Chapitre 5 structures hierarchiques (arbres)

CHAPITRE V:

Universit Saad Dahlab de Blida

Facult des Sciences

Dpartement dInformatique

Licence dInformatique

Semestre 4 (2me anne)

Algorithmique et Structures de Donnes

CHAPITRE V:

STRUCTURES HIRARCHIQUES

Mme AROUSSI

2014-2015

Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/

Introduction

Dfinitions et Terminologies

Topologie

PLAN DU CHAPITRE V

Topologie

Les Arbres Binaires

Les Arbres Binaires de Recherche (ABR)

Les Arbres AVL

Les TAS

Les Arbres m-aire

2

Dans les tableaux, nous avons :

Un accs direct par indice (rapide)

Linsertion et la suppression ncessitent des dcalages

Dans les Listes Linaires Chanes, nous avons :

Un accs squentiel lent

INTRODUCTION

3

Un accs squentiel lent

Linsertion et la suppression se font uniquement par modification de

chanage

Les arbres reprsentent un compromis entre les deux :

Un accs relativement rapide un lment partir de sa cl

Linsertion et la suppression non coteuses

De plus, les arbres sont des structures de donnes

fondamentales en informatique, trs utiliss dans tous les

domaines, parce quils sont bien adapts la

reprsentation naturelle dinformations homognes

INTRODUCTION

4

reprsentation naturelle dinformations homognes

organises, et dune grande commodit et rapidit de

manipulation.

Leur usage est multiple, car il capte lide de hirarchie;

titre dexemples, nous pouvons citer:

Dcoupage dun livre en parties, chapitres, sections,

paragraphes,

INTRODUCTION

5

paragraphes,

Livre

C1 C2 C3

S1.1 S1.2 S2.1 S2.2 S2.3

S2.1.1 S2.1.2



Hirarchies de fichiers,

INTRODUCTION

6



Expressions Arithmtiques

INTRODUCTION

-

7

-

A *

+ F

B *

C -

D E

Lexpression A - (B + C * (D - E)) * F

se reprsente facilement par un arbre

o apparat clairement la priorit des

oprations:

DFINITION & TERMINOLOGIES

Un arbre est une structure de donnes (souvent dynamique)

reprsentant un ensemble de valeurs organises

hirarchiquement (non linaire). Chaque valeur est stocke dans

un nud. Les nuds sont connects entre eux par des artes

qui reprsentent des relations parent/fils.

8

A

C DB

E G HF I

LKJ

NudsArtes


Racine: est le nud qui n'a

pas de prdcesseur (parent) et

possde zro ou plusieurs fils. La

racine constitue la caractristique

d'un arbre.

A

C DB

E G HF I

Racine

Nud interne

9

Feuille : est un nud qui n'a

pas de successeur (fils). Une

feuille est aussi appele un nud

externe.

Nud interne : est tout nud

qui admet au moins un

successeur (fils).

E G HF I

LKJ

Feuilles


Fils dun nud : sont ses

successeurs. Dans l'exemple, F,

G, H, et I sont les fils du nud D.

Frres : sont les successeurs

ou les fils issus d'un mme nud

A

C DB

10

(parent direct). Dans l'exemple,

B, C et D sont des frres.

Pre : est un nud qui admet

au moins un successeur (fils).

Dans l'exemple, D est le pre des

nuds F, G, H et I.

E G HF I

LKJ


Sous arbre : est une portion

de l'arbre. Dans l'exemple, le

nud G avec ces deux fils J et K

constituent un sous arbre.

Une branche est une suite de

A

C DB

11

nuds connects de pre en fils

(de la racine une feuille).

A-B-E

A-C

A-D-F

A-D-G-J

..

E G HF I

LKJ


Descendants dun nud :

sont tous les nuds du sous arbre

de racine nud. Dans l'exemple,

les descendants de D sont D, F,

G, H, I, J, K et L.

A

C DB

12

Ascendants dun nud :

sont tous les nuds se trouvant

sur la branche de la racine vers

ce nud. Dans l'exemple, les

ascendants de J sont G, D et A.

Les ascendants de E sont B et A.

E G HF I

LKJ


Taille dun arbre: est le

nombre de nuds quil possde.

Taille de larbre ci contre = 12

Un arbre vide est de taille

gale 0.

Degr dun nud : est le

A

C DB

13

Degr dun nud : est le

nombre de ses fils. Dans

l'exemple, le degr de B est 1, le

degr de D est 4.

Degr dun arbre : est le

degr maximum de ses nuds.

Degr de larbre ci contre = 4

E G HF I

LKJ


Le niveau d'un nud: est la distance qui le spare de la

racine:

Le niveau de la racine = 0

Le niveau de chaque nud est gale au niveau de son pre plus 1

Le niveau du nud contenant G' est gal 2.

RacineNiveaux

14

Racine

...........

.........

.......

........

A

C DB

E G HF I

LKJ

Niveaux

0

1

2

3


La profondeur d'un arbre (ou sa hauteur) : est le plus

grand niveau, c--d la distance entre la racine et la feuille la plus

lointaine. Dans l'exemple, la profondeur de l'arbre est gal 3

RacineNiveaux

15

Racine

...........

.........

.......

........

A

C DB

E G HF I

LKJ

Niveaux

0

1

2

3


Fort : est un ensemble d'arbres.

A

C DB

16

E

G

HF I

L

KJ

DFINITION & TERMINOLOGIESDfinition rcursive

Cas particulier: NIL est un arbre vide, contenant zro nud

RacineRacine de T1

Cas gnral: SI n est un

nud et si T1, T2, ...Tm sont

des arbres, ALORS on peut

17

T1

T1

Racine de T1

construire un nouvel arbre en

connectant T1, T2, ...Tm

comme des fils n.

Chaque Ti est dfinit de la

mme manire (rcursivement).

T1, T2, ...Tm sont alors des

sous- arbres de n.

TYPOLOGIE

Arbre m-aire : un arbre m-aire dordre n est un arbre ou le

degr maximum dun nud est gal n.

B-Arbre : Un arbre B dordre n est un arbre o :

la racine a au moins 2 fils

chaque nud, autre que la racine, a entre n/2 et n fils

tous les nuds feuilles sont au mme niveau

18

tous les nuds feuilles sont au mme niveau

Arbre binaire : cest un arbre o le degr maximum dun

nud est gal 2.

Arbre de Recherche Binaire : cest un arbre binaire o la cl

de chaque nud est suprieure celles de ses descendants

gauche, et infrieure celles de ses descendants droits.

PARTIE II:PARTIE II:

ARBRES BINAIRES

Dfinition

Modle

PLAN DE LA PARTIE II

Parcours

Reprsentation contige

Exemples dapplication20

DFINITION

Un arbre binaire est un arbre o chaque nud est connect

deux sous-arbres (un sous-arbre gauche et un sous-arbre droit).

Donc, un arbre binaire est un arbre de degr 2, cest--dire que

chaque nuds a au plus deux fils. Ainsi, le premier fils d'un nud

n est appel Fils-Gauche (FG) et le deuxime fils est appel Fils-

21

Droit (FD). A

B

C KG

F

H I

J

racine

D

NIL

DFINITION

Un arbre binaire est dit strictement binaire si chaque nud

interne (non feuille) a exactement 2 fils diffrents de NIL.

Si un arbre strictement binaire a n feuilles Alors :

le nombre total de ses nuds = 2n-1.

le nombre de ses nuds non feuilles (nuds internes) = n-1

22

A

B

C KG

F

H I

J

racine

D

M

Le nombre de feuilles : n=6

(C, D,H, M, J, K)

Le nombre total de nuds :

2n-1=11

Le nombre de nuds

internes: n-1=5 (A, B, F, G, I)

DFINITION

Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire o

toutes les feuilles sont au mme niveau.

Dans un arbre binaire complet de profondeur d :

le nombre total de nuds n = 20 + 21 + 22 + ... 2d = 2d+1-1

ainsi, d = log2(n+1) 1

le nombre de nuds internes =

23

le nombre de nuds internes = 2d-1

le nombre de feuilles = 2d

le nombre de nuds dans le niveau i = 2i

racine

D

A

B

C KG

F

DFINITION

Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire o

toutes les feuilles sont au mme niveau.

Dans lexemple ci dessous:

d = 2

le nombre total de nuds n = 23-1 = 7

le nombre de nuds internes =

24

le nombre de nuds internes = 22-1 = 3

le nombre de feuilles = 22 = 4

le nombre de nuds dans le niveau 1 = 2

racine

D

A

B

C KG

F

MODLE

L'arbre est implment souvent de manire dynamique

comme un ensemble de maillons (nuds) chans entre eux.

La structure d'un nud de l'arbre est la suivante :

25

Structure de DonnesTYPE Tnoeud = STRUCTURE

Info : TypeqqFG : * TnoeudFD : * Tnoeud

FINVAR Arbre : * Tnoeud

MODLE

On dfinit le modle (machine abstraite) suivant dun arbre

binaire:

Fonction Rle

Info(p) permet d'accder l'information du nud p

FG(p) permet d'accder l'information de fils gauche du nud p

FD(p) permet d'accder l'information de fils droit du nud p

26

FD(p) permet d'accder l'information de fils droit du nud p

Aff_info(p, x) permet de modifier l'information du nud p

Aff_FG(p, x) permet de modifier l'information de fils gauche du nud p

Aff_FD(p, x) permet de modifier l'information de fils droit du nud p

Crer_noeud(x)permet de crer un nud avec x comme information etretourne la rfrence du nud. Le nud cr a Nil comme filsgauche et droit.

Liberer_noeud(p) permet de librer le nud rfrenc par p.

PARCOURS

Le parcours dun arbre consiste passer par tous ses

nuds.

Les parcours permettent deffectuer tout un ensemble de

traitement sur les arbres.

