CHAPITRE I – G ENERALITES S L’AMORTISSEMENTcsidoc.insa-lyon.fr/these/2002/al_majid/chap1.pdf ·...

CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 6

GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

1. Introduction

Les vibrations dans un système mécanique [106, 130, 164] résultent d’un transfert

alternatif entre énergies cinétique et potentielle qui, sans dissipation, perdure Figure(1-a). En

présence de dissipation, et c’est le cas de tout système réel, les amplitudes du mouvement

convergent jusqu’à l’équilibre dynamique dans le cas d’un système forcé, jusqu’à l’équilibre

statique dans le cas d’un système libre.

Un amortissement visqueux crée une force proportionnelle et opposée à la vitesse alors

qu’un frottement sec crée une force constante mais change de signe à chaque demi-cycle et

donc s’oppose à la vitesse [73, 137].

Position d’équilibre

Position de mouvementTemps

a- Poutre non amortie

Enveloppe We(t)

TempsAmortisseur visco

b- Poutre avec amortissement visco

Temps

Amortisseur en friction

c- Poutre avec amortissement sec

Fig.1. Poutre en mouvement libre [ 137].

Dans le cas d’une réponse impulsion le mouvement alternatif s’inscrit dans une courbe

enveloppe exponentielle décroissante, Figure (1-b), en présence d’amortissement visqueux,

linéaire décroissante, Figure (1.-c) en présence d’amortissement sec. Ainsi le mouvement d’un


PARTIE I. 7

système avec amortissement visqueux pur prend théoriquement un temps infini pour mourir

complètement. Mais dans la pratique un système réel cumule différents types d’amortissement

qui ne dépendent pas exclusivement de la vitesse et qui contribuent donc à l’étouffement

complet du mouvement [98, 99, 109, 135]. Pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté

l’amortissement étouffe avec le temps les modes de fréquences les plus élevées. Ainsi au bout

d’un certain temps le mouvement ne comportera que le mode fondamental permettant la

mesure de l’amortissement par décrément logarithmique dans le cas d’amortissement visqueux

et d’hystérésis pouvant être décrit par un module d’Young complexe.

En régime harmonique, un système à un degré de liberté se comporte en raideur en deçà

de sa fréquence propre, en inertie au delà. En l'absence d’amortissement aucun équilibre

dynamique ne peut être atteint à la résonance [23, 84, 67]. Dans la pratique et donc en présence

d’amortissement, l’amplitude de l’équilibre dynamique dépend de l’importance des forces

d’amortissement. La mesure de l’amortissement s’opère alors par la mesure de bande. Là aussi

la mesure d'amortissement sera unique pour certains types d'amortissement, tels que visqueux

ou d’hystérésis, mais dépendra de l'amplitude pour d'autres types d'amortissement, tels que le

frottement sec, et doit donc être employée avec une certaine attention.

2. Amortissement externe à la structure

L’amortissement externe est apporté par le fluide environnant [26], le contact avec une

autre structure ou un système mécanique

2.1 Rayonnement acoustique

Un milieu fluide environnant (air, l'eau, huile, ou d'autres gaz ou liquides) modifie la

réponse vibratoire d'une structure [21, 73].

2.1.1 Piston dans un tube

L'effet d'amortissement du milieu fluide dépend de plusieurs facteurs, dont la densité 'ρ

du milieu, la vitesse de propagation des ondes dans le milieu, et les caractéristiques de masse et

de rigidité de la structure elle-même [26, 133, 137]. Un système très simple, une masse

soutenue par des ressorts de raideur k agissant comme un degré de liberté ( )tw couplé sur

chaque extrémité à un milieu acoustique permet d’illustrer les principes mis en œuvre.

L'équation du mouvement de la masse m est

( ) aFtFkwdt

wdm −=+

2

2

, (1)


PARTIE I. 8

où aF est la force due au milieu acoustique. Elle est déterminée en résolvant l'équation du

mouvement du milieu acoustique, la masse oscillant avec la vitesse ( )tw� . L'équation du

mouvement à satisfaire est l'équation d'ondes unidimensionnelle:

01

2

2

22

2

=−dt

d

adx

d ψψ. (2)

Dans cette équation a est la célérité de l’onde dans le milieu et ψ le potentiel vitesse dans

le milieu liquide, qui est lié à l'incrément de pression p et à la vitesse acoustique V par les

relations suivantes:

dt

dp

ψρ'−= , et dx

dV

ψ= . (3)

Si le déplacement de la masse m est ( ) tiWetw ω= , alors nous pouvons supposer que ( )tx,ψ est

de la forme ( ) tiex ωΨ , de sorte que la force Fa devient

( ) waRppRF LRa �'2 22 ρππ =−= , (4)

par conséquent l'équation (1) prend la forme :

( )tFkwdt

dwaR

dt

wdm =++ '2 2

2

2

ρπ , (5)

si maintenant ( ) tiFetF ω= , alors:

( ) 21

1

ωη mikF

W

e −+= , (6)

où

k

aRe

ωρπη '2 2

= , (7)

est le facteur de perte efficace du système à un seul degré de liberté. Il est proportionnel à ω : et

à la densité du milieu 'ρ : ainsi ce type d'amortissement est plus efficace aux fréquences

élevées et dans un milieu type liquide (eau, huile) plutôt que type gaz (air).

2.1.2 Amortissement acoustique d’une plaque

Le problème de prévoir l'effet d'un milieu acoustique sur la réponse d'une plaque est plus

compliqué que le cas précédent. Un élément de la plaque vibrant au point A, Figure 2, met en

mouvement le milieu acoustique et produit des ondes qui, en se propageant, créent des

pressions au point B.


