CHAPITRE 13 

Systèmes de deux équations à deux

inconnues

Objectifs:-Savoir si un couple de nombres est solution d’un système.

-Résoudre un système de deux équations à deux inconnues admettant une et une seule solution.-Mettre en équation et résoudre des problèmes conduisant à des systèmes.

I. Mise en équation d’un problèmeDans une boulangerie, Paul achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 2,80 €.Dans la même boulangerie, Juliette achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; elle paie 2,10 €.

Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un croissant.Choix des deux inconnuesx le prix d’un pain au chocolat

y le prix d’un croissant

Mise en équations

80,22310,23

yxyx

Les 2 équations

sont liées

Achat de Paul1ère équation

Achat de Juliette 2ème équation

Résoudre un système, c’est trouver un couple de nombres ( x ; y ) qui vérifie à la fois la 1ère équation et la 2ème équation du

système. Exemples : - Le couple ( 0,40 ; 0,80 ) est-il solution de ce système ?

On a  3 x 0,40 + 2 x 0,80 = 2,80 La 1ère équation est vérifiée

et  0,40 + 3 x 0,80 = 2,80 ≠ 2,10 Mais la 2ème équation n’est pas vérifiée

le couple ( 0,40 ; 0,80 ) n’est pas solution du système.

- Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est-il solution de ce système ?

On a  3 x 0,60 + 2 x 0,50 = 2,80 La 1ère équation est vérifiée

et  0,60 + 3 x 0,50 = 2,10 Et la 2ème équation également

le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système.

II. Méthode de résolution par substitution

Résoudre le système suivant : 80,22310,23

yx

yx

80,223310,2

yxyx

On isole une inconnue dans une équation. (ici x dans la 2ème équation)

On substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation.

( ici x par 2,10 - 3y dans la 1ère équation) 80,22310,23

310,2

yy

yx

80,22930,6310,2

yyyx

On résout cette équation pour trouver

une des deux inconnues. (ici y dans la première équation)

80,22930,6310,2

yyyx

On résout cette équation pour trouver

une des deux inconnues. (ici y dans la première équation) 50,37

310,2

y

yx

50,0310,2

yyx

50,050,0310,2

yx

On substitue l’inconnue trouvée dans l’autre équation.

( ici y par 0,50 dans la 2ème équation)

50,060,0

yx

On termine le calcul pour trouver

la valeur de la 2ème inconnue.( ici x dans la 2ème équation)

Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système.Un pain au chocolat coûte 0,60 € et un croissant 0,50 €.

III. Méthode de résolution par combinaison

linéaireRésoudre le système suivant : 1123

1654

yxyx

comme ligne 1

comme ligne 2 1123

1654

yxyx

l1

l2

1ère étape : élimination des x

Il faut obtenir le même nombre de x dans les 2 équations.On va donc multiplier par 4 et par 3 pour obtenir 12x dans chaque équation.

On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les x .

481512

44812

yxyx

11231654

yxyx 44812

481512

yxyx

l1 l2

l1l2l1 x 4l2 x 3

Donc y = 4

2ème étape : élimination des y

Il faut obtenir le même nombre de y dans les 2 équations.On va donc multiplier par -5 et par 2 pour obtenir -10y dans chaque équation.

On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les y .

32108

551015

yxyx

11231654

yxyx 551015

32108

yxyx

l1 l2

l1l2l1 x (-5)l2 x 2

Donc x = 1

Le couple ( 1 ; 4 ) est solution du système.