Chap6.1 Poutres continues à âme pleine - méthode des forces

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  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

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    A- Pout res con t inues me p le ine 98

    Chapitre 6

    LES POUTRES CONTINUES

    Application de la mthode des forces

    A- POUTRES CONTINUES ME PLEINE

    6.1 INTRODUCTION

    Les poutres continues sont des structures qu'on rencontre trs frquemment

    dans les constructions courantes.

    On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il sagit

    gnralement dappuis simples, lexception dun seul qui est un appui double et

    dont le rle consiste assurer la stabilit gomtrique de la poutre, comme

    empcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. Lappui double

    peut tre plac une extrmit ou, plus gnralement, tre un appui

    intermdiaire.

    Les extrmits dune poutre continue peuvent trs bien comporter des porte-

    -faux ou tre encastres. Le traitement de ces cas particuliers est abord plus

    loin.

    Les poutres continues sont des systmes hyperstatiques puisquelles

    prsentent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doitcomporter une poutre isostatique). Dans le cas dune poutre sans encastrements,

    le nombre de liaisons surabondantes, donc le degr dhyperstaticit, est gal au

    nombre dappuis intermdiaires.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    l1

    l1

    0

    0

    1

    1

    k

    k

    n

    nlk

    lk

    ln

    ln

    Figure 6.1 : Poutre continue avec le modede numrotation des traves

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    A- Pout res con t inues me p le ine 99

    Comparativement une srie de poutres bi-articules dont le nombre est gal

    celui des traves dune poutre continue, cette dernire est plus conomique car

    les moments flchissants qui la sollicitent sont plus faibles. La comparaison est

    encore plus nettement lavantage de la poutre continue par rapport une poutre

    isostatique unique de mme longueur. Dans une poutre continue, les appuisintermdiaires contribuent rduire et mieux rpartir sur toute la poutre le

    moment flchissant (qui est la sollicitation prpondrante). Cette observation

    reste valable pour les dplacements qui sont nettement moins importants dans le

    cas des poutres continues. Ces dernires prsentent par ailleurs une plus grande

    rigidit et rsistent de ce fait mieux laction dynamique.

    Les charges considres ici sont supposes tre appliques statiquement.

    Elles sont constitues de charges transversales (voire inclines), concentres ou

    rparties, et de couples.

    Contrairement aux poutres isostatiques, les poutres continues, comme tousles systmes hyperstatiques, sont trs sensibles aux dplacements des appuis. Ce

    phnomne a dj t mis en exergue dans un exemple dapplication des

    formules de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de

    laffaissement dun de ses appuis.

    Lorsque des tassements dappuis sont craindre, les poutres isostatiques sont

    mieux indiques. Si pour quelque raison que ce soit des appuis intermdiaires

    sont ncessaires, on ajoute la poutre continue des articulations judicieusement

    places de manire la rendre isostatique et annuler ainsi sa sensibilit aux

    affaissements des appuis susceptibles de se produire.

    Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatique

    par lajout de rotules - est dsign parpoutre Gerber. Elles sont obtenues en

    ajoutant autant darticulations quil y a dappuis intermdiaires. Pour sassurer

    que la structure obtenue est bien isostatique et quil ny a ni tronon dformable

    (tronon libre constituant un mcanisme) ni tronon hyperstatique, il suffit de

    respecter la rgle suivante : pas plus de deux articulations entre deux appuis, ni

    plus de deux appuis entre deux articulations. A titre dexemple, la figure 6.2

    montre les deux faons possibles dobtenir une poutre type Gerber dans le cas de

    deux appuis intermdiaires.

    Linfluence du moment flchissant sur les dformations tant prpondrantedans les poutres continues, cest la seule sollicitation dont il sera tenu compte

    lors du calcul des dplacements que nous serons amens effectuer.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber

    (a)

    (a)

    (b)

    (b)

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    3/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 100

    6.2 APPLICATION DIRECTE DE LA MTHODE DES FORCES

    Considrons une poutre

    continue horizontale sans

    encastrements (Figure 6.3a).

    L'application directe et

    intuitive de la mthode des

    forces conduit considrer

    comme inconnues

    hyperstatiques les ractions

    (verticales) des appuis

    intermdiaires.

    Le systme de baseobtenu par suppression des

    liaisons verticales des appuis

    intermdiaires est une poutre

    simplement appuye (Figure

    6.3b). Dans ce cas, le calcul

    des moments unitaires msk(Figure 6.3c et 6.3d) et du

    moment provoqu par les

    charges extrieures MsF

    ,

    ncessaires au calcul des

    coefficients iju

    jFet , ne prsente aucune difficult.

    Cependant, ce choix nest pas intressant car il implique des calculs

    fastidieux cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont

    gnralement diffrents de zro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les

    lments de la matrice de souplesse [u] et du vecteur dplacement [F] sont tous

    non nuls.

    Ceci nest pas la seule raison ; il en existe une autre plus dterminante.Chaque colonne de la matrice [u] reprsente les dplacements (flches sil sagit

    dune poutre horizontale) des points dapplication des inconnues hyperstatiques

    provoqus par une sollicitation unitaire. Pour une poutre comportant plusieurs

    appuis intermdiaires, deux colonnes successives de [u] auront des valeurs trs

    proches et seront comparables. De ce fait, la matrice [u] devient pratiquement

    singulire et conduit des solutions trs imprcises lors de la rsolution du

    systme dquations canoniques. Aussi, on opte pour un autre choix des

    inconnues hyperstatiques de manire contourner cette difficult et rduire les

    calculs.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    (a)

    (a)

    (b)

    (b)

    (c)

    (c)

    (d)

    (d)

    0

    4m

    0

    4m

    0

    4m

    0

    4m

    1

    4m

    1

    4m

    1

    4m

    1

    4m

    2

    4m

    2

    4m

    2

    4m

    2

    4m

    3

    4m

    3

    4m

    3

    4m

    3

    4m

    l1

    4m

    l1

    4m

    l1

    4m

    l1

    4m

    l2

    4m

    l2

    4m

    l2

    4m

    l2

    4m

    l3

    4m

    l3

    4m

    l3

    4m

    l3

    4m

    X1

    X1

    X2

    X2

    X1=1

    X2=1

    X2=1Figure 6.3

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    4/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 101

    6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS

    6.3.1 Etablissement de la formule

    Considrons une poutre continue sans encastrements n traves (Figure 6.4).

