Chapitre 1 · 2. Tracer le prix, le delta et le vega d’un strangle a la date t= 0, en fonction de...

Master ISIFAR 2eme anneeExercices pour le cours “Mathematiques Financieres”

Chapitre 1

Exercice 1. * Calculer le prix a terme d’echeance T d’une obligation de nominalN , qui verse un coupon C a la date t < T .

Exercice 2. * A la date 0, le prix a terme d’echeance T d’un actif financierne versant pas de dividendes est egal a F . Supposant que vous avez pris uneposition longue dans un contrat forward sur cet actif, calculez le prix de votrecontrat a la date t < T .

Exercice 3 (Dividendes discrets). On considere une action dont le prix seranote par S, et qui verse un dividende connu D a la date t < T . Les prix al’instant 0 des options call et put sur S d’echeance T et de strike K seront notesC(T,K) et P (T,K). Le taux d’interet est suppose constant et egal a r.

1. Calculer le prix forward d’echeance T a l’instant 0 de l’action.

2. Donner la relation de parite call-put pour C(T,K) et P (T,K).

3. En deduire les bornes inferieures pour C(T,K) et P (T,K). Donner egalementles bornes superieures pour les prix de ces options.

Chapitre 2

Exercice 4 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modele Black-Scholes standard avec volatilite σ et taux d’interet r. Un risk reversal est uncontrat qui consiste a vendre un put de strike K1 et a acheter un call de strikeK2 > K1.

1. Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent al’echeance ST .

2. Tracer le vega du risk-reversal a l’instant T = 0 en fonction de la valeurdu sous-jacent S0.

3. Pour une valeur fixee de S0, donner une condition sur les strikes K1 et K2

pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpreter cette condition entermes du delta du call et du put.

Exercice 5 (Le strangle). Le strangle est un achat simultane d’un put de strikeK1 et d’un call de strike K2 > K1, les deux options ayant la meme echeance.

1. Tracer le pay-off d’un strangle a l’echeance en fonction de la valeur ST .

1

2. Tracer le prix, le delta et le vega d’un strangle a la date t = 0, en fonctionde la valeur S0, en justifiant brievement la forme des differentes courbes.

3. Donner la valeur de S0 pour laquelle le strangle est delta-neutre a la datet = 0.

4. A la date t = 0, on achete un strangle en utilisant un call et un put quiont 3 mois jusqu’a l’echeance, alors que la volatilite implicite de toutesles options vaut σ0 = 20%. Dans un mois, le strangle est revendu. Ennegligeant l’effet de taux d’interet, determiner si cette operation, seragagnante ou perdante dans les deux cas suivants:

(a) Dans un mois, la valeur du sous-jacent et la volatilite implicite restentinchangees.

(b) Dans un mois, la valeur du sous-jacent reste inchangee mais la volatiliteimplicite monte a σ1 = 30%.

Justifiez votre reponse par un calcul des sensibilites.

Exercice 6 (Robustesse du modele Black-Scholes). Une option asiatique estune option dont le pay-off a l’instant T est

HT =

(1

T

∫ T

0

Sudu−K

)+

.

Le but de cette partie est de donner une borne superieure pour le prix d’uneoption asiatique, ainsi qu’une strategie de surcouverture, en utilisant le resultatde robustesse du modele de Black-Scholes rappele dans la premiere partie.

1. Soit

Xt = E

[1

Te−r(T−t)

∫ T

0

Sudu∣∣∣Ft] .

En utilisant la forme explicite de Su, calculer l’esperance conditionnelleci-dessus.

2. Montrer que l’option asiatique peut etre vu comme une option europeennesur l’actif X.

3. Calculer la dynamique de Xt et montrer qu’elle a la forme

dXt

Xt= rdt+ σtdWt

avec la volatilite σt a preciser.

4. Montrer que cette volatilite σt admet une borne superieure deterministeσmax.

2

5. En utilisant la premiere partie, en deduire une borne superieure sur le prixde l’option asiatique.

6. Decrire la strategie de surcouverture correspondante.

7. En conclusion, montrer que le prix de l’option asiatique est majore par leprix de l’option europeenne de meme strike.

Dans les trois exercices suivants on se place dans le modele de Black-Scholes,ou le sous-jacent St est solution de

dSt = σStdWt + bStdt.

Les parametres b et σ ainsi que le taux d’interet r sont constants. On note parE l’esperance sous la probabilite risque-neutre.

Exercice 7 (Options puissance). On considere une option de pay-off h(ST ) =SnT dans le modele de Black-Scholes. Calculer le prix de cette option en utilisantla regle d’evaluation risque-neutre.

Exercice 8 (Option forward start). On considere une option Call d’echeanceT2 dont le strike est fixe a une date future T1 < T2 a un certaine proportion mde la valeur du sous-jacent a cette date. Calculer le prix de cette option dansle modele de Black-Scholes a la date t < T1, en utilisant la regle d’evaluationrisque-neutre.

Exercice 9 (Option a choix). Une option a choix sur un titre est un produitderive qui donne le droit au detenteur de choisir a une date τ s’il veut un callou un put de maturite T > τ , et de strike K. On notera Ct et Pt les prix ducall et du put a la date t.

