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2. CHAPITRE 2 : Cartographie

2.1 Introduction

Une carte est la représentation sur un plan d’une portion de la surface terrestre. Si ce document ne concerne qu’une très faible surface, on l’appelle un plan.

La cartographie est l’art d’établir des cartes à partir des résultats donnés par les sciences qui sont la Géodésie et la Topographie.

A l’heure actuelle, le levé du terrain à cartographier est souvent effectué par des photographies aériennes ; les prises de vues et l’exploitation des clichés utilisent les propriétés de la stéréoscopie (cette science du levé par la photographie est la photogrammétrie).

Plan topographique et photogrammétrique de la Gare d’Ottignies

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2.2 Surfaces de référence

2.2.1 Assimilation de la forme de la terre

A. Sphère

La sphéricité de la terre a été établie par les Grecs, probablement d’abord par les égyptiens, qui en ont estimé la grandeur.

Le globe terrestre peut être représente comme un ellipsoïde de révolution que l’on peut assimiler à une sphère dont le rayon a une longueur d’environ 6.371 km. Il tourne autour d’un axe PP’ (Fig. 2.2) passant par les deux pôles Nord et Sud et effectue une révolution complète en 24 heures.

Equateur

Cercle terrestre contenu dans un plan perpendiculaire à la ligne des pôles et passant par le contre O qui partage la Terre en deux hémisphères, nord et Sud (Fig. 2.3).

Parallèle

Cercle terrestre contenu dans un plan parallèle à l’équateur.

Méridien

Cercle terrestre dont le plan passe par la ligne des pôles et un autre point quelconque du globe (Fig. 2.3).

2.2.2 Représentation plane

L’ellipsoïde ne pouvant pas être appliqué sur un plan sans déformer les longueurs, les systèmes de représentation plane consistent à calculer uniquement les courbes transformées des méridiens et parallèles de l’ellipsoïde auxquelles est superposé un quadrillage rectangulaire permettant de repérer un point quelconque par ses coordonnées X et Y.

2.2.3 Systèmes de coordonnées

B. Géoïde

En apparence la Terre a la forme d’une sphère. En fait, elle est légèrement déformée par la force centrifuge induite par sa rotation autour de l’axe des pôles : la Terre n’est pas un corps rigide. Cette déformation est relativement faible : « tassement » de 11 km au niveau des pôles par rapport à un rayon moyen de 6 367 km et « renflement » de 11 km au niveau de l’équateur. Elle a donc l’aspect d’un ellipsoïde de révolution dont le petit axe est l’axe de rotation : l’axe des pôles (Fig. 2.1).

Fig. 2.1 : Ellipsoïde de révolution

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On appelle géoïde (Fig. 2.2) la surface équipotentielle du champ de la pesanteur passant par le niveau zéro. Cette surface n’est pas géométrique, n’est pas régulière, car le champ de la pesanteur varie d’un endroit à un autre.

La Terre est une surface en équilibre. La surface du niveau moyen des mers et océans au repos n’a pourtant pas une forme régulière et ne coïncide ainsi pas avec un ellipsoïde de révolution : elle n’est pas régulière mais ondulée, présente des creux et des bosses (fig. 2.2). Par exemple, la surface de la mer se bombe au-dessus d’un volcan et se creuse au-dessus des grandes fosses océaniques parce que les reliefs créent des excès ou des déficits de matière produisant ainsi des variations locales du champ de pesanteur. Or la surface d’un fluide en équilibre est en tout point normale aux forces de pesanteur : on dit qu’elle est équipotentielle du champ de pesanteur. La Terre, non rigide, peut être considérée comme un fluide ; la direction des forces de pesanteur varie d’un endroit à un autre en raison de la répartition hétérogène de la matière composant la Terre ; sa surface n’est donc pas régulière.

Le géoïde, niveau des mers prolongé sous les continents, est donc une surface gauche à laquelle on ne saurait appliquer des relations mathématiques de transformation. Il est la surface de référence pour la détermination des altitudes, autrement dit la surface de niveau zéro.

Fig.2.2 : Géoïde et Ellipsoïde

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B. Ellipsoïde de référence

A partir des mesures terrestres, on avait déjà constaté au XVIIème siècle que l’ellipsoïde aplati était un excellent modèle de la terre. Un tel ellipsoïde est obtenu par la rotation d’une ellipse autour de son petit axe. Ce modèle a l’avantage de simplicité puisque deux paramètres suffisent à le décrire : les deux demi-axes de l’ellipse ou, plus couramment, le demi-grand axe et l’aplatissement f = (a-b)/a formule dans laquelle a et b sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l’ellipse.

