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Chapitre I : Généralités
I.1. Définition
La géodésie est la science qui a pour objet l’étude de la forme et les mesures desdimensions de la terre et sa représentation sous forme de plans, de cartes et desprofils.
La géodésie ou plus particulièrement les sciences géodésiques se compose deplusieurs disciplines.
- Astronomie,- Géodésie supérieure,- Gravimétrie,- Cartographie,- Photogrammétrie,- Téléditection.
Elle consiste à déterminer avec exactitude la position, les dimensions, la forme etl’identité des éléments de la terre. A compté des mesures traditionnelles des réseauxgéodésiques (géodésie), en fait appel à des observations astronomiques (astronomie)sur des étoiles, à des mesures gravimétriques (gravimétrie) et de plus en plus à desobservations on a des photographiques soit par avion (photogrammétrie) soit parsatellite (télédétection).
La cartographie : c’est l’ensemble des études et les opérations scientifiques ettechniques réalisées à partir d’opérations et observations directes ou del’exploitation d’une documentation existante en vue d’élaborer des plans et descartes.
Topographie de l’ingénieur : topographie (schéma d’un lieu), cadastre. Pour toutlevé ou implantation d’une construction industrielle, agricole, génie civil ou géniemilitaire en fait appel à des mesures géodésiques : c’est la géodésie de l’ingénieur.Par exemple : canaux d’irrigation, d’alimentation en eau potable, barrage, route,métro, ligne électrique, chemin de fer, …
I.2. Unité de mesure utilisée en géodésie
a) Les Longueurs : le mètre (m) avec ses sous-multiples et multiples.Pour les sous-multiples du mètre on a : le décimètre (dm = 10-1 m), le centimètre(cm = 10-2 m), le millimètre (mm = 10-3 m).Pour les multiples du mètre on a : le décamètre (dam = 101 m), l’hectomètre (hm =102 m), le kilomètre (km = 103 m).
b) Les surfaces : le mètre carré (m2) est l’unité de mesures des aires.Pour les sous-multiples du mètre carré nous avons : le décimètre carré (dm2 = 10-2
m2), le centimètre carré (cm2 = 10-4 m2), le millimètre carré (mm2 = 10-6 m2).
2
Pour les multiples du mètre carré nous avons : le décamètre carré ou le Are (dam2
= a = 102 m2), l’hectomètre carré ou l’hectare (hm2 = ha = 104 m2), le kilomètre(km = 103 m2 = 100 ha).
c) Les angles : d’une façon générale, on peut utiliser les trois unités suivantes pourla mesure d’un angle :
- Le grade (c’est le système décimal) : 1cerle 2π = 400grd, 1grd = 100cg.En utilise aussi la seconde centicimale (cc) ou le décimilligrade (dmgr) quiégale 1/10 000 partie de grade. 1dmgr = 1cc 1cg = 100cc ou 1cg = 100dmgr.
- Le degré (c’est le système sexagésimale) : 1cerle = 2π Rad = 360°, 1° = 60’,1’ =60’’.
- Le radian : est défini comme état l’angle au centre d’un cercle qui interceptesur circonférence (sphère) de celui-ci un arc égal au rayon du cercle. L’angleau centre qui correspond au périmètre d’un cercle est donc à : 2πrad = 360° =400grd.
Conversion du degré en grade :
Exemple : Soit 37° 40’ 48’’ a transformé en grade.- Transformation des secondes en fraction décimale de minute :
48’’/60 = 0’,80- Transformation des minutes en fraction décimale de degré :
40’,80/60 = 0°,68- Transformation des degrés décimaux en grade :
(37°,68 x 10)/9 = 41grd 86cg 66cc.
37° 40’ 48’’ = 41grd 86cg 66cc.
Conversion du grade en degré :
Exemple : Soit 152grd 34cg 72cc a transformé en degré.
152grd,3472 x 0,9 = 137°,11250,1125 x 3600 = 405’’
405’’/60 = 6’,750’,75 x 60 = 45’’
152rd 34cg 72cc = 137° 06’ 45’’
Exercices :
1- Convertir : 45° 26’ 13’’ ; 16° 32’ 41’’ ; 33° 11’ 25’’ en grade.
2- Convertir : 74grd 95cg 14cc ; 216grd 08cg 24cc ; 28grd 67cg 32cc en degré.
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Chapitre II :
II.1. Notion et forme de la terre
Définitions :
Altitude absolue et altitude relative :On appelle altitude absolue d’un point si son altitude est comptée par rapport auniveau zéro (Géoïde).On appelle altitude relative d’un point si son altitude est comptée à partir d’unesurface du niveau fictive.En Algérie : les altitudes absolues ont été calculé à partir du niveau « 0 » de la mermesurais au port de "Goulette" en Tunisie.
Le méridien : on appelle méridien, les lignes d’intersection de la surface del’ellipsoïde par les plans passant par l’axe de rotation (PP’).
Le parallèle : on appelle parallèle les lignes d’intersection de la surface del’ellipsoïde par des plans perpendiculaires à l’axe de rotation.
Le méridien de référence ou d’origine est un plan imaginaire constitué par une ellipsepassant par Greenwich (Angleterre).
Le parallèle dont le plan passe par le centre de l’ellipsoïde s’appelle : l’équateur.
Notions des formes et dimensions de la terre :La forme générale de la terre est donnée par la surface physique constituée parl’ensemble des mers, océans et montagnes (continents).
On appelle Géoïde ou surface de niveau zéro (0), la surface physique de la terre quicoïncide avec le niveau moyen des mers.Le géoïde étant une surface physique, il est impossible de l’utilisé par les calculsmathématiques c’est pourquoi que nous sommes obligés de choisir une autreréférence qui doit être une surface géométrique qui se rapproche le plus possible de lasurface de ce géoïde, c’est l’ellipsoïde de révolution terrestre.
P
P'
Méridiens
Parallèle
Equateur
Greenwich
4
Dimensions de l’ellipsoïde terrestre :On assimile la terre à une sphère de rayon = 6371 Km. Cependant pour des calculsscientifiques précis, la surface mathématique ne plus assimilée à une sphère mais à unellipsoïde de révolution définie par son grand et petit demi axe (a ; b) et par sonaplatissement α en 1880. CLARKE mesura a et b de l’ellipsoïde qui portera en suiteson nom. Il a obtenu : a = 6378,249km ; b = 6356,515km ; α = 1/293,47 (α = [a-b]/a).
En suite par des mesures par satellite on a obtenu :a = 6378,160km ; b = 6356,775km ; α = 1/298,25. (se sont les éléments de l’ellipsoïdeinternational).
Exemple : un évènement si produit à Sofia 17h 13’ (heure GMT). Calculer l’heurelocale à Sofia si cette ville est distante de 2453 km de Greenwich.
Cercle de la terre : C = 2πa = 2π x 6378,160 = 40075,1612 km = 24 heures1h = 1669,7984 km1’ = 27,8299 km2453/ 27,8299 = 88’
88’ = 1h 28’Donc : l’heure locale à Sofia = 1h 28’ + 17h 13’ = 18h 41’
Exercices :
1- un évènement si produit à Mouscou 15h 41’ (heure GMT). Calculer l’heure localeà Mouscou, si cette ville est distante de 3453 km de Greenwich.
2- Le point A se trouve à 4° 25’ 32’’ à l’Est du méridien origine de Greenwich.Calculer la distance et le décalage horaire entre le point A et le méridien originede Greenwich.
R elief (m ontagne)
E llipso ïde de révolu tion terrestre
O céan (m er)
P '
P
b
a
R elief
G éoïde
E lipsoïde
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II.2. Processus d’exécution des travaux géodésiques :Les travaux géodésiques subdivisés en deux : travaux sur le terrain et travaux aubureau.
Travaux sur le terrain :On effectué des mesures nécessaires à positionner des objets aux points par leurscoordonnées rectangulaires ou polaire et leurs altitudes.Ainsi à partir de la position de ces points, il nous est facile de les reliés entre euxd’une façon logique et de dessiner sur le plan l’image figuratif de l’objet mesuré sur leterrain.
Ces mesures se composent :
D’angles horizontaux et verticaux. Des distances inclinées et horizontales.
Définition de l’angle horizontal :On appelle angle horizontal BA l’angle formé par deux plans verticaux P et P’ passantpar la verticale du point A et contenant les points B et C.
Terrain réel Terrain graphique
C
B
A
P
P'A
BA
B
C
La verticale du point A
6
Définition de l’angle vertical :On appelle angle vertical ou angle d’inclinaison ou même angle de pente de la ligneAB du terrain l’angle ƲA formé par le plan horizontal passant par A et par la directionAB. L’angle Ʋ est contenu dans le plan vertical passant par les points A et B.
Remarque :
Pour mesurer les angles, on utilise des instruments appelés : THEODOLITES,TACHEOMETRES.