On distingue deux types de parcours :

27

On distingue deux types de parcours :

Des parcours en profondeur (depth-first) explorent

l'arbre branche par branche. Parmi lesquels: le Prordre,

lInordre et le Postordre.

Des parcours en largeur (breadth-first) explorent

l'arbre niveau par niveau

PARCOURS EN PROFONDEUR

Dans un parcours en profondeur, on descend le plus

profondment possible dans larbre puis, une fois quune

feuille a t atteinte, on remonte pour explorer les autres

branches en commenant par la branche la plus basse

parmi celles non encore parcourues.

28

parmi celles non encore parcourues.

Le parcours en profondeur peut se faire en :

Prordre (Prfixe) : o on affiche la racine avant ses fils (Racine

FG FD),

Inordre (Infixe) : o on affiche le fils gauche avant sa racine et

son frre droit (FG Racine FD),

Postordre(Postfixe) : o on affiche les fils avant leur racine (FG

FD Racine).

PARCOURS EN PROFONDEUR

Ces parcours (prordre, inordre et postordre) sont des

parcours simples dfinir et programmer (en rcursif).

Soit R un arbre binaire (pouvant tre vide : R=NIL).

S'il n'est pas vide (n pointe le nud racine), alors il a la forme

suivante (avec T1 et T2 des sous arbres dfinis de la mme manire

29

que n) :R

T1 T2

Sous arbre gauche G Sous arbre droit D

PARCOURS PREORDRE

Le parcours prordre de R (s'il n'est pas vide) consiste

visiter le nud racine (R) ensuite parcourir rcursivement

en prordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2

(sous arbre droit) ce qui donne : [ R , T1 , T2 ou RGD]

30

R

T1 T2


PARCOURS PREORDRE



en prordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2

(sous arbre droit) ce qui donne : [ R , T1 , T2 ou RGD]

31

A

B C

E GD F

H I

HID EB FGA CRsultat de parcours:

PARCOURS PREORDRE

La procdure (rcursive) qui affiche les valeurs en

parcours prordre dun arbre de racine R est :

Procdure Prordre( R:* Tnoeud )Dbut

SI R NIL

32

SI R NILecrire( Info(R) )Prordre( FG(R) )Prordre( FD(R) )

FSIfin

PARCOURS INORDRE

Le parcours inordre de R (s'il n'est pas vide) consiste

d'abord parcourir rcursivement en inordre le sous arbre

gauche T1, puis visiter le nud racine (R) ensuite parcourir

rcursivement en inordre le sous arbre droit T2 ce qui donne

[ T1 , R , T2 ou GRD ]

33

[ T1 , R , T2 ou GRD ]

R

T1 T2


PARCOURS INORDRE

Le parcours inordre de R (s'il n'est pas vide) consiste

d'abord parcourir rcursivement en inordre le sous arbre

gauche T1, puis visiter le nud racine (R) ensuite parcourir

rcursivement en inordre le sous arbre droit T2 ce qui donne

[ T1 , R , T2 ou GRD ]

34

[ T1 , R , T2 ou GRD ]

A

B C

E GD F

H I

Rsultat de parcours: H ID EB F GA C

PARCOURS INORDRE


parcours inordre dun arbre de racine R est :

Procdure Inordre( R:*Tnoeud )Dbut

SI R NIL

35

SI R NILInordre( FG(R) )ecrire( Info(R) )Inordre( FD(R) )

FSIfin

PARCOURS POSTORDRE

Le parcours postordre de R (s'il n'est pas vide) consiste

d'abord parcourir rcursivement en postordre les sous

arbres T1 puis T2 ensuite visiter le nud racine (R) ce qui

donne [ T1 , T2 , R ou GDR]

36

R

T1 T2


PARCOURS POSTORDRE


d'abord parcourir rcursivement en postordre les sous

arbres T1 puis T2 ensuite visiter le nud racine (R) ce qui

donne [ T1 , T2 , R ou GDR]

37

A

B C

E GD F

H I

Rsultat de parcours: HIDEBFG AC

PARCOURS POSTORDRE


parcours postordre dun arbre de racine R est :

Procdure Postordre( R: *Tnoeud)Dbut

SI RNIL

38

SI RNILPostordre( FG(R) )Postordre( FD(R) )ecrire( Info(R) )

FSIfin

PARCOURS EN PROFONDEUR On peut faire ces trois parcours sans utiliser la

rcursivit. Il faudra alors un moyen pour pouvoir remonter

dans les branches de l'arbre:

On pourra par exemple utiliser une structure de pile pour

sauvegarder les adresses des nuds par lesquels on est descendu et

les dpiler quand on en aura besoin pour remonter.

39

les dpiler quand on en aura besoin pour remonter.

On peut aussi enrichir la structure des nuds en incluant un

pointeur vers le nud pre.

Il existe d'autres types de parcours en profondeur, comme

par exemple:

Le prordre inverse (R T2 T1 ou RDG),

L'inordre inverse (T2 R T1 ou DRG),

Le postordre inverse (T2 T1 R ou DGR).

PARCOURS EN LARGEUR

Dans le parcours par niveau, tous les nuds dun mme

niveau sont traits avant de descendre au niveau suivant

Rsultat de parcours:AHIDEB FGA C

40

B C

E GD F

H I

HIDEB FGA C

PARCOURS EN LARGEUR


niveau sont traits avant de descendre au niveau suivantProcdure parcours_largeur( R:* Tnoeud )Var F:filedattente; P: *Tnoeud;DebutPR;

41

PR;Si R NIL Alors

Enfiler(F,P);TQ (Non FileVide(F))

Defiler(F,P); crire(info(P));Si FG(P) NIL Alors Enfiler(F,FG(P));Si FD(P) NIL Alors Enfiler(F,FD(P));

FTQFin

REPRSENTATION CONTIGE

On peut prsenter les arbres de manire statique en

utilisant les tableaux.

Reprsentation Standard:

Chaque lment du tableau possde quartes champs: un pour

l'information, un pour le fils gauche, un pour le fils droit et un champ

42

l'information, un pour le fils gauche, un pour le fils droit et un champ

de type boolen pour indiquer si la case est libre ou occupe.

TYPE Tnoeud= STRUCTUREInfo : TypeqqFG : entier FD : entiervide: boolen

FIN



Si la racine de larbre est toujours la position 1 du tableau,

larbre sera dfini comme suit:

VAR Arbre = TABLEAU[0..M-1] de Tnoeud

Indice Tnoeud

43

Indice Tnoeud

Vide FG Info FD

0 F 1 a 4

1 F 2 b 3

2 F -1 c -1

3 F -1 d -1

4 F -1 e -1

V ? ? ?

M-1 V ? ? ?



Si on veut que la racine soit n'importe o dans le tableau, alors

l'arbre sera dfini (le nud reste inchang):

TYPE Tarbre = STRUCTURET : TABLEAU[1..M] de TnoeudRacine : ENTIER

Racine

44

FINVAR Arbre : Tarbre

Indice Tnoeud

Vide FG Info FD

0 F -1 c -1

1 F 0 b 3

2 F 1 a 4

3 F -1 d -1

4 F -1 e -1

V ? ? ?

M-1 V ? ? ?


Reprsentation Squentielle :

Dans cette reprsentation, on limine les pointeurs entiers (FG,

FD et ventuellement Pre), en associant chaque nud de l'arbre

une position fixe prdfinie dans le tableau:

La case dindice 0 sera toujours vide

La case d'indice 1 sera toujours rserve au nud racine de l'arbre,

45

La case d'indice 1 sera toujours rserve au nud racine de l'arbre,

La case d'indice 2 sera toujours rserve au FG de la racine,

La case d'indice 3 sera toujours rserve au FD de la racine,

En gnral, le FG de la case i se trouvera toujours l'indice 2i et le fd

de la case i se trouvera toujours l'indice 2i+1, alors que le pre de la

case i il sera toujours positionn la case i div 2.

i div 2 i 2i 2i+1

Pre . Nud . FG FD .


Reprsentation Squentielle :TYPE Tnoeud= STRUCTURE

Info : Typeqqvide: boolen

FIN

46

Indice 0 1 2 3 4 5Info - a b e c dVide V F F F F F

Chaque nud lindice i a pour: nud lindice (2i) = fils de gauche. nud lindice (2i+1) = fils de droite. nud lindice (i div 2) = pre.

EXEMPLES DAPPLICATION

Reprsentation des Expressions Arithmtiques :

Les expressions arithmtiques peuvent tres reprsentes sous

forme d'arbre binaire. Les nuds internes contiennent des

oprateurs, alors que les feuilles contiennent des valeurs

(oprandes).

47

Exemple: l'expression (a-b)*((c+d)/e) sera reprsente par l'arbre

suivant :

c

e

*

- /

+

d

ba



Les diffrentes formes de reprsentation dune expression

arithmtiques peuvent tre trouvs en parcourant larbre:

Le parcours en prordre (RGD) donne la forme polonaise prfixe,

Le postordre (GDR) donne la forme postfixe

Le parcours inordre (GRD) donne la forme infixe (forme normale

48

Le parcours inordre (GRD) donne la forme infixe (forme normale

sans parenthses)

c

e

*

- /

+

d

ba



Lvaluation dune expression arithmtiques peuvent se faire en

utilisant les diffrentes formes (prordre, postordre et inordre) et les

deux fonctions suivantes:

La fonction Oprande(T) qui retourne vrai si T est un

oprande, sinon elle retourne faux.

49

oprande, sinon elle retourne faux.

