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COURS TOPOGRAPHIES CHAPITRE 2: MESURE DES ANGLES ET DES DISTANCES

ELLOUZE ALI

CHAPITRE 2: MESURE DES ANGLES ET DES DISTANCES

INTRODUCTION

La réalisation d’un levé topographie consiste à relever la position de l’ensemble des points du

terrain et de les reporter sur un plan. On procède dans premier temps à la détermination de chaque

point du terrain en coordonnées polaires (D : distance ; : angle orienter) en effectue ensuite le

report sur un plan des différents points du terrain par une méthode graphique (angle et distance) ou

par une méthode numérique (coordonnées rectangulaires(X,Y) des différents points).

Les coordonnées rectangulaire (X,Y) de chaque point sont calculées à partir de ses

coordonnées polaires (D,) de la manière suivante :

A : point connue. (XA , YA) donnés

M : point à déterminer. (XM , YM) ?

Dr : distance réduite AM mesuré

orientement de la direction AM mesuré

La réalisation d’un levé topographique nécessite donc le développement des techniques de

mesure d’angles et de distances.


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LE THÉODOLITE

Un théodolite est un appareil permettant de mesurer des angles horizontaux (angles projetés

dans un plan horizontal) et des angles verticaux (angles projetés dans un plan vertical). Le terme

théodolite regroupe l’ensemble des appareils à lecture «mécanique »par vernier gradué en

comparaison aux appareils «électroniques», dont la lecture se fait sur un écran à affichage

numérique. La mécanique de base des théodolites électroniques est souvent la même que celle des

théodolites classiques.

PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT

La figure si dessous montre le schéma de principe du fonctionnement d’un théodolite.

(P): Axe principal, il doit être vertical après la mise en station du théodolite et doit passer par

le centre de la graduation horizontale (et le point stationné).

(T): Axe secondaire (ou axe des tourillons), il est perpendiculaire à (P)et doit passer au centre

de la graduation verticale.

(O): Axe optique (ou axe de visée), il doit toujours être perpendiculaire à (T), les trois axes

(P),(T)et (O)devant être concourants.

L'alidade : C’est un ensemble mobile autour de l’axe principal (P) comprenant le cercle

vertical, la lunette, la nivelle torique d’alidade et les dispositifs de lecture (symbolisés ici par des

index).

Le cercle vertical (graduation verticale). Il est solidaire de la lunette et pivote autour de l’axe

des tourillons (T).

Le cercle horizontal ou limbe(graduation horizontale). Il est le plus souvent fixe par rapport à

l’embase mais il peut être solidarisé à l’alidade par un système d’embrayage


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CARACTERISTIQUES DES THEODOLITES


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ANGLES HORIZONTAUX ET ORIENTATION

ANGLE HORIZONTAL

1- Définition

L’angle horizontal entre deux directions SA et SB est par définition l’angle compris entre les

deux plans verticaux passant par ces directions. C’est encore l’angle formé par les projections des

deux directions sur un plan horizontal.

2- Principe de mesure

Les angles horizontaux peuvent être enregistrés de deus manières différentes :

Observés et dessinés directement sur une feuille de papier placée sur une

planchette horizontale. L’instrument utilisé est un goniographe composé d’un

trépied, d’une planchette, d’un organe de visée et d’une règle.

Mesurés à l’aide théodolites dont les lectures se font à l’aide de microscopes.

Le chois de la méthode d’observation angulaire dépendra de l’instrument utilisé et de la

précision recherchée.

3- Mesure

L'objectif est de connaître l'angle ܣ መܵܯ défini par les deux directions SM et SA, dans le plan

horizontal. L'outil qui permet d'en effectuer sa mesure, c'est le théodolite. Il peut être gradué en

degrés ou en gons (grade) pour les plus courants.


