Chapitre 2 : OpenGL 3D Elimination parties cachées ...aubert/m3ds/m3ds_openGL3D.pdf · P0=TP avec...

Chapitre 2 : OpenGL 3DElimination parties cachées - Projection - Eclairement

Modélisation 3D et Synthèse

Fabrice [email protected]

Master Informatique

2015-2016

F. Aubert (MS2) M3DS/ 2 - OpenGL 3D 2015-2016 1 / 60

[email protected]

Objectifs

I Briques élémentaires pour la visualisation 3D :

• Elimination des parties cachées (Depth Buffer).• Coordonnées homogènes d’un point.• Systèmes de coordonnées Eye Coordinates, Clip Coordinates, NDC,

Window Coordinates.• Définition d’un volume de visualisation (projection orthogonale et perspective)• Correction de perspective.• Eclairage (modèle de Phong)


1 Elimination parties cachées


Fragment

I Toutes les valeurs d’un pixel (composantes rouge, vert, bleu, alpha, ...) sont regroupéessous le nom de fragment.

I Les fragments de chaque pixel sont mémorisés dans un ou plusieurs buffers : par exemple,la couleur (4 composantes) de chacun des pixels est mémorisée dans le COLOR BUFFER.

I Pour un pixel, le fragment mémorisé est appelé fragment destination (i.e. les valeurscourantes du pixel).

I Le fragment obtenu après le fragment shader est appélé fragment source (i.e. celui quiest en train d’être tracé).

I Remarque : le COLOR BUFFER est initialisé par glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); avecles couleurs spécifiées par glClearColor(r,v,b,a).


Mise à jour des fragments : exemple

_pos i t ionData ={−0.8 ,0.0 ,−0.3 , / / ve r tex 0 / / f i r s t t r i a n g l e0.3 ,−0.7 ,−0.3 , / / ve r tex 10.0 ,0.9 ,−0.3 , / / ve r tex 2

−0.2 ,−0.5 ,0.4 , / / ve r tex 3 / / second t r i a n g l e0 .3 ,0 .4 ,0 .4 , / / ve r tex 40.2 ,−0.9 ,0.4 / / ve r tex 5

} ;_colorData ={

1 ,0 ,0 ,1 , / / co l o r red / / f i r s t t r i a n g l e1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,

0 ,0 ,1 ,1 , / / co l o r blue / / second t r i a n g l e0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,

} ;

I Chaque fragment tracé subit (après l’exécution du fragment shader) :

co lo r ( d e s t i n a t i o n ) <−− co lo r ( source )

I ⇒ la couleur du pixel tracé remplace la précédente

I Conséquence : a la fin, c’est le dernier pixel tracé qui est affiché.


Depth BufferI En chaque pixel est mémorisée la valeur de profondeur (la coordonnée z en Window Coordinate qui est comprise

entre 0 et 1 : cf cours précédent) dans le DEPTH BUFFER.I Remarque : l’ensemble des buffers qui mémorisent l’ensemble des données des pixels est appelé FRAME BUFFER

(regroupe le COLOR BUFFER, DEPTH BUFFER, et... d’autres possibles).I On peut activer un test et une mise à jour sur ces valeurs de profondeur.

void GLAppl icat ion : : i n i t i a l i z e ( ) {g lC lea rCo lo r ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ;g lClearDepth ( 1 . 0 ) ;

g lEnable (GL_DEPTH_TEST ) ; / / enables depth opera t ions

glDepthFunc (GL_LESS ) ; / / t e s t = depth ( src ) < depth ( ds t )glDepthMask (GL_TRUE ) ; / / enables f o r w r i t i n g

. . .}

void GLAppl icat ion : : draw ( ) {g lC lea r (GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT ) ;. . .

}

I Chaque fragment tracé subit (après l’exécution du fragment shader) :

Si depth ( src ) < depth ( ds t ) A lo rsdepth ( ds t ) <−− depth ( src )co l o r ( ds t ) <−− co lo r ( s rc )

Fin Si

I ⇒ la couleur du pixel tracé remplace la couleur précédente uniquement s’il a une profondeur inférieure.


