ont montré qu’il étaitnécessaire d’utiliser des temps de réaction très élevés qui ne correspondent plus à aucunsens physique (2 peut aller jusqu’à 50 secondes et plus suivant les auteurs cf. [Leclercq,1998] [Lebacque et Lesort, 1999]).

Ainsi les modèles de Del Castillo et de Zhang apportent des améliorations parrapport au modèle de Payne mais ils ne résolvent pas tous les problèmes liés aux modèlesdu deuxième ordre. D’autres modèles qui vérifient la propriété d’anisotropie du trafic ontété développés tout récemment.

IV.3.1.b.iii Modèles du deuxième ordre à comportement anisotrope

Trois modèles du second ordre anisotropes ont été publiés en moins d’un an sansqu’aucun des auteurs ne fasse référence aux travaux des autres [Zhang, 2002] [Jiang et al,2002] et [Aw et Rascle, 2001]. Ces modèles sont tous construits sur le même principe quiconsiste à modifier la matrice de flux F de IV.13 afin d’éliminer les vitesses depropagation des caractéristiques supérieures à la vitesse du flux. Ceci revient à vérifier que,pour la matrice choisie, la plus grande valeur propre est inférieure à la vitesse du flot. Lesystème retenu est le suivant :

( ) ( )* **( ) avec

0 ( )

V KU F U U s U F U

V c Kt x

∂ ∂+ = = +∂ ∂ (IV.15)

Les valeurs du coefficient c*(K) pour chacun des trois modèles ainsi que lesprincipes qui ont guidé leur construction sont regroupés dans le Tableau IV.2. Il estimportant de noter que le modèle de Zhang ne comprend pas de terme de relaxation :s(U)=0.


93

Nom du modèle c*(K) Mode de construction

Aw et Rascle[2001]

' ( )KP K− 22Correction du modèle de Payne pour remplacer la

dérivée spatiale de la concentration dansl’équation dynamique par la dérivée particulaire

Jiang et al[2002] 0c−

Loi de poursuite :

( )

1

1

(1/ ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

eq nn

n n

n n

V x x tx t v

x x t x t

v x t x t

λτ−

−

∆ −= + ∆

∆ = −∆ = −

Zhang 2[2002]

' ( )eqKV KLoi de poursuite :

( )( )n

vx t

xτ∆=∆

23

Tableau IV.2: Modèles du 2ème ordre à caractère anisotrope

Avec ces définitions de c*(K), qui sont toutes négatives, les valeurs propres de F*

sont bien toutes les deux plus petites que la vitesse du flot :*

1 2( )V c K Vλ λ= + < =

Les trois modèles sont donc bien anisotropes. De plus, le fait que 2 soit égale à lavitesse du flot garantit qu’aucune vitesse négative ne peut apparaître24. Les deuxprincipales critiques faites au modèle du deuxième ordre par Daganzo [1995b] sont doncrésolues.

Le modèle de Zhang admet une propriété supplémentaire. En effet, lorsque lesystème est à l’équilibre (V=Veq(K)), la première valeur propre est égale à la vitesse depropagation des caractéristiques du modèle de LWR :

' '1 ( ) ( ) ( )eq eq eqV K KV K Q Kλ = + =

Ceci montre que le modèle de Zhang converge vers le modèle de LWR et qu’il a lemême comportement que ce dernier si le trafic est à l’équilibre. Ce modèle contient donctoutes les capacités du modèle de LWR auxquelles s’ajoutent ses capacités propres,notamment en ce qui concerne la représentation des phénomènes de propagation desperturbations vers l’avant lorsque le trafic est dense ou de la formation de paquets devéhicules roulant de manière homogène [Zhang, 2002].

Ce modèle de Zhang apparaît comme le plus abouti des modèles du 2ème ordre car :

- Il est débarrassé des phénomènes parasites que sont l’apparition des vitessesnégatives et le phénomène de « wrong-way travel » ;

- Il modélise les états d’équilibre comme le modèle de LWR ;

22 avec P(K)=K par définition23 Les lois de poursuite qui mènent aux modèles de Zhang 2 et de Jiang et al sont identiques à ceci près queZhang considère un temps de réaction 2 dépendant de l’interdistance ∆x alors que Jiang considère un tempsde réaction fixe et que Zhang n’intègre pas de relaxation vers la vitesse d’équilibre dans son modèle.24 Ce point sera démontré par la suite lorsque sera introduite la résolution analytique du problème deRiemann (cf. IV.3.2.a).


