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CHAPITRE1:SOURCESDUCHAMPELECTROMAGNETIQUE

Notions et contenus Capacités exigibles1. Sources du champ électromagnétique 1.1 Description microscopique et mésoscopique des sources

Densité volumique de charges. Charge traversant un élément de surface fixe et vecteur densité de courant. Intensité du courant.

Exprimer ρ et j en fonction de la vitesse moyenne des porteurs de charge, de leur charge et de leur densité volumique. Relier l’intensité du courant et le flux de j.

1.2 Conservation de la charge Équation locale de conservation de la charge. Conséquences en régime stationnaire.

Établir l’équation traduisant la conservation de la charge dans le seul cas d’un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne. Citer et utiliser une généralisation (admise) en géométrie quelconque utilisant l’opérateur divergence, son expression étant fournie. Exploiter le caractère conservatif du vecteur j en régime stationnaire. Relier ces propriétés aux lois usuelles de l’électrocinétique.

1.3 Conduction électrique dans un conducteur ohmique

Loi d’Ohm locale dans un métal fixe, l’action de l’agitation thermique et des défauts du réseau fixe étant décrite par une force phénoménologique de la forme –mv/τ Conductivité électrique. Résistance d’une portion de conducteur filiforme. Approche descriptive de l’effet Hall. Effet thermique du courant électrique : loi de Joule locale.

Déduire du modèle un ordre de grandeur de τ et en déduire un critère de validité du modèle en régime variable. Déduire du modèle un ordre de grandeur de v et en déduire un critère pour savoir s’il convient de prendre en compte un éventuel champ magnétique. lnterpréter qualitativement l’effet Hall dans une géométrie rectangulaire. Exprimer la puissance volumique dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique.

1. Chargesetcourants:

1.1. RappeldePCSI:

Lachargeestquantifiée:q=z.eoueestlachargeélémentaire.L’intensitéestundébitdecharges,cequisetraduitpar:

𝑖 = 𝑑𝑞𝑑𝑡

Leschargespeuventêtreportéespardesparticules(électrons,protons,etc..)oupardesions.

PC/PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse 1.2.Densitésdecharges:Al’échellemacroscopique,lesmilieuxn’apparaissentpascommedessystèmesdiscretsdecharges,maiscommedessystèmescontinus;ondéfinitalorsdesdensitésdecharge.Définition:ladensitévolumiquedechargeenpointMd’unmilieuàuninstanttest:

𝜌 𝑀, 𝑡 = 𝑑𝑞𝑑𝜏 ♡

oùd𝜏 estunélémentdevolumeinfinitésimalcontenantlachargedq.𝜌s’exprimeenC.m-3.Dansunmilieucontenantunedensitévolumiquendeporteursdechargesn,chaqueporteurayantunechargeq,ladensités’exprimepar:

𝝆 =n.q❤ Pour un système à deux dimensions ( armature plane d’un condensateur par exemple ) on peutdéfinirunedensitésurfaciquedecharges.Définition:ladensitésurfaciquedechargeenpointMd’unmilieuàuninstanttest:

𝜎 𝑀, 𝑡 = 𝑑𝑞𝑑𝑆 ♡

oùd𝑆 estunélémentdesurfaceinfinitésimalcontenantlachargedq.𝜎s’exprimeenC.m-2.Pourunsystèmeàunedimension,onpeutdéfinirunedensitélinéiquedecharges.Définition:ladensitélinéiquedechargeenpointMd’unmilieuàuninstanttest:

𝜆 𝑀, 𝑡 = 𝑑𝑞𝑑ℓ ♡

oùdℓ estunélémentdelongueurinfinitésimalcontenantlachargedq.𝜆s’exprimeenC.m-1. 1.3.Vecteurdensitédecourant:Définition: vecteur densité de courant 𝚥(𝑀, 𝑡): c’est un vecteur dirigé dans le sens du flux decharges,etdontlanormeestégaleàlachargetraversantunesurfaceunitéperpendiculaireàSparunitédetemps. 1.4.Lienentre𝚥 𝑒𝑡 𝜌 :Considéronsdesporteursdechargesendensité𝜌etayantunevitesse𝑣 = 𝑣.𝑢! ,etunesurfaceSperpendiculaireàOx,soit𝑆 = 𝑆.𝑢! .LachargetraversantlasurfaceSpendantdtestcellequiestcontenuedansuncylindredelongueurv.dtetdesectionS,soit:

𝑑𝑞 = 𝜌. 𝑆. 𝑣.𝑑𝑡

S𝚥�⃗�!!⃗

PC/PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseOnaalors:

𝑗 = 𝑑𝑞𝑆.𝑑𝑡 = 𝜌. 𝑣

Cetteformesegénéralise:! = 𝝆𝒊.

