Chap6 Prosper
Transcript of Chap6 Prosper
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Chapitre 6Analyse frequentielle
El-K ebir [email protected]
Ecole Polytechnique de Montreal
Systemes Asservis, 2004 – p. 1/50
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Analyse fréquentielle
Objectifs
☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour
n’importe quel systeme
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Analyse fréquentielle
Objectifs
☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour
n’importe quel systeme
☞ Etudier la stabilit e dans le domaine frequentiel
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Analyse fréquentielle
Objectifs
☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour
n’importe quel systeme
☞ Etudier la stabilit e dans le domaine frequentiel
☞ Determiner les performances des systemes (facteur de
surtension, bande passante, marge de phase, marge de gain ...)
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Analyse fréquentielle
Objectifs
☞ Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist pour
n’importe quel systeme
☞ Etudier la stabilit e dans le domaine frequentiel
☞ Determiner les performances des systemes (facteur de
surtension, bande passante, marge de phase, marge de gain ...)
☞ Determiner les caracteristiques de la fonction de transfert en
boucle fermee en se servant des abaques
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Analyse fréquentielle
Sommaire
☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist
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Analyse fréquentielle
Sommaire
☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist
☞ Stabilit e de Nyquist
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Analyse fréquentielle
Sommaire
☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist
☞ Stabilit e de Nyquist
☞ Abaques de Hall et Black-Nichols
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Analyse fréquentielle
Sommaire
☞ Diagrammes de Bode, de Black et de Nyquist
☞ Stabilit e de Nyquist
☞ Abaques de Hall et Black-Nichols
☞ Performances des systemes
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Analyse fréquentielle
Forme de la reponse frequentielle
G(s)R(s) Y (s)
Transformation : r(t) = sin(ωt) =⇒ R(s) =ω
s2 + ω2
Y (s) = G(s)R(s)
Y (s) =K1
s − ω+
K2
s + ω+
→ 0 si t →∞︷ ︸︸ ︷
k1
s + p1+
k2
s + p2+ . . .
K1 =ω
s + ωG(s)|s→ω = −
1
2M(ω)eϕ(ω)
K2 =ω
s − ωG(s)|s→−ω =
1
2M(ω)e−ϕ(ω)
y(t) = K1eωt + K2e−ωt = M(ω) sin(ωt + ϕ(ω))
avec M(ω) = |G(ω)|
et ϕ(ω) = arg G(ω)
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Analyse fréquentielle
Forme de la reponse frequentielle - Exemple
k
τs + 1R(s) Y (s)
G(s) =Y (s)
R(s)=
k
τs + 1=⇒ G(ω) =
Y (ω)
R(ω)=
k
jωτ + 1
r(t) = sin(ωt) =⇒ Y (ω) =ω
s2 + ω2×
k
ωτ + 1
|G(ω)| =k
√
ω2τ2 + 1, ϕ(ω) = −arctan(ωτ)
y(t) =k
√
ω2τ2 + 1sin(ωt − arctan(ωτ))
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode
Boucle ouverte G(s) =K
sl
[1 + b1s + . . . + bmsm
1 + a1s + . . . + ansn
]
Echelle semi-log M(ω) = 20 log10 |G(ω)|, (db)
ϕ(ω) = arg(G(ω)), (o)
Basses frequences G(s) =K
sl
M(ω) = 20 log10(K) − (20l) log10(ω)
ϕ(ω) = −lπ
2
Hautes frequences G(s) =Kbmsm
ansn+l
M(ω) = 20 log10
(Kbm
an
)
− 20(n + l − m) log10(ω)
ϕ(ω) = −(n + l − m)π
2
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode en Basses frequences
Mdb Mdb Mdb Mdb
ϕo ϕo ϕo ϕo
ω ω ω ω
ω ω ω ω0o
0
−90o
−180o
−270o
−20 −40 −60
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode en Hautes frequences
Mdb Mdb Mdb
ϕo ϕo ϕo
ω ω ω
ω ω ω
−90o
−180o
−270o
−20−40 −60
n + l − m = 1 n + l − m = 2 n + l − m = 3
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element proportionnel
G(ω) = K, K > 0
|G(ω)| = K
arg(G(ω)) = 0o
M(ω) = 20 log10 |G(ω)|
= 20 log10(K), (db)
ϕ(ω) = − arctan
(0
K
)
= 0o
Mdb
ϕo
ω
ω
0o
20 log10 K
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element integral
G(ω) =1
ωτ
|G(ω)| =
∣∣∣∣
1
ωτ
∣∣∣∣=
1
ωτ
ϕ(ω) = − arg(ωτ ) = −90o
M(ω) = 20 log10
(1