94

- Il est capable de modéliser des phénomènes que le modèle de LWR ne sait pasreprésenter.

Cependant, Zhang n’a pas étudié la capacité de son modèle à représenter lacinématique des véhicules durant les phases transitoires. Or, c’est avant tout sur ce pointque la supériorité d’un modèle du 2ème ordre sur le modèle de LWR doit être établie pourl’utiliser dans le cadre d’applications acoustiques. Ainsi, il convient d’étudier les solutionsd’un tel modèle pour des scénarios correspondant à des phases d’arrêt et de redémarragedes véhicules. Pour cela, il est nécessaire de s’intéresser aux méthodes de résolution desmodèles du 2ème ordre.

IV.3.2 Résolution des modèles du 2ème ordre

IV.3.2.a Résolution analytiqueIV.3.2.a.i Méthodes de résolution

Comme pour le modèle de LWR, il est possible de résoudre analytiquement leproblème de Riemann25 avec un modèle du second ordre mis sous la forme d’un systèmehyperbolique conservatif sans second membre. C’est le cas de la première famille demodèles du second ordre (système IV.13) et des modèles anisotropes (système IV.15) sis(U)=0.

La résolution analytique des modèles du deuxième ordre sans second membreutilise la notion de caractéristiques26 déjà présentée lors de l’étude du modèle de LWR (cf.IV.2.2.a). Simplement, il existe pour ces modèles deux familles de caractéristiquesassociées aux valeurs propres de la matrice de flux F. En un point (x,t) où lescaractéristiques du trafic sont (K0,V0) deux caractéristiques sont émises de pentesrespectives 1(K0,V0) et 2(K0,V0).

Selon les conditions de concentration et de vitesse Ug et Ud, respectivement enamont et en aval du problème de Riemann étudié, les caractéristiques de chaque famillepeuvent soit conduire à la création d’ondes de choc ou d’éventails. Huit cas sont possibles :quatre cas simples correspondant à la formation d’une seule onde de choc ou d’un seuléventail d’une des deux familles et quatre cas plus complexes correspondant à créationd’une onde de choc ou d’un éventail de chaque famille.

Pour déterminer la solution correspondant au cas étudié, il convient de construiredans le plan (K,V) en partant de l’état amont Ug, le lieu des ondes de choc et des éventailsde chaque famille de caractéristiques. Ces lieux sont tangents en Ug aux vecteurs propresL1 et L2, associés aux valeurs propres 1 et 2. Il faut ensuite déterminer le cheminement quipermet de passer de Ug à Ud en passant si nécessaire (cas complexe) par un état detransition Ut [Zhang, 2000]. Ce cheminement permet de déterminer quelles ondes de chocet éventails se forment. A titre d’exemple, la Figure IV-9 présente deux situations

25 Le problème de Riemann se formule ici en donnant de part et d’autre de la discontinuité les valeurs de laconcentration et de la vitesse correspondant à la situation de trafic étudiée.26 Le but de ce paragraphe n’est ni de démontrer ni d’exposer l’ensemble des éléments calculatoires quipermettent de déterminer les solutions analytiques. Ces éléments pourront être trouvés dans [Zhang, 2000] et[Zhang, 2001].


95

possibles : pour le profil de concentration croissant, le cheminement conduit à l’existenced’une onde de choc de la famille 1 entre Ug et Ut puis à un éventail de la famille 2 entre Ut

et Ud ; pour le profil de concentration décroissant, le cheminement conduit d’abord à unéventail de la famille 1 puis à une onde de choc de la famille 2.

x0

x

Ug=(K

g V

g) U

d=(K

d V

d)

K

V

Profil de concentration croissant

x0

x

Ug=(K

g V

g) U

d=(K

d V

d)

K

V

Profil de concenration décroissant

V

K

Ud

Ug

Ut

L1

L2

Cheminement des états de transition

Odc 1Odc 2Eventail 1Eventail 2

Ug

Ud

Ut

L1

L2

Cheminement des états de transition

V

K


Eventail 2

Ug

Ud

Ut

Odc 1

x

x0

t


Eventail 1U

g

Ud

Ut

Odc 2

x

x0

t


Figure IV-9: Solutions analytiques du problème de Riemann (modèles du second ordre)27

Lorsqu’un éventail sépare deux états de trafic, la pente des caractéristiques qui lecomposent s’obtient en étudiant le lieu de l’éventail entre ces deux états. Chaque pentecorrespond à la valeur propre associée à l’état du trafic en un point de ce lieu.

