Chapitre 2 Matrices - Laboratoire de...

Dpartement de mathmatiques et informatiqueL1S1, module A ou B

Chapitre 2

Matrices

Emmanuel Royer

[email protected]

[ \

Ce texte mis gratuitement votre disposition a t rdig grce au soutien deluniversit Blaise Pascal. Pour soutenir son laboratoire de mathmatiques, vous pouvezenvoyer vos dons par chque lordre de M. lagent comptable de luniversit Blaise Pascal ladresse suivante : Universit Blaise Pascal, Laboratoire de mathmatiques, Monsieurle directeur, Les Czeaux, BP 80026, F-63171 Aubire Cedex, France.

[ \

Ce texte est mis disposition selon le Contrat Attribution-NonCommercial 3.0Unported disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.fr ou par courrier postal Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, SanFrancisco, California 94105, USA. CC BY: $\

[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.frhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.fr

p. 2 Table des matires

Table des matires

1 Les matrices 31.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Matrices particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Matrices colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Matrices lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Matrices triangulaires infrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Matrices triangulaires suprieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.6 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.7 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.8 Matrice identit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.9 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Calcul matriciel 52.1 galit des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Addition des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Produit dune matrice par un lment de K . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Produit dune matrice ligne par une matrice colonne . . . . . . . 72.4.2 Produit dune matrice par une matrice colonne . . . . . . . . . . 72.4.3 Produit dune matrice par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.4 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.5 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.6 Inverse dune matrice carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.7 Transpose dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Systmes dquations linaires 163.1 Remarques gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Rsolution des systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Inversion de matrices 25

5 Dterminants 285.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Exercices 40

A Matrices lmentaires 45A.1 Dfinition et proprits lementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.2 Mise en chelons des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.3 Matrices lmentaires et inversibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.4 Systmes et oprations lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.5 Justification de la mthode dinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

B Dterminants 53B.1 Dterminant dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53B.2 Dterminant et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Rfrence Franois Liret & Dominique Martinais, Cours de mathmatiques, Algbre1re anne . Dunod.

1 Les matrices p. 3

Avertissement prliminaire. Dans tout ce chapitre, on fixe K lun des trois corps Q, Rou C. Ceci signifie que vous pouvez lire le chapitre en remplaant la lettre K par R puisle relire en remplaant la lettre K par C et le relire une troisime fois en remplaant lalettre K par Q.

1 Les matrices

1.1) Dfinition

On appelle matrice coefficients dans K la donne :

a) dun nombre p de colonnes ;

b) dun nombre n de lignes ;

c) dun ensemble de np coefficients de K rangs dans un tableau de n lignes et pcolonnes.

On numrote les coefficients avec deux indices : le premier indique le numro de laligne (on les numrote du haut vers le bas), le second le numro de la colonne (on lesnumrote de gauche droite). Ainsi, le coefficient aij est lintersection de la ie ligne etde la je colonne. On note alors (aij )1in

1jpla matrice. On dit que la matrice est de taille

n p (lire n croix p et respecter lordre de lecture).

Exemple 1 Si

(aij )1i31j2

=

1 23 45 6

alors

a11 = 1, a12 = 2

a21 = 3, a22 = 4

a31 = 5, a32 = 6.

Exemple 2

(i + 2j)1i21j3

=(3 5 74 6 8

)(i + j)1i3

1j2=

0 11 02 1

.Notation 3 On note Mn,p(K) lensemble des matrices de taille n p coefficients dansK.

p. 4 1 Les matrices

1.2) Matrices particulires

1.2.1 Matrices colonnes

Ce sont les matrices une colonne :

a1a2...an

.

1.2.2 Matrices lignes

Ce sont les matrices une ligne :(a1 a2 . . . an

).

1.2.3 Matrices carres

Ce sont les matrices qui ont mme nombres de lignes et de colonnes. Ce nombre delignes et de colonnes sappelle lordre de la matrice. Les coefficients ayant mme indicede ligne et de colonne sappellent les coefficients diagonaux. Par exemple,

(1 53 7

)est une

matrice carre dordre 2. Les coefficients diagonaux sont 1 et 7.

Notation 4 On note Mn(K) lensemble des matrices carres dordre n coefficientsdans K.

1.2.4 Matrices triangulaires infrieures

Ce sont les matrices carres dont tous les coefficients strictement au dessus de ladiagonale (cest--dire dindices ij avec j > i) sont nuls. Par exemple :

1 0 02 3 04 5 6

,1 0 00 2 01 0 3

,1 0 00 2 00 0 3

.1.2.5 Matrices triangulaires suprieures

Ce sont les matrices carres dont tous les coefficients strictement au dessous de ladiagonale (cest--dire dindices ij avec j < i) sont nuls. Par exemple :

1 2 30 4 50 0 6

,1 0 10 2 00 0 3

,1 0 00 2 00 0 3

.1.2.6 Matrices diagonales

Ce sont les matrices carres la fois triangulaires suprieures et triangulairesinfrieures. Les seuls coefficients pouvant tre non nuls sont donc ceux de la diagonale.

2 Calcul matriciel p. 5

Par exemple : 1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4

,1 0 00 0 00 0 0

.On noter Diag(a1, . . . , an) la matrice diagonale dont les coefficients sont (a1, . . . , an).

1.2.7 Matrices scalaires

Ce sont les matrices diagonales dont tous les coefficients diagonaux sont gaux. Parexemple :

0 0 00 0 00 0 00 0 0

.

1.2.8 Matrice identit

Cest la matrice scalaire dont tous les coefficients diagonaux valent 1. On note In lamatrice identit dordre n. Par exemple :

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

1.2.9 Matrice nulle

Cest la matrice non ncessairement carre dont tous les coefficients sont nuls. Onla note 0n,p ou 0n p si elle a n lignes et p colonnes, 0 sil ny a pas dambigit. Parexemple :

023 =(0 0 00 0 0

).

2 Calcul matriciel

2.1) galit des matrices

Deux matrices A et B sont gales, ce quon note A = B si elles ont mme nombre de lignes ; elles ont mme nombre de colonnes ; les coefficients la mme position sont gaux.

p. 6 2 Calcul matriciel

Si A = (aij )1in1jp

et B = (bij )1in1jp

, la condition dgalit des coefficients est :

pour tout i dans {1, . . . ,n}, pour tout j dans {1, . . . ,p}, aij = bij .

Exemple 5 1 + 2 5

3 4 70 1

=

3 2 + 33 3

1 1 1

.Exemple 6 (

0 0 00 0 0

),

(0 00 0

).

2.2) Addition des matrices

Soit A et B deux matrices coefficients dans K ayant mme nombre de lignes n etmme nombre de colonnes p, la somme A + B de A et B est la matrice n lignes et pcolonnes dont chaque coefficient est somme des coefficients de mme position de A etde B : si A = (aij )1in

1jpet B = (bij )1in

1jpalors A + B = (aij + bij )1in

1jp.

Exemple 7(1 7 125 3 21

)+(14 7 215 13 12

)=

(1 + 14 7 7 12 + 215 + 5 3 + 13 21 + 12

)=

(15 0 330 16 33

).

Les rgles suivantes rsultent des rgles quivalentes sur laddition des lments deK.

Proposition 8 Si A, B et C sont trois matrices de Mn,p(K). Laddition est associative : (A + B) + C = A + (B + C) ; la matrice nulle n lignes et p colonnes est un lment neutre pour laddition :

A + 0 = A ; toute matrice admet un symtrique : en posant A = (aij )1in

1jpon a

A + (A) = 0 ;

laddition est commutative : A + B = B + A.

Remarque 9 On note A B la somme de A et du symtrique de B, autrement ditAB = A + (B).

2.3) Produit dune matrice par un lment de K

Soit A une matrice de Mn,p(K) et K. On appelle produit (externe) de par A, eton note A la matrice dont chaque coefficient est obtenu en multipliant le coefficientde mme position de A par :

(aij )1in1jp

= (aij )1in1jp

.


Exemple 10

3

e2

sin(4) cos(4)1 0

=

3 3e2

3sin(4) 3cos(4)3 30

.On vrifie sans relle difficult la proposition suivante.

Thorme 11 Soit , des lments de K, A et B des matrices de Mn,p(K). Alors,a) (A + B) = A +B

b) (+ )A = A + A

c) ()A = (A)

d) 1A = A.

Remarque 12 Le choix, dans b) de = = 0 montre que 0A = 0. Le choix de = = 1montre ensuite que (1) A = A : le produit par 1 de A est loppos de A.

2.4) Produit de deux matrices

2.4.1 Produit dune matrice ligne par une matrice colonne

Soit A =(a1 . . . ap

)une matrice ligne de M1,p(K) et B =

b1...bp

une matrice colonnede Mp,1(K) (noter que la ligne et la colonne ont mme nombre dlments). Le produitde A par B, not AB est la matrice 1 1 dont le coefficient est

a1b1 + a2b2 + + apbp.

Exemple 13 Le produit de(2 0 1

)par

210

est(2 0 1

)210

= (2 2 + 0 (1) + 1 0) = (4) .2.4.2 Produit dune matrice par une matrice colonne

Soit A Mn,p(K) une matrice et B Mp,1(K) une matrice colonne.

Remarque 14 Noter que A a autant de colonnes que B a de lignes.


Le produit de A par B, not AB est la matrice colonne n 1 dont la ligne no i est lecoefficient du produit de la ligne no i de A avec la colonne B et ce pour chaque numrode ligne i entre 1 et n :

a11 . . . a1p...

...ai1 . . . aip...

...an1 . . . anp

b1...bp

=

coefficient de(a11 . . . a1p

)b1...bp

...

coefficient de(ai1 . . . aip

)b1...bp

...

coefficient de(an1 . . . anp

)b1...bp

=

a11b1 + + a1pbp...

ai1b1 + + aipbp...

an1b1 + + anpbp

.

Exemple 15 Le produit de(2 0 13 1 2

)par

130

est

(2 0 13 1 2

)130

=

coefficient de(2 0 1

)130

coefficient de

(3 1 2

)130

=

(2 1 + 0 3 + 1 03 1 1 3 + 2 0

)=

(20

).

2.4.3 Produit dune matrice par une matrice

Soit A Mn,p(K) et B Mp,q(K) deux matrices.

Remarque 16 Noter que A a autant de colonnes que B a de lignes.

Le produit de A par B est la matrice n q dont la colonne no j est le produit de Apar la colonne no j de B et ce pour chaque numro de colonne j compris entre 1 et q :


A

B1 B2 . . . Bq

AB1 AB2 . . . ABq

.

