Chapitre 2. Construction générale de l’intégrale de Riemann

Construction generale de l’integrale de Riemann

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victor.tchoulaevski @ univ-reims.fr

Documents du cours:

http://urcamath.free.fr/MA0301

Chapitre 2. Construction generale de l’integrale de Riemann

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Reprenons la ”formule des rectangles”, en posant

L := b− a, hn := L/n =b− a

n, xi = a+ i hn, i = 0, . . . , n.

Alors on a I(f, a, b) = limn→+∞ In(f, a, b), ou

In(f, a, b) =1

n

Sn︷︸︸︷n∑

i=1

f(xi)hn =n∑

i=1

f(xi)L

n

= L ·1

n

n∑i=1

f(xi) .

(1)

Premiere observation: a un facteur constant pres, In(f, a, b) est la moyennearithmetique des valeurs f(xi). Dans les methodes numeriques et dans la compressionde donnees on appelle souvent une collection de points qui remplit de maniere assez”dense” un intervalle (ou une autre figure geometrique) ”un maillage”, et le calcul desvaleurs d’une fonction f en ces points est appele ”echantillonnage” de f . Dans cetteterminologie, In(f, a, b)/L est la moyenne arithmetique de l’echantillon des valeurs def sur un maillage equidistant qui s’etend de a a b.

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• Pourquoi a-t-on privilegie dans ”definition” basee sur la formule (1) les fonctionscontinues?

• La continuite de f suffit-elle pour garantir l’existence de limn→+∞

In(f, a, b)?

• Y a-t-il un moyen d’estimer l’erreur d’approximation de I =∫ ba f(x) dx par

In(f, a, b) pour un n ≥ 1 donne?

Toutes ces questions sont naturelles; aucune des reponses n’est banale. En particulier,la troisieme est la routine quotidienne des ”numericiens”. Dans la pratique, uneaffirmation ”la masse de l’objet egale 1 kg” n’a aucun sens: premierement, toutes lesvaleurs mesurees sont approchees, et deuxiemement, il se pourrait que la fourchettesoit 1kg ±103kg ...

Les discours et debats de certaines personnes politiques fournissent des exemples bieninteressants de ”precision” non precisee.

Exemple: lors du debat des deux finalistes des elections presidentielles 2007, lacandidate A pose la question: ”Savez-vous quelle est la part du nucleaire dans laconsommation d’electricite en France ?”

”50%”, repond son adversaire B sans hesiter une nanoseconde.”Non, 17%”, replique A avec un air de superiorite.

Exercice. Cherchez la bonne reponse et estimez la ”precision” des deux candidats.Solution. Regardez un extrait sur YouTube.[www.youtube.com/watch?v=s5e90JukQEs]

Neanmoins, A et B ont raison ... si l’on accepte erreur d’approximation de 90% !

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https://www.youtube.com/watch?v=s5e90JukQEs


Il y a encore une question naturelle:

• Le choix de l’argument xi := a+ ihn ∈ [a+ (i− 1)hn, a+ ihn] est assez arbitraire;qu’est-ce qui se passe si on remplace des points xn par d’autres points des memessous-segments?

On fera souvent reference aux intervalles [a+ (i− 1)hn, a+ ihn]; il est donc utile deposer Ji := [a+ (i− 1)hn, a+ ihn].

L’ensemble des sous-segments J1, . . . , Jn va sans doute nous accompagner toute aulong de la discussion de la formule des rectangles; autant donner un nom a cettecollection de sous-segments. On parle d’habitude d’une ”subdivision” de J := [a, b],ou d’une ”partition” de J . Celle-ci est specifique: les Ji sont de la meme longueur, eton parle alors d’une equipartition.

On voit grandir notre dictionnaire de travail. C’est normal. Il y aura des mots aapprendre, mais prefere-t-on voir un mode d’emploi d’un smartphone ou d’un logicieldont toutes les composantes sont appelees ”machins” ?

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f n’etant pas forcement constante (sinon, MA0301 aurait prit 5 minutes de cours et30 secondes de TD), le remplacement des xi par d’autres points yi ∈ Ji modifie lestermes de la somme. Peut-on estimer l’amplitude des variations possibles?

