Chapitre 3 : Observables et opérateurs

1) GénéralitésToute l’information sur le système est contenue dans la fonction d’onde ! On utilise des opérateurs pour extraire cette information.

Opérateur : Objet mathématique agissant sur une fonction pour donner une autre fonction :

A chaque grandeur mesurable (appelée observable), on associe un opérateur différent. En général, la fonction obtenue par action de l’opérateur est différente de la fonction initiale :

Exemple :

Notons que cette somme est commutative :

Le produit de deux opérateurs est un opérateur.

Lorsqu’on applique un produit d’opérateur à une fonction, on applique, dans l’ordre, chaque opérateur en partant de celui le plus à droite à la fonction obtenue à l’étape précédente.

Mais le produit de deux opérateurs n’est pas toujours commutatif. Différent !

Lorsqu’un produit d’opérateurs apparait dans une équation, ne jamais permuter leur position s’ils ne commutent pas !!!

Pour cet exemple le commutateur vaut donc

Certaines fonctions sont invariantes par l’application d’un opérateur, à une constante multiplicative près :

Exemple :

Ces fonctions particulières sont appelées fonctions propres de l’opérateur. Le coefficient constant est appelé valeur propre de l’opérateur, associé à la fonction propre correspondante.

Les seules valeurs mesurables d’une observable sont données par les valeurs propres de son opérateur associé. Ces valeurs propres sont réelles.

On peut néanmoins définir des opérateurs qui ne sont pas des observables et qui ont des valeurs propres complexes.

Les fonctions propres d’un opérateur sont des fonction orthogonales

Si l’on connaît toutes les fonctions propres, i i=1…n, d’une observable Â, définies par :

 i=i i

on pourra toujours écrire la fonction d’onde, , décrivant le système par :

Le module au carré de chaque coefficient, ai, représente la probabilitéde trouver le système dans l’état i et donc, la probabilité de mesurer une valeur égale à i , la valeur propre associée à i.

Probabilité de trouver le système dans l’état i.

Et la somme des probabilités est bien égale à un par normalisation de la fonction

ai : coeff complexe

On dit alors que est un état de superposition d’états propres de Â.

EXEMPLE ! Le dé quantique

Imaginons un dé quantique (microscopique), non pipé, posé à la surface d’un cristal. Supposons qu’une des mesures possibles sur ce système consiste à lire le numéro inscrit sur la face supérieure du dé. Soit  l’observable liée à cette mesure.

Il y a 6 valeurs propres et 6 fonctions propres possibles :

On mesure « 1 » et le système est dans l’état normalisé « Face1 »On mesure « 2 » et le système est dans l’état normalisé « Face2 »On mesure « 3 » et le système est dans l’état normalisé « Face3 »On mesure « 4 » et le système est dans l’état normalisé « Face4 »On mesure « 5 » et le système est dans l’état normalisé « Face5 »On mesure « 6 » et le système est dans l’état normalisé « Face6 »

Tant que la mesure n’a pas été faite, il FAUT considérer tous les résultats possibles. Si chaque face a une proba 1/6 d’être mesurée , l’état du système est alors :

La mesure donne un résultat et un seul. Après la mesure, le système se trouve dans un des états propres associés à cette mesure, avec un coefficient 1 (car on a déterminé le résultat de la mesure) et toute mesure ultérieure de la face supérieure donnera toujours le même résultat. Les états propres d’un opérateur  sont des états stationnaires vis-à-vis d’une mesure la grandeur associée à Â.

Si on a vu la face 5 alors

C’est ce que l’on appelle « la réduction du paquet d’ondes »

En mécanique quantique toute mesure a un effet potentiel sur le système mesurécar elle modifie la forme mathématique de la fonction d’onde.

Mesure

Le chat de Schrödinger !

Dans une pièce fermée se trouve un chat, une fiole de cyanure, un marteau retenu par un fil et un détecteur quantique (un compteur Geiger). On y dépose un élément radioactif dont la période est de 60 minutes (c'est-à-dire qu'au bout d'une heure, l'atome a 50% de chance de se désintégrer).

Si la mécanique quantique s'applique dans ce cas, non seulement à la particule mais à tout ce qui coexiste dans la pièce, selon les lois statistiques des probabilités, lorsque l'heure est écoulée le chat doit se trouver dans un état indéterminé, ayant 50% de chance d'être vivant et 50% de chance d'être mort. Le chat doit donc être à la fois vivant et mort, la fiole étant àla fois entière et brisée !

ou

Valeur moyenne d’une observable

La mesure d’une observable représentée par l’opérateur  lorsque le système est dans l’état pourra donner différentes valeurs avec des probabilités différentes. La valeur moyenne des résultats mesurables est donnée par :

NB : La valeur moyenne n’est pas nécessairement une valeur mesurable (la valeur moyenne apparaissant sur les faces d’un dé est 3,5 !)