PARTIE I. 9

θ0

θr0

r’

r

o

ds

X

γ A

B

Fig.2. Amortissement acoustique

En champ libre, la pression est donnée par la formule de Rayleigh [137, 161]:

( ) ( )∫ −−−=S

arti dSer

rwip '

',

2' ωθ

πωρ �

, (8)

où S est la surface totale de la plaque, ( ) tierw ωθ,� la vitesse du plat au point B, et r' est la

distance de B à A donnée par ( )0022

0 cos2' θθ −−+= rrrrr . L’équation générale du

mouvement d'une plaque avec un milieu acoustique s’écrit en employant l'équation (1):

( ) ( )θθρ ω ,,2

24 rperF

dt

wdHbwD ti −=+∇ , (9)

où D est la constante de rigidité des plaques, H l’épaisseur, b la largeur, ρ la masse volumique

de la plaque. C'est une équation intégrale-différentielle qui peut être résolue, par exemple, par

analyse modale.

2.2 Piston de compresseur

Le fluide dans lequel une structure est immergée peut fournir d'autres mécanismes

d'amortissement comme la fuite de gaz [137]. Un piston comprimant alternativement un

volume de gaz fermé hermétiquement crée un incrément de pression tipeω∆ proportionnel au

mouvement du piston ( ) tieyxW ω, et aucune dissipation ne se produit. Si une petite fuite

survient, l'incrément de pression se modifie : ( )εω +∆ tipe , où ε est un angle de phase résultant de

la perte. L’écoulement de la fuite peut avoir un régime laminaire ou turbulent, selon

l’amplitude W, le volume du gaz 0V , la taille de la fuite, et le type de mode dans lequel le

panneau répond.


PARTIE I. 10

2.3 Frottement de Coulomb

La force de friction résultante du mouvement relatif de deux surfaces en contact est

généralement modélisée par une force constante proportionnelle à la charge normale entre les

surfaces et opposée au vecteur de vitesse instantanée [126, 135].

La Figure 3 présente un système mécanique à un ddl. Si ( ) NtF µ< , µ étant le coefficient

de frottement, la masse m ne se déplace pas, si ( ) NtF µ≥ , le mouvement a lieu sans arrêt, le

signe de la force de friction changeant avec le signe de la vitesse w� , de sorte que l'équation du

mouvement devient :

( ) ( )wsgnNtFwkwm �� µ−=+ . (10)

Fc

k

N

w(t)

F(t) m

Force

µ N

w�

Fc

-sin (ω t)

Sgn(-sin (ω t))

ω t

- 4/π sin (ω t)

w�

Fig.3. Amortissement par friction [135]


PARTIE I. 11

Si la force est harmonique ( )tFF ωcos0= , la solution se recherche sous la forme :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )t

k

F

k

NtCtCtw ω

ωωµωω cos

1sincos

20

00201 −

+±+= , (11)

où mk=20ω , et 21, CC sont les constantes de l'intégration.

3. Amortissement intrinsèque à la structure

L’amortissement dans les matériaux, considéré à l’origine comme un processus

clairement homogène, est en réalité un processus très complexe, qui obéit à nombre de

différents mécanismes. En fait, d'une façon générale, la dissipation de l'énergie mécanique dans

le matériau a lieu par un processus irréversible : transfert d'un état d’équilibre

thermodynamique de la structure interne à un autre état d'équilibre correspondant à de

nouvelles conditions imposées. Ce processus de transfert est accompli par une réorganisation

interne de structure [135, 167]. L'effet final de la dissipation représente, donc, une somme

d'effets provoqués par divers mécanismes de la reconstruction de la micro- et macro- structure.

Les mécanismes de la reconstruction interne incluent l'hystérésis magnétique (magnéto-

élasticité, magnéto-mécanique, magnétostriction, courant de Foucault), conductivité thermique

(thermoélasticité, thermique, diffusion thermique et écoulement thermique) et reconstruction

atomique.

Le dernier groupe inclut des effets liés à la diffusion, aux dislocations, à la relaxation

d'effort aux blocs de frontières de grain en matériaux polycristallins, aux processus de phase

dans les solutions pleines, etc. Pendant la déformation, tous les mécanismes d'amortissement

sont impliqués à un certain degré. Cependant, la contribution de chaque processus au

comportement d'amortissement général est différente parce que, dans des conditions externes

données et une gamme prescrite d'amplitude d'effort, chaque processus est relié à certaines

fréquences et températures ambiantes, dans lesquelles il est le plus prononcé. Les mécanismes

séparés responsables de la réorganisation interne de structure peuvent représenter des processus

réversibles ou irréversibles et peuvent être étroitement reliés à la température, à l'amplitude ou

à la fréquence de la déformation. De tels effets sont souvent fortement non-linéaires, ainsi

l'analyse détaillée de la réponse avec de tels mécanismes d'amortissement est habituellement

très difficile [11, 49, 75, 109].

Les processus typiques incluent :

- Relaxation amortissante qui dépend de la fréquence et de la température, mais pas de

l'amplitude de déformation. Le processus est réversible pour de petites valeurs d'amplitude :


PARTIE I. 12

anélasticité des matériaux. Le processus est irréversible pour de plus grandes amplitudes :

viscoplasticité [47],

- Amortissement résonnant qui dépend de la fréquence de résonance du mécanisme

particulier [99],,

- Amortissement structural qui dépend de l'amplitude de la déformation mais pas de sa

vitesse [135, 137],

- Facteurs amortissants qui dépendent de l’amplitude et la vitesse de la déformation [86,

90, 108],

- Facteurs visqueux non linéaires qui dépendent principalement de la température

[90, 179].