Elimination des parties cachées

I Cet "algorithme" simple permet d’obtenir l’élimination des parties cachées (algorithme dudepth buffer ou du Z-buffer).

I Autre exemple :

_pos i t ionData ={−0.8 ,0.0 ,−0.3 , / / V0 / / f i r s t t r i a n g l e0.3 ,−0.7 ,0.8 , / / V10.0 ,0.9 ,−0.3 , / / V2

−0.2 ,−0.5 ,0.4 , / / V3 / / second t r i a n g l e0 .3 ,0 .4 ,0 .4 , / / V40.2 ,−0.9 ,0.4 / / V5

} ;


Calcul de la profondeur

I La profondeur de chaque fragment source est obtenue :

• par l’interpolation linéaire de gl_Position.z du vertex shader (à préciser :correction de perspective vue plus loin). Pour rappel :

# vers ion 130

i n vec3 p o s i t i o n ; / / a t t r i b u t ( x , y , z )

void main ( ) {g l _ P o s i t i o n =vec4 ( pos i t i on , 1 . 0 ) ; / / ( x , y , z ,w=1.0)

}

• puis en reportant cette valeur interpolée sur [0,1] (Window Coordinates).

I C’est la valeur de profondeur en Window Coordinates qui est mémorisée/testée.

I Remarque : la profondeur est disponible (en lecture seule) dans le fragment shader par lavariable prédéfinie gl_FragCoord.z (donc comprise entre 0 et 1).


2 Coordonnées homogènes


Représentation d’un point 3D par 4 coordonnées

I Représenter un point 3D (x ,y ,z) en coordonnées homogène consiste à ajouter une 4ième coordonnée w (différentede 0).

I Passer des coordonnées 3D en coordonnées homogènes :

P3D =

xyz

⇐⇒ PH =

xwywzww

avec w ∈ R∗(w 6= 0)

I Au plus simple : prendre w = 1.0 (point homogène dit normalisé).I Passer des coordonnées homogènes en coordonnées 3D :

PH =

xyzw

⇐⇒ P3D =

x/wy/wz/w

I Intérêt ? ? Toute transformation affine (translation, rotation, changements d’échelle, projections, composition de ces

transformations, ...) se traduiront avec une unique matrice 4×4 (sera détaillé dans le chapitre "transformations etchangements de repères").

I Un même point 3D a donc une infinité de représentation en homogènes (ex : (2,3,4,1) ; (4,6,8,2) ; (3,4.5,6,1.5) sontdes représentations du même point 3D (2,3,4) ).

I Remarque : on différencie les points (qui ont une coordonnée w 6= 0) et les directions (en posant w = 0 et lescoordonnées (x ,y ,z) restent identiques). Ex : (3,4,2,0) représente le vecteur 3D (3,4,2).


Coordonnées homogènes et vertex shader

# vers ion 130

i n vec3 p o s i t i o n ; / / a t t r i b u t ( x , y , z )

void main ( ) {g l _ P o s i t i o n =vec4(10.0∗ pos i t i on , 1 0 . 0 ) ; / / même po in t que vec4 ( pos i t i on , 1 . 0 )

}

I les coordonnées de gl_Position sont appelées clip coordinates (car clipping des triangles effectué avec cescoordonnées homogènes).

I les coordonnées de gl_Position.xyz/gl_Position.w sont appelées Normalized Device Coordinates ou NDCI Rappel : "Normalized" car seuls les points de coordonnées 3D (x ,y ,z) ∈ [−1,1] sont visibles.


Exemple calcul en coordonnées homogènes : translation

I On souhaite déplacer les points par une translation de vecteur T =

TxTyTz

.

��

��

x ′ = x +Txy ′ = y +Tyz′ = z +Tz

P′ = P +T


Translation en coordonnées homogènes

I On peut traduire cette translation avec les coordonnées homogènes de la façon suivante :x ′

y ′

z′

w ′

=

1 0 0 tx0 1 0 ty0 0 1 tz0 0 0 1

xyzw

(produit de matrice)

C’est à dire :P′ = TP

avec

T =

1 0 0 tx0 1 0 ty0 0 1 tz0 0 0 1

I La matrice 4x4 T est appelée matrice homogène (translation ici).