Lorsqu’une onde de choc sépare deux états Ug et Ut, la pente u de celle-ci s’obtientgrâce à la formule de Rankine-Hugoniot :

t t g g

t g

K V K Vu

K K

−=

−

27 Sur cette figure, les lieux des éventails et des ondes de choc ont été schématiquement représentés par desdroites ce qui n’est pas le cas normalement (cf. [Zhang, 2000]).


96

L’introduction du terme de relaxation s(U) dans le système d’équations décrivantun modèle du deuxième ordre fait que les ondes associées à la deuxième valeur propre nepersistent pas. Elles décroissent exponentiellement à une vitesse de l’ordre deexp( / )t τ− [Zhang, 2000]. De plus, lorsque 2 tend vers 0, il est possible de démontrer que la

deuxième famille de caractéristiques se confond avec la première, ce qui démontre laconvergence vers le modèle de LWR [Li et Zhang, 1999] in [Zhang, 2000].

IV.3.2.a.ii Problème des vitesses négatives

La connaissance des solutions analytiques d’un modèle du deuxième ordre permetd’étudier précisément le phénomène des vitesses négatives qui apparaissent dans lapremière famille de modèle. En effet, l’existence d’un état de transition Ut montre qu’il esttoujours possible de construire un problème de Riemann conduisant à ce que cet étatadmette une vitesse négative (cf. Figure IV-10). Il est vrai que pour les modèles de typeZhang 1 ou Del Castillo cet état n’est que transitoire car il converge forcément vers un étatd’équilibre grâce à la relaxation.

0

V

K

Ud

Ug

Ut

L1

L2

Cas des modèles de la 1ère famille

Vitesses négatives


0

V

K

Ud

Ug

Ut

L1

L2

Cas des modèles anisotropes

Vitesses négatives


Figure IV-10: Explication de l'apparition des vitesses négatives dans les modèles de la première famille

Les modèles du second ordre anisotropes de type Zhang 2, Jiang et al ou Aw etRascle évitent l’apparition de vitesses négatives car la seconde valeur propre est égale à lavitesse du flot. Le vecteur propre L2 est alors horizontal, tout comme le lieu des ondes dechoc et des éventails de la famille 2 qui est dans ce cas une droite. Les cheminementsséparant deux états de trafic ne peuvent donc plus traverser de zones où les vitesses sontnégatives (cf. Figure IV-10).

IV.3.2.b Résolution numériqueIV.3.2.b.i Schémas de discrétisation

La discrétisation des modèles du second ordre reprend le principe de découpage dutronçon étudié en cellules à l’intérieur desquelles les variables de trafic sont calculées tousles pas de temps (cf. IV.2.2.b.i). Les variables d’état sont ici la concentration Ki

t∆t et lavitesse Vi

t∆t.

Les premiers schémas de discrétisation qui sont apparus pour calculer les solutionsnumériques des modèles du second ordre utilisent les principes classiques del’approximation d’une fonction dérivée par un schéma aux différences finies, centré avantou arrière. C’est le cas par exemple de la discrétisation proposée par Payne pour sonmodèle (cf. IV.16) et introduite dans le logiciel de simulation FREFLO [Payne, 1979].


97

( )

( )

( 1)1 1

( 1) 11 ( )

t t t t t t t t t t t ti i i i i i

t t t tt t t t t t t t t t t t i i

i i i i i eq i t ti

tK K K V K V

x

K Kt tV V V V V V K

x K x

υτ

+ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆− −

∆ ∆+ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ +

− ∆

∆ = + − ∆ −∆ ∆ = − − − − + ∆ ∆

(IV.16)

Ce schéma a été beaucoup étudié en simulation, notamment lors d’expérimentationsdestinées à valider les modèles du second ordre. Papageorgiou et al [1990] l’ont d’ailleurscorrigé en introduisant une concentration résiduelle k dans le terme28 (#/ Ki

t∆t) pour éviterque, pour de faibles concentrations, ce terme devienne infini (cf. discrétisation du modèleMETA29).

