Chapitre 2 Autocorrélation des erreurs · La question de la cointégration (cf. cours de séries...

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L3 Econométrie - Econométrie II 1

Chapitre 2Autocorrélation des erreurs

Licence Econométrie – Econométrie II

2007-2008

Martin Fournier

[email protected]


1. Présentation du problème


1.1 Présentation du problème (1)Reprenons le modèle linéaire général

Il y a autocorrélation des erreurs lorsque l’hypothèse H5 (cf. ch. Introductif) n’est plus vérifiée, soit :

Interprétation :- La matrice de variance covariance des termes

d’erreurs n’est pas diagonale - Les termes d’erreur des différentes observations ne

sont pas indépendants

2


1.2 Présentation du problème (2)

En présence d’autocorrélation, les estimateurs MCO sont sans biais mais ne sont plus à variance minimale.

En présence d’autocorrélation, les écarts types usuels des MCO et les tests ne sont plus valides, même asymptotiquement.


1.3 Les MCO restent sans biais

Sans biais ?


1.4 Mais ne sont plus de variance minimale

De variance minimale ?En présence d’autocorrélation des termes d’erreur, les hypothèses du théorème de Gauss-Markov (cf. Econométrie I) ne sont plus vérifiées

Le résultat de variance minimale des MCO n’est plus valide

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1.5 Les tests usuels des MCO sont invalidés

La variance de l’estimateur des MCO est :


1.6 Les tests usuels des MCO sont invalidés (2)

Tous les tests d’hypothèse qui reposent sur l’expression de la matrice de variance-covariance des MCO ( ) sont invalidés Écarts-types et intervalles de confiance des

coefficients estimés t-Tests et F-tests sur les coefficientsNB : La mesure de la qualité de la régression par

le R2 reste en revanche valide

12 )'( −XXσ


1.7 Plan du chapitre

Les sources usuelles de l’autocorrélation

Introduction aux séries chronologiques

Tester la présence d’autocorrélation

Méthodes de correction

Conclusion et mises en garde

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2. Les sources usuelles du problème


2.1 Les sources usuelles du problème

L’autocorrélation des erreurs peut être observée pour plusieurs raisons :- Variables explicatives importantes omises- Mauvaise spécification du modèle- Effets dynamiques non modélisés

Sources d’« inertie » dans les erreurs

L’autocorrélation des erreurs se rencontre essentiellement dans les modèles en séries temporelles.


2.2 Mauvaise spécificationUn mauvais choix de forme fonctionnelle peut aussi s’interpréter comme une variable omise :

Modèle théorique :

yt = a + b.xt + c.xt2+ vt

Modèle estimé :

yt = a + b.xt + ut

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3. Introduction aux modèles en séries chronologiques


3.1 Introduction aux modèles en séries chronologiques

Exemples- Variables macro-économiques françaises (PIB, inflation,

chômage, etc.)- Suivi mensuel d’un individu (emploi, salaire,

consommation, etc.)- Cotation d’une action (annuelle, mensuelle, journalière,

à la minute…)

Formalisation

yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut


3.2 Séries chronologiques / Coupes transversales

Les observations des séries chronologiques sont ordonnées alors que l’ordre des observations d’une coupe transversale n’a pas d’importance

Les observations de séries chronologiques sont issues d’un processus stochastique(aléatoire) à partir d’un modèle théorique et non pas d’un échantillonnage aléatoire(coupes transversales)

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3.3 Modèles avec retardsUn modèle statique relie des variables contemporaines

yt = b0 + b1zt + ut

NB : Identique au modèle de coupe transversale

Un modèle avec retards inclut l’observation passée de certaines variables

yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut


3.4 Modèles avec retards (2)

yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut

Le paramètre d0 mesure l’impact immédiat (i.e. de court terme) de la variable z sur la variable y.

L’ensemble des paramètres (d0 , d1,…, dq) décrit la relation de long terme entre les deux variables


3.5 Le problème des tendances (trend)

Les différentes variables d’une série chronologique économique ont souvent une tendance temporelleLe fait que deux variables suivent la même tendance ne suffit pas à prouver une relation causale.