𝒊

𝒗! ♡

1.5.Lienentre𝚥 eti:Considérons𝚥 𝑀, 𝑡 = 𝑗 𝑥, 𝑡 .𝑢! etunesurfaceSperpendiculaireàOx,soit𝑆 = 𝑆.𝑢! .LachargetraversantlasurfaceSpendantdtestpardéfinitiondej:

𝑑𝑞 = 𝑗. 𝑆.𝑑𝑡Onendéduitquel’intensitéetladensitédecourantsontliéespar:

𝑖 = 𝑗. 𝑆Cetteformesegénéralise:

𝒊 = ! 𝑴, 𝒕 .𝑺

𝒅𝑺 ♡

2. Equationdeconservationdelacharge.L’électromagnétisme postule la conservation de la charge: la charge ne peut être ni créée, nidétruite.

2.1. Démonstration:En conséquence, si l’on considère un volume fixe dans l’espace et qu’onmesure sa charge, cettechargenevarieàl’intérieurdecevolumequesideschargessortentduvolume,ouentrentdanscevolume.S𝚥 𝑥, 𝑡 𝚥 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡 x dxOn considère un volume de longueur dx et de section S d’unmatériau chargé avec une densitévolumique𝜌 𝑥, 𝑡 entrelesinstantstett+dt.Danscevolumeexisteunedensitédecourant𝚥 = 𝑗 𝑥, 𝑡 .𝑢! .•LachargefranchissantSàl’abscissexpendantdtestdq1=S.j(x,t).dt•LechargefranchissantSàl’abscissex+dxpendantdtestdq2=S.j(x+dx,t).dt

S𝚥

PC/PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseLavariationdelachargeélémentairecontenuedanslevolumeS.dxestpendantdt:

dq(t+dt)–dq(t)=𝜌 𝑥, 𝑡 + 𝑑𝑡 . 𝑆.𝑑𝑥 − 𝜌 𝑥, 𝑡 . 𝑆.𝑑𝑥

= 𝜕𝜌 𝑥, 𝑡𝜕𝑡 .𝑑𝑡. 𝑆.𝑑𝑥

Orona:dq(t+dt)=dq(t)+dq1–dq2,

Soit:dq(t+dt)-dq(t)=S.j(x,t).dt–S.j(x+dx,t).dt,

d’où:

𝜕𝜌 𝑥, 𝑡𝜕𝑡 = −

𝜕𝑗𝜕𝑥

Généralisation:

𝝏𝝆𝝏𝒕 + 𝒅𝒊𝒗 ! = 𝟎 ♡

2.2.Casdurégimestationnaire:loidesnœuds:

𝝏𝝆𝝏𝒕 = 𝟎

Onaalors:

𝒅𝒊𝒗 ! = 𝟎 ⇔ 𝚥.𝑑𝑆!

= 0

Onendéduitquelefluxde𝚥estconservatif,cequitraduitlaloidesnoeuds.

3. Conductionélectriquedansunconducteurohmique: 3.1.Modélisationmicroscopique:Onconsidèreunmétal,danslequellesporteursdecharge(électrons)sontendensitévolumiquen.IlssontsoumisàlaforcedeLorentzdueauchampélectromagnétique𝐸,𝐵:

𝐹 𝑟, 𝑡 = 𝑞(𝐸 𝑟, 𝑡 + 𝑣 𝑟, 𝑡 ∧ 𝐵 𝑟, 𝑡 )etàl'interactionavecleréseauqu'ontraduitparuneforcedefrottementfluide:

𝑓 = −𝑚𝑣𝜏

pourunechargeqdemassem.Laduréeτestladuréemoyenneentredeuxcollisionssuccessivesd’unporteurdecharges.Leprincipefondamentaldeladynamiqueappliquéàl’électrons’écrit:

−𝑒 𝐸 + 𝑣 ∧ 𝐵 −𝑚𝑣𝜏 = 𝑚

𝑑𝑣𝑑𝑡

3.2.Tempsderelaxationdumatériau:Supposonsquelechampsoitcoupéàt=0.