La fonction Calcul qui permet de calculer lopration

arithmtique entre deux oprandes


Reprsentation des Expressions Arithmtiques :Fonction Eval_inordre(A: *Tnoeud): relSI (A= Null) alorsRetourner (0)SINON

SI Operande(A) alorsRetourner (Info(A))

SINON

50

c

e

*

- /

+

d

ba

SINONEval Calcul(Eval(Fg(A)), Info(A), Eval(Fd(A)))

FSI


Reprsentation dune Liste Linaire Chane (LLC):

On peut reprsenter une liste linaire chane par un arbre binaire

de la faon suivante :

Les lments de la liste sont au niveau des feuilles.

Chaque nud qui n'est pas une feuille contient le nombre de

feuilles de son sous arbre gauche.

51

feuilles de son sous arbre gauche.

Exemple: Transformer cette LLC en un arbre

a b c d e f g

Prsentation statique sous forme dun tableau

a b c d e f g



4

22

a b c d e f g

0 6Mil = 3

Mil + 1a b c d e f g

52

1

e f

g1 1

a b c d

a b c d e f



Fonction LLCToArbreB (Tab: Tableau, Deb, Fin: entier) : * TnoeudVar x:Typeqcq; P:*Tnoeud; Mil: entierDebutSi Deb = Fin alors

x.Nbr_F0x.ValTab[Deb]

Type Typeqcq = StructureNbr_F: entierVal: caractreFin

53

x.ValTab[Deb]PCreerNoeud(x)

SinonMil (Deb+Fin) div 2x.Nbr_F Mil + 1x.ValPCreerNoeud(x)Aff_FG(P, LLCToArbreB(Tab, Deb, Mil))Aff_FD(P, LLCToArbreB(Tab, Mil+1, Fin))

Retourner (P)Fin

Type Tnoeud = StructureInfo: TypeqcqFG: *TnoeudFD: *TnoeudFin

Fin



Cette reprsentation rpond avec efficacit au problme de la

recherche du Kme lment.

Si la position recherche est infrieure ou gale l'information

du nud interne on descend gauche, sinon on descend droite

et en retranche la position recherche l'information du nud.

54

et en retranche la position recherche l'information du nud.

Exemple:

a. Rechercher le 3me lment de la liste

b. Rechercher le 6me lment de la liste

c. Rechercher le 9me lment de la liste (nexiste pas!)

a b c d e f g3me 6me



4

22

3

3

6

6 4 = 2

9

9 4 = 5

55

1

e f

g1 1

a b c d

3me 6me

3- 2 = 1

1

2

2 1 = 1

5 - 2 = 3!!!



Fonction Rechercher_Pos (R:*Tnoeud, K: entier) : * TnoeudDebutTQ non Feuille (R) faire

Si Info (R).Nbr_F K alorsR FG(R)

Sinon

Fonction Feuille (R:*Tnoeud): boolenDebut

56

SinonK K- Info (R).Nbr_FR FD(R)

FTQSi K = 1 alors

Retourner (R)Sinon

Retourner (Null)Fin

DebutSi R Null alors

Si FG(R) = Null et et FD (R) = Null alorsRetourner (vrai)

FSIRetourner (Faux)Fin

PARTIE III:

A BARBRES BINAIRES DE

RECHERCHE(ABR)

Dfinition

Complexit

PLAN DE LA PARTIE III

Parcours

Oprations de Recherche et de mise jours (Insertion et

Suppression)

Exemples dapplication: Tri par ABR

58

DFINITION

Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre

binaire ordonn tel que pour tout nud n:

Toutes les valeurs du sous-arbe gauche de n sont strictement

infrieures la valeur de n, et

Toutes les valeurs du sous-arbre droit de n sont suprieures ou

59

gales la valeur de n.

DFINITION

Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre

binaire ordonn tel que pour tout nud i :

Toutes les valeurs du sous-arbre gauche de i sont strictement

infrieures la cl de i , et

Toutes les valeurs du sous-arbre droit de i sont suprieures ou

60

gales la cl de i .

Intrt de cette proprit : diminuer la complexit

temporel de recherche, dinsertion et de suppression dans

larbre

COMPLEXIT

Intrt de cette proprit : diminuer la complexit

temporel de recherche, dinsertion et de suppression dans

larbre

87 ?

61O (n)O (h) tel que h = log2(n) dans un arbre quilibr

PARCOURS

Voici un exemple dun ARB contenant des valeurs

entires, appliquer les diffrents parcours vus sur les

arbres binaires. 20

15 59

5 27 71

62

5

3 10

27 71

33

8 55

52 Le parcours inordre de cet arbre donne la liste ordonne

suivante : 3, 5, 8, 10, 15, 20, 27, 33, 52, 55, 59, 71

OPRATION DE RECHERCHE

La recherche est dichotomique, chaque tape, un sous

arbre est limin:

Rechercher (55)

Rechercher (FD(20))

Rechercher (FG(59))2055 ?

63

Rechercher (FG(59))

Rechercher (FD(27))

Rechercher (FD (33))

lment trouv

15 59

5

3 10

27 71

33

8 55

52

OPRATION DE RECHERCHEFonction RechercherABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction RechercherABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud

Debut

Si R = Null alors

Retourner (Null)

Sinon

Si Info (R) = x alors

64

Fin

Retourner (R)

Sinon

Si Info(R)>x alors

Retourner (RechercherABR_rec(FG(R), x))

Sinon

Retourner (RechercherABR_rec(FD(R), x))

Fin

OPRATION DE RECHERCHEFonction RechercherABR _iter(R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction RechercherABR _iter(R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud

Debut

TQ R Null faire


Retourner (R)

Sinon

65

Fin

Si Info(R)>x alors

RFG(R)

Sinon

RFD(R)

FTQ

Retourner (Null)

Fin

OPRATION DINSERTION

L'insertion d'un lment se fait toujours au niveau d'une

feuille. Cette insertion dans un ABR doit maintenir la

proprit des arbres de recherche, ainsi:

1. Rechercher la position dinsertion

66

1. Rechercher la position dinsertion

2. Raccorder le nouveau nud son parent

OPRATION DINSERTION

20

15 59

5

3 10

27 71

33

+ 25

25

67

RechercherPosition (25)

Rechercher (FD(20))

Rechercher (FG(59))

Position trouv pour linsertion, le pre est le nud 27

Insrer 25 au niveau de la feuille dont le pre est 27

3 10

8 55

52

25

OPRATION DINSERTION

Fonction InsererABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud

Debut

Si R = Null alors

RCreerNoeud(x)

Sinon

68

Si Info(R)>x alors

Aff_FG(R, InsererABR_rec(FG(R), x))

Sinon

Aff_FD(R, InsererABR_rec(FD(R), x))

Retourner (R)

Fin

OPRATION DINSERTIONFonction InsererABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudVar P, Q: *TnoeudDebutPCreerNoeud(x)Si R = Null alors

RPSinon

QR

69

QRTQ (QNull) faire

Si Info(Q)>x alorsSi FG(Q) = Null alors Aff_FG(Q, P)QFG(Q)

SinonSi FD(Q)=Null alors Aff_FD(Q, P)QFD(Q)

Retourner (R)Fin

OPRATION DE SUPPRESSION

Pour supprimer le nud i dun ARB, il faudra le

rechercher. Une fois le nud i trouv, on se trouve

dans une des situations suivantes :

70

OPRATION DE SUPPRESSION Cas 1: Suppression d'une feuille

Il suffit de l'enlever de l'arbre vu qu'elle n'a pas de fils.

Exemple: supprimer le nud i qui contient la valeur 8

1. Rechercher(8)

2. Librer le nud i 20

71 i

15 59

5

3 10

27 71

33

8 55

52

12

OPRATION DE SUPPRESSION Cas 2: Suppression d'un nud avec un fils

Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaant par son fils.


1. Rechercher(10)

2. Chainer le pre de i avec le FD(i) 20

72

3. Librer le nud i

i

15 59

5

3 10

27 71

33

12 55

52

OPRATION DE SUPPRESSION Cas 2: Suppression d'un nud avec un fils

Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaant par son fils.


1. Rechercher(10)

2. Chainer le pre de i avec le FG(i) 20

73

3. Librer le nud i

i

15 59

5

3 10

27 71

33

55

52

8

OPRATION DE SUPPRESSION Cas 3: Suppression d'un nud avec deux fils

Etape 1: On change le nud supprimer avec son successeur

le plus proche (le nud le plus gauche du sous-arbre droit) ou

son plus proche prdcesseur (le nud le plus droite du

sous-arbre gauche). Cela permet de garder une structure d'arbre

binaire de recherche. 34

74

binaire de recherche. 34

66

50

56

55

71

70

69

81

22

8

17

9

29

25

23 32

Le plus proche prdcesseur

Le plus proche successeur


Etape 1 Cas A: On change le nud supprimer avec son

successeur le plus proche (le nud le plus gauche ou le plus

petit du sous-arbre)

Racine: 71

La plus petite valeur : 69

75


34

66

50

56

55

71

70

69

81

22

8

17

9

29

25

23 32



successeur le plus proche (le nud le plus gauche ou le plus

petit du sous-arbre)

Racine: 71


76


34

66

50

56

55

71

70

69

81

Fonction Successeur (R: *Tnoeud): *Tnoeud

Fin

Fonction Successeur (R: *Tnoeud): *TnoeudDebut

RFD(R)Si RNull alors

TQ FG(R)Null faire RFG(R)Retourner (R)

Fin



plus proche prdcesseur (le nud le plus droite ou le plus

grand du sous-arbre gauche).

Racine: 50


77


34

66

50

56

55

71

70

69

81

22

8

17

9

29

25

23 32



plus proche prdcesseur (le nud le plus droite ou le plus

grand du sous-arbre gauche).

Racine: 50


78


34

66

50

56

55

71

70

69

Fonction Predecesseur (R: *Tnoeud): *Tnoeud

Fin

Fonction Predecesseur (R: *Tnoeud): *TnoeudDebut

RFG(R)Si RNull alors

TQ FD(R)Null faire RFD(R)Retourner (R)

Fin


Etape 2: on applique nouveau la procdure de suppression qui

est maintenant une feuille ou un nud avec un seul fils.

