Chapitre 2 - Ensembles de nombres et Intervalles

I – Les différents ensembles de nombres

1) L’ensemble des nombres réels

L’ensemble de tous les nombres que nous utilisons est appelé l’ensemble des nombres réels et est noté On

représente l’ensemble des réels à l’aide de la droite numérique.

Tout point de la droite graduée est repéré par un unique nombre réel appelé abscisse du point.

2) Des réels particuliers

Définitions :

a) L’ensemble des nombres entiers naturels est noté 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ………}

b) L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté …… –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …….}

c) L’ensemble des nombres décimaux est noté : c’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme

, avec n entier naturel et a entier relatif.

Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

d) L’ensemble des nombres rationnels est noté : c’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme

quotient de deux entiers relatifs c'est-à-dire sous la forme

; a et b appartenant à .

Remarque : Il existe des réels qui ne sont pas rationnels ; par exemple et π : ce sont des irrationnels.

Exercice 1

Compléter le tableau suivant.

Si le nombre appartient à l’ensemble de nombres, le réécrire sous forme adaptée. Si le nombre n’y appartient pas,

mettre une croix dans la case.

25 5 +5 5,0

5

– 12 x –12 –12,0

–12

– 5,2 x x – 5,2

– 5,2

x – 4 – 4,0

3 + 3 3,0

x x 1,25

x x x

x x x x

2 +2 2,0

3,14 x x 3,14

3,14

2

3

+ ∞

0

1

O 1

3) Des inclusions

Chaque entier naturel est aussi un entier relatif : on note et on lit « n est inclus dans z ».

Chaque entier relatif est aussi un nombre décimal: on note

Chaque nombre décimal est aussi un quotient d’entiers : on note

Ainsi on a :

II - Les intervalles

1) Les différents types d’intervalles

Définitions :

L’ensemble des nombres réels compris, au sens large, entre deux nombres réels a et b est noté . C’est un intervalle qui désigne ici, tous les nombres réels x tels que : a .

a et b sont appelés les extrémités de l’intervalle.

Le tableau suivant présente différents types d’intervalles :

L’intervalle noté… est l’ensemble des réels x

tels que

Il est représenté sur une

droite graduée par

[ a , b ]

a ≤ x ≤ b

] a , b [

a < x < b

] a , b ]

a < x ≤ b

[ a , b [

a ≤ x < b

[ a , + ∞ [

a ≤ x ou x ≥ a

] a , + ∞ [

a < x ou x > a

] – ∞ , b ]

b ≥ x ou x ≤ b

] – ∞ , b [

b > x ou x < b

Remarques :

a) On dit qu’un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l’intervalle.

Par exemple é é é

b) On dit qu’un intervalle est ouvert si ses extrémités n’appartiennent pas à l’intervalle.

Par exemple est un intervalle ouvert d’extrémités 2 et 5.

c) [ a , + ∞ [ et ] a , + ∞ [ sont des intervalles non bornés respectivement fermé et ouvert en a.

d) L’ensemble ∞ ∞ .

2) Réunion et intersection :

Définitions :

a) L’intersection de deux intervalles A et B est l’ensemble des réels qui appartiennent à A et B .

On note cette intersection A ∩ B.

b) La réunion de deux intervalles A et B est l’ensemble des réels qui appartiennent à A ou à B ou aux deux.

On note cette réunion A ∪ B.

Exemple :

Soient A = et B = deux intervalles. Ecrire sous la forme d’un intervalle A ∩ B et A ∪ B.

On commencera par représenter ces intervalles sur une droite graduée.