Exemple:- Le cours du blé fluctue en fonction des précipitations- La demande d’énergie (chauffage) fluctue également en

fonction des conditions météorologiques Une corrélation est observable entre les deux variables

sans qu’il y ait pour autant de causalité

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3.6 Le problème des tendances (2)

Ce sont le plus souvent des facteurs inobservés par l’économètre qui causent les tendances

Même si ces facteurs ne peuvent être observés, il est possible de les contrôler en modélisant la tendance temporelle

La question de la cointégration (cf. cours de séries temporelles en M1)


3.7 Le problème des tendances (3)

Comme pour le modèle économique, il existe une infinité de spécifications possibles pour la tendance Tendance linéaire

yt = b0 + b1zt + a1t + et , t = 1, 2, …

Tendance exponentielle

log(yt) = b0 + b1zt + a1t + et , t = 1, 2, …

Tendance quadratique

yt = b0 + b1zt + a1t + a2t2 + et , t = 1, 2, …


3.8 Purger la tendance (detrending)

Au lieu d’introduire une tendance linéaire, il est possible de travailler sur des données purgées de la tendance (detrended)1) Régression de chaque variable du modèle sur

une tendance

2) Utilisation des résidus de chaque équation comme nouvelles variables

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3.9 Purger la tendance (2)

Application pratiqueyt = b0 + b1zt + a1t + et , t = 1, 2, …

1) Créations de variables purgées de la tendance

yt = c0 + c1t + εt ytd = εt

zt = d0 + d1t + ηt ztd = η t

2) Régression du modèle sur les nouvelles variables

ytd = b1zd

t + ωt , t = 1, 2, …



Purger la tendance est une méthode en 2 étapes qui introduit une erreur de mesuresur la deuxième étape

Les variables purgées de la tendance sont construites à partir de paramètres estimés

tt tccy ε++= 10 tccyy td

t 10 ˆˆˆ −−=

tt tddz η++= 10 tddzz td

t 10ˆˆˆ −−=



L’introduction d’une tendance et l’utilisation de variables purgées de la tendance sont deux approches équivalentes

Calcul du R2

Les régressions en séries temporelles ont souvent un R2

très élevé du seul fait du pouvoir explicatif de la tendance (qui ne correspond pas au pouvoir explicatif réel du modèle économique estimé)

Le R2 de la régression avec variables purgées de la tendance reflète de manière plus juste le pouvoir explicatif du modèle économique

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3.12 Le cas d’erreursautorégressives de degré 1 [AR(1)]

yt = b0 + b1zt + ut

Prenons le cas particulier suivant(1)ut = ρ.ut−1 + et

avec ρ <1

et i.i.d (non autocorrélé)


3.13 Le cas d’erreurs AR(1) (2)



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3.16 Sur ou sous-évaluation des écarts-types ?

Les deux cas sont possibles.

Dans la plupart des modèles économiques en séries chronologiques, les erreurs sont positivement corrélées et les variables explicatives restent de même signe La variance des MCO tend à sous-évaluer la vraie variance.

?0)'(')'( 112

><

Φ −− XXXXXXuσ


4. Détection de l’autocorrélation

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4.1 Détection de l’autocorrélationElle s’effectue à partir de l’analyse des résidus

empiriques. Eux seuls sont connus

Examen visuel des résidus L’analyse graphique des résidus permet le plus souvent

de détecter une autocorrélation des erreurs lorsque :- Les résidus sont pendant plusieurs périodes consécutives, soit

positifs, soit négatifs : corrélation positive

- Les résidus sont alternés : corrélation négative.

Cependant, le plus souvent, l’analyse graphique est délicate à interpréter


4.2 Examen visuel des résidus


4.3 Le test de Durbin Watson

Test d’autocorrélation des termes d’erreur d’ordre 1 selon la forme :

Il s’agit de tester

contre

),0( : avec

.2

1

et

ttt

Ne

euu

σρ

→

+= −

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4.3 Le test de Durbin Watson (2)

Pour tester l’hypothèse nulle, on calcule la statistique de Durbin Watson

De par sa construction, cette statistique varie entre 0 et 4 et on a :

∑

∑

=

=−−

=n

tt

n

ttt

u

uuDW

1

2

2

21

ˆ

)ˆˆ(



Preuve



Afin de tester l’hypothèse nulle, Durbin et Watson (1950) ont tabulé les valeurs critiques de DW au seuil de 5%, en fonction de la taille de l’échantillon T et du nombre de variables explicatives (k).

La lecture de la table permet de déterminer 2 valeurs d1 et d2 comprises entre 0 et 2.

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4.6 Les valeurs critiques du DWp : nombre de variables explicatives (constante exclue)n : nombre d’observations


4.7 Lecture de la table du DW

Le calcul de la statistique de Durbin Watson permet de tester la présence d’autocorrélation de la manière suivante


4.8 Les conditions d’utilisation de la statistique de Durbin Watson

Le modèle doit comporter impérativement un terme constantLe nombre d’observations doit être supérieur (ou égal) à 15Le modèle estimé ne contient pas la variable dépendante retardée dans les variables explicativesLe test de DW ne permet de tester que l’autocorrélation d’ordre 1NB : La statistique de DW est une statistique de 2èmeétape, i.e. calculée à partir des résidus empiriques, eux-mêmes soumis à erreur de mesure