Ainsi, si on choisit dchanger le nud 66 avec son plus proche

successeur 69 , on obtient34

79

34

66

50

56

55

71

70

69

81

22

8

17

9

29

25

23 32

69


Puis on applique nouveau la procdure de suppression qui est

maintenant une feuille ou un nud avec un seul fils.

Ainsi, si on choisit d changer le nud 66 avec son plus proche

prdcesseur 56 , on obtient34

80

34

66

50

55

71

70

69

81

22

8

17

9

29

25

23 32

56

OPRATION DE SUPPRESSION En conclusion, pour supprimer le nud i dun ARB, il

faudra le rechercher. Une fois le nud i trouv, on se

trouve dans une des situations suivantes :

Cas i

ActionFG FD

Feuille Null Null Remplacer i par Null

81

Feuille Null Null Remplacer i par Null

Avec un fils

Null Null Remplacer i par FD(i)Null Null Remplacer i par FG(i)

Avec deux fils

Null Null

1. Rechercher le plus procheprdcesseur ou successeur de i ,soit P.

2. Remplacer Info(i) par Info(P)3. Remplacer P par FG(P) ou FD(P)

OPRATION DE SUPPRESSIONFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudVar P, Q: *TnoeudDebutRechercherABR (R, x, Q, P) Procedure RechercherABR (R: *Tnoeud, x:

entier, Var Q: *Tnoeud, Var Pre: *Tnoeud)Pre Null; Q Null;

TQ R Null faire


Cette procdure

retourne ladresse du

82


QR

Sinon

PreR

Si Info(R)>x alors

RFG(R)

Sinon

RFD(R)

FTQ

retourne ladresse du

nud contenant x

(soit Q) ainsi que

ladresse de son pre

(soit Pre)

OPRATION DE SUPPRESSIONFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudVar P, Q: *TnoeudDebutRechercherABR (R, x, Q, P)Si Q Null alors// llment x existe dans Q

Si FG(Q) = Null alorsSi FD(Q) = Null alors//Cas n1: Q est une feuille

83

//Cas n1: Q est une feuilleChaner (R, P, Null, x)

Sinon //Cas n2: Q possde un FDChaner (R, P, FD(Q), x)

SinonSi FD(Q) = Null alors//Cas n2: Q possde un FG

Chaner (R, P, FG(Q), x)

Cette procdure

permet de chane le

pre de Q (P) avec le

Fil de Q selon la

valeur de x

OPRATION DE SUPPRESSIONFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudVar P, Q: *TnoeudDebutRechercherABR (R, x, Q, P)Si Q Null alors// llment x existe dans Q

Si FG(Q) = Null alorsSi FD(Q) = Null alors//Cas n1: Q est une feuille

Procedure Chaner (Var R:*Tnoeud , PreQ: *Tnoeud,FilsQ: *Tnoeud, x: entier)

84

//Cas n1: Q est une feuilleChaner (R, P, Null, x)


SinonSi FD(Q) = Null alors//Cas n2: Q possde un FG


FilsQ: *Tnoeud, x: entier)

Si PreQ = Null alors

RFilsQ

Sinon

Si Info(P)>x alors

Aff_FG(P, FilsQ)

Sinon

Aff_FD(P, FilsQ)

OPRATION DE SUPPRESSIONFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudVar P, Q: *TnoeudDebutRechercherABR (R, x, Q, P)Si Q Null alors // llment x existe dans Q

Si FG(Q) = Null alorsSi FD(Q) = Null alors //Cas n1: Q est une feuille

Chaner (R, P, Null, x)Sinon //Cas n2: Q possde un FD

85


SinonSi FD(Q) = Null alors //Cas n2: Q possde un FG


Sinon // Cas n3: Q possde deux filsSuccesseur (Q, S, PS)

Cette procdure retourne ladresse du successeur

de Q (S) ainsi que ladresse de son pre (PS)

OPRATION DE SUPPRESSIONFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudFonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudVar P, Q: *TnoeudDebutRechercherABR (R, x, Q, P)Si Q Null alors // llment x existe dans Q


Chaner (R, P, Null, x)Sinon //Cas n2: Q possde un FD

86


SinonSi FD(Q) = Null alors //Cas n2: Q possde un FG


Sinon // Cas n3: Q possde deux filsSuccesseur (Q, S, PS)

Procdure Successeur (R: *Tnoeud, Var Q, PS: *Tnoeud)PSR; SFD(R)Si (SNull) alors

TQ FG(S)Null faire SFG(S)

RechercherABR (R, x, Q, P)Si Q Null alors // llment x existe dans Q

Fin fauxTQ non fin faire


Chaner (R, P, Null, x); Fin vraiSinon //Cas n2: Q possde un FD

Chaner (R, P, FD(Q), x); Fin vraiSinon

Si FD(Q) = Null alors //Cas n2: Q possde un FG

87

Si FD(Q) = Null alors //Cas n2: Q possde un FGChaner (R, P, FG(Q), x); Fin vrai

Sinon // Cas n3: Q possde deux filsSuccesseur (Q, S, P)Aff_Info (Q, Info(S))QS; PPS; xInfo(S)

FTQLibrerNoeud(Q)

FSIRetourner (R)

OPRATION DE SUPPRESSION

Fonction SupprimerABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * TnoeudDebutSi R = Null alors

Retourner (R)Sinon

Si Info(R)>x alorsAff_FG(R, SupprimerABR_rec(FG(R), x))

88

Aff_FG(R, SupprimerABR_rec(FG(R), x))Retourner (R)

SinonSi Info(R)

OPRATION DE SUPPRESSIONFonction SupprimerRacine (R:*Tnoeud) : * TnoeudDebutSi FG(R) = Null alors

Si FD(R) = Null alors //Cas n1: R est une feuilleLibrerNoeud(R)Retourner (Null)

Sinon //Cas n2: R possde un FDDFD(R)LibrerNoeud(R)Retourner (D)

89

Retourner (D)Sinon

Si FD(Q) = Null alors //Cas n2: R possde un FGGFG(R)LibrerNoeud(R)Retourner (G)

Sinon // Cas n3: R possde deux filsSSuccesseur (R)Aff_Info (R, Info(S))Aff_FD(R, SupprimerABR_rec(DF(R), Info(S)))Retourner (R)

Fin

EXEMPLE DAPPLICATION: TRI PAR ABR

tant donn un tableau dentiers T (n: sa taille), dire

comment peut on trier ce tableau en utilisant un Arbre

Binaire de Recherche (ABR)?

Exemple:

90

Exemple:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

1. Insrer toutes les lments du tableau dans un

ABR

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38


91

20

15 35

1019

5 13

3 7 12

25 40

38

16

2. Parcourir lABR en inordre : GRD

20

15 35

10 25 40


923 5 7 10 12 13 15 16 19 20 25 35 38 40

1019

5 13

3 7 12

25 40

38

16

Procedure Tri_ARB(Var T: Tableau, n: entier)

Debut

RNull

Pour i0 n-1 faire RInsererABR (R, T[i]).

Inordre (R, T); //Parcours Infixe


93

FinIndice est une variable globale initialise 0

Procedure Inordre (R: *Tnud, Var T: Tableau)

Si ( R Null) alors //Arbre nest pas vide

Inordre(FG(R), T))

T[indice]Info(R) //crire la valeur dans le tableau

indice++

Inordre(FD(R), T)

PARTIE IV:

ARBRES BINAIRES DE

R RECHERCHE QUILIBRS

(ARBRES AVL)

Introduction

Dfinition

PLAN DE LA PARTIE IV

Techniques dquilibrage

Oprations de Base: Recherche, Insertion et

Suppression 95

INTRODUCTION

La complexit au meilleur des cas de la recherche, de

linsertion et de la suppression dans un ABR est O(h), o

h est la hauteur (ou profondeur) de larbre. Ce cas est

atteint par des arbres quilibrs

Cependant, la complexit au pire cas pour un arbre n

96

Cependant, la complexit au pire cas pour un arbre n

nuds, est O(n). Ce cas est atteint par des arbres trs

dsquilibrs, ou filiformes.

Plusieurs espces des arbres quilibrs ont t

dvelopps: les arbres AVL, les arbres 2-3, les arbres

rouge et noir, etc.

INTRODUCTION

87 ?

ABR Equilibr Filiformes

97O (n)O (h) tel que h = log2(n)

DFINITION

Les arbres AVL ont t introduits par les finlandais Adelson-

Velskii et Landis dans les annes 60.

Un arbre AVL est un ABR quilibr dont:

la diffrence de hauteur (ou profondeur) entre le sous-

arbre gauche et le sous-arbre droit d'un nud R diffre

d'au plus 1.

98

d'au plus 1.

|Profondeur(FG(R) ) Profondeur(FD(R)) | 1

les arbres gauches et droits d'un nud sont des arbres

AVL.

Un champs supplmentaire est ajout tous les nuds: cest le

facteur de dsquilibre (appel aussi facteur de balance

Bal ) qui est calcul aprs chaque insertion/suppression.

EXEMPLE

100

50 200

Exemple: soit lABR suivant. Est-il un arbre AVL?

+1

+1 +1

Notons:

quune feuille est un

arbre de hauteur 0,

et que larbre vide a la

hauteur 1.

99

30 80

10

150

40

0 0 0

0

hauteur 1.

Larbre vide et larbre

rduit une feuille,

sont des arbres AVL

Cet arbre est un arbre AVL

vrifier pour chaque nud R, on a:

| Profondeur(FG(R) ) Profondeur(FD(R)) |

EXEMPLE

Exemple: Cet ABR est un arbre AVL avant insertion

Insrer la valeur 5 100

50 200

+1

+1 +1

100

30 80

10

150

40

0 0 0

0 0

EXEMPLE



50 200+1+2Aprs insertion, calculer le

facteur de dsquilibre de

101

30 80

10

150

40

Cet arbre nest pas un arbre AVL aprs insertion de 5

arbre dsquilibr

50

+1

+1

0

0 0

facteur de dsquilibre de

chaque nud.