I Exercice : vérifier qu’on obtient bien la translation "usuelle" P′ = P +T

I Exercice : l’appliquer à une direction u =−→AB.


Exemple OpenGL

_pos i t ionData ={−0.8 ,0.0 ,−0.9 , / / ve r tex 0 / / f i r s t t r i a n g l e ( red )0.3 ,−0.7 ,0.8 , / / ve r tex 10.0 ,0.9 ,−0.3 , / / ve r tex 2

−0.2 ,−0.5 ,0.4 , / / ve r tex 3 / / second t r i a n g l e ( blue )0 .3 ,0 .4 ,0 .4 , / / ve r tex 40.2 ,−0.9 ,−0.4 / / ve r tex 5

} ;

Translation de vecteur (0.6,−0.4,−0.2)(pour l’ensemble des sommets)

I ⇒ passer une matrice de transformation homogène au vertex shader.


Matrice et shader

I La matrice définie dans l’application cliente(attention : column-major order !)

s td : : vector < f loa t > _matr ix ;. . ._matr ix ={

1 . 0 ,0 .0 ,0 .0 ,0 .0 ,0 . 0 ,1 .0 ,0 .0 ,0 .0 ,0 . 0 ,0 .0 ,1 .0 ,0 .0 ,0.6 ,−0.4 ,−0.2 ,1.0

} ;. . .

I le vertex shader :

# vers ion 130

i n vec3 p o s i t i o n ; / / a t t r i b u t ( x , y , z )i n vec4 co lo r ; / / a t t r i b u t ( r , v , b , a )

out vec4 fCo lo r ;

un i form mat4 mat r i x ; / / no ter l e type

void main ( ) {fCo lo r = co lo r ;g l _ P o s i t i o n =mat r i x∗vec4 ( pos i t i on , 1 . 0 ) ;/ / no ter les opé r a t i o n s poss ib les en g l s l :/ / p r o d u i t ∗ sur les mat4

}

I le tracé (passer la matrice au vertex shader) :

g lC lea r (GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT ) ;

glUseProgram ( _program ) ;g lB indVer texAr ray ( _vao ) ;

i n t l o c a t i o n M a t r i x =glGetUni formLocat ion ( _program , " mat r i x " ) ;/ / paramè t r e s du glUni form un peu d i f f é ren t :g lUn i fo rmMat r i x4 fv ( l o ca t i on Ma t r i x , 1 ,GL_FALSE , ( const GLf loa t∗)_mat r ix . data ( ) ) ;glDrawArrays (GL_TRIANGLES, 0 , 6 ) ;

glUseProgram ( 0 ) ;g lB indVer texAr ray ( 0 ) ;


Remarques

I Cette approche sera généralisée pour toute transformation dans le prochain chapitre(représentation par une matrice).

I Remarquer que les données (les sommets) de l’application n’ont pas été modifiées.


3 Projection orthogonale


Objectif

I Revient à "ignorer" le z sur le schéma. Mais il faut conserver la profondeur pour l’élimination des parties cachées !I Donc rien à faire... (projection orthogonale déjà obtenue par gl_Position=vec4(position,1.0)).I ... cependant on introduit un volume de visualisation un peu plus souple et intuitive que les coordonnées normalisées

en introduisant la notion de caméra (= observateur = Eye).


Volume de visualisation

I On veut :

• un repère Eye direct (avec, intuitivement, X vers la droite, Y vers le haut, et, donc, ladirection du Z "vers l’arrière").

• un volume de visualisation défini par rapport à Eye avec des coordonnéesquelconques (paramètres near,far,left,right et top).

• Attention : near et far sont des "distances" "devant" Eye (et non des coordonnées z).Autrement dit, l’écran est en z=-near.

I ⇒ on définira les points à tracer dans le repère Eye (plutôt qu’en Normalized DeviceCoordinates)


Calcul projection orthogonale

I On se donne (left,right,bottom,top,near,far).

I Les sommets P sont donnés en Eye Coordinates : PEye.

I Si on donne PEye au vertex shader, on doit le convertir en Clip Coordinates PCC (i.e. pouraffecter gl_Position=(xCC ,yCC ,zCC ,wCC)).