Concrètement :

La surface du géoïde est remplacée, pour déterminer les coordonnées planimétriques, par un ellipsoïde {surface de révolution engendrée par la rotation d’une ellipse autour d’un de ses axes (pour la terre, le petit axe)}. La différence maximum entre la surface du géoïde et celle de l’ellipsoïde est d’une centaine de mètres.

Depuis 1928, l’ellipsoïde de référence international est celui d’Hayford ; ses caractéristiques en sont :

a = 6.378.388 m f = 1 /297

N.B. :

Suite à des travaux plus récents, confirmes plus tard par l’observation des satellites artificiels, l’Union Géodésique et Géophysique Internationale a adopté, en 1967, les valeurs suivantes : a = 6.378.160 m f = 1 /298,247. La différence entre ces deux valeurs et celles adoptées en 1928 est assez faible et on n’a pas jugé utile de recommencer un très grand nombre de calculs pour changer d’ellipsoïde de référence ; on utilise toujours celui d’Hayford.

En plus de l’ellipsoïde d’Hayford, il existe d’autres ellipsoïdes de référence comme l’ellipsoïde de Clarke 1880 IGN, Ellipsoïde IAG-GRS80,…Chaque ellipsoïde est associé à un système de référence. Cela signifie que, pour chaque système géodésique, le centre géométrique de l’ellipsoïde associé ne se situe pas au même endroit dans la région du centre de la Terre.

Fig. 2.3 : Equateur et méridien

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C. Coordonnées géodésiques

Le petit axe (axe de rotation) de l’ellipsoïde perce la surface en deux points : le pôle Nord et le pôle Sud.

Un plan quelconque passant par le petit axe est un plan méridien. Les plans méridiens déterminent des ellipses égales sur l’ellipsoïde : Les méridiens. Le demi-méridien passant par Greenwich (Observatoire de Londres) est considéré comme méridien origine. Tous les points de la Terre situés sur un même méridien ont la même longitude (voir les explications plus loin).

Le plan diamétral perpendiculaire à l’axe de rotation est le plan de l’équateur ; son intersection avec l’ellipsoïde est l’équateur.

Les coordonnées géodésiques d’un point quelconque M (Fig. 2.3 et 2.4) de la surface terrestre sont la longitude, la latitude et l’altitude.

La longitude (λ) géodésique

La longitude est l’angle dièdre formé par le demi-plan méridien du lieu et le demi-plan méridien origine, compte à partir de celui-ci, positivement vers l’ouest. On utilise aussi la notation longitude Est (négative) et longitude Ouest (positive). La convention de signe peut être contraire.

- 180 < λ <+ 180

La latitude (φ) géodésique

La latitude est l’angle que fait la normale à l’ellipsoïde au lieu considéré avec le plan de l’équateur, compté positivement vers le pôle Nord (hémisphère Nord) et négativement vers le pôle sud (hémisphère Sud).

- 90 < φ <+ 90

Le lieu géométrique de tous les points de l’ellipsoïde ayant même latitude est un cercle appelé parallèle.

Fig. 2.4 : Longitude et Latitude

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L’altitude h

L’altitude h est la distance de M au pied de P de la verticale de M (Fig. 2.5). Le choix d’une surface au niveau zéro comme géoïde a pour conséquence que h se confond avec la notion de hauteur au-dessus du niveau moyen de la mer ou altitude.

En langage commun :

L’altitude exprime l’éloignement d’un objet par rapport au niveau moyen de la mer (Fig. 2.6). Elle exprime également une réalité physique, l’eau s’écoule du point d’altitude le plus élevé vers le point d’altitude le plus faible.

2.3 Les représentations cartographiques

2.3.1 Généralités

L’utilisation d’une surface de référence permet de scinder la représentation en deux étapes :

1. Représenter cette surface : problème de planimétrique

2. Décrire le relief pour l’altitude h : problème altimétrique

Un point quelconque M sera donc figuré par sa projection orthogonale P sur l’ellipsoïde de référence et par son altitude h (voir Fig. 2.5).

La détermination de P consiste à déterminer ses coordonnées géodésiques (λ, φ).

Fig. 2.5 : Altitude

Fig. 2.6 : Altitude

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Il faudra ensuite remplacer ces coordonnées géodésiques par des coordonnées cartésiennes planes (X,Y) pour passer de l’ellipsoïde de référence (surface courbe) à la carte (surface plane) : c’est le but de la projection cartographique, mieux dénommée représentation cartographique (Il ne s’agit en effet pas souvent d’une projection géométrique au sens propre avec centre de projection et droites projetantes).