1. Quel est le pay-off de l’option a choix?

2. Verifier que le prix d’arbitrage a la date t = 0 de cette option a choix est

Π0 = C0 + EQ[e−rT (K − ST )1Cτ<Pτ ].

3. Montrer que ce prix s’ecrit encore:

Π0 = C0+EQ[e−rτ (Ke−r(T−τ)−Sτ )+] = P0+EQ[e−rτ (Sτ−Ke−r(T−τ))+].

Exercice 10 (Power straddle dans le modele de Black-Scholes). Dans cetteexercice on considere un “power straddle”, une option dont le pay-off a l’instantT est egal a

HT = (ST −K)2.

1. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix dupower straddle dans le modele Black-Scholes a une date t < T .

3

2. Calculer le delta du power straddle et donner la strategie de couverturedynamique pour cette option. Quelle doit etre la valeur de St pour que lepower straddle soit delta neutre?

3. Calculer le gamma et le vega du power straddle a la date t. Representer cesquantites sur un graphique (en fonction de St). Quels sont les avantages dupower straddle en tant qu’instrument de couverture du risque de volatilite?

4. Supposons que la volatilite n’est pas connue, mais on sait qu’elle se trouvedans l’intervalle [σ1, σ2]. Donner les bornes sur le prix du power straddleen utilisant le resultat de robustesse de la formule de Black-Scholes.

Exercice 11 (Options puissance). Dans cet exercice on considere une optionpuissance de type A, de pay-off

HAT = (S2

T −K2)+

et une option puissance de type B de pay-off

HBT = ((ST −K)+)2,

dans le cadre du modele de Black-Scholes.

1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft a l’instant td’un actif qui paie S2

T a l’instant T . Montrer que F 1t suit le modele de

Black-Scholes, calculer sa volatilite.

2. Montrer que l’option puissance de type A peut etre vue comme une optioncall standard sur l’actif F 1. En utilisant la formule de Black-Scholes,calculer le prix a l’instant t de l’option puissance de type A.

3. Calculer le delta (en utilisant la formule de derivation d’une fonction com-posee) et decrire la strategie de couverture dynamique pour cette option.

4. Montrer que le pay-off de l’option puissance de type B peut etre exprimeen termes du pay-off de l’option de type A et du pay-off de l’option callde strike K.

5. En deduire le prix de l’option de type B a l’instant t < T .

6. Calculer le delta de l’option puissance de type B.

7. En deduire le gamma de l’option puissance de type B et montrer qu’ilest borne par une constante independante de t et St. Quelles sont lesimplications pour la couverture de cette propriete?

Exercice 12 (Leveraged ETF). * On considere le modele de Black-Scholesstandard avec un actif sous-jacent risque (indice de marche) de dynamique

dStSt

= µdt+ σdWt,

4

ou W est un mouvement brownien, et un actif sans risque S0, capitalise avec letaux sans risque r. On suppose que µ > r.

Un Leveraged ETF est un fonds gere en utilisant la strategie dynamiquesuivante: a chaque instant t,

• Une proportion m de la valeur du fonds est investie dans l’actif risque S;

• Un proportion 1−m de la valeur est investie dans l’actif sans risque.

Ici, m est une constante, qui peut etre superieure a 1. Cette derniere situationcorrespond a emprunter pour investir plus dans l’actif risque: on appelle celalevier ou leverage. La valeur du leveraged ETF a l’instant t sera notee par Vt;on pose V0 = v (investissement initial).

1. Ecrire l’equation differentielle stochastique verifiee par V . Quelle est lavolatilite de V ?

2. Calculer la valeur Vt en resolvant explicitement l’EDS.

3. Calculer l’esperance de VT . Au vu de votre resultat, quelle est la valeurde m a prendre pour maximiser la performance de la strategie.

4. La mediane d’une variable aleatoire Z est la valeur z0 telle que P[Z ≤z0] = P[Z > z0] = 1

2 , c’est-a-dire, Z est inferieur ou egal a z0 dans 50%des cas. Calculer la mediane de Wt.

5. Calculer la mediane de VT . Si le but de l’investisseur est de maximiser laperformance du fonds dans 50% des cas, quelle valeur de m doit-il prendre?

6. Calculer le prix d’une option call de pay-off (VT −K)+.

7. Imaginez que vous etes conseiller en investissement, et un client vous de-mande un produit avec les caracteristiques suivantes:

• Il souhaite investir un montant initial x, avec un horizon d’investissementT .

• Le capital en T , note par XT doit dans tous les cas etre superieur ouegal a B > 0.

• L’esperance du rendement E[XT−xx

]doit etre egale a α > B−x

x .

(a) Est-il toujours possible de satisfaire les souhaits de l’investisseur?Donner la relation entre x et B pour qu’un tel produit puisse exister.

(b) Dans le cas ou un tel investissement est possible, proposer une strategieutilisant un actif sans risque et un leveraged ETF, avec le multipli-cateur m a preciser.

