Chap6 Prosper

60
Copyright c 2003 by E.K. Boukas Chapitre 6 Analyse fr ´ equentielle El-K ´ ebir Boukas [email protected] ´ Ecole Polytechnique de Montr ´ eal Syst` emes Asservis, 2004 – p. 1/5

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Chapitre 6Analyse frequentielle

El-K ebir [email protected]

Ecole Polytechnique de Montreal

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Analyse fréquentielle

Objectifs

☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour

n’importe quel systeme

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Analyse fréquentielle

Objectifs

☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour

n’importe quel systeme

☞ Etudier la stabilit e dans le domaine frequentiel

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Analyse fréquentielle

Objectifs

☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour

n’importe quel systeme

☞ Etudier la stabilit e dans le domaine frequentiel

☞ Determiner les performances des systemes (facteur de

surtension, bande passante, marge de phase, marge de gain ...)

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Analyse fréquentielle

Objectifs

☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour

n’importe quel systeme

☞ Etudier la stabilit e dans le domaine frequentiel

☞ Determiner les performances des systemes (facteur de

surtension, bande passante, marge de phase, marge de gain ...)

☞ Determiner les caracteristiques de la fonction de transfert en

boucle fermee en se servant des abaques

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Analyse fréquentielle

Sommaire

☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist

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Analyse fréquentielle

Sommaire

☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist

☞ Stabilit e de Nyquist

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Analyse fréquentielle

Sommaire

☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist

☞ Stabilit e de Nyquist

☞ Abaques de Hall et Black-Nichols

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Analyse fréquentielle

Sommaire

☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist

☞ Stabilit e de Nyquist

☞ Abaques de Hall et Black-Nichols

☞ Performances des systemes

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Analyse fréquentielle

Forme de la reponse frequentielle

G(s)R(s) Y (s)

Transformation : r(t) = sin(ωt) =⇒ R(s) =ω

s2 + ω2

Y (s) = G(s)R(s)

Y (s) =K1

s − ω+

K2

s + ω+

→ 0 si t →∞︷ ︸︸ ︷

k1

s + p1+

k2

s + p2+ . . .

K1 =ω

s + ωG(s)|s→ω = −

1

2M(ω)eϕ(ω)

K2 =ω

s − ωG(s)|s→−ω =

1

2M(ω)e−ϕ(ω)

y(t) = K1eωt + K2e−ωt = M(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

avec M(ω) = |G(ω)|

et ϕ(ω) = arg G(ω)

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Analyse fréquentielle

Forme de la reponse frequentielle - Exemple

k

τs + 1R(s) Y (s)

G(s) =Y (s)

R(s)=

k

τs + 1=⇒ G(ω) =

Y (ω)

R(ω)=

k

jωτ + 1

r(t) = sin(ωt) =⇒ Y (ω) =ω

s2 + ω2×

k

ωτ + 1

|G(ω)| =k

ω2τ2 + 1, ϕ(ω) = −arctan(ωτ)

y(t) =k

ω2τ2 + 1sin(ωt − arctan(ωτ))

Systemes Asservis, 2004 – p. 5/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode

Boucle ouverte G(s) =K

sl

[1 + b1s + . . . + bmsm

1 + a1s + . . . + ansn

]

Echelle semi-log M(ω) = 20 log10 |G(ω)|, (db)

ϕ(ω) = arg(G(ω)), (o)

Basses frequences G(s) =K

sl

M(ω) = 20 log10(K) − (20l) log10(ω)

ϕ(ω) = −lπ

2

Hautes frequences G(s) =Kbmsm

ansn+l

M(ω) = 20 log10

(Kbm

an

)

− 20(n + l − m) log10(ω)

ϕ(ω) = −(n + l − m)π

2

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode en Basses frequences

Mdb Mdb Mdb Mdb

ϕo ϕo ϕo ϕo

ω ω ω ω

ω ω ω ω0o

0

−90o

−180o

−270o

−20 −40 −60

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3

Systemes Asservis, 2004 – p. 7/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode en Hautes frequences

Mdb Mdb Mdb

ϕo ϕo ϕo

ω ω ω

ω ω ω

−90o

−180o

−270o

−20−40 −60

n + l − m = 1 n + l − m = 2 n + l − m = 3

Systemes Asservis, 2004 – p. 8/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element proportionnel

G(ω) = K, K > 0

|G(ω)| = K

arg(G(ω)) = 0o

M(ω) = 20 log10 |G(ω)|

= 20 log10(K), (db)

ϕ(ω) = − arctan

(0

K

)