L'énergie par volume unitaire dissipée par cycle est très petite pour la plupart des

matériaux structuraux conventionnels, légèrement plus élevée pour certains alliages.

Les matériaux composites en général comme par exemple le boron-aluminium ou les

composés carbone-époxydes ont un très faible amortissement et un comportement fortement

non linéaire, [99]. Pour ce qui est des matériaux viscoélastiques l’amortissement viscoélastique

est exhibé fortement par les matériaux polymères et vitreux, et ce mécanisme de

l'amortissement interne a beaucoup d'application industrielle. L'amortissement résulte de la

relaxation et du rétablissement du réseau de polymère après qu'il ait été déformé, et une

dépendance forte existe entre les effets de fréquence et les effets de la température en raison du

rapport direct entre la température matériau et le mouvement moléculaire [34].

4. Propriétés et modélisation des caractéristiques dynamiques des matériaux

Les caractéristiques dynamiques des matériaux qui traduisent les propriétés de rigidité et

d'amortissement des matériaux, sont respectivement le module d’Young E et le facteur de perte

η [34, 35, 99,137, 179]. Ils changent en particulier avec la température, la fréquence de la

sollicitation et dans un degré moindre avec d’autres facteurs tels le vieillissement, le vide, le

rayonnement, l'huile,…

4.1 Effets de la température

La température est habituellement considérée comme le facteur environnemental le plus

important affectant sur les propriétés d'amortissement des matériaux [135, 137]. Cet effet est

illustré sur la Figure 4 où on peut observer quatre régions distinctes.


PARTIE I. 13

- Région vitreuse. Avec la température, le module d’Young E évolue lentement et le

facteur de perte η fortement.

- Région transitoire. Le module dans cette région diminue rapidement avec

l'augmentation de la température, alors que le facteur de perte prend sa valeur maximum.

- Région caoutchouteuse. Le module et le facteur de perte prennent de faibles valeurs et

changent peu avec la température.

- Région d’écoulement. Le matériau continue à se ramollir avec la température, et

l’amortissement s’élève fortement.

Régionvitreuse

Régiontransitoire

Régioncaoutchouc

Régiond'écoulement

E

η

Température

fréquenceconstante

Fig.4. Effet de la température [137]

4.2 Effets de la fréquence

En utilisant la représentation complexe du module, ( )ωE et ( )ωη peuvent être

représentées analytiquement de différentes manières. Voici celle suggérée par [99, 137].

Le module d’Young E s’établit comme suit :

( ) ( )Φ−+= 1EEE��

ω (12)

où E�

et E�

sont les valeurs minimum et maximum du module du matériau pour ce qui

concerne la fréquence ω et Φ est une fonction de la fréquence satisfaisant les conditions

suivantes 0lim,1lim0

→→ ΦΦ∞→→ ωω

, qui peut être par exemple :

( )nωβ+=Φ

1

1, (13)

où β et n sont des constantes dépendantes du matériau. De même, pour le facteur de perte :


PARTIE I. 14

( )ω

ωπωηd

dE

E

=

2. (14)

Ainsi les deux expressions pour le facteur de module et de perte du matériel peuvent

s’écrire en fonction de la fréquence sous la forme :

( )( )

−+=

+ nEEE

ωβω

1

11

��, (15)

( ) ( )( ) ( )( )21

2 nE

nEn

ωβω

ωβπωη+

=

�

. (16)

Pour utiliser la forme complexe ( )"'* iEEE += il faut que ( )ωE ′′ devienne :

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

12

==′′

+ n

nEnEE

ωβ

ωβπωηωω�

. (17)

( )ωE ′′ atteint sa valeur maximum, quand ( ) 1=nβω , et on trouve que la valeur maximum du

module de perte:

En

E�

8max

π=′′ . (18)

Ainsi le nombre n peut facilement être déterminé à partir des valeurs maximums des

modules de stockage et de perte.

4.3 Effets de fréquence-température

Il est difficile de pouvoir dissocier les effets de la température des effets de la fréquence

puisque la température du matériau s’élève sitôt qu’il est soumis à une sollicitation alternative

[75, 90, 98, 135]. Une des techniques les plus utiles pour présenter les données expérimentales

sont le principe d'équivalence de fréquence-température (fréquence réduite) pour matériaux

viscoélastique à comportement linéaire. Dans ces approches ( )ETT ρρ00 et η sont tracés en

fonction de la fréquence réduite Tαω , où ω est la fréquence réelle, Tα est une fonction de la

température absolue T, et T0 est une température absolue de référence. L'expression analytique

pour la variation des propriétés d'amortissement avec la fréquence peut être prolongée pour

inclure les effets de la température si le facteur de glissement ( )Tα est connu comme fonction

de la température, de sorte que les équations (15) et (16) soient réécrites sous la forme

( ) ( )

+

−+=n

T

EETEβωα

ω1

11,

��, (19)


PARTIE I. 15

( )( )( ) 2

12

=

+ nT

E

nT

En

ωαβ

ωαβπωη�

, (20)

où Tα est déterminé en fonction de la température. Il peut avoir plusieurs formes [99], dont

notamment :

∞−−−=

TT

TTCT

01logα , (21)

où Cl, 0T , et ∞T , sont des constantes matérielles à déterminer expérimentalement.