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Deux sortes d'entités :

Les lectures faites au regard des segments définissants les directions ( LAH et LMH )

L'angle (), lui même, qui sert à se donner une idée de "l'écartement" d'un secteur. Il est

obtenu en faisant la différence entre les lectures. Trois cas possibles:

La direction zéro sur la direction SA

La direction zéro entre la direction SA et la direction AM


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La direction zéro la direction SA

On a d’après les figures si dessus l’angle horizontal entre les deux directions SA et SM est

déterminer par la formule suivant :

=

ORIENTATION D’UNE DIRECTION

1- Orientement ( d ‘une direction

L’orientement SA de la direction SA est par définition l’angle horizontal compris entre l’axe

des X (Nord géographique ou nord Lambert) et la direction SA. Cet angle est mesuré dans le sens de

rotation opposé des aiguilles d’une montre (sortant du nord ver la direction)

La valeur de l’orientement comprise entre zéro et 400 grade


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2- Gisement (G) d’une direction

Le Gisement GSA de la direction SA est par définition l’angle horizontal compris entre l’axe

des Y (nord géographique ou nord Lambert) et la direction SA. Cet angle est mesuré dans le sens de

rotation des aiguilles d’une montre. (Sortant du nord ver la direction)

La valeur du Gisement comprise entre zéro et 400 grade

Remarque : dans la suite du cours on va utilisés l’orientement. (On trouve le Gisement avec

la relation : GSA = 400 - SA)

3- L’orientement inverse ou arrière

L’orientement inverse ou arrière de la direction SA est l’orientement de la direction AS. (AS)

AS = -------------------------

Donc SA = -------------------------

D’où la formule général e ij =ji ± --------------------------


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4- Calcul de l’orientement d’une direction

Considérons deux points S et A dont on connaît les coordonnées rectangulaires XS, YS, XA et YA

dans le STT. Ces deux points définissent la direction SA. Le calcul de l’orientement SA de la direction

SA se fait de la façon suivantes :

Calculer les XSA = XA - XS et YSA = YA - YS (toujours dans le sens extrémité (A)

moins origine(S)).

Indiquer le signe de XSA et YSA.

Situer sur le tableau ci dessous, la direction SA en positionnant l’origine (S) à

l’intersection des axes X et Y. (A = AI ou AII ou AIII ou AIV)

Calculer l’angle u à partir de la formule tg(u) = --------------------------------------

Déterminer l’orientement SA à partir de u selon le cadran se où se trouve la

direction SA


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5- Détermination de l’orientement d’une direction

Soit

l’angle horizontal entre les deux directions SA et SM mesuré avec un appareil de

mesure d’angle (théodolite).

SA l’orientement de la direction SA calculer (S et A connues en coordonnées

rectangulaire) ou donnée.

L’orientement SM de la direction SM est déterminé par la formule suivant :

EMPLOI D’UN THEODOLITE EN MODE GONIOMETRIQUE

1- Le de station.

Le « 0 » de 0 signifie "zéro". En fait ce 0 représentent la direction donnée par la graduation

"0" du limbe (rapporteur) horizontal qui sert à préciser l'orientation prise par la lunette d’un

théodolite. Il est un fait que ce rapporteur (limbe) n'est plus visible sur les appareils modernes mais

l’était sur les anciens. Ainsi, si on accole les deux termes pour obtenir "0", on obtient, pour la

signification : l’orientement de la direction donnée par le "zéro" du limbe horizontal. Il faut ensuite

préciser, bien sûr en quelle station (ici S).

Comment déterminer le o en une station: (ici S) vous mettez en station, votre théodolite,

sur l'une des extrémités d’une direction connue (par son orientement ici : SA) Vous effectuez, avec

toutes précautions d'usage, le pointe sur A puis ensuite la lecture angulaire (LAH) correspondante, sur

le limbe horizontal. Cette seule opération sur le terrain, permet de calculer leo en S.


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L’orientement0 de la direction zéro est déterminer par la formule suivant :

En une station telle que S, les opérateurs procèdent généralement par rayonnement, c'est à

dire pointent successivement sur les détails tels que M, N, Q, ..... etc. Ils enregistrent donc, sur chacun

d'eux, les lectures faites sur le limbe horizontal: LMH

LNH

LQH. ......, Les éléments connus sont donc

maintenant. o en S, LMH

LNH

LQH. ......, On peut donc calculer, SM, SN et SQ .......

On peut donc se rendre compte que la valeur de o intervient dans le calcul de chacune des

directions et il peut y en avoir beaucoup en une station. C'est ce qui fait son intérêt !


