chapitre 4 transformateurs - univ-boumerdes.dz

Chapitre 1 Transformateur monophasé

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1. Introduction Le transformateur est un convertisseur statique d’énergie électrique réversible. Il transfère, en alternatif, une puissance électrique d’une source à une charge, en adaptant les valeurs de la tension (ou du courant) au récepteur. Le rôle d’un transformateur est en général, de modifier la valeur efficace d’une tension sans en changer ni la forme (sinusoïdale), ni la fréquence. 2. Principe de fonctionnement Le transformateur est un circuit magnétique constitué de deux enroulements (ou plus) couplées sur un noyau magnétique (figure 1)

Le coté de la source est appelé le primaire. Le coté de la charge est appelé le secondaire.

U2 Fig.1.1. Transformateur idéal

U1 I1 I2 N2 N1

φ


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Il faut remarquer qu'il n'existe aucune connexion électrique entre le primaire et le secondaire. Tout le couplage entre les deux enroulements est magnétique. Lorsqu'on applique une tension alternative à la source, ceci crée un flux alternatif dans le noyau magnétique. Selon la loi de Faraday, ce flux crée des forces électromotrices dans les bobines. La force électromotrice induite est proportionnelle au nombre de spires dans la bobine et au taux de variation du flux. Selon le rapport du nombre de spires entre le primaire et le secondaire, le secondaire alimente la charge avec une tension différente de celle de la source. 3. Transformateur parfait a. Equations de tensions 1 1 1 1 dU R I N dtφ= + 2 2 2 2 dU R I N dtφ= − − On définit un transformateur idéal ayant les caractéristiques suivantes : - La résistance dans les fils (au primaire et secondaire) est nulle 1 2 0R R= = - Le noyau magnétique est parfait 0ℜ = D’où : 1 1 dU N dtφ= 2 2 dU N dtφ= −


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Posons : dE dtφ= 1 1U N E= 2 2U N E= − D’où : 1 2 2 21 2 1 1U U U NE mN N U N− −= = ⇒ = = . Tel que : « m » représente le rapport de transformation On peut représenter le diagramme vectoriel des tensions comme le montre la figure suivante :

b. Relation de Boucherot 1 1 or quedU N dtφ= max j te ωφ φ=

1 1 1 maxD’où : j tdU N N j edt ωφ ωφ= = 1 1U N jωφ= max1 1 2U N φω⇒ =

U2 U1 I1 I2 Fig.1.2. Diagramme vectoriel d’un transformateur idéal


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max max 2B S et fφ ω π= = max1 1 1 max 1 max2 4.442 2B SU N N f B S N f B Sπω= = = c. Equation de d’Hopkinson

1 1 2 2 0N I N I φ+ −ℜ = Le noyau magnétique est parfait 0⇒ ℜ =

1 21 1 2 2 2 1I NN I N I mI N−=− ⇒ = = Tel que : « m » représente le rapport de transformation d. Conservation de la puissance apparente Le rapport de transformation s’écrit 1 2 1 1 2 2 1 22 1I Um U I U I S SI U= = ⇒ = ⇔ = Pour un transformateur idéal, la puissance apparente est conservée.

�� Φ �� Fig.1.3. circuit magnétique équivalent


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e. Transfert d’impédances 2 1 12 2 2U mU II Z Z m− −= = =

12 1 2; IU mU I m−= − = 21 2 1 2 121U Z Z Z m ZI m= = ⇒ = 4. Transformateur réel Le transformateur réel ne possède pas des caractéristiques parfaites comme le transformateur idéal. On doit tenir compte de : - Le noyau magnétique : Le noyau possède une caractéristique B(H) non linéaire, avec hystérésis, et une perméabilité non infinie. - Les bobinages : Les bobinages sont en cuivre, ayant une résistivité non-nulle. Compte tenu de ces caractéristiques, on peut déduire six sources de pertes dans le transformateur : 1. Puisque la perméabilité du noyau est non-infinie, la réluctance du noyau ne sera pas nulle. Il y a par conséquent des fuites de flux : au primaire et au secondaire 2. des fuites par hystérésis et des fuites par courants de Foucault. 3. La résistivité des fils de cuivre implique une résistance interne au primaire et au secondaire. Les conséquences de ces phénomènes parasites sont : Le rendement du transformateur est inférieur à 100%.


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Le rapport de tension entre le primaire et le secondaire ne sera pas exactement égal au rapport du nombre de spire. La tension au secondaire variera aussi en fonction de la charge.

