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Chapitre 10 : Oscillateurs

Introduction

1

Dans ce dernier chapitre, nous allons étudier les oscillateurs couplés après une révision des

oscillateurs simples harmoniques.


I Oscillateur harmonique libre.

II Oscillateur amorti

III Oscillateur harmonique forcé.

IV Oscillateurs couplés.

V Résumé

2


I OSCILLATEUR HARMONIQUE LIBRE 1) Mouvement autour d’une position d’équilibre

On considère une particule dans un puits de potentiel (cf chapitre Travail-Energie)

Au voisinage d’un minimum en x=x0, on peut écrire

3

Ep(x)

x

Puits de potentiel

0

200pp xxk2

1EE xx

0)(

k

0

2

2

xx

p

x

xE


I OSCILLATEUR HARMONIQUE LIBRE 2) Equation du mouvement

Connaissant l’énergie potentielle, on peut en déduire la force qui s’exerce sur la

particule pour x voisin de x0 :

Le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire l’équation du mouvement :

En posant X=x-x0,

On peut écrire :

4

200pp xxk2

1EE xx

0

pxxk

dx

(x)dExF

02

2

xxkdt

xdm

0Xωdt

Xd 202

2

m

kω2

0

Exemples : Ressort : k=raideur du ressort, m=masse de la particule accrochée Pendule : x=, X=,

gω2

0

2

p kX2

1XE

0 est dit mode propre


I OSCILLATEUR HARMONIQUE LIBRE 2) Equation du mouvement

Les solutions de cette équation différentielle s’écrivent sous la forme :

Ou bien

Le mouvement est périodique de période :

Remarques :

5

φtωcosA X(t) 0

0Xωdt

Xd 202

2

tωsin Btωcos AX(t) 0000

k

m2π

ω

2πT

0

steC 2

pcm Ak 2

1EEE


II OSCILLATEUR AMORTI 1) Equation du mouvement

On considère ici un oscillateur harmonique soumis à un frottement fluide :

En posant x0=0, l’équation du mouvement s’écrit :

La solution de cette équation différentielle est de type exp(rt) avec :

Le discriminant réduit est :

6

vk f

dt

dxf-k x

dt

xdm

2

2

0 xωx 2αx 2

0 2m

fα

m

kω2

0 avec : et

0 ωr 2αr 20

2

ωα' 20

2

Régime pseudo-périodique (Q>1/2)

Régime critique (Q=1/2) Régime apériodique (Q<1/2)


II OSCILLATEUR AMORTI 2) Les différents régimes

7

0 xωx 2αx 2

0 2m

fα

m

kω2

0 avec : et

φωt cos eA x(t) αt

0ωα 0ωα 0ωα

ir 22

0 0 r

e BAtx(t)t0

20

2 r

trtre B eA x(t)

Facteur de qualité : 2α

ωQ 0


III OSCILLATIONS FORCEES 1) Equation du mouvement

8

On considère ici un oscillateur harmonique soumis à un frottement fluide et une force

extérieure qui varie de manière sinusoïdale avec le temps. L’équation du mouvement

s’écrit :

La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution sans second

membre (cf partie précédente) et d’une solution particulière que l’on cherche sous la

forme:

ωt cos Fdt

dxf-k x

dt

xdm

2

2

ωtcosm

F xωx 2αx 2

0

φωt cosA x(t)



9

En identifiant modules et arguments, on obtient :

ωtcosm

F xωx 2αx 2

0 φωt cosA x(t)

φωti expA (t)x~

ti exp F(t)F~

222220 ω4αωω

1

m

FA

20

2 ωω

2αtanφ



10

222220 ω4αωω

1

m

FA

20

2 ωω

2αtanφ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Q=0.5

Q=1

Q=2

A m

0/F

Q=10

Pour Q élevé, <<0, on observe un phénomène de résonance. Dans ce cas, l’amplitude maximale est :