= 0o

Mdb

ϕo

ω

ω

0o

20 log10 K

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element integral

G(ω) =1

ωτ

|G(ω)| =

∣∣∣∣

1

ωτ

∣∣∣∣=

1

ωτ

ϕ(ω) = − arg(ωτ ) = −90o

M(ω) = 20 log10

(1

ωτ

)

= −20 log10(ωτ ), (db)

ϕ(ω) = −90o

Mdb

ϕo

ω

ω−20

−90o

ωc

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element differentiel

G(ω) = ωτ

|G(ω)| = ωτ

ϕ(ω) = +π

2

M(ω) = 20 log10(ωτ ), (db)

ϕ(ω) = +90o

Mdb

ϕo

ω

ω+20

+90o

ωc

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element du premier ordre - 1

G(ω) =1

1 + ωτ

M(ω) = −20 log10

√1 + ω2τ2

ϕ(ω) = − arctan(ωτ )

ω � 1

τ=⇒ M(ω) = 0 db

ϕ(ω) = 0o

ω � 1

τ=⇒ M(ω) = −20 log(ωτ ), db

ϕ(ω) = −90o

Mdb

ϕo

ω

ω

−20 db/dec

−90o

ωc

r eelles

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element du premier ordre - 2

G(ω) = 1 + ωτ

M(ω) = 20 log10

√1 + ω2τ2

ϕ(ω) = arctan(ωτ )

ω � 1

τ=⇒ M(ω) = 0, db

ϕ(ω) = 0o

ω � 1

τ=⇒ M(ω) = 20 log(ωτ ), db

ϕ(ω) = 90o

Mdb

ϕo

ω

ω+20 db/dec

+90o

ωc

r eelles

Systemes Asservis, 2004 – p. 13/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element du deuxieme ordre - 1

G(ω) =ω2

n

1 + 2ζωn(ω) + (ω)2=

1[

1 −ω2

ω2n

]

+ 2ζω

ωn

M(ω) = −20 log10

√[

1 −ω2

ω2n

]2

+ 4ζ2ω2

ω2n

ϕ(ω) = −arctan

2ζω

ωn

1 −ω2

ω2n

ω � ωn =⇒ M(ω) = 0 db

ϕ(ω) = 0o

ω � ωn =⇒ M(ω) = −40 log10

ωn

)

db

ϕ(ω) = −180o

Mdb

ϕo

ω

ω

−40 db/dec

−180o

ωc

r eelles

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode de l’Element du deuxieme ordre - 2

G(ω) = 1 + 2ζω

ωn

+ (ω

ωn

)2 = (1 −ω2

ω2n

)2 + 2ζω

ωn

M(ω) = 20 log10

√[

1 −ω2

ω2n

]2

+ 4ζ2ω2

ω2n

ϕ(ω) = arctan

2ζω

ωn

1 −ω2

ω2n

ω � ωn =⇒ M(ω) = 0 db

ϕ(ω) = 0o

ω � ωn =⇒ M(ω) = +40 log10

ωn

)

db

ϕ(ω) = +180o

Mdb

ϕo

ω

ω

+40 db/dec

+180o

ωc

r eelles

Systemes Asservis, 2004 – p. 15/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Bode d’un systeme d’ordre quelconque

G(s) = Kτ2s + 1

(τ3s + 1)(τ4s + 1)

1

τ3

<1

τ2

<1

τ4

G1(s) = K (K > 1)

G2(s) = τ2s + 1

G3(s) =1

τ3s + 1

G4(s) =1

τ4s + 1

Mdb

ϕo

ω

ω

1

τ2 1

τ4

1

τ3

G1

G2

G3

G4

G

ϕ1

ϕ2

ϕ3

ϕ4

ϕ

+90o

0o

−90o

0

Systemes Asservis, 2004 – p. 16/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black - Generalit es

On se base sur la fonction de transfert en B.O. :

G(s) =K

sl

[1 + b1s + . . . + bmsm

1 + a1s + . . . + ansn

]

Diagramme de black : Relation entreM(ω) en (db) et ϕ(ω) en (o)

M(ω) = f [ϕ(ω)]

Le diagramme de Black est trace pour ω variant de 0 a ∞

Le diagramme de Black estdirectement deduit du diagramme de Bode.

