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Chapitre 9 Triangles 48 48 I. Programme de la classe de cinquième Connaissances Capacités Commentaires Constructions de triangles et inégalités triangulaire. Médiatrice d’un segment [Reprise du programme de 6 e ] Cercle circonscrit à un triangle. – Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire. Construire un triangle connaissant : • la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, • les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés, • les longueurs des trois côtés. – Sur papier uni, reproduire un angle au compas. – Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance. Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d’un segment. – Construire le cercle circonscrit à un triangle. Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un côté est tracé, on peut construire plusieurs trian- gles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L’inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC AC. Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l’appartenance du point B au segment [AC]. Au niveau des exigibles du socle, il suffit de connaître une méthode de construction. La construction doit être justifiée. Propriétés des triangles usuels. [Reprise du programme de 6 e ] Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes. diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer. Ils permettent aussi pro- gressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de sixième. II. Contexte du chapitre Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui sur des figures dessinées suivant les cas, à main levée, à l’aide des instruments de dessin et de mesure, ou dans un environnement informatique. Ils sont conduits en liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Les

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Chapitre

9Triangles

4848

I. Programme de la classe de cinquièmeConnaissances Capacités Commentaires

Constructions de triangles et inégalités triangulaire.

Médiatrice d’un segment[Reprise du

programme de 6e]

Cercle circonscrit à un triangle.

– Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire.– Construire un triangle connaissant :

• la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,• les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés,• les longueurs des trois côtés.

– Sur papier uni, reproduire un angle au compas.

– Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance.– Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d’un segment.

– Construire le cercle circonscrit à un triangle.

Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un côté est tracé, on peut construire plusieurs trian-gles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.

L’inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ⩾ AC.Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l’appartenance du point B au segment [AC].

Au niveau des exigibles du socle, il suffit de connaître une méthode de construction.

La construction doit être justifiée.

Propriétés des triangles usuels.[Reprise du

programme de 6e]

Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.

La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes.

diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer. Ils permettent aussi pro-gressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de sixième.

II. Contexte du chapitreLes travaux de géométrie plane prennent toujours appui sur des figures dessinées suivant les cas, à main levée, à l’aide des instruments de dessin et de mesure, ou dans un environnement informatique. Ils sont conduits en liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Les

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49Chapitre 9 • Triangles

fier la démarche. En prérequis, l’activité réinvestit la pro-priété d’équidistance de la médiatrice.Avant de déterminer le centre d’un cercle passant par trois points donnés, l’élève pourra ainsi justifier du lieu du centre d’un cercle passant par deux points donnés. Le centre du cercle circonscrit sera défini comme inter-section de ces lieux de points (médiatrices). La fin de l’activité a pour objectif de conjecturer le concours des médiatrices et la justification de ce résultat.

B. Activités TICEActivité 1 : Hauteurs dans un triangle

L’activité a pour objectif de conjecturer des propriétés relatives aux hauteurs du triangle.Dans un premier temps, il est demandé de construire une hauteur et de discuter de sa position par rapport au trian-gle en fonction de la nature des angles du triangle.Le dynamisme de la figure permet de passer rapidement et de façon fluide d’une situation à l’autre tout en s’arrê-tant sur le cas particulier du triangle rectangle.Les élèves pourront enfin conjecturer la propriété de concours des hauteurs.

Activité 2 : Triangles particuliers et droites

particulières

Dans la continuité de l’activité précédente, les élèves pourront observer et conjecturer des situations parti-culières pour les droites remarquables du triangle.Les cas du triangle isocèle et du triangle équilatéral sont étudiés ici.

Activité 3 : Points cocycliques

Cette activité est d’un niveau supérieur aux deux pré-cédentes. Il est étudié ici le cas de quatre points sur un même cercle. La première partie mène à conjecturer puis démontrer que si quatre points se trouvent sur un même cercle, les médiatrices du quadrilatère formé par ces quatre points sont concourantes.La deuxième partie traite de la situation réciproque. On se donne trois points sur un même cercle et on demande de conjecturer puis démontrer qu’un qua-trième point appartient à ce cercle à la condition que les médiatrices du quadrilatère formé par ces points soient concourantes.