Fig.5. Effet de la fréquence réduit [99] Fig.6. Facteur de glissement [99]

Pour un matériau typique comme le caoutchouc le module d’Young augmente toujours

avec la fréquence, Figure 5. Le facteur de perte augmente avec la fréquence dans la région

caoutchouteuse, prend sa valeur maximum dans la région de transition, et diminue dans la

région vitreuse, [90, 99, 120]. La Figure 6 représente l’évolution du facteur de glissement en

fonction de la température.

4.4 Effets généraux

Une représentation plus générale des caractéristiques des matériaux est [99, 137] :

( ) ( ) ( )( ) ( )εωλλεωλ ,,

6,,,

21

2211 TECC

FCFCTE

++= , (22)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )εωη

λλλεωλη ,,,,,2211

221 TFCFC

FCCT

++= , (23)

où E(λ,ω,T,ε) et η(λ,ω,T,ε) sont fonction de la déflexion statique λ, de la fréquence ω, de la

température T, et de la déformation ε. Les constantes C1, et C2 sont déterminées à partir de

106104102110-2102

103

104

105

0.1

1

10

Mod

ule

d’él

astic

ité

E

Fact

eur d

e pe

rte

η

Fréquence réduite fαT

T-2

T-1

T0

T1

T2 E

η

T2T1T0T-1T -2

10-2

10-1

1

102

Fa

cte

ur

de

glis

se

me

nt

α T

La tem pératu re

10


PARTIE I. 16

mesures statiques, tandis que E(ω,T,ε) et η(ω,T,ε) sont déterminés à partir des mesures

dynamiques.

5. Modélisation de l’amortissement

La rhéologie est à la base de la modélisation des phénomènes d'amortissement : c’est la

science de la déformation et de l’écoulement de la matière. La première direction dans laquelle

la rhéologie s'est développée, appelée théorie microscopique, est basée sur les modèles discrets

de la physique moderne et emploie les résultats concernant la structure interne de la matière

pour décrire des processus exécutés à l'intérieur du milieu en termes d'interactions atomiques et

moléculaires. La deuxième direction, habituellement celle de la technologie, s'appelle

l'approche macroscopique et comprend des théories basées sur des aspects phénoménologiques

de la physique. L'approche macroscopique de la rhéologie fonctionne en terme d'équations

d'état basées sur les lois de la thermodynamique des processus irréversibles, qui peuvent être

écrites sous la forme très générale [99, 135, 137] :

( ) ( )( ) 0,.,.,,, 21 =TtDDf εσ , (24)

où f, représente un vecteur fonction des variables, σ le tenseur de contrainte, ε le tenseur de

déformation, t le temps, T la température, D1 et D2 les opérateurs différentiels, intégraux ou

combinés, (généralement non-linéaires), d'autres variables les propriétés physico-chimiques du

milieu et des conditions environnementales externes.

Les équations d'état sont généralement des modèles du comportement matériau et, selon

l'effet de l'excitation externe (forces externes, champ de température, champ magnétiques,

réactions chimiques, rayonnement, etc.), décrivent les matériaux avec un certain degré

d'approximation. D'une façon générale, au niveau actuel, des données expérimentales sont

employées pour établir un modèle mécanique pour chaque matériau.

5.1 Modèle linéaire standard

Le modèle linéaire standard [135, 137] relie contrainte σ et déformation ε:

+=+

dt

dE

dt

d εβεσασ , (25)

Les étapes suivantes illustrent divers aspects du comportement rhéologique.

Soit le cas d’une contrainte constante σ0 appliquée au temps t = 0 à une éprouvette. Alors

0=dtdσ . Si de plus ε = 0 à t = 0, l’équation (25) donne :

( )βσε te

E−−= 10 . (26)


PARTIE I. 17

Puis si une première déformation ε0 est appliquée soudainement à t = 0, alors 0=dtdε .

Si de plus σ = 0 à t = 0, l'équation (25) donne

( )αεσ teE −−= 10 , (27)

où α est la constante de relaxation de contrainte.

Quand les contrainte et déformation sont harmoniques, tie ωσσ 0= et tie ωεε 0= ,

l'équation (25) donne

( ) 00 "' εσ iEE += , (28)

où

++=

22

2

1

1'

αωαβω

EE et ( )

+−=

221"

αωαβω

EE , (29)

Les relations (29) donnent une variation de E' et de E" avec la fréquence beaucoup plus

forte que ce qui est usuellement observé.

5.2 Modèle standard généralisé

Les limitations de la forme simple du modèle standard peuvent être repoussées [99, 135,

137] en présentant les dérivées additionnelles de σ et de ε dans l'équation (24) pour donner :

+=+ ∑∑

==

n

ii

i

i

n

ii

i

i dt

dE

dt

d

11

εβεσασ . (30)

Pour la réponse harmonique, de la forme tieωσσ 0= et tieωεε 0= , ceci donne maintenant

( ) 00 "' εσ iEE += , (31)

où E' et E" sont maintenant des fonctions en ω beaucoup plus compliquées. Les constantes αi et

βi sont calées à partir de la mesure de E' et E" en fonction de la fréquence. Le nombre

substantiel de valeurs βi et αi nécessaires pénalisent ce modèle. Cependant ce n’est pas

particulièrement difficile à traiter, puisque les expressions pour E' et E" deviennent maintenant

(avec α0 = 1, β0 = 1) :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=

αωαωαωαωβωαωβωαω

GGFF

GGFFEE' , (32)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=′′

αωαωαωαωβωαωβωαω

GGFF

FGGFEE , (33)

où


PARTIE I. 18

( ) ( ) ,10

22∑

=

−=nf

k

kk

kF ωλλω , (34)