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Chapitre 3

Exercice 13. Soit W un mouvement brownien sur R. On considere un marcheavec un actif sans risque (de taux d’interet constant r) et deux actifs risques S1

et S2 de dynamique

dS1t = S1(b1dt+ σdWt), dS1

t = S1(b2dt+ σdWt),

avec b1 6= b2, c’est-a-dire, les deux actifs ont la meme volatilite et sont diriges parle meme mouvement brownien, mais leurs rendements moyens sont differents.Montrer qu’on peut construire un portefeuille d’arbitrage dans ce marche. Quelleest la condition necessaire pour construire un arbitrage si les deux actifs ont desvolatilites differentes (mais sont toujours diriges par le meme brownien)?

Exercice 14. On considere un marche financier avec un actif sans risque detaux d’interet r, un actif risque S1 suivant le modele de Black-Scholes

dSt = σStdWt + bStdt,

et un actif risque S2 (par exemple, une option) dont le prix a toute date estdonnee par une fonction deterministe reguliere du temps et de la valeur de S1:S2t = v(t, S1

t ).

1. En appliquant la formule d’Ito, calculer la volatilite et le taux de rende-ment de S2.

2. En utilisant la caracterisation de non-arbitrage via l’existence d’une primede risque, montrer directement que v(t, S) verifie l’EDP de Black-Scholes.

Exercice 15 (Option sur panier). On se place dans le modele Black-Scholesstandard en dimension 2. Les prix des actifs risques sont notes S1 et S2, leursvolatilites sont σ1 et σ2 et il y a une correlation ρ entre les rendements. Le tauxd’interet est egal a r.

1. Ecrire la dynamique des actifs S1 et S2 sous la probabilite risque-neutre,en faisant apparaıtre deux mouvements browniens independants W 1 etW 2.

On considere une option de pay-off a l’instant T donne par

HT = (αS1T + (1− α)S2

T −K)+,

avec α ∈ (0, 1). Soit P (t, S1t , S

2t ) le prix de cette option a l’instant t. Soient

egalement P1(t, S1t ) le prix de l’option de pay-off H1

T = (S1T −K)+ et P2(t, S2

t )le prix de l’option de pay-off H2

T = (S2T −K)+.

2. Donner la formule pour la fonction P (t, S1t , S

2t ) faisant intervenir une

esperance sous la probabilite risque-neutre.

3. En appliquant la formule d’Ito, determiner l’EDP verifiee par la fonctionP (t, x, y). Ne pas oublier la condition terminale.

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4. Montrer que P (t, S1t , S

2t ) ≤ αP1(t, S1

t ) + (1− α)P2(t, S2t ).

5. Montrer que

P (t, S1t , S

2t ) ≥ EQ[e−r(T−t)(eα logS1

T+(1−α) logS2T −K)+].

6. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft al’instant t d’un actif qui paie eα logS1

T+(1−α) log S2T a l’instant T . Montrer

que cet actif suit le modele de Black-Scholes, calculer sa volatilite.

7. En utilisant la formule de Black-Scholes, deduire de la question precedenteune borne inferieure explicite pour le prix de l’option sur panier.

Exercice 16 (Options asiatiques).

1. Soit K une constante. Montrer que le processus

Mt = E[(1

T

∫ T

0

Sudu−K)+|Ft]

est une martingale.

2. Montrer que, si l’on pose ζt = S−1t (K − 1T

∫ t0Sudu), on a

Mt = StE[(1

T

∫ T

t

SuStdu− ζt)+|Ft].

3. Soit φ(t, x) = E[( 1T

∫ Tt

SuStdu−x)+]. Montrer que φ(t, x) = E[( 1

T

∫ Tt

SuStdu−

x)+|Ft] et que Mt = Stφ(t, ζt).

4. Ecrire la formule d’Ito pour M . En deduire une equation aux deriveespartielles verifiee par φ.

Exercice 17 (Options de change). On considere une economie avec deux marches,le marche domestique, ou les prix sont exprimes en monnaire domestique, et lemarche etranger avec les prix en monnaie etrangere. Le taux de change entre lesdeux marches Xt est defini comme le prix a l’instant t d’une unite de monnaieetrangere dans le marche domestique. Les taux d’interet dans les deux marchesseront notes rf et r, et sont supposes constants. La dynamique du taux dechange (sous la probabilite historique) est donnee par

dXt

Xt= bXdt+ σXdWX

t ,

ou WX est un mouvement Brownien standard. On considere des options ecritessur une action S cotee dans le marche etranger, qui ne paie pas de dividendeset suit la dynamique

dStSt

= bdt+ σ(ρdWXt +

√1− ρ2dWt),

ou W est un mouvement Brownien standard independant de WX .

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1. Calculer le prix sur le marche domestique a l’instant t = 0 d’une optioncall de strike K en monnaie etrangere.

2. Option sur un actif etranger avec strike en monnaie domestique. Danscette question on considere une option de pay-off HT = (STXT −K)+ enmonnaie domestique, ou K est le strike en monnaie domestique.

a. Montrer que le processus StXt est un mouvement Brownien geometrique,calculer son drift et sa volatilite.

b. Justifier par des arguments financiers que StXt est le prix d’un porte-feuille autofinancant dans le marche domestique.

c. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes.