    Son degr d'hyperstaticit est gal n-1.

    Prenons pour inconnues hyperstatiques les moments flchissants agissant au

    droit de chaque appui intermdiaire. Pour ce faire, on procde des coupures de

    manire supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. Sagissant

    dinconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libre deux inconnues (des

    moments) gales est opposes.

    En pratique, cela revient introduire une articulation au-dessus de chaque

    appui intermdiaire (Figure 6.5a). Pour remplacer les liaisons supprimer, on

    applique aux lvres de chacune des coupures deux couples gaux et opposs

    (M1, M2, , Mn-1) (Figure 6.5b).

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    0

    4m

    0

    4m

    0

    4m

    0

    4ml

    1

    4m

    1

    4m

    1

    4m

    1

    4m

    k-1

    4m

    k-1

    4m

    k-1

    4m

    k-1

    4m

    k

    4m

    k

    4m

    k

    4m

    k

    4m

    k+1

    4m

    k+1

    4m

    k+1

    4m

    k+1

    4m

    n

    4m

    n

    Tang

    ente

    4m

    n

    4m

    n

    Tangente

    4m

    l1

    4m

    l1

    4m

    l1

    4m

    l1

    4m

    lk

    4m

    lk

    4m

    lk

    4m

    lk

    4m

    lk+1

    4m

    lk+1

    4m

    lk+1

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    ln

    4m

    ln

    4m

    ln

    4m

    Figure 6.4

    (a)

    4m

    (a)

    4m(b)

    4m

    (b)

    4m

    0

    4m

    0

    4m

    1

    4m

    l

    4m

    k-1

    4m

    k-1

    4m

    k

    k

    k+1

    k+1

    n-1

    n-1

    n

    n

    X1

    =Ml

    4m

    X1=M

    l

    4m

    Xk-1

    =Mk-1

    4m

    Xk-1

    =Mk-1

    4m

    Xk

    =Mk

    4m

    Xk=M

    k

    4m

    Xk+1

    =Mk+1

    4m

    Xk+1

    =Mk+1

    4m

    Xn-1

    =Mn-1

    4m

    Xn-1

    =Mn-1

    4mFigure 6.5 : Systme statique de base

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    5/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 102

    Le systme statique de base ainsi obtenu prsente une proprit remarquable.

    En effet, on remarque que si on charge une trave, les autres ne subissent aucune

    influence. Ce rsultat signifie que le systme principal se comporte comme une

    succession de poutres simplement appuyes obtenues par sparation des n

    traves (Figure 6.6).

    Pour calculer les moments inconnus aux appuis, on applique le thorme de

    Menabrea pour chacun deux :

    WM

    cW

    Mc

    W

    Mc

    W

    Mc

    kk

    nn

    =

    =

    =

    =

    1

    12

    21

    1, ... .. ., ,

    o les ci reprsentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dans

    le cas des systmes concordants. Les quations du systme ci-dessus peuvent se

    mettre sous la forme connue de Mller-Breslau. Lquation courante relative linconnueMk scrit :

    WM

    c M ck

    k kiu

    i kF k = + =

    i=1

    n-1

    En dveloppant lexpression prcdente, le systme des "n-1" quations de

    continuit prend la forme :

    11 1 12 2 1 1 1 1 1

    1 1 2 2 1 1

    u un

    un F

    ku

    ku

    knu

    n kF k

    M M M c

    M M M c

    + + + + =

    + + + + =

    ...............................................................

    ...

    ................................................................. n

    unu

    n n n n F nM M M c + + + + =11 1 12 2 1 1 1 1 1

    Chacune des quations exprime la condition de continuit de la poutre

    dforme au-dessus d'un appui. Lquation k par exemple, exprime que la

    rotation relative entre les lvres de la coupure au-dessus de l'appui kest gale au

    manque de concordance correspondant. Dans le cas dun systme concordant

    cette rotation relative est nulle ; ou encore que la rotation gauche ( kg) est

    gale la rotation droite (kd ) ; ce qui

    signifie aussi qu'en chaque point (appui par

    exemple) il n'y a qu'une tangente car la ligne

    lastique (la dforme) est continue (Figure

    6.7).

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    M1

    M1

    M1

    M1

    Mk-1

    Mk-1

    Mk-1

    Mk-1

    Mk

    Mk

    Mk

    Mk

    Mk+1

    Mk+1

    Mk+1

    Mk+1

    Mn-1

    Mn-1

    Mn-1

    Mn-1

    Figure 6.6

    k

    Tangente

    Figure 6.7

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    6/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 103

    Signification des coefficients iju

    et iF

    Les coefficients iju

    et iF reprsentent les rotations relatives des lvres de

    la section coupe i du systme de base. Les premires sont des rotations par unit

    de couple.

    iju

    est la rotation relative des lvres de la section i du systme de base,

    sous leffet dun couple unitaire appliqu aux lvres de la coupure j (les sections

    i etj se trouvant dans le cas prsent au dessus des appuis intermdiaires i etj).

    iF est la rotation relative des lvres de la section i du systme de base,

    sous leffet des charges extrieures (notesF).

    Considrons par exemple l'quation de continuit k(relative la coupure k).