2α

ωQ 0

Q 0ωAQ

m

F

2

1

m

FA

200

m


IV OSCILLATIONS COUPLEES 1) Equation du mouvement

11

On considère trois ressorts de raideur k1, k2 et k3 permettant le mouvement horizontal de deux masses m1 et m2 placées en O1 et O2 à l’équilibre. On note x1, le déplacement de la masse m1 vers la droite et x2, celui de la masse m2 vers la droite. Les équations du mouvement s’écrivent :

x1 x2

212232

22

2

122112

12

1

xkdt

xdm

xkdt

xdm

xxk

xxk


IV OSCILLATIONS COUPLEES 1) Equation du mouvement

12

x1 x2

212232

22

2

122112

12

1

xkdt

xdm

xkdt

xdm

xxk

xxk

0 xdt

xd

0 xdt

xd

1

2

22

222

22

2

1

21

212

12

xm

k

xm

k

1

2121

m

kkω

2

2322

m

kkω

On a donc un système d’équations linéaires couplées avec deux inconnues x1(t) et x2(t).

Dans la pratique, il est difficile d’obtenir un changement de variable qui permet de

‘découpler ‘ ces équations c’est-à-dire de revenir à deux équations de la forme :

avec X une fonction de x1 et x2 et une combinaison des paramètres.

0Xωdt

Xd 2

2

2


IV OSCILLATIONS COUPLEES 2) Exemple résolu

13

x1 x2

12202

22

21102

12

xkdt

xdm

xkdt

xdm

xxk

xxk

0vm

2kk

dt

vd

0um

k

dt

ud

0

2

2

0

2

2

21 xxu

21 xxv

Les pulsations des deux modes propres sont : et

k0 k0 On considère le cas particulier : k1=k3=k0 et k2=k m1=m2=m

m

kω 0

1 m

2kω 0

2

k

222

111

cos)(

cos)(

tatv

tatuavec 4 paramètres (a1,a2,1,2) donnés par les conditions aux limites



14

0vm

2kk

dt

vd

0um

k

dt

ud

0

2

2

0

2

2x1

x2


m

kω 0

1 m

2kω 0

2

k

22221

11121

cos)()()(

cos)()()(

tatxtxtv

tatxtxtu

On donne x1(0)=a, x2(0)=0 et les vitesses initiales nulles

tatxtxtv

tatxtxtu

221

121

cos)()()(

cos)()()(

ttatvtu

tx

ttatvtu

tx

212

211

coscos22

)()()(

coscos22

)()()(



15

ttatvtu

tx

ttatvtu

tx

212

211

coscos22

)()()(

coscos22

)()()(

m

kω 0

1

x1 x2

k0 k0

m

2kω 0

2

k

:ωω 12

0kk

Battements



16

0vm

2kk

dt

vd

0um

k

dt

ud

0

2

2

0

2

2

x1 x2


m

kω 0

1 m

2kω 0

2

k

22221

11121

cos)()()(

cos)()()(

tatxtxtv

tatxtxtu

On donne x1(0)= x2(0)=a, et les vitesses initiales nulles

0)()()(

cos2)()()(

21

121

txtxtv

tatxtxtu

tatu

txtx 121 cos2

)()()( mode propre excité

On donne x1(0)= -x2(0)=a, et les vitesses initiales nulles

tatv

txtx 221 cos2

)()()( mode propre excité

tatxtxtv

txtxtu

221

21

cos2)()()(

0)()()(


VI RESUME

17

Au voisinage d’un minimum d’énergie potentielle, on peut l’approximer par un

potentiel harmonique (en (x-x0)2). Dans ce cas, l’équation du mouvement est de type :

qui admet une solution du type :

En présence d’un frottement fluide, l’équation du mouvement est maintenant de la

forme : . L’évolution temporelle est fixée essentiellement par le

facteur de qualité :

Dans le cas d’un oscillateur forcé à une pulsation , la solution particulière de

l’équation du mouvement : est de la forme :

Lorsque Q est élevé, il y a une résonance pour 0.

Enfin, en présence d’oscillateurs couplés, il faut résoudre un système linéaire

d’équations couplées. La résolution de ce système conduit à l’apparition de modes

propres du système. Lorsque les modes propres sont proches, il y a apparition de

battements dans l’évolution temporelle.

0Xωdt

Xd 202

2

φtωcosA X(t) 0

0 xωx 2αx 2

0

2α

ωQ 0

φωt cosA x(t) ωtcosm

F xωx 2αx 2

0

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