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black en basses frequences

Mdb Mdb MdbMdb

ϕo ϕo ϕoϕo

ω = 0 ω = 0 ω = 0

ω = 0

−90o −180o −270o

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3

Systemes Asservis, 2004 – p. 18/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black en hautes frequences

Mdb Mdb Mdb

ϕo ϕo ϕo

ω = ∞ ω = ∞ ω = ∞

−90o −180o −270o

n + l − m = 1 n + l − m = 2 n + l − m = 3

Systemes Asservis, 2004 – p. 19/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black d’un element integral

G(ω) =K

ωτ

M(ω) = 20 log10 |G(ω)|= 20 log10(K) − 20 log10(ωτ )

ϕ(ω) = arg(G(ω))

= arctan(K) − arctan

(τω

0

)

= −90o

si ω = 0 M(ω) = ∞, ϕ(ω) = −90o

si ω = ∞ M(ω) = −∞, ϕ(ω) = −90o

si ω = K/τ M(ω) = 0, ϕ(ω) = −90o

Mdb

ϕo

ω = 0

ω = ∞

−90o

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black d’un element differentiel

G(ω) = Kωτ

M(ω) = 20 log10 |G(ω)|= 20 log10 Kωτ

ϕ(ω) = arg(G(ω))

= arctanKωτ

0= +90o

si ω = 0 M(ω) = −∞, ϕ(ω) = 90o

si ω = ∞ M(ω) = ∞, ϕ(ω) = 90o

si ω = 1/Kτ M(ω) = 0, ϕ(ω) = 90o

Mdb

ϕo

ω = ∞

ω = 0

+90o

Systemes Asservis, 2004 – p. 21/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black d’un element du premier ordre - 1

G(ω) =K

1 + ωτ

M(ω) = 20 log10(K) − 20 log10

√1 + ω2τ2

ϕ(ω) = − arctan(ωτ )

si ω = 0 M(ω) = 20 log10(K)

ϕ(ω) = 0

si ω = ∞ M(ω) = −∞, ϕ(ω) = −90o

si ω =

√K2 − 1

τM(ω) = 0

ϕ(ω) = − arctan(√

K2 − 1)

Mdb

ϕo

ω = 0

ω = ∞

−90o

K

ωc

Systemes Asservis, 2004 – p. 22/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black d’un element du premier ordre - 2

G(ω) = K(1 + ωτ )

M(ω) = 20 log10(K) + 20 log10

√1 + ω2τ2

ϕ(ω) = arctan(ωτ )

si ω = 0 M(ω) = 20 log10(K)

ϕ(ω) = 0

si ω = ∞ M(ω) = ∞, ϕ(ω) = 90o

si ω =

√1 − K2

KτM(ω) = 0

ϕ(ω) = arctan(

√1 − K2

K)

Mdb

ϕo

ω = 0

ω = ∞

+90o

K

Systemes Asservis, 2004 – p. 23/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black d’un element du deuxieme ordre - 1

G(ω) =K

1 + 2ζω

ωn

+

[

ω

ωn

]2=

K[

1 −ω2

ω2n

]

+ 2ζω

ωn

M(ω) = 20 log10(K) − 20 log10

√[

1 −ω2

ω2n

]2

+ 4ζ2ω2

ω2n

ϕ(ω) = −arctan

2ζω

ωn

1 −ω2

ω2n

si ω = 0 M(ω) = 20log10(K)

ϕ(ω) = 0

si ω = ∞ M(ω) = −∞, ϕ(ω) = −180o

Mdb

ϕo

ω = 0

ω = ∞

−180o

K

ωc

Systemes Asservis, 2004 – p. 24/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Black d’un element du deuxieme ordre - 2

G(ω) = K

([

1 −ω2

ω2n

]

+ 2ζω

ωn

)

M(ω) = 20 log10(K) + 20 log10

√[

1 −ω2

ω2n

]2

+ 4ζ2ω2

ω2n

ϕ(ω) = arctan

2ζω

ωn

1 −ω2

ω2n

si ω = 0 M(ω) = 20log10(K)

ϕ(ω) = 0

si ω = ∞ M(ω) = ∞, ϕ(ω) = 180o

Mdb

ϕ

ω = 0

ω = ∞

+180o

K

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist

Definition C’est la partie imaginaire deG(ω)

en fonction de lapartie r eelledeG(ω)

Fonction de transfert en boucle ouverte

G(ω) = Re(ω) + Im(ω) = Meϕ(ω)

Lien entre Nyquist, Bode et Black

Nyquist =⇒ Im(ω) = f [Re(ω)]

Bode =⇒ 1 : Mdb = f(ω)

2 : ϕo = f(ω)

Black =⇒ M(ω) = ϕ(ω)

Im(ω)

Re(ω)

ω = 0ω = ∞

ϕ(ω)

M(ω)