I Commençons par calculer PEye en coordonnées normalisées PNDC

I Exemple pour coordonnée x : il suffit de reporter xEye ∈ [left, right] sur xNDC ∈ [−1,1](interpolation linéaire)

I Exercice : dans le cas général quel est le calcul pour reporter une valeur t de [a,b] sur[c,d] (linéairement) ?

xNDC = (xEye− leftright− left

)(1− (−1))+(−1)

⇒ xNDC = xEye2

right− left− right + left

right− left


Matrice de projection orthogonale

I Idem pour les 3 coordonnées (attention au changement de signe pour z : near et far sontdes "distances").

xNDC = xEye2

right−left −right+leftright−left

yNDC = yEye2

top−bottom −top+bottomtop−bottom

zNDC = zEye−2

far−near −far+nearfar−near

I Traduction en coordonnées homogènes ? (CC = Clip Coordinates)

xCCyCCzCCwCC

=

2

right−left 0 0 − right+leftright−left

0 2top−bottom 0 − top+bottom

top−bottom0 0 −2

far−near − far+nearfar−near

0 0 0 1

xEyeyEyezEye

wEye = 1.0

PCC = Projection×PEye

I Exercice : vérifier en effectuant le produit de matrice puis en divisant par la 4iemecoordonnée.


Shaders

I Les positions des sommets sont donnés au vertex shader dans le repère de la caméra(repère Eye).

I La variable gl_Position doit être en Clip Coordinates : faire le calcul précédent.

# vers ion 130

i n vec3 p o s i t i o n ; / / a t t r i b u t ( x , y , z )/ / supposé en Eye Coordinates

i n vec4 co lo r ; / / a t t r i b u t ( r , v , b , a )

out vec4 fCo lo r ; / / out pour ver tex , i n pour fragment

uni form mat4 p r o j e c t i o n ;

void main ( ) {fCo lo r = co lo r ;g l _ P o s i t i o n = p r o j e c t i o n∗vec4 ( pos i t i on , 1 . 0 ) ;

}

Application C++ :

i n t l o c a t i o n P r o j e c t i o n =glGetUni formLocat ion ( _program , " p r o j e c t i o n " ) ;g lUn i fo rmMat r i x4 fv ( l o c a t i o n P r o j e c t i o n ,1 ,GL_FALSE, _ p r o j e c t i o n . f v ( ) ) ;

/ / où _ p r o j e c t i o n est de classe Matr ix4 ( c f t ransparen t su ivan t )

glDraw . . . ( . . . ) ;


Classe Matrix4

I Classe Matrix4 pour gérer/calculer les matrices homogènes dans l’application C++ :

class Matr ix4 {private :

double _m[ 1 6 ] ; / / / < c o e f f i c i e n t s ( major−column order ). . .

public :/ / / r e tu rns an or thogonal p r o j e c t i o n mat r i xs t a t i c Matr ix4 fromOrtho ( double l e f t , double r i g h t , double bottom , double top , double znear , double z f a r ) ;

/ / / r e tu rns a p o i n t e r to f l o a t values o f the mat r i x (OpenGL copy purpose )f l o a t ∗f v ( ) ;

. . .}

Mat r ix4 Matr ix4 : : fromOrtho ( double l e f t , double r i g h t , double bottom , double top , double znear , double z f a r ) {Mat r ix4 mat ;mat . row ( 0 , 2 . 0 / ( r i g h t− l e f t ) ,0 ,0 ,−( r i g h t + l e f t ) / ( r i g h t− l e f t ) ) ;mat . row (1 ,0 , 2 . 0 / ( top−bottom ) ,0 ,−( top+bottom ) / ( top−bottom ) ) ;mat . row (2 ,0 ,0 ,−2.0/( z fa r−znear ) ,−( z f a r +znear ) / ( z fa r−znear ) ) ;mat . row (3 ,0 ,0 ,0 ,1 ) ;return mat ;

}

Dans GLApplication :

p3d : : Mat r ix4 _ p r o j e c t i o n ; / / member. . ._ p r o j e c t i o n =Matr ix4 : : fromOrtho (−10 ,10 ,−10 ,10 ,0 ,100);