EXEMPLE



50 200

+1

+1 +1

102

30 80

10

150

40

0 0 0

0 0

EXEMPLE


Insrer la valeur 45100

50 200+1+2

103Cet arbre nest pas un arbre AVL aprs insertion de 45

arbre dsquilibr

30 80

10

150

40

450

0

-1

-1

0 0

TECHNIQUES DQUILIBRAGE Lopration dquilibrage, appele rotation, sapplique tous les

arbres binaires.

Le but des rotations est de pouvoir rquilibrer un ABR.

On opre donc une rotation gauche lorsque larbre est

dsquilibr droite, i.e. son sous-arbre droit est plus haut

que son sous-arbre gauche.

104

que son sous-arbre gauche.

On opre une rotation droite dans le cas contraire savoir son

sous-arbre gauche est plus haut que son sous-arbre droit.

Les rotations ne sont donc dfinies que pour les arbres binaires non

vides dont le sous-arbre gauche (pour rotation gauche) et sous-arbre

droit (pour rotation droite) nest pas vide.

Les rotations prservent lordre des donnes dun ABR (parcours

inordre).

TECHNIQUES DQUILIBRAGE

Rotation simple : Rotation droite

Soit A=(B, R, Z) un arbre binaire tel que B=(X, P, Y).

La rotation droite est lopration:

((X, P, Y), R, Z) (X, P, (Y, R, Z))

+2

105

R

P

X(hauteur

h+1)

Dsquilibre gauche

Y(hauteur

h)

Z(hauteur

h)

P

R

X(hauteur

h+1)Y

(hauteur h)

Z(hauteur

h)

+1

+20

0

Rotation droite


Rotation simple : Rotation droite

Soit A=(B, R, Z) un arbre binaire tel que B=(X, P, Y).

La rotation droite est lopration:

((X, P, Y), R, Z) (X, P, (Y, R, Z))

+2

106

R

P

X(hauteur

h)

Dsquilibre gauche

Y(hauteur

h)

Z(hauteur

h-1)

P

R

X(hauteur

h)Y

(hauteur h)

Z(hauteur

h-1)

0

+2-1

+1

Rotation droite


Rotation simple : Rotation gauche

Soit A=(X, R, B) un arbre binaire tel que B=(Y, P, Z).

La rotation gauche est lopration:

( X, R, (Y, P, Z)) ((X, R, Y), P, Z)

-2 Rotation gauche

107

P

R

X(hauteur h)

Y(hauteur h)

Z(hauteur

h+1)

R

P

Dsquilibre droit

X(hauteur

h) Y(hauteur

h)Z

(hauteur h+1)

-1

-2

0

0Rotation gauche


Rotation simple : Rotation gauche

Soit A=(X, R, B) un arbre binaire tel que B=(Y, P, Z).

La rotation gauche est lopration:

( X, R, (Y, P, Z)) ((X, R, Y), P, Z)

-2 Rotation gauche

108

P

R

X(hauteur h-1)

Y(hauteur

h)

Z(hauteur

h)

R

P

Dsquilibre droit

X(hauteur

h-1)

Y(hauteur

h)

Z(hauteur

h)

0

-2

-1

+1Rotation gauche


Rotation double : double rotation gauche-droite

Cest une rotation gauche sur le sous arbre-gauche du nud r

suivie dune rotation droite sur le nud r

R R

Rotation gauche Rotation droite

Q+2

0+2

109

P

QD(h)

C (h)

B (h)

A (h)

Q

P D(h)

C(h)

B(h)

A(h)

P R

D(h)

C(h)

B(h)

A(h)

((((A,A, P,P, ((B,B, Q,Q, CC)))),, R,R, D)D) ((((((A,A, P,P, BB)),, Q,Q, CC)),, R,R, D)D) ((((A,A, P,P, BB)),, Q,Q, ((C,C, R,R, DD))))

0

0

-1

0

+1

0

0+2





R R


Q+2

0

110

P

QD(h)

C (h-1)

B (h)

A (h)

Q

P D(h)

C(h-1)

B(h)

A(h)

P R

D(h)

C(h-1)

B(h)

A(h)


0

+1

-1

0

+2

-1

0+2





R R


Q+2

0+2

111

P

QD(h)

C (h)

B (h-1)

A (h)

Q

P D(h)

C(h)

B(h-1)

A(h)

P R

D(h)

C(h)

B(h-1)

A(h)


+1

-1

-1

+1

+1

0

0+2


Rotation double : double rotation droite-gauche

Cest une rotation droite sur le sous arbre-droit du nud r suivie

dune rotation gauche sur le nud r

Rotation droite Rotation gaucheR-2 R

-2Q0

112

(A,(A, R,R, ((((B,B, Q,Q, CC)),, P,P, DD)))) (A,(A, R,R, ((B,B, Q,Q, ((C,C, P,P, DD)))))) ((((A,A, R,R, BB)),, Q,Q, ((C,C, P,P, DD))))

P

QA(h)

0

+1

B(h)

C(h)

D(h)

Q

P0

-1A(h)

B(h)

C(h)

D(h)

R P0 0

0

A(h)

B(h)

C(h)

D(h)






-2Q0

113


P

QA(h)

+1

+1

B(h)

C(h-1)

D(h)

Q

P-1

-1A(h)

B(h)

C(h-1)

D(h)

R P0 -1

0

A(h)

B(h)

C(h-1)

D(h)






-2Q0

114


P

QA(h)

-1

+1

B(h-1)

C(h)

D(h)

Q

P0

-2A(h)

B(h-1)

C(h)

D(h)

R P1 0

0

A(h)

B(h-1)

C(h)

D(h)

OPERATIONS DE BASE

La recherche est identique celui des ABR car les

arbres AVL sont avant tout des ABR quilibrs.

Linsertion dun lment dans un arbre AVL peut

provoquer un dsquilibre. Donc, pour rtablir lquilibre

(rquilibrer) de larbre aprs une insertion, une seule

115

rotation ou double rotation suffit.

La suppression dun lment dans un arbre AVL peut

provoquer un dsquilibre. Donc pour rtablir lquilibre

(rquilibrer) de larbre aprs une suppression, il faut

jusqu h rotations (h est la hauteur de larbre) ou double

rotations.

INSERTION

Lajout dun nud se fait toujours au niveau dune feuille,

puis on rquilibre larbre AVL si linsertion a

dsquilibr larbre.

Le dsquilibre est rencontr lorsque le facteur

dquilibrage dun nud de larbre gale 2.

116

dquilibrage dun nud de larbre gale 2.

INSERTION

Exemple: soit la srie de nombres insrer dans un

arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )

2 10 12 4 16 8 6 14

20

2 10 12 4 16 8 6 14

2 -2

117

20

2 10 12 4 16 8 6 14

2

10 0

-1

2

10

12 0

-1

-2

Rotation simple

10

122 00

0

INSERTION


arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )

2 10 12 4 16 8 6 14 2 10 12 4 16 8 6 14

118

10

122

4 0

-1 0

1 10

122

4 16 00

-1-1

0

INSERTION


arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )

2 10 12 4 16 8 6 14

10 1

10 0

119

122

4 16

8 0

-1

-2

0

-1

Rotation simple

10

124

8 1620 0 0

-10

0

INSERTION


arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )

2 10 12 4 16 8 6 14

10 1

120

124

8 162

6 0

10

-1

0

-1

INSERTION


arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )

2 10 12 4 16 8 6 14

10 0 101

121

124

8 162

6 140

0

1

-2

10

-1 Rotation double

144

8 162

6

12

0

1

0 0

0-1

0

INSERTION

Exemple 2: soit larbre suivant, donner le rsultat aprs

insertion de 7

10

144

122

144

8 162

6

12

1 9

INSERTION

Exemple 2: soit larbre ci-dessus, donner le rsultat

aprs insertion de 7

10

144 0-1

2

80

Rotation

1230

144

8 162

6

12

-1

1

0 0

1

10 9 0

7

Nud insr

10

14

4

16

2 6

12

-1

0

01

-1

10

9

07 0

0

0

Rotation double

INSERTION

R

h h

RR

R

hh+1

R

R

h h+1

0

+1

+1

+2

-1

0

Avant Aprs insertion gauche Aprs insertion droite

Cas A

124

hh+1

R

h h+1

hh+2

R

h+1h+1

R

h h+2

h+1 h+1

-10 -2 Cas B

INSERTION

Remarques:

Aprs une insertion, seules les nuds qui sont sur le chemin du

point dinsertion la racine sont susceptibles dtre dsquilibrs.

Cas A: Larbre devient non quilibr quand le nouveau nud

insr est un descendant gauche dun nud qui avait un facteur

125

dquilibrage gal 1

Cas B: Larbre devient non quilibr quand le nouveau nud

insr est un descendant droit dun nud qui avait un facteur

dquilibrage gal -1

INSERTIONR

hh+2

+2

R

h

+1

P0

Cas A

+2

Avant

126

hh

Si insertion dans le sous-arbre

gauche du fils gauche alors

Rotation Simple droite

Si insertion dans le sous-arbre droit

du fils gauche alors Rotation

Double Gauche-Droite

R

h

+2

P

h

+1

h+1

R

h

+2

P

h

-1

h+1

INSERTIONR

h h+2

-2 Cas B

R

h

-1

P

hh

0

Avant

127

R

hP

h

-2

+1

h+1

R

hP

hh

-2

-1

Si insertion dans le sous-arbre

droit du fils droit alors Rotation

Simple gauche

Si insertion dans le sous-arbre gauche

du fils droit alors Rotation Double

Droite-Gauche

SUPPRESSION Le principe de la suppression dun lment dans un arbre

AVL est le mme que dans un ABR, c..d. recherche de

llment supprimer, suppression et remplacement, le

cas chant, par llment qui lui immdiatement

128

infrieur ou suprieur.