Puisque f est supposee continue sur J , elle l’est sur chaque sous-segment Ji. Untheoreme sur les fonctions continues dit: toute fonction continue sur un segment yadmet un minorant et un majorant fini; elle y admet aussi un point de maximum et unpoint de minimum. [Demonstration: plus tard.]

Ainsi, pour tout 1 ≤ i ≤ n il existe y+i , y−i ∈ Ji t.q.

miny∈Ji

f(y) = f(y−i ), maxy∈Ji

f(y) = f(y+i ).

Fixons de tels points y±i pour chaque i et formons les sommes

S−n (f, J) :=

n∑i=1

f(y−i )hn , S+n (f, J) :=

n∑i=1

f(y+i )hn ,

Alors tout autre choix des points yi ∈ Ji donnera un resultat

S−n (f, J) ≤

n∑i=1

f(yi)hn ≤ S+n (f, J),

donc l’amplitude des variations est majoree par S+n (f, J)− S−

n (f, J) ≥ 0.

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Or, on a

S+n (f, J)− S−

n (f, J) =n∑

i=1

(f(y+i )− f(y−i )

)hn = hn

n∑i=1

(f(y+i )− f(y−i )

)≤L

n· n ·max

i

∣∣f(y+i )− f(y−i )∣∣

= L ·maxi

∣∣f(y+i )− f(y−i )∣∣ .

Supposons que f verifie la propriete suivante: (Commentaire: tables de fonctions)

”Quel que soit ϵ > 0, il existe δ > 0 t.q. si |y′ − y′′| ≤ δ, alors |f(y′)− f(y′′)| ≤ ϵ.”

[Continuite UNIFORME]On veut rendre S+

n (f, J)− S−n (f, J) inferieur a 0.1? Aucun probleme. Prenons δ > 0

requis ci-dessus pour ϵ = 0.1/L, puis prenons n tellement grand que hn = L/n ≤ δ.Alors pour y+i , y

−i ∈ Ji on a |y+i − y−i | ≤ δ, d’ou pour tout i = 1, . . . , n∣∣f(y+i )− f(y−i )

∣∣ ≤ ϵ = 0.1/L

et finalementS+n (f, J)− S−

n (f, J) ≤ L · 0.1/L = 0.1.

Mission accomplie pour la valeur 0.1. On veut 10−3, ou 10−33? On a qu’a remplacerϵ par cette valeur, 10−3 ou 10−33, trouver un nouveau δ, et finir comme avant.

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La propriete citee sur la page precedente fait l’impression d’une abstraction theorique.Pourquoi?

Parce que les lettres grecques, sans parler des quantificateurs ∀ et ∃ , n’ont pas l’airedes choses dont une femme/un homme ”pratique” aurait besoin dans la vie”quotidienne”.

Que fait donc une personne ”bien pratique” dans sa vie avec un diplome de mathsdans sa poche?

Par exemple, elle traite les donnees statistiques pour le compte d’une entreprise(industrie, finance, assurance, ...). Dans les statistiques, on a besoin, par exemple, desfonctions dites ”de repartition” des lois de probabilites les plus souvent utilisees.Avant l’arrivee massive des ordinateurs, on imprimait des tables des valeurs de tellesfonctions. Peut-on enumerer toutes les valeurs d’une fonction f : [0, 1] → R pour tous

les x ∈ [0, 1]? Evidemment que non: il y a une infinite de points dans chaque segment.

Une solution simple a ete trouvee il y a longtemps: donner uniquement les valeursf(x) pour les x qui constituent une progression arithmetique de raison 10−n, ou n estlimite par la taille de la table (le nombre de pages).

Supposons que l’on se permet les nombres 0, 0.01, . . . , 0.99, 1. Que faire le jour ou onaura besoin de f(0.153)? C’est la que l’on realise: sans connaıtre les proprietesparticulieres d’une fonction donnee f , on ne peut rien dire en general. Au bout ducompte, on doit savoir si f verifie la propriete ci-dessus citee, et meme en connaıtre lesdetails. Des fonctions ”sympa” qui verifient une telle propriete sont appelees”uniformement continues”. (Commentaires au tableau.)

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Pour continuer, nous allons enrichir davantage notre vocabulaire de travail.