Exercice 18 (Formule de Garman-Kolhagen avec taux stochastiques). Oncherche a generaliser la formule de Garman-Kolhagen au cas ou les taux domestiqueset etrangers sont stochastiques. On se donne la dynamique des zero-coupons(un zero-coupon est une obligation qui verse le pay-off de 1 a la date T , enmonnaie domestique ou etrangere selon les cas):

dBt(T )

Bt(T )= bBdt+ σBdWt

dBft (T )

Bft (T )= bB

f

dt+ σBf

dWt,

et la dynamique de taux de change

dXt

Xt= bXdt+ σXdWt

ou W est un mouvement Brownien en dimension 3.

• Calculer le prix a l’instant t d’une option qui verse le pay-off (XT −K)+

a la date T . Donner la strategie de couverture associee.

Exercice 19 (Le numeraire de marche). On considere le marche Black-Scholesavec d actifs risques tel qu’il a ete introduit en cours. Soit un actif M dedynamique

dMt

Mt= r(t)dt+ λ(t)⊥(λ(t)dt+ dWt), M0 = 1.

1. Montrer que les prix de tous les actifs exprimes en utilisant M commenumeraire sont des martingales sous la probabilite historique. Ce numeraires’appelle le numeraire de marche.

2. Donner une regle de pricing sous la probabilite historique utilisant lenumeraire de marche.

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3. Donner une strategie de portefeuille qui permet de repliquer le numerairede marche avec les actifs disponibles.

4. Montrer la formule de arbitrage pricing theory, l’exces de rendement d’unactif Z est donne par l’exces de rendement du numeraire de marche, mul-tiplie par le beta de l’actif:

bz(t)− r(t) = βZ(bM (t)− r(t)), βZ =Covt(

dMt

Mt, dZtZt )

Covt(dMt

Mt, dMt

Mt)

Remarque: on peut demontrer (mais les techniques de la preuve sortent du cadrede cet exercice) que le numeraire de marche correspond a un multiple du porte-feuille de l’ensemble des agents du marche, sous l’hypothese que chaque agentdetient un portefeuille efficient, c’est-a-dire, optimal au sens de l’optimisationmoyenne-variance de Markowitz.

Exercice 20 (Option “one-touch”). Soit S un actif sous-jacent de dynamique

dStSt

= bdt+ σdWt.

Le taux d’interet est suppose nul dans tout l’exercice. On considere une optiona barriere digitale de pay-off a la date T donne par

HT = 1τB≤T , avec τB := inf{t ≥ 0 : St ≥ B}.

1. Montrer que l’inegalite suivante est valable pour tout K < B:

1τB≤T ≤(ST −K)+

B −K+SτB − STB −K

1τB≤T .

2. En deduire une strategie de surreplication pour l’option one-touch, util-isant une position statique en un call Europeen de strike K et un contratforward.

3. Montrer que le prix Π0[HT ] admet la borne superieure

Π0[HT ] ≤ infK<B

C0(K,T )

B −K,

ou C0(K,T ) est le prix a la date 0 d’un call europeen de strike K etd’echeance T .

4. Justifier que ce resultat est valable sans supposer que le sous-jacent suitla dynamique Black-Scholes.

Exercice 21 (Replication d’une option reverse). Soit S un actif sous-jacent dedynamique

dStSt

= bdt+ σdWt.

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On considere une option a barriere UIC reverse avec K < B. Dans la termi-nologie du cours cette option est reverse car il a un pay-off non nul au-dela dela barriere. Le taux d’interet est suppose nul dans cet exercice, ce qui fait quele parametre γ du cours est egal a 1.

1. Par une decomposition de la fonction pay-off, montrer que cette optionpeut etre representee comme la somme d’une option europeenne de pay-off (ST −K)1ST≥B et d’une option UI regular.

2. Montrer que la partie europeenne peut etre replique par un call et uneoption digitale.

3. En utilisant les resultats du cours, donner la strategie de replication pourl’option UI regular.

4. Montrer que l’option europeenne qui apparaıt dans la strategie de repli-cation peut etre synthetisee avec 2 puts et une option digitale.

Exercice 22 (Power straddle et swap de variance pondere). Dans cet exerciceon se place dans le cadre d’un modele general de la forme

dStSt

= rdt+ σtdWt,

ou σ est un processus aleatoire. On s’interesse au produit dont le pay-off al’instant T est donne par

V PT =

∫ T

0

S2t σ

2t dt,

c’est-a-dire, la variance integree, ponderee par la valeur du sous-jacent au carre.Dans tout l’exercice, le taux d’interet est suppose nul.

1. Expliquer comment le pay-off d’un power straddle peut etre replique parles pay-offs des calls et des puts. En deduire le prix du power straddle al’instant t = 0, en fonction des prix des options europeennes a cette date.Les prix des options europeennes seront notes par Ct(T,K) et Pt(T,K).