Soit : 1 1 1 1 1 1p fN N Nφ φ φ= + 2 2 2 2 2 2p fN N Nφ φ φ= + Avec : - 1 2,p pφ φ sont les flux principaux des bobines 1 et 2 - 1 2,f fφ φ sont les flux de fuites des bobines 1 et 2 Sachant que N LIφ =

1 1 1 1 1 1 1 1 1p f p fL I L I L I L L L= + ⇔ = +

N1 Flux de fuite Flux principale

N2 Fig.1.4. Transformateur réel


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2 2 2 2 2 2 2 2 2p f p fL I L I L I L L L= + ⇔ = + Avec : - 1 2,p pL L inductances principales. - 1 2,f fL L inductances de fuites. 4.1. Équations de tensions 1 11 1 1 1 1 1 1p fdd dU R I N R I N Ndt dt dtφφ φ= + = + +

2 22 2 2 2 2 2 2 2p fdd dU R I N R I N Ndt dt dtφφ φ= − − = − − − Posons j tme ωφ φ= Il vient que j tmd j e jdt ωφ ωφ ωφ= = D’où : 1 1 1 1 1 1 1 1 1p fdU R I N R I N j N jdtφ ωφ ωφ= + = + +

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2p fdU R I N R I N j N jdtφ ωφ ωφ= − − = − − − Or que : 1 1 1f fN L Iφ = et 2 2 2f fN L Iφ =


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Si on note : 11 1 pdE N dtφ= − et 22 pdE dtφ= − On obtient : 1 1 1 1 1fU R I E jL Iω= − + et 2 2 2 2 2 2fU R I E j L Iω= − + − Posons : 1 1 1 1fZ R jL Iω= + et 2 2 2 2fZ R jL Iω= + Finalement : 1 1 1 1U E Z I= − + et 2 2 2 2U E Z I= − 4.2. Fonctionnement à vide A vide on a : 2 0I = , d’où : 2 2 2 2pU E N jωφ= = − 1 1 1 10U E Z I= − + et 2 2U E= Le courant I10 absorbé lors d’un fonctionnement souvent négligé, d’où :

1 1 2 22 2 1 1U E U E mU E U E= − ⇒ = − = = Tel que « m » est le rapport de transformation A vide le transformateur consomme une puissance active P10 due aux pertes magnétiques (hystérésis, courants de Foucault) et une puissance réactive Q10 nécessaire à la magnétisation. Les pertes joules primaire sont pratiquement négligeables. On peut supposer que P10 est due à une résistance fictive R0 (fer) et Q10 est due à une réactance X0 =jωLp1.


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Donc on peut associer à P10 un courant actif I10a et à Q10 un courant réactif I10r avec : 10 10 10 10 010 0cos sina rI I I jI Iϕ ϕ= + = + A partir de ces équations, nous pouvons construire le schéma équivalent du transformateur à vide

Fig.1.5. Schéma équivalent du transformateur réel à vide

X1=jωLf1 jωLf2

R1 R0 X0

R2 U1

I1 U2 -E1 E2

I2 I10 I’2=0 m

U2 U1 m I2 I2 Fig.1.6. Représentation vectorielle du transformateur réel à vide.

I1 I10

φ


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4.2.1. Puissance consommées à vide a. Puissance actives 10 1 10 0cosP U I ϕ=

210 1 10 1 10 0a J FerP R I E I P P= + = + Avec 0JP représente les pertes par effet joules à vide et FerP les pertes magnétiques (fer). Les pertes joules à vides sont généralement négligées. D’où : 10 FerP P� En réalité, les pertes fer sont dues à deux phénomènes l’hystérésis et les courants de Foucault D’où Fer H FCP P P= + Tel que HP représente les pertes par hystérésis et FTP représente les pertes par courant de Foucault. Pratiquement HP et FTP sont calculer de la manière suivante : 2 2 2max1FC FTP f v e Bηρ=

2 2maxH HP f v Bη= Avec : - FTη et Hη sont des coefficients relatifs aux matériaux. - v est le volume du circuit.


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- e est l’épaisseur de tôle magnétique. - ρ est la résistivité - f est la fréquence Les pertes fer dépendent essentiellement de la fréquence f. Comme cette grandeur reste la même à vide ou en charge, les pertes fer mesurées à vide sont les même que celle en charge. b. Puissances réactives 10 1 10 0sinQ U I ϕ= 210 1 10 1 10rQ X I E I= + 4.2.2. Détermination de R0 et X0 20 10Fer p aP P R I≈ = 10 10 0Ave cosc: aI I ϕ= ( )20 10 0cosD’où : pP R I ϕ= 1010 1 10 0 10 0 1D’autre part on a cos cos : PP U I I Uϕ ϕ= ⇒ =