Definition 2.1

Subdivision (partition) d’un segment [a, b] est une collection σ = {a0, a1, . . . , an} oua0 = a, an = b, et ai < ai+1. σ est adaptee a f ssi f prend une valeur constante cisur chaque (ai−1, ai).On dit que f : [a, b] → R est en escalier ssi elle admet une partition adaptee.

On denote par E([a, b]) l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].Bien que l’on ne puisse pas se limiter aux fonctions en escalier, il sera necessaire dedefinir la notions de l’integrale pour de telles fonctions (constantes par morceaux).

Definition 2.2

Soit f : [a, b] → R une fonction en escalier qui admet une partition adapteeσ = {a0, . . . , an} et prend les valeurs ci sur (ai, bi). Son integrale (de Riemann) sur[a, b] est le nombre∫ b

af(x)dx :=

n∑i=1

ci · (ai − ai−1) (dans l’exemple ci-dessus, n = 3)

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Il convient de definir maintenant la notion de Riemann-integrabilite d’une fonctionavant de definir son integrale. Une chose importante: seules les applicationsf : [a, b] → R sont ”homologuees” pour integration sur [a, b]. Autrement dit, f doitetre bien definie sur [a, b]. Cette condition n’est pas suffisante, mais elle est necessaire.

Definition 2.3

Une application f : [a, b] → R est Riemann-integrable ssi il existe deux suites defonctions en escalier, χn, θn ∈ E([a, b]), n ≥ 1, t.q. θn est non negative et{

∀n ≥ 1 ∀x ∈ [a, b] |χn(x)− f(x)| ≤ θn(x),

ϵn :=∫ ba θn(x) dx −→

n→∞0.

(2)

Interpretation des fonctions χn et θn est tres simple :

χn(x) est une approximante de f(x) (Riemann-approximante),

et

θn(x) est une majorante de l’erreur de cette approximation, |χn(x)− f(x)|.

Quant a ϵn, il donne une majorante globale, au sens integral, de l’erreurd’approximation.

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Theoreme 2.1

Soit f : [a, b] → R une fonction Riemann-integrable. Alors pour pour toute suiteRiemann-approximante (χn)n≥1 de f il existe la limite qui ne depend pas du choixde la suite :

I = limn→+∞

∫ b

aχn(x) dx.

En admettant temporairement ce theoreme, on peut definir l’integrale de Riemann :

Definition 2.4

Soit f : [a, b] → R une fonction Riemann-integrable. L’integrale de Riemann∫ ba f(x) dx est la limite

I = limn→+∞

∫ b

aχn(x) dx

ou (χn)n≥1 est n’importe quelle suite Riemann-approximante de f .

Conventions-definitions:∫ aa f(x) dx := 0;

si a > b alors∫ ba f(x) dx := −

∫ ab f(x) dx.

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La meme chose en termes simples.

t

a(t)

t

s(t)

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t

a(t)

t

s(t)

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t

a(t)

t

s(t)

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Lemme 2.1

Une application f : [a, b] → R est R-integrable ssi il existe deux suites de fonctions enescalier, φn, ψn ∈ E([a, b]), n ≥ 1, t.q.{

∀x ∈ [a, b] φn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x) ,

ϵn :=∫ ba

(ψn(x)− φn(x)

)dx −→

n→∞0.

(3)

Exercice 2.1

Demontrer Lemme 2.1.

Indications. • Pour etablir la suffisance de la propriete (3) pour R-integrabilite de f ,construire les suites χn et θn ainsi :

χn(x) :=ψn(x) + φn(x)

2, θn(x) =

ψn(x)− φn(x)

2

puis montrer que ces deux suites verifient (2).

• Pour la necessite, poser

ψn(x) := χn(x) + θn(x) , φn(x) = χn(x)− θn(x)

puis montrer que ces deux suites verifient (3).

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Exercice 2.2

Demontrer les lemmes suivants :

Lemme 2.2

Toute fonction en escalier f : [a, b] → R est Riemann-integrable sur [a, b].

Lemme 2.3

Soit une fonction en escalier f : [a, b] → R et (a0, a1, . . . , an) une partition adaptee af . Soient c1, . . . , cn les valeurs prises par f sur les elements de cette partition,Ji = [ai−1, ai], 1 ≤ i ≤ n. Alors∫ b

af(x) dx =

n∑i=1

ci (ai − ai−1).