Selon les auteurs et les sites étudiés, les conclusions sur la pertinence de lamodélisation apportée par les modèles du second ordre divergent largement. Zhang [2001]remarque qu’une partie des mauvais résultats obtenus ([Derzko et al, 1983] [Ross,1988] in[Zhang,2001]) peuvent s’expliquer par le fait que le schéma de discrétisation utilisé n’estpas adapté. En effet, le caractère hyperbolique des modèles du second ordre implique deseffets de causalité : les informations se propagent suivant certaines directions à des vitessesfinies et, même avec des conditions initiales parfaitement continues, il peut apparaître desondes de choc. Le schéma de discrétisation utilisé doit prendre en compte ces phénomènes.De plus, la consistance, la stabilité et la convergence (cf. IV.2.2.b.ii) de ce schémanumérique IV.16 vers le modèle continu n’ont jamais été étudiées. Il est d’ailleurs nonconservatif.

Zhang propose deux schémas de discrétisation applicables aussi bien aux modèlesde la première famille qu’aux modèles anisotropes. Le premier [Zhang, 2000b] consiste àutiliser le schéma de Lax-Friedrichs [Godlewski et Raviart, 1991]. Pour cela, il estnécessaire de réécrire le système IV.13 qui est sous une forme conservative différentielle,sous une forme conservative simple30 IV.17 :

( ) ( )( ) avec ² ²( )

2 K

KVf U

U s U f U V c kdkt x

k

∂∂ + = = +∂ ∂

∫(IV.17)

Le schéma de Lax-Friedrichs donne alors la discrétisation suivante (cf. IV.18) :

( )( 1) 1 11 12 2

t t t tt t t t t t t ti i

i i i i

U U tU f f s t

x

∆ ∆+ ∆ ∆ ∆ ∆+ −

+ −+ ∆= − − + ∆

∆(IV.18)

Ce schéma est stable si les valeurs propres de F (forme différentielle de f) vérifientla condition IV.19 qui est l’analogue de la condition CFL pour le modèle de LWR :

( )1 2( , )max ,

K V

x

tλ λ∆ ≥

∆(IV.19)

28 Qui devient alors (#/(Ki

t∆t+k)).29 Modèle d’Ecoulement du Trafic Autoroutier30 Sous cette forme, f est la fonction de flux.


98

Zhang propose un second schéma de discrétisation dont il démontre la consistance,la stabilité et la convergence (à condition que IV.19 soit vérifiée) pour le système IV.13sans second membre. Il s’agit d’un schéma de Godunov qui utilise les méthodes exposéeslors de la résolution analytique des modèles du second ordre pour résoudre les problèmesde Riemann qui se produisent à chaque frontière de cellules à chaque pas de temps.L’exposé de ce schéma est fastidieux car il nécessite de travailler par études de cas afin dedéterminer l’état du trafic à l’instant (t+1)∆t en fonction de l’état à l’instant t∆t. Tous lesdétails de ce schéma pourront être trouvés dans [Zhang, 2001]. Ce schéma est trèsintéressant car d’une part il s’agit du seul schéma31 pour lequel la convergence vers lemodèle continu est établie formellement et d’autre part il est le pendant parfait du schémautilisé pour la résolution du modèle de LWR.

IV.3.2.b.ii Impact du schéma de discrétisation

L’étude de la discrétisation du modèle de LWR a montré que celle-ci introduit unphénomène appelé viscosité numérique (cf. IV.2.2.b.ii). Ce même phénomène existe aussipour les schémas relatifs aux modèles du second ordre. Ainsi, même pour les schémasconvergents tels que le schéma de Godunov, une différence pourra être observée entre lessolutions numériques et les solutions continues.

Cette différence peut s’avérer être d’une ampleur plus importante pour les modèlesdu second ordre que pour le modèle de LWR. En effet, la condition de stabilité IV.19impose que la valeur absolue de la plus grande des valeurs propres soit inférieure aurapport ∆x/∆t. Ceci se traduit pour la première famille de modèle par :

( ) [ ] [ ]max max, 0, 0, ( )x

K V K Vl V c Kt

∆∀ ∈ × − ≤∆

Pour le modèle de Zhang et le diagramme de Greenshields cette condition sesimplifie en :

max2x

Vlt

∆ ≥∆

Il est donc nécessaire de prendre des longueurs de cellules deux fois plus grandesque ce que demanderait la condition CFL. Or, dans ce modèle, la première famille d’ondessuit exactement le modèle de LWR. La viscosité relative à ce phénomène sera plusimportante que s’il avait été reproduit avec le modèle de LWR seul sous sa forme discrète.

