Chapitre 2_procede de Levé (1)

Support de cours levé et implantation Année Universitaire 2014/2015

Mr : ABADLIA ZIED ISET TOZEUR

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Chapitre 1

DENSIFICATION DE CANEVAS

1- GENERALITE :

Pour réaliser le levé d’une très grande zone, on effectue souvent un certain nombre d’opérations

enchaînées. Il faut réduire le nombre de mesures pour minimiser les erreurs systématiques et

accidentelles. On est donc amené à procéder en deux étapes :

On détermine dans un premier temps un ossature de levé constitué par un nombre assez réduit

de points d’appuis. Ces points vont servir comme charpente du levé et ils constituent le

canevas planimétrique.

On réalise en suite le levé de détail à partir du canevas planimétrique.

2- CANEVAS PLANIMETRIQUE :

Le canevas a pour objectif de déterminer un certain nombre de points d’appuis. Sa conception

dépend de la forme et de l’importance de la zone à lever. Dans le cas d’un territoire de grande

étendue le canevas géodésique est subdivisé en plusieurs ordres comme indiquer dans le tableau çi

dessous mentionné.

Canevas Espacement (Km) Erreur (cm)

1ere Ordre 30 à 60 10

2éme Ordre 15 à 20 10



5éme Ordre 1 10

En plus du réseau de cinquième ordre, on densifie encore les points du canevas par des levés de

détails. Il ya plusieurs façons de procéder qui sont dans l’ensemble des mesures combinées d’angles

et de distances. On présente ci après les différents procédés de levé.



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3- TRIANGULATION :

3-1- Principe :

Lorsqu’on ne dispose d’aucun canevas préexistant, le topographe est amené pour asseoir son levé à

effectuer une triangulation locale dans laquelle les opérations essentielles sont des mesures d’angles.

La triangulation a pour but d’établir un canevas de points éloignés les uns des autres. Les points sont

reliés entre eux essentiellement par des opérations de mesure d’angles.

Les opérations comportent :

Le choix d’une base et la mesure de sa longueur

L’orientation de la base

La mesure des angles au goniomètre

Le calcul de la triangulation

Eventuellement la mesure d’une base supplémentaire et l’ajustement des angles.

3-2- Choix et mesure de la base :

La base peut être :

Rectiligne, formée d’un seul tronçon AB suffisamment long

I J

K

A

B

E

F

Figure 1 : Triangulation a une base AB



3

Composée de deux ou trois tronçons consécutifs AM, MN, NB

M B

A N

Figure 2 : Triangulation avec plusieurs Bases consecutifs

Composée de plusieurs segments AB, AC, AD aboutissant à un point commun A

B

A

C D

Figure 3 : Plusieurs bases aboutissants à un point commun

Après reconnaissance, on jalonne les extrémités des différents tronçons ou segments; on mesure

ensuite ses bases par un procédé suffisamment précis.

Les deux ou plusieurs extrémités de la base constituent deux sommets de la triangulation

proprement dite. On reconnaît les autres sommets de façon qu’ils soient visibles les uns des autres et

on les balise. En chaque sommet on effectue un tour d’horizon dans lequel on vise tous les sommets

environnants ; pour chaque triangle on vérifie que la somme des angles est égale à 200,0000Gr.

L’erreur de mesure d’angle à l’intérieur du triangle est appelé erreur de fermeture fa, il est répartit

de façon égale entre les trois angles et on obtient ainsi les angles compensés.



4

3-3- Orientation de la base :

On commence par la mise en station au point A, et on effectue la mise à zéro sur le nord (c’est

l’orientation générale de la station). En connaissant le gisement de la base, on peut déterminer le

gisement des autres segments par simple opérations de mesure d’angles.

3-4- Calcul de triangulation :

Soit à déterminer les coordonnées du point C par triangulation à partir de la base AB (Voir la

figure si dessous mentionnée).