Pour mesurer les distances, on utilise
- Des chaines (aciers ou ruban).- Des fils stadimétriques (niveau).- Des télémètres à rayon optique (infrarouge ou rayon laser).
Pour mesurer la dénivelée, on utilise des niveaux et des mires.
Travaux au bureau :On effectué des calculs géodésiques tels que les calculs des distances horizontales descoordonnées rectangulaires et des altitudes. Après, il faut faire une représentationgraphique des résultats (de calculs) sous forme d’un dessin qui présente des signesconventionnels et une échelle fixe.
B
A
P
A
B
A'A'
D h
D : distance inclinéeh : différence d'altitude entre A et B (dénivelée)
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II.3. Les échelles
Précision de l’échelle :Définition : l’échelle d’un plan ou d’une carte topographique est le rapport qui existeentre les longueurs mesurées sur le plan ou la carte et les longueurs correspondantessur le terrain réduite à l’horizontale. On distingue :
Echelle numérique : s’exprime par une fraction numérique. C'est-à-dire que1 mm sur le plan ou la carte correspond à (n x 1000) sur le terrain. 1/100,1/200, 1/500, 1/1000, 1/2000, 1/5000, 1/10 000, 1/25 000, 1/50 000, 1/100000. (donc 1cm correspond à 1m, …).
Echelle linéaire (graphique) : pour passer d’une longueur réelle du terrain àune longueur graphique sur le plan ou le contraire, on peut procéder à cetteopération sans effectuer de calcul. Pour cela, on utilisant une échelle linéaireou graphique établit au préalable (pour établir cette échelle, on détermine unebase (b). Celle-ci peut variée de 1 à 5 cm.
Exemple :- Tracer une échelle linéaire de base (b) = 4 cm, sachant que l’échelle
numérique = 1/100, 1/5000, 1/25 000.
Echelle transversale (centième) : afin d’avoir de précision dans les mesuresdes distances, on utilise l’échelle transversale ou centième car celle-ci nous apermis d’évaluer jusqu’à la centième partie de la base.
Exemple :- Tracer une échelle linéaire de base (b) = 4 cm, sachant que l’échelle
numérique = 1/1000. Pour cela : On trace l’échelle linéaire correspondante, On trace le rectangle correspondant à l’échelle linéaire avec une largeur
variable et on divise cette largeur en dix parties égales, On trace dans le rectangle (base) toutes les horizontales et les verticales, Dans la partie subdivisée de l’échelle linéaire, on décale l’extrémité des
verticales de 1/10 de partie afin d’avoir des diagonales parallèles entre elles.
0 20 40 600 40 80 120
1/5001/1000
4cm
8
Sur la figure de l’échelle transversale la valeur est de : 44 + 1,8 = 45,8m
Précision de l’échelle :Un dessinateur avec une plus grande patience, il est possible d’effectuer une erreur derapport appelé : erreur graphique de 0,1 mm, quelque soit l’échelle du plan.
On appelle précision de l’échelle, la valeur sur le terrain de cette erreur graphique.
Exemple : un dessinateur établi un plan à l’échelle 1/5 000. Calculer la précision del’échelle.
1cm 5 000 cm ; donc : 10 mm 50 m 0,1mm = 0,5 m
Notion de plan, carte et profil :
Les plans et les cartes topographiques sont des représentations planes à uneéchelle donnée de la projection orthogonale des détails naturels (montagnes,océan, …), artificiels (routes, constructions, …) et conventionnels (courbes deniveau, frontières, …) de la surface de la terre.
Dans un plan c’est la projection orthogonale de petites parcelles tandis qu’unecarte c’est la projection des grandes surface.
Dans un plan l’échelle est exacte et dans une carte est approximative. Les angles, les surfaces et les distances sont exactes sur un plan tandis que sur
une carte ils ne sont qu’approximative (déformées).
II.4. Les signes conventionnels : on distingue quatre sortes des signesconventionnels :
- Lorsque les détails planimétriques peuvent être représentés par leur projectionorthogonale et réduite à l’échelle de levé de leur contour, on utilisant les signes decontours ou signes d’échelles (exemple : une forêt).
- Cependant, en admet qu’il est impossible de représenter un objet de dimensioninférieure à 0,1 mm, de même que deux lignes ne peuvent avoir d’écartementinférieur à 0,2 mm. Donc, si on veut représenter par exemple un arbre de diamètre est
Base = 4cm
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
40 0 40 80 120
9
égal à 50 cm à l’échelle 1/25 000, soit en le néglige ou s’il a une importance major, ondoit le représenter par un signe dit : hors échelle, (exemple : arbre isolé).
- Lorsque les objets du terrain sont linéaires et ayant une longueur apte à êtrereprésenter à l’échelle mais ce n’est pas le même avec la largeur, on utilisera pour lesreprésentés des signes linéaires (exemple : mur de clôture).
- Les signes explicatifs : ils servent à expliquer le contenu des signes d’échelles, horséchelles ou linéaire (exemple : usine, hôpital, altitudes des points, numéro de la route,nom du village, …).
NB : les signes conventionnels son groupés dans un tableau s’appelle : la légende.
II.5. Courbe de niveau, équidistance et pente :
Un plan ou une carte topographique doit représente le relief du terrain. C'est-à-dire, latroisième dimension à savoir l’altitude des points. Pour cela, on définie le relief soitpar un ensemble de points cotés ou par des courbes de niveau (on coupant le terrainpar des plans horizontaux parallèles d’altitude donnée.
Extrait de la carte topographique
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Définitions :
Une courbe de niveau : est le lieu des points ayant la même altitude.
Equidistance : on appelle équidistance la différence d’altitude (h) entre deux courbesde niveau successives. Dans un levé l’équidistance doit rester constante.
La pente : on appelle pente "i", la pente d’une droite (A-B), le rapport entre ladifférence de niveau et la distance horizontale.= = ƲD’où :
h : différence d’altitude entre A et B.SAB : distance horizontale.
La pente peut être positive ou négative. Elle est :
- Faible si : Ʋ ≤ 5°- Moyenne si : 5° < Ʋ < 20°- Forte si : Ʋ ≥ 20°
140
130
120
Courbe de niveau
130
120
100
110Eq = 10m
6560
55
50Eq = 5m
11
On peut juger la pente selon l’écartement sur le terrain :
- Si : Sab i- Si : Sab i
II.6. Les formes élémentaires de la terre :
Les montagnes : ce sont les formes positives du terrain ayant un profil convexe.Chaque montagne a un sommet.
Cuvette Bassin : c’est la forme élémentaire du terrain inverse à une montagne. Lepoint le plus bas de la cuvette s’appelle : le fond.
B
A
h
SAB
Sommet
708090100104
Eq = 10
Fond
15202530
13
Eq = 5
12
Pour distinguer sur un plan topographique les cuvettes des montagnes on ajouteaux courbes de niveau des petites hachures dirigées vers l’aval ou par l’orientation desécritures des altitudes en appliquant la règle suivante :
« L’écriture des altitudes doit toujours être orientée vers les sommets ».
Talwegs : ce sont les parties creusées des reliefs dont leurs fonds coulent les eauxdu ruissellement.
Croupes (crêtes) : ce sont les parties du relief qui se trouve entre deux talwegsvoisins. La ligne de plantage des eaux s’appelle : ligne de faîte.
Le versant : un versant sépare une croupe (crête) d’un talweg. Il est caractérisépar deux lignes de changement de la pente, l’une supérieure qui sépare le versantde la croupe et l’autre inférieure qui sépare le versant du talweg.
40
5060
70
80
Ligne de crête
Ligne de talweg
6065
70
75
80
Ligne de faîte
13
II.7. Problèmes à résoudre avec les courbes de niveau :
a) Détermination de l’altitude d’un point du terrain : Si le point "M" à déterminer se trouve exactement sur la courbe de niveau, son
altitude sera égale à l’altitude de la courbe de niveau. Si le point "M" à déterminer se trouve entre deux courbes de niveau, il se fait de
faire une interpolation linéaire, pour cela : on trace la plus distance horizontalepassant par "M" et raccordant les deux courbes de niveau successive.
Exemple :
- Calculer l’altitude exacte du point "M" ?- Données : a = 2,5 cm et b = 0,4 cm.
Alt M ? :On a : eq = 80 – 75 = 5 m,
2,5 cm 5 m
X = ,, = 0,80 m M = 79,20 m
0,4 cm Xm
Ligne de faîte
Talweg Ligne de faîte
Talweg Ligne de faîte
Croupe
75
8085
90
M75
80Ma
b
b : distance la plus petite entre les deux courbes de niveau
a : distance entre les deux courbes de niveau
14
Exercice :
- Calculer l’altitude exacte du point "M" dans les deux figures ?
160
170180
190
M
606570
75M
15
b) Détermination de la pente du terrain :
On exprime, en générale, la pente en pourcentage ou millier.
Exemple :
- Calculer la pente (i) entre les deux points A-B ?
