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  • Base de la mcanique newtonienne 1

    Semestre d'hiver 2002/2003

    CHAPITRE IV

    BASE DE LA MECANIQUE NEWTONIENNE

    I) INTRODUCTION

    Nous avons vu la cinmatique du point avec, comme exemple, plusieurs cas

    o nous avons spcifi la forme fonctionnelle de l'acclration. Il est donc

    intressant maintenant de parler de la mcanique newtonienne dun point

    matriel, afin de pouvoir avoir une vue physique des phnomnes. Nous

    reviendrons, aprs ce chapitre, la cinmatique et la mcanique du corps

    solide.

    Pour cette introduction la mcanique newtonienne, je ferai appel vos

    connaissances acquises au niveau du gymnase. Nous noncerons d'abord

    les lois de Newton puis nous les commenterons. Enfin quelques

    applications seront prsentes. Nous terminerons en prsentant la loi de la

    gravitation universelle.

    II. LA MECANIQUE SELON NEWTON

    II.1 Dfinition de la masse

    Je cite Newton:

    "La quantit de matire se mesure par la densit et le volume pris ensemble". "Je

    dsigne la quantit de matire par les mots de corps ou de masse". Newton

    indique que la masse "se connat par le poids du corps, car j'ai trouv par

    des expriences trs exactes sur les pendules que les poids des corps sont

    proportionnels leur masse". Notez que Newton utilise le terme se connat.

    L'unit de masse est le kilogramme, dont la dfinition est la masse d'un

    cylindre en platine iridi dpos au Bureau International des Poids et

    Mesures.

    I1.2) Dfinition de la quantit de mouvement

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    La quantit de mouvement P est le produit de la masse m par la vitesse v

    P = mv

    I1.3) Dfinition de la force

    Newton distingue plusieurs types de force. L'une d'elle, la force exerce ("vis

    impressa" en latin) est l'action par laquelle "l'tat du corps est chang, que cet

    tat soit le repos ou le mouvement uniforme". Elle dtermine donc l'acclration

    (Premire loi de Newton).

    Newton considre la masse et la force comme deux quantits premires: I l

    dfinit la quantit motrice de la force comme tant proportionnelle la

    [quantit] de mouvement qu'elle produit dans un temps donn.

    I1.4) Lois de Newton

    Les lois newtoniennes du mouvement sont nonces dans les "Philosophiae

    naturales principia mathematica" dposs la Royal Society le 28 avril1686

    et publi en 1687.

    - Premire Loi

    "Tout corps persvre dans l'tat de repos ou de mouvement uniforme

    dans lequel il se trouve moins que quelque force n'agisse sur lui et ne

    le contraigne changer d'tat."

    - Deuxime Loi

    "Les changements qui arrivent dans la quantit de mouvement sont

    proportionnels la force motrice et se font dans la ligne droite o cette

    force a t imprime."

    - Troisime Loi (principe d'action et de raction)

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    "L'action est toujours gale et oppose la raction, c'est--dire que les

    actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours gales et de

    directions contraires."

    Newton ajoute deux corollaires extrmement importants sur la composition

    des forces.

    - Corollaire I de la Deuxime Loi

    "Un corps pouss par deux forces parcourt, par leurs actions runies, la

    diagonale d'un paralllogramme dans le mme temps dans lequel i l

    aurait parcouru ses cts sparment."

    - Corollaire II

    "D'o l'on voit qu'une force directe AD est compose des forces obliques

    quelques AB et BD et rciproquement qu'elle peut toujours se rsoudre

    dans des forces obliques quelconques AB et BD. Cette rsolution et cette

    composition des forces se trouvent confirmes tout moment dans la

    mcanique."

    A B

    C D

    II.5) Commentaires

    Discutons de ces lois.

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    La dfinition de la masse par Newton est une tautologie, puisque la

    densit est la quantit de matire par unit de volume. Comme le dit Ernst

    Mach dans "La Mcanique, expos historique et critique de son

    dveloppement".

    "Le concept de masse n'est pas plus clair parce qu'on le dfinit comme produit du

    volume par la densit puisque la densit elle-mme ne reprsente autre chose que

    la masse de l'unit de volume. La vritable dfinition de la masse ne peut tre

    dduite que des relations dynamiques des corps."

    - La dfinition de la force motrice contient dj la Deuxime Loi.

    On l'appelle aussi "Principe d'inertie". Remarquez tout d'abord que la

    Premire loi fait intervenir la notion "d'tat de repos" ou "de mouvement de

    repos". Mais nous avons dj vu dans le cadre de la cinmatique que la

    notion de mouvement tait intimement lie celle de rfrentiel. Aussi la

    Premire Loi revient dfinir la notion de rfrentiel d'inertie (ou

    rfrentiel inertiel):

    Il existe des rfrentiels dans lesquels le mouvement d'un objet en

    absence de forces extrieures est un mouvement rectiligne uniforme

    ou est au repos. Un tel rfrentiel est appel rfrentiel d'inertie. La

    question de trouver les rfrentiels d'inertie sera aborde dans un chapitre

    ultrieur. Nous admettons pour le moment qu'il en existe.