ωc

Systemes Asservis, 2004 – p. 26/50

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Analyse fréquentielle

Fonction de transfert en boucle ouverte

G(s) =K

sl

[1 + b1s + . . . + bmsm

1 + a1s + . . . + ansn

]

Diagramme de Nyquist en basses frequences

Im

Re

ω=

0

l = 0

Im

Re

ω = 0 ω = 0

l = 1

Im

Reω

=0

ω=

0

l = 2

Im

R

ω = 0 ω = 0

l = 3

Systemes Asservis, 2004 – p. 27/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist en hautes frequences

Im

Re

ω = ∞

n + l − m = 1

Im

Re

ω = ∞

n + l − m = 2

Im

Re

ω = ∞

n + l − m = 3

Systemes Asservis, 2004 – p. 28/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist de l’element integral

Fonction de transfert

G(s) =1

τs=⇒ G(ω) =

1

ωτ= −

1

ωτ

si ω = 0 Re(ω) = 0, Im(ω) = −∞si ω = ∞ Re(ω) = 0, Im(ω) = 0

si ω =1

τRe(ω) = 0, Im(ω) = −1

Im

Re

ω = 0

ω=

Systemes Asservis, 2004 – p. 29/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist d’un element differentiel

Fonction de transfert

G(s) = τs =⇒ G(ω) = ωτ

si ω = 0 Re(ω) = 0, Im(ω) = 0

si ω = ∞ Re(ω) = 0, Im(ω) = ∞

si ω =1

τRe(ω) = 0, Im(ω) = 1

Im

Re

ω=

0

ω=

∞Systemes Asservis, 2004 – p. 30/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist d’un element du premier ordre - 1

Fonction de transfert

G(s) =1

1 + τs=⇒

G(ω) =1

1 + ωτ=

1

1 + ω2τ2−

ωτ

1 + ω2τ2

si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0

si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = 0

si ω =1

τ=⇒ Re(ω) =

1

2, Im(ω) = −1

2

Im

R

ω = 0ω=

1

Systemes Asservis, 2004 – p. 31/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist d’un element du premier ordre - 2

Fonction de transfert

G(s) = 1 + τs =⇒G(ω) = 1 + ωτ

si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0

si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = ∞

si ω =1

τ=⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 1

Im

R

ω = ∞

ω=

0

Systemes Asservis, 2004 – p. 32/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist d’un element du deuxieme ordre - 1

Fonction de transfert

G(s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

=⇒

G(ω) =

1 −ω2

ω2n

[

1 −ω2

ω2n

]2

+

[

2ζω

ωn

]2−

2ζω

ωn[

1 −ω2

ω2n

]2

+

[

2ζω

ωn

]2

si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0

si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = 0

si ω = ωn =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = −1

Im

Rω = 0

ω=

∞ω=

ωn

1

Systemes Asservis, 2004 – p. 33/50

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Analyse fréquentielle

Diagramme de Nyquist d’un element du deuxieme ordre - 2

Fonction de transfert

G(s) =1

ω2n

(s2 + 2ζωns + ω2n) =⇒

G(ω) =

[

1 −ω2

ω2n

]

+ 2ζω

ωn

si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0

si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = −∞, Im(ω) = +∞

si ω = ωn =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = 2ζ

Im

R

ω = ∞

ω=

ωn

ω=

0

1

Systemes Asservis, 2004 – p. 34/50

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Analyse fréquentielle

Stabilit e - Crit ere de Nyquist

Equation caracteristique

1 + G(s)H(s) = 0

Crit ere de stabilite

N = Z-P

N = nombre d’encerclements dans le sens horaire du point−1 + 0

P = nombre de polesa parties reelles positives deG(s)H(s)

Z = nombre de zerosa parties reelles positives de1 + G(s)H(s)

Systemes Asservis, 2004 – p. 35/50

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Analyse fréquentielle

Interpr etation du crit ereN=Z-P

Pour qu’un systeme soit stable, il faut queZ = 0

Si P 6= 0 ⇒ pour obtenir un systeme stable on doit avoirZ = 0 etdoncN = −P ⇔ P encerclements de−1 + 0 dans le sensanti-horaire

Si P = 0 ⇒ pour obtenir un systeme stable on doit avoirZ = 0 ⇒N = 0 ⇔ aucun encerclement de−1 + 0

Si on a un encerclement de−1 + 0 dans le sens horaire⇐⇒systeme instable

Systemes Asservis, 2004 – p. 36/50

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Analyse fréquentielle

Stabilit e par Nyquist : Exemple

Fonction de transfert en boucle ouverte :

B.O.