- Données : h = 5 m ; AB = 18 mm ; échelle = 1/25 000.i = hS = tgƲ= 51,8 250 = 5450 = 0,0111 = 1,11% → Ʋ = 0,635° è .
A
BEchelle : 1
25000
55
606570
SAB = 18mm
16
Exercice :
- Calculer la pente (i) entre les deux points A-B dans les deux figures?
A
B
A
B
Echelle : 110000 Echelle : 1
25000
260
270280
290
410
420430440
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Le bassin versant (détermination du bassin versant de la zone inondée et lesdimensions d’un barrage) :- Sur une carte topographique, on choisi un bassin versant. Nous délimitons les
frontières (limites) de ce bassin versant par des lignes de faîtes (crêtes).- Sur la ligne du talweg principal de ce bassin versant on choisi un point "M"
par lequel doit passé l’axe du futur barrage.- On trace cet axe et son intersection avec une courbe de niveau choisi qui nous
définie la zone inondée et la longueur du futur barrage.- La hauteur de se barrage est la différence d’altitude entre la courbe de niveau
choisi et celle du point "M".
Exemple :- la distance AMB sur le plan = 4,8 cm,- l’échelle du plan = 1/1000,- l’altitude du point M = 34 m.- Calculer la hauteur et la longueur de ce barrage ?
On a : e = 1/1000
1 cm 10 m X = 4,80 x 1O = 48m L = 48 m
4,8 cm Xm M = 70 – 34 = 36 m H = 36 m
4050
60
70
80
30
90100
30 40
50
60
70 80 90
100
100
100100
102
103
105
A
B
Limite dubassin versant
Lignede faîte
Ligne du talweg
Zone inondée
M
18
Différentes sortes des courbes de niveau :
Pour que le relief soit bien visible sur le plan, on trace d’un trait plus fort d’unecourbe sur cinq. C’est une courbe maîtresse. Celle-ci doit portée son altitude.
Lorsqu’une partie du relief la représentation ne semble pas claire, on ajoute descourbes de niveau dites courbes intercalaires de façon à ce que l’équidistance doitêtre égale à la moitié de l’équidistance d’une courbe normale.
41
42
43
44
40
39
45
46
41,5 100
120
130
140
90
85
150160
110
80
Courbe maîtresse
Courbe normale
Courbe intercalaire
eq = 1m eq = 10m
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Système des coordonnées :Coordonnées géographiques :L’axe de rotation de la terre est la ligne PP’ qui joint les deux pôles (nord et sud).Tout point "M" de la terre est définie par l’intersection d’un méridien et d’unparallèle. On dit que le point "M" est défini par sa longitude et sa latitude.
Définition de la longitude : c’est l’angle (λ) formé par le méridien du point "M" et leméridien origine (méridien international de Greenwich). La longitude est mesurée de0° degré à 180° est et ouest.
Définition de la latitude : c’est l’angle ( ) que fait la verticale du point "M" avec leplan de l’équateur. La latitude est mesurée de 0° degré à 90° nord et sud.
Système de projection utilisé en topographie :Pour présenter la surface de la terre sur une carte, il faut projeter l’ellipsoïde sur unplan. Il est évident que cette opération n’est pas possible sans déformation deslongueurs par analogie. On ne peut aplatir la forme d’une demi-orange sansdéchirement et sans compression de certaines parties. Pour cela, on utilise plusieurstransformations.
Il existe des transformations qui conservent les angles. Elles sont appelées : lesprojections conformes. Ce qui conserve les surfaces, elles sont appelées : lesprojections équivalentes.
Cependant, toutes les transformations déforment les longueurs. En topographie lesprojections conformes sont les plus utilisées, en particulier deux principales.
Projection U.T.M (Universel Transverse Mercator) : cette projection estappelée aussi Gauss-KRÜGER. On projette les méridiens et les parallèles sur uncylindre circonscrite à la terre le long d’un méridien (PDP’), en suite, on ouvre cecylindre suivant une génératrice est on obtient ainsi un rectangle.
P
P'
Equateur
Méridien de Greenwich
M
Méridien du point M
Parallèle du point M
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Les régions voisines du méridien axial (PDP’) sont représenté avec de légèredéformation et plus on s’éloigne de ce méridien plus la déformation augmente. C’estpourquoi Gauss a divisé le globe terrestre en 60 faisceaux de 6° chacun. Ainsi donc,dans chaque faisceau, il ya un méridien axial qui permettre de circonscrire un cylindreet d’établir la projection sans gardé la déformation des longueurs.
La longitude d’un méridien axial d’un faisceau choisi est calculée d’après la formulesuivante : = ∗ 6° − 3 ; avec : N : numéro du faisceau.La numérotation des faisceaux commence à partir du méridien origine du Greenwich.
Exemple :
- Calculer la longitude du méridien axial du faisceau numéro 4 ?
On a : = ∗ 6° − 3 ; N = 4
= 4 ∗ 6° − 3 = 21°
P
P'
Equateur
DD
Petitesdéformations
Grandesdéformations
Axe axial Méridien axial
P
P'
0° 6° 12° 18° 24° 30° 36° 42° 48° 54°
I II III IV V VI VII VIII IX
Equateur
Méridienorigine
21
Projection Conique Lambert : on projette orthogonalement la terre sur un cônecirconscrite le long du parallèle de latitude donné. On ouvre ensuite le cônesuivant une génératrice et on le déroule jusqu’à que les régions voisines du parallèlede latitude sont présentées avec des légères déformations. Mais au fur et à mesureque l’on s’éloigne, on constate un étirement en longitude est une compression enlatitude.
Lorsqu’un pays est étendu en altitude, nous sommes obligés de choisir deux ou troiscônes de projection ayant chacun un différente ainsi par exemple en Algérie, on adeux cônes de projection :
Le système Lambert Nord Algérie (LNA) : avec un méridien origine 3 grade à l’Estde Greenwich.
λ0 = 3grd Est de Greenwich.= parallèle de contact = 40grd.= parallèle de limite = 42grd.= parallèle de contact = 37,5grd.
Le système Lambert Sud Algérie (LSA) : avec le même méridien origine 3 grade àl’Est de Greenwich.
λ0 = 3grd Est de Greenwich.= parallèle de contact = 37grd.= parallèle de limite = 39,5grd.= parallèle de contact = 34,5grd.
NB : Si possible d’utiliser des parallèles limites différents des faisceaux.
P
D
Méridien axialP'
Parallèle du contact 0
Cône deprojection
S S
0
1
2
Méridien origine
22
AlgerOran Annaba
Mér
idie
nde
par
is
Mér
idie
n de
Gre
enw
ich
1= 42grd
0= 40grd
2= 37,5grd
2= 34,5grd
0= 37grd
1= 39,5grd
23
Gisement d’une droite et le Rhumb :Le Gisement :Sur un plan ou une carte, la direction AB est définie par son gisement c'est-à-dire :l’angle horizontale que fait la droite AB avec l’axe des Y. Le gisement est mesuré de0° à 360° (0grd à 400grd) dans le sens de l’aiguille d’une montre.
Lorsque le gisement dépasse 360° (400grd) il faut retrancher cette valeur. (Exemple :GAB = 447grd GAB = 47grd).
Remarque : GBA = GAB ± 180° (200grd).
Le Rhumb : c’est l’angle que fait :
- Dans le premier et le quatrième cadran la direction nord de l’axe des Y avec ladroite AB.
- Dans le deuxième et le troisième cadran la direction sud de l’axe des Y avec ladroite AB.
A
BGAB
Y
X
A
BGAB
Y
XGBA
A
B
RhAB
Y
X
B
RhAB
BB
RhABRhAB
I
II
IV
III
24
Mesures et calculs des gisements :A partir d’un plan ou d’une carte topographique, on peut à l’aide d’un rapporteurmesurer grossièrement le gisement d’une droite. Cependant, si on connaît lescoordonnées x et y des deux points A et B, on peut calculer le gisement avecprécision.
1er cas : l’extrémité de la droite AB se trouve dans le premier cadran :
= = ∆∆ Le signe : ∆x > 0 ; ∆y > 0
Le gisement est compris entre 0grd et 100grd.
2ème cas : l’extrémité de la droite AB se trouve dans le deuxième cadran :
= ∆∆ + 200 = 200 − Le signe : ∆x > 0 ; ∆y < 0
Le gisement est compris entre 100grd et 200grd.
A
B
GAB
Y
X
I
II
IV
III
x
(NE)
(SE)(SO)
(NO)
y
A
B
GAB
Y
X
I
II
IV
III
x
(NE)
(SE)(SO)
(NO)
yRhAB
25
3ème cas : l’extrémité de la droite AB se trouve dans le troisième cadran :
= ∆∆ + 200 = 200 + Le signe : ∆x < 0 ; ∆y < 0
Le gisement est compris entre 200grd et 300grd.