On stationne sur chaque point du triangle ABC et on mesure les angles intérieurs du

triangle

Tableau : mesure de triangulation

Station Points visés

Lectures

horizontales

(Gr)

Angles

intérieurs (Gr)

A C

A B

B A

B C

C B

C A

Vérification : A + B + C = 200 Gr

Calcul des angles compensés du triangle ABC :

La fermeture angulaire est donnée par l’expression suivante : fa = i – 200Gr

Si fa ≤ Tfa avec Tfa = 2,7 1n

Avec = 2 mgr : l’écart type sur chaque angle i mesuré

Et n+1 est le nombre d’angle du triangle n+1 = 3

Nord

A

C

B

A

Distance AB, GAB, XA et YA sont connus

Objectif :

Détermination des points B et C



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On procède au calcul de la compensation angulaire : Ca = 3

af

i comp

= i + Ca

Calcul de GAC GAC = GAB - Acomp

Règle des sinusCB

ABAC

sinsin

On a donc B

C

ABAC

sin

sin

Calcul des coordonnées du point B et C

ABAB

ABAB

GABYY

GABXX

cos

sin

ACAC

ACAC

GACYY

GACXX

cos

sin

Vérification :

BCBC

BCBC

GBCYY

GBCXX

cos

sinAvec GBC = GBA + B

comp– 400 et A

C

ABBC

sin

sin

On calcule ensuite les coordonnées de tous les autres points du réseau

4- INTERSECTION :

4-1- Principe :

C’est un procédé de détermination planimétrique d’un point M par l’intersection de visées

directes issues de mesures d’angles effectuées à partir d’au moins trois points connus. Les trois

doivent se couper en M.

M

Nord

2 C

1

2

β2

A 1 β1

B



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Soit à déterminer le point M à partir de trois points connus A, B et C. On stationne sur chaque

point connu et on mesure les angles 1, 2, β1, β2, 1 et 2 comme indiqué dans le tableau de

mesure suivant :


Lectures

horizontales

(Gr)

A

M

C

B

B

A

M

C

C

B

A

M

A partir des deux points A et B on peut déterminer les coordonnées approchées du point M,

soit M1. Le point C sera utilisé pour faire la vérification

A partir des deux points A et C on peut déterminer les coordonnées approchées du point M,

soit M2. Le point B sera utilisé pour faire la vérification.

A partir des deux points B et C on peut déterminer les coordonnées approchées du point M,

soit M3. Le point A sera utilisé pour faire la vérification.

La position du point M est à l’intérieur du triangle M1M2M3, ses coordonnées peuvent être

déterminé soit graphiquement soit par la méthode des moindres carrés. On présente si dessous la

méthode de calcul des coordonnées approchées du point M à partir de deux visées entre A et B.

4-2- Principe de détermination des coordonnées approchées du point M à partir de la

base AB

A partir des coordonnées des points A et B on calcul le gisement GAB on détermine GAM et GBM en

fonction des angles mesurés et des gisements GAB et GBA

GAM = GAB - Avec = 1 + 2

GBM = GBA + β1



7

On a tg GBM = (XM-XB) / (YM-YB) XM-XB = (YM -YB) tg GBM (1)

De même tg GAM= (XM-XA) / (YM-YA) XM-XA = (YM -YA) tg GAM (2)

(1) - (2) XA-XB = (YM -YB) tg GBM - (YM –YA) tg GAM

XA-XB = YM (tg GBM - tg GAM) -YB tg GBM -YA tg GAM

XA-XB = YM (tg GBM - tg GAM) -YB tg GBM -YA tg GAM +YA tg GBM -YA tg GBM

XA-XB = (YM-YA) (tg GBM - tg GAM) + (YA - YB) tg GBM

On obtient: tg- tg

)X - (X - tg)Y - (Y -YY

AMBM

ABBMABAM

GG

G

XM-XA = (YM -YA) tg GAM

4-3- Vérification de l’intersection obtenue à partir de la base AB

A partir des coordonnées approchées déjà calculées du point M, on calcul GCM et on la compare à

celle calculer à partir de Gzéro de station en C. si la différence est inférieure à l’erreur de mesure de

l’appareil. On entame le calcul du point définitif.

Calcul de GCM à partir de Gzéro moyen station en C.

Calcul de Gzéro moyen station en C 2

st

B

0

A

0moy0

GGG

GCM est déterminé par l’expression : GCM = st moy

0G + LM(C)

Calcul de GCM à partir des coordonnées du point M :

∆X = XM - XC

∆Y = YM – YC

Y

Xutg

)( u =

Y

Xtg 1

A partir des signes de ∆X et ∆Y on place dans l’un des quatre cadrans et on calcule GCM

Comparaison entre les deux résultats trouvés



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5- RECOUPEMENT:

5-1- Principe :

Soient A, B et C trois points connus ; supposons que parmi eux, seul le point A est

stationnable. On veut déterminer les coordonnées du point M par recoupement de visées entre les

points A et M.