2. Appliquer la formule d’Ito au pay-off du power straddle. En deduire quele pay-off V PT peut etre replique par un power straddle et un portefeuilledynamique contenant l’actif sous-jacent et le cash.

3. Calculer le prix a l’instant t = 0, d’un produit qui paie V PT a la date T ,en fonction des prix des options europeennes.

Chapitre 4

Exercice 23. En utilisant l’equation (4.17) du poly, calculer la limite en tempscourt de la volatilite implicite dans le modele CEV (4.3). Montrer que cettelimite est differente du premier terme dans le developpement de Hagan et Wood-ward (4.4), mais que les deux formules s’accordent a l’ordre 2 en F0 −K.

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Exercice 24. Montrer que la parametrisation de Gatheral et Jacquier (4.19)verifie les contraintes de non-arbitrage sous les conditions donnees en bas de lapage 69 du poly. du poly.

Travail pratique sur ordinateur: simulation de lacouverture en delta

Le but de ce TP est d’etudier la performance de la couverture en delta dans lemodele de Black et Scholes, dans le cas ou le portefeuille n’est reajuste qu’unnombre fini de fois pendant la duree de vie de l’option.

Le P&L (profit and loss) d’une strategie de couverture est mesure comme ladifference entre le prix de l’option CBS(T, ST ) a la date finale (egal au pay-offde l’option) et la valeur terminale du portefeuille de couverture XT .

Pour simuler l’evolution du portefeuille de couverture en delta sur une grillede temps ti = iT/N , i = 0, . . . , N , on utilisera l’algorithme suivant:

• Simuler le prix du sous-jacent aux dates ti, i = 0, . . . , N , a partir del’equation

St = S0e(µ−σ22 )t+σWt .

• Poser le ratio initial de couverture egal a δ0 = ∂CBS∂S (0, S0) et la valeur

initial du portefeuille egale a X0 = CBS(0, S0) (on suppose que tous lesrevenus provenant de la vente de l’option sont affectes au portefeuille decouverture).

• Pour toute date ti, i = 1, . . . , N , calculer le nouveau ratio de couvertureδti = ∂CBS

∂S (ti, Sti) et ajuster la valeur du portefeuille

Xti = Xti−1+ (Xti−1

− δti−1Sti−1

)(er(ti−ti−1) − 1) + δti−1(Sti − Sti−1

).

Exercice 25. Simuler une trajectoire du prix de l’action et l’evolution duprix de l’option call et du portefeuille de couverture correspondant dans lemodele Black-Scholes. Utiliser la meme valeur de volatilite pour la valorisa-tion de l’option et la simulation du prix de l’action. Tracer le prix de l’optionet l’evolution du portefeuille de couverture sur le meme graphique.

Exercice 26. Simuler plusieurs (par exemple 10000) trajectoires et tracer

• La moyenne et la variance du P&L en fonction du temps.

• L’histogramme du P&L a la date finale.

Exercice 27. Calculer la moyenne et la variance du P&L final pour le nombrede dates de rebalancement egal a 1024, 512, 256 etc. Etudier la dependancede la moyenne et de la variance en fonction du nombre d’interventions. Queconstatez-vous?

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Exercice 28. Tracer l’histogramme du P&L final dans le cas ou

• La volatilite utilisee pour le pricing et le calcul du delta est superieure acelle utilisee pour simuler le cours de l’action.

• La volatilite utilisee pour le pricing et le calcul du delta est inferieure acelle utilisee pour simuler le cours de l’action.

Que constatez-vous?

Indications informatiques

• Vous pouvez faire ce TP en C++, Scilab ou un autre langage de program-mation de votre choix.

• Les variables aleatoires gaussiennes peuvent facilement etre generes avecla methode de Box-Muller: si X1 et X2 sont deux variables uniformes sur(0, 1) independantes alors

Y1 =√−2 logX1 cos 2πX2

Y2 =√−2 logX1 sin 2πX2

sont deux variables N(0, 1) independantes.

• Le code pour calculer la fonction de repartition de la loi normale estdisponible a l’adressehttp://www.math.jussieu.fr/~tankov/isifar/numerics.cpp

• Pour tracer des graphiques vous pouvez utiliser Scilab, Gnuplot, Excel, ouune autre application graphique de votre choix.

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Variante 1

Exercice 1 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modele Black-Scholes standard avec volatilite σ et taux d’interet r. Un risk reversal est uncontrat qui consiste a vendre un put de strike K1 et a acheter un call de strikeK2 > K1.

1. Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent al’echeance ST .

2. Tracer le delta, le gamma et le vega du risk-reversal a l’instant T = 0 enfonction de la valeur du sous-jacent S0, en justifiant brievement la formedes courbes.

3. Pour une valeur fixee de S0, donner une condition sur les strikes K1 et K2

pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpreter cette condition entermes du delta du call et du put.

Exercice 2 (Options sur panier et robustesse de la formule de Black-Scholes).On se place dans le modele Black-Scholes standard en dimension 2. Les prixdes actifs risques sont notes S1 et S2, leurs volatilites sont σ1 et σ2 et il y aune correlation ρ entre les rendements. Le taux d’interet est egal a r. Le prixa l’instant t d’un panier contenant S1 et S2 avec poids α et 1 − α pour unα ∈ (0, 1) sera note par

Xt = αS1t + (1− α)S2

t .