IV. Intentions pédagogiques des activitésA. ActivitésActivité 1 : Construction de triangles

L’objectif de l’activité est double. Il s’agit d’abord de réinvestir les compétences sur les triangles travaillées dans les classes antérieures : construction, caractérisa-tion, vocabulaire.L’élève se trouve ensuite confronté à une situation nou-velle : le cas où les données de l’énoncé ne mènent pas à une solution unique. La construction du dernier triangle est en effet dictée par la donnée des trois angles. Les triangles obtenus sont homothétiques mais non superposables. Le débat pourra alors être mené de façon non exhaustive sur les conditions d’unicité du résultat.

Activité 2 : Inégalité triangulaire

L’activité permet d’introduire l’inégalité triangulaire de façon intuitive et ludique.L’usage des allumettes facilite la découverte. Les élè-ves peuvent ainsi visualiser de nombreux triangles de périmètre imposé et de longueur de côté entière. L’al-lumette symbolise ainsi l’unité.L’élève conjecture assez rapidement qu’il est nécessaire de garder suffisamment d’allumettes pour les deux côtés restants une fois le premier côté fixé.Le professeur transposera alors ces manipulations à une approche géométrique. L’activité pourra se conclure par une formalisation de l’inégalité triangulaire.

Activité 3 : Droites remarquables d’un triangle

L’activité permet de découvrir deux droites remarqua-bles du triangle : la hauteur et la médiane.Pour les hauteurs, le début de l’activité définit cette nou-velle droite et présente les deux situations : celle où une hauteur se trouve à l’intérieur du triangle et celle où elle se trouve à l’extérieur. La suite de l’activité montre la construc-tion d’une médiane et définit cette dernière.

Activité 4 : Cercle circonscrit à un triangle

Tout en découvrant la méthode de construction du cer-cle circonscrit à un triangle, l’élève sera amené à justi-

III. Ressources disponibles sur le site compagnonCours • Figure dynamique d’un cercle circonscrit.

Savoir faire • Animation : Utiliser l’inégalité triangulaire.• Animation : Construire le cercle circonscrit à un triangle.

Avec un ordinateur Pour aider à la correction en vidéo projection : • Figure dynamique de l’activité 1 • Figure dynamique de l’activité 2 • Figure dynamique de l’activité 3Fichier « boite_noire_09 »

Exercices • Figure dynamique de l’exercice 99• Figure dynamique de l’exercice 103

Devoir à la maison • Figure dynamique du Devoir à la maison 1• Liens pour en savoir plus sur François Viète, Blaise Pascal et René Descartes

Du côté du Site

compagnon• PDF : Le triangle de Penrose

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25 Il existe deux triangles isocèles différents. L’un est isocèle en A et l’autre en C.Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.

26 à 29 À vérifier sur le cahier de l’élève.

30 AB < BC + CA

31 Non ce n’est pas possible : 2 + 5 < 7,5.

32 Non ce n’est pas possible : 2 + 3 < 6.

33 a) Le triangle est constructible.b) Non, car 9,2 > 6,1 + 2,9.c) Non, car 5,3 > 2,9 + 1,8.

34 La plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.AC = 6,2 < 5,8 + 4,3 (AB + BC).

35 La plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.PM = 4,2 m < 1,86 m + 3,46 m (MN + NP).

36 Le triangle n’est pas constructible car 7,5 > 3 + 4.

37 et 38 À vérifier sur le cahier de l’élève.

39 Les points sont alignés dans les cas b. et c.

40 PN = 7,9 + 4,5 = 12,4 cm.

41 MN = 6,3 – 4,2 = 2,1 cm.

42 a) Faux b) Vrai c) Faux d) Faux e) Vrai.

43 AB < AC + CB ; AC < AB + BC ; BC < BA + AC ; AD < AC + CD; AC < AD + DC ; DC < DA + AC.

44 a) EF ⩽ EG + GF ; b) EG ⩽ FG + EF ;c) GE + EF ⩾ GF.

45 a) CD < CA + AD ; b) BA + AC > BC ;c) BC + CD = BD ; d) BD + DA > AB ;e) AD < CA + CD ; f) BC + BD > CD.

46 La droite (d) est une médiatrice du triangle ABC.

47 La droite (d) est une hauteur du triangle ABC.

48 (d1) et (d2)

49 a) Ni l’une ni l’autre b) Médianec) Ni l’une ni l’autre d) Médiatrice

50 (d) est une hauteur dans les cas a, b et d.