    Elle scrit :

    ku

    ku

    kku

    k kku

    k kku

    k knu

    n kFM M M M M M1 1 2 2 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + = + + ... ...(6.1)

    On voit apparatre dans lquation les coefficients kju

    avecj = 1, 2, , n-1

    et kF. Si nous ne tenons compte que du moment flchissant, qui est la

    sollicitation prpondrante, ces coefficients sobtiennent par les intgrales

    suivantes :

    kju sk sj

    kFsF sk

    LL m m

    EIdx (a)

    M m

    EIdx (b)= = 00

    (6.2)

    L = longueur totale =

    i=1

    n

    li

    o msk (mk) et msj (mj) sont les moments flchissants produits dans la section

    courante s du systme fondamental par les couples unitaires Mk=1 et Mj=1

    agissant en k et en j, respectivement (Figure 6.8). MsF tant le moment

    flchissant dans la section courante du systme de base sous laction des charges

    extrieures (F).

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    7/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 104

    On constate que chaque couple unitaire produit un moment flchissant

    uniquement sur les deux traves situes de part et d'autre de l'appui o il est

    appliqu. Pour que les moments dans la section courante s produits parMk=1 et

    Mj=1 soient simultanmentdiffrents de zro, il faut que les indices k et j ne

    diffrent pas de plus d'une unit. On en dduit que les coefficients kju

    sont nuls

    ds que kdiffre de j de plus d'une unit. Ainsi, dans l'quation (6.1) seuls les

    coefficients ku

    kku

    k ku

    +1 1k et, sont diffrents de zro.

    Compte tenu de ce rsultat, l'quation gnrale de continuit (6.1) se

    simplifie et devient :

    k ku

    k k k k kk u

    k kF k M M c-1u M

    + ++ + + =1 1 1 (6.3)

    ou encore :

    k ku

    k k k k kk u

    k k kF M M c-1u M

    + ++ + =1 1 1 (6.4)

    On remarque que trois moments flchissants interviennent dans cette

    quation, d'o son nom de "formule des trois moments".

    6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois moments

    Il reste calculer les coefficients intervenant dans l'quation (6.4).

    Considrons une poutre continue sans encastrement comportant n traves. Les

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    (a)

    4m

    ln

    4m

    (a)

    4m

    ln

    4m

    (b)

    4m

    ln

    4m

    (b)

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    Mk=1

    4m

    ln

    4m

    Mk=1

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    lj

    4m

    ln

    4m

    lj

    4m

    ln

    4m

    lj+1

    4m

    ln

    4m

    lj+1

    4m

    ln

    4m

    j-1

    4m

    ln

    4m

    j-1

    4m

    ln

    4m

    j

    4m

    ln

    4m

    j

    4m

    ln

    4m

    Mj=1

    4m

    ln

    4m

    Mj=1

    4m

    ln

    4m

    j+1

    4m

    ln

    4m

    j+1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    Figure 6.8 : Diagrammes msk

    et msj

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    8/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 105

    diagrammes unitaires permettant le calcul des coefficients

    kku

    kku

    kku

    +1 1, et sont reprsents la figure 6.9.

    Calcul de kku

    1 :

    kku sk sk sk sk

    io

    lLsk sk

    k

    lm m

    EIdx

    m m

    EIdx

    m m

    EI

    i k

    = 1

    1 1

    0

    1

    0= =

    i=1

    n

    ( ) ( )

    (6.5)

    avec :

    mx

    l

    x

    lsk

    ksk

    k = =1 1 et m

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Figure 6.9 : Diagrammes unitaires msk-1

    , msk

    et msk+1

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    k-2

    4m

    ln

    4m

    k-2

    4m

    ln

    4m

    Mk-1

    =1

    4m

    ln

    4m

    Mk-1

    =1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    (a)

    4m

    ln

    4m

    (a)

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    lk-1

    4m

    ln

    4m

    lk-1

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    (b)

    4m

    ln

    4m

    (b)

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    Mk=1

    4m

    ln

    4m

    Mk=1

    4m

    ln

    4m

    (c)

    4m

    ln

    4m

    (c)

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    1

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    lk+2

    4m

    ln

    4m

    lk+2

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    Mk+1

    =1

    4m

    ln

    4m

    Mk+1

    =1

    4m

    ln

    4m

    k+2

    4m

    ln

    4m

    k+2

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    9/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 106

    d'o :

    ( )kk

    u

    k k k

    l

    k

    k

    k

    lx

    l

    x

    l

    dx

    EI l

    x l x

    EIdx

    k k

    =

    =

    1 21

    1

    0 0( ) ( )

    (6.5)

    Si (EI)k est constante surlk, on obtient :

    kku k

    k

    l

    EI =1

    6( )

    Ce dernier rsultat - cas avec (EI)k constante sur la trave lk - s'obtient plus

    rapidement avec la mthode graphique ; il vient :

    kku

    k

    kk

    kEIl

    l

    EI =

    =11 1

    21

    1

    3 6( ). .

    ( )

    Si la rigidit flexionnelle varie sur chaque trave, on calcule les coefficients

    analytiquement comme on l'a fait pourkku

    1 .

    Pour le reste des calculs nous supposons que EI est constante sur chaque

    trave.

    Calcul de kk

    u(mthode graphique)

    kku

    k

    k

    k

    kk

    k

    k

    kEIl

    EIl

    l

    EI

    l

    EI=

    +

    = ++

    ++

    +

    1 1

    21

    2

    3

    1 1

    21

    2

    3 3 311

    1

    1( ). .

    ( ). .

    ( ) ( )

    (6.6)

    Calcul de kku

    +1 (mthode graphique)

    k kk

    kk

    kEI

    ll

    EI

    +

    +

    ++

    +

    =

    =11

    11

    1

    1 1

    2

    11

    3 6

    u

    ( )

    . .