Exemple : paramètres (left,right,bottom,top,near,far)

_pos i t ionData ={−6,−2,−3, / / ve r tex 0 / / f i r s t t r i a n g l e ( red )0 ,3 ,−30 , / / ve r tex 15,−9,−15, / / ve r tex 2

5 ,8 ,−10 , / / ve r tex 3 / / second t r i a n g l e ( blue )15 ,2 ,−10 , / / ve r tex 4−2,−8,−20 / / ve r tex 5

} ;_ p r o j e c t i o n =Matr ix4 : : fromOrtho (−10 ,10 ,−10 ,10 ,0 ,100);

_pos i t ionData ={−6,−2,−3, / / ve r tex 0 / / f i r s t t r i a n g l e ( red )0 ,3 ,−30 , / / ve r tex 15,−9,−15, / / ve r tex 2

5 ,8 ,−10 , / / ve r tex 3 / / second t r i a n g l e ( blue )15 ,2 ,−10 , / / ve r tex 4−2,−8,−20 / / ve r tex 5

} ;_ p r o j e c t i o n =Matr ix4 : : fromOrtho (0 ,5 ,−7 ,−2 ,0 ,100);

I Remarque : noter l’effet de zoom ici.


4 Projection perspective


Exemple

_pos i t ionData ={−10,−10,−3,−10,10,−3,−1,−10,−3,−1,10,−3,

1,−10,−10,1 ,10 ,−10 ,10,−10,−10,10,10,−10


_pos i t ionData ={−10,−10,−3,−10,10,−3,−1,−10,−3,−1,10,−3,

1,−10,−10,1 ,10 ,−10 ,10,−10,−10,10,10,−10

} ;_ p r o j e c t i o n =Matr ix4 : : fromFrustum (−1 ,1 ,−1 ,1 ,0.1 ,100);


Exemple

_pos i t ionData ={−10,−10,−2,−10,10,−10,−2,−10,−2,−2,10,−10,

1,−10,−5,1 ,10 ,−5 ,10,−10,−2,10,10,−2


_pos i t ionData ={−10,−10,−2,−10,10,−10,−2,−10,−2,−2,10,−10,

1,−10,−5,1 ,10 ,−5 ,10,−10,−2,10,10,−2

} ;_ p r o j e c t i o n =Matr ix4 : : fromFrustum (−1 ,1 ,−1 ,1 ,0.1 ,100);


Projection perspective

I Exercice : quelle est la tranformation à appliquer à P(x ,y ,z) pour obtenir P′(x ′,y ′,z′)?(projection sur le plan −near ).

I Exercice : exprimer cette transformation en coordonnées homogènes.


Calcul

I Droite de projection :P′ = O+λ

−→OP

I avec z′ =−near .

I z′ = λz =−near ⇒ λ = −nearz

I x ′ = x×near−z et y ′ = y×near

−z

I Passer en coordonnées homogènes ?

P′ =

x×neary×nearz×near−z

P ′ =

near 0 0 0

0 near 0 00 0 near 00 0 −1 0

P


Profondeur ?

I Avec ce calcul on perd la profondeur du point P (i.e. z ′ =−near pour tous les sommets).I Supposons, pour le moment, disposer de cette profondeur pour chacun des sommets : comment avoir la profondeur

pour chacun des pixels ?⇒ interpolation linéaire !I Exercice : profondeur z interpolée en Mp de M1, M2 et M3 ?

On devrait obtenir On obtiendra


Interpolation de la profondeur

I Même exercice mais en interpolant 1z ?

I L’interpolation du z donne une valeur fausse pour la profondeur des pixels en projectionperspective. Par contre 1

z est linéaire, et son interpolation donne une valeur correcte.

P ′ =

near 0 0 0

0 near 0 00 0 0 10 0 −1 0

P


Matrice de projection perspective (frustum)

I Comme pour la projection orthogonale, on définit un volume de visualisation souple pour laprojection perspective, tout en tenant compte de la profondeur en 1

z .

xCC

yCC

zCC

wCC

=

2 near

right−left 0 right+leftright−left 0

0 2 neartop−bottom

top+bottomtop−bottom 0

0 0 − far+nearfar−near −2 far∗near

far−near0 0 −1 0

xEye

yEye

zEye

wEye = 1.0


Correction perspective

I Le problème de l’interpolation en projection perspective existe aussi pour les coordonnéesde texture.