Il convient de remarquer que cet aspect ne concerne pas les modèles anisotropes.En effet, la plus grande valeur propre de ces modèles étant égale à V, la condition IV.19 serésume simplement à :

max

xVl

t

∆ ≥∆

31 A la connaissance de l’auteur


99

IV.3.2.b.iii Problème de la discrétisation du terme de relaxation

La discrétisation des modèles du second ordre introduit un problème particulierrelatif au terme de relaxation s(U). Dans la version continue, le terme de relaxation estparamétré par 2 qui correspond au temps de réaction. Dans le schéma discret, ce paramètreapparaît dans la version discrétisée du terme de relaxation soit :

0

( )t t t t t ti eq i i

s V K V

τ

∆ ∆ ∆

= −

Ces deux expressions sont à première vue analogues. Cependant, 2 n’y joue pas lemême rôle [Leclercq, 1998]. Ceci peut être illustré en considérant le cas d’un tronçon deconcentration homogène K0 où la vitesse initiale V0 est différente de la vitesse d’équilibre.Avec de telles conditions initiales, le schéma de Lax-Friedrichs se réduit32 à :

( )( 1)0( )t t t t t t

eq

tV V V K V

τ+ ∆ ∆ ∆∆= + − (IV.20)

Cette expression permet de démontrer que, dans la version discrétisée du modèle, 2

ne correspond effectivement au temps de réponse que si ∆t/2 tend vers 1. En effet, IV.20est une suite pour laquelle la vitesse d’équilibre n’est que l’asymptote. Le temps deconvergence vers cette valeur dépend du rapport ∆t/2. La Figure IV-11 montre, pour un ∆tde une seconde, la divergence qui existe entre le temps nécessaire en simulation pouratteindre 90% de la vitesse d’équilibre en partant d’une vitesse nulle et le temps de réponseutilisé. En choisissant un pas de temps proche du temps de réaction, cet effet est minimisémais la relaxation est alors immédiate et les transitions ne sont plus représentées.

Ce phénomène induit une dépendance des solutions numériques au schéma dediscrétisation ce qui n’était pas le cas du modèle de LWR. De plus, pour rester cohérentavec le modèle continu, le temps de réponse doit être modifié dans la version discrétisée dumodèle pour donner au temps de convergence la même signification physique que le tempsde réponse continu. Ce point a été peu étudié dans la littérature mais apparaît néanmoinscomme très important.

32 Tous les segments évoluant de manière uniforme à chaque pas temps, seule la dépendance en temps de lavitesse a été considérée dans le schéma.


100

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60

80

100

120

140

Temps de réponse paramétré [s]

Tem

ps d

e co

nver

genc

e en

sim

ulat

ion

[s]

Temps de réponseTemps nécessaire en simulationpour atteindre 90% de Veq

Figure IV-11: Ecarts entre le temps de convergence lors d'une simulation et le temps de réponse introduit

IV.3.3 Modélisation de la cinématique

La définition des méthodes de résolution des modèles du second ordre, effectuée auparagraphe précédent, va permettre de répondre à la question ayant conduit à l’étude de cesmodèles : fournissent-ils une représentation correcte de la cinématique des véhiculesdurant les phases transitoires ?

IV.3.3.a Modélisation des phases de décélération

L’analyse des solutions analytiques des modèles du second ordre montre que lesphases de décélération sont toujours modélisées par une onde de choc (cf. IV.3.2.a.i etFigure IV-9). En effet, tout cheminement entre un état Ug et un état Ud, où la vitesse estplus élevée en amont qu’en aval, se fait suivant une onde de choc de la famille 1 suivie,soit d’une onde choc de la famille 2 si la vitesse continue à décroître entre l’état detransition Ut et l’état final, soit d’un éventail de la famille 2 mais dans ce cas la vitesseaugmente.

Les phases transitoires de décélération sont donc modélisées dans les modèles dusecond ordre exactement comme dans le modèle de LWR. D’ailleurs, pour les modèles detype Zhang 1 et 2 ou Del Castillo, les ondes de choc sont identiques à celles du modèle deLWR, car la valeur propre 1 est égale à la vitesse des caractéristiques de ce derniermodèle.