Nord

5-2- Mode opératoire : M

β

C

A B

On stationne en A avec un goniomètre et on vise les points B, C et M

On détermine le Gzéro de station en A 2

st

B

0

C

0moy0

GGG

On stationne en M et on mesure les angles et β

Avec les mesures effectuées sur le terrain, on peut déterminer

GAM = st moy

0G + LM et GMB = GMA -

D’où on déduit le gisement de BM : GBM = GMB ± 200Gr

Ainsi le calcul du recoupement se réduit à un calcul d’intersection à partir de deux points A et B et

des gisements GAM et GBM. Soit M0 (X0, Y0) le point approché de M.

5-3- Vérification:

Etant en station en M, en mesurant l’angle β = BMC, on peut déterminer le gisement observé GMC

GMC = GMB - β

On calcule ensuite GMC et on vérifie que ce gisement diffère peu de gisement observé GMC



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6- RELEVEMENT :

6-1- Principe :

Le relèvement consiste à déterminer les coordonnées d’un point en le stationnant et en effectuant un

tour d’horizon sur des points de coordonnées connues. Les visées doivent être réparties aussi

uniformément que possible autour du point et leur nombre doit être suffisant pour assurer une

détermination correcte. (Quartes visées au minimum : 3 pour calcul est 1 pour vérification)

M(x,y) ??

Données :

- 3 points connus,

Les conditions :

- M est stationable.

- 3 points visibles à partir de M.

6-2- Coordonnées approchées à partir de trois visées :

Les coordonnées du point approché Mo sont calculées à partir des formules de Delambre pour le

relèvement, c’est-à-dire :

Ainsi le calcul de relèvement se réduit à un calcul d’intersection à partir de deux points A et B et des

gisements GAM et GBM. Soit M0 (X0, Y0) le point approché de M.

On détermine les coordonnées d’un point approché Mo à

partir de trois visées de relèvement correctement choisies :

elles doivent être longues et bien réparties autour du point

cherché M et doivent se couper sous un angle favorable

(proche de 100 Grd) mais en évitant les couples de visées

parallèles.



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7- TRILATERATION:

7-1- Principe :

C’est un procédé de détermination planimétrique d’un point M par mesure de distances entre M et au

moins deux points connus. C’est une méthode très utilisée suite au développement des appareils

électroniques de mesure de distances.

7-2- Mode opératoire :

M

Nord

β

A

B

On mesure les distances AM et BM par un distancemètre ou une station totale. On calcule

les angles intérieurs du triangle en utilisant la méthode de Pythagore généralisée.

cos***2222 BMABBMABAM

BMAB

AMABBM

**2cos

222

BMAB

AMABBM

**2cos

2221

De même pour l’angle : cos***2222 AMABAMABBM

AMAB

BMABAM

**2cos

2221

A partir des angles calculés et β, on détermine les Gisements observés GAM et GBM.

GAM = GAB - et GBM = GBA + β

Ainsi le calcul de trilatération se réduit à un calcul d’intersection à partir de deux points A

et B et les Gisements GAM et GBM.



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8- POLYGONATION :

8-1- Principe du cheminement polygonal :

La polygonation est l’ensemble des opérations qui consistent à mesurer et à calculer une polygonale.

Soient deux points connus A et B. On détermine à partir de A une succession de rayonnement. Tous

les sommets 1, 2, 3, …., n-1 d’une ligne polygonale aboutissant en B. les éléments de cette ligne

sont donc déterminés par des mesures d’angles et de distances.

8-1-1- Caractéristiques de la polygonale :

D

C

P1 ……………. Pn-1

A P2 Pn-2 B

Figure : Polygonale ouvert

Point d’origine de la polygonale : A

Point extrémité de la polygonale : B

Points de la polygonale A, P1, P2, …, Pn-1, B

Visée d’orientation de la polygonale : Visée AC, de gisement GAC

Visée de fermeture de la polygonale : Visée BD, de gisement GBD

Angles intérieurs de la polygonale : i

Angles extérieurs de la polygonale : βi = 400- i

Cotés de la polygonale : A_ P1, P1_ P2, P2_ P3,….. , Pn-2_ Pn-1, Pn-1_B

8-1-2- Type de polygonale :

Polygonale ouvert : lorsque le point B est distinct du point de départ, on dit que le

cheminement est ouvert. Il est d’autant plus tendu que les angles i et βi sont plus voisins de

200Gr et qu’ils se rapprochent davantage de l’alignement AB.

