Chapitre 6 : Restauration d’images

Pr. M. Talibi Alaoui

Département Mathématique et Informatique

1. Principe

Restaurer une image consiste à essayer de

compenser les dégradations subies par cette

image.

Les dégradations les plus courantes :

Flou de défocalisation bougé

L’image F dont on dispose :

h +

B

FI

Modèle de dégradation

Objectif de la restauration :

Calculer à partir de F une image aussi proche que

possible de l’image originale I.

On a besoin donc de connaître :

Le filtre h.

La variance du bruit.

I

dégradation Restauration

Estimation des paramètres de la dégradation

I F

Principe général de la restauration d’images

I

Le filtre de dégradation est symétrique par rapport à

l’origine :

En prenant la transformée de Fourier, et en supposant

que les images I et F sont périodiques :

ba

yxBbyaxIbahyxF,

),(),(),(),(

),(),)(*( yxByxIh

),(),(),(),( vuvuvuHvu

2. Détermination des paramètres de la

dégradation

a. Modèle du filtre de dégradation

Défocalisation

Chaque point de la scène donne alors sur l’image une tache en

forme de disque, cette tache étant d’autant plus grande que la

défocalisation est importante.

On a alors :

sinon 0),(

you x si ),(

)12(

12

yxh

TTyxh

T

Le paramètre à déterminer est donc T.

Bougé

Elle se modélise par un filtre linéaire dont la réponse

impulsionnelle a la forme d’un segment. Ainsi la

dégradation se modélise par un filtre horizontal :

à 2T+1 coefficients.

La valeur du coefficient est alors :

] ... [ h

)12/(1 T

b. Etude en dimension 1Pour la clarté de l’explication, nous allons tout d’abord

nous placer en dimension 1 (bougé) :

L’indice x correspondra à la direction du bougé.

La réponse fréquentielle h(x) du filtre est alors :

La transformée de Fourier discrète, sur N points, de ce

filtre est :

21)(2T

1 avecsinon 0)(

x si )(

xh

Txh

Nu

j2-

2

eposant wen 1)(2T

1

)()(

T

Tx

x

TX

Tx

Nux

j

w

exhuH

Après démonstration, on pourra déduire que :

T = (1/2)*(kN/uk-1)

• Généralisation au cas à deux dimensions

Si on néglige le bruit, l’équation

montre que le spectre de l’image dégradée est le produit du

spectre de l’image idéale par la transformée de Fourier du filtre de

dégradation.

Il s’ensuit que les passages par zéro du filtre se retrouvent sur le

spectre de l’image dégradée. En visualisant le spectre, on peut

donc localiser approximativement ces bandes sombres et en

déduire la valeur de T.

),(),(),(),( vuvuvuHvu

Exemple : Estimation des paramètres de la

dégradation

Calculer le spectre de l’image flou1 (et flou4) et le

visualiser ( on utilisera de préférence, une échelle

logarithmique ).

On remarquera des bandes sombres sur le spectre. Ces

bondes sombres correspondent aux passages par zéro

du filtre qui a dégradé l’image.

On peut localiser approximativement ces bandes

sombres et en déduire la valeur de T. Pour une

estimation plus précise, on utilisera une sommation.

3. Restauration par filtrage inverse

On filtre l’image dégradée par un filtre g(x,y) qui est l’inverse de h(x,y).

On passe dans le domaine des fréquences, en utilisant la transformée de

Fourier.

En fréquentiel on aura donc :

Pour restaurer l’image, on calcule le spectre de l’image restaurée :

Ce qui consiste à appliquer le filtre inverse dans la domaine des

fréquences. Enfin, une transformée de Fourier inverse nous donne l’image

restaurée .

),(1

),(vuH

vuG

),(),(),(ˆ vuvuGvu

),(ˆ yxI

Afin de mieux comprendre le principe et les limites

de cette méthode, nous allons à présent exprimer :

Soit puisque G(u,v)H(u,v)=1 :

Si le bruit était nul, on retrouverait exactement l’image

originale.