Une fonction en escalier (meme constante !) a une infinite de partitions adaptees(demontrez-le!), et a priori la valeur de la somme a droite pourrait dependre de lapartition choisie. Puisque le terme a gauche (l’integrale) n’en depend pas, il s’en suitque la valeur de la somme est la meme pour toute partition adaptee. Dans le casparticulier des fonctions en escalier, demontrer cette independance est plus facile quedans le cas general, sans meme evoquer l’integrale. Considerez ceci comme encore unexercice (pour les plus curieuses/curieux parmi vous).

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Integrale des fonctions reglees

Definition 2.5

(χn)n≥1 Une suite d’applications (fn)n≥1 sur [a, b] converge uniformement versapplication f : [a, b] → R ssi

limn→+∞

ϵn = 0 , ou ϵn := supx∈[a,b]

|fn(x)− f(x)|.

Notations habituelles: fn ⇒ f sur [a, b], ou fn[a,b]

⇒ f .

Definition 2.6

On dit que fonction f : [a, b] → R definie sur [a, b] est reglee ssi il existe une suite defonctions en escalier fn ∈ E([a, b]) qui converge uniformement vers f .

Theoreme 2.2

Soit f : [a, b] → R une fonction reglee.(A) Pour toute suite approximante fn ⇒ f (de fonctions en escalier) la limite

L = limn→∞

∫ b

afn(x) dx

existe et ne depend pas du choix de la suite fn (donc, determinee uniquement par f).(B) Par consequent, f est est R-integrable sur [a, b].

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Definition 2.5


limn→+∞


|fn(x)− f(x)|.


⇒ f .

Definition 2.6


Theoreme 2.2


L = limn→∞

∫ b

afn(x) dx


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Definition 2.5


limn→+∞


|fn(x)− f(x)|.


⇒ f .

Definition 2.6


Theoreme 2.2


L = limn→∞

∫ b

afn(x) dx


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Demonstration du Theoreme 2.2. (A) Soit fn ⇒ f . Fixons ϵ > 0. Il existe N(ϵ) t.q.pout tous n,m ≥ N(ϵ) |fn(x)− fm(x)| ≤ ϵ

b−apartout dans [a, b]. (Pourquoi ?)

Soit In =∫ ba fn(x) dx. Par comparaison,

|In − Im| =∣∣∣∣∫ b

afn dx−

∫ b

afm dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a(fn − fm) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|fn − fm| dx ≤

∫ b

a

ϵ

b− adx =

ϵ(b− a)

b− a= ϵ.

Ainsi, (In) est fondamentale ⇒⇒⇒ elle converge.

Soit f ′n ⇒ f , f ′′n ⇒ f . On pose I′n =∫ ba f ′n dx, I

′′n =

∫ ba f ′′n dx.

Montrons que |I′n − I′′n | → 0. Fixons ϵ > 0, alors pour n suffisamment grand

|I′n − I′′n | =∣∣∣∣∫ b

af ′n dx−

∫ b

af ′′n dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a(f ′n − f ′′n ) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|f ′n − f ′′n | dx ≤

∫ b

a

ϵ

b− adx =

ϵ(b− a)

b− a= ϵ

ce qui implique (comment ?) que

limn→+∞

∫ b

af ′n(x) dx = L = lim

n→+∞

∫ b

af ′′n (x) dx.

(B) La condition (2) est verifiee avec χn(x) := fn(x) et θn(x) := ϵn (constante !).

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|In − Im| =∣∣∣∣∫ b

afn dx−

∫ b

afm dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a(fn − fm) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|fn − fm| dx ≤

∫ b

a

ϵ

b− adx =

ϵ(b− a)

b− a= ϵ.



′′n =



|I′n − I′′n | =∣∣∣∣∫ b

af ′n dx−

∫ b

af ′′n dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a(f ′n − f ′′n ) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|f ′n − f ′′n | dx ≤

∫ b

a

ϵ

b− adx =

ϵ(b− a)

b− a= ϵ


limn→+∞

∫ b


n→+∞

∫ b

af ′′n (x) dx.