Soit P (t, S1t , S

2t ) le prix a l’instant t d’une option qui paie HT = (XT −K)+ a

l’instant T . Le prix Black-Scholes a l’instant t d’une option call sur un actif Savec volatilite σ, date d’expiration T et strike K sera note par

CBS(t, St, T,K, σ).

et le ratio de couverture correspondant sera note par

∆BS(t, St, T,K, σ).

1. Ecrire la dynamique des actifs S1 et S2 sous la probabilite risque-neutre,en faisant apparaıtre deux mouvements browniens independants W 1 etW 2.

2. Ecrire la dynamique du panier sous la probabilite risque-neutre. Quelleest la volatilite du panier?

Supposons que le trader utilise la strategie suivante pour la couverture ap-prochee de l’option sur panier.

• Vendre l’option a l’instant t = 0 pour le prix Black-Scholes avec volatiliteσ: CBS(0, X0, T,K, σ).

• A tout instant t, detenir dans le portefeuille le nombre d’unites du panierXt donne par le delta Black-Scholes calcule avec volatilite σ: ∆BS(t,Xt, T,K, σ).

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La valeur du portefeuille du trader sera notee par Vt

3. Ecrire la dynamique du portefeuille du trader.

4. Calculer, en utilisant la formule d’Ito, la difference CBS(T,XT , T,K, σ)−CBS(0, X0, T,K, σ).

5. En deduire l’expression pour l’erreur de couverture, c’est-a-dire, la differenceentre le portefeuille du trader et HT , notee par ET = VT −HT .

6. En utilisant l’EDP de Black-Scholes, exprimer cette erreur en termes de ladifferece entre la volatilite σ utilisee par le trader et la volatilite du panier.

7. Calculer la valeur minimale de la volatilite σ telle que l’erreur de couver-ture ET est positive p.s. En deduire une strategie de sur-couverture pourl’option sur panier et une borne superieure sur son prix.

8. Calculer la valeur maximale de la volatilite σ telle que l’erreur de couver-ture ET est negative p.s. En deduire une strategie de sous-couverture pourl’option sur panier et une borne inferieure sur son prix.

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Variante 2

Exercice 1 (Dividendes discrets). On considere une action dont le prix seranote par S, et qui verse un dividende connu D a la date t < T . Les prix al’instant 0 des options call et put sur S d’echeance T et de strike K seront notesC(T,K) et P (T,K). Le taux d’interet est suppose constant et egal a r.

1. Calculer le prix forward d’echeance T a l’instant 0 de l’action.

2. Donner la relation de parite call-put pour C(T,K) et P (T,K) tenantcompte du versement du dividende.

3. En deduire les bornes inferieures pour C(T,K) et P (T,K). Donner egalementles bornes superieures pour les prix de ces options.

Exercice 2 (Option sur panier). On se place dans le modele Black-Scholesstandard en dimension 2. Les prix des actifs risques sont notes S1 et S2, leursvolatilites sont σ1 et σ2 et il y a une correlation ρ entre les rendements. Le tauxd’interet est egal a r.

1. Ecrire la dynamique des actifs S1 et S2 sous la probabilite risque-neutre,faisant apparaıtre deux mouvements browniens independants W 1 et W 2.


HT = (αS1T + (1− α)S2

T −K)+,

avec α ∈ (0, 1). Soit P (t, S1t , S

2t ) le prix de cette option a l’instant t. Soient

egalement P1(t, S1t ) le prix de l’option de pay-off H1

T = (S1T −K)+ et P2(t, S2

t )le prix de l’option de pay-off H2

T = (S2T −K)+.

2. Donner la formule pour la fonction P (t, S1t , S

2t ) faisant intervenir une

esperance sous la probabilite risque-neutre.

3. Montrer que P (t, S1t , S

2t ) ≤ αP1(t, S1

t ) + (1− α)P2(t, S2t ).

4. Montrer que

P (t, S1t , S

2t ) ≥ EQ[e−r(T−t)(eα logS1

T+(1−α) logS2T −K)+].

5. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix Ft al’instant t d’un actif qui paie eα logS1

T+(1−α) log S2T a l’instant T . Montrer

que cet actif suit le modele de Black-Scholes, calculer sa volatilite.

6. En utilisant la formule de Black-Scholes, deduire de la question precedenteune borne inferieure explicite pour le prix de l’option sur panier.

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Variante 3

Exercice 1 (Power straddle dans le modele de Black-Scholes). Dans cet exer-cice on considere un “power straddle”, une option dont le pay-off a l’instant Test egal a

HT = (ST −K)2.

1. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix dupower straddle dans le modele Black-Scholes a une date t < T .

2. Calculer le delta du power straddle et donner la strategie de couverturedynamique pour cette option. Quelle doit etre la valeur de St pour que lepower straddle soit delta neutre?