    ( )

    (6.7)

    Calcul de kF

    Par dfinition, voir relation 6.2 (a) :

    kFsk sF

    i

    l

    i

    nsk sF

    k

    lsk sF

    k

    lm M

    EIdx

    m M

    EIdx

    m M

    EIdx

    i k k

    = + = +

    +

    ( ) ( ) ( )01

    0 10

    1

    =

    (6.8)

    Seules les deux intgrales sur lk et lk+1 subsistent puisque msk est nul en

    dehors de ces traves. Soit :

    kF kg F

    kd F

    R R= +( ) ( ) (6.9)

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    10/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 107

    - Rkg F( )

    = rotation de la section k (au-dessus de l'appui k) du systme

    statique de base sous l'effet des charges extrieures agissant sur la trave lk.

    - Rk

    d F( )= rotation de la section k du systme statique de base sous l'effet

    des charges appliques sur la trave lk+1.

    Calcul pratique de kF

    1re mthode

    Considrons les traves lket lk+1 (du systme isostatique de base) adjacentes

    l'appui considr k. Les deux traves constituent deux poutres simplement

    appuyes comme on la vu.

    Le diagramme des moments flchissants de chaque poutre sous les chargesextrieures peut tre aisment obtenu. Selon la mthode de la poutre conjugue,

    utilise pour le calcul des dplacements des systmes isostatiques (voir chapitre

    2), si on charge (fictivement) les poutres par leurs diagrammes des moments

    respectifs diviss par la rigidit flexionnelle (qf=MsF/EI), alors Rkg F( ) et

    Rkd F( )

    constituent la raction en kde la poutre de gauche et la raction en kde

    la poutre de droite, respectivement (Figure 6.10).

    2me mthode

    Sachant que le moment mskvaut x/lk sur la trave lk et 1-x/lk+1 sur la

    trave lk+1, lquation (6.8) devient :

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    k-1 k k+1

    MsF/EI

    4m

    ln

    4m

    MsF/EI

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    a) Diagramme MsF

    4m

    ln

    4m

    a) Diagramme MsF

    4m

    ln

    4m

    b) Poutres conjugues

    Figure 6.10

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    11/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 108

    kFsF

    k k

    lsF

    k k

    l

    k

    sF

    k

    l

    k

    k sF

    k

    l

    M x

    l EIdx

    M

    EI

    x

    ldx

    l

    xM

    EI dx l

    l x M

    EI dx

    k k

    k k

    = +

    = +

    + +

    +

    +

    +

    +

    +

    ( ) ( )( )

    ( )

    ( )

    ( )

    0 1 10

    0 1

    1

    10

    1

    1 1

    1

    1

    La premire intgrale reprsente le moment statique du diagramme MsF/

    (EI)k sur la trave lkpar rapport lappui k-1 alors que la deuxime donne

    le moment statique du diagramme MsF/(EI)k+1 sur la trave lk+1 par rapport

    lappui k+1. Lquation prcdente peut scrire :

    kFk

    k

    k

    k

    S

    l

    S

    l= + +

    +

    1

    1

    (6.10)

    o Sk et Sk+1 sont les moments statiques dfinis plus haut.

    Dans le cas o la rigidit flexionnelle est constante sur chaque trave,

    lexpression prcdente prend la forme :

    kFk k

    k kk k

    k kl EIz

    l EIz= +

    + ++ +

    1 1

    1 11 1( ) ( )

    (6.11)

    - kest laire du diagrammeMsF sur la trave lk.- k+1 est laire du diagrammeMsF sur la trave lk+1.

    -zkdistance de lappui k-1 au centre de gravit de k.

    - zk+1 distance de lappui k+1 au centre de gravit de k+1.

    Calcul de ck

    Le manque de concordance dun appui est reprsent par le dplacement

    linaire ou angulaire quil subit depuis sa position concordante jusqu sa

    position relle. Dans le cas prsent, les manques de concordance introduire

    sont des dplacements angulaires et la position concordante correspond la

    position horizontale.

    Les manques de concordance proviennent des dnivellations que peuvent

    subir les appuis (Figure 6.11). Comme nous travaillons dans le cadre des petits

    dplacements, les dnivellations sont suffisamment petites et de ce fait les angles

    de discontinuit (Figure 6.11c) peuvent tre confondus avec leurs tangentes.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    12/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 109

    Le manque de concordance est donn par :

    ck= + = tg+ tg= (k- k-1)/lk+ (k- k+1)/lk+1

    = (k- k-1)/lk- (k+1- k)/lk+1 (6.12)

    Les dnivellations sont comptes positivement vers le bas.

    En introduisant dans l'quation des trois moments (6.4) les valeurs trouves

    des diffrents coefficients on obtient :

    Mm m

    EIdx M

    m

    EIdx

    m

    EIdx

    M m mEI

    dx

    l l

    m M

    EIdx

    m M

    EIdx

    ksk sk

    k

    l

    ksk

    k

    lsk

    k

    l

    ksk sk

    k

    l

    k k

    k

    k k

    k

    sk sF

    k

    lsk sF

    k

    l

    k k k

    k

    k k

    +

    ++

    +

    +

    + +

    + +

    +

    + =

    =

    +

    +

    +

    11

    0

    2

    0

    2

    10

    11

    10

    1 1

    1 0 10

    1

    1

    1

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    (6.13)

    ou encore :

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    lk+1

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k+1k-1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k-1

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    k+1

    4m

    ln

    4m

    (b)

    4m

    ln

    4m

    (b)

    4m

    ln

    4m

    (a)

    4m

    ln

    4m

    (a)

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    4m

    ln

    4m

    (c)

    4m

    ln

    4m

    (c)

    4m

    ln

    4m

    (a) Position concordante.(b) Position relle.

    Figure 6.11

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    13/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 110

    M

    l

    x l x

    EIdx M

    l

    x

    EIdx

    l

    l x

    EIdx

    Ml

    x l xEI

    dxl l

    l

    xM

    EIdx

    l

    l x M

    EIdx

    k

    k

    k

    k

    l

    k

    k k

    l

    k

    k

    k

    l

    k

    k

    k

    k

    l

    k k

    k

    k k

    k

    k

    sF

    k

    l

    k

    k sF

    k

    l

    k k k

    k

    k k

    +

    +

    +

    ++

    ++

    ++

    +

    +

    +

    + +

    +

    + =

    +

    +

    +

    1

    20

    2

    2

    01

    2

    12

    10

    1

    12

    1

    101 1

    1

    0 1

    1

    10

    1 1

    1 1

    1

    1

    1

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    ( )

    ( )

    (6.13)

    Ces expressions sont valables dans le cas gnral.