A ∩ B = ] 0 ; 1] et A ∪ B = [– 2 : 5]

Exercice 2

Compléter :

Exercice type 1

1) Traduire chaque information par l’appartenance de x à un intervalle :

a) – 1 ≤ x ≤ 4 [– 1 ; 4] b) x > – 2 ] – 2 ; + ∞ [ c) – 3 < x ≤ 1. ] – 3 ; 1]

2) Traduire chaque information par des inégalités :

a) x ] – 4 ; – 2] – 4 < x ≤ – 2 b) x ] – ∞ ; – 6[ x < – 6 c) x [1 ; + ∞ [. 1 ≤ x

Exercice 3

Représenter sur un axe gradué les différents intervalles et écrire plus simplement leur réunion ou leur intersection :

1) [– 3 ; 5] [0 ; 7] [– 3 ; 7] 2) [– 6 ; 1] [2 ; + [ Ø

3) [– 8 ; – 1] [– 1 ; 2[ {– 1} 4) ] – ; 2[ ] – 1 ; + [ ] – 1 ; 2[

5) ] – 4 ; 0[ [0 ; +[ Ø 6) [– 6 ; 5] [3 ; 9] [3 ; 5]

7) [– 2 ; 0] [2 ; 5] [– 2 ; 0] [2 ; 5] 8) [– 1 ; 6] [8 ; 9] ]6 ; 8[ [– 1 ; 9]

9) ] – ; – 2[ ] 0 ; + [ Ø 10) [– 1 ; 4] [3 ; 5] [7 ; 12]. [– 1 ; 5] [7 ; 12]

III – Quelques règles de calculs

1) Fractions

Prop : On considère a, b, c sont trois nombres réels non nuls.

5

-3 1

7 8

-7 2

0 6 517

-1

0

-9

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

-51 -23

7

i.

j.

x vérifie l’inégalité x ≥ 5 x [5 ; + ∞[

x vérifie l’inégalité – 3 < x ≤ 1 x ] – 3 ; 1]

x vérifie l’inégalité 7 ≤ x ≤ 8 x [7 ; 8]

x vérifie l’inégalité x ≤ – 1 x ] – ∞ ; – 1]

x vérifie l’inégalité – 7 < x < 2 x ] – 7 ; 2[

x vérifie l’inégalité x < – 9 x ] – ∞ ; – 9[

x vérifie l’inégalité 0 ≤ x < 6517 x [ 0 ; 6517[

x vérifie l’inégalité 0 < x x ] 0 ; + ∞ [

x vérifie l’inégalité x ≤ 7 x ] – ∞ ; 7]

x vérifie l’inégalité – 51 < x < – 23 x ] – 51 ; – 23 [

*

et a ×

.

* L’inverse de la fraction

est

. (ie :

Exercice 4

Ecrire sous forme de fraction irréductible les nombres :

A =

; B =

; C =

; D =

; E =

; F = 2 +

.

A =

; B =

; C =

; D =

; E = x ² + 3 x; F =

2) Radicaux

Rem : * n’existe que si a est un réel positif.

* Pour tout a réel positif : = a. Pour tout réel a :

.

Prop : Si a et b sont des réels positifs :

Rem : Attention : a b ≠ a b .

Ex : = 3 × 5 = 15 ;

;

= 2 + 4 = 6.

Mais = ≠ 7 = .

Exercice 5

Simplifier l’écriture des nombres suivants :

A = ; B = ; C = ; D = .

A = 45 ; B = 31 ; C = 1,97 ; D = – 330

IV – (In)Équations du 1er

degré

1) Rappels

Définitions :

Une équation (resp : inéquation) est une égalité (resp : inégalité) entre deux expressions (appelés

membres de l’équation) dans lesquelles apparaissent des lettres (les inconnues). Une valeur numérique qui

rend vraie cette égalité (resp : inégalité) est solution de l’équation (resp : inéquation).

Résoudre une équation (resp : inéquation), c’est déterminer l’ensemble de toutes les solutions de cette

équation (resp : inéquation).

Deux équations (resp : inéquations) équivalentes sont deux équations (resp : inéquations) ayant le même

ensemble de solutions.

Exemple : (– 3) est une solution de l’équation : x ² + 5 = 2 x + 20.

En effet, on a alors : x ² + 5 = (– 3)² + 5 = 9 + 5 = 14 et 2 x + 20 = 2(– 3) + 20 – 6 + 20 = 14.

2) Règles de calculs

Pour résoudre une équation :

Si on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation

équivalente.