Correction perspectiveI Interpoler linéairement les coordonnées de texture fTexCoord (varying out du vertex shader) n’est pas correct.I Par contre : interpoler linéairement fTexCoord

z est correct.I Exemple :

I OpenGL interpole donc fTexCoord∗gl_Position.z à la sortie du vertex shader. Avant l’entrée dans le fragmentshader, OpenGL divise cette interpolation par l’interpolation de gl_Position.z pour obtenir fTexCoord (correct) enentrée du fragment shader.

I ⇒ il en est de même pour tous les varyings ! (par défaut : voir qualifiers flat, perspective, noperspective).I Cette opération s’appelle la correction de perspective (remarque : effectuée même s’il n’y a pas de projection

perspective...).


Résumé du pipeline

I OpenGL :

I Coordonnées :


5 Eclairement


Eclairement

I Si les triangles sont remplis, il est nécessaire d’avoir une simulation d’éclairage pour avoirune perception correcte de la forme 3D.

⇒ calcul de la couleur provenant de 2 contributions : réflexion diffuse (couleur mat) etréflexion spéculaire (couleur brillante = tâche spéculaire).


Produit scalaire (dot product)

I Apparait pour : équations algébriques (plan), test d’intersection, test de localisation (d’unpoint par rapport à un plan, ...), éclairement (angle d’incidence de la direction d’éclairementsur un objet), orientation (tests de directions « opposées » ), ...

Soient u =

ux

uy

uz

, v =

vx

vy

vz

:

I Le produit scalaire donne un nombre.

I u · v = ux vx +uy vy +uzvz (calcul valable uniquement dans un repère orthornormé).

I Norme d’un vecteur : ‖u‖=√

u ·u =√

ux ux +uy uy +uzuz

I Normer un vecteur u signifie le « rendre »de norme 1 (ou unitaire) : u′ = u‖u‖

I Autre calcul du produit scalaire : u · v = ‖u‖‖v‖cos(u,v)

I Si u et v sont normés, u · v ∈ [−1,1]


Interprétation du produit scalaire

I Projection :

u

v

h

I u · v = u ·hI ‖h‖= |u·v |

‖u‖

I Si u est unitaire : h = (u.v)u

I Angle et localisation :

u · v = 0 (orthonormal) u · v > 0 (aigu) u · v < 0 (obtus)

I Si u et v unitaires alors u · v = cos(u,v) (donne un nombre dans [−1,1].

I acos(u · v) donne alors l’angle entre u et v dans [0,π].


Produit vectoriel (cross product)

I Apparait pour : détermination de normales (vecteur orthogonal à un plan), construction devecteurs (repères par exemple), construction d’orientations (définition d’un sensdirect-indirect), ...

Soient u =

uxuyuz

, v =

vxvyvz

: w = u× v =

uy vz − vy uzuzvx − vzuxux vy − vx uy

u

v

u∧v

I Si u et v colinéaires (i.e. u = λv ) alors u× v = 0

I w est orthogonal à u et v .

I w est orienté tel que (u,v ,w) est direct (rêgle de la maindroite)

I ‖w‖= ‖u‖‖v‖|sin(θ)|


Remarques sur le produit vectoriel

I Attention le produit vectoriel est non commutatif : u× v =−v×u (changement de signe).

I Un vecteur orthogonal à un polygone est appelé une normale et peut être calculé parproduit vectoriel si on connait les sommets.

I Exemple d’un triangle (A,B,C) : n =−→AB×−→BC est une normale.

I La normale d’un triangle (A,B,C) sera dite directe si les sommets A, B et C sont décritsdans le sens trigonométrique par rapport à la normale (en regardant la normale pointéevers soi).

I sens trigonométrique = sens contraire des aiguilles d’une montre.