=

Exemple 17 On veut faire le produit de A =(2 0 13 1 2

)par B =

2 0 1 01 1 3 10 1 0 2

. Oncommence par remarquer que A a trois colonnes et que B a trois lignes : le produit peuttre calcul. Par ailleurs, A 2 lignes et B a 4 colonnes, la matrice produit sera donc detaille 2 4.

2 0 1

3 1 2

210

011

130

012

(2 0 13 1 2

)210

(2 0 13 1 2)011

(2 0 13 1 2)130

(2 0 13 1 2)012

=

puis (2 0 13 1 2

)210

=(2 2 + 0 (1) + 1 03 21 (1) + 2 0

)=

(47

),

(2 0 13 1 2

)011

=(2 0 + 0 1 + 1 13 01 1 + 2 1

)=

(11

),

(2 0 13 1 2

)130

=(20

), et

(2 0 13 1 2

)012

=(23

)do (

2 0 13 1 2

)2 0 1 01 1 3 10 1 0 2

=(4 1 2 27 1 0 3

).


Remarque 18 Si A = (aij)1in1jp

et B = (bij)1ip1jq

, alors pour tout i {1, . . . ,n} et tout

j {1, . . . , q}, le coefficient dindice ij de AB est

ai1b1j + ai2b2j + + aipbpj =p

k=1

aikbkj . (1)

2.4.4 Proprits

Restriction de dfinition. Le produit des matrices A et B nest dfini que si le nombrede colonnes de A est gal au nombre de lignes de B.

Les proprits suivantes peuvent tre dmontres par calcul en utilisant lexpres-sion (1) des coefficients dun produit.

Associativit. Soit A, B et C telles que le nombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes de B (de sorte quon

peut calculer AB) ; le nombre de colonnes de B est gal au nombre de lignes de C (de sorte quon

peut calculer BC).Alors

(AB)C = A(BC).

B Dfaut de commutativit. Le produit matriciel nest pas commutatif. Cest videntlorsquon peut calculer AB mais pas BA (ce qui arrive si le nombre de colonnes de A estgal au nombre de lignes de B mais que le nombre de colonnes de B diffre du nombrede lignes de A, comme dans lexemple 17) mais on peut aussi avoir AB , BA lorsque Aet B sont deux matrices carres de mme ordre. Ainsi, pour

A =(0 21 1

)et B =

(1 01 1

)on a

AB =(2 22 1

)mais BA =

(0 21 3

).

Rle des matrices identit. Si A Mn,p(K), on a

AIp = A et InA = A.

Distributivit par rapport laddition. Si A, B et C sont trois matrices telles que A etB ont mme nombre de lignes et mme nombre de colonnes et le nombre de lignes deC est gal au nombre de colonnes de A (et donc de B). Alors

(A + B)C = AC + BC.

Si A, B et C sont trois matrices telles que B et C ont mme nombre de lignes et mmenombre de colonnes et le nombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes de B(et donc de C). Alors

A(B + C) = AB + AC.


Compatibilit avec le produit externe. Si A et B sont deux matrices telles que lenombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes de B et si K, alors

(AB) = (A)B = A(B).

B Produit nul. Le produit de deux matrices peut-tre nul alors quaucune des matricesnest nulle. Par exemple, si

A =(0 10 0

)et B =

(1 2 30 0 0

)alors

AB = 0 mais A , 0 et B , 0.

2.4.5 Puissances

Si k 0 est un entier et si A Mn(K), on dfinit la puissance ke de A de la faonsuivante :

Ak =

In si k = 0

Ak1A = A Aproduit de k copies de A

si k 1.

Exemple 19 Soit A =

2 3 57 11 13

17 19 23

, alors

A3 = A2A =

110 134 164312 389 477558 697 861

A =

3946 4920 606411456 14278 1758820632 25700 31654

.La proposition suivante est aisment dmontre.

Proposition 20 Soit A est une matrice carre, soit k et ` sont deux entiers.

AkA` = Ak+`,(Ak

)`= Ak`,

(A)k = kAk ( K).

Exercice 21 Montrer que si A = Diag(a1, . . . , an) est une matrice diagonale alors, Ak estla matrice diagonale obtenue en levant la puissance k les coefficients diagonaux deA, cest--dire

Ak = Diag(ak1, . . . , akn).


On a dmontr dans C la formule du binme de Newton : si z et w sont deuxnombres complexes, alors

(z +w)n =n

k=0

(nk

)znkwk

pour tout entier n 0. En relisant la preuve, vous verrez limportance du fait que leproduit de z et w commute. Ds lors que le produit de deux matrices commute, on peutfaire la mme preuve.

Proposition 22 Soit A et B deux matrices carres telles que AB = BA et n 0 un entier.Alors

(A + B)n =n

k=0

(nk

)AnkBk .

Exemple 23 Soit A =

1 2 34 5 67 8 9

. La matrice I3 commute avec A (elle commute avectoute matrice). Notant I au lieu de I3, on a donc

(A + I)3 = A3 + 3A2I + 3AI2 + I3

= A3 + 3A2 + 3A + I

=

468 576 684

1062 1305 15481656 2034 2412

+ 3

30 36 4266 81 96

102 126 150

+ 31 2 34 5 67 8 9

+1 0 00 1 00 0 1

=

562 690 819

1272 1564 18541983 2436 2890

.Exemple 24 Considrons les matrices T =

(1 10 1

)et S =

(0 11 0

). Elles ne commutent

pas car TS =(1 11 0

)alors que ST =

(0 11 1

). On calcule

(T + S)2 =(

1 21 1

)2=

(1 42 1

)alors que

T2 + 2TS + S2 =(2 42 0

).

En revanche on vrifiera (T + S)2 = T2 + TS + ST + S2 = (S + T)2.


2.4.6 Inverse dune matrice carre

Si x est un rel non nul, il admet un inverse : cest un rel y = 1/x tel que xy = 1 etpar commutativit, yx = 1. La multiplication ntant pas commutative dans Mn(K), ilfaut a priori prendre des prcautions.

Dfinition 25 Soit A Mn(K) une matrice carre dordre n. Une matrice B carre dordren est appele inverse droite de A si AB = In et inverse gauche de A si BA = In.

Si une matrice A admet un inverse droite B et un inverse gauche C alors B = C eton peut donc dire que B est un inverse de A sans ambigit. Montrons le en calculantCAB de deux faons grce lassociativit du produit matriciel : (CA)B = C(AB) doncInB = CIn puis B = C.

Par ailleurs, si une matrice A admet un inverse droite et gauche, cet inverse estunique. Supposons que B et C sont deux inverses droite et gauche : AB = BA = In etAC = CA = In. Alors B = C car

C = CIn = C(AB) = (CA)B = InB = B.

Dfinition 26 Une matrice carre est dite inversible si elle admet un inverse droite et gauche. Cet inverse est alors unique. On note A1 linverse de la matrice inversible A. SiA Mn(K), on a AA1 = A1A = In.

Proposition 27 Soit A une matrice inversible et K.1) La matrice A1 est inversible dinverse A.

2) La matrice A est inversible dinverse1

A1.

Exercice 28 Dmontrer la proposition 27.

Exemple 29 Soit A =(1 23 4

)et B =

(2 13/2 1/2

). Vous vrifierez que B est inverse de A

en montrant AB = I2 et BA = I2. Nous montrerons plus loin comment calculer linversedune matrice inversible.

Exercice 30 1) Montrer que la matrice nulle nest pas inversible.

2) Si a1, . . . , an sont non nuls, montrer que la matrice diagonale Diag(a1, . . . , an) estinversible dinverse Diag(a11 , . . . , a

1n ).

On montre comment se comporte linversion vis--vis du produit.

Thorme 31 Soit A et B deux matrices carres inversibles de mme taille. Alors leproduit AB est inversible et son inverse est (AB)1 = B1A1.

BIl faut prendre garde au changement de lordre de la multiplication lorsquon prendlinverse dun produit.


Dmonstration du thorme 31. Il suffit de calculer

AB(B1A1) = A(BB1)A1 = AIA1 = AA1 = I

et(B1A1)AB = B1(A1A)B = BB1 = I.

Le thorme suivant est plus compliqu mais il permet en pratique doublier ladistinction entre inverse droite et gauche. Il est dmontr en annexe (voir A.3).

Thorme 32 Si une matrice carre admet un inverse gauche, alors elle admet uninverse droite. Elle est donc inversible.

Ce thorme implique qutant donn une matrice carre A, si on trouve unematrice de mme taille B telle que AB = I alors BA = I et B = A1. Dans lexemple 29 ilsuffit donc de montrer (

1 23 4

)(2 13/2 1/2

)=

(1 00 1

)pour dduire(

2 13/2 1/2

)(1 23 4

)=

(1 00 1

)et donc

(1 23 4

)1=

(2 13/2 1/2

).

On peut alors parler de puissances ngatives dune matrice inversible. Si A est inver-sible, la ritration du thorme 31 montre que Ak est inversible pour tout entier k 0dinverse

(A1

)k. On pose alors

Ak = (A1)k = (Ak)1.


2.4.7 Transpose dune matrice

Dfinition 33 Si A = (aij)1in1jp

est une matrice n lignes et p colonnes, on appelle

transpose de A et on note At la matrice p lignes et n colonnes dont le coefficient de la

ligne no i et colonne no j est aji . Ainsi,((aij )1in

1jp

)t= (aji)1ip

1jn.

Les colonnes de At sont donc les lignes de A ou, ce qui revient au mme, les lignesde At sont les colonnes de A.

Exemple 34 La transpose de

1 42 53 6

est1 42 53 6

t

=(1 2 34 5 6

).

La proposition suivante se vrifie par calcul.

Proposition 35 Soit A et B deux matrices et K. Alors,

a)(

At)t

= A (A Mn,p(K))

b) (A)t = At (A Mn,p(K))

c) (A + B)t = At + Bt (A,B Mn,p(K))

d) (AB)t = Bt At (A Mn,p(K), B Mp,q(K))

B Il faut prendre garde au changement de lordre de la multiplication lorsquon prendla transpose dun produit.

Proposition 36 Si A est une matrice carre inversible alors sa transpose est inversibleet (

At)1

=(A1

)t.