4ème cas : l’extrémité de la droite AB se trouve dans le quatrième cadran :
= ∆∆ + 400 = 400 − Le signe : ∆x < 0 ; ∆y > 0
Le gisement est compris entre 300grd et 400grd.
En résume : « Relation qui existe entre le gisement et le rhumb » :
Si l’extrémité AB se trouve dans le premier cadran :
GAB = RhAB
Si l’extrémité AB se trouve dans le deuxième cadran :
GAB = 200 - RhAB
Si l’extrémité AB se trouve dans le troisième cadran :
GAB = 200 + RhAB
Si l’extrémité AB se trouve dans le quatrième cadran :
GAB = 400 - RhAB
AGAB
Y
X
I
II
IV
III
(NE)
(SE)(SO)
(NO)
y RhAB
B
x
A
B
RhAB
Y
X
I
II
IV
III
x
(NE)
(SE)(SO)
(NO)
y
GAB
26
Règle :« Le rhumb d’une droite doit toujours être accompagné par des lettres des pointscardinaux indiquant le cadran correspondant ». (Exemple : NO : 35,12 ; SE :23,67)
Exercice :- Compléter le tableau suivant :
Cadran Rhumb GisementNE : 76,34
NE : 30,59
SO : 42,13
165grd,14
344grd,86
Problème géodésie directe et inverse :Problème directe : en géodésie, il arrive souvent qu’à partir d’un point a connu encoordonnées rectangulaires, on devrait connaître les coordonnées des autres points.Cette transmission des coordonnées nécessite la connaissance des distanceshorizontales entre les points et les gisements. Ce procédé est appelé : problèmegéodésique directe.= + ∆= + ∆∆ = .∆ = .Problème inverse : cette fois, si le problème consiste à trouver la distance horizontaleet le gisement (ou rhumb) entre deux points A et B, donc on connaît les coordonnées.
= ∆∆ == ∆ = ∆
A
B
GAB
Y
X
x
y
SAB
A
B
GAB
Y
X
x
y
SAB =?
27
Azimut géographique et convergence du méridien :
On appelle azimut géographique d’une droite MK l’angle horizontal que fait l’imagedu méridien géographique de M avec la droite MK.
L’angle ɤ que fait le méridien géographique de M avec l’axe des y s’appelle laconvergence du méridien.
En voie sur le schéma ci-dessous que le gisement de la droite MK est constant tout le
long de cette droite, par contre l’azimut géographique change en fonction de ɤ. Par
convention, ɤ est positive si l’axe des y se trouve à droite du nord géographique, ɤ estnégative si l’axe des y se trouve à gauche du nord géographique.
Azimut magnétique et déclinaison :On appelle azimut magnétique d’une droite MK l’angle horizontal que fait l’image duméridien magnétique de M avec la droite MK.
L’angle δ que fait l’image du méridien magnétique avec l’image du méridiengéographique s’appelle la déclinaison magnétique.
Par convention, δ est positive si le nord magnétique se trouve à droite du nordgéographique et δ est négative si le nord magnétique se trouve à gauche du nordgéographique.
Y
Y
Y
NG
NM
NG
NM
M
KGMK
GMK
GMK
AZMKG AZMK
M
(-) (+)
AZMKG
AZMKM
(+)(-)
Y
NM NM
(-)(+)
28
Exercices :
1) Calculer le GAB , si : δ = +3°40’ ; ɤ = +1°10’ ; AZM
AB = 40°13’.2) Calculer le GAB et AZ
MAB , si : δ = -4grd ; ɤ = +3grd ; AZ
GAB = 140grd.
3) Calculer la convergence du méridien (ɤ) et la déclinaison magnétique (δ) si :GAB = 50grd ; AZ
MAB = 48grd76cg ; AZ
GAB = 45grd33cg.
4) Le Rhumb de AB = NO : 35grd75cg ; ɤBA = +2grd12cg ; δBA = -3grd3cg ;SAB = 100,03m ; les coordonnées du point A (X = 320,10 m ; Y = 200,04 m).- Calculer les coordonnées du point B.- Calculer l’azimut géographique BA.- Calculer l’azimut magnétique BA.- Faire un schéma.
Solutions :
29
Transmission des gisements ou lignes d’un polygone :
Angles de droite :
Soit un polygone fermé "1,2,3,4,5,1". On observe sur le terrain les angles de cepolygone à l’aide d’un instrument de mesure (Théodolite), de plus, nous connaissonsle gisement de départ G1-2. Le problème consiste à transmettre le gisement à tous lesautres cotés du polygone.
G2-3 = G1-2 + 200 – β2
G3-4 = G2-3 + 200 – β3
G4-5 = G3-4 + 200 – β4
G5-1 = G4-5 + 200 – β5
Gn = Gn-1 + 200grd – βn
Exemple : GA-B = 59grd 15cg ; β2 = 124grd 70cg . Calculer le gisement GB-C ?
Donc : angle de droite : GB-C = GA-B + 200 – β2 = 134grd 45cg
B1
B2
B3
B4
B5
G1-2
G1-2
G2-3
G2-3
G3-4
G3-4
G4-
5
G4-5G5-1
30
Angles de gauche :
Cette fois, en mesure les angles de gauche au lieu des angles de droite. Connaissant legisement de départ G1-2 et les angles de gauche, pour cela :
G2-3 = G1-2 + λ2 – 200
G3-4 = G2-3 + λ3 – 200
G4-5 = G3-4 + λ4 – 200
G5-1 = G4-5 + λ5 – 200
Gn-1 = Gn-1 + λn – 200grd
Formules utilisées dans un polygone fermé (cheminement fermé) :
- Soit un polygone fermé : « 1,2,3,4,5,1 ». Les coordonnées du point 1 (x , y), legisement de départ G1-2, les distances 1-2, 2-3, 3-4 et 4-1 et les angles de droiteβ2, β3, β4, β5 et β1 sont connus.
- Le problème consiste à trouver les coordonnées des autres points, c’est-à-dire, lescoordonnées des points : 2, 3 et 4.
1
G1-2
G1-2
2
3
4
5
G1-2
YSens
B1
B2
B3
B4
1
2
3
4
S 1-2
S4-1
S 3-4
S2-3
31
Pour cela :
1. On calcul la somme des β pratiques : ∑ = + + + .
2. On calcul la somme des βthé : ∑ é =200grd (n – 2). Avec n : nombre d’angle.
3. On calcul l’écart angulaire : ∑ – ∑ é = ± .
4. On calcul f admissible : = ± 2 √ . (n : nombre des angles).
5. Si c’est admissible, on distribue l’erreur (écart angulaire) en fonction des
distances horizontales (à partir de la distance la plus grande) et avec un signe
contraire.
6. On calcul les gisements et les rhumbs de tous les autres cotés avec utilisation
des formules des transmissions des gisements.
7. Connaissant les rhumbs et les distances horizontales, on calcul les
accroissements des coordonnées : ∆ et ∆ , (∆ = . , ∆ = . ).
8. On calcul l’écart de la fermeture : ( ) = ∑ ∆ ; ( ) = ∑ ∆ .
9. On calcul l’écart absolu : = ( ) + ( )²10. On calcul l’écart réel : é = √ . (Erreur est de 1/1500).
Exemple :
- Soit un cheminement fermé A-1-2-3-4-A.- Calculer les coordonnées des points : 1, 2,3 et 4.- L’angle 1ÂB = 80grd.- Les coordonnées des points :
A : (X = 14 000.51 , Y = 12 191.30) ; B : (X = 16 324.12 , Y = 14 324.15)
- Distances :
A-1 : 554.00 m1-2 : 542.12 m2-3 : 362.00 m3-4 : 397.00 m4-A : 122.00 m
60,00
80grd
grd
115,01grd
59,00grd
191,00grd
175,03grd
4
A
B
1
2
3
32
Tab
leau
n°
1 :
N°
poin
t
Ang
les
mes
urés
(gr
d)
Ang
les
corr
igés
(gr
d)
Gis
emen
t
(grd
)
Cadran
Dis
tanc
es
(m
)
Acc
rois
sem
ent d
es c
oord
onné
es
X c
al
V
Y c
al
V
X c
or
V
Y c
or
V
XY
N°
poin
tR
hum
b
(grd
)
33
Solution :
- Calcul du gisement GAB
= ∆∆ = 52,72341 = + 80 = 132,723411. On calcul la somme des β pratiques :∑ = + + + + = 600,042. On calcul la somme des βthé :∑ é = 200grd (n – 2) = 200grd (5 – 2) = 600,00grd
3. On calcul l’écart angulaire : ± = ∑ – ∑ é = +0,044. On calcul f admissible : = ± 2 √ = ± 2 √5 = 4,47 ; c’est
admissible, donc on peut continuer.5. après, on distribue l’erreur (écart angulaire) en fonction des distances horizontales
(à partir de la distance la plus grande) et avec un signe contraire.6. On calcul les gisements et les rhumbs de tous les autres cotés avec utilisation des
formules des transmissions des gisements.7. On calcul les accroissements des coordonnées : ∆ et ∆ , (∆ = . ,∆ = . ).8. On calcul l’écart de la fermeture :( ) = ∑ ∆ = +0,50 ; ( ) = ∑ ∆ = +0,21∆ = , = 10 ; ∆ = , = 4 (en remarque qu’il reste 1cm,
on le donne tjrs à la valeur qui a une grande distance).