    Cas particuliers

    1) Chaque trave a sa rigidit flexionnelle constante.

    Ml

    EIM

    l

    EI

    l

    EIM

    l

    EI

    l l l EI M xdx

    l EI

    M l x dx

    kk

    kk

    k

    k

    k

    kk

    k

    k

    k k

    k

    k k

    k k ksF

    l

    k k

    sF k

    l

    k

    k

    +

    ++

    +

    +

    +

    +

    + +

    +

    + +

    + =

    +

    11

    11

    1

    1

    1 1

    1 0

    1 1

    1

    0

    2

    66

    6 1

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    (6.14)

    2) Rigidit flexionnelle constante sur toute la poutre.

    M l M l l M l

    EIl l l

    M xdx

    l M l x dx

    k k k k k k k

    k k

    k

    k k

    k ksF

    l

    ksF k

    l

    k

    k

    + + +

    +

    +

    + +

    + + + =

    +

    1 1 1 1

    1 1

    1 0

    110

    2

    66

    6 1

    ( )

    ( )

    =

    (6.15)

    3) Le systme est concordant etEIest constante sur toute la poutre.

    M l M l l M l

    lM xdx

    lM l x dx

    k k k k k k k

    ksF

    l

    ksF k

    lk k

    + + +

    ++

    + + + =

    +

    1 1 1 1

    0 11

    0

    2

    6 6 1

    ( )

    ( )=

    (6.16)

    On peut remplacer le second membre par la raction fictive agissant en k :

    R R RkF

    kg F

    kd F= +( ) ( ) . Cette raction est positive si elle est dirige de bas en

    haut.

    On crit l'quation des trois moments pour chaque appui intermdiaire.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    14/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 111

    6.3.3 Points particuliers

    1) Prsence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre

    adjacente dont on fera tendre la longueur vers zro en appliquant la formule des

    trois moments.

    2) Prsence d'un porte--faux (console) : la console sera remplace par ses

    effets, pour l'application de la formule des trois moments.

    3) Couple concentr en un appui intermdiaire : on peut soit le diviser entre

    les deux traves adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux.

    6.3.4 Calcul des lments de rduction

    1) Raction de lappui k

    - Action des moments aux appuis seuls (Figure 6.12).

    RM M

    lk M

    g k k

    k( )

    =1

    ;

    RM M

    lk Md k k

    k( ) =

    +

    +

    1

    1

    - Action des forces extrieures :

    R R Rk F k Fg k Fd( ) ( ) ( )= +

    d'o :

    R RM M

    l

    M M

    lk k F

    k k

    k

    k k

    k

    = +

    +

    +

    +

    ( )1 1

    1

    (6.17)

    2) Moment flchissant

    Le diagramme final est obtenu par superposition des diagrammes (des traves

    isostatiques) des charges extrieures et des moments appliqus aux appuis.Cherchons lexpression du moment flchissant dans la section courante de la

    trave lk(dabscissex par rapport lappui k-1).

    Chaque trave lk du systme de base se comporte comme une poutre bi-

    articule sollicite, en plus des charges extrieures, par deux couples Mk-1 etMk

    appliqus ses appuis. Si on dsigne par Ms F( ) le moment produit dans la

    section courante de lk par les charges extrieures qui lui sont appliques, alors

    lexpression gnrale du moment flchissant scrit :

    ( )M M M M M xl

    s s F k k k

    k

    = + + ( ) 1 1 (6.18)

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    lk

    lk

    lk+1

    lk+1

    Mk-1

    Mk-1

    Mk

    Mk

    Mk+1

    Mk+1k

    kk-1

    k-1

    k+1

    k+1

    Figure 6.12

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    15/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 112

    3) Effort tranchant

    Lexpression de l'effort tranchant dans la section courante dabscisse x

    sobtient en drivant par rapport x l'expression du moment. Dsignons par

    Ts F( ) leffort tranchant d aux charges extrieures ; il vient :

    T TM M

    ls s F

    k k

    k

    = +

    ( )1

    (6.19)

    6.3.5 Exemple d'application

    Considrons une poutre

    trois traves gales et inertie

    constante soumise une charge

    uniforme q (Figure 6.13a).

    La poutre est deux fois

    hyperstatique mais compte tenu

    de la symtrie, il ny a quune

    seule inconnue. On crit une

    fois lquation des trois

    moments, pourk=1.

    M0 = M3 = 0

    et M1 = M2 = M

    Equation des trois moments

    (appui 1) :

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    (a)

    (a) 0

    0

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    l1=l

    l1=l

    l2=l

    l2=l

    l3=l

    l3=l

    (b)

    (b)

    M1

    M1

    M2

    M2

    (c) ms1

    (c) ms1

    M1=1

    M1=1

    (d) ms2

    (d) ms2

    M2

    =1

    M2=1

    (e) Ms(F)

    (e) Ms(F)

    ql2/8

    ql2/8

    (f) Ms(M)

    (f) Ms(M)

    ql2/10

    ql

    2

    /10

    (g) Ms

    (g) Ms

    ql2/10

    ql2/10ql2/40

    ql2/40

    2ql2/25

    2ql2/25

    (h) Ts

    (h) Ts

    0.4ql

    0.4ql

    0.5ql

    0.5ql

    0.6ql

    0.6ql

    Figure 6.13

    q

    q

    1

    1

    1

    1

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    16/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 113

    ( )

    ( )

    ( )

    M l M l l M l

    EI R R

    Ml EI R

    R

    Ml EI R

    g F d F

    g F

    g F d F

    g F

    0 0 1 1 2 2 2

    1 1

    1

    1 1

    1

    2

    6

    5 6 2

    5 12

    + + + =

    +

    = =

    =

    =

    ;

    R

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    R EI

    ql

    l

    ql

    EI

    g F

    1

    2 31

    2

    2

    3 8 24

    ( )

    =

    =

    = Mql2

    10,Mest dirig dans le sens oppos du sens choisi arbitrairement.