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4.9 Exemple : Estimation d’une fonction de consommation

(Greene, Econometric Analysis, 5° Edition)

Table de DW pour 1 var. explicative et 100 observations

d2 = 1,69 d1 = 1,65

yt : ln (consommation réelle)

xt : ln (revenu réel)


4.10 Approches alternatives

Il s’agit de tester l’autocorrélation des termes d’erreur d’ordre 1

NB : On lève ici l’hypothèse de normalité sur e

Pour cela il suffit de régresser les résidus empiriques sur les résidus empiriques retardés

Un t-test sur le paramètre estimé permet de tester la présence d’autocorrélation

ut = ρ.ut−1 + et

avec : et i.i.d (non autocorrélé)


4.11 Approches alternatives (2)Une approche plus flexible Test d’une autocorrélation des termes d’erreur d’ordre q

Estimation du modèle

t-test sur le paramètre estimé

Test d’une structure plus générale d’autocorrélationjusqu’à l’ordre q Estimation du modèle

F-test sur le modèle estimé

éautocorrélnon i.i.d : avec . ttqtt eeuu += −ρ

éautocorrélnon i.i.d : avec .1

tt

q

iitit eeuu +=∑

=−ρ

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5. Correction de l’autocorrélation


5.1 Les Moindres Carrés Généralisés

On a vu qu’en présence d’autocorrélation Les estimateurs par MCO sont sans biais

Les estimateurs par MCO ne sont plus de variance minimale

On cherche un estimateur qui soit de variance minimale


5.2 Les Moindres Carrés Généralisés (2)

Considérons le modèle linéaire général suivant

On peut démontrer que l’estimateur, sans biais, fonction linéaire de Y et à variance minimale est donné par :

IuXY 2u avec σβ ≠Ω+=

11ˆ

111

)'(

)'()'(ˆ

−−

−−−

Ω=Ω

ΩΩ=

XX

YXXX

u

uuMCG

MCGβ

β

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5.3 Les Moindres Carrés Généralisés (3) Démonstration


5.4 Les Moindres Carrés Généralisés (4) Démonstration (suite)


5.5 Les Moindres Carrés Généralisés (5) Démonstration (suite)

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5.6 Les Moindres Carrés Généralisés (6) Si l’on connaît la matrice de variance-covariancedes erreurs, cela permet de résoudre la question de l’autocorrélation des résidus. Le théorème de Gauss Markov s’applique au modèle

transformé. L’estimateur des MCG est BLUE L’estimateur des MCG suit asymptotiquement une loi

normale centrée en β et de variance :

NB : Les MCO sont un cas particulier des MCG pour Ψ = I

1121**2* )'()'()ˆ( −−− Ψ== XXXXXVar σσβ


5.7 Appliquer la méthode des MCG

Dans la pratique, on ne connaît pas la matrice de variance covariance des termes d’erreurs.

Il faut l’estimer dans une première étape.

Les tests d’hypothèses des MCO peuvent être directement adaptés au modèle transformé.

En revanche, la statistique de R2 n’est plus comparable àcelle des MCO et il existe plusieurs alternatives (non développées ici)


5.8 Les moindres carrés quasi-généralisés (MCQG)

Pour appliquer les MCQG, on procède en deux étapes :1) Estimation de la matrice permettant de transformer le

modèle estimé en un modèle sans autocorrélation des erreurs

2) Estimation du modèle transformé par les MCO

NB : La première étape introduit des paramètres estimés (avec erreur) dans la deuxième étape.

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5.9 Application des MCQG au cas de termes d’erreur AR(1)

Reprenons le modèle à termes d’erreurs AR(1) :

On a vu que dans ce cas : <

+= −

éautocorrélnon et i.i.d

1 avec

. 1

t

ttt

e

euu

ρρ

)(

1.

1...

...

...1

.1

2

21

22

12

2 ρσ

ρρρρρρ

ρρρρ

σ Ψ=

=Ω

−

−

u

T

T

uu


5.10 Application des MCQG au cas de termes d’erreur AR(1) (2)

Pour obtenir l’estimateur des MCQG, il faut dans un premier temps estimer le paramètre ρ.



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Un résultat important :Si l’estimateur de ρ est convergent, l’estimation en deux étapes par les MCQG est asymptotiquement équivalenteà utiliser le vrai paramètre ρ

Les limites :- Les propriétés à distance finie des estimateurs par les MCQG sont inconnues dans le cas général.

* N’est plus « sans biais »* Les statistiques de tests ne sont que des approximations des vraies statistiques de test du fait de l’approximation de ρ par ρ


5.13 Estimer ρ dans le cas de termes d’erreur AR(1)

Différentes études montrent que les MCQG sont le plus souvent plus efficaces que les MCO mais, si le problème d’autocorrélation n’est pas trop grave, les MCO peuvent être plus efficaces que les MCQG sur petits échantillons.