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2- Le moy

de station

Nous avons vu- ci-dessus, que le calcul de l’orientement de chaque direction rayonnée telle

que SM, SN, SQ, ……. dépend de la valeur de de la station S (c'était même son intérêt). Mais si vous

commettez une erreur ou une faute sur celui-ci, vous imaginez les conséquences sur toutes les

directions rayonnées. En conséquence, l’ingénieur doit prendre un certain nombre de précautions

pour être sûr de son 0. Il doit donc le déterminer plusieurs fois. S'il y a plusieurs points connus tels

que A, B, C,… alors l'opérateur pointera successivement ces points connus et enregistrera les lectures

horizontaux. LAH

LBH

LCH.... (Il est nécessaire de réaliser un minimum de trois déterminations de de

station à partir de trois directions connus) On a :

Là. S’arrête la comparaison avec le raisonnement précédent. En effet les pointés n'ont, fort

probablement, pas été faits dans les mêmes conditions car les points visés sont à différentes

distances et sûrement de natures différentes. Nous permet d'adopter un calcul dit de "moyenne

pondérée".

)(. 000

0SCSBSA

CSCBSBASAmoy

DDDDDD

ANGLES VERTICAUX

Les théodolites ou tachéomètres ont en plus de leur fonction "goniomètre" une

fonction "éclimètre", c'est à dire qu'ils permettent la mesure des angles verticaux. Cependant, on

définit 3 angles :

L'angle zénithal (z) : C'est l'angle de la visée avec la verticale ascendante.


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L'angle nadiral (n): C'est l'angle de la visée avec la verticale descendante.

Le site (i) : appelée également angle de hauteur, c'est l'angle de la visée avec

l'horizontale.

Une même direction de visée peut donc être appréciée de plusieurs manières. Les différentes

valeurs dépendront, bien sûr, de l'origine mais aussi du sens de graduation que l'on peut initialiser

dans les stations modernes. Les relations liant ces trois formulations en dépendront aussi.


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MESURE DES DISTANCES

En topométrie, l'expression «distance entre deux points » signifie toujours la distance

horizontale entre ces deux points. Si les points sont situés chacun à une altitude différente, la distance

horizontale cherchée est la projection orthogonale entre ces deux points. Par conséquent, la mesure

linéaire est toujours ramenée à l’horizontale, soit par calculs, soit par la technique de chaînage

employée lors du mesurage. La mesure des distances est conditionnée par le degré de précision

chercher qui est lui même varie selon la nature des travaux à réaliser. La détermination de la

grandeur linéaire s'effectue de deux façons : par la mesure directe ou par la mesure indirecte.

LES INSTRUMENTS DE MESURES

1- Le ruban

Il est en acier ou en inox de longueurs 10, 20, 30 ou 50m, il est bien adapté pour tous les

travaux topo-métriques.

2- La roulette

Montée dans une boîtier avec ou sans manche, elle est d’un emploi plus aisé. Elle est, soit

d’un ruban plastifié soit d’un ruban d’acier de 10, 20, 30 ou 50 m.

3- Les distancemètres (Les tachéomètres).

On classe les tachéomètres électro-optiques en trois catégories :

Les tachéomètres modulaires, l’instrument de mesure électronique des longueurs

est indépendant du théodolite.

Les tachéomètres intégrés.

Les tachéomètres électroniques compacts.

Emplacement de la

fiche


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3.1- Les tachéomètres modulaires

Ces instrument de conception relativement ancienne (1968) on été perfectionnés et sont très

utilisés. Les théodolites avec affichage numérique comprennent des tachéomètres de précision

moyenne adaptés aux travaux de chantier, ainsi que des tachéomètres de grande précision qui

peuvent devenir enregistreurs programmables par adjonction de terminaux de terrain.

3.2- Les tachéomètres intégrés

Il ne permet pas la séparation physique du théodolite et de distancemètres mais ils peuvent

fonctionner séparément.

3.3- Tachéomètres électroniques compacts (station total)

Un tachéomètre électronique compact comprend : un théodolite électronique, un

distancemètres et un calculateur, qui transmet les données à l’enregistreur


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CALCULS DE RÉDUCTION

1- Objectifs

De la distance mesurée sur le terrain à la distance sur le plan ou la carte

De la distance sur le plan à la distance d’implantation ou à contrôler sur le terrain

2- CALCULS DE RÉDUCTION

Les mesures directes et indirecte se font généralement selon la pente du terrain. Or

lorsqu’on reporte en projection une longueur AB mesurée selon la pente du terrain il ya lieu de lui

apporter les trois rédiction suivantes. DPDhD0 Dr. (Une distance, mesurée sur le terrain, doit

subir quelques étapes de traitements numériques avant d'être introduite dans les calculs (ou reportée

sur un plan). L'ensemble de ces étapes s'appelle "la réduction des longueurs".)