( ) ( ) ,10

1212∑

=

++−=

ng

k

kk

kG ωλλω , (35)

avec

( )( ) ( )( )314

1

2

1,11

4

1

2

1 +−−=−−+= nn

nn ngnf . (36)

5.3 Modèle à dérivées généralisées

Afin de réduire le nombre de termes exigés par le modèle standard généralisé, les

dérivées utilisées jusqu'ici peuvent être remplacées, par les dérivées partielles [156, 169] :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+=+ ∑∑

==

n

ii

n

ii tDtEtDt ii

11

εβεσασ νµ , (37)

où iDµ et iDν opérateurs dérivées généralisées sont définis par :

( )[ ] ( )( )

( )∫ −−Γ=

t

i

dt

x

dt

dtxD

i

i

01

1 τττ

λ λλ , (38)

avec 10 << iλ et + est la fonction Gamma. Il faut noter que comme avec le modèle standard

généralisé cette définition permet d'obtenir des solutions dans le domaine du temps au moyen

de la transformée de Laplace ce qui est d’un grand intérêt quand ( ) tiet ωσσ 0= , ( ) tiet ωεε 0= .

L’équation (37) se réduit à :

( ) ( )

+=

+ ∑∑

==

n

kk

n

kk

kk iEi1

01

0 11 νµ ωβεωασ , (39)

Cette équation s’exprime sous la forme complexe :

( ) 00*

0 "' εεσ iEEE +== , (40)

avec

( )

( )

+

+=

∑

∑

=

=n

nk

n

kk

k

k

i

i

E

E

1

1

1

1Re

'

µ

ν

ωα

ωβ, (41)

( )

( )

+

+=

′′

∑

∑

=

=n

nk

n

kk

k

k

i

i

E

E

1

1

1

1Im

µ

ν

ωα

ωβ(42)


PARTIE I. 19

5.4 Module complexe

Les constantes élastiques peuvent être remplacées en régime dynamique par des quantités

complexes avec partie imaginaire identique si le coefficient de Poisson varie faiblement avec la

fréquence [116].

Le module complexe représente une méthode commode pour décrire simplement le

comportement viscoélastique :

( ) ( ) ( )( ) 00*

0 "' εωωεωσ iEEE +== . (43)

Si l'on ne s'intéresse qu'aux régimes sinusoïdaux, il est démontré [34, 35, 179] que le

module d'Young du matériau viscoélastique s'écrit :

( )ηiEEiEE +=′′+′= 1* . (44)

Ces deux facteurs dépendent notamment à la fois de la fréquence ω, et de la température

T, selon des lois qui peuvent être connues expérimentalement mais qui n'ont pas de

formulations analytiques.

5.5 Boucles d'Hystérésis

Dans le cas de variations harmoniques de σ et ε, la relation unidirectionnelle (43) devient

[75] :

dt

dEE

εω

εσ ′′+′= , (45)

qui pour ( ) ( )tt a ωεε sin= , peut se mettre sous la forme :

22 εεεσ −′′±′= aEE . (46)

En terme de force-déflexion, la relation (46) devient :

22 δδδ −′′±′= akkF , (47)

avec

kk ′′′, parties réelle et imaginaire de la raideur complexe

δ,F force et déflexion en fonction du temps

aδ amplitude de déflexion

Dans l’espace ( )εσ , , ou ( )δ,F les relations (46) et (47) présentent une boucle

d’hystérésis Figure 7. Il s’agit d’une ellipse à partir de laquelle on peut trouver [90, 186]:

y

y

a

y

a

y

a

b

E

EbE

aE =

′′′

==′′=′ ηεε

,, , (48)

ou bien :


PARTIE I. 20

y

y

a

y

a

y

a

b

k

kbk

ak =

′′′

==′′=′ ηδδ

,, . (49)

Fig.7. Boucle d’hystérésis - ellipse Fig. 8. Boucle d’hystérésis – non linéaire

L’ellipse d’hystéresis, Figure 7, est caractéristique d’un comportement linéaire, dans

l’hypothèse où σ et ε sont des fonctions harmoniques. Dans le cas du comportement élastique à

frottement sec, les équations (46) et (47) ne sont plus valables; la boucle n’est plus purement

elliptique, Figure 8. A partir de sa forme on peut donc statuer sur le type de comportement du

matériau.

On peut alors caractériser le comportement par une approche qualitative basée sur les

notions effectives de raideur dynamique ke et coefficient de perte ηe [71, 75] :

minmax

minmax

δδ −−= FF

ke , ( )

minmax

0minmax

FF

FFe −

−= =δη . (50)

La Figure 9 présente des boucles faiblement et fortement non linéaires [135, 137].

Nombre d'analyses non-linéaires de la réponse amortie des structures ont été effectuées en

utilisant les représentations analytiques d'une telle boucle d'hystérésis, chaque moitié de la

boucle ayant une forme fonctionnelle différente. Une représentation possible est :

( )( )

−±= − nnn

nE 0

10 2 εεενεσ # . (51)

où le signe (-) représente le chargement du cycle et le signe (+) le déchargement. Une forme

alternative, légèrement plus simple, est

( ) ( )

−±=

n

E2

00 1

εεεεηεεσ , (52)


PARTIE I. 21

avec ( ) βεαε

+=

1

EE

Fig.9. Boucle d’hystérésis non linéaire

L'identification des paramètres de ces équations n'est pas une tâche simple, car cela exige

nombre de mesures effectuées pour diverses amplitudes de sollicitation à diverses fréquences et

températures.