Les MCQG sont en particulier largement utilisés lorsque le modèle d’autocorrélation retenu pour les erreurs est donné par :

)N(0, avec

.2e

1

σρ

→

+= −

t

ttt

e

euu


5.14 Estimer ρ dans le cas de termes d’erreur AR(1) (2)

Première approche : estimation directe1. OLS sur le modèle sans tenir compte de l’autocorrélation

2. OLS sur les résidus du modèle estimés ( ) selon le modèleu

43421

]ˆYet ˆX avec YX'X)[(X'MCO des Estimateur

2

1

01

11-

1ˆ

ˆˆˆˆ ˆ.ˆ

tt

t

uu

t

ttt

ttt u

uueuu

==

−

−

−

−∑

∑==⇒+= ρρρ

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5.15 Estimer ρ dans le cas de termes d’erreur AR(1) (3)

Deuxième approche : Utilisation de la statistique de Durbin-Watson

NB :

2

DW-1ˆoù d'

ˆ

)ˆˆ(

1

2

2

21

=−

=∑

∑

=

=−

ρT

t

T

ttt

tu

uuDW

)ˆ 1(2 ρ−≈DW


5.16 La procédure itérative de Cochrane-Orcutt

Première étape : initialisation de ρ par estimation directe (cf. première approche)

Deuxième étape : utilisation de pour appliquer les MCQG dont on déduit un nouveau résidu empirique et une nouvelle valeur de ρ

Le processus est répété jusqu’à stabilité de l’estimation de ρ

0ρ

∑

∑

−

−

=

t

ttt

tu

uu

2

1

0

1ˆ

ˆˆρ

u

∑

∑

−

−

=

t

ttt

tu

uu

2

1

1

1

ˆ

ˆˆ

ρ


5.17 Exemple : Estimation d’une fonction de consommation

+---------------------------------------------+| AR(1) Model: e(t) = rho * e(t-1) + u(t) || Initial value of rho = .90693 || Maximum iterations = 100 || Method = Prais - Winsten || Iter= 1, SS= .017, Log-L= 666.519353 || Iter= 2, SS= .017, Log-L= 666.573544 || Final value of Rho = .910496 || Iter= 2, SS= .017, Log-L= 666.573544 || Durbin-Watson: e(t) = .179008 || Std. Deviation: e(t) = .022308 || Std. Deviation: u(t) = .009225 || Durbin-Watson: u(t) = 2.512611 || Autocorrelation: u(t) = -.256306 || N[0,1] used for significance levels |+---------------------------------------------++---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+|Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X|+---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+Constant -.08791441 .09678008 -.908 .3637LOGY .99749200 .01208806 82.519 .0000 7.99083133RHO .91049600 .02902326 31.371 .0000Rappel : LOGY(MCO) 1.00306 .00297 t=338.159

Procédure équivalente à Cochrane-Orcutt

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5.18 La procédure de “balayage” de Hildreth-Lu

Première étape : A partir de la statistique de Durbin-Watson, on détermine une autocorrélation positive ou négative :

Deuxième étape : Régression pour l’intervalle des valeurs possibles de ρ

Si alors ont utilise des valeurs de ρ sur [0,1]

Si alors ont utilise des valeurs de ρ sur [-1,0]

On retient la valeur de ρ qui minimise la somme des carrés des résidus en balayant l’intervalle avec un pas correspondant au degré de précision désiré.

0ˆou 0ˆ00 <> ρρ

0ˆ0 >ρ0ˆ0 <ρ


6. Conclusions et mises en garde


6.1 Conclusions et mises en gardesLe problème d’autocorrélation des erreurs est particulièrement important en données chronologiques

Les méthodes de test et de correction de l’autocorrélationvues ici uniquement pour des termes d’erreurs AR(1) peuvent être développées pour tester et corriger des autocorrélations plus complexes

Les méthodes des MCG et MCQG permettent de corriger les biais induits par l’autocorrélationlorsque l’on connaît la nature de cette autocorrélation

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6.2 Conclusions et mises en gardes (2)Si la nature de la structure d’autocorrélation est mal évaluée, le remède peut se révéler plus nocif que la maladie.

Par ex. si les résidus sont saisonniers et qu’on les suppose AR(1)

Dans ce cas, on risque d’avoir par ces procédures d’estimation des résultats plus mauvais que si on faisait des MCO simples.

Se tromper sur la modélisation des résidus peut être plus grave que le problème d’autocorrélation en lui-même.

Souvent, il vaut mieux essayer de revoir sa spécification économétrique au lieu d’appliquer ces méthodes de correction.

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