3. Calculer le gamma et le vega du power straddle a la date t. Representerces quantites sur un graphique (en fonction de St).

4. Supposons que la volatilite n’est pas connue, mais on sait qu’elle se trouvedans l’intervalle [σ1, σ2]. Donner les bornes sur le prix du power straddleen utilisant le resultat de robustesse de la formule de Black-Scholes.

Exercice 2. Option de surperformance On considere une economie avec deuxmarches, le marche domestique, ou les prix sont exprimes en monnaie domes-tique, et le marche etranger avec les prix en monnaie etrangere. Le taux dechange entre les deux marches Xt est defini comme le prix a l’instant t d’uneunite de monnaie etrangere dans le marche domestique.


HT =

(S(1)T

S(1)0

−XS(2)T

S(2)0

)+

,

ou S(1) est un titre domestique, par exemple, Eurostoxx50, et S(2) est un titreetranger, par exemple, FTSE100. L’option paie donc la difference entre la per-formace de l’actif domestique et celle de l’actif etranger, multiplee par un tauxde change fixe X. Les taux d’interet domestique et etranger seront notes par ret re respectivement, et sont supposes constants. La dynamique des titres sousla probabilite historique s’ecrit:

dS(1)t

S(1)t

= b(1)dt+ γ(1)dWt

dS(2)t

S(2)t

= b(2)dt+ γ(2)dWt,

ou γ(1) et γ(2) appartiennent a R3 et W est un mouvement brownien standarden dimension 3. La dynamique du taux de change X est

dXt

Xt= bXdt+ γXdWt,

avec γX ∈ R3.

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1. Calculer les prix F(1)t et F

(2)t des portefeuilles de replication des flux

S(1)T

S(1)0

et

XS

(2)T

S(2)0

. Montrer que ces actifs sont log-normaux, calculer leurs volatilites.

2. En utilisant la formule de Black-Scholes generalisee, calculer le prix al’instant t de l’option de surperformance.

3. Donner la strategie de couverture pour cette option.

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Variante 4

Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considere une optionpuissance, de pay-off

HT = (S2T −K2)+



T a l’instant T . Montrer que Ft suit le modele deBlack-Scholes, calculer sa volatilite.

2. Montrer que l’option puissance peut etre vue comme une option call stan-dard sur l’actif F . En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer leprix a l’instant t de l’option puissance.

3. Calculer le delta a l’instant t (en utilisant la formule de derivation d’unefonction composee) et decrire la strategie de couverture dynamique pourcette option.

4. Calculer le gamma et le vega de l’option puissance a l’instant t et representerces quantites sur un graphique.

Exercice 2 (Option a barriere digitale). On se place dans le cadre du modelede Black-Scholes standard. Une option digitale de type call est une option depay-off a l’instant T donne par 1ST≥K , et une option digitale de type Put a unpay-off 1ST≤K .

1. Calculez les prix des options digitales de type Call et Put a une date t < Ten utilisant le principe de valorisation risque-neutre.

On considere une option a barriere digitale de pay-off a l’instant T donne par

HT = 1ST≤K1max0≤t≤T St≥B .

2. En utilisant la technique de replication des options a barriere regulieres,donner la strategie de replication semi-statique pour l’option a barrieredigitale utilisant une option digitale et une option europeenne dont lepay-off est a preciser.

3. Exprimer le prix de cette strategie de couverture a l’instant t = 0 entermes du prix d’une option digitale.

4. En supposant que le taux d’interet est nul, representer la strategie decouverture au moyen d’une option digitale et une option europeenne detype call/put.

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Variante 5

Exercice 1 (Le vega-weighted butterfly). On se place dans le cadre du modeleBlack-Scholes standard avec volatilite σ et taux d’interet r. On considere uncontrat qui consiste a acheter x puts de strike K1, x calls de strike K3 et devendre 1

2 −x calls et 12 −x puts de strike K2, avec K1 < K2 < K3, ou x ∈ (0, 1)

est un parametre.

1. Tracer le pay-off de ce contrat en fonction de la valeur du sous-jacent al’echeance ST pour x = 0, x = 1

4 et x = 12 . Quels contrats reconnaissez-

vous?

2. Tracer le delta, le gamma et le vega du contrat a l’instant T = 0 en fonctionde la valeur du sous-jacent S0 pour x = 1

4 , en justifiant brievement la formedes courbes.

3. Pour une valeur fixee de S0, donner la condition sur x pour que le contratsoit vega-neutre. Il s’appelle alors vega-weighted butterfly.

Exercice 2 (Gamma swap). Dans cet exercice on se place dans le cadre d’unmodele general de la forme

dStSt

= rdt+ σtdWt,

ou σ est un processus aleatoire. On s’interesse au “gamma swap” dont le pay-offa l’instant T est donne par

V PT =

∫ T

0

StS0σ2t dt,

c’est-a-dire, la variance integree, ponderee par la valeur normalisee du sous-jacent.Dans tout l’exercice, le taux d’interet est suppose nul.