Aprs la premire phase de la suppression, la hauteur de

larbre est diminu de 1. Le problme est que cet arbre

nest plus forcment un arbre AVL. Il faut donc le

rquilibrer.

SUPPRESSION

Sil y a dsquilibre, la rotation applique peut diminuer

son tour la hauteur de larbre et gnrer un nouveau

dsquilibre. En fait les rotations peuvent senchainer en

cascade depuis llment supprim jusqu la racine.

129

cascade depuis llment supprim jusqu la racine.

Ainsi, on peut faire jusqu h simple rotations ou double

rotations (h est la hauteur de larbre initial).

SUPPRESSION

Exemple: soit larbre suivant. Donner le rsultat aprs la

suppression de 10:

4

8

-10

0

4

8

-10

0

130

10

14

4

16

2 6

12

-1

0

01

-1

10

9

07 0

0

0

12

14

4

16

2 6 -1-1

1

-1

10

9

07 0

0

0

SUPPRESSION


suppression de 8:

4

8

0

0

4

9

0

0

131

12

14

4

16

2 6 -1-1

1

-1

10

9

07 0

0

0

12

14

4

16

2 6 -1-1

1

-2

10 07 0

0

SUPPRESSION


suppression de 8:

4

9

0

0

144

9

00

1

RSG

132

12

14

4

16

2 6 -1-1

1

-2

10 07 0

0 14

12

4

162 6 -10

1

0

10 07

0

0

SUPPRESSION


suppression de 12 puis 16:

144

9

00

1

9+2

133

14

12

4

162 6 -10

1

0

10 07

0

0

144

2 6 -11

0

10 07

0

SUPPRESSION


suppression de 12 puis 16:

9+2

4-1

RSD

134

144

2 6 -11

0

10 07

0

9

14

2

6 -1

1 1

1 0

0

7

0

SUPPRESSION


suppression de 30:

10030

50

+1+1

-1

40

50

+1+2

-1

100

135

100

200

30

300

10 40-1

-1

20

80

60

0

+1

9070+1

0

00

0

40

300

10-1

-1

20

80

60

+1

9070

+1

100

200

0

0

0 0

SUPPRESSION


suppression de 30:

40

50

+1+2

-1

100RDG-D

20

50

0

-2

136

40

300

10-1

-1

20

80

60

+1

9070

+1

100

200

0

0

0 0

20

300

10-1

+1

40 80

60

0

0

+1

9070+1

100

2000 0

0

0

SUPPRESSION


suppression de 30:

RDD-G

20

50

+10

-2

80

50

0

0

137

20

300

10-1

+1

40 80

60

0

0

+1

9070+1

100

2000 0

0

0

20

30010

-1

-1

40

50

60

0 9070+1

100

200

0

0 0 0

0

0

PARTIE V:

A B ARBRES BINAIRES QUILIBRS

(TAS)

Dfinition

Hauteur

PLAN DE LA PARTIE V

Oprations de Base: Insertion, Recherche et

Suppression

Implmentation

Exemples dApplication

139

DFINITION

Un TAS (HEAP) invent par Williams Floyd en 1964, est

un arbre binaire qui vrifie les deux proprits suivantes :

Proprit structurelle: arbre binaire complet (ou

parfait), i.e. Tous les niveaux sont totalement remplis

sauf le dernier qui est rempli de la gauche vers la

140

sauf le dernier qui est rempli de la gauche vers la

droite.

Proprit dordre :

TASmin: Cl (pre) Cl(fils)

TASmax: Cl (pre) Cl (fils)

DFINITION

Exemple dun TASmin

Cl (pre) Cl (fils)

Le minimum se trouve toujours la racine

Minimum4

141

Maximum

5 6

207

811

915

2516 1214

DFINITION

Exemple dun TASmax

Cl (pre) Cl (fils)

Le maximum se trouve toujours la racine

Maximum40

142

Minimum

35 26

2017

811

1915

131 1214

HAUTEUR

Thorme: Un TAS de n nud a une hauteur O(log2 n)

Dmonstration

Soit h, la hauteur dun tas de n nud

Au niveau ih, ni=2i

143

i

Donc n = 20 + 21 + 22 + ....+ 2h-1 + c tel que , 0c

INSERTION

Pour insrer une valeur v dans un TASmin [ou

TASmax]

1. Insrer la valeur v la fin du dernier niveau de

larbre.

Tant que la valeur du pre de v est plus grande

144

2. Tant que la valeur du pre de v est plus grande

[petite] que v , changer la valeur du pre de v

avec v .

Ltape 1 permet de vrifier la proprit structurelle et

ltape 2 permet de vrifier la proprit de lordre.

INSERTION

Exemple: Soit le TASmin suivant. Donner le rsultat

aprs linsertion 5, 17, 3, 18

4

6

145

96

207

811

1015

2516 1214

INSERTION

Exemple: Soit le TASmin suivant.

Insertion 5

4

6

146

96

207

811

1015

2516 1214 5

INSERTION


Insertion 17

4

5

147

95

67

811

1015

2516 1214 20 17

INSERTION


Insertion 3

4

5

148

95

67

811

1015

2516 1214 20 17

3

INSERTION


Insertion 18

3

5

149

45

67

811

109

2515 1214 20 17

16 18

INSERTION

Exercice: Construire un TASmin et un TASmax partir

des valeurs suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

150

INSERTION

Solution: Construire un TASmin partir des valeurs

suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

20 15 10 10

151

15 20 10 20 15

35 19

19 15

35 20 1310

19 13

35 20 15 55

19 10

35 20 15 13

3

3

5 10

19 20 15 13

35 12

INSERTION

Solution: Construire un TASmin partir des valeurs

suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

152

3

5 10

12 20 15 13

35 19 7

3

5 10

12 7 15 13

35 19 20 16 40 25 38

INSERTION

Solution: Construire un TASmax partir des valeurs

suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

20

35

153

15 10 20 10

15 19 1335

INSERTION


suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

35

154

20 13

15 19 10 5

3 12 7 16 4040

20 35

15 19 13 5

3 12 7 16 10 25

INSERTION


suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

40

155

40

20 35

15 19 25 5

3 12 7 16 10 13 38

INSERTION


suivantes:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

40

156

40

20 38

15 19 25 35

3 12 7 16 10 13 5

INSERTION

Linsertion dune valeur v peut ncessiter O(h) =

O(log2(n)) oprations o h est la hauteur du TAS et n est

son nombre des nuds.

En effet, au pire des cas, lchange peut se remonter la racine

157

En effet, au pire des cas, lchange peut se remonter la racine

dans le cas o v est infrieure la valeur de la racine, ainsi, il

devient le nouveau minimum

RECHERCHE

Pour rechercher une valeur v dans un TASmin [ou

TASmax], on doit parcourir larbre en largeur (niveau par

niveau)

On passera au niveau i si seulement si la valeur v

158

On passera au niveau i si seulement si la valeur v

est suprieure [infrieure] la valeur de lun des

nuds de niveau i-1 .

RECHERCHE


7 ?

4

6

159

96

207

811

1015

2516 1214

La valeur existe, fin de recherche

RECHERCHE


8 ?

4

6

160

96

207

811

1015

2516 1214

La valeur existe, fin de recherche

RECHERCHE


3 ?

4

6

161

96

207

811

1015

2516 1214

La valeur nexiste pas , fin de recherche

RECHERCHE


30 ?

4

6

162

96

207

811

1015

2516 1214

Fin de recherche, la valeur nexiste pas

RECHERCHE

La recherche d'une valeur v dans un TAS peut

ncessiter O(n) oprations o n est le nombre des nuds.

Pire des cas: Si v est suprieure la valeur maximale du

TASmin [ou infrieure la valeur minimale du TASmax],

alors on doit descendre jusquau dernier niveau en parcourant

163

tous les nuds pour vrifier que la valeur recherche nexiste pas.

La recherche tant un pr-requis la suppression d'une

valeur v , une suppression peut ncessiter O(n)

oprations aussi.

SUPPRESSION

Pour supprimer une valeur v dans un TASmin [ou

TASmax]

1. Rechercher la valeur v , si elle existe on passe

ltape suivante, sinon stop.

Soit P le nud contenant la valeur v ,

164

2. Soit P le nud contenant la valeur v ,

remplacer la valeur de P par la valeur du dernier

nud du dernier niveau (soit Q ce nud et x sa

valeur). Cela permet de vrifier la proprit

structurelle.

SUPPRESSION

Pour supprimer une valeur v dans un TASmin [ou TASmax]

3. Vrifier la proprit dordre:

a. Tant que la valeur x est infrieure [suprieure]

celle du pre, changer la valeur x avec celle du

165

celle du pre, changer la valeur x avec celle du

pre.

b. Tant que la valeur x est suprieure [infrieure]

celle de lun de ses fils, changer la valeur x avec

celle du plus petit [grand] de ses fils.

SUPPRESSION

Exemple: Soit le TASmin suivant. Donner le rsultat

aprs la suppression de 9, 16, 6 et 4.

4

6

166

96

207

811

1015

2516 1214

SUPPRESSION


Suppression de 9.

4

6

167

96

207

811

1015

2516 1214

SUPPRESSION


Suppression de 9, 16.

4

6

168

86

207

11

1015

2516 1214

SUPPRESSION


Suppression de 16.

4

6

169

86

2071015

2511 1214

SUPPRESSION


Suppression de 6.