2.3.2 Surfaces correspondantes

L’ellipsoïde de référence et la carte sont des surfaces dites correspondantes : à chaque point de l’une correspond un point, et un seul, de l’autre et réciproquement.

Une représentation cartographique est donc une loi mathématique bi-univoque permettant, pour un point, de transformer les coordonnées géodésiques (φ, λ) en coordonnées planes (X, Y) et réciproquement :

2.3.3 Caractéristiques intrinsèques

La surface courbe ne peut pas être développée sur une surface plane sans altération. Il est donc impossible de produire une carte de l’ellipsoïde dans laquelle toutes les longueurs correspondantes soient dans un même rapport. Il est pourtant possible de conserver en tous points une partie des caractéristiques géométriques. Ainsi définit-on les représentations conformes et les représentations équivalentes.

a. Représentation conforme (ou orthomorphe)

Représentation dans laquelle, en tous points correspondants, les angles sont égaux. On peut dire simplement que les angles sont conservés.

b. Représentation équivalente

Représentation dans laquelle, en tous points correspondants, les aires sont égales. On peut dire simplement que les aires sont conservées.

c. Représentation aphylactique

Représentation ni conforme, ni équivalente, dans laquelle les déformations sont réduites au maximum sans qu’aucune ne soit annulée.

(λ,ϕ) ←→ (X,Y)

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2.4 Carte topographique en Belgique

La carte de base cartographique de Belgique, à l’échelle 1/25 000, est établie suivant une représentation Lambert.

La représentation Lambert est une représentation conique conforme.

Dans la représentation conique :

• Tous les méridiens sont représentés par des droites concourant en un point T

• Les parallèles sont des circonférences dont le centre est T

• Les angles formés par les méridiens sont proportionnels aux différences de longitude

• Les rayons des autres parallèle que les deux parallèles automécoïque sont calculés de sorte que la représentation soit conforme.

Fig. 2.7 : Projection conique

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Il existe aussi d’autres types de projections comme la projection cylindrique, projection azimutale,…

2.5 Canevas géodésique et altimétrique de Belgique

2.5.1 Canevas géodésique

Le canevas géodésique est un ensemble de points de coordonnées connues. Ils sont bien matérialisés sur le terrain (voir chapitre «Matérialisation des éléments géométriques »).

Réseau principal

L’ellipsoïde de référence adopté est celui d’Hayford ; le point fondamental O est situé à l’ancien observatoire de Bruxelles ; (λ = - 4° 22’ 04’’ 71).

Le canevas est constitué de trois réseaux d’ordres successifs :

un réseau de premier ordre : ensemble de triangles dont les côtés sont de l’ordre de 25 à 30 km. L’erreur de fermeture d’un triangle est de 3’’. Ce réseau comporte 76 triangles.

un réseau de deuxième ordre, inséré dans le réseau primordial : les distances entre points sont de l’ordre de 10 à 20 km. L’erreur de fermeture a une valeur moyenne de 2’’ ; la limite de tolérance est de 5’’.

un réseau de troisième ordre comprenant des points levés par intersection à partir des sommets d’ordre supérieur et distants d’environ 5 km.

Les angles de ces triangles ont été mésurés avec un théodolite Wild T3. Afin de se réserver des vérifications, on a mesuré trois bases géodésiques d’environ 5 km chacune : une le long du canal maritime Brugge-Zeebrugge, une à Rethy en Campine, la dernière à Habay-la-Neuve ; la mesure de ces longueurs a été effectuée avec précision de l’ordre de 10-6 (soit 1 mm/ 1km).

La résolution de tous les triangles a fourni les coordonnées ((λ, φ) de plus de 2000 points géodésiques ; elles ont été ensuite transformées en coordonnés rectangulaires.

Fig. 2.8 : Projection cylindrique

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les réseaux planimétriques complémentaires : pour faciliter la tâche du topographe, on a établi des réseaux complémentaires de 4ème et 5ème ordre qui fournissent les coordonnées rectangulaires d’un plus grand nombre de points , dits « points topographiques ».

Comme les points topographiques sont déterminés à partir des points géodésiques de 3ème ordre et que ceux-ci sont distants l’un de l’autre d’environ 5 km, les opérations sont donc toujours effectuées dans des zones d’étendue restreinte. Dans ce cas, le topographe pourra, sans erreur appréciable en ce qui concerne la planimétrie, assimiler la Terre à un plan et considérer l’hypothèse du parallélisme des verticales, ce qui simplifie singulièrement ses calculs (voir partie « Approximation admises en s’affranchissant de la courbure de la surface de référence »)

2.5.2 Canevas altimétrique

Un réseau de nivellement comporte un ensemble de points matérialisés sur le terrain par des repères dont on détermine l’altitude. Cette détermination se fait par différences d’altitudes mesurées au niveau.