2-1 RÉDUCTION A L'HORIZON

Dp : distance selon la pente entre deux

points A et B.

Dh : distance réduite a l’horizon

D0 : distance réduite au niveau zéro

Dr : distance réduite à la projection

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2-2 RÉDUCTION AU NIVEAU ZE

2-2 RÉDUCTION AU NIVEAU ZERO

1- Mesure d’une distance par chaînage

CHAÎNAGE : Mesure directe des distances au moyen d'un ruban. Le

plat : ruban posé sur le sol ou par ressauts horizontaux.

1-1- Chaînage suivant la pente.

C’est un procédé qui consiste à placer sur cet alignement un certain nombre d’objet qui

facilitent la mesure des distances partielles. On peut ut

procédé simple. Mais peu pratique en terrain accidenté ou présentant des obstacles ( roches,

herbe,…) il permet de déterminer la distance selon la pente D

CHAPITRE 2: MESURE DES ANGLES ET

NIVEAU ZERO

NIVEAU ZERO

MESURE DIRECTE

Mesure d’une distance par chaînage

: Mesure directe des distances au moyen d'un ruban. Le chaînage peut être fait à

plat : ruban posé sur le sol ou par ressauts horizontaux.


facilitent la mesure des distances partielles. On peut utiliser soit des trépieds soit des jalons. C’est un


herbe,…) il permet de déterminer la distance selon la pente DP

MESURE DES ANGLES ET DES DISTANCES

chaînage peut être fait à


iliser soit des trépieds soit des jalons. C’est un


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1-2- Chaînage par CULTELLATION

Procédé de CHAÎNAGE (qui

terrain en pente, consistant à porter des longueurs de raban tendu horizontalement par ressauts

successifs à l'aide d'un FIL A PLOMB ou …..

1-3- Les erreurs est les fautes

Erreurs systématiques

Etalonnage, différence entre la longueur théorique et l

Dilatation, variation de longueur de l'acier suivant la température.

Erreurs accidentelles

Erreur de lecture de l'appoint

Erreur de coïncidence

Erreur d'alignement, Erreur due au défaut d'alignement des

Erreur d’horizontalité,

mesure.

2- Mesure électronique d’une distance

2-1- Principe de mesure du distance

C’est un appareil qui permet de mesurer électroniquement la distance selon la pente

deux points.

Appareils à impulsions.

Ces appareils fonctionnent comme des chronométrées.

électromagnétiques qui se propagent en ligne droite,

DrP

CHAPITRE 2: MESURE DES ANGLES ET

Chaînage par CULTELLATION

CHAÎNAGE (qui permet de mesurer directement da distance horizontal) en


A PLOMB ou ….. . On dit aussi CHAÎNAGE PAR RESSAUTS.


, différence entre la longueur théorique et la longueur réelle

m e s é talo n n é eC o rr r

c o m m e rc ialr

D x LD

L

variation de longueur de l'acier suivant la température.


Erreur de lecture de l'appoint

entre les portées successives

Erreur due au défaut d'alignement des portées successives.

, Erreur due au défaut d'horizontalité du ruban ou du fil

Mesure électronique d’une distance

Principe de mesure du distance-mètre.

C’est un appareil qui permet de mesurer électroniquement la distance selon la pente

Appareils à impulsions.

Ces appareils fonctionnent comme des chronométrées. Ils utilisent

qui se propagent en ligne droite, à une vitesse constante et connue.

vitessecourstempsdepar

r

rP .

2

Pour un ruban de longueur Lr, on a

MESURE DES ANGLES ET DES DISTANCES

permet de mesurer directement da distance horizontal) en


successives.

Erreur due au défaut d'horizontalité du ruban ou du fil pendant la

C’est un appareil qui permet de mesurer électroniquement la distance selon la pente entre

Ils utilisent les ondes

à une vitesse constante et connue.

ur un ruban de longueur Lr, on a


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Appareils à mesure de phase.