Dmonstration. Il suffit de calculer At (A1

)t=

(A1A

)t= It = I.

p. 16 3 Systmes dquations linaires

3 Systmes dquations linaires

3.1) Remarques gnrales

Un systme dquations linaires est un ensemble dquations dinconnues x1, . . . ,xpde la forme

a11x1 + a12x2 + + a1pxp = b1a21x1 + a22x2 + + a2pxp = b2

......

an1x1 + an2x2 + + anpxp = bno pour tout i et j les coefficients aij et bi sont fixs dans K. Si on note

A =

a11 a12 . . . a1pa21 a22 . . . a2p...

...an1 an2 . . . anp

et B =b1b2...bn

on cherche X =

x1...xp

tel que AX = B. La matrice colonne B sappelle le second membredu systme. Si B = 0, on dit que le systme est un systme dquations linaireshomognes. Les systmes dquations linaires homognes admettent toujours au moinsune solution : la matrice colonne nulle.

Proposition 37 Si A est une matrice carre inversible, le systme AX = B a une solutionunique. Cette solution est X = A1B.

Dmonstration. Si X = A1B alors AX = A(A1B) = (AA1)B = B et donc X est solution.Rciproquement, si AX = B alors A1(AX) = A1B donc (AA1)X = A1B et X = A1B.

Exemple 38 Soit A =(1 22 1

). On vrifie que

(1 22 1

)(1/3 2/32/3 1/3

)=

(1 00 1

)donc A est

inversible dinverse A1 =(1/3 2/32/3 1/3

). On en dduit que le systme

{x+ 2y = 5

2x+ y = 3

a une unique solution donne par(xy

)= A1

(53

)=

(1/3 2/32/3 1/3

)(53

)=

(1/37/3

)autrement dit x = 1/3 et y = 7/3.

3 Systmes dquations linaires p. 17

Nous montrons ensuite que lensemble des solutions de AX = B se dduit de laconnaissance dune solution et de lensemble des solutions du systme dquationslinaires homognes associ AX = 0.

Proposition 39 Soit A Mn,p(K) et B Mn,1(K). Sil existe X0 Mp,1(K) tel queAX0 = B, alors lensemble des solutions de AX = B est lensemble des matrices colonnesX = X0 + Y o Y parcourt lensemble des solutions de AY = 0.

Dmonstration. Soit X = Mp,1(K) et Y = XX0, alors AX = A(Y+X0) = AY+AX0 = AY+B.On en dduit que si X vrifie AX = B alors AY = 0. On en dduit aussi la rciproque, savoir que si AY = 0 alors AX = B.

Proposition 40 Soit A Mn,p(K). On suppose que les matrices colonnes X1 et X2 deMp,1(K) sont solutions de AX = 0. Alorsa) (Stabilit par addition) la matrice colonne X1 + X2 est solution de AX = 0

b) (Stabilit par produit externe) si K, la matrice colonne X1 est solution de AX = 0.

Dmonstration. Le premier point rsulte de A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0, le second deA(X) = AX = 0.

Cette proposition implique en particulier que sil existe une solution non nulle un systme linaire homogne alors il existe une infinit de solutions (si (x1, . . . ,xp) estune solution non nulle, (x1, . . . ,xp) est solution pour tous les K).

3.2) Rsolution des systmes

Lobjectif de cette partie est de montrer comment rsoudre nimporte quel systmedquations linaires. On sen servira en particulier pour inverser les matrices. Leprincipe gnral est de mettre le systme en chelons.

Dfinition 41 Soit A une matrice non nulle. On dit que A est en chelons lorsquelle ales proprits suivantes :

1) chaque ligne non nulle a son premier coefficient non nul gal 1 ;2) toute ligne suivant une ligne nulle est nulle ;

3) si une ligne non nulle a son premier coefficient non nul sur la colonne no j, alors laligne suivante, si elle nest pas nulle, a son premier coefficient non nul sur une colonneno k > j.

Pour dire quune matrice est en chelons, on dit aussi quelle est chelonne.


Voil la forme gnrale dune matrice non nulle en chelons.

0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . ...

...

0 0 0 . . . . . . . . . 0 1 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0

......

0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0

o dsigne nimporte quel lment de K.

Exemple 42 Les matrices carres dordre 2 en chelons sont les matrices de la forme(0 10 0

),

(1 0 0

),

(1 0 1

).

Les matrices 3 2 en chelons sont les matrices de la forme0 10 00 0

,1 0 00 0

,1 0 10 0

.Les matrices 2 3 en chelons sont les matrices de la forme(

0 0 10 0 0

),

(0 1 0 0 0

),

(0 1 0 0 1

),

(1 0 0 0

),

(1 0 0 1

),

(1 0 1

).

Remarque 43 Il faut remarquer que

1) si une matrice carre est en chelons et na pas de ligne nulle, alors elle est triangu-laire suprieure avec des 1 pour coefficients diagonaux ;

2) si une matrice en chelons a strictement plus de lignes que de colonnes, ses dernireslignes sont ncessairement nulles.

Pour mettre une matrice en chelons, on va utiliser des oprations lmentaires surles lignes (a). Ces oprations permettent de transformer tout systme en un systmeplus simple rsoudre mais dont les solutions sont les mmes.

Dfinition 44 Les oprations lmentaires sur les lignes sont

a) multiplication dune ligne par K, , 0 ;b) change de deux lignes ;

c) ajout une ligne dune autre ligne multiplie par K.

a. Chacune de ces oprations correspond la multiplication gauche de la matrice par une matricedite lmentaire (voir lannexe A).


Exemple 45 Partons de la matrice

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

. En multipliant la deuxime lignepar 2 on obtient

L2 2L2

1 2 3 4

10 12 14 169 10 11 12

.Si sur cette nouvelle matrice, on change les deuxime et troisime lignes, on obtient

L2 L3

1 2 3 49 10 11 12

10 12 14 16

.Enfin, on ajoute la troisime ligne de cette matrice 10 fois la premire pour obtenir

L3 L3 10L1

1 2 3 49 10 11 120 8 16 24

.Nous admettons le thorme suivant qui sera dmontr en annexe (voir A.2).

Thorme 46 Toute matrice non nulle peut tre transforme en une matrice en chelons laide dune suite doprations lmentaires sur les lignes.

Exemple 47 Nous mettons en chelons la matrice

A =

1 0 39 9 62 4 2

L1L1

L213

L2

L312

L3

1 0 33 3 21 2 1

{

L2 L2 3L1L3 L3 L1

1 0 30 3 110 2 2

L3 L3 23 L2

1 0 30 3 110 0 163

L2

13

L2

L33

16L3

1 0 30 1 1130 0 1

et cette dernire matrice est en chelons.


Exemple 48 Nous mettons en chelons la matrice

B =

1 2 1 00 1 1 01 0 1 21 1 1 1

{

L3 L3 L1L4 L4 L1

1 2 1 00 1 1 00 2 0 20 1 0 1

{

L3 L3 + 2L2L4 L4 + L2

1 2 1 00 1 1 00 0 2 20 0 1 1

L3 12 L3

1 2 1 00 1 1 00 0 1 10 0 1 1

L4 L4 L3

1 2 1 00 1 1 00 0 1 10 0 0 0

et cette dernire matrice est en chelons.

Dfinition 49 Soit A une matrice en chelons. On appelle ligne principale toute lignenon nulle. Si AX = B est un systme dquations linaires, on appelle quation principaletoute quation correspondant une ligne principale de A et inconnue principale touteinconnue correspondant au premier coefficient non nul dune ligne principale.

Exemple 50 Considrons le systme

1 2 0 20 1 1 30 0 0 0

xyzt

=200

.Il est en chelons. Les lignes principales de la matrice sont ses deux premires, et lesquations principales sont {

x 2y + 2t = 2y z + 3t = 0.

Les inconnues principales sont donc x et y.


Nous donnons maintenant une mthode de rsolution des systmes appeles mthodede Gauss. Ds lors que nous savons quune matrice peut toujours tre transforme enmatrice en chelons par des oprations lmentaires sur les lignes, nous voyons quecette mthode sapplique tout systme. Quelle donne effectivement les solutions dusystme de dpart rsulte du fait quappliquer des transformations lmentaires revient multiplier la matrice gauche par une matrice inversible. Ce fait sera dmontr enannexe (voir le thorme 108).

Thorme 51 (Mthode de Gauss) Soit A une matrice ayant au moins deux lignes etune colonne. Soit B une matrice colonne ayant autant de lignes que A. On cherche rsoudre le systme AX = B.

1) En appliquant une suite doprations lmentaires sur les lignes de A et B, on trans-forme le systme AX = B en un systme AX = B avec A en chelons ;

2) ce systme admet au moins une solution si et seulement si les seconds membres desquations non principales sont nuls ;

3) sil y a au moins une solution, on obtient toutes les solutions en considrant lesinconnues non principales comme des paramtres pouvant prendre toutes les valeursde K et en exprimant les inconnues principales en fonctions de ces paramtres ;

4) lensemble obtenu est lensemble des solutions du sytme de dpart AX = B.

Exemple 52 On veut rsoudre le systmex 2y + t = 2x y z + 4t = 2x 3y + z 2t = 2

cest--dire

1 2 0 11 1 1 41 3 1 2

xyzt

=222

.On met en chelons la matrice

(1 2 0 11 1 1 41 3 1 2

)en appliquant les mmes oprations la

matrice colonne(

222

). On travaille donc sur la matrice

1 2 0 1... 2

1 1 1 4... 2

1 3 1 2... 2

{

L2 L2 L1L3 L3 L1

1 2 0 1

... 2

0 1 1 3... 0

0 1 1 3... 0

L3 L3 + L2

1 2 0 1

... 2

0 1 1 3... 0

0 0 0 0... 0

.


Cette matrice correspond au systme

x 2y + t = 2

y z + 3t = 00 = 0.

Il ny a quune quation non principale, elle est donne par la dernire ligne. Le secondmembre de cette quation est 0 donc il y a au moins une solution (b). Les inconnuesprincipales sont les premires des lignes principales donc x et y. Les solutions sont doncexprimes en fonctions de z et t prises en paramtres : y = z 3t daprs la deuximequation et x = 2 + 2z 7t en reportant y dans la premire quation. Cela revient direles deux choses suivantes :

1) pour nimporte quelles valeurs de z et t, les quadruplets (x,y,z, t) avec x = 2 + 2z7tet y = z 3t sont des solutions du systme

2) si un quadruplet (x,y,z, t) est solution du systme alors x = 2 + 2z 7t et y = z 3t.

Exemple 53 On veut rsoudre le systme

y + z = 2

x+ y + z = 2

x + z = 1

x+ y z = 0

cest--dire

0 1 11 1 11 0 11 1 1

xyz

=2210

.

