Chapitre III Modeles VAR, Causalite Fonctions dImpulsion Modele a Correction dErreur Application.
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Chapitre III
Modeles VAR, Causalite
Fonctions d’Impulsion
Modele a Correction d’Erreur
Application
Objectifs
• Modeliser les relations entre plusieurs variables• Exemple: Rendements de marche, taux d’interet• Modele de “Vector AutoRegression” (VAR) • Causalite, choix du nombre de variables retardees• Fonctions d’Impulsion: Impulse Response• Modeles avec serie non-stationaires: “Error
Correction Models”
Exemple
• Analyser les inter-relations entre production industrielle et masse monetaire
• Impact dynamique des chocs
tttt
tttt
eMaIPaM
eMaIPaIP
2122121
1112111
Effet direct
Effet indirect
Modele VAR
• Vector AutoRegression
• Ecriture generale: VAR(1) a deux variablesXt = a + F1Xt-1 + ut
• Ceci implique les deux equations suivantes:
X1t = a1 + f111X1t-1 + f1
12X2t-1 + u1t
X2t = a2 + f121X1t-1 + f1
22X2t-1 + u2t
Questions
Q1. Pourquoi ne pas inclure des termes simultanes?
X1t = a1 + b1 X2t + f11X1t-1 + f12X2t-1 + v1t
X2t = a2 + b2 X1t + f21X1t-1 + f22X2t-1 + v2t
Q2. Quelle methode d’estimation?Q3. Autres Questions
A Le nombre de variables retardeesB Notion de causalite
Q4. Les variables doivent-elles etre stationaires? – VAR en difference ou en niveau?– ou Modele a Correction d’erreur?
Question 1: Structural VAR(1)• Modele VAR:
t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt
t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 zt
y b b z y z
z b b y y z
• y et z sont endogenes
• Les erreurs yt et zt sont des bruits blancs: Ecart types y et z
• Covariance des chocs egale a zero
• Un choc sur yt affecte y et z indirectement.
• 10 parametres a estimer
Transformation• Endogeneite: MCO produit des estimations biaisees et non-consistentes biased des parametres
• Transformer en forme reduite
• Dans une representation en forme reduite: y et z sont fonctions uniquement de leurs valeurs passees
• Solution:
ytt 10 t 112 11 12
21 t 20 21 22 t 1 zt
t 0 1 t 1 t
y b y1 b
b 1 z b z
x x ε
Transformation Standard• Multiplication par B-1
t 0 1 t 1 t
1 1 1t 0 1 t 1 t
t 0 1 t 1 t
x
Bx x ε
x ε
x A A x e
• Q2: Estimation par MCO
• Examiner les relations croisees entre les deux variable
Q3A: Le nombre de variables
• Test d’hypothese base sur vraisemblance statistique
• Habituellement, meme nombre de variables dans les deux equations
• Test LR
• Estimer 2 modeles: avec u et r variables retardees (u>r).
• c = np+1 est un terme de correction
• Sous H0, les u-r variables retardees supplementaires ne sont pas significatives statistiquement
2 2r u(T c) ln ln ~ (u r)n
Criteres d’Information
• Trouver le nombre de variables retardees qui minimise les criteres d’information
• Sigma: Valeur de la fonction de vraisemblance a l’optimum
2
2
AIC T ln 2(n p n)
SBC T ln (n p n) ln(T)
Q3B:Test de Granger-Causalite
Avec p variables retardees
X1t = a + b1X1t-1 +. .. + bpX1t-1 + c1X2t-1 + .. + cpX2t-p + u1t
H0: c1 = .. = cp = 0
Utiliser le test d’hypothese jointe F
Ganger non-causality
“X2t ne cause pas X1t au sens de Granger, si les valeurs passees de X2t n’aident pas a predire X1t en presence des
valeurs passees de X1t. ”
Identification• Peut-on retrouver les parametres du modele VAR structurel
a partir du modele standard? NON• 10 parametres dans le modele structurel contre 9 parametres
estimes dans le modele standard• SOUS-IDENTIFICATION• Solution: Fixer un parametre
• Sims (1980): Supposer que b21=0.
ytt 10 t 111 1212
t 20 21 22 t 1 zt
y b y1 b
z b z0 1
Identification• b21=0 implique:
ytt 10 t 111 1212 12 12
t 20 21 22 t 1 zt
t 10 t 1 1t11 12
t 20 21 22 t 1 2t
y b y1 b 1 b 1 b
z b z0 1 0 1 0 1
y a y ea a
z a a a z e
• Identifier les parametres du modele structurel
2 2 210 10 12 20 20 20 1 y 12 z
211 11 12 21 21 21 2 z
212 12 12 22 22 22 1 2 12 z
a b b b a b var(e ) b
a b a var(e )
a b a co v(e ,e ) b
Impulse Response Functions• Reaction de AUD a un choc sur le prix de matieres premieres? ZAR et or?