Le procédé de mesure consiste à comparer la phase de MODULATION de l'onde reçue à celle

de l'onde émise après le trajet aller-retour )( retourallerrP fD ou retouraller : différence de

phase entre l'onde émise et l'onde reçue.

2-2- Technique de mesure

Soit à mesurer la distance entre deux points A et B. On place un distance-mètre au point A et

un réflecteur au point B. (le réflecteur est constitué par des prismes qui renvoient un rayon réfracté

parallèlement au rayon incident).


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2-3- Les erreurs est les fautes

Les causes d'erreurs

Les appareils de mesure électronique sont très précis. La distance maximale qu'ils peuventmesurer est déterminée par trois facteurs : la construction de l'appareil, la cible (prismes) et lesconditions atmosphériques. La présence de fumée, de brume ou de pluie réduit de façonexponentielle la distance maximale.

Le manque de précision et les principales causes d'erreurs proviennent :

D'une mauvaise mise en station;

De la modification du réglage de la constante;

D'un mauvais ajustement de la correction atmosphérique;

D'un nombre de prismes non approprié;

Du manque de précision lors des visées;

De prismes mal centrés.

Tous ces points sont à surveiller attentivement.

Les fautes

Non parallélisme de l'axe optique de la lunette et de l'axe de l'émission -

réception d'un distance-mètre modulaire

Réflecteur vertical pour des visées inclinées


AtmosphériqueL'onde électromagnétique se propage en ligne droite à vitesse constante dans un milieu

homogène et isotrope d'indice de réfraction constant. L’indice de réfraction, dépend de la

température et de la pression ; la vitesse c de l'onde varie donc en fonction de la grandeur influence

constituée par ces deux paramètres atmosphériques, ce qui implique une modification de la longueur

d'onde = c/f Pour des mesures précises, faites dans des conditions de température et de pression

sensiblement différentes de celles retenues pour choisir la longueur d'onde, il faut donc appliquer

une correction atmosphérique, proportionnelle à la distance, calculée selon la formule utilisée

par le constructeur.

EtalonnageLa constante d'addition, ajoutée à la valeur mesurée pour obtenir la valeur réelle, dépend

des .caractéristiques optico-mécaniques de l'ensemble : distancemètre + réflecteur ; elle peut varier

manière importante, notamment dans le cas où on change de réflecteur,


Elles proviennent essentiellement des mesures de température et de pression, ainsi que des

erreurs de pointé et d'orientation du réflecteur.


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MESURE INDIRECTE

1- Visée horizontal stadimétrique

L’opérateur stationne en S à fin de mesurer la distance horizontal Dh et la mire se trouve en

M perpendiculaire à TH.

Dans le triangle THM2 on a : )2

(cot..2

Ddonc.2

)2

( 12h

12 AgD

Atgh

or )2

(cot Ag =

100 pour la plupart des Instruments d’ou on a Dh = 100 ( 12 ).

2- Mesure de distance pour un point inaccessible.

Soit a mesurer entre un point A stationnable et un point M inaccessible la distance réduite à

l’horizontale Dh(A,M). On utilise une station auxiliaire B telle que la distance Dh(A,B) puisse être

mesurée avec précision. On mesure également les angles horizontaux en A et B

Pour calculer la distance horizontale Dh (A,M) On applique la relation des sinus. Et on aboutit

aux expressions suivantes.


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TRAVEAUX DIRGE

Exercice 1

Soient A, B, D et E quatre points ayant pour coordonnées dans le système S.T.T :

On a réalisé les mesures suivantes avec une station totale dont le cercle horizontal est gradué dans le

sens des aiguilles d’une montre.

1. Calculer o moyen de la station A2. Déterminer les orientements des directions AM, AC et CM . Faites un croquis tout en

indiquant :Le nordLe zéro du cercle horizontalLes orientements des directionsLectures horizontales des directions

3. Calculer la distance horizontale entre les points A et C .4. Calculer la distance horizontale Dh (A,M) .5. Calculer la distance réduite à la projection Dr (A,M) sachant que :

Le rayon de la terre est de 6371 Km.L’altitude moyenne de la région est de 458m.