    - Lgalit de laction et de la raction

    Explication de Newton:

    Si lon presse une pierre avec le doigt, le doigt est press en mme temps par la

    pierre. Si un cheval tire une pierre par le moyen dune corde, il est galement tir

    par la pierre, car la corde qui les joint et qui est tendue des deux cts fait un

    effort gal pour tirer la pierre vers le cheval, et le cheval vers la pierre, et cet effort

    soppose autant au mouvement de lun quil excite le mouvement de lautre.

    Si un corps en frappe un autre et quil change son mouvement de quelque faon que

    ce soit, le mouvement du corps choquant sera aussi chang de la mme quantit, et

    dans une direction contraire, par la force du corps choqu, cause de lgalit de

    leur pression mutuelle.

    Par ces actions mutuelles, il se fait des changements gaux, non pas de

    vitesse, mais de quantit de mouvement, pourvu quil ne sy mle aucune

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    cause trangre, car les changements de vitesse qui se font de la mme manire

    dans des directions contraires doivent tre rciproquement proportionnels aux

    masses, cause que les changements de quantit de mouvement gaux.

    La partie sur la collision des corps est trs importante pour ltude des

    collisions entre deux corps. Dans notre langage moderne, ceci sappelle la

    conservation de la quantit de mouvement totale dans un systme qui nest

    soumis aucune force.

    I1.6) Petit intermde historique

    Galile avait, avant Newton, nonc le principe d'inertie en tudiant la chute

    des corps. Il introduit la notion d'"impeto" ou de "momento del discendere"

    et note que l"impeto" est nul sur un plan horizontal et que le mobile se

    trouve indiffrent au mouvement et au repos et ne prsente de lui-mme

    aucune tendance se mouvoir d'aucun ct ni aucune rsistance tre mis

    en mouvement [dans "Mcaniques", 1634]. Ce principe est repris par

    Huygens dans son trait posthume (1700). "Un corps quelconque en

    mouvement, s'il ne rencontre aucun obstacle, tend se mouvoir indfiniment avec la

    mme vitesse et en ligne droite."

    II.7) Retour sur la Deuxime loi de Newton et Validit de la mcanique

    classique

    Notons tout de suite que Newton donne cette loi sous la forme (en mettant

    le facteur de proportionnalit gal lunit)

    (mv) = F t

    ou en utilisant les variations infinitsimales:

    d mv( )

    dt= F

    et non pas:

    m dv

    dt= F

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    Ceci est une remarque historique intressante. Nous utiliserons la formule

    "classique"

    F = ma

    (que nous appellerons quation de Newton).

    La masse m qui intervient dans l'quation de Newton est appele masse

    d'inertie.

    Nous rservons l'quation

    F = dpdt

    dans les cas o la thorie relativiste doit tre utilise. En effet, dans ces cas

    m =mo

    1-v2/c2

    o c est la vitesse de la lumire (c=2.99752458108m/s~

    3108m/s) et mo est la masse au repos (v = 0). Nous voyons que pour les

    vitesses que nous rencontrons gnralement v/c1 et m mo . Cest cette

    quantit m mo que nous appelons masse d'inertie dans le cadre de la

    mcanique non-relativiste.

    Vrifions sur quelques exemples que v/c est beaucoup plus petit que 1. Soit

    un satellite de 1000kg que l'on veut satelliser. Sa vitesse v est donc

    suprieure 11.2 km/s, vitesse de satellisation. Prenons pour simplifier lescalculs v=15km/s. Donc v/c~ 15/30107)=510-8 et [1-(v/c)2]-

    1/2 vaut [1-2.510-15]-1/2 1+1.2510-15. A la 15me dcimale prs, le

    satellite a une masse de 1000kg! (La prcision sur la reproduction de

    l'talon de masse est 10-8-10-9).

    Qu'en est-il de la vitesse de la Terre autour du Soleil? Elle vaut21.4951011/3.16107 2.97104m/s soit environ 30km/s. Le

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    rapport v/c est donc 30/3105=10-4. Donc la masse de la Terre est gale

    sa masse au repos la 8me dcimale!

    Les avions supersoniques peuvent voler Mach2 soit 2400km/h ce qui

    n'est que 40km/s et l'on retombe au cas prcdent!

    Essayons la physique atomique dans sa version classique et non quantique.Le "rayon"r d'un atome est 510-11m. La force d'attraction d'un proton sur

    un lectron est

    e2

    4or2 = 9.26 10-8N

    L'acclration