N

A

B

C


Classe Vector3

I Nécessité d’une classe sur les points et les vecteurs.I On confond généralement points et vecteurs dans la même classe (à l’utilisateur de savoir

ce qu’il manipule).

class Vector3 {private :

double c [ 3 ] ; / / c [ 0 ] = x , c [ 1 ] = y , c [ 2 ] = z

public :/ / / cons t ruc ts the vec to r ( x , y , z )Vector3 ( double x , double y , double z ) ;/ / / g e t t e r sdouble x ( ) const ;double y ( ) const ;double z ( ) const ;/ / / s e t t e r svoid x ( double k ) ;void y ( double k ) ;void z ( double k ) ;

/ / / r e tu rns the dot product a . bdouble dot ( const Vector3 &a , const Vector3 &b ) const ;

/ / / r e tu rns the cross product a x bVector3 cross ( const Vector3 &a , const Vector3 &b ) const ;

/ / / f u n c t i o n add : p=p1+p2f r i e n d Vector3 opera tor +( const Vector3 &a , const Vector3 &b ) ;

. . .

} ;

I Remarque : ces opérations existent en GLSL pour manipuler le type vec3.


Eclairement

I Pour ajouter du réalisme et pour la perception de la 3D, on propose de calculer la couleurdes pixels pour simuler un éclairement de la scène par des sources lumineuses.

⇒ calcul de la couleur provenant de 2 contributions : réflexion diffuse (couleur mat) etréflexion spéculaire (couleur brillante = tâche spéculaire).


Données

Les données nécessaires au calcul d’éclairement sont :I Les sources (principalement la position).

I Le matériel des objets (caractéristiques qui traduisent comment est réfléchie la lumière dessources).

I Les composantes (rouge, vert, bleu) qui apparaissent dans la suite sont comprises entre 0et 1.


Modèle d’éclairement

I On choisit le modèle empirique de Phong.

I Très simple, mais aussi très éloigné de la réalité.

I Le vecteur V est appelé vecteur d’observation, le vecteur L est appelé vecteurd’éclairement.


Intensité diffuse 1/2

I On suppose qu’un objet (un matériel) diffuse la lumière reçue de manière uniforme danstoutes les directions.

I L’intensité perçue ne dépend donc pas de la position de l’observateur par rapport au pointéclairé.

I L’intensité sera un nombre calculé entre 0 et 1 (1 = éclairement maximal, 0 = éclairementnul).


Intensité diffuse 2/2

I L’intensité dépend de l’angle d’incidence des rayons lumineux sur la surface de l’objet

• un éclairement direct (i.e. la lumière arrive orthogonalement à la surface) donne uneintensité maximale.

• un éclairement fuyant (i.e tangent à la surface) donne une intensité nulle.• ⇒ prise en compte de la normale N (i.e. vecteur orthogonal) à la surface au point P.• on souhaite que l’intensité varie « continuement »entre ces 2 positions extrèmes de la

manière la plus réaliste possible.


Calcul de l’intensité diffuse

I On supposera toujours que N et L sont normés pour ce calcul (‖N‖= ‖L‖= 1).

I Le calcul de l’intensité du diffus par cos(N,L) est un « bon »choix.

I Comme les vecteurs sont de norme 1 : cos(N,L) = N ·LI ⇒ il suffit de calculer N ·L.

I seul le « coté »dirigé par la normale est éclairé : intensité = max(dot(N,L),0.0) (siN ·L < 0 alors éclairement nul).

I ⇒ important de spécifier correctement le sens de la normale.


Traduction en OpenGL

I On se contente ici de calculer l’éclairement diffus uniquement aux sommets :• On donne le vecteur normal en chaque sommet (attribut du vertex shader).• On calcule l’intensité lumineuse dans le vertex shader.• ⇒ obtention d’une couleur en chaque sommet.

I La couleur des pixels lors de la rasterization est alors simplement obtenue par interpolationlinéaire des couleurs.

I ⇒ approximation convenable.

⇒ l’interpolation linéaire des couleurs, dans le cadre de l’éclairement est appeléeinterpolation de Gouraud.