On met en chelons la matrice(0 1 1

1 1 11 0 11 1 1

)en appliquant les mmes oprations la matrice

colonne(2

210

). On travaille donc sur la matrice

0 1 1

... 2

1 1 1... 2

1 0 1... 1

1 1 1... 0

b. Si on avait choisi

(223

)au lieu de

(222

)comme second membre du systme de dpart, on aurait obtenu

1 comme second membre de lquation non principale du systme chelonn et le systme naurait pas eude solution.


L1 L2

1 1 1

... 2

0 1 1... 2

1 0 1... 1

1 1 1... 0

{

L3 L3 L1L4 L4 L1

1 1 1

... 2

0 1 1... 2

0 1 0... 1

0 0 2... 2

L3 L3 + L2

1 1 1

... 2

0 1 1... 2

0 0 1... 1

0 0 2... 2

L4 L4 + 2L3

1 1 1

... 2

0 1 1... 2

0 0 1... 1

0 0 0... 0

.

Cette matrice correspond au systmex+ y + z = 2

y + z = 2

z = 1

0 = 0.

Il ny a quune quation non principale, elle est donne par la dernire ligne. Le secondmembre de cette quation est 0 donc il y a au moins une solution. Les inconnuesprincipales sont les premires des lignes principales donc x, y et z. On trouve z = 1puis y = 1 et enfin x = 0.

Remarque 54 La mthode de Gauss implique que si un systme, aprs mise en che-lons, na que des inconnues principales alors il a une solution unique si les quationsnon principales ont 0 comme second membre et na aucune solution si lune desquations non principales au moins a un second membre non nul.

Corollaire 55 Soit A Mn,p(K). Si p > n alors le systme AX = 0 admet une infinit desolutions.

Dmonstration. Puisquil y a plus dinconnues que dquations, il y a ncessairementdes inconnues non principales. De plus, les seconds membres sont tous nuls.


La remarque suivante est importante pour la rsolution des systmes carrs (c). Elleest justifie en annexe (voir page 52).

Remarque 56 Si A est carre et si la matrice en chelons obtenue na pas de lignenulle, on peut continuer faire des oprations lmentaires pour transformer A en I.En appliquant les mmes oprations B, on obtient B de sorte que AX = B et IX = B

ont mmes solutions. Autrement dit, X = B.

Exemple 57 On rsout le systme

x+ 5y z = 7

3x+ 16y + 4z = 2

2x+ 9y + z = 3

cest--dire

1 5 13 16 42 9 1

xyz

=723

en travaillant sur la matrice

1 5 1... 7

3 16 4... 2

2 9 1... 3

{L2 L2 3L1L3 L3 2L1

1 5 1

... 7

0 1 7... 19

0 1 3... 11

L3 L3 + L2

1 5 1

... 7

0 1 7... 19

0 0 10... 30

L3

110

L3

1 5 1

... 7

0 1 7... 19

0 0 1... 3

.

On a obtenu une matrice carre en chelons sans ligne nulle, le systme a donc unesolution unique. On poursuit lapplication de transformations lmentaires sur les

c. Ayant autant dquations que dinconnues.

4 Inversion de matrices p. 25

lignes pour faire apparatre lidentit :

L1 L1 5L2

1 0 36

... 102

0 1 7... 19

0 0 1... 3

L1 L1 + 36L3

1 0 0

... 6

0 1 7... 19

0 0 1... 3

L2 L2 7L3

1 0 0

... 6

0 1 0... 2

0 0 1... 3

.Le systme a donc pour solution x = 6, y = 2 et z = 3.

Corollaire 58 Soit A Mn,p(K) et B Mp,1. Si p > n alors le systme AX = B soitnadmet aucune solution, soit admet une infinit de solutions.

4 Inversion de matrices

Chercher un inverse pour la matrice carre A = (ai,j)1i,jn, cest chercher unematrice B = (xi,j)1i,jn telle que AB = I. Cette quation se traduit en un systmedquations pour chaque colonne :

a1,1x1,1 + a1,2x2,1 + + a1,nxn,1 = 1a2,1x1,1 + a2,2x2,1 + + a2,nxn,1 = 0

......

an,1x1,1 + an,2x2,1 + + an,nxn,1 = 1

,

a1,1x1,2 + a1,2x2,2 + + a1,nxn,2 = 0a2,1x1,2 + a2,2x2,2 + + a2,nxn,2 = 1

......

an,1x1,2 + an,2x2,2 + + an,nxn,2 = 0

. . .

a1,1x1,n + a1,2x2,n + + a1,nxn,n = 0a2,1x1,n + a2,2x2,n + + a2,nxn,n = 0

......

an,1x1,n + an,2x2,n + + an,nxn,n = 1.On veut donc rsoudre les n systmes

A

x1,1x2,1...

xn,1

=10...0

, Ax1,2x2,2...

xn,2

=010...0

, , A

x1,nx2,n...

xn,n

=00...01

.

p. 26 4 Inversion de matrices

Comme tous ces systmes sont associs la mme matrice, ils vont tre rsolus enappliquant la mme succession doprations lmentaires, et seules les second membresseront diffrents chaque tape. On applique donc la mthode suivante.

Soit A Mn(K) une matrice carre. On construit une matrice n lignes et 2ncolonnes (A|I) en crivant la matrice identit dordre n droite de A. En appliquant desoprations lmentaires, on transforme la matrice A en la matrice en chelons A. Onapplique les mmes oprations I. On obtient (A|I). Si A a une ligne nulle, elle nestpas inversible et A nest pas inversible. Sinon, en appliquant de nouvelles oprationslmentaires, on transforme A en I. Les mmes oprations lmentaires transforment Ien A1. Cette mthode est justifie en annexe (voir A.5).

Exemple 59 On cherche inverser A =(

1 1 12 1 11 2 1

). On travaille donc sur

1 1 1

... 1 0 0

2 1 1... 0 1 0

1 2 1... 0 0 1

L2 12 L2

1 1 1

... 1 0 0

1 1/2 1/2... 0 1/2 0

1 2 1... 0 0 1

L2 L2 L1

1 1 1

... 1 0 0

0 3/2 1/2... 1 1/2 0

1 2 1... 0 0 1

L3 L3 + L1

1 1 1

... 1 0 0

0 3/2 1/2... 1 1/2 0

0 3 0... 1 0 1

L2

23

L2

L313

L3

1 1 1

... 1 0 0

0 1 1/3... 2/3 1/3 0

0 1 0... 1/3 0 1/3

L3 L3 L2

1 1 1

... 1 0 0

0 1 1/3... 2/3 1/3 0

0 0 1/3... 1/3 1/3 1/3

L33L3

1 1 1

... 1 0 0

0 1 1/3... 2/3 1/3 0

0 0 1... 1 1 1

.

4 Inversion de matrices p. 27

La matrice de gauche est en chelons et sans ligne nulle. On en dduit que A estinversible et on continue les oprations lmentaires pour avoir I gauche :

L1 L1 L2

1 0 2/3

... 1/3 1/3 0

0 1 1/3... 2/3 1/3 0

0 0 1... 1 1 1

L1 L1 23 L3

1 0 0

... 1/3 1 2/3

0 1 1/3... 2/3 1/3 0

0 0 1... 1 1 1

L2 L2 13 L3

1 0 0

... 1/3 1 2/3

0 1 0... 1/3 0 1/3

0 0 1... 1 1 1

.On a donc

1 1 12 1 11 2 1

1

=

1/3 1 2/31/3 0 1/31 1 1

.Exemple 60 On cherche inverser A =

(1 1 12 3 44 7 10

). On travaille donc sur

1 1 1

... 1 0 0

2 3 4... 0 1 0

4 7 10... 0 0 1

L2 L2 2L1

1 1 1

... 1 0 0

0 1 2... 2 1 0

4 7 10... 0 0 1

L3 L3 4L1

1 1 1

... 1 0 0

0 1 2... 2 1 0

0 3 6... 4 0 1

L3 L3 3L2

1 1 1

... 1 0 0

0 1 2... 2 1 0

0 0 0... 2 3 1

.La dernire ligne de la matrice non augmente est nulle, donc la matrice A nest pasinversible.

p. 28 5 Dterminants

La mthode dinversion de matrices prsente implique en particulier le rsultatsuivant.

Thorme 61 Soit A Mn(K) une matrice carre. Elle est inversible si et seulement si lesystme AX = 0 (en X Mn1(K)) nadmet que 0 comme solution.

Dmonstration. On a dj vu que si A est inversible alors 0 est la seule solution. Suppo-sons que A ne soit pas inversible. Aprs mise en chelon, le systme AX = 0 est doncquivalent un systme avec une ligne non principale (puisque A est transforme enune matrice ayant au moins une ligne nulle). Le second membre de ce nouveau systmeest 0 et il a donc une infinit de solutions.

5 Dterminants

On associe chaque matrice un nombre permettant de dterminer si elle est inver-sible : le dterminant. Le dterminant dune matrice nest dfini que si la matrice estcarre.

Exercice 62 On considre une matrice A =(a bc d

).

1) Si a , 0, montrer, laide de la partie 4 que A est inversible si et seulement siad bc , 0.

2) Si a = 0, montrer que A est inversible si et seulement si bc , 0.

Lexercice 62 montre quune matrice(a bc d

)est inversible si et seulement si la

quantit ad bc est non nulle. Lintroduction du dterminant permet de gnraliser lacondition dinversibilit ad bc , 0 des matrices dordre quelconque.

5.1) Dfinition

Soit A Mn(K) une matrice carre. Le dterminant de A, not det(A), est llmentde K dfinit par descente de la faon suivante :a) si n = 1 alors A = (a11) et det(A) = a11 ;

b) si n 2, alors A = (aij )1i,jn et

det(A) = a1111 a2121 + a3131 + (1)n1an1n1

o i1 est le dterminant de la matrice de Mn1(K) obtenue en enlevant A la ligneno i et la premire colonne.

Exemple 63 On calcule

det(a bc d

)= adet

((d)

) cdet

((b)

)= ad bc.

5 Dterminants p. 29


det

1 2 34 5 67 8 9

= 1 det(5 68 9

) 4 det

(2 38 9

)+ 7 det

(2 35 6

)= (5 9 6 8) 4(2 9 3 8) + 7(2 6 3 5)= 0.

5.2) Proprits

La proposition suivante est centrale dans le calcul des dterminants. Elle permeten particulier de calculer le dterminant de toute matrice en chelons.