    Les figures 6.13g et 6.13h montrent les diagrammes deMet de T.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    17/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 114

    B- POUTRES EN TREILLIS ARTICULS

    6.5 SYSTMES ISOSTATIQUES PLANS EN TREILLIS ARTICULS

    6.5.1 Dfinitions

    a) Systme en treillis articul

    On appelle systme en treillis articul (systme rticul ou plus brivement

    treillis) un ensemble de pices droites ou courbes, appeles barres, lies les unes

    aux autres (en leurs extrmits) par des articulations. Les points d'assemblage

    des barres sont appels nuds.

    b) Systme plan en treillis articul

    Lorsque les axes des barres et les charges appliques sont situs dans un

    mme plan, on parle alors de systme plan.

    c) Systme charg indirectement

    On dit qu'un systme en treillis est charg indirectement, si toutes les forces

    extrieures sont appliques exclusivement aux nuds.

    Si les charges sont appliques en des points quelconques et notamment en des

    endroits des barres autres que les nuds, on parle alors de systme charg

    directement.

    d) Systme isostatique

    Si les quations de la statique suffisent elles seules la dterminationcomplte du systme, c'est--dire qu'elles permettent de calculer les ractions et

    les efforts en tout point du systme, le systme considr est dit isostatique. Dans

    le cas contraire, le systme et dit hyperstatique.

    6.5.2 Treillis chargs indirectement

    Seuls les treillis isostatiques plans, chargs indirectement, seront envisags

    dans ce chapitre.

    a) Thorme :

    Lorsqu'un systme plan en treillis articul, constitu de barres droites, est

    charg indirectement, chaque barre du systme n'est soumise qu' un effort

    normal constant.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Figure 6.14 : Poutre isostatique

    Membrure suprieure

    Membrure infrieure

    DiagonaleMontant

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    18/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 115

    Considrons une barre du treillis. Le systme tant en quilibre, chaque barre

    le constituant l'est aussi. La barre tant articule, ses extrmits ne sont le sige

    d'aucun moment. Les seules sollicitations qu'elle supporte sont les systmes de

    forces concentres aux extrmits.

    Chaque systme de forces admet

    une rsultante. Les rsultantes (R1 et

    R2) doivent obligatoirement tre

    gales et opposes pour que

    l'quilibre puisse se raliser. En

    dfinitive, la barre n'est soumise qu'

    un effort normal constant pouvant

    tre une traction ou une compression.

    b) Condition d'isostaticit

    Les barres n'tant soumises qu'

    des efforts normaux, en chaque nud

    du treillis il y a un systme de forces

    en quilibre. L'quilibre d'un systme

    agissant sur une particule, un nud

    par exemple, est vrifi si la

    rsultante est nulle ou si les

    projections suivant 2 directions

    perpendiculaires (x ety par exemple),

    sont nulles (Fx = 0, Fy = 0).

    Si n dsigne le nombre de nuds

    (les appuis sont aussi des nuds, n =

    10 pour le systme de la figure 6.14),

    le nombre d'quations dquilibre de

    la statique qu'on peut crire est gal 2n.

    Soient b le nombre de barres et l le nombre de liaisons dans les appuis. La

    condition d'isostaticit s'crit :

    2n = b+l (6.20)Il faut cependant prciser que la condition (6.20) peut s'avrer insuffisante

    prouver l'isostaticit d'un treillis ; le systme doit en outre tre gomtriquement

    invariable.

    Une rgle simple dite rgle

    de la maille triangulaire

    permet de vrifier si le systme

    est isostatique et stable. Cette

    rgle s'nonce comme suit : si,

    partant d'une mailletriangulaire, on arrive

    reconstituer le systme en

    ajoutant 2 barres la fois, alors le systme est isostatique stable.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    R1

    R2

    Figure 6.15 : Barre d'un treillis

    charg indirectement

    F1

    F1

    Fi

    Fn

    y

    x

    Figure 6.16 : Nud d'un treillischarg indirectement

    Figure 6.17 : Systme vrifiantla condition 6.20 mais instable

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    19/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 116

    6.5.3 Mthodes de calcul

    On peut diviser les mthodes de calcul des systmes en treillis articuls

    isostatiques en deux catgories : les mthodes analytiques et les mthodes

    graphiques. La mthode graphique la plus rpandue est celle de Cremona (trac

    de Cremona). Elle consiste construire le polygone des forces en chaque nud.

    Les mthodes analytiques les plus usuelles sont la mthode des nuds et la

    mthode des sections. Les trois mthodes cites seront prsentes.

    Il faut souligner que, indpendamment de la mthode utilise, on doit

    toujours commencer par le calcul des ractions.

    a) Mthode des nuds

    Principe :La mthode consiste isoler le nud considr par des coupureslibrant les efforts dans les barres et projeter toutes les forces, efforts normaux

    et forces extrieures, agissant sur le nud suivant deux axes perpendiculaires.

    On doit obligatoirement entamer les calculs par un nud auquel n'aboutissent

    que deux barres (2 inconnues, 2 quations). Puis on passe un nud qui ne

    prsente pas plus de deux inconnues.

    Exemple d'application

    Nud A

    Le choix du sens des efforts dans les barres estarbitraire. Le sens choisi correspond la traction ; le

    calcul montrera pour chaque barre la nature exacte de

    l'effort qu'elle porte.

    Fx = 0 N2 = 0

    Fy = 0 N1 = -P (le signe "-" indique que la

    barre 1 est soumise une compression).