4

6

170

86

2071011

2515 1214

SUPPRESSION


Suppression de 6.

4

12

171

812

2071011

2515 14

SUPPRESSION


Suppression de 4.

4

7

172

87

20121011

2515 14

SUPPRESSION


Suppression de 4.

14

7

173

87

20121011

2515

SUPPRESSION


Suppression de 4.

7

12

174

812

20141011

2515

IMPLMENTATION

Un TAS se reprsente naturellement par un tableau:

Les sommets sont numrots par un parcours en largeur, de

gauche droite.

Le sommet i est rang dans la case dindice i du tableau.

412 3

175

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 8

56

207

811

915

2516 1214

2 3

4 5 6 7

8 9

10 11 12 13

IMPLMENTATION

On parle ici de la reprsentation statique

squentielle dun arbre binaire

La case 0 est vide

Indice(racine)=1

Indice(FG)=2*Indice(Pre)

176

Indice(FG)=2*Indice(Pre)

Indice(FD)=2*Indice(Pre)+1

Indice(Pre)= [Indice (Fils)/2]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

?? 4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 8

IMPLMENTATION

Exercice:

1. Dfinir la structure de donnes dun TAS dentier.

2. Donner limplmentation du modle de larbre TAS

dentier.

177

dentier.

3. Trouver les algorithmes d'insertion, de recherche et

de suppression dans un TASmin.

IMPLMENTATIONSTRUCTURE DE DONNES

TYPE Tarbre = STRUCTURE

T : TABLEAU[0..Max-1] dentier

Dernier: ENTIER // indice sur la dernire case remplie du T (initialis 0)

178

T (initialis 0)

FIN

VAR R : Tarbre

IMPLMENTATIONMODLE

Entte Corp

Procdure CreerNoeud (Var R:

Tarbre, x: entier)

R.dernier++

R.T[dernier]x

Fonction Info (R: Tarbre,

i:entier): entier

Retourner (R.T[i])

Procdure Aff_Info (Var R: R.T[i]x

179

Procdure Aff_Info (Var R:

Tarbre, i: entier, x: entier)

R.T[i]x

Fonction FG (R: Tarbre,

i:entier): entier

Si (2*i R.dernier) alors Retourner (2*i)

Sinon Retourner (-1)

Fonction FD (R: Tarbre,

i:entier): entier

Si (2*i + 1R.dernier) alors Retourner (2*i + 1)


Fonction Pre (R: Tarbre,

i:entier): entier

Si (i div 2>0) alors Retourner (i div 2)


INSERTION (EXEMPLE ILLUSTRATIF)

4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 8 3

4

56

207

811

915

2516 1214 3

4 5 6 15 9 7 3 16 25 14 12 11 8 20

4

56

37

811

915

2516 1214 20

180

4 5 3 15 9 7 6 16 25 14 12 11 8 20

4

53

67

811

915

2516 1214 20

3 5 4 15 9 7 6 16 25 14 12 11 8 20

3

54

67

811

915

2516 1214 20

IMPLMENTATIONINSERTION (ALGORITHME)

Procdure Inserer_TASmin(Var R: Tarbre, x: entier)

Var P, i: entier

Dbut

CreerNoeud (R, x);

i R.dernier

P Pre(R, i)

181

P Pre(R, i)

TQ ((P-1) et (Info (R, P) > x)) faire // Info (R, P)

IMPLMENTATIONRECHERCHE (ALGORITHME)

Fonction Rechercher_TASmin (R: Tarbre, x: entier): entier

Var F:filedattente; i: entier;

Dbut

Si (R.dernier 0) alors // le tableau ou larbre nest pas vide

Enfiler (F, i)

TQ (Non FileVide(F)) faire

Defiler (F, i)

182

Si Info (R, i) = x alors retourner (i)

Si Info (R, i) x dans le cas TASmax

Si FG(R, i) -1 Alors Enfiler(F,FG(R, i));

Si FD(R, i) -1 Alors Enfiler(F,FD(R, i));

FSi

FTQ

FSi

Retourner (-1)

Fin

IMPLMENTATIONRECHERCHE (ALGORITHME)

Fonction Rechercher_TAS(R: Tarbre, x: entier): entier

Var i: entier;

Dbut

On peut aussi faire une simple recherche

squentielle dans le tableau T comme suit:

183

Pour i 1 R.dernier faire

Si Info (R, i) = x alors retourner (i)

Retourner (-1)

Fin

SUPPRESSION (EXEMPLE ILLUSTRATIF (CAS A))

2 8 4 15 9 5 20 26 25 14 12 11 6

2

84

205

611

915

2526 1214

2

84

205

11

915

256 1214

2 8 4 15 9 5 20 6 25 14 12 11

184

5

84

205

11

96

2515 1214

2 8 4 6 9 5 20 15 25 14 12 11

2

64

205

11

98

2515 1214

2 6 4 8 9 5 20 15 25 14 12 11

SUPPRESSION (EXEMPLE ILLUSTRATIF (CAS B))

4 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11 26

4

56

207

2611

915

2516 1214

26

56

207

11

915

2516 1214

26 5 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11

185

5

266

207

11

915

2516 1214

5 26 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11

5

96

207

11

2615

2516 1214

5 9 6 15 26 7 20 16 25 14 12 11

SUPPRESSION (EXEMPLE ILLUSTRATIF (CAS B))

5

266

207

11

915

2516 1214

5 26 6 15 9 7 20 16 25 14 12 11

5

96

207

11

2615

2516 1214

5 9 6 15 26 7 20 16 25 14 12 11

186

5

96

207

11

2615

2516 2614

5 9 6 15 12 7 20 16 25 14 26 11

IMPLMENTATIONSUPPRESSION (ALGORITHME)

Procdure Supprimer_TASmin (Var R: Tarbre, x: entier)

Var P, G, D: entier

Dbut

iRechercher_TASmin (R, x) //Etape 1

Si (i -1) alors //llment existe dans le TAS

Aff_Info (R, i, Info (R, R.dernier)); R.Dernier --; // Etape 2

//Etape 3: cas A

187

P Pre (R, i)

Si (P-1) et (Info (R, P) > Info (R, i))

rpter

Permuter (R, i, P)

i P

P Pre (i)

Jusqu ((P=-1) ou (Info (R, P) Info (R, i)))

Sinon

IMPLMENTATIONSUPPRESSION (ALGORITHME)

Procdure Supprimer_TASmin (Var R: Tarbre, x: entier)

Var P, G, D, min: entier

Dbut

..

Sinon

//Etape 3: cas B

min i; fin faux

188

Rpter

G FG(R, i)

D FD (R, i)

Si ((G -1) et (Info (R, min)> Info (R, G)) alors min G

Si ((D -1) et (Info (R, min)> Info (R, D)) alors min D

Si min i alors Permuter (R, i, min); i min

Sinon fin vrai

Jusqu (fin)

Fsi

Fin


Malgr que la recherche et la suppression dans un TAS

sont plus coteuses que dans un ABR ou un AVL, les TAS

sont trs utiles entre autre pour le tri et pour

implmenter les files de priorit.

189

implmenter les files de priorit.

tant donn un tableau dentiers T (n: sa taille), dire

comment peut on trier (ordre croissant) ce tableau en

utilisant un TASmin ou TAS max?

EXEMPLE DAPPLICATIONTRI PAR TAS

190

Exemple:

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

1. Transformer le tableau en un TASMIN

20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38


191

3

5 10

12 7 15 13

35 19 20 16 40 25 38

2. Extraire n fois le minimum du TASMIN :

3

5 10

12 7 15 13


1923 5

12 7 15 13

35 19 20 16 40 25 38

5

7 10

12 16 15 13

35 19 20 38 40 25


7

12 10


1933 5 7 10

19 16 15 13

35 25 20 38 40

10

12 13

19 16 15 40

35 25 20 38


12

16 13

19 20 15 40

13

16 15

19 20 38 40


194

3 5 7 10 12 13 15

35 25 3835 25

15

16 25

19 20 38 40

35


16

19 25

35 20 38 40

19

20 25

35 40 38


195

3 5 7 10 12 13 15 16 19 20 25 35 38 40

20

35 25

38 40

25

35 40

38

35

38 40

38

40

40


Tri_TASmin (Tab: Tableau, n: entier)

Var R: Tarbre

Dbut

R.Dernier 0;

//Construire le TAS

196

//Construire le TAS

Pour i 0 n-1 faire Insrer_TASmin (R, Tab[i])

// Extraire les minimums

Pour i0 n-1 faire

Tab[i] R.T[1]

Supprimer_TASmin (R, R.T[1]) // supprimer la valeur de la racine

FPour

Fin

EXEMPLE DAPPLICATIONIMPLMENTATION DUNE FILE AVEC PRIORIT

Une file dattente avec priorit est une collection dlments

dans laquelle lajout ne se fait pas toujours la queue (fin).

Tout nouvel lment est ajout dans la file, selon sa

priorit.

197

Le retrait se fait toujours du dbut.

Dans une file avec priorit, un lment prioritaire prendra la

tte de la file mme sil arrive le dernier.

Limplmentation de ces files dattente peut tre par tableau

(dcalage ou circulaire) ou LLC ordonne, mais

limplmentation la plus efficace et la plus rpandue utilise les

TAS.

Modle Implmentation

Crerfile(F) F.dernier0

File_Attente_priorit = TAS

F: Tarbre

EXEMPLE DAPPLICATIONIMPLMENTATION DUNE FILE AVEC PRIORIT

198

Filevide(F) Filevide (F. dernier = 0)

Filepleine(F) Filepleine (F. dernier = Max-1)

Enfiler (F, X) Inserer_TASmin (F, X)

Defiler(F,X) X F.T[1]

Supprimer_TASmin (F, X) // extraire le minium

PARTIE VI:PARTIE VI:

ARBRES M-AIRE

Dfinition

Parcours

PLAN DE LA PARTIE VI

Implmentation

Exemples dApplication

200

DFINITION

Un arbre m-aire d'ordre d est un arbre o chaque nud

peut avoir un nombre de fils compris entre 0 et d.