5.6 Dissipation d'énergie

La dissipation d'énergie pendant un cycle de déformation du volume unitaire d’une

éprouvette est donnée par :

∫= εσ dD , (53)

d’après (45) avec ( )tωεε sin0= l’équation (53) devient

20'επηED = , (54)

Comme l'énergie maximum stockée U = 2' 20εE , elle est une mesure importante des

capacités d’amortissement du matériau, UD πη 2= .

5.7 Fonction de dissipation de Rayleigh

Lorsque la modélisation utilise une approche globale il est classique de prendre en

compte l’amortissement visqueux dans les équations de Lagrange par le biais de la fonction de

dissipation de Rayleigh R, [144].

nrq

R

q

V

q

T

q

T

dt

d

rrrr

,,2,1, ��

=∂∂−

∂∂−=

∂∂−

∂∂

,s (55)


PARTIE I. 22

où T, V, sont respectivement les énergies cinétique et potentielle et qr les coordonnées

généralisée.

La valeur numérique de la fonction R à l'instant t représente la moitié de l’énergie

dissipée par unité de temps.

5.7.1 Exemple 1 : forces de dissipation

Soit un système mécanique défini par :

( ) ( )222222

2

1,

2

1yqxpVyxT +=+= �� , (56)

et

( )22 22

1yByxHxAR �� ++= , (57)

où, p, q, A, H, B sont des constantes. En appliquant les équations (55) les équations qui

régissent le mouvement sont alors :

=+++

=+++0

02

2

xHyqyBy

yHxpxAx

��

��(58)

Ainsi la fonction de dissipation R génère des forces d’amortissement.

5.7.2 Exemple 2 : forces gyroscopiques

Soit un système holonôme (l’énergie cinétique est une forme quadratique de la vitesse,

les équations des liaisons ne contiennent pas les vitesse, et) qui a n coordonnées généralisées

q1, q2, …, qn et qui est défini par :

∑∑= =

=n

r

n

ssrrs qqmT

1 12

1�� , (59)

∑∑= =

=n

r

n

ssrrs qqkV

1 12

1, (60)

∑∑= =

=n

r

n

ssrnrs qqqqfR

1 11 ),,( �� , (61)

où m , k sont des matrices symétriques et constantes et f est une matrice symétrique dépendant

de q1, q2, …, qn.. L’application des équations de Lagrange (55) donne l’équation:

0),,(2 1 =++ rnrsrrsrrs qqqfqkqm �� . (62)

Cet exemple montre donc comment des forces gyroscopiques peuvent être introduites par

la fonction de dissipation.


PARTIE I. 23

5.8 Synthèse

La dissipation d’énergie est décrite efficacement par le facteur d’amortissement η

d'amortisseur pour le modèle rhéologique linéaire standard. Ce coefficient peut être considéré

comme une constante ou une fonction des paramètres du mouvement permanent, tels que

l'amplitude et la fréquence [135]

• constante== vηη : amortissement visqueux. Dans ce cas-ci la force d'amortissement

dépend linéairement de la vitesse et si le mouvement est périodique, l'amortissement

dépend seulement de la fréquence du processus

• constante, == hh ηωηη : amortissement hystérétique. Si le mouvement est

monoharmonique, l'effet d'amortissement ne dépend pas de la fréquence.

• ( )ωηη = : l’amortissement est fonction de la fréquence du mouvement

monoharmonique. La forme de la fonction peut être déterminée expérimentalement.

• ( )max,εωηη = : l’amortissement est fonction de la fréquence et de l'amplitude du

processus monoharmonique, la forme de la fonction est obtenue à partir de l'expérience ou

du calcul.

6. Réponse de systèmes amortis en régime harmonique

Il s’agit ici de résoudre et de comparer les réponses harmonique et transitoire d’un

système mécanique le plus simple possible, prenant en compte un amortissement structural ou

visqueux. Dans un système avec amortissement visqueux l'énergie absorbée par le cycle dépend

linéairement de la fréquence de l'oscillation, tandis que pour un système amortissement

structural (ou avec hystérétique) elle est indépendante de la fréquence [75, 137].

6.1 Amortissement visqueux.

Le système à 1ddl w(t), se compose d'une masse m fixée à un ressort k, et un amortisseur

visqueux avec une force d'excitation ( )tF ωcos0 appliquée à la masse. Le mouvement est décrit

par l’équation :

( ) ( ) ( ) ( )tFtkwtwCtwm ωcos0=++ �� . (63)

Deux solutions se superposent :

1- Une oscillation transitoire de fréquence naturelle et dont l'amplitude dépend des

conditions initiales et s’éteint avec le temps

( )tCtCew ddta

c ωω cossin 21 += − . (64)

2- Une oscillation permanente de fréquence ω de la force d'excitation et de phase ε


PARTIE I. 24

( )( )εω

ωω−

+−= t

Cmk

Fwp cos

2222. (65)

Et la solution totale :

( )( )

( )εωωω

ωω −+−

++= − tCmk

FtCtCew dd

at coscossin2222

21 , (66)

où

m

Ca

2= ,

2

2

−=

m

C

m

kdω ,

−= 2arctan

ωωεmk

C. (67)

A mesure que la fréquence augmente, le terme d'inertie wm 2ω− augmente jusqu’à la

valeur égale à la force de rigidité kw. C'est l'état connu sous le nom de résonance. L'amplitude

de la vibration est limitée seulement par l'amortissement. Aux fréquences d’excitation bien au-

dessus de la résonance le terme d'inertie domine complètement, et l'amplitude de réponse

devient très petite et a lieu en opposition de phase avec l'excitation ( $180≈ε ). Aux fréquences

d’excitation bien en deçà, la force de raideur domine et la réponse de la masse est en phase

avec l'excitation ( 0≈ε ) : l'amplitude du déplacement permanent dynamique est

approximativement égale au déplacement statique qui serait provoqué par une force constante

F. Trois fréquences principales peuvent être distinguées pour le cas visqueux:

1. La fréquence naturelle mkn =ω .

2. La fréquence normale amortie ( )22mCmkd −=ω .

3. La fréquence de résonance d’amplitude pour laquelle 0Fwp est un maximum. Pour

trouver cette dernière fréquence, de l'équation (65) on trouve

−=

km

C

m

kr 2

12

ω .