9. On calcul l’écart absolu : = ( ) + ( )² = 0,54
10. On calcul l’écart réel : é = √ , é = , ,, , = , <
34
Tab
leau
n°
1 :
N°
poin
t
Ang
les
mes
urés
(gr
d)
Ang
les
corr
igés
(gr
d)
Gis
emen
t
(grd
)
Cadran
Dis
tanc
es
(m
)
Acc
rois
sem
ent d
es c
oord
onné
es
X c
al
V
Y c
al
V
X c
or
V
Y c
or
V
XY
N°
poin
tR
hum
b
(grd
)
A 1 2 3 4 A
115,
01
59,0
0
175,
03
191,
00
60,0
0
115,
00
58,9
9
175,
02
190,
99
60,0
0
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
554,
00
542,
12
362,
00
397,
00
132,
00
132,
7234
1
217,
7234
1
258,
7334
1
383,
7134
1
292,
7234
1
132,
7234
1
II III
III
IV III
67,2
7659
17,7
2341
41,2
6659
16,2
8659
7,27
659
+482
,41
-148
,98
-218
,56
-100
,46
-13,
91
-272
,39
-521
,25
+288
,57
+384
,08
+121
,20
+482
,31
-149
,08
-218
,66
-100
,56
-14,
01
-272
,44
-521
,29
+288
,53
+384
,04
+121
,16
14 0
00,5
1
14 4
82,8
2
14 3
33,7
4
14 1
15,0
8
14 0
14,5
2
14 0
00,5
1
12 1
91,3
0
11 9
18,8
8
11 3
97,5
7
11 6
86,1
0
12 0
70,1
4
12 1
91,3
0
(-10
)
(-10
)
(-10
)
(-10
)
(-10
)
(-5)
(-4)
(-4)
(-4)
(-4)
f(x)
=+0
,50
f(y)
=+0
,21
A 1 2 3 4 A
35
Cheminement ouvert :
- Soit un cheminement ouvert : « A,B,1,2,C,D ». Les coordonnées des points A, B,C et D sont connus.
- Les angles de gauches sont mesurés sur le terrain ainsi que les distanceshorizontales.
- Le problème consiste à trouver les coordonnées des points : 1 et 2.
Pour cela :
1. On calcul le gisement de départ (initial) et d’arrivé (final) avec nos
coordonnées (GAB : gisement de départ, GCD : gisement d’arrivé).
2. On calcul la somme des λ ou β pratiques :∑ = + + + (Angles de gauche)∑ = + + + (Angles de droite)
3. On calcul la somme des angles théoriques λthé ou βthé :∑ é = + 200 . − (n: nombre des angles)∑ é = + 200 . −4. On calcul l’écart angulaire :∑ – ∑ é = ±
∑ – ∑ é = ±5. On calcul f admissible : = ± 3 √6. Si admissible, on distribue l’écart angulaire (l’erreur) en fonction des distances
(A partir de la grande distance) et avec un signe contraire.
1
2
A
B
C
D
x =
y =
x =
y =
x =
y =
x =
y =
Sens
B
1
2
C
36
7. On calcul les gisements et les rhumbs de tous les autres cotés avec utilisation
des formules des transmissions des gisements.
8. Connaissant les rhumbs et les distances, on calcul les accroissements des
coordonnées : (∆ et ∆ , (∆ = . , ∆ = . ).
9. On calcul :
∆ é = −∆ é = −
( ) = ∆ − ∆ é( ) = ∆ − ∆ é
10. On calcul l’écart absolu : = ( ) + ( )²11. On calcul l’écart réel : é = √ . (Erreur est de 1/1000).
Exemple :- Soit un cheminement ouvert A-1-2-3-4-B.- Calculer les coordonnées des points : 3 et 2, on utilisant les angles de gauche suivantle cheminement B-4-3-2-1-A.Les coordonnées des points :
P1 : (X1 = 19 288.12 , Y1 = 11 896.12) ; P4 : (X4 = 18 933.72 , Y4 = 11 149.02)
Distances : Rhumbs :4-3 : 268.85 m Rh4-B = NO : 38 grd.784013-2 : 312.40 m RhA-1 = N0 : 49 grd.964012-1 : 268.55 m
1
2
A
B
Sens99,69grd
209,34grd
227,02grd
52,13grd
3
4
37
Tab
leau
n°
1 :
N°
poin
t
Ang
les
mes
urés
(gr
d)
Ang
les
corr
igés
(gr
d)
Gis
emen
t
(grd
)
Cadran
Dis
tanc
es
(m
)
Acc
rois
sem
ent d
es c
oord
onné
es
X c
al
V
Y c
al
V
X c
or
V
Y c
or
V
XY
N°
poin
tR
hum
b
(grd
)
38
Solution :
1. On calcul : Gi et Gf
* Gi = ?On a : Rh4-B = NO : 38 grd.78401 G4-B = 400 – 38.78401 = 361 grd.21599
GB-4 = G4-B + 200 = 161 grd.21599
* Gf = ?On a : RhA-1 = NO : 49 grd.96401 GA-1 = 400 – 49.96401 = 350 grd.03599
G1-A = GA-1 + 200 = 150 grd.03599
2. On calcul la somme des λ ou β pratiques :∑ = + + + (Angles de gauche)∑ = 788.80grd
3. On calcul la somme des angles théoriques λthé :∑ é = + 200 . − (n: nombre des angles = 4)∑ é = 150.03599 + (200 .4) − 161.21599 = 788.82 grd
4. On calcul l’écart angulaire :∑ – ∑ é = ±= 788.80 − 788.82 = −0.02 = −2 cg
5. On calcul f admissible : = ± 3 √= ± 3 √4 = 6 cg
6. C’est admissible, donc, on distribue l’écart angulaire (l’erreur) en fonction des
distances (A partir de la grande distance) et avec un signe contraire.
7. On calcul les gisements et les rhumbs de tous les autres cotés avec utilisation des
formules des transmissions des gisements.
8. Connaissant les rhumbs et les distances, on calcul les accroissements des
coordonnées : (∆ et ∆ , (∆ = . , ∆ = . ).
9. On calcul :
∆ é = −
39
∆ é = 19288.12 − 18933.72 = .∆ é = −
∆ é = 11896.12 − 11149.02 = .( ) = ∆ − ∆ é
( ) = 345.05 − 354.40 = − .( ) = ∆ − ∆ é
( ) = 746.43 − 747.10 = −0.67( ) = . = −0.11(Il reste -0.02, donnée à partir de la distance la plus grande)
( )3 = −0.673 = −0.22(Il reste -0.01, donnée à la distance la plus grande)
10. On calcul l’écart absolu : = ( ) + ( )²= 0.7511. On calcul l’écart réel : é = √ . (Erreur est de 1/1000).
é = 0,75 1,33849,80 1,33 = 11133,07 < 11000
40
Tab
leau
n°
1 :
N°
poin
t
Ang
les
mes
urés
(gr
d)
Ang
les
corr
igés
(gr
d)
Gis
emen
t
(grd
)
Cadran
Dis
tanc
es
(m
)
Acc
rois
sem
ent d
es c
oord
onné
es
X c
al
V
Y c
al
V
X c
or
V
Y c
or
V
XY
N°
poin
tR
hum
b
(grd
)
B 4 3 2 1 A
52,1
3
209,
34
227,
02
300,
31
(+1)
(+1)
268,
85
312,
40
268,
55
161,
2159
9
13,3
4599
22,6
9599
49,7
2599
150,
0359
9
II I II
55,9
5
109,
03
189,
07
262,
96
292,
76
190,
71
56,0
7
109,
15
189,
18
263,
18
292,
99
190,
93
18 9
33,7
2
18 9
89,7
9
19 0
98,9
4
19 2
88,1
2
11 1
49,0
2
11 4
12,2
0
11 7
05,1
9
11 8
96,1
2
(+12
)
(+12
)
(+11
)
(+22
)
(+23
)
(+22
)
= 3
54,0
5 =
746
,43
52,1
3
209,
35
227,
03
300,
31
I I
38,7
8401
13,3
4599
22,6
9599
49,7
2599
49,9
6401
B 4 3 2 1 A
41
Système des coordonnées :
1. Coordonnées rectangulaires locales :
Lorsque le topographe établit un levé sur le terrain d’une zone, il défini une origineavec des coordonnées fictives, en suite, si c’est possible, il rattache le point origine àun point géodésique de coordonnées UTM ou Lambert connu.
NB : en remarque que le rattachement est un cheminement ouvert.