Si est une fonction propre de l’opérateur  avec la valeur propre , on a :

Incertitude sur la mesure d’une observable :

L’incertitude, A, sur la mesure d’une observable  pour un système dans un état donné, , est obtenue par la formule :

Si est un état propre de A avec la valeur propre , on a :

2) Opérateurs importants.

xx0

(x-x0) Cette fonction est la fonction « delta » de Dirac. On la note(x-x0). x0 est la valeur propre associée à ce delta de Dirac.x0 peut prendre n’importe quelle valeur donc cette grandeur n’est pas quantifiée.

Une propriété des fonctions delta est que l’on a :

Fonction de x Valeur de la fonction au point x0

Exemple d’utilisation : on pourra calculer la valeur moyenne de la position d’une particule décrite par une fonction d’onde (x) en calculant :

xx0

(x-x0)

20x 20

xx0

f(x)=xy

f(x0)= x0

Nous avons déjà montré que la quantité de mouvement d’une particule, p0, était liée au vecteur d’onde k0 de l’onde associée à la particule par

Cette onde est donc associée à une quantité de mouvement donnée et c’est donc une fonction propre de l’opérateur quantité de mouvement et on doit donc avoir :

En effet :

L’hamiltonien est un opérateur très important. Il permet de déterminer l’énergie totale du système. Il est composé de la somme de plusieurs termes correspondant chacun à une énergie d’origine différente (énergie cinétique, énergie potentielle, énergie de rotation, énergie électrostatique etc …)

Où m est la masse de la particule

Par analogie, on a alors :

Dans un espace tridimensionnel, l’opérateur prend la forme

Opérateur Laplacien

Un ensemble de n particules en mouvement (par exemple les noyaux des atomes d’une molécule se déformant) aura un opérateur énergie cinétique de la forme :

Où ri représente les coordonnées de chaque particule.

L’énergie potentielle est liée aux forces agissant sur le système par la relation (ici en 3D) par la relation classique :

Exemples d’opérateurs énergie potentielle 1D (V(x) ou V(r)) :

Potentiel harmonique :

Potentiel du ressort, très important dans de nombreux modèles physiques (liaison chimique).

Marche de potentiel :V=V0 si x >x0V=0 sinon

x0

Puit de potentiel

x

Barrière de potentiel

Exemples d’opérateurs énergie potentielle : coupes 2D

Les « chemins de réaction » utilisés en réactivité sont en fait des « trajectoires »sur les hypersurfaces de potentiels, menant des réactifs aux produits.

Recherche des énergies d’un système :

La même équation que précédemment permet de déterminer les états propres, i et les énergies possibles, Ei :

Cette équation porte le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps

Hamiltonien

L’énergie d’un système quantique est très souvent quantifiée. Elle ne peut prendre que certaines valeurs. C’est souvent la forme du potentiel qui impose cette quantification (cf exemples plus loin)

Exemple de traitement classique d’un problème :

x

y

0

Données numériquesMasse de la bille : mRaideur du ressort : k

x

Densité de Probabilité

0

A un temps t fixé, la particule est entièrement localisée. Ici, la position du centre de masse est : x=0

L’équation de Newtonpermet de déterminer x(t)

Energie cinétique

Energie potentielle

Quantité de mouvement

Exemple de traitement quantique d’un problème :

x

y

0

Données numériquesMasse de la particule : mRaideur du ressort (liaison chimique ?) : k

x

Densité de Probabilité

0

Si (x) est la fonction d’onde du système à un temps t.La probabilité de trouver la particule entre x et x+dx est :

Valeur moyenne de la position

Valeur moyenne de l’énergie cinétique

Valeur moyenne de l’énergie potentielle

Valeur moyenne de la quantité de mouvement

Probabilité de mesurer une valeur donnée d’un opérateur (par exemple énergie) :

On cherche les valeurs propres, En , et états propres, n ,de cet opérateur (indépendants de (x))En résolvant l’équation aux valeurs propres qui admet en général plusieurs solutions indicées par n:

La probabilité de mesurer En lorsque le système est décrit par (x) est alors :

Et (x) peut se développer sous la forme :