6.2 Amortissement hystérétique.

L’amortissement visqueux utilisé a été choisi principalement pour la convenance

mathématique. L'amortissement structural (ou hystérétique), basé sur le concept d'un module

complexe, peut souvent être efficacement utilisé dans le calcul. Supposons que le coefficient

d’amortissement visqueux dans l'équation (63) soit ωηkC = . En utilisant la notation

complexe, wiw ω=� , l'équation (63) devient :

tieFwkwm ω0

* =+�� , (68)

avec ( )ηikk += 1* , la raideur complexe de la suspension qui contient raideur et amortissement.


PARTIE I. 25

Système avecAmortissement visqueux

Système avecAmortissement hystérétique

Equation différentielle ( )tFkwwCwm ωcos=++ �� ( ) ( )tiFeRewikwm ωη =++ 1��

Solution permanente( )

( ) 2222

0 cos

ωω

εω

Cmk

tFwp

+−

−=( )

( ) 2222

0 cos

ηω

εω

kmk

tFwp

+−

−=

Energie dissipée par cycle

∫= FdwDS

2pWCD ωπ= 2

pWkD ηπ=

Fréquence de résonance

−=

km

C

m

kr 2

12

ωm

kr =ω

Déplacement statique à 0=ωk

F0

( )20

1 η+k

F

Amplitude de Résonance ( )Ckmf ,, ( )η,kf

Tableau 1 Comparaison entre l’amortissement visqueux ou hystérétique [137]

ω r = ω r (α)

ω

F

W

k

1

O

m

F

ck

ω

F

W

O

m

F

k∗ = k(1+i η)

mkr =ω

Fig.10. Réponse dynamique des systèmes visqueux et hystérétique


PARTIE I. 26

6.3 Effets des amortissements visqueux et hystérétique

La Figure 10 et le tableau 1 synthétisent et comparent les résultats principaux liés à un

système avec amortissement visqueux ou hystérétique soumis à un régime harmonique

permanent.

6.4 Système réel

Dans les systèmes réels se combinent différents types d’amortissements (visqueux,

hystérétique, …) aussi il est particulièrement difficile de modéliser avec grande précision la

réponse de systèmes mécaniques industriels [109].

7. Mesure de l’amortissement

L’amortissement se mesure au travers de la réponse du système amorti.

7.1 Régime forcé

7.1.1 Mesure par la largeur de bande

La Figure 11 présente la réponse du système à amortissement visqueux à 1ddl autour de

la fréquence de résonance [106]. En substituant la fréquence de l'amplitude maximum, dans la

solution particulière de la réponse forcée, l'équation (65), l'amplitude à la résonance devient :

W

n

Wres

Wres

A B

ω 1 ω 2ωres ω

Fig.11. Réponse du système à amortissement visqueux autour de la résonance

( )

−=

2

0

12

1

ααk

FW

resp , (69)

où mk

C

2=α .


PARTIE I. 27

Pour trouver les fréquences des points A et B où l'amplitude est n1 fois ( )respW , la

réponse de l'équation (65) est égale (n1 ) fois de la réponse de l'équation (69) :

( ) ( ) 2

0

222

0

1221 αααξξ −=

+− n

kFkF, (70)

avec 0ωωξ = . Pour 14

2

<<km

C, les deux solutions 2,1, =iiω sont données par l'équation:

11 2 −±= ni αξ , (71)

d’où :

−−

=nn ωωωα 12

2 12

1, (72)

pour 2=n

nωωα

2∆= , (73)

où le terme ( ) cCCkmC /2/ ==α , est le facteur d’amortissement visqueux, et cC est

l'amortissement critique du système. Des calculs semblables peuvent être effectués pour le

système avec amortissement hystérétique. Dans ce cas-ci l'amplitude à la résonance est

( )ηk

FW

resp0= , (74)

où mkres =ω . Les fréquences aux points A et B de la Figure 11, où la réponse est n1 fois

( )respW , sont indiquées par

( )11 22,1 −±= n

m

k ηω . (75)

Par conséquent pour 2=n :

ηηω

ω −−+=∆11

res

. (76)

Et pour 1<<η

resωωη ∆≈ . (77)

Les équations (73) et (77) montrent que

αη 2≈ . (78)


PARTIE I. 28

7.1.2 Mesure par l’amplitude à la résonance

Le facteur de surtension ou de qualité Q est défini comme le rapport de l'amplitude de la

réponse à la résonance au déplacement si la force est appliquée statiquement [106] :

( )kF

WQ resp

0

= . (79)

A partir des équations (69) et (79), on peut dire que dans le cas de l'amortissement visqueux

212

1

αα −=Q . (80)

Pour 1<<α cela se réduit à la relation familière :

Q2

1=α . (81)

De même pour l'amortissement hystérétique, l'équation (74) et (79) donne :

Q

1=η . (82)