Proposition 65 Le dterminant de toute matrice triangulaire suprieure est le produitde ses lments diagonaux :

det

a11 . . . . . .

0 a22. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . .

. . . 0 . . . . . . 0 ann

= a11a22 ann.

Dmonstration. On note A la matrice triangulaire suprieure. On a det(A) = a1111 cara21 = a31 = = an1 = 0. Ainsi,

det(A) = a11 det

a22 . . . . . .

0 a33. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . .

. . . 0 . . . . . . 0 ann

et le rsultat sobtient par ritration.


det

1 2 30 4 50 0 6

= 1 4 6 = 24.Exemple 67 La matrice identit In a 1 pour dterminant.

On tudie ensuite le devenir du dterminant lorsquon applique des transformationslmentaires sur les lignes.

p. 30 5 Dterminants

Proposition 68 Si on multiplie lune des lignes dune matrice par un lment de K alorsle dterminant de cette matrice est multipli par le mme lment de K.

Dmonstration. On considre lhypothse P (n) : si on multiplie par un lment de Klune des lignes dune matrice dordre n alors le dterminant de cette matrice est multi-pli par le mme lment de K . Lhypothse P (1) est vraie puisque le dterminantdune matrice dordre 1 est son unique coefficient qui est aussi son unique ligne. Soitn 2. On suppose vraie lhypothse P (n1) et on considre une matrice A = (ai,j )1i,jndordre n. On note A = (ai,j )1i,jn la matrice dordre n obtenue en multipliant par laligne no ` de A, on a donc

ai,j =

ai,j si i , `ai,j si i = `. (2)On a

det(A) = a1,11,1 a2,12,1 + a3,13,1 + (1)n1an,1n,1.

Pour tout i, on note i,1 le dterminant de A prive de sa ligne no i et de sa colonneno 1. On a aussi

det(A) = a1,11,1 a2,12,1 + a3,13,1 + (1)n1an,1n,1.

Utilisant (2) on dduit

det(A) = a1,11,1 + + (1)`2a`1,1`1,1 + (1)`1a`,1`,1 + (1)`a`+1,1`+1,1 +

+ (1)n1an,1n,1

Soit i , ` alors i < ` ou i > `. Le dterminant i,1 est donc le dterminant dune desmatrices dordre n 1 suivantes

a1,2 a1,n...

...ai1,2 ai1,nai+1,2 ai+1,n

......

a`1,2 a`1,na`,2 a`,na`+1,2 a`+1,n

......

an,2 an,n

ou

a1,2 a1,n...

...a`1,2 a`1,na`,2 a`,na`+1,2 a`+1,n

......

ai1,2 ai1,nai+1,2 ai+1,n

......

an,2 an,n

.

Dans les deux cas, lhypothse P (n 1) implique i,1 = i,1. De plus, le dterminant`,1 est celui de A qui on a enlev sa ligne no ` (et sa premire colonne), cest--direla seule ligne qui distingue A de A ; on a donc `,1 = `,1. Au final, on a det(A) =det A.

5 Dterminants p. 31

Exemple 69 On a det(4 83 4

)= 4det

(1 23 4

)= 4(2) = 8.

Exemple 70 On a det(

4 812 16

)= 4det

(1 2

12 16

)= 4 4det

(1 23 4

)= 32.

On a en particulier limportant corollaire suivant.

Corollaire 71 Le dterminant dune matrice carre ayant une ligne nulle est 0.

Dmonstration. Si A a une ligne nulle, en multipliant cette ligne par 0, on ne changepas A mais on multiplie le dterminant de A par 0. On a donc

det(A) = 0det(A) = 0.

On retiendra aussi le corollaire suivant.

Corollaire 72 Si A Mn(K) et K alors det(A) = ndet(A).

Dmonstration. Multiplier A par revient multiplier chacune de ses lignes par . Onapplique une fois la proposition pour chaque ligne ce qui fournit n multiplications dudterminant par .

Nous tudions maintenant le devenir du dterminant par ajout dune ligne.

Proposition 73 Soit A Mn(K) une matrice carre dont on note L1, . . . ,Ln les lignes.Soit L M1,n(K) une ligne. Alors

det

L1...

Li1Li

Li+1...

Ln

+ det

L1...

Li1L

Li+1...

Ln

= det

L1...

Li1Li + L

Li+1...

Ln

.

La preuve se fait par rcurrence sur lordre des matrices, de la mme faon quepour la preuve de la proposition 68.

p. 32 5 Dterminants

B Il faut remarquer que dans lnonc prcdent, on na chang quune ligne. Pour ajou-ter plusieurs lignes, il faut donc appliquer la proposition plusieurs fois. Par exemple, sion modifie deux lignes :

det

L1...

Lj1Lj + Lj

Lj+1...

Li1Li + LiLi+1...

Ln

= det

L1...

Lj1Lj

Lj+1...

Li1Li + LiLi+1...

Ln

+ det

L1...

Lj1Lj

Lj+1...

Li1Li + LiLi+1...

Ln

= det

L1...

Lj1Lj

Lj+1...

Li1Li

Li+1...

Ln

+ det

L1...

Lj1Lj

Lj+1...

Li1Li

Li+1...

Ln

+ det

L1...

Lj1Lj

Lj+1...

Li1Li

Li+1...

Ln.

+ det

L1...

Lj1Lj

Lj+1...

Li1Li

Li+1...

Ln.


det

1 2 34 5 67 8 9

= det1 2 31 2 37 8 9

+ 3det1 2 31 1 17 8 9

= det

1 2 31 2 37 8 9

+ 3det1 2 31 1 11 2 3

+ 18det1 2 31 1 11 1 1

.Exercice 75 Montrer que le dterminant de lexemple 74 est nul.

5 Dterminants p. 33

Remarque 76 Les propositions 68 et 73 peuvent se rsumer de la faon suivante :

det

L1...

Li1Li +Li

Li+1...

Ln

= det

L1...

Li1Li

Li+1...

Ln

+det

L1...

Li1Li

Li+1...

Ln

.

Il reste une opration lmentaire que nous navons pas tudie : lchange delignes.

Proposition 77 Si on change deux lignes dune matrice carre, le dterminant estmultipli par 1.

Dmonstration. Pour tout k 2, on appelle H(k) la proprit si on change deuxlignes dune matrice dordre k, le dterminant est multipli par 1 . Pour les matricesdordre 2, il suffit de remarquer que

det(a bc d

)= ad bc = (cb ad) = det

(c da b

)pour conclure que H(2) est vraie. Soit n 3. On suppose que H(n 1) est vraie. Soitalors A = (ai,j)1i,jn une matrice dordre n. On change deux lignes conscutives, denumros i et i + 1 pour obtenir une matrice A = (ai,j)1i,jn. Comme prcdemment,pour tout numro de ligne ` on note `,1 le dterminant de la matrice obtenue enenlevant A sa premire colonne et sa ligne no ` et `,1 le determinant de la matriceobtenue en enlevant A sa premire colonne et sa ligne no `. Lhypothse H(n 1)implique que si ` , i et ` , i + 1 alors `,1 = `,1 (la ligne enleve nest pas lune decelles changes). Pour la mme raison, a`,1 = a`,1. Enfin ai,1 = ai+1,1, ai+1,1 = ai,1 eti,1 = i+1,1, i+1,1 = i,1. Reportant ces informations dans les dfinitions de det Aet det A on obtient det A = det A. Pour changer deux lignes quelconques, il suffitdchanger un nombre impair de fois deux lignes conscutives :

Li Li+1 Li+1 Li+1 Li+1 Li+1 Li+`Li+1 Li Li+2 . . . Li+2 Li+2 Li+2 . . . Li+1Li+2 Li+2 Li Li+3 Li+3 Li+3 Li+2...

......

......

......

Li+`2 Li+`2 Li+`2 Li+`1 Li+`1 Li+` Li+`2Li+`1 Li+`1 Li+`1 . . . Li Li+` Li+`1 . . . Li+`1Li+` Li+` Li+` Li+` Li Li Li

changes 1 2 ` 1 ` ` + 1 2` 1

p. 34 5 Dterminants

Corollaire 78 Le dterminant dune matrice carre ayant deux lignes identiques est nul.

Dmonstration. Soit A une matrice carre deux lignes identiques. En changeant cesdeux lignes, on multiplie le dterminant par 1 mais la matrice est inchange, sondterminant lest donc aussi. Ainsi det(A) = det(A) puis det(A) = 0.

Corollaire 79 Si une ligne dune matrice on ajoute le produit dun lment de K parune autre ligne, le dterminant est inchang.

Dmonstration. On utilise la remarque 76 avec Li = Lj (o i , j). Le dterminantmultipli par a deux lignes identiques ( savoir Lj ), il est donc nul.

Exemple 80

det

1 2 34 5 67 8 9

= det1 2 34 5 63 3 3

L3 L3 L2= det

1 2 33 3 33 3 3

L2 L2 L1= 0.

Remarque 81 Les propositions 68 et 77 et le corollaire 79 impliquent que si A estdduite de A par une succession doprations lmentaires, alors det A = det A avec , 0.

La table 1 rsume les transformations des dterminants par les oprations l-mentaires. Toute matrice peut tre mise en chelons par une succession doprationslmentaires (thorme 46). On sait calculer le dterminant dune matrice chelonne(proposition 65). On sait donc calculer tous les dterminants par mise en chelons.

Oprations lmentaires dterminant

Li Lj (i , j) multipli par 1Li Li multipli par

Li Li +Lj inchang

Table 1 Transformations lmentaires et dterminant

Exemple 82 Cherchons le dterminant de

A =

2 1 4 33 2 1 24 7 2 35 6 3 4

.

5 Dterminants p. 35

Par lopration lmentaire L4 L4 L3, on a

det

2 1 4 33 2 1 24 7 2 31 1 1 1

= det A.Par lopration lmentaire L3 L3 L2, on a

det

2 1 4 33 2 1 21 5 3 51 1 1 1

= det A.Par lopration lmentaire L2 L2 L1, on a

det

2 1 4 31 1 3 51 5 3 51 1 1 1

= det A.Par lopration lmentaire L1 L4, on a

det

1 1 1 11 1 3 51 5 3 52 1 4 3

= det2 1 4 31 1 3 51 5 3 51 1 1 1

= det A.Par les oprations lmentaires L2 L2 L1, L3 L3 L1 et L4 L4 2L1, on obtient

det

1 1 1 10 2 2 60 6 2 40 3 6 1

= det1 1 1 11 1 3 51 5 3 52 1 4 3

= det(A).Lopration lmentaire L2

12

L2 conduit ensuite

det

1 1 1 10 1 1 30 6 2 40 3 6 1

=12

det

1 1 1 10 2 2 60 6 2 40 3 6 1

= 12

det A.