On établit des polygones du premier ordre, dans lesquels on imbrique successivement des polygones d’ordre inférieurs.

Le point du niveau zéro, ou origine du réseau, est généralement fixé en étudiant les variations de la hauteur des mers au moyen d’appareils spéciaux, les marégraphes. Le zéro est la moyenne entre le niveau des plus hautes et des plus basses mers ; cette position est soigneusement repérée.

2.6 Approximation admises en s’affranchissant de la courbure de la surface de référence

La surface de référence est courbe et tous les calculs et mesures devraient être effectués en tenant compte de cette caractéristique. Néanmoins, lorsque l’on travaille sur des zones assez restreintes, on peut tolérer de s’affranchir de la courbure de cette surface.

La limite à partir de laquelle on peut négliger l’effet de cette courbure sur le résultat des mesures dépend de deux types de facteurs :

• La précision recherchée

• Le type de mesure effectuée, c’est-à-dire :

− une mesure de longueur

− une mesure d’angle horizontal

− une mesure d’altitude

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2.6.1 Approximation sur les longueurs

Soient deux points P et M, extrémités d’une distance horizontale sur la surface terrestre. Les projections de ces points P et M sur la surface de référence sont p et m.

On mesure la longueur horizontale PM et, par application des formules des triangles semblables, on calcule la longueur pm’. Cette longueur rectiligne pm’ est différente de la longueur curviligne de l’arc pm.

Soit ∆L cette différence :

∆L = pm’ - arc pm = R.tga – R.arad

On démontre que ∆L est sensiblement égal à :

R ∙ a3

et, commea =LR→ ∆L =

L3R

Pour une valeur donnée de delta D, on peut donc déduire, de la formule précédente, la

distance L au-delà de laquelle il y a lieu de tenir compte de la courbure de la surface de

référence.

L = 3 ∙ R ∙ ∆L → L = 3. R ∙ ∆L

pourR = 6380km → L = 496 ∙ √∆L(Lexpriméenkm)

par exemple :

pour ∆L de 0,1 m, L = 23 km environ.

pour ∆L de 0,01 m, L = 11 km environ.

2.6.2 Approximation sur les mesures angulaires

Soit un triangle ellipsoïde équilatéral de côtés L en km et un triangle plan équilatéral de

côtés L en km.

Les angles de ce dernier sont respectivement égaux à ceux du premier moins E/3

(avec E = l’excès sphérique).

S’affranchir de la sphéricité de la surface de référence consiste à considérer que E/3

est négligeable par rapport à la précision des mesures angulaires.

par exemple : pour un eq (écart-type) = ± 3’’, on démontre que L = 38 km (environ)

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2.6.3 Approximation sur l’altitude

En un point A, une horizontale est perpendiculaire à la verticale en ce point. On pense, un peu hâtivement, que tous les points se trouvant sur une même horizontale sont à la même altitude. Le croquis ci-après montre que, à cause de la courbure de la surface de référence, il n’en est rien.

Nous démontrerons, dans des chapitres ultérieurs, l’influence précise de la courbure de la terre sur les mesures.

ondemontreraquee =L2 ∙ R

avec :

R = rayon de la terre e = erreur L = distance entre A et B Par exemple :

Pour : L = 100 m, e = 0,0007 m L = 10 km, e = 7 m

L

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2.7 Coordonnées planes

2.7.1 Coordonnées cartésiennes (X, Y)

But des coordonnées cartésiennes :

− permettre l’élaboration de cartes − remplacer dans les calculs, les coordonnées géodésiques (latitude et longitude)

par les coordonnées planes.

en géodésie supérieure, cela nécessite des calculs préalables de réduction

en géodésie inférieure, (ou topographie), les corrections de réduction sont négligeables.

Coordonnées cartésiennes:

− axe des Y : méridien, représenté par une droite sens positif vers le Nord

− axe des X : perpendiculaire à l'axe des Y sens positif vers l'Est

− altitude : n'a rien à voir avec le système d'axes X,Y,Z.

2.7.2 Azimut et Gisement

Soient deux points Pet Q de la surface de référence. Caractérisons la direction "PQ à partir de P".