7.2 Régime libre

7.2.1 Amortissement visqueux.

L'équation du mouvement du système à un degré de liberté avec amortissement visqueux,

soumis à une force impulsion ( )tF δ à 0=t , est écrite sous la forme homogène [106, 137] :

0=++ kwwCwm �� . (83)

La solution de cette équation dans le cas 12 <kmC est :

( ) ( )φωαωα +−= − teAtw t0

21cos0 , (84)

où kmC 2=α , mk=0ω . Le terme ( )φωα +− t021cos est égal à unité quand

( ) 20 12 αφπω −−= nt , n = 0, 1, 2, … Ainsi le rapport des amplitudes maximales pour n1 et

n2 est:

( )( )

−

−−

=2

21

2

1 1 α

παnn

n

n ew

w. (85)

En particulier, pour 112 += nn

( )21ln

2

1

απαδ−

=

=

n

n

w

w, (86)


PARTIE I. 29

22 πδδα+

= , (87)

où δ est connu comme le décrément logarithmique.

7.2.2 Amortissement élastoplastique

La figure (3) montre un système avec un frottement de type Coulomb, l’équation du

mouvement libre de la masse s’écrit avec comme déplacement initial w0:

( ) 0sgn =++ kwwNwm �� µ , (88)

avec mgN = , cette équation est non linéaire du type « linéaire par morceaux » [106, 135].

Nous cherchons une solution particulière de l'équation (88), satisfaisant les conditions initiales

( ) ( ) 00,00 0 =>= www � . (89)

Considérons deux demi-périodes du mouvement :

nt ωπ≤≤0 et nn t ωπωπ 2≤≤ , (90)

où mkn =ω représente la fréquence propre du système. Puisque 00 >w , la première demie-

période du mouvement s'effectue vers la gauche. Dans ce cas, la force de frottement est dirigée

vers la droite et l'équation du mouvement a la forme :

0=+− kwNwm µ�� , (91)

et compte tenu des conditions initiales (89), l’équation (91) admet pour solution particulière :

( ) ( )k

Nt

k

Nwtw n

µωµ +

−= cos0 . (92)

Cette phase du mouvement prend fin lorsque nt ωπ= . On trouve à cet instant :

( ) ( ) 0,20 =+−= nn wk

Nww ωπµωπ � . (93)

Pour la seconde demie-période le mouvement s'effectue vers la droite et la force de frottement

change de signe. On a donc :

0=++ kwNwm µ�� , (94)

et la solution particulière de cette équation avec les conditions initiales (93) s'écrit :

( ) ( )k

Nt

k

Nwtw n

µωµ −

−= cos30 . (95)

Ce procédé de découpage en phases successives de mouvement, pendant lesquelles la

vitesse garde un signe constant peut être poursuivi. Ainsi après chaque demie-période nωπ

l'amplitude du mouvement W(t) diminue de kNµ2 . Pour la n-ième demie-période (dans ce

cas la période est constante), on a :


PARTIE I. 30

( ) ( ) ( ) ( )k

Nt

k

Nnwtw n

n

µωµ 10 1cos12 +−+

−−= . (96)

w

4µN / k

Wn

Wn+2

µN / k

4π /ωn

w0

0t

tf

Fig. 12. Vibrations libres du système avec friction de Coulomb

Les vibrations continuent jusqu’à l'instant ftt = pour lequel :

( )k

Ntw f

µ= , (97)

quand ftt > le mouvement s’arrête. on a montré ici, que pour un système non linéaire il est

parfois possible de trouver assez facilement une solution particulière.

Pour calculer le facteur de friction, il y a deux méthodes :

a) Evaluation de la dissipation d’énergie par le décrément logarithmique

=

+2

lnn

n

W

Wδ , (98)

où 2, +nn WW respectivement sont les amplitudes maximales au bout de la n-ième et (n+2) iéme

demie-période, ( ) ( )( )TnwWnTwW nn 2, 2 +== + . Dans le cas considéré :

( )

+−

−=kNnw

kNnw

µµδ22

2ln

0

0 , (99)

dans le cas δ est une petite quantité, on peut trouver le facteur de frottement donc :

δµN

kw

40≈ . (100)

b) Evaluation de la dissipation d’énergie par la méthode de boucle d’hystérésis


PARTIE I. 31

w0w0 – 2(n + 1) (µN / k)

- w0 + 2n (µN / k)

2 µN

w

kw ± µN

Fig. 13. Boucle d’hystéresis. Friction de Coulomb

La Figure 13 représente les forces appliquées au système en fonction du déplacement, S

représente l’aire interne dans la boucle qui est proportionnelle à la quantité de l’énergie dissipée

pendant une période du mouvement (le travail effectué et dissipé) :

( )

+−= 124 0 n

k

NwNS

µµ , (101)

le coefficient de la dissipation ψ relative s’écrit :

U

S=ψ , (102)

où U désigne l’énergie des vibrations d’un cycle en négligeant la dissipation. Elle est égale à

l’énergie potentielle maximale :

202

1wkU = , (103)

on a donc :

( )

+−= 1218

00

nwk

N

wk

N µµψ , (104)

si on accepte que le facteur ψ égale δ2 (où δ est petit), on a :

δψµN

wk

N

wk

48

1 00 =≈ . (105)

Les relations (100) et (105) montrent que les deux méthodes sont équivalentes.

CHAPITRE I – G ENERALITES S L’AMORTISSEMENTcsidoc.insa-lyon.fr/these/2002/al_majid/chap1.pdf ·...

Documents

Transcript of CHAPITRE I – G ENERALITES S L’AMORTISSEMENTcsidoc.insa-lyon.fr/these/2002/al_majid/chap1.pdf ·...