Par les oprations lmentaires L3 L3 6L2 et L4 L4 3L2, on obtient

det

1 1 1 10 1 1 30 0 4 220 0 9 10

= det1 1 1 10 1 1 30 6 2 40 3 6 1

= 12

det A.

p. 36 5 Dterminants

Enfin, lopration lmentaire L4 L4 94

L3 donne

det

1 1 1 10 1 1 30 0 4 22

0 0 0 792

= det1 1 1 10 1 1 30 0 4 220 0 9 10

= 12

det A.

On a

det

1 1 1 10 1 1 30 0 4 22

0 0 0 792

= 158donc det A = 316.

Le dterminant se comporte bien vis--vis du produit, ce quexprime le thormesuivant qui sera dmontr en annexe (voir B.1).

Thorme 83 Si A et B sont deux matrices carres de mme ordre, alors

det(AB) = det(A)det(B).

Exemple 84 Soit

A =

65 46 23 4

115 97 44 792 75 58 940 30 20 10

On vrifie que A = LU avec

L =

1 2 3 40 5 6 70 0 8 90 0 0 10

et U =10 0 0 09 8 0 07 6 5 04 3 2 1

.Les matrices L et U tant triangulaires on calcule facilement det L = 400 et det U = 400.On en dduit det A = 160 000.

On peut alors caractriser linversibilit des matrices laide du dterminant.

Thorme 85 Soit A une matrice carre. Elle est inversible si et seulement si son dter-minant est non nul. Lorsque A est inversible, on a

det(A1) =1

det(A).

5 Dterminants p. 37

Dmonstration. Grce la mthode de Gauss, on peut transformer A en la matrice enchelons A en nutilisant que des oprations lmentaires sur les lignes. Le dterminantde A devient alors det(A) = det(A) avec , 0 (voir la remarque 81). La nullit dedet(A) est donc quivalente celle de det A. Supposons det(A) , 0. Alors det(A) , 0. Lamatrice A na donc pas de ligne nulle et A est inversible. Rciproquement, supposonsA inversible. Alors AA1 = I donc det(A)det(A1) = 1. Cela implique det(A) , 0 etdet(A1) = 1/ det(A).

Corollaire 86 Un systme linaire ayant autant dquations que dinconnues a unesolution unique si et seulement si la matrice associe est de dterminant non nul.

Exemple 87 On considre la matrice

A =

12 22 27 13 14 8 2

.Les valeurs de pour lesquelles la matrice A I3 est inversibles sont celles pourlesquelles det(AI3) , 0. On calcule donc le dterminant

D() = det

12 22 27 13 14 8 2

.Par les oprations successives L1 L1 + L2 puis L1 L1 + L3, on a

D() = det

1 1 17 13 14 8 2

= (1)det

1 1 17 13 14 8 2

Les oprations L2 L2 + 7L1 puis L3 L3 + 4L1 donnent alors

det

1 1 17 13 14 8 2

= det1 1 10 6 80 4 6

Par lopration L2 L2 L3 on obtient

det

1 1 10 6 80 4 6

= det1 1 10 2 2 +0 4 6

= (2 +)det1 1 10 1 10 4 6

et donc

D() = (1)(2 +)det

1 1 10 1 10 4 6

.

p. 38 5 Dterminants

Enfin, lopration L3 L3 4L1 fournit

det

1 1 10 1 10 4 6

= det1 1 10 1 10 0 2

= ( 2).On a donc D() = (1)(+2)(+2) et la matrice AI3 est inversible si et seulementsi < {2,1,2}.

Dans tout ce chapitre, nous avons effectu des oprations sur les lignes. Nousaurions pu faire des oprations sur les colonnes. Faire des oprations sur les colonnesdune matrice, cest

1) transposer la matrice

2) faire les oprations sur les lignes de cette transpose

3) transposer la matrice obtenue.

Nous admettons le rsultat suivant qui sera dmontr en annexe (voir B.2).

Thorme 88 Une matrice carre et sa transpose ont mme dterminant.

Grce ce thorme et aux rsultats dmontrs sur les oprations lmentaires surles lignes, on peut rsumer dans la table 2, les transformations du dterminant paroprations lmentaires sur ces colonnes.

Oprations lmentaires dterminant

Ci Cj (i , j) multipli par 1Ci Ci multipli par

Ci Ci +Cj inchang

Table 2 Transformations lmentaires sur les colonnes et dterminant

Le thorme 88 implique en particulier que le dterminant peut tre calcul endveloppant relativement la premire ligne dune matrice (cest--dire relativement la premire colonne de sa transpose). Nous pouvons alors revenir sur le choix fait dansla dfinition de privilgier la premire colonne. Nous aurions pu privilgier nimportequelle ligne et mme nimporte quelle colonne. Cela rsulte simplement du fait quonpeut ramener nimporte quelle ligne en premire position laide dune successiondchanges de lignes avec la ligne qui prcde et quon peut ramener nimporte quellecolonne en premire position laide dune succession dchanges de colonne avec lacolonne qui prcde.

5 Dterminants p. 39

Proposition 89 Soit A = (aij)1i,jn une matrice carre dordre n 2. On note ij ledterminant de la matrice carre dordre n 1 obtenue en enlevant A sa ligne no i et sacolonne no j. Alors,

det(A) = (1)i+1(ai1i1 ai2i2 + + (1)n+1ainin

)et

det(A) = (1)j+1(a1j1j a2j2j + + (1)n+1anjnj

)pour tout choix dentiers i et j dans {1, . . . ,n}.

Remarque 90 La premire galit sappelle le dveloppement du dterminant parrapport la ligne no i. La seconde galit sappelle le dveloppement du dterminantpar rapport la colonne no j.

Remarque 91 Pour retenir le signe quon doit affecter aux coefficients apparaissantdans le dveloppement par rapport une ligne ou une colonne, on peut utiliserle tableau de signes suivant. Si le dterminant calculer est dordre n, on remplitune matrice carre dordre n en commenant par mettre + en haut gauche puis enremplissant le tableau de gauche droite et de haut laide de la rgle suivante :

1. Si deux coefficients se succdent sur une mme ligne, ils sont de signe oppos ;

2. si deux coefficients se succdent sur une mme colonne, ils sont de signe oppos ;

Dans le dveloppement du dterminant, chaque coefficient aij sera alors multipli par1 selon le signe donn par la position (i, j) du tableau de signes. On donne les tableauxcorrespondant aux matrices dordre 3, 4, 5 et 6.

+ + + + +

,+ + + ++ + + +

,+ + + + + + + + + +

,+ + + + + ++ + + + + +

.Exemple 92 En dveloppant par rapport la deuxime ligne, on a

det

1 2 30 1 04 5 6

= det(1 34 6

)= 6.

p. 40 6 Exercices

6 Exercices

1) On considre les matrices coefficients complexes

A =

i 1

1 i 53 1 2i

, B =2 + i 1 i 0i 5 + i 7

2 i

, C =1 + i 13 i3 i 2 + 3i

,

D =(2 3

)et E =

325

7 i

.Effectuer tous les produits possibles de deux de ces matrices.2) On dfinit les matrices

A =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

, B =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

, C =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

.a) Montrer que A2 = B2 = C2 = I4, BC + CB = A, CA + AC = B et AB + BA = C.b) On considre lensemble

H = {aA + bB + cC + dI4 : a,b,c,d R}.

Montrer que cet ensemble est stable par addition et par produit et que tous seslments non nuls sont inversibles.

3) On considre une matrice A =(a bc d

) coefficients complexes.

a) Calculer A2 (a+ d)A + (ad bc)I2.b) En dduire que si ad bc , 0, il existe une matrice B telle que AB = I2.c) On suppose ad bc = 0. On a alors A2 = (a+ d)A. Montrer quil nexiste aucune

matrice B telle que AB = I2.

4) On note G lensemble

G ={g() =

(cos sinsin cos

): R

}.

a) Montrer que I2 est un lment de G.

b) Montrer que pour tous rels et , la matrice g( +) est un lment de G.

c) Montrer que tout lment de G est inversible.

d) Calculer g()n pour tout entier relatif n.

6 Exercices p. 41

5) Calculer les puissances de la matrice2 2 41 3 41 2 3

.6) Soit

B =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

a) Touver N tel que B = N I4.b) En dduire une expression de Bn pour tout entier n 0.c) Exprimer linverse de B laide de puissances de la matrice N. En dduire B1.

d) Donner une expression de Bn pour tout entier n < 0.

7) Rsoudre les systmes suivants.

a) (i 1)x+ y z = 1

x+ (i 1)y +z = 1x y +(i 1)z = 2

x+ 2y z = ax+ y +2z = b2x+ y 3z = c

o a, b et c sont des paramtres rels.

b) x+ 2y 3z + 2t = 2

2x+ 5y 8z + 6t = 53x+ 4y 5z + 2t = 4

,

x+ 2y +2z = a

3x 2y z = b2x 5y +3z = cx+ 4y +6z = d

o a, b, c et d sont des paramtres rels.

c) x+ y +dz = a

x+ dy +z = b

dx+ y +z = c

,

x+ ay +a2z = 0

x+ by +b2z = 0

x+ cy +c2z = 0

o a, b, c et d sont des paramtres rels.

8) Calculer le dterminant dea b c 2a 2a

2b b a c 2b2c 2c c a b

.

p. 42 6 Exercices

9) Calculer le dterminant de1 + a b a bb 1 + a b aa b 1 + a bb a b 1 + a

.10) Montrer que la matrice

1 cos(t) cos(2t)cos(t) cos(2t) cos(3t)

cos(2t) cos(3t) cos(4t)

nest inversible pour aucune valeur de t.

11) On dfinit une matrice coefficients complexes en posant

A =

1 1 + i 1 i

1 i 1 + 2i 1 i1 i 1 + i 1

.a) Pour tout C, calculer le dterminant de AI3.b) Pour quelles valeurs complexes de ce dterminant sannule-t-il ?

c) crire det(AI3) sous la forme

det(AI3) = a0 + a1+ a22 + a33

et calculer a0I3 + a1A + a2A2 + a3A3. Calculer linverse de A.

d) Pour toute valeur C, on considre le systmex (1 i)y +(1 i)z = x

(1 i)x (1 2i)y +(1 i)z = y(1 i)x (1 i)y +z = z.

i) crire ce systme sous forme matricielle.

ii) Le rsoudre.

iii) On suppose tel que le systme prcdent a une infinit de solutions. Soit

(x,y,z) une solution, montrer quon peut exprimer les matrices

xyz

laidedes matrices

111

,110

et101

.e) On dfinit une matrice coefficients complexes en posant

P =

1 1 11 1 01 0 1

.

