Chapitre i rappel sur l'algèbre de boole

CONCEPTION DE MACHINES DIGITALES

Université Saad Dahleb de Blida

Faculté des Sciences

Département d’Informatique

Licence Génie des Systèmes Informatique (GSI)

Semestre 3 (2ème année)

Cours n°1: 10 Octobre 2013

AROUSSI Sana

[email protected]

mailto:[email protected]

PRÉAMBULE

Pré-requis: Cours (SM, S2).

UEF: Conception de Circuits et Systèmes Digitaux (CSDI)

Volume horaire hebdomadaire: 3HCours (Dimanche 9H35-

11H10 et 12H45 à 14H15)

Évaluation: continu + Examen.

Coefficient 1, Crédit 4

2

CONTENU DE LA MATIÈRE

I. Rappel sur l’Algèbre de Boole

II. Circuits Combinatoires

III. Circuits Séquentiels

3

CHAPITRE I:

RAPPEL SUR L’ALGÈBRE

DE BOOLE

PLAN DU CHAPITRE I

Introduction

Définitions et Conventions

Opérateurs Logiques

Fonctions Logiques

Analyse et Conception d’un Circuit Logique

5

6

Les machines digitales (ou numériques) sont constituées d’un

ensemble de circuits électroniques.

Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée

(addition, comparaison,….).

Pour concevoir et réaliser un tel circuit, on doit avoir le modèle

mathématique de sa fonction réalisée.

Le modèle mathématique utilisé est celui de l’algèbre de Boole

(du nom du mathématicien anglais Georges Boole 1915 - 1864).

INTRODUCTION

7

Une variable logique (ou booléenne) est une variable qui peut

prendre soit la valeur 0 soit la valeur 1.

Niveau Logique

DÉFINITIONS ET CONVENTIONS

Niveau de

Tension

Logique

Positive

Logique

Négative

Signification

H (Hight) Haut 1 0 VRAI / OUI

L (Low) Bas 0 1 FAUX / NON

8

Une porte logique est un circuit électronique élémentaire

permettant de réaliser la fonction d’un opérateur logique.

Fonction Logique

DÉFINITIONS ET CONVENTIONS

A B C F(A, B, C)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

F (A, B, C )= AB + C

Table de Vérité Expression Logique

OPÉRATEURS LOGIQUES DE BASE

9

Opérateur NON (Négation)

Opérateur ET (Conjonction)

Opérateur OU (Disjonction)

LOIS FONDAMENTALES DE L’ALGÈBRE DE BOOLE

10

NON ET OU

1. Fermeture Si A est une variable

booléenne alors

est une variable

booléenne.

Si A et B sont des variables booléennes alors

A+B, AB sont aussi des variables

booléennes.

2. Involution

3. Commutativité A * B = B * A A + B = B + A

4. Associativité A * (B * C) = (A * B)

* C = A * B * C

A + (B + C) = (A + B)

+ C = A + B + C

5. Distributivité A * (B + C) = A B + A C

A + (B * C) = (A + B) * (A + C)

6. Idempotence A * A = A A + A = A

7.

Complémentarité

A * = 0

A + = 1

8. Élément Neutre 1 * A = A 0 + A = A

9. Élément

absorbant

0 * A = 0 1 + A = 1

10. Règles de De

Morgan

OPÉRATEURS LOGIQUES COMPOSÉS

11

Opérateur XOR (OU Exclusif)

Opérateur NAND (NON ET)

Opérateur NOR (NON OU)

12

FONCTIONS LOGIQUES

LOGIGRAMME

Le logigramme (ou diagramme logique) est la traduction de la

fonction logique en un schéma électronique. Le principe consiste à

remplacer chaque opérateur logique par la porte logique qui lui

correspond.

Exemple:

ETET

OUOU

NOTNOT

ETET

FF22

AA

BB

CC

13

FONCTIONS LOGIQUES EXTRACTION DE L’EXPRESSION LOGIQUE À PARTIR DE LA TABLE DE

VÉRITÉ A B C F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1 min terme : C . B .A

min terme : C . B .A

min terme : C . B .A

min terme : C . B . A

F = somme min termes F = somme min termes

C . B .A C . B .A C . B .A C . B . A),,( CBAF

14

FONCTIONS LOGIQUES EXTRACTION DE L’EXPRESSION LOGIQUE À PARTIR DE LA TABLE DE

VÉRITÉ

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

max terme : CBA

max terme : CBA

max terme : CBA

max terme : CBA

C)BA( C)BA)(CB(A C)BA (C)B,F(A,

F = produit des max termes F = produit des max termes

15

FONCTIONS LOGIQUES

FORMES CANONIQUES

On appelle la forme canonique d’une fonction, la forme où

chaque terme de la fonction comporte toutes les variables:

Première Forme Canonique (Forme Disjonctive) qui est la

somme des mintermes (ou produits) ; Une disjonction de

conjonctions. Cette forme est la forme la plus utilisée.