Polygonale fermé : lorsque le cheminement revient à son point

de départ, on dit qu’il est fermé.



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BBy

BBx

YYf

XXf

'

'

8-1-3- Tolérance sur l’écart de fermeture angulaire

Soit l’écart type sur chaque angle observé Pi. Puisqu’on stationne (n-1) sommets intermédiaire,

plus A et B, le nombre total d’angles observés est (n+1). Les erreurs accidentelles en tous les

sommets se composent pour donner en B, sur l’orientement final une erreur moyenne résultante de :

1n . L’erreur maximum correspondante est appelée tolérance de fermeture angulaire : Tfa

Tfa = 2,7 1n

Avec = 2 mgr : l’écart type sur chaque angle i mesuré

n: nombre de cotés et n+1 est le nombre d’angles mesurés

8-1-4- Compensation angulaire :

La répartition de l’écart de fermeture angulaire est faite également entre tous les angles mesurés,

chaque angle étant corrigé de la quantité : 1

n

fCa a

Il en résulte que les gisements successifs doivent recevoir des corrections cumulées :

Ca pour GAP1

2Ca pour GP1P2

:

:

:

(n+1)Ca pour GBD mesuré

Dans ces conditions le gisement final [GBD mesuré –fa] est bien égale au gisement exact [GBD

exact].

Les gisements ainsi obtenus s’appellent les gisements compensés. fa = GBD mesuré - GBD

exact

8-1-5- Ecart de fermeture linéaire:

En raison des erreurs de mesure on obtient pour B, par l’enchaînement considéré, un point B’ (X’B,

Y’B) différent de sa position exacte B (XB, YB). l’écart BB’ s’appelle écart de fermeture linéaire.

L’opération qui consiste à voir si l’écart de fermeture est acceptable s’appelle la fermeture du

cheminement polygonale ; celle-ci donne une vérification des mesures et permet de compenser les

erreurs.

ses composantes de l’écart de fermeture linéaire du cheminement polygonale suivant l’axe

des abscisses et des ordonnées :

Avec xf est l’écart de fermeture en X et yf est l’écart de fermeture en y

La méthode de calcul de xf et yf est présentée dans la section calcul de polygonation.



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Ses composantes :

fL= B’’B’ dans la direction du cheminement ; c’est l’ecart de fermeture longitudinal du

cheminement

fT= BB’’ dans la direction perpendiculaire au cheminement ; c’est l’écart de fermeture transversal

La notion d’écart longitudinal et d’écart transversal n’a de sens que pour un cheminement tendu.

8-1-6- Tolérance sur l’écart de fermeture du cheminement polygonale:

Pour un cheminement tendu de n cotés égaux à l et de longueur L = n l

L’écart moyen transversal3

nLfT avec est l’erreur moyenne quadratique de

mesure d’angle

L’écart moyen longitudinal nf lL avec l est l’erreur moyenne quadratique de longueur

sur chaque coté

Les tolérance respectives sont : 2.7 fT et 2.7 fL

Ellipse de tolérance :

2.7fT

2.7fL

A B

Soit B le point de fermeture d’un cheminement supposé tendu. Soit AB la direction du

cheminement. Portons de part et d’autre de B, sur AB, la quantité 2.7fL et sur la perpendiculaire en B

à AB, de part et d’autre de B, la quantité 2.7fT. nous définissant ainsi une ellipse de tolérance dans

laquelle devra situé le point B’calculé par l’enchaînement.

Pour un cheminement quelconque on calcule 222

2

1lB nAB

n

; on forme ensuite 2.7 B

qui fixent la tolérance du cheminement. On peut tracer un cercle de centre B et de rayon 2.7 B . Le

point B’ calculé par l’enchaînement devra se trouver à l’intérieur de ce cercle.

Lorsque l’écart de fermeture est inférieur à la tolérance, on compense le cheminement selon l’une

des méthodes ci-après.