2. Coordonnées bipolaires angulaires :
Le point M est déterminé par les directions de deux droites issus de deux points fixesO et O’. Les directions sont prisent à partir de référence OO’. Ce procédé est appelé :procédé de l’intersection.
3. Coordonnées bipolaires linéaires :
Le point m est déterminé par les distances d et d’ de deux point fixes O et O’. C’estl’intersection de deux cercles (l’un du centre O et du rayon d et l’autres du centre O’et du rayon d’. Ce procédé est appelé : procédé de trilatération.
xyz
UTM ouLambert Exemple : 10 Km entre deux points géodésiques
Rattachement
Axyz
X
V
Y
V
Obstacle
O
O'
M
Appareil(Théodolite)
'
OO'
M
42
Mesure des distances :Chaînage direct : on utilise deux instruments auxiliaires :
a) les fiches : pour compter le nombre de portées.b) Le fil à plan : pour projeter au sol les points sur un terrain accidenté.
Chaînage sur un terrain horizontal : les principales difficultés sont : l’alignement etla tension.
SAB = (F – 1) x L + Appoint
D’où : F : nombre de fiche ; L : longueur de la chaîne
Chaînage sur un terrain accidenté : les principales difficultés sont : l’horizontalitéet le plombage.
Mesure indirecte : en topographie, c’est la méthode la plus utilisée pour calculer ladistance entre une station et un point quelconque.
a) Le réticule (se trouve dans la lunette : instrument de visé) : le réticule del’instrument comporte une ou deux séries de fils stadimétrique.
F(Fiche)
(appoint) (reste)F F F F
A B
12,32m
16,84m
15,76m
14,05m
A
Bla somme desdistances horizontales
43
- Les fils horizontaux F1 et F2 sont utilisés lorsque la mire est tenue dans un planvertical.
- Les fils F3 et F4 sont utilisés sont utilisés lorsque la mire est tenue dans un planhorizontal.
La mire : est une règle comporte des graduations centimétriques alternativementblanche et noire ou blanche et rouge, avec des chiffres tous les 10 cm graduéegénéralement de 0 à 4 mètre.Chacun des fils stadimétriqes permet dans certaines conditions d’effectuer sur la mireune lecture interpolée qu’on peut l’estimé jusqu’au millimètre.
Exemple :
lsup = 1610
∆l = 160
linf = 1450
Avec un théodolite pour calculer la distance D’, c'est-à-dire, la distance inclinée, onutilise la formule suivante :
= ∆D’où :
D’ : distance inclinée.∆l : différence de lecture entre le fil supérieur et le fil inférieur.K : coefficient de l’appareil (K = 100).
A
F1
F2
16
15
14
13
12
11
10
17
B
i
D'
Mire
SAB
44
- Pour calculer la distance horizontale, il faut calculer l’angle d’inclinaison Ʋ.= Ʋ- Actuellement, les appareils les plus utilisés en topographie sont des appareils
autoréducteurs (RDS). C'est-à-dire, les appareils qui nous donnent directement ladistance horizontale. = ∆
En résume :
* Théodolite :
′ = ∆ .= ′.* RDS : = ∆ . ; = 100
Coefficient de l’appareil :Pour déterminer le coefficient K, on fait de la façon suivante :
On centre l’appareil à partir de l’axe de l’instrument (vis de fixation). On projeté l’axe vertical, soit avec un fil à plan ou avec une pierre (chute
libre). A partir de ce point, on mesure la distance avec une mire ou une chaine donc
on aura le deuxième point. A partir de ce 2ème point, on place la mire verticalement et en prends la lecture
supérieure (lsup et la lecture inférieure linf ∆l
= ∆ = ∆
1
Finf
2
4m
Fsup
Vise
45
Mesure des distances par méthode électronique :Ce procédé consiste à utilisé un instrument capable d’émettre une ondeélectromagnétique (lumineuse, infrarouge) ou une onde laser et de la recevoir autour de la cible.
Méthodes d’observation des angles :
Dans les cheminements les angles sont mesurés en deux positions (stations), l’une en positioncercle vertical à gauche (CG) et l’autre en position cercle de vertical à droite (CD). Lesméthodes d’observation utilisées sont :
- Le double retournement,- Le tour d’horizon.
a- Le double retournement : on utilise ce procédé pour améliorer la précision etd’éliminer certaines erreurs (erreur d’excentricité de la lunette et erreurd’horizontalité de l’axe de la lunette).
Exemple :
N° pointLecture sur le
Limbe horizontalAngles horizontaux
Station Visée Calculés Mesurés
S
ACG
115G 30CG
B 196G 41CG
ACD
315G 29CG
B 396G 42CG
A
B
i
SAB
Reflecteur
Clavier
46
b- Le tour d’horizon : on effectué un tour d’horizon dans une station lorsque on aplusieurs angles horizontaux a mesurés à partir de cette station. Pour cela, on a choisiune direction origine appelé référence (exemple : point R) et avec le cercle à gaucheet cercle à droite, on vise successivement les points suivants. A titre d’exemple :"R – 1 – 2 – 3 – R", nous prenons à chaque fois sur le Limbe horizontal.
Exemple :
N° point Lecture sur le Limbe horizontalAngles horizontaux
par rapport à R
Station Visée CG CD Moyenne Mesurés
S
R 0G 15CG 200G 16CG
1 52G 26CG 252G 27CG
2 97G 43CG 297G 43CG
3 220G 10CG 20G 11CG
R 0G 13CG 200G 15CG
A
B
S
ST "A "
ST "B "
ST "S"
1R
2
3
47
Calcul des surfaces : Les méthodes utilisées pour les calculs des surfaces sont : Les abaques, Le planimètre, Les coordonnées.
A- les abaques : l’abaque est fabriquée avec une feuille à papier millimétré, sur la quelle estconstruite une série de lignes parallèles.
1- On pose le papier millimétré sur un plan ou une carte et en trace le contour.2- Connaissant l’échelle du plan, on peut calculer la surface de chaque petit carré.3- La surface des carrés incomplets est déterminée à vue.
B- Le planimètre : le planimètre polaire le plus reconnu se compose de deux bras liés parune articulation.
- Le bras polaire : il porte une aiguille surmontée d’un bois. Cette aiguille est le poledu planimètre. L’autre extrémité du bras possède une goupille (clavette) à tête rende.
- Le bras moteur : il porte un dispositif de contournement du périmètre de la figure àmesurée. Ce dispositif se compose d’un poignet du manœuvre et d’une loupe portantau centre de sa base un petit repère circulaire. A l’autre extrémité du bras moteur setrouve un dispositif contour ou un bloc roulette intégrante.
- Le bloc roulette : se compose d’un disque gradué qui comporte le tour du tambour,d’un vernier au 1/10 et d’une roulette cylindrique de mille (1 000) divisions.
* A un tour de la roulette correspond une variation de la lecture de 1000 divisions. Le disquegradué fera un tour si la roulette tournera 10 fois ou bien 10 000 divisions.* Les unités sont lues d’après le vernier.* L’angle γ entre le bras polaire et le bras moteur doit être au moyenne égale à 100Gr, (33Gr <
γ < 166Gr).
1 cm
1 cm
Papier millimétrétransparent
Papier millimétrétransparent
48
Le planimètre polaire
On relève la lecture initiale, exemple : li = 3684, on fait le contour de cette figure dans le sensde aiguillé d’une montre et en rejoint le point de départ et en prend la deuxième lecture lf =6757. La surface exprimée en division est "Su" Su = lf - li
Su = 6757 – 3684 = 3073
Remarque : Si après avoir fait le contour dans le sens des aiguilles d’une montre, on obtientla deuxième lecture plus petite que la première on est ajouté 10 000 autant de fois que ledisque gradué aurait fait le tour complet.
Le disque donne les milliers. La roulette donne les centaines et les dizaines. Le vernier donne les unités.
* Détermination de la valeur de u : (Division du planimètre)
- Exemple : les lectures lues avec un planimètre sur un carré de 1 cm de coté sont : li = 2640, lf
= 4480. Les lectures lues pendant le contournement de la figure sont : li = 1482, lf = 8642.
- Calculer la surface de cette figure si l’échelle est égale à 1/5000.
Bras Polaire
Bras Moteur
9
8
7
6
5
4
10 2
34
56
7
8
5
10
0
Roulette
Disque
Vernier
Dispositif du bloc roulette
9
49
- Solution :
Su = lf - li
Su = 8642 – 1482 = 7160 u (dévision).
Scu = 4480 – 2640 = 1840 u.
Ech = 1/5000 1 Scu = 50 x 50 = 2500 m².
u = 2500/ 1840 = 1,359 (3chiffres après la virgule).
S = 7160 x 1,359 = 9730,44 m².
Exercice 01 : les lectures lues avec un planimètre sur un carré de 2 cm de coté sont : li = 640,lf = 932. Les lectures lues pendant le contournement de la figure sont : li = 316, lf = 6845.