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|In − Im| =∣∣∣∣∫ b

afn dx−

∫ b

afm dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a(fn − fm) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|fn − fm| dx ≤

∫ b

a

ϵ

b− adx =

ϵ(b− a)

b− a= ϵ.



′′n =



|I′n − I′′n | =∣∣∣∣∫ b

af ′n dx−

∫ b

af ′′n dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a(f ′n − f ′′n ) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|f ′n − f ′′n | dx ≤

∫ b

a

ϵ

b− adx =

ϵ(b− a)

b− a= ϵ


limn→+∞

∫ b


n→+∞

∫ b

af ′′n (x) dx.


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Quelques resultats generaux

Definition 2.7

Application f : [a, b] → R est dite uniformement continue ssi

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 :(|x− y| ≤ δ

)⇒⇒⇒

(|f(x)− f(y)| ≤ ϵ

).

Question (pour verifier si tout le monde s’est endormi ou non): a-t-on deja vu cettepropriete aujourd’hui?

Exercice 2.3

Montrer que toute application uniformement continue sur un intervalle I est continuesur I.

Theoreme 2.3 (Edouard Heine; un mathematicien allemand, 1821–1881)

Toute fonction continue sur un segment [a, b] est uniformement continuesur [a, b].

[C’est un resultat fondamental; demonstration est astucieuse et instructive.]

Theoreme 2.4

Toute fonction continue sur un segment [a, b] est reglee.

[Resultat assez facile: il suffit d’appliquer le Theoreme de Heine.]

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Definition 2.7

Application f : [a, b] → R est dite uniformement continue ssi

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 :(|x− y| ≤ δ

)⇒⇒⇒

(|f(x)− f(y)| ≤ ϵ

).

Question (pour verifier si tout le monde s’est endormi ou non): a-t-on deja vu cettepropriete aujourd’hui?

Exercice 2.3

Montrer que toute application uniformement continue sur un intervalle I est continuesur I.

Theoreme 2.3 (Edouard Heine; un mathematicien allemand, 1821–1881)

Toute fonction continue sur un segment [a, b] est uniformement continuesur [a, b].

[C’est un resultat fondamental; demonstration est astucieuse et instructive.]

Theoreme 2.4

Toute fonction continue sur un segment [a, b] est reglee.

[Resultat assez facile: il suffit d’appliquer le Theoreme de Heine.]

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On constate: La notion de l’integrale de Riemann est bien definie pour toutes lesfonctions continues sur un segment [a, b], car elles sont reglees.

Definition 2.8

Une application f : [a, b] → R est dite continue par morceaux ssi il existe unesubdivision σ = { a0, . . . , an } de [a, b] t.q.(1) f est continue sur chaque sous-intervalle de la forme (ai, ai+1), i = 0, . . . , n− 1,(2) il existent les limites unilaterales

limx→a+

i

f(x) ∈ R , i = 0, . . . , n− 1,

etlim

x→a−i

f(x) ∈ R , i = 1, . . . , n.

On n’impose aucune condition sur les valeurs de ces limites; en particulier, on peutbien avoir

limx→a−

i

f(x) = f(ai) = limx→a+

i

f(x) .

Theoreme 2.5

Toute fonction continue par morceaux sur [a, b] est R-integrable sur [a, b].

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CECI EST FAUX:”Une fonction f : [a, b] → R estRiemann-integrable sur [a, b] si et seulement si elleest continue sur [a, b].”

Encore une fois:

C’EST FAUX !En effet, d’apres le Lemme 2.2, toute fonction en escalier sur [a, b] y est R-integrable;or, si elle n’est pas constante, elle est forcement discontinue.

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Voici quelques consequences importantes du Thm. de Heine:

Theoreme 2.6

Toute fonction continue sur un segment [a, b] est bornee sur [a, b]:∃ −∞ < m ≤M < +∞ t.q.

∀x ∈ [a, b] m ≤ f(x) ≤M.

Theoreme 2.7

Toute fonction continue sur un segment [a, b]: admet son minimum et son maximum:∃ −∞ < m ≤M < +∞ et s, t ∈ [a, b] t.q. f(s) = m, f(t) =M , et

∀x ∈ [a, b] m ≤ f(x) ≤M.