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8-1-7- Compensation d’un cheminement calculé :

Compensation parallèle simple : (selon le nombre de coté)

On répartit également les composantes xf et yf sur les coordonnées partielles de tous les côtés

Cx = -fx /n et Cy = -fy /n avec n est le nombre de côté de la polygonale

Compensation parallèle proportionnelle

Elle consiste à déplacer chaque sommet parallèlement à BB’ d’une quantité proportionnelle à sa

distance au point de départ A.

i

i

x

i

xl

lfC et

i

i

y

i

yl

lfC

8-2- Mesure de polygonation :

On stationne un théodolite gradué dans le sens des aiguilles d’une montre, sur chaque point de la

polygonale et on mesure les angles i.

A l’aide d’un distancemètre, on mesure les distances des cotés de la polygonale en utilisant

l’inversion des visées.

Tableau : Mesure de polygonation


Lectures

horizontales

(Gr)

Lectures

verticales (Gr)

Distances selon

la pente Dp (m)

A C ---

1 --- --- ---

1 A --- --- ---

2 --- --- ---

: --- --- ---

--- --- ---

n-1 n-2 --- --- ---

B --- --- ---

B n-1 --- --- ---

D ---



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8-3- Calcul de polygonation :

Calcul planimétrique (X, Y)

1/ Calcul des gisements compensés des différents côtés de la polygonale:

Calcul des gisements mesurés :

Pour un point Pi un angle intérieur i = LPi+1Pi

– LPi-1Pi

un angle extérieur i = LPi-1Pi

– LPi+1Pi

GPiPi+1mes

=GPiPi-1mes

+ i

Calcul de la fermeture angulaire de la polygonale

fa = GBDmes

- GBDdonné

Vérifier si fa < Tfa = 2,7 1n ou n : nombre des cotés

Calcul de la compensation angulaire Ca

Ca = - fa / n+1 ou n : nombre des cotés

Calcul des gisements Compensés des différents côtés de la polygonale :

GAiP1 comp

= GAC + A

comp = GCA

+ A

comp – 200

GP1P2 comp

= GAP1comp

+ P1comp

– 200

GPiPi+1comp

= GPiPi-1comp

+ icomp

– 200

GBDcomp

= GP3Bcomp

+ Bcomp

– 200

2/ Calcul des distances réduites à la projection (Dr)

Pour chaque côté de la polygonale on applique les réductions suivantes :

Réduction a l’horizon : Dh = Dp sin V

Réduction au niveau zéro : D0= R Dh / (R+H)

Réduction à la projection sur plan et carte topographique : Dr = D0 (1+ )

Avec est la constante d’altération diffère d’une région à une autre.

3/ Calcul des X comp

et Ycomp

Calcul des X mes

et Ymes

XPiP i+1 mes

= Dr (PiPi+1) * sin GPiPi+1comp

YPiP i+1 mes

= Dr (PiPi+1) * cos GPiPi+1comp

Calcul des fermetures planimétriques : fx et fy

fx = XABmes

- XABDonné



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fy = YABmes

- YABDonné

Avec XABmes

= XPiP i+1mes

et

YABmes

= YPiP i+1mes

Calcul des compensations Cx et Cy

Cx = -fx /n et Cy = -fy /n avec n est le nombre de côté de la polygonale

i

i

x

i

xl

lfC et

i

i

y

i

yl

lfC

Calcul de X comp

et Ycomp

Xi i+1 comp

= Xi i+1mes

+ Cx

Yi i+1 comp

= Yi i+1mes

+ Cy

Calcul des coordonnées (Xi , Yi)

Xi+1 = Xi + Xi i+1 comp

Yi+1 = Yi + Yi i+1 comp

Calcul altimétrique

Nivellement géodésique

Calcul des dénivelées :

visée directe Z i+1 mes

= Dp i i+1 cos vi i+1 +ha –hr

visée inverse Z i+1 mes

= -( Dp i i+1 cos vi i+1 +ha –hr )

Hi+1 mes

= la moyenne des résultats des deux visées

Calcul de fermeture :

f = ZABmes

- ZABDonné

Ou ZABmes

= Zi+1mes

Calcul des compensations Ci des dénivelées :

Ci = -f * Zimes

/ Zimes

Calcul des dénivelées compensées :

Zi comp

= Zimes

+ Ci

Calcul des altitudes Zi: Zi+1 = Zi +Zi+1comp

Chapitre 2_procede de Levé (1)

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