- Calculer la surface de cette figure si la précision de l’échelle T = 1m.
Exercice 02 : les lectures lues avec un planimètre pendant le contournement de la figure sont :li = 9880, lf = 186. Les lectures lues à l’intérieur de cette figure sur un carré de 2 cm de cotésont : li = 9860, lf = 9980. Le disque gradué a fait deux tours
- Calculer la surface de cette figure si la précision de l’échelle T = 0,02m.
Exercice 03 : les lectures lues avec un planimètre pendant le contournement sont : li = 9830,lf = 570. Les lectures lues sur un seul coté du carré de 2 cm de coté sont : li = 9992, lf = 100.Le disque gradué a fait deux tours.
- Calculer la surface de cette figure si la précision de l’échelle T = 0,5m.
Exercice 04 : les lectures lues avec un planimètre pendant le tour sont : li = 3540, lf = 5652.Les lectures lues dans un carré de 3 cm sont : li = 9958, lf = 46. Le disque gradué a fait deuxtours.
- Calculer la surface de cette figure si l’échelle du plan est égale à 1/100.
1 cm
1 cmSens
li = 2460lf = 4480
li = 1482lf = 8642
Sens
50
C- Méthode des coordonnées rectangulaires :
2S = (XB – XA) (YA – YB) + (XC – XB) (YB – YC) – (XC – XA) (YA – YC)
2S = (XB – XA) YA + YB (XB – XA) + (XC – XB) YB + (XC – XA) YC
2S = YA (XB – XA – XC + XA) + YB (XB – XA + XC – XB) + YC (XC – XB – XC +
XA)
2S = YA (XB – XC) + YB (XC – XA) + YC (XA– XB)
2S = ∑ Xi (Yi-1 – Yi+1)
2S = ∑ Yi (Xi-1 – Xi+1)
* Cette méthode reste la meilleure à condition que les distances soit des segments de droites.* Si on travail avec les ordonnées on va dans le sens des aiguilles d’une montre :
2S = YA (XB – XC) + YB (XC – XA) + YC (XA – XB)* Si on travail avec les abscisses dans le sens trigonométrie :
2S = XA (YC – YB) + XB (YA – YC) + XC (YB – YA)
Exemple : Les coordonnées des points A, B et C sont :
X = 640,20 X = 918,52 X = 1012,42A B C
Y = 215,15 Y = 402,15 Y = 318,19
- Calculer la surface de cette figure.
y
x
A
B
C
ABC
ACB
51
LE NIVELLEMENTGénéralités sur le nivellement
Le nivellement ou altimétrie est un ensemble d’opération qui serve à déterminer leshauteurs des différents points d’un terrain au dessus d’une surface du niveau prisecomme origine.
Les hauteurs obtenues en millimètres au dessus du géoïde ou de la surface de niveauzéro (0) sont appelées : altitudes absolues.
Quelquefois dans des opérations isolées, ses hauteurs ne sont pas prises par rapport augéoïde mais à partir d’une surface de niveau quelconque prise comme origine, c’est :l’altitude relative.
Pour obtenir les altitudes des différents points, il suffit de déterminer les différencesde niveau (h) positive ou négative à partir d’un point connu et d’ajouteralgébriquement cette valeur à l’altitude du point de départ.
Surface du niveau ZERO = GéoïdeOu niveau moyen des mers = Géoïde
A
BH A
H B
a b
H1
H2 H3
Surface du niveau
1
2
3
h1-2
h2-3
H2 = H1 + h1-2
H3 = H2 - h2-3
52
Types de nivellement
On fonction des appareils et des méthodes utilisées, on distingue :- Le nivellement barométrique.- Le nivellement stéréophotogrammétrique.- Le nivellement trigonométrique.- Le nivellement hydrostatique.- Le nivellement géométrique.
1. Le nivellement barométrique : il est fondé sur la variation de la pressionbarométrique avec l’altitude (erreur de +/- 10 m).
2. Le nivellement stéréophotogrammétrie : il est effectué par des appareils quipermettent de voir à partir des photographies aériennes le relief (3ème dimension)(erreur de 1 m).
Baromètre
Baromètre
h Erreur
(+/-)
10
mètr
es
AlgerOran Annaba
XYZ
XYZ
53
3. Le nivellement trigonométrique : celui-ci est effectué avec un rayon de visé obliqueobtenu avec un théodolite. Il nous permet de lire la valeur de l’angle de pente (angled’inclinaison) et connaissant la distance horizontale SAB, on aura :
hAB = SAB . tgυ (erreur de 10 cm chaque 100 m)
Exemple :Soit à déterminer la différence de niveau "h" entre deux points A et B du terrain. Pourcela, en stationne le théodolite au point A, en mesure la hauteur de l’instrument "i" eten vise la mire de tel façon à avoir : i = υ (υ : visé sur la mire). En prend la lecture surle cercle vertical (Lv), on aura : υ = Pi – Lv
υ : angle d’inclinaison.Lv : lecture verticale.Pi : position initiale de la lunette (en général : Pi = 100 grade).
hAB = SAB . tgυ (RDS)hAB = D’ . Sintgυ (Théodolite)
4. Le nivellement hydrostatique : on détermine les différences de niveaux, on utilisantle principe des vases communicants.
5. Le nivellement géométrique : il est fondé (créer) sur le principe géométrique de laverticale et de l’horizontale. Il est plus courant dans la pratique.
* Principe du nivellement géométrique :Pour bien comprendre le principe du nivellement on passe au premier lieu à laméthode du nivellement hydrostatique.
Soit à déterminer la différence de niveau entre deux points A et B du terrain étantrelativement rapprochés, plaçant verticalement à ces points les tubes en verre reliéspar un tube en caoutchouc. Ce système est rempli d’eau et les tubes sont gradués en"cm" servent à mesurer les hauteurs de l’eau dans les tubes.
A
B
i
D'
Mire
SAB
hAB
Pi = 100grd
54
D’après la loi des vases communicants, le niveau d’eau dans les tubes prendra lamême position (même niveau) par rapport à la surface du niveau.
On remplaçant les tubes en verre par deux mires et la ligne de niveau d’eau par lerayon de visé horizontal, nous aurons le schéma du nivellement géométrique.
* Procédé du nivellement géométrique : Il existe deux procédés de nivellementgéométrique :
- Nivellement par le milieu.- Nivellement en avant.
A. Nivellement géométrique par le milieu :
Nivellement géométrique simple : si on détermine une seule différence de niveauentre deux points rapprochés, on dit qu’on a effectué un nivellement géométriquesimple.
A
B
10
20
30
40
10
20
30
40
Tube en verre
Tube en caoutchouc
A
B
Mire
a
b
SAB
hAB
h = a - b
A
B
hAB
150 m 150 m
h = a - b
55
Nivellement géométrique par cheminement : lorsque deux points A et B sontéloignés l’un de d’autre, on est obligé de faire plusieurs stations de niveau. Donc créerdes points intermédiaires. Ce nivellement géométrique est appelé nivellementgéométrique par cheminement.
Règle :L’altitude du point extrême d’un cheminement est égale à l’altitude du point initialeplus la somme algébrique des différences de niveau des points intermédiaires.
hA–X1 = a1 – b1 ∑ h = ∑ a − ∑ b H = H + ∑ hhX1–X2 = a2 – b2
hX2–X3 = a3 – b3
hX3–X4 = a4 – b4
B. Nivellement géométrique en avant :
Pour déterminer la différence de niveau par ce procédé, on installe le niveau sur lepoint A et en mesure la distance verticale "i" à partir du point A jusqu’à l’axe de lalunette (horizon de l’instrument) après en vise la mire placée au point B, en obtientalors la lecture avant.
A X1
X2X3
B
a1a2
a3
a4
b1b2
b3
b4
I IIIII
IV
A
B
C
D
i
L1 L2 L3
56
La hauteur du point A est connue, donc :HB = Hi – L1 (Avec Hi = horizon de l’instrument)HC = Hi – L2
HD = Hi – L3
Exemple :Si : i = 1000 mm ; Altitude du point A = 100 m- Calculer la hauteur des points B et C si les lectures lues sur la mire dans ces deuxpoints sont : LB = 2250 mm et LC = 3100 mm.
Solution :
Pour éviter les erreurs accidentelles, nous sommes obligés soit :- De faire le cheminement aller et retour c'est-à-dire du point A vers le point B et dupoint B vers le point A ou bien entre chaque station, en prend toujours deux lecturesavant et deux lectures arrières. En changeant la hauteur de l’instrument (méthode dechangement d’horizon de l’instrument). (Exemple : 4 mètres vers la droite ou bienvers la gauche avec une élévation ou diminution de l’instrument).
* Nivellement d’une surface
Exemple : soit un carré de 200 m de coté. En demande de niveler cette surface parrapport à une altitude de projet donnée.