Quel que soit le modèle du second ordre choisi, les décélérations représentées par lemodèle sont donc toujours infinies. Il est possible que les résultats en simulationfournissent des profils de décélération moins brutaux. Cependant, ce résultat n’est obtenuque par l’effet de la viscosité numérique, plus importante dans les modèles du deuxièmeordre que dans le modèle de LWR (cf. IV.3.2.b.ii). Il ne permet en aucun cas de présumerde la supériorité d’un modèle du second ordre quant à la modélisation des phases dedécélération.

IV.3.3.b Modélisation des phases d’accélération

Les phases d’accélération sont toujours modélisées par un éventail. En effet,l’analyse des solutions analytiques montre que si l’état amont Ug admet une vitesse


101

inférieure à l’état aval Ud, la première partie du cheminement consiste toujours à emprunterun éventail de la famille 1. Puis, il existe soit une onde de choc de la famille 2 mais dans cecas la vitesse diminue entre l’état de transition et l’état final, soit un éventail de type 2.

Ainsi, les modèles du second ordre n’apportent pas plus de garanties que le modèlede LWR quant à la correcte représentation des accélérations, condition nécessaire pouravoir des profils cinématiques réalistes. En effet, ils sont capables de prévoir des phases detransition que le modèle de LWR ne modélise pas (correspondant à la deuxième familled’ondes). Cependant, étant donné qu’ils utilisent des éventails pour modéliser ces phases, ilest toujours possible de trouver des accélérations non bornées à proximité de l’origine deséventails. Ceci est parfaitement logique car si les modèles du second ordre une équationdynamique décrivant le comportement de l’accélération particulaire du flux, cette équationn’intègre aucun terme représentant une borne physique sur l’accélération des véhicules.

Pour le scénario du redémarrage à un feu tricolore, les conditions de trafic sont àl’équilibre de part et d’autre du feu (Kmax,0) en amont et (0,Vlmax) en aval. Les modèles detype Zhang 1 et 2 et Del Castillo33 vont donc se comporter exactement comme le modèlede LWR et donner la solution analytique qui a déjà été étudiée (cf. Figure IV-6). La phasede redémarrage est donc représentée avec les mêmes lacunes. Les autres modèles vontavoir un comportement légèrement différent de par la forme de l’éventail qu’ils vontreproduire mais la phase transitoire ne sera pas pour autant mieux représentée.

Comme pour la décélération, il est possible que l’usage d’un modèle du secondordre sous sa forme discrète produise des phases de transition plus douces maisuniquement à cause de la viscosité numérique.

IV.3.3.c Conclusion

L’étude de la modélisation des phases d’accélération et de décélération par unmodèle du second ordre incite à préciser la notion de phases transitoires. En effet, lesphénomènes transitoires modélisés par les modèles du deuxième ordre, tels que les ondesd’arrêt et de redémarrage ou la propagation des informations à l’intérieur d’un flux dense,n’apportent rien en ce qui concerne la représentation de la cinématique durant les phases detransition.

Les modèles du deuxième ordre ont surtout été construits dans l’optique de prévoirl’évolution d’un état de trafic qui n’est pas à l’équilibre. Le scénario typiquement étudié estcelui d’une autoroute sur laquelle des zones de perturbation sont identifiées et où le modèlesert à déterminer l’évolution de ces zones. La reproduction de la cinématique des véhiculesdurant les phases d’accélération et de décélération correspond à un tout autre phénomène,relatif au caractère borné de ces deux grandeurs. Si ce phénomène peut conduire à des étatss’éloignant de l’équilibre, il n’obéit pas à un processus de relaxation mais à un processusd’évolution qui doit être modélisé spécifiquement.

33 Il a été démontré que pour ces modèles, si la condition initiale correspond à un état d’équilibre, celui-ci seconserve et les solutions sont identiques au modèle de LWR.


102

Les modèles du second ordre ne proposent pas une modélisation plus réaliste desphases transitoires d’accélération et de décélération que le modèle de LWR. Pour obtenirdes profils cinématiques cohérents durant ces phases, il faut trouver un moyen demodéliser spécifiquement ces phénomènes quel que soit l’ordre du modèle de trafic choisi.

IV.3.4 Bilan avantages / inconvénients

Les modèles du second ordre ont pour principal avantage de modéliser l’apparitionet l’évolution de phénomènes transitoires qui apparaissent dans la réalité lorsque le traficsubit des variations de son état. C’est le cas, par exemple, aux abords des convergents etdes divergents sur autoroute où le trafic est soumis à des variations de son volume et de savitesse. Ces variations peuvent se traduire par l’apparition de perturbations qui ne sont pasforcément liées à une saturation des capacités de la voie : formation d’ondes d’arrêt et deredémarrage ou regroupement de véhicules en paquets, qui se propagent ensuite àl’intérieur du flux. Le modèle de LWR ne peut pas modéliser ces phénomènes car pour lui,une variation des conditions de trafic entraîne juste un repositionnement d’un étatd’équilibre vers un autre, sans effets complémentaires.