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Figure 6.18 : Poutre isostatique

    P/2 P/2P

    FE

    C

    AD G

    G

    G

    G

    B

    y

    x

    l l l l

    4 8

    9756

    3

    21h

    N1

    N2A

    RA=P

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    20/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 117

    Nud C

    Fx = 0 N3 cos+ N4 = 0

    Fy = 0 P - N3 sin= 0

    d'o :

    NP

    3 =sin

    (traction)

    et NP

    tg4 =

    (compression)

    Nud D

    F N N

    P

    tg

    F N N

    P (compres

    x

    y

    = = =

    =

    = = =

    =

    0

    0

    6 3

    5 3

    cos

    sin

    (traction)

    sion)

    Nud E

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    N4

    N3

    N1=P

    N6

    N5

    D

    D

    D

    D

    N2=0

    N3=P/sin

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    21/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 118

    FP

    tgN N

    F NP

    NP

    tg

    x

    y

    = + + =

    = =

    =

    0 0

    02

    3

    2

    8 7

    7

    8

    cos

    sin(traction)

    (compression)

    Nud F

    F NP

    tg

    F N P (compres

    x

    y

    = =

    = =

    03

    2

    0

    8

    9

    '

    (compression)

    sion)

    La figure 6.19 ci-aprs montre la nature de l'effort dans les barres tudies.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    N8

    N7

    E

    N5=P

    P/2

    N4=P/tg

    N9

    P

    N8=(3/2)P/tg

    N8'F

    P

    P/2 P/2P

    P

    Figure 6.19 : Reprsentation de la nature des efforts

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    22/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 119

    Convention :

    - Flches vers les nuds = compression

    - Flches vers le centre = traction

    - 0 = effort nul

    b) Mthode des sections (ou de Ritter)

    Principe : La mthode consiste pratiquer dans le systme une coupe nerencontrant pas plus de 3 barres (sauf dans des cas prcis) non concourantes, de

    faon sparer le treillis en deux parties. Pour trouver l'effort dans une des

    barres, on crit l'quation d'quilibre de rotation de l'une des deux parties par

    rapport au point d'intersection des autres barres (Figure 6.20).

    M/A = 0 N5 =

    M/B = 0 N4 =

    M/C = 0 N6 =

    (partie de droite)

    NB : Le point

    d'intersection des barres par rapport auquel on calcule les moments n'est pas

    ncessairement un nud du systme (d'o l'intrt travailler graphiquement).

    Cas particuliers

    1) Deux barres coupes sont parallles (point d'intersection rejet l'infini)

    (Figure 6.21)

    L'effortNKH est obtenu partir de l'quation M/J = 0 et l'effort NLJ dans la

    barre LJ s'obtient partir de : M/K = 0. Pour calculerNKJ, on utilise une

    quation d'quilibre de translation, Fy = 0 par exemple ; ou bien une quation

    d'quilibre de rotation par rapport un appui,M/A = 0par exemple.

    2) Plus de trois barres coupes : la mthode de Ritter peur tre applique

    condition que les barres coupes soient toutes convergentes sauf une.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Figure 6.21 : Poutre en N

    K H

    JL

    A

    A

    B

    C

    6

    4

    5

    Figure 6.20

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    23/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 120

    La coupe a-a (Figure 6.22) prsente trois barres concourantes 4-5, 5-6 et 6-9

    en 6 et l'quation M/6=0 donne l'effortN47. L'effortN47 connu, on fait la coupe

    I-I et il n'y a plus que trois efforts inconnus.

    Intrt de la mthode des sections : elle permet de calculer directement

    l'effort de n'importe quelle barre et constitue de ce fait un excellent moyen de

    vrification des rsultats obtenus par les autres mthodes.

    Exemple d'application

    Ractions : R R tA B= = =8

    24 t

    M/i = 0 2RA N4 = 0 N4 = 8 t(traction)

    M/A = 0 2x3t + ZN5 = 0,

    avec :Z m=4

    5

    N t53

    2 5=

    M/j = 0 Z'N6 2x3t + 4RB = 0

    Z'N6 = -10 tm

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    3t

    N4

    RA=4t

    i

    2m

    N5

    Figure 6.23

    2t

    3t3t Z'

    Z2

    3

    1 4

    5

    6

    7

    A B

    2m 2m 2m 2m

    1m

    1m

    RA

    RB

    i

    c j

    5

    3

    2

    1

    6

    4

    8

    7

    9(a)

    (a)

    I

    I

    Figure 6.22 : Poutre en K

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    24/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 121

    sin'

    = =1

    5 4

    Z, d'o : Z'=4 5 m

    et : N 5.59 t6 =

    Pour calculer les efforts dans les barres 1, 2 et 3 on crit les quations

    d'quilibre de translation en A et C. On peut galement appliquer la mthode de

    Ritter.

    Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent tre mesurs

    graphiquement ce qui prsente l'avantage de faciliter le travail.

    c) Mthode de Cremona (trac de Cremona)

    Principe : La mthode consiste tracer le polygone d'quilibre des forcesappliques chaque nud. Tous les nuds tant en quilibre, les polygones sont

    ncessairement ferms.

    Pour pouvoir appliquer la mthode, il est ncessaire que le systme possde au

    moins un nud auquel n'aboutissent que deux barres.

    Les tapes de la mthode :

    1) On reprsente le systme dans une chelle des longueurs.

    2) On calcule les ractions puis on numrote :

    a) Les intervalles entre les forces extrieures en tournant dans un sens, le

    sens horlogique par exemple.

    b) Les intervalles du rseau (domaines intrieurs dlimits par les barres).

    Ainsi, chaque barre se trouve caractrise par deux chiffres dsignant les

    intervalles (domaines) adjacents.

    3) On construit le polygone des forces extrieures, dans une chelle des

    forces choisie ; ce polygone est ferm puisque les forces extrieures sont

    quilibres par les ractions (quilibre global). On prcise le sens des forces par

    des flches.

