Chapitre 4

Les taux d’intérêt

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Valeur actualisée

• L’idée de base du concept de valeur actualisée est qu’un dollar à recevoir dans un an a moins de valeur qu’un dollar reçu tout de suite.

• Un dollar placé dans un compte d’épargne rapport de l’intérêt.

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Valeur actualisée

• Prêt simple– Emprunteur reçoit un montant (principal) – Il doit le rembourser au prêteur à la date

dite d’échéance.– Avec un prêt simple de 100$ à un an à

10% implique au bout d’un an le remboursement de 100$ et le versement d’un intérêt de 10$.

– Taux d’intérêt = 10$/100$ = 0,1 ou 10%

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Valeur actualisée

• Si i = 0,10– En un an 100$ x (1 + 0,10)= 110$– En deux ans 110$ x (1 + 0,10) = 121$– Ou 100$ x (1 + 0,10)2

– En trois ans 121$ x (1 + 0,10) = 133$– 100$ x (1 + 0,10)3

– En n années : 100$ x (1 + i)n

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Valeur actualisée

• Le calcul de la valeur aujourd’hui de montants à recevoir dans le futur s’appelle l’actualisation.

• La formule générale de l’actualisation :

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VA =

VF(1+ i)n

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Valeur actualisée

• Quelle est la valeur actuelle de 250$ recevable dans deux ans si le taux d’intérêt est de 15% par an?

• Solution :• VA = VF/(1 + i)n

• VA = 250/(1 + 0,15)2 = 189,04$

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Quatre principaux instruments de crédit

• Le prêt simple• Le crédit à versements constants (Fixed-payment loan) prévoit

que l’emprunteur que l’emprunteur effectue une série de versements de montants égaux (principal + intérêt) à chaque période pendant la durée du prêt.

• L’obligation classique (Coupon bond)– Valeur nominale (face value)– Coupon – Taux de coupon

• L’obligation zéro-coupon (Discount bond) est émise à un prix inférieur à sa valeur nominale et ne verse pas de coupons.

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Le taux actuariel (yield to maturity)

• Taux de rendement interne; Rendement actuariel

• La mesure la plus importante pour calculer un taux d’intérêt.

• Le taux d’intérêt qui égalise la valeur actualisée des flux de paiements futurs imposé par un instrument financier et sa valeur actuelle.

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Prêt simple

• VP = valeur du prêt = 100$• FM = flux monétaire à l’année 1= 110$• n = nombre d’années jusqu’à la date de maturité =

1

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100 =110

(1+ i)1

(1+ i)1 × 100 =110

(1+ i) =110100

i =0,1=10%

10

Prêt à versements fixes

• VP = valeur du prêt = 100$• V = montant du versement • n = nombre d’années jusqu’à la date de

maturité

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Obligation classique

• P = Prix actuel de l’obligation• C = coupon annuel • F = valeur du paiement final• n = nombre d’années avant la date de

maturité

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P =

C1+ i

+C

(1+ i)2 +C

(1+ i)3+...+

C(1+ i)n

+F

(1+ i)n

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Obligation classique

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• Trois observations :– Si P = F, alors i = taux du coupon– Quand le taux actuariel augmente, le prix de l’obligation baise (vice versa) – Si P < F, alors i > taux du coupon (vice versa)

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Obligations perpétuelles

• Obligations dont la maturité est infinie et donc qui ne sont jamais remboursées.

• Elles paient uniquement des coupons annuels.

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Pc=

Cic

Pc = Prix de l'obligation perpétuelle 

C = Coupon annuel

ic = Rendement actuariel

 ic =CPc

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Obligation zéro-coupon

• Même principe que le prêt simple.• F : Valeur de remboursement• P : Prix actuariel

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PPF

i

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Conclusion

• Le calcul des taux actuariels pour les différents types d’instruments financiers utilisés montre que le prix de ces instruments est inversement corrélé avec leur taux actuariel.

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La distinction entre taux d’intérêt et rendement

• Le rendement (ou taux de rendement) : le rendement d’un actif est la somme des paiements versés durant la période de détention et du gain en capital lors de la revente finale.

• Exemple : obligation avec valeur nominale de 1000$ qui est acheté pour 1000$, taux du coupon de 10% et revendue après un an pour 1200$.

• Rendement = (100 + 200)/1000 = 0,30 ou 30%• Remarque que le rendement est différent du taux du

coupon (10%) et du taux actuariel (aussi 10% puis que l’actif est acheté au pair).

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La distinction entre taux d’intérêt et rendement (returns)

• De manière générale, le rendement résultant de la détention d’un actif durant une période de t à t + 1 peut s’écrire :

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RET =C + Pt+1 −Pt

Pt

=CPt

+Pt+1 −Pt

Pt

CPt

=taux d'intérêt apparent (current yield) = ic

Pt+1 −Pt

Pt

=taux de gain en capital = g

18

La distinction entre taux d’intérêt et rendement

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La distinction entre taux d’intérêt et rendement

• La seule obligation dont le rendement est égal au taux d’intérêt initial est celle dont la durée avant échéance est égale à la durée avant détention sur laquelle est calculée le rendement (1 an ici, dernière ligne).

• Même si une obligation a un taux d’intérêt initial substantiel, elle peut produire un rendement négatif si les taux d’intérêt augmentent.

• Une hausse du taux d’intérêt conduit à une baisse du prix dans l’année jusqu’à la revente, ce qui conduit à une perte en capital dès que la maturité dépasse la durée de détention.

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La distinction entre taux d’intérêt et rendement

• Plus la maturité est longue, plus la variation de prix résultant d’une variation donnée de taux d’intérêt est importante (baisse de 497$ sur 30 ans contre baisse de 83$ sur 2).

• Plus la maturité est longue, plus faible est le rendement qui résulte de la détention pendant une période ou a lieu une augmentation de taux d’intérêt.

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Maturité et volatilité du prix des obligations : le risque de taux d’intérêt

• Les prix et les rendements des obligations à long terme sont plus volatils que ceux des obligations à court terme.

• C’est le risque de taux d’intérêt. • Les titres à court terme on peu de risque de

maturité.• Il n'y a aucun risque de taux d'intérêt pour toute

obligation dont la durée de détention est égale à la maturité puis que leur valeur en fin de détention est fixée.

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La distinction entre le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt réel

• Taux d'intérêt nominal ne tient pas compte de l'inflation.

• Taux d'intérêt réel est corrigé des variations de niveau des prix de sorte qu'il reflète plus précisément le coût d’un crédit.

• Le taux d'intérêt réel ex ante des est corrigé des variations anticipées du niveau des prix.

• Le taux d'intérêt réel ex post est corrigé des variations constatées du niveau des prix.

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Équation de Fisher

• Lorsque le taux d'intérêt réel est faible, il ya davantage d'incitations à emprunter.

• Un faible taux d'intérêt réel réduit l'incitation à prêter.• Le taux d'intérêt réel est un meilleur indicateur des

incitations à emprunter ou prêter.

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i =ir +πe

ir =i −πe

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Obligations indexées

• Le 10 décembre 1991, le gouvernement du Canada a commencé à émettre des obligations indexées.

• Les obligations indexées sont des obligations dont les paiements d’intérêts et du capital sont corrigés des variations du niveau des prix.

• On observe maintenant un taux d’intérêt réel au Canada.

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La fin