Shaders

# vers ion 130

i n vec3 p o s i t i o n ; / / l a p o s i t i o ni n vec3 normal ; / / l a normale

uni form mat4 p r o j e c t i o n ;uni form vec3 l i g h t P o s i t i o n ; / / p o s i t i o n de l a source lumineuse

out vec4 fCo lo r ;

void main ( ) {vec3 L= l i g h t P o s i t i o n−P; / / L = Source−Pvec3 N=normal ;

L=normal ize ( L ) ;N=normal ize (N ) ;

f l o a t i n t e n s i t e = max( dot (N, L ) , 0 . 0 ) ;

fCo lo r = vec4 ( i n t e n s i t e , i n t e n s i t e , i n t e n s i t e , 1 ) ;

g l _ P o s i t i o n = p r o j e c t i o n∗vec4 ( pos i t i on , 1 . 0 ) ;}

# vers ion 130

i n vec4 fCo lo r ;

out vec4 f ragCo lo r ;

void main ( ) {f ragCo lo r= fCo lo r ;

}


MaterielI Pour avoir une couleur quelconque il suffit de multiplier l’intensité par la couleur souhaitée (cette couleur

diffuseColor fait partie des caractéristiques du matériel de l’objet tracé).

# vers ion 130

i n vec3 p o s i t i o n ; / / l a p o s i t i o ni n vec3 normal ; / / l a normale

. . .

un i form vec4 d i f f u s e C o l o r ;

void main ( ) {. . .

f l o a t i n t e n s i t e = max( dot (N, L ) , 0 . 0 ) ;

fCo lo r = i n t e n s i t e∗d i f f u s e C o l o r ;

g l _ P o s i t i o n = p r o j e c t i o n∗vec4 ( pos i t i on , 1 . 0 ) ;}


Normales 1/3

I On donne une normale à chaque sommet pour le calcul d’éclairement.

I Fournir le vecteur orthogonal au polygone tracé ?⇒ pas nécessairement (liberté totale dedonner la normale qu’on souhaite).


Normales 2/3

I Pouvoir spécifier une normale différente en chaque sommet permet d’obtenir uneapproximation de la forme courbe souhaitée.

I ⇒ permet d’obtenir une perception d’un objet lisse en calculant correctement les normales.


Normales 3/3

I Résultat pour le diffus :


Exemple de spécification des normales pour un objetcomplexe

I La normale de l’objet à représenter peut ne pas être connue et difficilement calculable.

I ⇒ Prendre la moyenne des normales aux facettes incidentes au sommet peut donner unebonne approximation de la surface lisse.


Effets « spéciaux »avec les normales

I Seule la normale traduit la forme géométrique courbe.

I Le calcul d’éclairement donne alors la perception de relief.

I il s’agit du principe appliqué par la technique dite du « Bump mapping » : spécifier lesnormales d’un relief sans toucher à la géométrie de l’objet.


6 FRONT/BACK


Orientation d’un triangle : FRONT/BACK

I Un polygone est dit frontal si sa projection à l’écran est orienté direct (est dit arrière sinon).


Remarques

I Pour les facettes convexes (V1,V2,V3, ...), le signe de V1projV2proj ∧V2projV3proj (=

déterminant) suffit pour déterminer si la facette est frontale ou non.

I Un point P est dit frontal s’il est élément d’une facette frontale.

I Si N est la normale directe (appliquée en P), alors P est frontal ssi V .N > 0.

I (⇒ on peut appliquer la notion frontal/arrière à des objets non décrits par polygones).


Propriété (back face culling)

I Pour une surface close (frontière entre l’intérieur et l’extérieur d’un volume) bien orientée(faces directes vers l’extérieur) et pour un observateur placé à l’extérieur du volume :

• une facette arrière correspond à la face intérieure au volume (i.e. le coté du polygonequi fait face à l’observateur est intérieur au volume).

• ⇒ les facettes arrières sont donc nécessairement occultées (i.e. l’observateur ne voitpas l’intérieur).

• ... donc inutile de les tracer⇒ élimination des faces arrières ou « back faceculling ».

I En OpenGL :• glCullFace(GL_BACK) ou glCullFace(GL_FRONT) pour indiquer les faces à

éliminer• glEnable(GL_CULL_FACE) pour activer l’élimination des faces arrières (élimine la

phase de rasterization sur les polygones arrières).F. Aubert (MS2) M3DS/ 2 - OpenGL 3D 2015-2016 60 / 60

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