),(),(),(),(),(),(ˆ vuBvuGvuIvuHvuGvuI

),(),(),(),(ˆ vuBvuGvuIvuI

),(),(),(),( vuvuvuHvu

),(),(),(ˆ vuvuGvu

Pour un bruit non nul, ce qui sera toujours le cas enpratique, un problème se pose lorsque H(u,v) devienttrès faible, car on a alors une forte valeur de G(u,v), cequi entraîne une forte amplification du bruit.

Solution : borner les valeurs que peut prendre G(u,v) :

Si G(u,v)>S alors G(u,v)=S Si G(u,v)<-S alors G(u,v)=-S

ou S est un seuil positif.

Résultat.

4. Restauration par filtrage de Wiener

Le raisonnement qui vient d’être mené peut être rendu

plus rigoureux : on aboutit à la notion de filtre de

Wiener.

On va déterminer le filtre G(u,v) qui minimise l’erreur

quadratique moyenne entre l’image idéale et l’image

restaurée :

Le G est :

2),(),(ˆ vuIvuIEeQM

2

*

),(

),(),(

vuH

vuHvuG

5. Le problème des effets de bord

Nous allons voir successivement deux méthodespour améliorer les résultats :

Estimer les effets de bord pour ensuite lescorriger.

Faire l’hypothèse qu’au niveau des bords, despoints qui se trouvent à l’extérieur de l’imageont des intensités voisines des points qui setrouvent à l’intérieur.

6. Restauration par estimation et correction des effets de bord

On se limitera au cas ou le filtre de dégradation

est un filtre horizontal. Cela permet de traiter les

lignes de l’image indépendamment les unes des

autres.

L’indice x correspond à la direction du bougé.

Notons I(x) une ligne de l’image idéale et F(x) la

même ligne dans l’image dégradée.

Les indices x = 0, 1, .., N-1 correspondent à la

zone effectivement visible dans l’image, alors que

les indices x négatifs ou supérieurs à N-1

correspondent aux bords extérieurs à l’image.

Le filtre de dégradation h(x) vaut 1/(2T+1) pour

-T <= x <= +T et 0 ailleurs.

On notera H(u) sa transformée de Fourier sur N Points.

On posera :

pour x = -T,…., T-1.

Au niveau de la transformée de Fourier, on peu écrire :

N)I(x - )()( xIx

)()()()( uBuIuHu

Si on place les N composantes de bruit B(u) dans un vecteur et les 2T

composantes de dans un vecteur , on peut démontrer qu’il existe une

matrice W précalculable à N lignes et 2T colonnes telle que :

H(u) comporte 2T passages par 0. Lorsque u correspond à un passage par

zéro, on a :

B(uk)=F(uk)

Notons le vecteur de dimension 2T contenant ces valeurs, et W0 la matrice

de dimension 2T par 2T, formée à partir des 2T lignes de W correspondantes.

On a alors : , d’où :

B

)(x

W B

0B

00 WB

01

0 BW

Cette équation permet d’estimer . Ensuite, on calcule

le vecteur de bruit grâce à l’équation . On obtient alors

La valeur corrigée de F par :

On applique ensuite une méthode de restauration

classique, mais en remplaçant F(u) par Fcor(u).

Résultat

)()()( uBuFuFcor

7. Restauration par symétrie miroir

L’erreur est d’autant plus grande que les niveaux

d’intensités sur les bords opposés de l’image

sont différents.

On peut réduire cette différence en travaillant su

une image plus grande, construite à partir de

l’image initiale par symétrie miroir.

En effet, les bords opposés d’une telle image ont

des niveaux d’intensité proches.

Notons Ie et Fe les images étendues à partir

de I et F. On a alors :

Du fait de la faible différence entre les bords opposés

de l’image étendue, le bruit Be(u,v) est faible. On peut

alors utiliser une méthode de restauration classique

simplement appliqué à Fe(u,v).

),(),(),(),( vuBvuIvuHvu eeee