2 210 110 0 021 10P UP R RU P= ⇒ = De la même manière, on détermine Xp 210 1 10 0 0 10sinOn a : rQ U I X Iϕ= = 10 10 0Ave sinc: rI I ϕ= 1010 0 1D’autre part on a n: si QI Uϕ =


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2 210 110 0 021 10Q UQ X XU Q= ⇒ = En conclusion, le fonctionnement à vide permet de déterminer : - le rapport de transformation m - les pertes fer (ou magnétiques) représentées par 10ferP P≈ . - Et en fin R0 et X0 4.3.Fonctionnement en charge En charge 2 0I ≠ Le schéma équivalent est donné à la figure 1.7. Dans ce cas, et puisque la réluctance du fer est non nulle, l’équation des ampères tours s’écrit : 1 1 2 2N I N I φ+ = ℜ On suppose que les ferromagnétiques sont localisées au primaires, alors on peut estimer que :

1 10N Iφℜ = avec I10 est le courant complexe de fuit au primaire. : 1 1 2 2 1 10N I N I N I+ = 1 2 11 0Si on divise par N on obtient I mI I+ = 1 2 10Donc : I mI I= − + '2 2Si on note : I mI= − '1 2 10, on obtient : I I I= + On peut représenter le diagramme vectoriel des tensions comme le montre la figure suivante :


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Fig.1.7. Schéma équivalent du transformateur réel en charge

jωLf1 jωLf2

R1 R0 j ωLp1

R2 U1

I1 U2 -E1 E2

I2 I10 I’2 m Z

φ U1 I10 I2

Fig.1.8. Diagramme vectoriel d’un transformateur réel

I1- I10 E1 I1 R1 I1

X1 I1 U1

-E1 E2 U2 -R2 I2 X2I2


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4.3.1. Etude du transformateur avec l’hypothèse de Kapp Cette hypothèse consiste à négliger le courant à vide, I10 devient le courant primaire I1. Partons de cette hypothèse nous pouvons écrire : 11 2 2II m I m I= − ⇔ = −

a. Réduction du secondaire au primaire : On a : ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1fU E Z I E R jL I E R jX Iω= − + = − + + = − + + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2fU E Z I E R jL I E R jX Iω= − = − + = − + ( )2 2 22 2U E IR jXm m m= − + ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1 2 2U E IU E R jX I R jXm m m+ = − + + + − +

Fig.1.9. schéma équivalent dans l’hypothèse de Kapp

X1 X2 R1 R2 U1

I1 U2 -E1 E2=U20

I2 m


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12Or que: II m= − ( )2 2 12 2 2U E IR jXm m m= + + ( ) ( )2 11 1 1 1 2 2 2U IU R jX I R jXm m+ = + + + 2 2 21 1 1 12 2U R XU R j X Im m m + = + + +

2 2 2 21 1 1 1 12 2 PU R X UU R j X I Z Im m m m = − + + + + = − + C’est l’équation du transformateur avec secondaire ramené au primaire avec : p p pZ R jX= + 21 2où : p RR R m= + 21 2et p XX X m= +

Fig.1.10. schéma équivalent avec secondaire ramené au primaire

XP RP U1

I1 U2 -E2 /m E2

I2 m


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De la même manière on obtient l’équation du transformateur avec primaire ramené au secondaire 2 1 2sU mU Z I= − − Avec : s s sZ R jX= + 2 22 1 2 1etOù : s sR R m R X X m X= + = +

b. Chute de tension Par définition la chute de tension est donnée par la différence entre valeurs efficaces de la tension à vide et la tension en charge : 2 1 2 20 2s sU mU Z I U Z I= − − = −

2 20 2 2 2 2 2 2cos sins s sU U U Z I R I X Iϕ ϕ∆ = − = = +

XS I1 RS U1 U2 -mU1

I2 m

Fig.1.11. Schéma équivalent avec primaire ramené au secondaire


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4.4.Fonctionnement en court-circuit 2 2 2En court-circuit : 0 et cc nU I I= = L’équation de Kapp devient :

11 2 20 avec: cccc s cc s ccUmU Z I Z m I= − + = 4.4.1 Détermination expérimentale de Rs et Xs 2 11 2 22Les pertes joules sont : cccc s cc s ccPP R I R I= ⇒ =

2 2 2Or que : s s s s s sZ R jX Z R X= + ⇒ = + 2 2 2D’où : s s sX Z R= − En conclusion, le fonctionnement en court-circuit permet de déterminer : - Les pertes joules - L’impédance Zs

U2 RS I2 jXS I2 U20 =-mU1 U1

I1 I2 Fig.1.12. Diagramme de Kapp des tensions

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