Deuxième Forme Canonique (Forme Conjonctive) qui est le

produit des maxtermes (ou sommes) : une conjonction de

disjonctions

C . B .A C . B .A C . B .A C . B . A),,( CBAF

C)BA( C)BA)(CB(A C)BA (C)B,F(A,

COURS N°2: 13 OCTOBRE 2013

(MATIN)

17

FONCTIONS LOGIQUES

Simplification

Méthode Algébrique

(Propriétés de l’algèbre de

Boole)

Méthode Graphique

(Tableau du

KARNAUGH)

18

La méthode de KARNAUGH consiste à mettre en

évidence par un tableau tous les termes qui sont

adjacents (qui ne différent que par l’état d’une seule

variable).

La méthode peut s’appliquer aux fonctions logiques de 2,

3, 4, 5 et 6 variables.

Un tableau de KARNAUGH comporte 2n cases (n est le

nombre de variables).

FONCTIONS LOGIQUES

MÉTHODE DE KARNAUGH

19

Dans un tableau de KARNAUGH, chaque case possède un certain

nombre de cases adjacentes.

FONCTIONS LOGIQUES


Les cases bleues sont des cases adjacentes à la case rouge.

20

Le tableau de KARNAUGH se referme sur lui-même : la colonne la

plus à gauche est voisine de la colonne la plus à droite, idem pour

les lignes du haut et du bas :

FONCTIONS LOGIQUES


21

Cas de cinq variables:

FONCTIONS LOGIQUES


22

Cas de six variables:

FONCTIONS LOGIQUES


23

Remplissage du tableau de KARNAUGH :

FONCTIONS LOGIQUES


AB

C

24

Première Règle de simplification :

1. Regrouper les cases adjacentes qui ont pour valeur 1, jusqu'à ce

qu'il n'y ait plus de cases à 1 :

Les groupes doivent être choisis convenablement afin de

réduire au maximum.

Les groupes de taille maximale, doivent être carrés ou

rectangulaires ;

Le nombre de cases dans un groupe doit être une puissance de

2 : 1, 2, 4, 8 et 16 cases.

Les mêmes termes peuvent participer à plusieurs

regroupements

FONCTIONS LOGIQUES


25

Deuxième Règle de simplification :

2. Réduire l'expression de chaque groupe en prenant le produit des

variables qui n'ont pas changé d'état dans les groupes. Dans

un regroupement :

Qui contient un seul terme, on ne peut pas éliminer de variables.

Qui contient deux termes, on peut éliminer une variable (celle qui

change d’état).

Qui contient 4 termes, on peut éliminer 2 variables.



FONCTIONS LOGIQUES


26

Règles de simplification :

1. Regrouper les cases adjacentes qui ont pour valeur 1, jusqu'à

ce qu'il n'y ait plus de cases à 1.

2. Réduire l'expression de chaque groupe en prenant le produit

des variables qui n'ont pas changé d'état dans les groupes.

3. L'expression réduite de la fonction est la somme des différents

termes de chaque groupe.

FONCTIONS LOGIQUES


27

FONCTIONS LOGIQUES


AB

C

BCACABCBAF ),,(

ACCBAABC

BCABCBCA

ABABCCAB

28

FONCTIONS LOGIQUES


AB

C

ABCCBAF ),,(

29

FONCTIONS LOGIQUES


DCBACBADCDCBAF ......),,,(

AB

CD

30

FONCTIONS LOGIQUES


DCBDBBADCBAF ),,,(

AB

CD

31

FONCTIONS LOGIQUES


AB AB

CD

U = 0 U= 1

CD

U D B A . . .U D .C. A U .B.D. B A U) D, C, B, F(A,

32

FONCTIONS LOGIQUES


Fonction incomplètement définie:

AB

CD

F (A, B, C, D) = AB + CD + BD + AC + BC

COURS N°3: 13 OCTOBRE 2013

(APRÈS MIDI)

34

ANALYSE D’UN CIRCUIT LOGIQUE

Logigramme d’un circuit

logique

Définir la fonction logique

Établir la table de vérité

Déduire le rôle du circuit.

35

ANALYSE D’UN CIRCUIT LOGIQUE

NOTNOT EETT

EETT

OUOU

NOTNOT

AA

BB

FF11

Test d’Inégalité

36

CONCEPTION D’UN CIRCUIT LOGIQUE

Description du

fonctionnement

d’un circuit

Définir les

variables d’entrée

Définir les

variables de

sortie

Établir la table de

vérité

Effectuer des

simplifications

Réaliser le

logigramme de la

fonction

simplifiée

37

CONCEPTION D’UN CIRCUIT LOGIQUE

Réaliser un circuit

logique permettant de

vérifier si un nombre

binaire à trois chiffres

est pair.

Trois variables

d’entrée A, B, C

SOURCES DE CE COURS

Sana Aroussi, Cours Structure Machine, Département Tronc

Commun Math-Informatique, Faculté des Sciences, USDB, 2012.

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Education

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