1. Soit f(x) = xS0

log xS0− x

S0+ 1. Expliquer comment le pay-off f(ST ) peut

etre replique par les pay-offs de calls et de puts. En deduire le prix al’instant t = 0 d’une option qui paie f(ST ) en T , en fonction des prix desoptions europeennes en t = 0. Les prix des options europeennes serontnotes par Ct(T,K) et Pt(T,K).

2. Appliquer la formule d’Ito a f(ST ). En deduire que le pay-off V PT peutetre replique par une option de pay-off f(ST ) et un portefeuille dynamiquecontenant l’actif sous-jacent et le cash.


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Variante 6

Exercice 1 (Strategie du coussin). La strategie du coussin est une strategiede gestion de portefeuille dont l’objectif est de profiter du rendement d’un actifrisque tout en assurant a l’investisseur un montant garanti N a l’echeance T .Pour cela, le gestionnaire investit une fraction de la richesse dans l’actif risquedont le prix est note par St et le reste dans une obligation zero-coupon d’echeanceT et de nominal N , dont le prix est note par Bt. La valeur du portefeuille estnotee par Vt et la strategie consiste a investir le montant mCt dans l’actif risqueou Ct = Vt −Bt s’appelle le coussin, et m > 1 est un multiplicateur constant.

1. Calculer le prix Bt de l’actif sans risque a l’instant t < T si le taux d’interetest constant et egal a r.

2. Ecrire la dynamique du portefeuille Vt sachant que le prix de l’actif risquesuit le modele de Black-Scholes

dStSt

= bdt+ σdWt.

En deduire la dynamique du coussin Ct.

3. Montrer que la dynamique du coussin est egalement la dynamique Black-Scholes. Quelle est la volatilite du coussin? En deduire la valeur du coussina l’echeance CT et la valeur du portefeuille a l’echeance VT .

4. Calculer l’esperance et la variace de la valeur du portefeuille. Que peut-onen deduire concernant le choix du multiplicateur m?

Exercice 2 (Power straddle et swap de variance pondere). Dans cet exerciceon se place dans le cadre d’un modele general de la forme

dStSt

= rdt+ σtdWt,

ou σ est un processus aleatoire. On s’interesse au produit dont le pay-off al’instant T est donne par

V PT =

∫ T

0

S2t σ

2t dt,

c’est-a-dire, la variance integree, ponderee par la valeur du sous-jacent au carre.On considere egalement un “power straddle”, une option dont le pay-off al’instant T est egal a

HT = (ST −K)2.

Dans tout l’exercice, le taux d’interet est suppose nul.

1. Expliquer comment le pay-off d’un power straddle peut etre replique parles pay-offs des calls et des puts. En deduire le prix du power straddle al’instant t = 0, en fonction des prix des options europeennes a cette date.Les prix des options europeennes seront notes par Ct(T,K) et Pt(T,K).

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2. Appliquer la formule d’Ito au pay-off du power straddle. En deduire quele pay-off V PT peut etre replique par un power straddle et un portefeuilledynamique contenant l’actif sous-jacent et le cash.


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Variante 7

Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considere une optionpuissance, de pay-off

HT = [(ST −K)+]2



T a l’instant T . Montrer que Ft suit le modele deBlack-Scholes, calculer sa volatilite.

2. Montrer que l’option puissance peut etre representee comme la differenced’une option call standard sur FT et de 2K options calls standard sur ST .En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix a l’instant t del’option puissance.

3. Calculer le delta a l’instant t et decrire la strategie de couverture dy-namique pour cette option.

4. Calculer le gamma et le vega de l’option puissance a l’instant t et representerces quantites sur un graphique.

Exercice 2 (Options de change). On considere une economie avec deux marches,le marche domestique, ou les prix sont exprimes en monnaie domestique, et lemarche etranger avec les prix en monnaie etrangere. Le taux de change entre lesdeux marches Xt est defini comme le prix a l’instant t d’une unite de monnaieetrangere dans le marche domestique. Les taux d’interet dans les deux marchesseront notes rf et r, et sont supposes constants. La dynamique du taux dechange (sous la probabilite historique) est donnee par

dXt

Xt= bXdt+ σXdWX

t ,

ou WX est un mouvement Brownien standard. On considere des options ecritessur une action S cotee dans le marche etranger, qui ne paie pas de dividendeset suit la dynamique

dStSt

= bdt+ σ(ρdWXt +

√1− ρ2dWt),

ou W est un mouvement Brownien standard independant de WX .

1. Calculer le prix sur le marche domestique a l’instant t = 0 d’une optioncall de strike K en monnaie etrangere.

2. Option sur un actif etranger avec strike en monnaie domestique. Danscette question on considere une option de pay-off HT = (STXT −K)+ enmonnaie domestique, ou K est le strike en monnaie domestique.

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a. Calculer le prix Ft a l’instant t d’un actif qui paie STXT en monnaiedomestique a l’instant t. Monter que Ft suit le modele Black-Scholes,calculer sa volatilite.

b. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholesgeneralisee.

c. Donner la strategie de couverture pour cette option.

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Chapitre 1 · 2. Tracer le prix, le delta et le vega d’un strangle a la date t= 0, en fonction de...

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