Si l'ordre n'est pas connu, on dit alors simplement un

arbre m-aire. Dans ce cas, le nombre de fils est

thoriquement illimit.

201

thoriquement illimit.

NudsArtes a

b c d

e f g h i

j k l

0

1

2

3

Niveaux racine

Feuilles

P

r

o

f

o

n

d

e

u

r

Arbre dordre 4

PARCOURS

De mme que les arbres binaires, on distingue deux types

de parcours :

Des parcours en profondeur qui explorent l'arbre

branche par branche:

Prordre : o on affiche le pre avant ses fils,

202

Prordre : o on affiche le pre avant ses fils,

Postordre : o on affiche les fils avant leur pre.

Le parcours en largeur (breadth-first) qui explore

l'arbre niveau par niveau

PARCOURS PREORDRE



en prordre les sous arbres F1, F2, jusqu Fd, ce qui

donne : [ R F1 F2 .. Fd]

RR

203

R

F2F1Fd

a

b c d

e f g h i

j k l

a b e c d f g j k h i l

PARCOURS POSTORDRE


parcourir rcursivement en postordre les sous arbres F1, F2,

jusqu Fd ensuite visiter le nud racine (R), ce qui donne

: [F1 F2 .. Fd R ]

RR

204

R

F2F1Fd

a

b c d

e f g h i

j k l

e b c f j k g h l i d a

PARCOURS EN LARGEUR


niveau sont traits avant de descendre au niveau suivant

a0

Niveaux R

205a b c d e f g h i j k l

b c d

e f g h i

j k l

1

2

3

IMPLMENTATION

Les arbres m-aires peuvent tre prsents en deux

manires:

dynamique en utilisant des nuds chanes.

statique en utilisant les tableaux,

206

REPRSENTATION DYNAMIQUE

on distingue deux cas:

Cas 1: Si lordre de larbre est connu alors on cre un

nud avec deux champs (information et un tableau de d

pointeurs pour reprsenter les fils du nud).

207

pointeurs pour reprsenter les fils du nud).

TYPE TnoeudM = STRUCTURE

Info : Typeqq

Fils : TABLEAU[0..d-1] DE * TnoeudM

FIN

VAR R : * TnoeudM


on distingue deux cas:

Cas 2: Si lordre de larbre est inconnu alors au niveau

de chaque nud, on ne reprsente que l'adresse du fils le

plus gauche et celle du frre immdiatement droite.

208

plus gauche et celle du frre immdiatement droite.


Info : Typeqq

FilsG, FrreD : * TnoeudM

FIN

VAR R : * TnoeudM

a

b c d

e f g h i

j k l


La deuxime reprsentation dynamique est la plus

gnrale car elle peut tre utilise aussi dans le cas o le

degr de larbre est connu.

TYPE TnoeudM = STRUCTUREa

209


Info : Typeqq

FilsG, FrreD : * TnoeudM

FIN

VAR R : * TnoeudM

b c d

e f g h i

j k l

REPRSENTATION STATIQUE

Dans la reprsentation statique,

Chaque case du tableau reprsente un nud de larbre

La racine se trouve toujours dans la premire case du tableau

De mme que la reprsentation dynamique, on distingue

deux cas:

210

deux cas:

Cas 1: Si lordre de larbre est connu alors chaque case du tableau

est compos d'un champ information et d'un champ tableau qui

contient les indices des fils du nud.

Cas 2 (plus gnral): Si lordre de larbre est inconnu alors au

niveau de chaque nud, on ne reprsente que deux indices : l'indice

du fils le plus gauche et l'indice de son frre immdiatement

droite.



Info : Typeqq

Fils : TABLEAU[0..d-1] Dentier

FIN

VAR R : TABLEAU [0..Max-1] DE TnoeudM

a 1 2 3 -1b 4 -1 -1 -1c -1 -1 -1 -1d 5 6 7 8

0

1

2

3

R

Info F0 F1 F2 F3

211

a

b c d

e f g h i

j k l

Re -1 -1 -1 -1f -1 -1 -1 -1g 9 10 -1 -1h -1 -1 -1 -1i 11 -1 -1 -1j -1 -1 -1 -1k -1 -1 -1 -1l -1 -1 -1 -1

4

5

6

7

8

9

10

11


a 1 -1b 4 2 c -1 3d 5 -1

0

1

2

3

R


Info : Typeqq

FilsG, FrreD : entier

FIN

VAR R : TABLEAU [0..Max-1] DE * TnoeudM

Info FiG FrD

212

e -1 -1f -1 6g 9 7h -1 8i 11 -1j -1 10k -1 -1l -1 -1

4

5

6

7

8

9

10

11

a

b c d

e f g h i

j k l

MODLE

Pour manipuler ce type d'arbres, on dfini un modle

form par les oprations suivantes :

Module Rle

CreerNoeud(x)Crer un nud isol contenant x commeinformation

LibererNoeud(P) Dtruire le nud P

213


Info(P)Retourner l'information stocke dans lenud P

Fils(P, i) retourner le ime fils du nud P

Aff-info(P, x)affecter x dans le champ info du nudP

Aff-Fils(P, Q, i)affecter ladresse du nud Q au fils i dunud P

MODLE

Exercice: Donner limplmentation de ce modle pour

chaque prsentation de larbre (statique/dynamique dans le

cas o le degr de larbre est connu ou pas)

Module RleCrer un nud isol contenant x comme

214

CreerNoeud(x)Crer un nud isol contenant x commeinformation


Info(P) Retourner l'information stocke dans le nud P

Fils(P, i) retourner le ime fils du nud P

Aff-info(P, x) affecter x dans le champ info du nud P

Aff-Fils(P, Q, i) affecter ladresse du nud Q au fils i du nud P


Transformation dun arbre m-aire en arbre binaire

1. Etape 1: Lier les frres dans une liste linaire

chane

2. Etape 2: Faire une rotation de 45 dans le sens des

aiguilles dune montre

215


a

b c d

e f g h i

j k l

R


Transformation dun arbre m-aire en arbre binaire

1. Etape 1: Lier les frres dans une liste linaire

chane

aR a

216

a

b c d

e f g h i

j k l

b c d

e f g h i

j k l


2. Etape 2: Faire une rotation

de 45 dans le sens des


a

b

e

c d

c

d

Transformation dun arbre m-aire en arbre

binaire

217


a

b c d

e f g h i

j k l

f

j k

l

d

g

h

i

g h i

k


Arbres M-aire de Recherche (AMR)

C'est une gnralisation des Arbres Binaire de

Recherche (ABR) pour tre utiliss en mmoire

secondaire o les E/S sont buffrises . Elle est aussi

218

secondaire o les E/S sont buffrises . Elle est aussi

utilise pour l organisation de fichiers (les indexes des

articles)



Chaque nud renferme un tableau de (d-1) valeurs

ordonnes et un tableau de d fils, car dans un AMR

d'ordre d, le nombre de fils d'un nud (le degr) est

toujours gal au nombre de valeur stockes + 1.

219

toujours gal au nombre de valeur stockes + 1.

s1 k1 s2 .. kj-1 sj kj ... kd-1 sd

ki des donnes tq: k1 < k2 ....< kd-1



s1 k1 s2 .. kj-1 sj kj ... kd-1 sd

ki des donnes tq: k1 < k2 ....< kd-1

(lments du s1) < k1 (lments du s ) > k

220

s11 k11 s12 k12 ....... s1(d-1) k1(d-1) s1d

sj1 kj1 sj2 kj2 ....... sj(d-1) kj(d-1) sjd

sd1 kd1 sd2 kd2 ....... sd(d-1) kd(d-1) sdd

(lments du s1) < k1 (lments du sd) > kd-1

kj-1 < (lments du sj) < kj(j=2,3, ...d-1)



La structure de larbre ARM est la suivante:

Type TnudAMR = Structure

Info : Tableau[0..d-2] dentier

221

Fils : Tableau[0..d-1] de *TnoeudAMR

Degr : entier

Fin



Exemple : soit larbre m-aires de recherche AMR

dordre 4

222



Pour crire des algorithmes sur ce type d'arbres, le

modle doit tre form des oprations suivantes :

CreerNoeud(x) LibererNoeud(P)

223

Info(P, i)

Fils (P, i)

Degr(P)

Aff_info(P, x, i)

Aff_fils(P, Q, i)

Aff_Degr(P, n)



La recherche dans un AMR ressemble beaucoup

celle effectue dans un ABR, except quau lieu de

prendre chaque nud une dcision de branchement

224

prendre chaque nud une dcision de branchement

binaire (Fils gauche ou droit), on prend une dcision

options multiples, selon le nombre de fils du nud.

La complexit de cette recherche est O(logdegr(n) ).



Exemple: Rechercher llment 68.

225On rcupre ladresse du nud (nud P) ainsi la position

dans le nud (soit pos = 2) o llment 68 doit exister.



Linsertion se droule comme suit:

1. Rechercher llment insrer x :

RechercherAMR(R, x, Var P, Var pos, Var trouve).

2. Si llment nest pas trouv (trouve = faux)

226

2. Si llment nest pas trouv (trouve = faux)

a. Si le tableau Info du nud P nest pas plein alors

insrer llment sa position pos dans ce tableau Info .

b. Sinon le tableau Info du P est plein alors crer un

nouveau nud contenant llment x insrer ensuite

placer comme fils numro pos du P



Exemple: Insrer les lments suivants: 1, 40, 68,

170.

227

1 6 10 37 40

68

170

EXEMPLES DAPPLI

Chapitre 5 structures hierarchiques (arbres)

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