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Terminale S Thème Comprendre Chap.6 Programme 2012

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Chapitre 6 : Applications des lois de Newton et Képler

Introduction : On s’intéressera dans ce chapitre, au mouvement d’un solide à proximité du sol ( en utilisant les lois de Newton) puis beaucoup plus éloigné, hors de l’atmosphère ( en utilisant les lois de Képler).

1) Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

1.1. Notion de champ UNIFORME

La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté g .

De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître une force qui l’attire vers le centre de la Terre et d’intensité :

gmP

Les caractéristiques du champ de pesanteur sont :

- direction : radiale - sens : vers le centre de la Terre

- intensité : mg

Donc, à l’échelle de la Terre, le champ de pesanteur n’est pas uniforme ( 2

vecteurs g voisins ne sont pas EGAUX : même direction, même sens et même

norme) Néanmoins, à l’échelle humaine, on admet que ce champ peut-être raisonnablement considéré comme UNIFORME.

g

Figure 2 : Champ uniforme

P en N

m en kg

g en N/kg ou m/

g

g

g

Figure 1 : Champ non uniforme


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1.2. Système, référentiel On doit , au préalable, définir le SYSTEME étudié ainsi que le REFERENTIEL dans lequel on se place. Ensuite on décrit un REPERE .

Dans notre cas , on étudie le mouvement d’une balle de tennis sur un terrain :

Le système : la balle

Le référentiel : Terrestre

Le repère : ( O,x,y,z ) .

1.3. Application de la 2ème loi de Newton On fait le bilan des forces appliquées au solide dans le référentiel. Considérons la balle de tennis tirée au point B de coordonnées (0 ; h) à la date t0 = 0. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. La

position de la balle est repérée à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère (O, x, y,z)

D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :

dt

vmd

dt

pdF

)(

dt

vdmv

dt

mdF

Or la masse m étant constante, on aura :

dt

vdm

dt

vdmvF 0

D’où : amF

En supposant que la balle ne subisse pas de frottements ( on parle alors de chute libre ), on aura alors : amPF

amgm

ga

Donc :

0

0ga

Rem : On voit que le mouvement se déroulera dans le plan contenant Vo et g , donc dans (O,x,y) , donc dans la suite des calculs, on ne s’intéressera qu’aux coordonnées selon (O,x) et (O,y) Dans la

ETAPE 1 :Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, on détermine le vecteur vitesse en recherchant la primitive de chaque coordonnée du vecteur accélération, en tenant compte des coordonnées du vecteur vitesse initiale :

'cstegt

cstev

Or à t = 0, on a

'0sin

cos

0

0

csteg

cste

v

vv

donc cste = v0 cos et cste’ = v0 sin .

B

O

y

v0

h x

g

Figure 3 : Tir d’un boulet B


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D’où :

sin

cos

0

0

vgt

vv

ETAPE 2 :Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on détermine le vecteur position en recherchant la primitive de chaque coordonnée du vecteur vitesse, en tenant compte des coordonnées du vecteur position initiale :

'sin2

1

cos

0

2

0

cstetvgt

cstetv

OG

Or à t = 0, le boulet G est en B (0 ; h )

donc cste = 0 et cste’ = h

D’où :

htvgt

tv

OG

sin2

1

0cos

0

2

0

ETAPE 3 : On a obtenu les équations horaires définissant le mouvement de cette balle de tennis : Pour l’accélération : Pour la vitesse : Pour la position :

ax = 0 vx = v0 cos x(t) = v0 cos t

ay = -g vy = – gt + v0 sin y(t) = – ½ gt 2

+ v0 sin t + h

az = 0 vz = 0 z(t) = 0

Rem : Ce mouvement est plan car l’une des coordonnées du vecteur position OG ne dépend pas du temps.

ETAPE 4 : En combinant les équations horaires du mouvement , et en éliminant le temps, on obtient l’équation de la

trajectoire y(x) :

tvtx cos)( 0

cos0v

xt

En remplaçant dans y(t), on obtient : hv

xv

v

xgxy

cossin

cos2

1)(

0

0

2

0

Soit, en simplifiant : hxxv

gxy

tan

cos2)( 2

22

0

Remarque :L’ équation est du type : cbxaxxy 2)( correspond à une trajectoire PARABOLIQUE

Equation de la trajectoire


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1.4. Caractéristiques de la trajectoire

La FLECHE : Il s’agit du sommet de la trajectoire ( donc de la parabole). Elle est atteinte lorsque la vitesse verticale devient NULLE :

vy = – gt + v0 sin = 0 donc t =

En remplaçant dans l’équation de la trajectoire, on a :

=

×

La PORTEE : La portée correspond au point P dont l’ordonnée est NULLE :

On doit résoudre l’équation : hxxv

g

tan

cos20 2

22

0

Comme tout polynôme du second degré, il admet 2 solutions, l’une absurde et l’autre valide :

=

= flèche

portée

O

Trajectoire parabolique

Exercice 1:


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Exercice 2:

Exercice 3:


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2) Mouvement dans un champ électrique uniforme 2.1. Système, référentiel

On considère une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniforme E .