Algébriquement : a = b a + c = b + c a = b a – c = b – c

Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, on obtient

une équation équivalente.

Algébriquement : a = b Si c ≠ 0, a × c = b × c a = b Si c ≠ 0,

.

Exemple : Résolvons l’équation du 1er degré (E) 2 x – 5 = 7 x + 3.

On « isole » x : (E) 2 x – 5 – 7 x + 5 = 7 x + 3 – 7 x + 5 – 5 x = 8

On divise par le coefficient de x : (E)

x =

.

On écrit l’ensemble des solutions : S =

.

Pour résoudre une inéquation :

Si on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres d’une inéquation, on obtient une

inéquation de même sens.

Algébriquement : a ≤ b a + c ≤ b + c a ≤ b a – b ≤ b – c.

Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d’une inéquation par un même nombre strictement positif,

on obtient une inéquation de même sens.

Algébriquement : si c > 0, a ≤ b a × c ≤ b × c si c > 0, a ≤ b

≤

.

Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d’une inéquation par un même nombre strictement négatif,

on obtient une inéquation de sens contraire.

Algébriquement : si c < 0, a ≤ b a × c ≥ b × c si c < 0, a ≤ b

≥

.

Exemple : Résolvons 3 x – 2 ≤ – 3.

On a : 3 x – 2 ≤ – 3 3 x – 2 + 2 ≤ – 3 + 2 3 x ≤ – 1

x ≤

.

D’où S = .

Exercice 6

Résoudre les équations suivantes :

1) 3 x + 5 = 0 2) x + 2 = 3 x +7 3)

x + 3 = x + 2 4)

x + 22 = 2x +

5) 3 x – 7 + x = 15 + 2 x – 4 6) – 5 x + 2 = 3 x – 4 7) 4 x – 3 – 2 x = 4 + 2 x

1) S =

// 2) S =

// 3) S = {2} // 4) S =

// 5) S = {18} // 6) S =

// 7) S =

Exercice 7

Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée :

1) 7 x + 5 < – 3 2) – 3 ≥ – 5 x + 7 3) 3 x – 2 ≤ x – 4

4) 5 x + 9 > 3 – 4 x 5) 4 x + 2 ≤ 7 – 2 x 6) 4 x – (x + 1) < 8 – x.

1) S =

// 2) S = [2 ; + ∞[ // 3) S = ]– ∞ ; –1] // 4) S =

// 5) S =

// 6) S =

Exercice-type 2 – Mise en équation d’un problème

1) Un tiers de la surface d’un jardin est recouverte par une piscine et 4 m² sont utilisés par un local technique.

Sachant qu’il reste 380 m², quelle est l’aire de ce jardin ?

2) Un loueur de VTT veut construire un entrepôt pour ranger ses vélos. Il a d’abord envisagé de lui donner

une forme carrée mais, finalement, il a choisi d’augmenter un côté de 4 mètres et de diminuer l’autre côté

de 2 mètres afin d’obtenir une forme rectangulaire mieux adaptée à ses besoins. Il constate alors que l’aire

de son entrepôt a augmenté de 6 m².

Quelles sont alors les dimensions de son entrepôt ?

3) Bob désire louer des Blu-ray chez VidéoBill qui lui propose les deux possibilités suivantes pour une

location à la journée :

OPTION A : tarif à 3 € par Blu-ray loué.

OPTION B : une carte d’abonnement de 15 € pour 6 mois avec un tarif de 1,5 € par Blu-ray loué.

Déterminer à partir de combien de Blu-ray l’option B est elle plus avantageuse que l’option A pour 6 mois.

1) * Etape 1 – Choix de l’inconnue : Soit x l’aire du jardin.

* Etape 2 – mise en équation :

x + 4 + 380 = x

* Etape 3 – Résolution :

x + 384

x = x

x

x = 384 x =

= 576. Donc S = {576}.

* Etape 4 – Conclusion / Réponse au problème : La surface du jardin est 576 m².