Indépendamment de la représentation cartographique

Azimut (en géodésie supérieure)

L'azimut de la direction PQ est un angle orienté de :

− sommet P

− côté origine: tgte au méridien en P

− sens positif: sens horlogique

− côté extrémité: tgte à l'arc PQ

en astronomie, l'angle est compté à partir du sud

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Dans la représentation cartographique

Gisement

Le gisement de la direction PQ est un angle orienté de :

− sommet P − côté origine: la parallèle, en P, à l'axe des Y − sens positif: sens horlogique − côté extrémité: la direction PQ

Le gisement verse de la direction AB est le gisement de la direction BA;

Donc : GBA= GAB + 200 gon

L'orientement, moins utilisé que le gisement, est l'angle formé par les mêmes droites, mais compté dans le sens inverse.

L'orientement + le gisement = 400 gon.

Dans les représentations non conformes, le gisement ne représente aucun angle réel en vraie grandeur.

2.7.3 Calcul à partir des coordonnées de A et B

Calcul du gisement de la direction AB

on connaît:

− les coordonnées de A : XA et YA − les coordonnées de B : XB et YB

on cherche :

− le gisement de la direction AB, GAB, quelle que soit la position relative de A et B.

on calcule :

− ∆X = XB – XA − ∆Y = YB - YA (attention : ne pas inverser A et B)

tgg = |∆X||∆Y|

→ g = arctg|∆X||∆Y|

Il faut toujours faire un croquis (éventuellement à l'échelle) positionnant les points A et

B l'un par rapport à l'autre.

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En A (premier point cité de la direction AB) tracer un système d'axes x, y parallèles

aux axes X, Y généraux.

Repérer dans quel quadrant se trouve le point B par rapport au point A. (attention ! en

topographie, les quadrants sont numérotés dans le sens horlogique). Ce repérage peut

aussi être fait d'après le signe de ∆X et ∆Y.

Connaissant g' et le quadrant de B, on trouve aisément GAB.

EN RESUME

Quadrant Signe GAB

∆X ∆Y

I + + g’ II + - 200 gon - g’ III - - 200 gon + g’ IV - + 400 gon - g’

A

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Connaissant les gisements GAC et GAB de deux

directions AB et AC issues d'un même point A, on

peut calculer l'angle formé par ces directions en

effectuant la différence de ces gisements :

angle BAC= GAC - GAB

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Calcul de la distance AB

Par le théorème de Pythagore

AB = ∆X + ∆Y → AB

Par gisement

AB = ∆X

sin G

AB = ∆Y

cos G

2.7.4 Transport de coordonnées

Il s'agit de calculer les coordonnées d'un point B à partir de la distance AB et du

gisement GAB.

D'après ce qui précède, il vient naturellement :

= + ∙

= + ∙

Ces deux formules, ainsi que le calcul du gisement, constituent la base des calculs

planimétriques.

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2.7.5 Exercices

Enonce n°1

Connaissant les coordonnées de A et B, calculez la distance AB et le gisement GAB.

XA = 124678,987 m XB = 126 982,093 m YA = 116975,023 m YB = 114 854,548 m

Les valeurs sont en mètres, arrondies au mm pour les distances; pour les angles,

arrondir à la 4ème décimale.

Enonce n°2

Connaissant les coordonnées de A et B, calculez le gisement GAB et la distance AB

dans chacun des cas suivants. Présentez les données et les résultats sous forme de

tableau (C'est une habitude qu'ont les topographes de dresser en tableau : données de

départ, mesures, calculs intermédiaires et résultats finaux).



Enoncé n°3 : Transport de coordonnées

Calculez les coordonnées de B connaissant les coordonnées de A et le gisement GAB

(arrondir les résultats au mm).

XA = 120 543,875 m YA = 118 543,087 m

GAB = 234° 34' 21"7

AB = 145,832 m

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Enoncé n°4 : Transport de coordonnées

Calculez les coordonnées de B dans chacun des cas suivants (arrondir les résultats au

mm). :

Enoncé n°5 : Coordonnées rectangulaires : levé à l’équerre

On dispose d'une base de levé AB dont le gisement est 206,543 gon. Les coordonnées

de A sont : XA = YA = 100 m. Nous appellerons X et Y les coordonnées dans le

repère d'axes et abscisses et ordonnées les "coordonnées" locales prises par rapport

à la base terrain.

On relève des points à l’équerre et au ruban, en les projetant sur cette base. Les

abscisses sont comptées positivement dans le sens A vers B et les ordonnées sont

positives à droite de AB (dans le sens AB également).



Calculez les valeurs X et Y pour les points ci-après:

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Enoncé n°6 : Coordonnées rectangulaires : implantation à l’équerre

On dispose d'une base de levé AB dont le gisement est 206,543 gon. Les

coordonnées de A sont: XA = YA = 100 m.



Calculez les abscisses et ordonnées pour implanter, à partir de cette base, les points

suivants:

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