Les modèles du second ordre anisotropes ont pour avantage supplémentaire des’appuyer sur un corpus théorique complet dont les solutions analytiques sont connues,tout en étant débarrassés des effets parasites que sont les vitesses négatives et lapropagation dans le mauvais sens des informations. Enfin, l’ensemble des modèles dudeuxième ordre travaille avec la vitesse comme variable fondamentale ce qui facilitel’étude de la cinématique des véhicules dans les modèles discrets.

Les modèles du second ordre ont cependant de sérieux inconvénients pour êtreutilisés en pratique en tant que supports à un modèle d’estimation dynamique du bruit enmilieu urbain :

- Ils ne proposent pas de modélisation des phases transitoires d’accélération et dedécélération ;

- Ils sont complexes et difficiles à maîtriser : les solutions analytiques ne peuventpas être calculées facilement même dans des cas très simples. En ce qui concerne lesrésultats numériques, il est délicat de faire la part des choses entre les phénomènescorrespondant à l’une ou l’autre des valeurs propres et ceux liés à la viscositénumérique ;

- Ils ne permettent pas de modéliser les discontinuités des caractéristiques duréseau. En effet, la formulation de ces modèles ne tient pas compte de la possibledépendance, en x ou en t, de la vitesse d’équilibre. Or, la modélisation desdiscontinuités est très importante en milieu urbain où les variations du nombre devoies sont nombreuses et où il peut être utile d’étudier l’impact d’obstacles sur lachaussée (chantiers, véhicules de livraison…).

Les modèles du second ordre paraissent donc mieux adaptés pour prévoirl’évolution de phénomènes se produisant sur les autoroutes ou sur les voies rapidesurbaines que pour modéliser la cinématique des véhicules en milieu urbain, bien qu’ilssoient construits à partir d’une équation dynamique de comportement incluantl’accélération des particules du flux.


103

IV.4 Conclusion et choix d’un modèle à améliorer

Quel que soit leur ordre, les modèles macroscopiques représentent la cinématiquedes véhicules durant les phases transitoires d’accélération ou de décélération de manièresemblable :

- La décélération des véhicules est toujours instantanée et se produit lors de latraversée d’une onde de choc ;

- L’accélération s’effectue à l’intérieur des éventails sans que les capacitésmécaniques des véhicules soient forcément respectées (présence d’accélérations nonphysiques).

Aucun modèle macroscopique ne peut donc être utilisé en l’état pour fournir unereprésentation de l’écoulement du trafic susceptible de permettre l’estimation pertinentedes émissions de bruit associées. Cependant, il apparaît possible de choisir un modèle et dele modifier afin qu’il estime correctement la cinématique des véhicules durant les phasestransitoires.

Zhang, dans sa synthèse sur les recherches récentes en théorie du trafic, [Zhang,2002] montre qu’il existe deux types d’approche permettant de représenter les phénomènesde trafic. La première, qu’il nomme « high-order enhancement », cherche à développer denouvelles équations dynamiques afin de permettre aux modèles du second ordre demodéliser le phénomène souhaité. La deuxième (« low-order enhancement ») consiste àgarder le concept d’équilibre, propre au modèle de LWR et à travailler avec des relationsfondamentales plus complexes et adaptatives afin de reproduire les phases transitoires.Ceci peut être effectué de deux façons : soit en modifiant effectivement le diagrammefondamental en fonction de la situation de trafic, soit en introduisant des contraintes quiagissent comme des conditions aux limites supplémentaires à la relation d’équilibre et quiimposent le comportement du trafic durant les phases transitoires.

Dans le cadre de cette thèse, le choix s’est porté sur cette deuxième approche. Eneffet, le modèle de LWR apparaît comme le plus adapté pour représenter des circulationsurbaines. Il est robuste et plus simple à utiliser qu’un modèle du second ordre. L’objectifest donc désormais de déterminer les moyens d’introduire la modélisation des phasestransitoires dans ce modèle. C’est l’objet du chapitre suivant.

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