2) Soit x la longueur en m² du côté du carré initial. Comme le côté est diminué de 2 m, on doit avoir x > 2.

On a : A carré = x ² et A rectangle = (x + 4) (x – 2). De A carré + 6 = A rectangle, on en déduit : x ² + 6 = (x + 4) (x – 2).

D’où : x ² + 6 = x ² – 2 x + 4 x – 8 2 x – 8 = 6 2 x = 6 + 8 = 14 x =

= 7. Donc S = {7}.

Comme x = 7 > 2, cette valeur est compatible avec les données de l’énoncé.

Donc l’entrepôt a pour longueur 7 + 4 = 11 m et pour largeur 7 – 2 = 5 m.

3) Soit x le nombre de blu-ray loués pendant les 6 mois.

L’option A aboutit à un coût de 3 x et l’option B : 15 + 1,5 x. Cette option sera plus intéressante que l’option A si on a : 15 + 1,5 x < 3 x.

D’où : 15 < 3 x – 1,5 x = 1,5 x

= 10 < x. D’où S = ]10 ; + ∞[.

Au final, l’option B sera plus avantageuse que l’option A si on loue au moins 11 blu-ray pendant les 6 mois.

Exercice 8

1) On partage une somme entre trois personnes. La première reçoit un tiers de la somme, la deuxième reçoit 380 €

et la dernière reçoit 4 € de plus que la première. Quel est le montant, en euros, de la somme partagée ?

2) Une entreprise de 380 employés souhaite recruter 4 personnes. Le responsable du recrutement fait observer que

si ces 4 personnes sont des femmes, il y aura seulement un tiers d’hommes dans l’entreprise. Combien y a-t-il de

femmes dans cette entreprise ?

3) Une classe de 2nde

cherche à résoudre un défi. Après 15 minutes, les élèves qui n’avaient pas trouvé sont deux

fois plus nombreux que les autres. Mais 3 minutes plus tard, 4 élèves s’ajoutent à ceux qui ont trouvé, ainsi la

moitié de la classe a résolu cette énigme. Combien y-a-t-il d’élèves dans cette classe ?

4) Quel nombre faut-il ajouter à 100 et à 20 pour que le plus grand résultat soit le triple du plus petit ? (Problème

proposé par Diophante)

5)

2x + 3

3x + 1

Démontrer que si le périmètre de

ce rectangle est 28 alors ce rectangle

devient un carré

6) Le périmètre d’un rectangle est 80 m. La longueur mesure 20m de plus que la largeur. Quelle est sa largeur ?

Exercice 9

1) Achetée en magasin, une cartouche d’encre noire pour imprimante coûte 17,90 €.

Achetée sur un site Internet, la même cartouche coûte 16,50 €, mais il y a des frais de port d’un montant de 4,90 €

quel que soit le nombre de cartouches achetées.

A partir de combien de cartouches, l’achat sur Internet est-il moins cher qu’en magasin ?

2) Barnabé souhaite louer une voiture. L’entreprise propose 3 tarifs :

* Tarif A : un forfait de 250 € pour les 500 premiers kilomètres puis 0,40 € le kilomètre supplémentaire ;

* Tarif B : 650 € par mois, kilométrage illimité ;

* Tarif C : 0,50 € le kilomètre.

Déterminer, en fonction du kilométrage parcouru, le tarif le plus intéressant.

VII : 1) En posant x la somme recherchée, la question se traduit par

x + 380 +

x + 4= x x= 1152 € // 2) .. x = 252 // 3) 24 élèves dont 8

qui ont trouvé au bout de 15 mn // 4) n = 20 // 5) x = 2 => L = l = 7 // 6) L = 10 m.

VIII : 1) x : nombre de cartouche (x est un entier naturel) => 16,5 x + 4,9 < 17,9 x 3,5 < x => .. au moins 4 cartouches

2) TA = 250 si x ≤ 500 et 250 + 0,4 (x – 500) sinon ; TB = 650 ; TC = 0,5x…

TC si x < 500 ; TA entre 500 et 1625, puis TB.