On installe l’instrument au milieu de ce carré d’altitude connue. On mesure lahauteur de l’instrument et on détermine l’horizon de l’instrument (Hi).
Hi = Hc + i (Hc : hauteur connue)
On fait le quadrillage du terrain en fonction de l’échelle et on prend les lectures àchaque point :
H1 = Hi – L1H2 = Hi – L2H3 = Hi – L3……….Hn = Hi – Ln
On trace les profils en long. On trace les profils en travers. On calcul les mouvements DEBLAIS – REMBLAIS sur toute la surface donnée
en fonction de l’altitude du projet.
57
* Nivellement d’un tracé :- Formule :Exemple :
Soit deux points A et B connus en altitudes et éloignés l’un de l’autre de 1100 mètres.- Calculer les altitudes des points intermédiaires si on dispose le long de ce tracé A etB des piquets espacés de 100 m chacun, on utilisant la méthode de changementd’horizon.
- On calcul la somme des h pratiques : h = ∑ ∑- On calcul la somme des h théoriques : h = h − h = Al − Al- On calcul l’écart d’altitude : = h − h- = ±50 mm √L , (L : distance exprimée en Km) ; (Exemple : dans lesbarrages : = ±5 mm √L)
NB :Si la différence entre LAR et LAV dépasse les 4 mm, il faut refaire les lectures.
A
1
2
3
4
B
ST I
ST II
ST III
ST IV
ST V
190,268 m
187,098 m
Hc = 99,984
i
e = 1/1000
58
N°ST
N° PtsLecture sur la mire Différence de niveau
Altitudes NotesL ar L av Calculée moyenne compensée
I A – 11610
1457
1880
1731
II 1 – 21532
1657
1428
1551
III 2 – 3429
537
2794
2898
IV 3 – 42139
2191
1565
1617
V 4 – 51102
978
2360
2236
VI 5 – 6365
307
2184
2122
VII 6 – 72360
2205
977
818
VIII 7 – 82307
2140
1497
1332
IX 8 – 9954
1812
2043
2897
X 9 – 102364
2199
2422
2259
XI 10 – B2046
2188
1243
1381
59
* Solution :
- On calcul la somme des h pratiques : h = ∑ ∑h = 34879 − 412352 = −3178 mm- On calcul la somme des h théoriques : h = h − h = Al − Alh = 187,098 − 190,268 = −3,17 m = 3170 mm- On calcul l’écart d’altitude : = h − h= −3178 – (−3170) = −8 mm- = ±50 mm √L , (L : distance exprimée en Km) ;= ±50 mm 1,1 = ±52,44mmRemarque :- On corrige l’écart nul (zéro) puis où il y à l’écart 1, puis l’écart 2, puis …., avectoujours un signe contraire.
- Si on trouve de même écart d’altitude, on prend les dernières lectures puisque leserreurs de lecture est à la fin du travail (mais toujours en débute de l’écart nul, …)
60
N°ST
N° PtsLecture sur la mire Différence de niveau (m)
Altitudes NotesL ar L av Calculée moyenne compensée
I A – 11610
1457
1880
1731
-270
-274-272 -272
190,268
189,996
A
1
II 1 – 21532
1657
1428
1551
104
106105 +1 106 190,102 2
III 2 – 3429
537
2794
2898
-2365
-2361-2363 -2363 187,739 3
IV 3 – 42139
2191
1565
1617
574
574574 +1 575 188,314 4
V 4 – 51102
978
2360
2236
-1258
-1258-1258 +1 -1257 187,057 5
VI 5 – 6365
307
2184
2122
-1819
-1815-1817 -1817 185,240 6
VII 6 – 72360
2205
977
818
1383
13871385 +1 1386 186,626 7
VIII 7 – 82307
2140
1497
1332
810
808809 +1 810 187,436 8
IX 8 – 9954
1812
2043
2897
-1089
-1085-1087 +1 -1086 186,350 9
X 9 – 102364
2199
2422
2259
-58
-60-59 +1 -58 186,292 10
XI 10 – B2046
2188
1243
1381
803
807805 +1 806 187,098 B
61
Mesure et disposition des angles de DETOUR :
Aux points où le tracé change la direction, on installe le théodolite et on mesurel’angle "β". Cependant, pour les calculs liés avec la pose du tracé, il faut connaîtrel’angle de DETOUR compris entre la nouvelle direction BC et la prolongation de ladirection précédente AB.
* Angles de DETOUR
Les angles de DETOUR à droite sont désignés par et à gauche par . D’aprèsl’angle mesuré "β", on trouve l’angle de DETOUR à droite du tracé selon la formule := − et l’angle de detour à gauche du tracé par la formule := − .
- Il est nécessaire de déterminer la direction (gisement) pour chaque partie du tracé.
- Le gisement α0 du coté initial du tracé est toujours donné.
- Pour calculer les gisements de tous les autres cotés, on utilise les angles deDETOUR : et . = + ∶ ∶= +Règle :« Le gisement de la ligne suivante est égal au gisement de la ligne précédente plus (+)l’angle de DETOUR à droite du tracé ou moins (-) l’angle de DETOUR à gauche dutracé ».
A
y
y
y
B
C
D
0
0
1
2
1
1
2
62
Calcul des éléments de raccordement :Lors du changement de la direction de la ligne du tracé l’axe de la construction futurest disposé sur la courbe de raccordement qui lié les deux directions. Pour cela, il fautavoir les éléments suivants :
1) Angles de DETOUR : et .2) Le rayon de courbure : R.3) La longueur de la corde ou arc de raccordement : C.4) La longueur de la tangente : T.5) La longueur de la bisectrice : b.6) Le contrôle ou le reste : D.
= ; = . .= − ; = −
* Exemple :Le sommet de l’angle de DETOUR se trouve à 688,80 m du commencement du tracéau point A, le rayon de courbure R = 200 m, l’angle de DETOUR = 44,68 .
a- Calculer les éléments de raccordement.b- Calculer Dc (début de courbure) et Fc (fin de courbure)c- Faire un contrôle.
CA
B
DC FC
T T'b
RRC
R
1/2 1/2
MC
1
63
Solution :
a- Calcul des éléments de raccordement :T = , = 200 , = 73,21= . . , = . . 44,68 = 140,37= − , = , − 200 = 12,98= 2 − , = 2 − = 6,05b- Calcul Dc et Fc :
- Début de courbure : Dc = B – T Dc = 668,80m – 73,21m = 615,59m- Fin de courbure : Fc = Dc + C Fc = 615,59m + 140,37m = 755,96m
c- Contrôle :
AB + T – D = FC 688,80m + 73,21m – 6,05m = 755,96m = Fc
CA
B
DC FC
T T'b
RR
C
R
1/2 1/2
1
? ?
688,80m
= 44,68 grd
64
Profil en long :Le profil longitudinal est désigné sur le papier calque. Il est composé d’après lesdonnées du nivellement.Pour tracé un profil en long d’une droite donnée, il faut :
Déterminer l’échelle horizontale et l’échelle verticale du profil (en général,l’échelle vertical est 10 fois plus grande que l’échelle horizontale).
Tracer deux axes perpendiculaires entre eux (l’axe des X pour les distances etl’axe des Y pour les altitudes).
On calcul le plan de comparaison (Pc = 3cm) minimum par rapport à l’altitude laplus petite.
On porte les distances partielles le long de l’axe des X. On calcul les distances cumulées. On porte les altitudes des points naturels. On porte les cotes du projet. En calcul les pentes (–) et les rampes (+). On calcul les éléments de raccordements à chaque changement de direction (R, C,
T, φ ). On porte la nature du terrain : roche, terre fertile ou mélange, (le coefficient de
foisonnement pour : roche 18%, terre fertile 25%, mélange 22%).
Exemple :- Tracer le profil en long de la ligne AB.- Les côtes du projet au point A est égale à 94 m.- Du point A au point 5, on a une pente de -1,6%. Du point 5 au point C, on a unerampe de +1,7%.
- Au point 5, on a un angle de DETOUR φ = 40 . Le rayon de la courbureR = 200 m.- Le long du profil en A-B, on a des profils en travers espacés de 60 m l’un de l’autre.- L’emprise du projet est de 8 m.- En altitude, les extrémités de chaque profil en travers sont connues. Calculer levolume Déblais-Remblais si le coefficient de foisonnement est de 25%.
AB
12
34
56
7
89
4,5c
m
5cm
4,8c
m
4,2c
m
4cm
4,4c
m
4,6c
m
5cm
5cm
6cm
2= 40 grd
91
91 92
Echelle V = 1100
Echelle H = 11000
65
Profil en travers :Les profils en travers (sections transversales perpendiculaires à l’axe du projet)permettent de calculer les paramètres suivants :
La position des points théoriques d’entrée en terre des terrassements. L’assiette du projet et son emprise sur le terrain naturelle. Les cubatures (volumes de déblais et de remblais).
Il existe trois types : profil en remblais, profil en déblais et profil mixte.