L’altération linéaire est de – 35cm/Km

Exercice 2

A l'aide d'un ruban d'acier de 50 m dont la longueur étalonné est de 49,993 m, on a mesuré 2 fois unedistance AB selon la pente. Celte pente est régulière de A vers C, de C vers D. et de D vers B

On a réalisé les mesures suivantes : Pour AC : 292.84 m puis 292,86 mPour CD : 107,22 m puis 107,19 mPour DB : 302,19 m puis 302,16 m

1°) Calculer la distance horizontale AB. On donne : HAC = 3,234 m

HCD = 2,324 m

HDB = 4,255 m2°) Calculer la distances réduite à la projection Dr (A , B) sachant queLe rayon de la terre est de 6371 kmL'altération linéaire est de -20 cm/kmHmoy = 376 M


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Exercice 3

Soient A un point connu accessible ayant pour coordonnées dans le système S.T.T (XA = 5089,14m ; YA

= 4878,06m) et M un point inconnu inaccessible. Affin de déterminer l’orientement de la direction A-M, on

utilisé trois points connus R1, R2 et R3 ayant pour coordonnées dans le système S.T.T

Pour déterminer la distance horizontal Dh(A-M), on a utilisé un point auxiliaire B accessible. En outre

on a réalisé les mesures suivantes avec une station totale dont le cercle horizontal est gradué dans le sens des

aiguilles d’une montre.

1- Déterminer :

a) Le o moyen de la station A

b) L’orientement A-M de la direction A-M

2- Calculer

a) La distance horizontale moyenne Dhmoy (A , B) entre les points A et B

b) La distance horizontale Dh(A,M) entre les points A et M

3- Calculer la distance réduite à la projection Dr (A,M) sachant que :

Le rayon de la terre est de 6371 Km.

L’altitude moyenne de la région est de 653m.

L’altération linéaire est de – 30 cm/Km

4- Calculer les altitudes des point B et M sachant que HA = 140,426 m

Exercice 4

Pour déterminer la hauteur d’une antenne de télévision, deux points A et B sont implantés à D = 60 m

l’un de l’autre sur une droite passant par le pied de l’antenne. Un opérateur mesure au moyen d’un théodolite

les angles verticaux ZAP, ZAR, ZBP et VBR : ces angles sont lus sur le sommet de l’antenne grâce à deux stations

effectuées en A puis en B.

Mesures :ZAR = 99,854 gr ;ZAP = 74,327 gr;ZBR = 104,311 gr ;ZBP = 58,512 gr ;D = 60 m.On vous demande de :

Calculer la hauteur h de l’antenne


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Exercice 5

Soient 2001 et 2002 deux points ayant pour coordonnées dans le système S.T.T :

On a réalisé les mesures suivantes :

Sachant que : Dr = D0 = Dh1- Calculer les distances Dr (2001, 1) et Dr (2001, 2)2- Calculer les orientements des directions 2001-1 et 2001-23- Calculer les coordonnées des points 1 et 2. déduire la distance Dh (1,2)

Exercice 6

Un chemin de 12m de large coupe l’axe d’une voie ferrée en A1 et A2, sous un angle de 25 grades. On

connaît les coordonnées de 2 points (A et B) de l’axe de cette voie. On veut raccorder à cette voie existante une

2ème voie par un tronçon circulaire. Le raccordement circulaire de rayon 55m se fera au point de tangence T à

45m de A.

Calculer :

a) L’orientement de la direction ABb) La distance horizontale de contrôle A1M1, la distance horizontale d’implantation AM1 et

l’orientement de la direction AM1c) La distance horizontale de contrôle A2M2, la distance horizontale d’implantation AM2 et

l’orientement de la direction AM2


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Exercice 7

On se propose de mesurer l'altitude de certains points caractéristiques de la façade du bâtiment

schématisé ci-dessous pour vérifier la conformité de la construction avec le permis de construire.

Un topographe a réalisé les opérations suivantes avec un théodolite gradué dans le sens des aiguilles

d'une montre :

II a mesuré les distances selon la pente Dp(AM) et Dp(AB) avec un ruban métallique. Il a obtenu les

résultats suivants : Dp(AM) = 43,420 m et Dp (AB) = 56,92m.

Calculez la dénivelée entre A et M, déduisez la distance horizontale Dh(A,M) puis calculez la hauteur MP

ainsi que l'altitude du point P. On donne : HA =125,63m

Calculez l’altitude du point N avec contrôle

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