Chapitre 9

Equations

I. Equations

Définition :

Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou

plusieurs nombre(s) inconnu(s).

Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres.

Exemple :

+ 5 = 17 – 2 est une équation d'inconnue .

Résoudre une équation d'inconnue , c'est trouver toutes les valeurs

possibles du nombre (si elles existent) qui vérifient l'égalité, c'est-à-dire

que l'égalité soit vraie.

Chacune de ces valeurs est une solution de l'équation.

Exemples : On considère notre équation + 5 = 17 – 2

Le nombre 2 est-il solution de cette équation ?

Calcul du 1er membre : = 2 : 2 + 5 = 7

Calcul du 2eme membre : = 2 : 17 – 2 x 2 = 13

L'égalité n'est pas vérifiée pour = 2, donc le nombre 2 n'est pas solution

de cette équation.

Propriété :

On ne modifie pas une égalité lorsqu'on ajoute (ou l'on

soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.

Exemple : – 2 + = - 3

En ajoutant 2 à chacun des membres de l'égalité, on obtient

– 2 + + 2 = - 3 + 2

c'est-à-dire = - 1

Propriété :

On ne modifie pas une égalité lorsqu'on multiplie (ou l'on divise)

un même nombre non nul à chacun de ses membres.

Exemple : –5 = 10

En divisant par - 5 à chacun des membres de l'égalité, on obtient

– 5 : ( - 5 ) = 10 : ( - 5 )

c'est-à-dire = - 2

II. Résoudre une équation

On considère l'équation d'inconnue x :

x + 5 = 17 – 2x

1ère étape :

2ème étape :

3ème étape :

4ème étape :

On vérifie :

5ème étape :

On conclue :

L'équation admet une solution : 4

Remarque :

En pratique, on utilise une méthode plus rapide.

Lorsque l'on « passe un membre d'un autre côté » quand il est

ajouté ou soustrait, on le transforme en son opposé.

Lorsque l'on « passe un membre d'un autre côté » quand il est

multiplié ou soustrait, on le transforme en son inverse.

III. Résoudre un problème

Alexandra et Thomas choisissent un même nombre.

Alexandra multiplie ce nombre par 5 et ajoute 14 au résultat.

Thomas ajoute 29 au nombre choisi.

Ils trouvent le même résultat.

Quel est le nombre qu'ils ont choisi au départ ?

1ère étape : Choix de l’inconnue :

On note le nombre choisi au départ.

2ème étape : Mise en équation :

5 𝑥+14=𝑥+29

3ème étape : Résolution de l’équation

4ème étape : Conclusion :

Le nombre choisi au départ est donc 3,75.