6 Exercices p. 43

i) Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

ii) Calculer D = P1AP.

iii) Calculer D2025.

iv) En dduire A2025.

v) Donner une autre mthode de calcul de linverse de A.

12) On dfinit

A =

11 16 2030 41 5018 24 29

.a) Pour tout R, calculer le dterminant de AI3.b) Pour quelles valeurs de ce dterminant sannule-t-il ?

c) crire det(AI3) sous la forme

det(AI3) = a0 + a1+ a22 + a33

et calculer a0I3 + a1A + a2A2 + a3A3. Calculer linverse de A.

d) Pour toute valeur R, on considre le systme11x+ 16y 20z = x30x+ 41y 50z = y18x+ 24y 29z = z.

i) Rsoudre ce systme.

ii) On suppose tel que le systme prcdent a une infinit de solutions. Soit

(x,y,z) une solution, montrer quon peut exprimer les matrices

xyz

laidedes matrices

311

,121

et253

.e) On dfinit

P =

3 1 21 2 51 1 3

.i) Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

ii) Calculer D = P1AP.

iii) Calculer D143.

iv) En dduire A143.

v) Donner une autre mthode de calcul de linverse de A.

p. 44 6 Exercices

13) (Une autre construction du corps des nombres complexes) On a donn en annexedu premier chapitre une construction du corps des nombres complexes. Lexercicesuivant propose une autre construction.

On considre lensemble

C ={(

x yy x

): x R, y R

}.

a) Montrer que C muni de laddition et de la multiplication des matrices est uncorps.

b) On pose I =(

0 11 0

). Calculer I2.

c) On dfinit lapplication

f : C C

z 7(

A Matrices lmentaires p. 45

Annexes de complments

Cette partie contient des complments qui donnent les preuves des noncs ducours non dmontrs. Aucune notion de cette annexe nest exigible par le programme.

A Matrices lmentaires

Lobjet de cette partie est dintroduire la notion de matrices lmentaires et dutilisercelles-ci pour dmontrer certains des rsultats admis du cours.

A.1) Dfinition et proprits lementaires

Dfinition 93 (Matrices lmentaires) Si n 1, on appelle matrice lmentaire toutematrice de Mn(K) de lune des formes suivantes.

Matrice diagonale dont lun des coefficients diagonaux est un lment quelconquea de K tandis que tous les autres valent 1. On note Di(a) la matrice si a se trouveen position (i, i).

Matrice dont tous les coefficients diagonaux valent 1 et qui na quun coefficientnon diagonal ventuellement diffrent de 0. On note Tij() cette matrice si lecoefficient non diagonal ventuellement diffrent de 0 est et si ce coefficient setrouve lintersection de la ligne no i et de la colonne no j (i , j, K).

Les matrices Di(a) sappellent matrices de dilatation. Les matrices Tij() sappellentmatrices de transvection.

Exemple 94 Les matrices lmentaires de M1(K) sont les matrices de la forme D1(a) =(a) avec a K \ {0}. Les matrices lmentaires de M2(K) sont les matrices de la forme

D1(a) =(a 00 1

), D2(a) =

(1 00 a

), T1,2() =

(1 0 1

), T2,1() =

(1 0 1

)avec a K \ {0} et K.

Exercice 95 Quelles sont les matrices transposes de Di(a) et Tij() ?

Proposition 96 La multiplication gauche par les matrices lmentaires agit sur leslignes.

Multiplier gauche par Di(a), cest multiplier la ligne no i par a. Multiplier gauche par Tij(), cest ajouter la ligne no i le produit de la ligne no j

par .

Exemple 97

D1()(a bc d

)=

(a bc d

), T21()

(a bc d

)=

(a b

a+ c b+ d

).

p. 46 A Matrices lmentaires

Proposition 98 La multiplication droite par les matrices lmentaires agit sur lescolonnes.

Multiplier droite par Dj(a), cest multiplier la colonne no j par a. Multiplier droite par Tij(), cest ajouter le produit de la colonne no i par la

colonne no j.

Exemple 99 (a bc d

)D1() =

(a bc d

),

(a bc d

)T21() =

(a a+ bc c+ d

).

Exercice 100 Se convaincre des propositions 96 et 98.

Proposition 101 Soit A Mn,p(K) et A la matrice dduite de A par change des lignesi et j (avec i , j). Alors,

A = Di(1)Tji(1)Tij(1)Tji(1)A.

On noteSij = Di(1)Tji(1)Tij(1)Tji(1).

Dmonstration de la proposition 101. Notons L1,L2, . . . ,Ln les lignes de A. Quitte chan-ger les noms des variables i et j, on suppose i < j. Par applications successives de laproposition 96, on a

Tji(1)A =

L1...

Li...

Lj + Li...

Ln

puis Tij(1)Tji(1)A =

L1...Lj...

Lj + Li...

Ln

et

Tji(1)Tij(1)Tji(1)A =

L1...Lj...

Li...

Ln

puis Di(1)Tji(1)Tij(1)Tji(1)A =

L1...

Lj...

Li...

Ln

.


Les propositions 96 et 98 impliquent linversibilit des matrices lmentaires (etdonc de leurs produits). Plus prcisment, vous montrerez le rsultat suivant.

Proposition 102 Soit i et j deux entiers. Soit a et dans K avec a , 0. Alors1) La matrice de dilatation Di(a) est inversible dinverse Di(1/a).

2) La matrice de transvection Tij() est inversible dinverse Tij().

A.2) Mise en chelons des matrices

Dans cette partie, on dmontre maintenant le thorme 46 qui, compte-tenu despropositions 96 et 101, est quivalent au thorme 103 ci-dessous.

Thorme 103 Si A Mn,p(K) est non nulle alors il existe une matrice P Mn(K)produit de matrices lmentaires telle que PA est en chelons.

Remarque 104 En particulier, la matrice P est inversible.

Passons la dmonstration du thorme 103.Cas dune matrice ligne Si n = 1, on crit A = (a1, . . . , ap) et on pose P = D1(1/ai) o i estle plus petit indice tel que ai , 0.Cas dune matrice deux lignes Montrons le rsultat pour n = 2. Si A M2,p(K), oncrit a1, . . . , ap les coefficients de la premire ligne de A et b1, . . . , bp les coefficients de laseconde ligne de A.

Si la premire ligne de A est nulle, appelons i1 le plus petit indice i pour lequelbi , 0. En posant S12 = D1(1)T21(1)T12(1)T21(1), la proposition 101 implique que

S12A =(0 0 bi1 bp0 0

).

On a donc

D1

(1bi1

)S12A =

(0 0 1 bi1+1/bi1 bp/bi10 0

).

On pose P = D1(

1bi1

)D1(1)T21(1)T12(1)T21(1). La matrice PA est en chelons.

Si la deuxime ligne de A est nulle, appelons i0 le plus petit indice i pour lequelai , 0. Alors,

D1

(1ai0

)A =

(0 0 1 ai0+1/ai0 ap/ai00 0

).

Posant P = D1(

1ai0

), la matrice PA est donc en chelons.

Si aucune ligne de A nest nulle, appelons i0 le plus petit indice i pour lequel ai , 0et i1 le plus petit indice i pour lequel bi , 0.


1er cas : i1 < i0 En posant S12 = D1(1)T21(1)T12(1)T21(1), la proposition 101implique que

S12A =(0 0 bi1 bp0 0 ai0 ap

).

On a donc

D2

(1ai0

)D1

(1bi1

)S12A =

(0 0 1 bi1+1/bi1 bp/bi10 0 1 ai0+1/ai0 ap/ai0

).

On pose P = D2(

1ai0

)D1

(1bi1

)D1(1)T21(1)T12(1)T21(1). La matrice PA est en chelons.

2e cas : i0 < i1 Dans ce cas, il nest pas ncessaire dchanger les deux premires

lignes. On pose donc P = D1(

1ai0

)D2

(1bi1

). La matrice PA est en chelons.

3e cas : i0 = i1 On a

T21

(bi0ai0

)A =

(0 ai0 ai0+1 ap0 0 bi0+1 b

p

)

o bi = bi bi0ai/ai0 pour tout i. Si les bi sont tous nuls, on pose P = D1

(1ai0

)T21

(bi0ai0

).

Si lun des coefficients bi est non nul, on note i2 le plus petit indice i pour lequel bi , 0.

On pose P = D2(

1bi2

)D1

(1ai0

)T21

(bi0ai0

). Dans les deux cas, la matrice PA est en chelons.

Extension un nombre quelconque de lignes Pour n 3, on raisonne par rcurrence surle nombre de colonnes p. On note H(p) la proprit pour tout entier n 3, pour toutematrice non nulle A Mn,p(K), il existe une matrice P Mn(K) produit de matriceslmentaires telles que PA est en chelons .

Si p = 1, on crit

A =

a1...an

.Choisissons lindice i de lun des coefficients non nuls de A. La proposition 96 impliquealors

Di

(1ai

)A =

a1...

ai11

ai+1...an


puis

T1i(a1) T(i1)i(ai1)T(i+1)i(ai+1) Tni(an)Di(

1ai

)A =

0...010...0

,

le 1 tant sur la ligne no i. Il reste repositionner le 1 sur la premire ligne. Laproposition 101 conduit

S1iT1i(a1) T(i1)i(ai1)T(i+1)i(ai+1) Tni(an)Di(

1ai

)A =

10...0

.o S1i est le produit de matrices lmentaires

S1i = D1(1)Ti1(1)T1i(1)Ti1(1).

On pose

P = S1iT1i(a1) T(i1)i(ai1)T(i+1)i(ai+1) Tni(an)Di(

1ai

).

La matrice PA est en chelons. La proprit H(1) est vraie.Soit p 1, on suppose vraie lhypothse H(p). Soit alors A Mn,p+1(K). Appelons

C1 la premire colonne de A de sorte que A = (C1|B) avec B Mn,p(K).1er cas : C1 = 0 Comme B , 0 et daprs H(p), il existe P Mn(K) produit de

matrices lmentaires telle que PB est en chelons. On a alors PA = (0|PB) et PA est enchelons.