51 (BI) est une médiane, (KI) est une médiatrice et (CH) est une hauteur.

52 BAE, BAH, BAD, BAC, BEH, BED, BEC, BHD, BHC et BDC.

53 • H, I et F appartiennent à la hauteur issue de A.• G, I et L appartiennent à la hauteur issue de B.• D, E et I appartiennent à la hauteur issue de C.

54 • D et J appartiennent à la médiatrice de [AC].• F et G appartiennent à la médiatrice de [AB].• E et I appartiennent à la médiatrice de [BC].

55 à 58 À vérifier sur le cahier de l’élève.

59 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. La médiatrice de [BC] et la médiane issue de A sont confondues.4. La bissectrice de l’angle jBAC est confondue avec les deux droites précédentes.

Activité 4 : La boîte noire du chapitre 9

Par la donnée de trois points, la boîte noire du chapitre affiche trois droites : une rouge, une verte et une bleue. Chacune d’elle est une droite particulière du triangle. La rouge est une hauteur ; la verte est une médiane et la bleue est une médiatrice.Le dynamisme de la figure facilitera la reconnaissance de la nature de ces droites que les élèves devront ensuite réaliser.

V. Corrigés des exercices

Savoir faire1 NP = 5,7 < 3,4 + 5,5 (MN + NP).

Le triangle MNP est donc constructible.

2 a) BC = 7,9 > 5,5 + 2,3 (AB + AC).Le triangle ABC n’est donc pas constructible.b) AC = 5,7 < 4,2 + 5,6 (AB + BC).Le triangle ABC est donc constructible.

3 a) DE = 8,9 = 3,5 + 5,4 (EF + DF).Les points D, E et F sont alignés.b) DF = 8,9 > 3,8 + 4,2 (DE + EF).Le triangle DEF n’est donc pas constructible.

4 AB = 7,3 = 4,2 + 3,1 (AC + BC).On peut construire le point C tel que les points A, B et C soient alignés.

5 BC = 7,1 < 4,8 + 6,8 (AB + AC).

6 DF = 86 > 34 + 41 (DE + EF).

7 à 12 À vérifier sur le cahier de l’élève.

13 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. Si les points sont alignés, les médiatrices des seg-ments formés par ces points sont parallèles et ne se croisent pas.

14 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. Les points M, N et P appartiennent au cercle de centre O, donc MO, NO et PO sont des rayons du cercle.

15 À vérifier sur le cahier de l’élève.

Exercices d’entraînement

16 à 21 À vérifier sur le cahier de l’élève.

22

A B

C

3,3

5,235° A B

C3,3

5,235°

23

M N

4

5,5

50°

24 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.

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51Chapitre 9 • Triangles

91 NP peut prendre les valeurs 2 cm, 4 cm, 6 cm ou 8 cm. Dans le dernier cas, les points M, N et P sont ali-gnés.

92 1. Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.2. Hauteur du toit : 5,4 m.3. Hauteur de la maison : 13,4 m.

93 À vérifier sur le cahier de l’élève.

94 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. Le triangle reste en équilibre.

95 1. Vrai 2. Faux 3. Faux 4. Faux

96 et 97 À vérifier sur le cahier de l’élève.

98 La citerne se trouve à l’intersection des médiatrices des côtés du triangle formé par les trois points repré-sentant la ferme, la maison et les poules.

99 1. L’élève pourrait penser que la barque penche du côté droit car deux personnes se trouvent à droite de l’axe de symétrie de la barque.2. et 3.

La conjecture énoncée à la question 1. n’est pas confir-mée car le centre de gravité G se trouve à gauche de l’axe de symétrie. Cela s’explique par le fait que les deux per-sonnes de droite se trouvent très près de l’axe alors que la personne de gauche s’en trouve très éloignée.

100 – Construire un triangle ABC tel que AC = 8,3 cm, AB = 4,3 cm et BC = 6,5 cm.– La hauteur issue de B coupe [AC] en E. La médiatrice de [AC] coupe [AC] en D et [BC] en F.– Tracer les segments [BD] et [EF].Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.

101

A

F

C

KJ

H

E

I B

Les points I, J et K semblent alignés.