Système étudié : particule G

Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen Inventaire des forces extérieures :

le poids gmP

la force électrique EqFe

les forces de frottement de l’air vkf

la poussée d’Archimède gVair

Avec V le volume de la particule, v sa vitesse, k une constante et air la masse volumique de l’air.

On admet que toutes les forces sont NEGLIGEABLES par rapport à la force électrostatique. On peut le vérifier dans l’exercice suivant

Exercice 4:

a) En supposant que cette particule soit un électron de masse m = 9,110 – 31

kg et de charge électrique q = -

1,610 – 17

C, déterminer les caractéristiques du poids de l’électron et celles de la force électrique qu’il subit

sachant que E = 10 000 Vm –1

b) Que penser de l’influence du poids de l’électron sur son mouvement dans le champ électrique ?

c) Que penser de la poussée d’Archimède que subit l’électron ? Même question pour les forces de frottements.

d) Faire l’inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron (m = 1,6710 – 27

kg).

2.2. Application de la 2ème loi de Newton

D’après la deuxième loi de Newton :

amFF e

y

x

a

am

qE

0

D’où :

m

qEa

a

y

x 0

m

qEa0

ETAPE 1 : En cherchant les primitives des coordonnées du vecteur accélération,et en tenant compte des conditions initiales, on obtient :

'cstetm

qEcste

v

Or à t = 0, le vecteur vitesse s’écrit :

''00cste

cste

cstem

qEcste

v

D’autre part, d’après l’énoncé, le vecteur vitesse initiale s’écrit aussi

0

0

0

vv

Particule chargée dans un champ électrique

E

E

E

x

y

O

g v0


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D’où : cste = v0 et cste’ = 0

Donc

tm

qE

v

v0

ETAPE 2 : En cherchant les primitives des coordonnées du vecteur vitesse, et en tenant compte des conditions initiales,on obtient :

'2

1 2

0

cstetm

qE

cstetv

OG

Or à t = 0, le vecteur position s’écrit :

''02

10

2

cste

cste

cstem

qEcstet

OG

Et d’après l’énoncé la particule est en O à l’origine du temps, donc

0

0OG

D’où cste = cste’ = 0

Donc :

2

0

2

1t

m

qE

tv

OG

ETAPE 3 : On a obtenu les équations horaires définissant le mouvement de particule chargée :

tvtx 0)(

2

2)( t

m

qEty

ETAPE 4 : En combinant les équations horaires du mouvement , et en éliminant le temps, on obtient l’équation de la

trajectoire y(x) :

2

2

02)( x

vm

qExy

Exemple : Déviation d’ions oxyde dans un champ électrique

Cette trajectoire est aussi une parabole car son équation

est du type : cbxaxxy 2)(


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3) Mouvements de satellites ou planètes

3.1. Description par la 2ème loi de Newton Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse. Dans tous les cas que nous aborderont cette

année, l’ellipse sera un cercle ou s’en approchera fortement, comme par exemple pour l’orbite de la Terre dans le référentielle héliocentrique.

Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :

Définition :

L’accélération dans la base de Frenet s’écrit : TaNaadt

vdTN

Avec R

vaN

2

et dt

vdaT

Terre

Soleil

F

N

T

R

Orbite de la Terre autour du SOLEIL Le mouvement étant circulaire, on définit un repère mobile constitué d’une origine et des 2 vecteurs unitaires :

L’origine est le CENTRE de la planète ou satellite

Le vecteur unitaire est tangent à chaque instant à la trajectoire et

est orienté dans le SENS du mouvement.

Le vecteur unitaire est perpendiculaire à chaque instant à la

trajectoire et est orienté vers le CENTRE de courbure.

On écrit alors ( Terre, , )

Dans ce repère, l’accélération s’écrit : TaNaa TN

avec aN l’accélération normale et aT l’accélération tangentielle.

Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne.

Si aT est nulle, le mouvement est uniforme.

Exercice 5:


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Système étudié : Terre de masse MT

Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen

Inventaire des forces extérieures :Une seule force, la force d’interaction gravitationnelle F exercée par le Soleil sur

la Terre. Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de Newton :

aMFF T

Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse MS sur la Terre a pour expression :

NR

MMGF ST

2

D’où : amF

TaNaMNR

MMG TNT

ST 2

TaMNaMNR

MMG TTNT

ST 2

Donc, par identification :

0

2

TT

ST

NT

aM

R

MMGaM

0

2

T

S

N

a

R

MGa

Or si 0Ta alors 0dt

vd car par définition

dt

vdaT

Et si 0dt

vd cela implique que .cstevv

Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.

Par exemple : - La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km/s - La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km/s)

3.2. Vitesse

D’après la partie précédente on a trouvé que : 2R

MGa S

N

Or, par définition : R

vaN

2

D’où : 2

2

R

MG

R

v S R

MGv S

3.3. Période de révolution La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite.

La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : RL 2

G = constante de gravitation universelle

F en N

M en kg

R en m

G = 6,6710 –11 S.I.

v en m/s

MS en kg

R en m

G = 6,6710 –11 S.I.