2e cas : C1 , 0 Daprs le cas p = 1, il existe P Mn(K) produit de matriceslmentaires telle que

PC1 =

10...0

.On introduit les matrices Q Mn1,p(K) et L M1,p(K) telles que

PA =(

1 L0 Q

).

1er sous-cas : Q = 0 La matrice PA est en chelons.


2e sous-cas : Q , 0 Soit par le cas des matrices deux lignes (si n = 3), soitpar lhypothse H(p) (si n > 3), il existe R Mn1(K) produit de matrices lmentairestelle que RQ est en chelons. Si R est produit des matrices lmentaires E1, ,Eq alorson a le produit (

1 00 R

)=

(1 00 E1

)

1 00 Eq .

Chacune des matrices du membre de droite est lmentaire. On dfinit P comme leproduit de matrices lmentaires

P =(

1 00 R

)P .

On a

PA =(

1 L0 RQ

)et la matrice PA est en chelons.

A.3) Matrices lmentaires et inversibilit

Dans cette partie, on montre quon peut, dans le cas des matrices, oublier la dis-tinction entre inversibilit gauche et inversibilit droite. On montre aussi que toutematrice inversible est produit de matrices lmentaires.

Proposition 105 Toute matrice carre triangulaire suprieure dont la diagonale nestconstitue que de 1 est produit de matrices lmentaires et en particulier inversible.

Dmonstration. Soit U = (uij) Mn(K) une telle matrice. On peut construire U partir de lidentit remplissant les lignes une une de haut en bas. Plus prcisment,la proposition 96 implique que

T1,2(u1,2)T1,3(u1,3) T1,n1(u1,n1)T1,n(u1,n) =

1 u1,2 u1,3 . . . u1,n1 0 . . . 0

. . .. . .

.... . . 0

1

(pour sen convaincre, lire le produit des matrices de transvections de la droite vers lagauche). Par ritration, et en notant

T` = T ,`+1(u`,`+1)T ,`+2(u`,`+2) T ,n1(u`,n1)T ,n(u`,n)

on obtientU = Tn1Tn2 T2T1.


On peut maintenant dmontrer le thorme 32 dont on rappelle lnonc.

Thorme 106 Si une matrice admet un inverse gauche, alors elle admet un inverse droite. Elle est donc inversible.

Dmonstration. Soit A Mn(K). On suppose lexistence de B Mn(K) telle que BA = I.Puisque BA , 0, la matrice B nest pas nulle et le thorme 103 fournit une matriceinversible P telle que la matrice carre PB est chelonne. Cette matrice na pas de lignenulle sinon, son produit droite par nimporte quelle autre matrice de mme tailleaurait aussi une ligne nulle alors que PB(AP1) = PP1 = I na pas de ligne nulle. Lamatrice PB est donc triangulaire suprieure avec une diagonale forme uniquementde 1. Elle est donc inversible par la proposition 105. On en dduit que B = P1(PB) estinversible. On a alors

A = (B1B)A = B1(BA) = B1.

La matrice B1 est inversible donc A est inversible et admet un inverse droite (celuide B1, cest--dire B).

Il est immdiat quun produit de matrices lmentaires est inversible. On montremaintenant que la rciproque est vraie.

Proposition 107 Toute matrice inversible est produit de matrices lmentaires.

Dmonstration. Soit A Mn(K) une matrice inversible. Elle est non nulle. Par le tho-rme 103, on peut trouver une matrice P Mn(K), produits de matrices lmentaires,telle que PA = E est en chelons. Cette matrice en chelons E est inversible, commeproduit des deux matrices inversibles P et A. Elle nadmet donc pas de ligne nulle (dansle cas contraire, le produit droite de E par nimporte quel matrice aurait aussi uneligne nulle mais E E1 = I na pas de ligne nulle). Elle est donc triangulaire suprieureavec uniquement des 1 sur la diagonale. Par la proposition 105, on peut lcrire commeproduit de matrices lmentaires. La matrice A = P1E est alors produit de matriceslmentaires. En effet, la matrice P1 est produit dinverses de matrices lmentaires,donc de matrices lmentaires daprs la proposition 102.

A.4) Systmes et oprations lmentaires

Thorme 108 Soit A Mn,p(K), B Mn,1(K). On applique simultanment A et Bune succession doprations lmentaires pour obtenir A et B. Alors les systmes AX = Bet AX = B ont mme ensemble de solutions.

Dmonstration. On a A = PA et B = PB avec P un produit de matrices lmentaires. Enparticulier, la matrice P est inversible. Si X est solution de AX = B alors PAX = PB aprsmultiplication par P. Rciproquement, si X est solution de PAX = PB alors AX = Baprs multiplication par P1.


On justifie maintenant la remarque 56. Si A est carre et a t transforme en unematrice en chelons A sans ligne nulle alors A est inversible (d). Son inverse A1 estinversible donc produit de matrices lmentaires daprs la proposition 107. Appliquer A les oprations lmentaires sur les lignes correspondant ces matrices lmen-taires revient transformer A en A1A = I. Il existe donc une succession doprationslmentaires permettant de transformer A et I. Considrons une telle succession dop-rations lmentaires. Appliquer ces oprations revient multiplier A gauche parune matrice P, produit de matrices lmentaires, telle que PA = I. Si on applique lesmmes oprations B, on transforme B en PB. Mais de PA = I, on tire P = A1. On adonc transform B en A1B qui est la solution du systme daprs la proposition 37.

A.5) Justification de la mthode dinversion

On a nonc dans la partie 4 une mthode permettant de dterminer si une matriceest inversible et, lorsquelle lest, de calculer son inverse. Le but de cette annexe est dejustifier cette mthode.

Soit A Mn(K). La matrice en chelons A, obtenue partir de A par une successiondoprations lmentaires sur les lignes est de la forme A = PA o P est une matrice in-versible (voir les propositions 96 et 101). En particulier A est inversible si et seulementsi A lest.

Lors de la mise en uvre de la mthode dinversion, on applique A et I lesmmes oprations lmentaires sur les lignes. En termes de matrices lmentaires, ontransforme simultanment A en A = PA et I en P = PI. On transforme donc la matriceaugmente (A|I) en

(A|P

).

Supposons dabord que A a une ligne nulle. La matrice A nest donc pas inversible.En effet, tout produit AB contient une ligne nulle, la mme que A, et donc aucun telproduit ne peut tre gal I. Il sensuit que A nest pas inversible.

Supposons maintenant que A na pas de ligne nulle. Puisquelle est carre che-lonne, elle est alors triangulaire suprieure et sa diagonale nest compose que de 1.Elle est donc inversible (voir la proposition 105) et son inverse est produit de matriceslmentaires (voir la proposition 107). Puisque A1A = I, cela signifie quil existe unesuccession doprations lmentaires sur les lignes qui transforment A en I. Appliquercette succession doprations lmentaires la matrice augmente

(A|P

), la transforme

en la matrice augmente(I|A1P

). Or A = PA donc A1P = A1. On a finalement

transform la matrice augmente (A|I) en la matrice augmente(I|A1

).

d. En effet la matrice A est triangulaire suprieure avec des 1 sur la diagonale. La proposition 105implique donc quelle est inversible. Puisque A = PA avec P inversible, la matrice A est aussi inversible.

B Dterminants p. 53

B Dterminants

B.1) Dterminant dun produit

Nous montrons que det(AB) = det(A)det(B).

1. Supposons que A nest pas inversible. Il existe un produit Q de matrices lmen-taires et une matrice en chelons A telle que A = QA. La matrice Q est inversible,on note P son inverse. Cest encore un produit de matrices lmentaires. On aA = PA. Puisque multiplier gauche par un produit de matrices lmentairesrevient appliquer une succession doprations lmentaires sur les lignes, ilexiste , 0 tel que det(A) = det

(A). La matrice A nest pas inversible donc la

matrice en chelons A contient une ligne de 0. Il en rsulte que det(A)

= 0 puis

que det(A) = 0 et donc det(A)det(B) = 0. Puisque AB = PAB, il existe aussi , 0tel que det(AB) = det

(AB

). Mais, comme A, la matrice AB contient une ligne de

0 donc est de dterminant nul. Ainsi, det(AB) = 0 et on a det(A)det(B) = det(AB).

2. Supposons que A est inversible. Il existe des matrices lmentaires E1, . . . ,Eq tellesque A = E1 Eq (voir la proposition 107). On a alors

det(AB) = det(E1 EqB).

Notons B = E2 EqB. Si E1 est une matrice de dilatation Di(a), alors E1B sedduit de B par multiplication de la ligne no i par a (proposition 96). Il en ressortque det(E1B) = adet(B) (proposition 68). Mais a = det(Di(a)) donc det(E1B) =det(E1)det(B). Si E1 est une matrice de transvection Tij() alors E1B se dduit deB par ajout la ligne no i du produit par de la ligne no j (proposition 96). Il enressort que det(E1B) = det(B) (corollaire 79). Mais det

(Tij()

)= 1 donc

det(AB) = det(E1)det(E2 EqB)

quelque soit la matrice lmentaire E1. Par ritration, on a

det(AB) = det(E1) det(Eq)det(B)

pour toute matrice B. En appliquant cette galit B = I, on trouve en particulier

det(A) = det(E1) det(Eq).

Finalementdet(AB) = det(A)det(B).

B.2) Dterminant et transposition

Nous montrons que A et At ont mme dterminant.

p. 54 B Dterminants

1) Si A nest pas inversible alors At nest pas inversible. En effet, si At tait inversible,alors daprs la proposition 36, la matrice A =

(At)t

serait inversible. Puisque A nest

pas inversible, on a det(A) = 0 et puisque At nest pas inversible, on a det(

At)

= 0.

2) Si A est inversible elle se dcompose en A = E1 Eq avec E1, . . . ,Eq des matriceslmentaires. On a alors At = Eqt E1t puis det(A) = det(E1) det(Eq) et det

(At)

=

det(

Eqt) det

(E1t

). Il suffit donc de dmontrer que le dterminant dune matrice

lmentaire est gal celui de sa transpose. La transpose de la matrice de trans-vection Tij() est Tji() et les matrices de transvection sont toutes de dterminant1 de sorte que le rsultat est vrai pour les matrices de transvection. Les matricesde dilatation sont leur propre transpose de sorte que le rsultat est vrai pour lesmatrices de dilatation.

Chapitre 2 Matrices - Laboratoire de...

Documents

Transcript of Chapitre 2 Matrices - Laboratoire de...