Theoreme 2.8

Toute fonction continue sur un segment [a, b] prend toutes ses valeurs entre sonminimum m et son maximum M :

∀µ ∈ [m,M ] ∃x ∈ [a, b] f(x) = µ.

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Theoreme 2.9

Soit f : [a, b] → R une application continue. Alors la fonction

F : x 7→∫ x

af(t) x ∈ [a, b],

est bien definie et derivable partout dans [a, b], et elle verifie les conditions

dF (x)/dx = f(x) ,

F (a) = 0.

C’est la seule primitive de f sur [a, b] qui s’annule en a.

Consequence immediate:

Theoreme 2.10 (Theoreme fondamental de l’analyse)

Soit f : [a, b] → R une application continue. Alors elle admet au moins une primitive,et pour toute primitive F de f on a∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a).

Remarque: s’il y a une primitive F , il y en a une infinite: F (x) + C, C ∈ R.

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Theoreme 2.9

Soit f : [a, b] → R une application continue. Alors la fonction

F : x 7→∫ x

af(t) x ∈ [a, b],

est bien definie et derivable partout dans [a, b], et elle verifie les conditions

dF (x)/dx = f(x) ,

F (a) = 0.

C’est la seule primitive de f sur [a, b] qui s’annule en a.

Consequence immediate:

Theoreme 2.10 (Theoreme fondamental de l’analyse)

Soit f : [a, b] → R une application continue. Alors elle admet au moins une primitive,et pour toute primitive F de f on a∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a).

Remarque: s’il y a une primitive F , il y en a une infinite: F (x) + C, C ∈ R.

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Theoreme 2.11 (Changement de variable)

Soit f : [a, b] → R une fonction continue, et φ : [α, β] → [a, b] une fonctioncontinument derivable et t.q. a = φ(α), b = φ(β). Alors∫ b

af(x) dx =

∫ β

αf(φ(t))φ′(t) dt

Autrement dit, en posant x = x(t)(= φ(t)), et inversement, t = t(x), on remplace:

intervalle d’integration [a, b] par [t(a), t(b)] = [α, β];

la fonction x 7→ f(x) par t 7→ f(x(t))(= f(φ(t)));

la differentielle dx par dx(t)dt

· dt (”re-calcul de la differentielle”).

Demonstration. Soit F une primitive de f ; alors t 7→ F (φ(t)) est une primitive def(φ(t))φ′(t), car (F (φ(t))′ = F ′(φ(t))φ′(t) = f(φ(t))φ′(t). Par le Theoremefondamental de l’analyse,∫ β

αf(φ(t))φ′(t) dt = F (φ(β))− F (φ(α)) = F (b)− F (a) =

∫ b

af(x) dx.

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Integrale des fonctions reglees 3

Dans la pratique, on cherche d’abord une fonction t(x) qui permet de simplifier lafonction sous l’integrale. Par exemple, dans∫ 1

0

x+ 1√x

dx

on peut poser t =√x , de sorte que x+1√

x= t2+1

t= t+ 1

t. Mais on doit aussi

recalculer la differentielle, et pour cela on doit exprimer x comme fonction de t:x = t2, d’ou dx/dt = 2t. Finalement,∫ 1

0

x+ 1√x

dx =

∫ √1

√0

t2 + 1

t· 2t dt =

∫ 1

02(t2 + 1) dt

Regle mnemonique: pour une fonction t 7→ x(t),

dx =dx

dt· dt

On ne peut pas traiter directement dx/dt comme un ”quotient”, car dx et dt ne sontpas des nombres ou des fonctions, mais cela rappelle qu’apres un changement devariable, a la place de dx on doit mettre x′(t)dt, ou x′(t) devient un facteur sousl’integrale, et pas juste dt.

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Parfois, une approche inverse est efficace:∫ π2

0

sin(√x )

2√x

dx

On s’apercoit que 12√x

= (√x )′, donc on a deja sous l’integrale

1

2√xdx = d

(√x)

et il est naturel de poser t =√x , de sorte que

1

2√xdx = dt

C’est d’autant plus utile que sin(√x ) = sin(t). Ainsi,∫ π2

0

sin(√x )

2√x

dx =

∫ √π2

√0

sin t dt ,

et le reste du calcul est facile.