• IRF: Reponse des variables a un choc d’1 ecart type
• Representees habituellement sur l’axe des Y, avec les dates sur l’axe des X
• Reecriture du modele VAR pour isoler les chocs passes
• Les ij(i) representent les effets des erreurs passees sur y et z
i
t 1t i11 12
i 0t 21 22 2t i
iyt it 11 12 12
i 0t 21 22 21 12 21 zt i
yt it 11 12
t 21 22
y ea ay
z z a a e
y a a 1 by 1
z z a a b 1 1 b b
y (i) (i)y
z z (i) (i)
i 0 zt i
Orthogonalisation des Chocs
• X=[Y,Z]• Utiliser la decomposition Cholesky
Xt = b + FXt-1 + ut, Cov(ut) = W
• Il existe 2 matrices A, D telles queW = ADA’ = AD1/2D1/2A = PP’ avec
P = AD1/2,A est “lower triangular”D est diagonale
Deux Types de Reponse
dXt+s/d t =S
dXt+s/dxjt = [dXt+s/d t][dt/ dxjt ] = S aj
aj = jieme colonne de A
VAR: Exemple
VAR(1): output gap (y), taux d’interet (r)
VAR(1)
Eviews
Equation 1Equation 2
Impulse Response Function (IRF)
Cointegration
• Si Xt~ I(1), et Yt~ I(1), mais Zt = Yt - Xt ~ I(0)
• Alors Xt sont Yt cointegres
• Il existe une relation de long-terme (equilibre)• La relation est stationaire et converge; • Toute divergence est temporaire
Absence de Cointegration
• Si Xt et Yt ne sont pas cointegres
Zt = Yt - Xt ~ I(1).
Soit Zt = ut.
Yt - Xt = (Yo - Xo) + somme des uj sur j=1,..,t.
Desequilibre initial. De + en + grand lorsque t augmente.
Notations
• Zt : Deviation par rapport a l’equilibre
• Regression: Relation de long-terme, equilibre
: vecteur de cointegration: vitesse de retour a l’equilibre
yt= (yt-1- xt-1)+1 yt-1 + 2 xt-1 +et
Desequilibre ObserveEn t-1
Correction du desequilibre
Variations passees
Consequences
• Si Xt et Yt ne sont pas cointegrates, devrait etre egal a 0
• Si = 0, le modele est un VAR exprime en terme des variables differencees.
• Si 0, le modele VAR en differences est incorrectement specifie
Etapes Preliminaires
• Tests bases sur les residus– Est-ce que les residus sont stationaires?
• Augmented Dickey Fuller
• Philips Perron
• Tests bases sur valeurs propres– Johansen (1991)
Procedure
• Considerons un VAR(p):
• y vecteur de k variables non-stationaires. Reecriture:
• Le nombre de relations de cointegration depend du rang de
• Si rang<k: il existe r relations de long terme
ttptptteBxyAyAy ...
11
j
p
iji
i
p
i
ttiti
p
itt
A
IA
eBxyyy
1
1
1
11
Test de Johansen
• Hypotheses Sequentiellesr=0 versus r>0
r=1 versus r>1.....
• LR = -T i =r+1 to k log(1 - i)i est la ieme plus grande valeur propre de la matrice
Tous les parametres sont estimes simultanement
Application: BEER
• Behavioral Equilibrium Exchange Rate Model • Modelisation du taux de change USD/EUR• La parite du pouvoir d’achat n’arrive pas a
expliquer les fluctuations observees• Expliquer les deviations en prenant en compte:
– Differentiel de productivite– Differentiels de taux d’interet– Terms of trade shocks: Differentiel de prix– Prix du Petrole– Portfolio Balance Effects: Depenses Publiques
Modele
Relation de Cointegration
• Relation de long terme: signes attendus et significatif
• TNT: A rise in Euroland’s relative price of tradable to non-tradable goods compared to that in the US (i.e. a relative productivity improvement) would lead to a permanent rise in the real EUR-USD exchange rate.
• G: A permanent rise in Euroland’s government expenditure-to-GDP ratio relative to that in the US has a negative impact on the equilibrium euro rate.
• Oil: a lasting rise in oil prices will have a particularly adverse effect on the EUR-USD equilibrium rate. Indeed, theregression indicates that a permanent 10% rise in oil prices will cause the real equilibrium EUR-USD rate to fall by 2.4%.
Impact du prix Du petrole Sur Taux de Change
Impact du differentiel
De productivite
Impact desDepenses gvtales