    4) On trace ensuite le polygone des forces agissant sur chaque nud (forces

    extrieures et efforts dans les barres) en commenant par un nud auquelaboutissent seulement deux barres puis on passe un nud n'ayant que deux

    efforts inconnus.

    N.B. : Les directions des efforts sont connues (orientations des barres) et leurs

    sens et intensit sont obtenus en fermant chaque polygone.

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Nature des efforts

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    25/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 122

    Exemple d'application

    Soit calculer les efforts dans les barres de la poutre reprsente la figure

    6.24 dj calcule par la mthode de Ritter.

    La rsolution du problme se fait selon les tapes ci-aprs.

    0- On reprsente la structure dans une chelle des longueurs (Figure 6.24).

    1- Numrotation des domaines extrieurs (dlimits par les forces

    appliques et les ractions) : 1, 2, 3, 4 et 5 (sens horlogique, Figure

    6.24).

    2- Numrotation des domaines intrieurs (mailles) : 6, 7, 8, 9, 10, 11 (de

    gauche droite). On pouvait choisir des lettres la place des chiffres

    (Figure 6.24).

    On peut maintenant numroter chaque effort (extrieur ou interne), avant de

    passer l'tape suivante. Chaque effort est caractris par les deux chiffres des

    domaines qui sont adjacents sa direction. Les efforts internes agissant sur lesnuds sont numrots en tournant dans le sens horlogique (Figure 6.25).

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    F23

    =2t

    F34

    =3tF12

    =3t

    A

    D

    C

    FN65

    F51

    =4t

    N16

    N61

    N87

    N56

    N75

    F45

    =4t

    N67

    N76

    N28

    N98

    N82

    E N39

    Figure 6.25

    B

    2t

    3t3t

    A

    l l l l

    D

    C G

    RA=4t RB=4t

    6 7

    8

    2

    1

    3

    4

    9

    10 11

    F

    l

    E

    5

    Figure 6.24

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    26/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 123

    3- On trace le polygone des forces extrieures (forces appliques et

    ractions). Ce polygone est reprsent par le segment vertical : 1-2-3-4-

    5-1 (Figure 6.26).

    4- Construction des polygones des forces agissant sur chaque nud.

    a) Nud A : Les efforts intervenant sont : N16, N65 et F51. Cette dernire

    force tant connue et reprsente sur le polygone des forces extrieures.

    Notons que seul le point 6 est indtermin.

    A partir du point 1 on trace une parallle la barre AC(N16) et partir de 5

    on mne une parallle AD (N65). L'intersection des deux parallles dtermine le

    point 6 cherch. Pour connatre le sens des efforts N16 et N65, on ferme le

    polygone en partant de l'effort connu,F51 (schmas ci-dessous).

    Les flches obtenues en fermant le polygone (des efforts agissant sur le nud

    A) indiquent la nature de chaque effort.

    b) On passe ensuite au nud D o seuls les efforts dans les barres DFet

    DCsont inconnus.

    Efforts intervenant : N56 (connu puisque N65 est connu), N67 et N75. Dans cecas galement, seul le point 7 est indtermin.

    A partir de 6 on mne une parallle DC(N67) et partir de 5 on trace une

    parallle DF (horizontale) (N75). L'intersection des deux parallles se fait au

    point 6, donc le point 7 est confondu avec 6. Le polygone des forces en D (N56,

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    (3)

    (6)

    (2)

    (4)

    (4)(5)

    6

    7

    8

    3

    4

    2

    1

    5

    Figure 6.26

    5

    1

    6

    A

    N16

    N65

    F51

    (compresion)

    (traction)

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    27/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 124

    N67 et N75) se limite au segment 5-7 ; donc l'effort N67 = 0 (voir schmas ci-

    dessous).

    c) Point C : Efforts intervenant : N61, F12, N28, N87 et N76 (N67 = N76 = 0).

    Seul le point 8 reste trouver.

    A partir du point 2 on trace une parallle CE(N28) ; puis partir de 7 onmne une parallle CF (N87). L'intersection des deux parallles dtermine la

    position du point 8. On ferme ensuite le polygone pour dterminer le sens des

    efforts inconnus (N87etN28) (N61F12N28N87 et N76) (schmas ci-aprs).

    Remarques :

    1) Utilisation combine du trac de Cremona et de la mthode de Ritter

    Lors d'un trac de Cremona, on ne peut pas franchir les nuds auxquels

    aboutissent plus de deux barres dont les efforts sont inconnus. La mthode de

    Ritter permet de franchir ces nuds. Il suffit d'effectuer une ou plusieurs coupes

    donnant les valeurs des efforts dans les barres "surabondantes". Ce cas se

    prsente frquemment dans les fermes dites "Polonceau" (Figure 6.27).

    CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    D

    6

    7

    5N56

    N76

    N56

    (traction)

    N75

    (traction)

    1

    2

    8

    7

    6

    C

    F12

    N28

    N87

    N76

    N61

  • 7/28/2019 Chap6.1 Poutres continues me pleine - mthode des forces

    28/28

    A- Pou t res con t inues me p le ine 125

    Ayant amorc le Cremona en 1, en arrivant en 4 on se trouve en prsence de

    3 efforts inconnus (N45,N46 etN44'). La coupe a-a'permet de calculer directement

    l'effort N44' (M/8=0) ; aprs quoi on poursuit normalement le trac de Cremona.

    2) Barres ne travaillant pas (N=0)

    Dans l'exemple ci-contre, cinq

    barres ne travaillent pas (N=0) ;

    nanmoins, elles sont ncessaires

    car elle contribuent :

    - assurer l'indformabilit et

    l'isostaticit du systme ;

    - rduire les longueurs de

    flambement ;

    - faciliter les dispositions

    constructives.

    a

    a

    6

    5

    2

    34

    14'

    Figure 6.27 : Ferme type Polonceau

    8

    7

    P

    Figure 6.28 : Poutre avec plusieursbarres non sollicites