Un autre point de vu sur cette manipulation : on reconnaıt sans difficulte danssin(

√x )

2√x

la derivee de la fonction composee sin(√x ).

[Exercices de MA0101.]

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Theoreme 2.12 (Integration par parties, ou ℓ’I.P.P. pour les intimes)

∫ b

au′(x) v(x) dx =

(u(b)v(b)− u(a)v(a)︸︷︷︸notation: [u(x)v(x)]ba

)−

∫ b

au(x) v′(x) dx

Exercice. Il manque des mots dans cet enonce facile a memoriser. Completez-le.

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Quelques proprietes de l’integrale.

Lemme 2.4 (Linearite)

Si f, g : [a, b] → R applications R-integrable, alors pour tout λ ∈ R∫ b

a

(λf(x) + g(x)

)dx = λ

∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx .

Cas particuliers importants: λ = 1 (additivite); g(x) ≡ 0 (homogeneite).

Lemme 2.5 (Relation de Chasles)

Si f : [a, b] → R est R-integrable, alors pour tout c ∈ [a, b]∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx .

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Lemme 2.6 (Proprietes de comparaison)

1. Si f : [a, b] → R+ (donc, non negative) est R-integrable, alors∫ b

af(x) dx ≥ 0 .

2. Si f, g : [a, b] → R sont R-integrables et ∀x ∈ [a, b] f(x) ≤ g(x), alors∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx .

3. Si f : [a, b] → R est R-integrable, alors∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(x)| dx .

Theoreme 2.13

Toute application monotone (croissante ou decroissante) f : [a, b] → R estR-integrable sur [a, b].

Ce qui est interessant dans ce resultat, c’est qu’une simple monotonie, sans aucunecondition de continuite, garantit deja Riemann-integrabilite.

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Theoreme 2.14 (de la valeur moyenne pour l’integrale de Riemann)

Soit f : [a, b] → R une fonction continue et t.q. minx∈[a,b] f(x) = m,minx∈[a,b] f(x) =M . Il existe µ ∈ [m,M ] t.q.∫ b

af(x) dx = µ · (b− a)

Demonstration. Par comparaison,

m(b− a) =

∫ b

amdx ≤

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

aM dx =M(b− a)

d’ou

m ≤1

b− a

∫ b

af(x) dx︸︷︷︸

=:µ

≤M.

On conclut que∫ ba f(x) dx = µ · (b− a), avec µ ∈ [m,M ].

On va mettre ce resultat en application, en demontrant le Theoreme fondamental del’analyse.

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Demonstration du Theoreme fondamental de l’analyse. Posons G(x) =∫ xa f(t) dt,

x ∈ [a, b]. Allons montrer que G est une primitive de f .

G(x+ ϵ)−G(x)

ϵ=

1

ϵ

(∫ x+ϵ

af(t) dt−

∫ x

af(t) dt

)=

1

ϵ

∫ x+ϵ

xf(t) dt

Par le Th. de la valeur moyenne,∫ x+ϵx f(t) dt = µ(x, ϵ)

((x+ ϵ)− x︸︷︷︸

=ϵ

), ou

mint∈[x,x+ϵ]

f(t)︸︷︷︸→f(x) lorsque ϵ→0

≤ µ(x, ϵ) ≤ maxt∈[x,x+ϵ]

f(t)︸︷︷︸→f(x) lorsque ϵ→0

donc par le Th. des gendarmes, ∃ limϵ→0 µ(x, ϵ) = f(x). Par consequent,

∃ limϵ→0

G(x+ ϵ)−G(x)

ϵ= lim

ϵ→0

µ(x, ϵ)ϵ

ϵ= f(x) ⇒⇒⇒ G′(x) = f(x).

Soit F n’importe quelle primitive de f , alors G(x) = F (x) + C, C ∈ R. (Pourquoi ?)En plus, G(a) = 0 ⇒⇒⇒ F (a) + C = 0 ⇒⇒⇒ C = −F (a).

Conclusion:∫ ba f(x) dx = G(b) = F (b)− F (a).

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Chapitre 2. Construction générale de l’intégrale de Riemann

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