G(s)H(s) = K1

s(3s + 1)(s + 1)

T (ω) = − 4K

(1 − 3ω2)2 + 16ω2−

K(1 − 3ω2)

ω(1 − 3ω2)2 + 16ω3

stabilit e

Im(ω) = 0 ⇐⇒ ω =1

√3

Re(ω) > −1 ⇐⇒ K <4

3

Les diagrammes sont en page suivante→ · · ·

Systemes Asservis, 2004 – p. 37/50

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Analyse fréquentielle

Crit ere de stabilite de Bode

1 = systeme stable

2 = systemea la limite de stabilite

3 = systeme instable

Mdb

−180o

ϕo

ω

ω

1

2

3

Systemes Asservis, 2004 – p. 39/50

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Analyse fréquentielle

Crit ere de stabilite de Nyquist simplifie

1 = systeme stable

2 = systemea la limite de stabilite

3 = systeme instable

Im

Re

123

×−1

Systemes Asservis, 2004 – p. 40/50

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Analyse fréquentielle

Crit ere de stabilite de Black

1 = systeme stable

2 = systemea la limite de stabilite

3 = systeme instable

Mdb

ϕo

123

×−1

−180o

Systemes Asservis, 2004 – p. 41/50

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Analyse fréquentielle

Abaques de Hall

Objectif : Determiner la r eponse frequentielle en boucle fermeea partir dudiagramme de Nyquist obtenu pour la boucle ouverte

Im

Re

Mi

Mj

Im

Re

ϕi

ϕj

Systemes Asservis, 2004 – p. 42/50

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Analyse fréquentielle

Abaques de Hall - Procedure

☞ Juxtaposer le diagramme de Nyquist du systeme en boucle ouverte surl’abaque

☞ noter les valeurs des courbesequigain etequiphase passant par chaquepoint d’intersection

☞ construire le diagramme de Nyquist du systeme en boucle ferme

Systemes Asservis, 2004 – p. 43/50

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Analyse fréquentielle

Abaque de Black-Nichols

Objectif Determiner la r eponse frequentielle en boucle fermeea partir du

diagramme de Black obtenu pour la boucle ouverte

Phase eno

Gai

nen

db

2 db

6 db

12 db

−150o

−90o

−30o

0

+6

+12

+18

−6

−12

−180−30−60−90−120−150−180−210

Systemes Asservis, 2004 – p. 44/50

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Analyse fréquentielle

Abaque de Black-Nichols - Procedure

☞ juxtaposer le diagramme de Black du systeme en boucle ouverte surl’abaque

☞ noter les valeurs des courbesequigain etequiphasepassant par chaque point d’intersection

☞ construire le diagramme de Bode du systeme en boucle fermee

Systemes Asservis, 2004 – p. 45/50

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Analyse fréquentielle

Performances des systemes - Diagramme de Bode

0

−180o

Mdb

ϕo

ωph

∆ϕ

∆G

ωam

ω

ω

∆G =1

|G(ωam)|∆ϕ = π + arg [G(ωph)]

Systemes Asservis, 2004 – p. 46/50

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Analyse fréquentielle

Performances des systemes - Diagramme de Bode - suite

Mdb

ω

Mp

ωp

Facteur de Surtension

ωb

-3db

Mdb

ω

Mp

ωp

Bande passante

Systemes Asservis, 2004 – p. 47/50

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Analyse fréquentielle

Performances des systemes

A O∆ϕ

Im

Re−1

1

∆G =1

OA

Nyquist

−180o

∆G

∆ϕ

Mdb

ϕo

Black

Systemes Asservis, 2004 – p. 48/50

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Analyse fréquentielle

Performances des systemes

−1

Mdb

ϕo

ωp

Mp

Nichols

−1

Im

Re

ωp

Mp

Hall

Systemes Asservis, 2004 – p. 49/50

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Analyse fréquentielle

Conclusions

Etude de la reponse frequentielle

Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50

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Analyse fréquentielle

Conclusions

Etude de la reponse frequentielle

Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)

Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50

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Analyse fréquentielle

Conclusions

Etude de la reponse frequentielle

Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)

Presentation des differents abaques (Black-Nichols, Hall)

Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50

Page 59: Chap6 Prosper

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Analyse fréquentielle

Conclusions

Etude de la reponse frequentielle

Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)

Presentation des differents abaques (Black-Nichols, Hall)

Definition des differentes performances dans le domaine frequentiel

Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50

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Analyse fréquentielle

Conclusions

Etude de la reponse frequentielle

Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)

Presentation des differents abaques (Black-Nichols, Hall)

Definition des differentes performances dans le domaine frequentiel

Etude de la stabilite par le critere de Nyquist

Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50