𝑑𝑣𝑑𝑡 +

𝑣𝜏 = 0

𝑣 = 𝑣 0 . 𝑒!!/!

PC/PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseLaduréeτapparaîtcommeletempsderelaxationdesélectrons.On calcule: τ = 2,4.10-14 s pour un bon conducteur ( cuivre ); ainsi pour des champs variantlentementparrapportàτ,itest:

T>>τf<<1014Hz

Onpeutconsidérerque𝑣𝜏 ≫

𝑑𝑣𝑑𝑡

Ondéduitalors:

𝚥 = −𝑛𝑒𝑣 = 𝛾 𝐸 −𝚥𝑛𝑒 ∧ 𝐵

Avec:

𝛾 =𝑛. 𝑒!. 𝜏𝑚

3.3.Ordresdegrandeuretconséquences:Pourlecuivre:ρm=8,96g.cm

-3;M=63,5g.mol-1;γ=5,8.107S.m-1;1électronlibreparatome:

n≈8,5.1028électrons.m-3;ρ=-1,4.1010C.m-3

PourI=1A;S=1mm2:

v=7.10-5m.s-1

𝐸 ≈ 𝑗𝛾 = 2.10!! 𝑉.𝑚!!

Dansunchampde1T:

𝑣 ∧ 𝐵 ≈ 7.10!! 𝑉.𝑚!! On peut donc négliger la composante due à𝐵 dans un bon conducteur,mais pas dans un semi-conducteur(cfplusloin).Laloid'Ohmlocaledansunbonconducteurs'exprimedonc:

! = 𝜸𝑬 ♡

3.4.Résistanced’uneportiondecircuitfiliforme:

A B

UAB=VA-VB

𝚥

PC/PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseOn considère une portion de circuit de longueur l et de section S, parcouru par un courant i, etorientéseloniparunvecteurunitaire𝑢.Ona:

𝚥 = 𝑗.𝑢Enconsidérant𝚥commeuniformesurlasection,ona:

I=j.SL’intégrationdelaloid’OhmlocaleentrelesextrémitésAetBdufildonne,enadmettantlarelation(vueauchapitresuivant):

𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉danslaquelleVestlepotentielélectrique,fournit:

𝑈!" =𝑙𝛾𝑆 . 𝑖

Onretrouvelaloid’Ohmintégrale;larésistancedelaportiondefilestdonc:

𝑅 =𝑙𝛾𝑆

Onremarquequesaformeeststricetementidentiqueàcelledelarésistancethermique. 3.5.LoideJoulelocale:Lapuissancevolumiquedissipéedansleconducteurohmiqueestdonnéepar:

𝒑𝒗 = !.𝑬 = 𝜸.𝑬𝟐 ♡

4. EffetHall:Cetteeffetpermet:

• Pourunmatériauconnu,demesurerunchampmagnétique.• Pourunchampmagnétiqueconnu,dedéterminerladensiténdeporteursd’unmatériau,

ainsiqueleursigne.

Onconsidèreuneplaquerectangulaired'épaisseurhetdelargeurL,petitesdevantlalongueurdufil,etparcourueparuncourantd'intensitéI,uniformémentrépartisurlasectiondelaplaqueetdedensitédecourantvolumique:

𝚥 = 𝑗.𝑢! = 𝐼ℎ. 𝐿 𝑢!

Ix

y

hL

Bz

PC/PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseLaconductionélectriqueestassuréepardesporteursmobilesidentiques,dechargeq,denombreparunitédevolumenotén.Laplaqueestplacéedansunchampmagnétiqueuniforme:

𝐵 = 𝐵.𝑢!Enrégimestationnaire,onacommeprécédemment:

𝚥 = −𝑛𝑒𝑣 = 𝛾 𝐸 −𝚥𝑛𝑒 ∧ 𝐵

⟺ 𝐸 =𝑗𝛾 𝑢! +

𝑗𝐵𝑛. 𝑞 𝑢!

Onconstatequ'ilexisteunchampélectriqueperpendiculaireàOx,appeléchampdeHall:

𝐸! = 𝑅!𝑗.𝐵avec

𝑅! =1𝑛. 𝑞

DansunbonconducteurlechampdeHallestfaible;onutiliseunsemi-conducteur,commeSi,pourlequel:

n=1024m-3LamesuredeladifférencedepotentieltransversaleVH=EH.LpermetdeconnaîtrelechampdeHall.