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D’où : T

R

T

L

t

dv

2

En utilisant l’expression du III.2 :

T

R

R

MG S 2

SGM

RT

3

2

Remarque :

Certains satellites doivent rester FIXES par rapport à la surface terrestre ( relais TV, téléphone..). Ils sont appelés GEOSTATIONNAIRES. Calculez à quelle altitude h ils évoluent.

Orbite géostationnaire

Exercice 6: QCM


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3.4. Les lois de Képler Au début du XVII ème siècle , Johannes Kepler (1571-1630), formula 3 lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du soleil

Première loi : loi des orbites (1609)

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil. MF + MF’ = 2a

Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil on parle de périhélie Pour la Terre, c’est le périgée.

L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil on parle d’aphélie Pour la Terre, c’est l’apogée.

a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe.

F’

Soleil

Planète

a

b

aphélie périhélie F


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Deuxième loi : loi des aires (1609) Le segment [SP] qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Cette loi implique que plus la planète s’approche du Soleil plus sa vitesse augmente. De même, plus elle s’en éloigne, plus sa vitesse diminue.

Troisième loi : loi des périodes (1618)

Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.

32 akT k

a

T

3

2

D’après la partie 3.3 on a :

SGM

RT

3

2

SGM

RT

322 4

SGMR

T 2

3

2 4

Ainsi, quelque soit la planète P de période de révolution T en orbite autour du Soleil à une distance R, le rapport du carré de sa période sur le cube du rayon de son orbite ne dépend que de la masse du Soleil ( plus généralement de l’astre attracteur).

Ainsi :

SHalley

Halley

Mars

Mars

Terre

Terre

GMa

T

R

T

R

T 2

3

2

3

2

3

24

...

Remarque :

Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’applique pour tout corps en orbite elliptique autour d’un astre.

Ainsi :

TerreSatellite

Satellite

Lune

Lune

GMR

T

R

T 2

3

2

3

24

t

t

A1

A2

Exercice 7:


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Représentation de 18 000 satellites en orbite autour de la Terre. On voit nettement apparaître l’orbite géostationnaire.

Exercice 8:

Exercice 9 :TS Star :


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4) Exercice BAC N°6 :Détermination de la masse de l’électron

ENONCE :

La première détermination historique de la masse de l'électron passait par une mesure expérimentale du quotient entre

sa charge et sa masse. Le dispositif utilise deux armatures métalliques A et B, planes, parallèles à un axe horizontal

(Ox), distantes de d, de longueur É, placées dans le vide (Fig. 1).

Un faisceau d'électrons pénètre en O entre ces armatures. Chaque électron a une masse m, une charge électrique

-e et une vitesse initiale Vo parallèle à (Ox). À la sortie des armatures, les électrons laissent une trace sur une plaque

sensible. Lorsque la tension UAB entre les plaques est nulle, cette trace est au point P. Elle est en C lorsque UAB = 400 V,

les points Pet C étant distants de 14 mm.

Données : vo = 2,50.107 m.s-1, d = 4,00 cm, l = 10,0 cm, e =1,6.10-19 C.

a) Le point C est il plus proche de A ou de B ? Justifier la réponse.

b) En négligeant le poids de l'électron, montrer que les coordonnées de son

vecteur accélération sont : ax= 0 et ay =

.

c) En déduire les coordonnées du vecteur vitesse de cet électron puis

les équations horaires de sa position.

d) En déduire l'expression de la date tc à laquelle l'électron arrive en x=

l et montrer que l'ordonnée du point C s’écrit :

Yc =

e) En déduire l'expression du rapport e/m en fonction de yc, l, Vo, UAB et d. Calculer sa valeur et en déduire

celle de la masse m de l'électron

SOLUTION :


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5) Exercice BAC N°7 :satellites SPOT

ENONCE :

Entre 1986 et 2002, les cinq satellites Spot (Satellite pour l'observation de la Terre) ont été placés en orbite circulaire,

à une altitude de 820 km, par le lanceur Ariane. Ils fournissent des images de la Terre en haute définition ,

accessibles au grand public depuis 2007.

a) Quelle force s'exerce sur le satellite en orbite ? Quelles sont ses caractéristiques ?

b) En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer qu'un satellite Spot est en mouvement uniforme et

calculer sa vitesse orbitale. Ai.de. 1

c) Calculer la période de révolution d'un tel satellite.

d) Expliquer pourquoi un petit nombre de satellites (en l'occurrence, cinq) suffisent à obtenir, chaque jour, une

image de n'importe quel point de la Terre. Aide. 2

Données :

G -= 6,67.10-11 N.m2.kg-2

masse de la Terre : MT = 6,0.1024 kg

rayon moyen de la Terre : RT = 6 370 km

SOLUTION :

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