102 Les points solutions au problème se trouvent à l’in-tersection de la ligne courbe et de la médiatrice du seg-ment [AB].

A

B

60 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.Deux hauteurs du triangle rectangle sont les côtés de l’angle droit du triangle.

61 Dans le cas a, le cercle est circonscrit au triangle.

62 Vrai

63 et 64 À vérifier sur le cahier de l’élève.

65 Le point E est le centre du cercle circonscrit au trian-gle ABC.

66 Le point J est le centre du cercle circonscrit au trian-gle ABC.

67 et 68 À vérifier sur le cahier de l’élève.

69 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.3. Le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l’hypoténuse.

70 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.

71 Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.L’emplacement du centre équestre correspond au point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle formé par les trois villages.

72 a) Non, 5,51 > 2,09 + 3,4 = 5,49.b) Oui, 12,12 < 6,33 + 5,8 = 12,13.c) Non, 1,82 > 0,95 + 0,86 = 1,81.

73 BI = CI = 7,1 : 2 = 3,55 cm.

74 AB = 3,49 × 2 = 6,98 cm et AD = 3,87 × 2 = 7,74 cm.

Pour s’évaluer75 B 76 C 77 A et C 78 B et C 79 C

80 et 81 À vérifier sur le cahier de l’élève.

82 On ne peut pas construire le triangle ABC car AB > AC + BC.

83 Les points D, E et F sont alignés. En effet : DF = DE + EF.

84 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.

85

M N

P

7,8 cm

6,5 cm

123°

86 et 87 À vérifier sur le cahier de l’élève.

88 Le point O est le point de concours des médiatri-ces des côtés du triangle MNP.

Exercices d’approfondissement89 C’est possible car 5 + 6 > 10.

90 Florie a raison.Jeanne obtient trois points alignés : AC = 6,5 = 2,5 + 4 = BC + AB.Le triangle de Louis n’est pas constructible : BC = 7 > 4 + 2 = AB + AC

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2. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des trois médiatrices des côtés du trian-gle. Donc en particulier, le centre du cercle circonscrit au triangle ABM appartient à la médiatrice du segment [AC]. Il en est de même pour les centres des cercles cir-conscrits au triangle ABN et ABP. Les trois centres sont donc alignés sur la médiatrice de [AC].

109 1.

O

(d’) (d)

A

P

M

2. Le point P est le symétrique du point A par rapport à (d) donc (d) est la médiatrice de [AP]. Le point O appar-tient à cette médiatrice donc OA = OP. On démontre de même que OP = OM. On en déduit que OA = OM.

110 Une méthode consiste à tracer deux médiatrices du triangle ABC afin d’obtenir le centre O du cercle cir-conscrit au triangle ABC. Tracer ensuite une médiatrice du triangle (non construit) ABD par exemple en tra-cant une droite quelconque passant par O. Un point D s’obtient en construisant le côté relatif à la précédente médiatrice.

111 Il existe cinq triangles différents dont les dimen-sions sont en allumettes :1, 6, 6 – 2, 5, 6 – 3, 4, 6 – 3, 5, 5 – 4, 4, 5

Devoir à la maison

1

A

C

B

M

M3

M2

M1

2 1. a) À vérifier sur le cahier de l’élève.b) En construisant les médiatrices des côtés du trian-gle défini par les trois villes, on trouve la ville où est né Viète. Il s’agit de Fontenay-Le-Comte.

2. a) À vérifier sur le cahier de l’élève.b) De la même manière, on trouve la ville où est né Blaise Pascal. Il s’agit de Clermont-Ferrand.

3. a) Le mathématicien à découvrir est Descartes.b) À vérifier sur le cahier de l’élève.

103

A

H

B

O

CG

104 1.

B

C

DA

E

F

2. Dans les triangles ABC et ACD, (EF) est la médiatrice relative au côté [AC] donc les droites (AC) et (EF) sont perpendiculaires.

105 Exercice autocorrectif.

106 Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.

107

A

BC

gamelle

La gamelle se trouve à l’intersection des médiatrices des côtés du triangle formé par les points représentant l’em-placement des chiens. Les chiens peuvent se déplacer dans un disque de rayon 3 m. La figure montre qu’aucun chien ne peut atteindre la gamelle.

108 1.

M

A

P

B

N