ωτ
)
= −20 log10(ωτ ), (db)
ϕ(ω) = −90o
Mdb
ϕo
ω
ω−20
−90o
ωc
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element differentiel
G(ω) = ωτ
|G(ω)| = ωτ
ϕ(ω) = +π
2
M(ω) = 20 log10(ωτ ), (db)
ϕ(ω) = +90o
Mdb
ϕo
ω
ω+20
+90o
ωc
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element du premier ordre - 1
G(ω) =1
1 + ωτ
M(ω) = −20 log10
√1 + ω2τ2
ϕ(ω) = − arctan(ωτ )
ω � 1
τ=⇒ M(ω) = 0 db
ϕ(ω) = 0o
ω � 1
τ=⇒ M(ω) = −20 log(ωτ ), db
ϕ(ω) = −90o
Mdb
ϕo
ω
ω
−20 db/dec
−90o
ωc
r eelles
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element du premier ordre - 2
G(ω) = 1 + ωτ
M(ω) = 20 log10
√1 + ω2τ2
ϕ(ω) = arctan(ωτ )
ω � 1
τ=⇒ M(ω) = 0, db
ϕ(ω) = 0o
ω � 1
τ=⇒ M(ω) = 20 log(ωτ ), db
ϕ(ω) = 90o
Mdb
ϕo
ω
ω+20 db/dec
+90o
ωc
r eelles
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element du deuxieme ordre - 1
G(ω) =ω2
n
1 + 2ζωn(ω) + (ω)2=
1[
1 −ω2
ω2n
]
+ 2ζω
ωn
M(ω) = −20 log10
√[
1 −ω2
ω2n
]2
+ 4ζ2ω2
ω2n
ϕ(ω) = −arctan
2ζω
ωn
1 −ω2
ω2n
ω � ωn =⇒ M(ω) = 0 db
ϕ(ω) = 0o
ω � ωn =⇒ M(ω) = −40 log10
(ω
ωn
)
db
ϕ(ω) = −180o
Mdb
ϕo
ω
ω
−40 db/dec
−180o
ωc
r eelles
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode de l’Element du deuxieme ordre - 2
G(ω) = 1 + 2ζω
ωn
+ (ω
ωn
)2 = (1 −ω2
ω2n
)2 + 2ζω
ωn
M(ω) = 20 log10
√[
1 −ω2
ω2n
]2
+ 4ζ2ω2
ω2n
ϕ(ω) = arctan
2ζω
ωn
1 −ω2
ω2n
ω � ωn =⇒ M(ω) = 0 db
ϕ(ω) = 0o
ω � ωn =⇒ M(ω) = +40 log10
(ω
ωn
)
db
ϕ(ω) = +180o
Mdb
ϕo
ω
ω
+40 db/dec
+180o
ωc
r eelles
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Bode d’un systeme d’ordre quelconque
G(s) = Kτ2s + 1
(τ3s + 1)(τ4s + 1)
1
τ3
<1
τ2
<1
τ4
G1(s) = K (K > 1)
G2(s) = τ2s + 1
G3(s) =1
τ3s + 1
G4(s) =1
τ4s + 1
Mdb
ϕo
ω
ω
1
τ2 1
τ4
1
τ3
G1
G2
G3
G4
G
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ
+90o
0o
−90o
0
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black - Generalit es
On se base sur la fonction de transfert en B.O. :
G(s) =K
sl
[1 + b1s + . . . + bmsm
1 + a1s + . . . + ansn
]
Diagramme de black : Relation entreM(ω) en (db) et ϕ(ω) en (o)
M(ω) = f [ϕ(ω)]
Le diagramme de Black est trace pour ω variant de 0 a ∞
Le diagramme de Black estdirectement deduit du diagramme de Bode.
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black en basses frequences
Mdb Mdb MdbMdb
ϕo ϕo ϕoϕo
ω = 0 ω = 0 ω = 0
ω = 0
−90o −180o −270o
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black en hautes frequences
Mdb Mdb Mdb
ϕo ϕo ϕo
ω = ∞ ω = ∞ ω = ∞
−90o −180o −270o
n + l − m = 1 n + l − m = 2 n + l − m = 3
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black d’un element integral
G(ω) =K
ωτ
M(ω) = 20 log10 |G(ω)|= 20 log10(K) − 20 log10(ωτ )
ϕ(ω) = arg(G(ω))
= arctan(K) − arctan
(τω
0
)
= −90o
si ω = 0 M(ω) = ∞, ϕ(ω) = −90o
si ω = ∞ M(ω) = −∞, ϕ(ω) = −90o
si ω = K/τ M(ω) = 0, ϕ(ω) = −90o
Mdb
ϕo
ω = 0
ω = ∞
−90o
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black d’un element differentiel
G(ω) = Kωτ
M(ω) = 20 log10 |G(ω)|= 20 log10 Kωτ
ϕ(ω) = arg(G(ω))
= arctanKωτ
0= +90o
si ω = 0 M(ω) = −∞, ϕ(ω) = 90o
si ω = ∞ M(ω) = ∞, ϕ(ω) = 90o
si ω = 1/Kτ M(ω) = 0, ϕ(ω) = 90o
Mdb
ϕo
ω = ∞
ω = 0
+90o
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black d’un element du premier ordre - 1
G(ω) =K
1 + ωτ
M(ω) = 20 log10(K) − 20 log10
√1 + ω2τ2
ϕ(ω) = − arctan(ωτ )
si ω = 0 M(ω) = 20 log10(K)
ϕ(ω) = 0
si ω = ∞ M(ω) = −∞, ϕ(ω) = −90o
si ω =
√K2 − 1
τM(ω) = 0
ϕ(ω) = − arctan(√
K2 − 1)
Mdb
ϕo
ω = 0
ω = ∞
−90o
K
ωc
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black d’un element du premier ordre - 2
G(ω) = K(1 + ωτ )
M(ω) = 20 log10(K) + 20 log10
√1 + ω2τ2
ϕ(ω) = arctan(ωτ )
si ω = 0 M(ω) = 20 log10(K)
ϕ(ω) = 0
si ω = ∞ M(ω) = ∞, ϕ(ω) = 90o
si ω =
√1 − K2
KτM(ω) = 0
ϕ(ω) = arctan(
√1 − K2
K)
Mdb
ϕo
ω = 0
ω = ∞
+90o
K
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black d’un element du deuxieme ordre - 1
G(ω) =K
1 + 2ζω
ωn
+
[
ω
ωn
]2=
K[
1 −ω2
ω2n
]
+ 2ζω
ωn
M(ω) = 20 log10(K) − 20 log10
√[
1 −ω2
ω2n
]2
+ 4ζ2ω2
ω2n
ϕ(ω) = −arctan
2ζω
ωn
1 −ω2
ω2n
si ω = 0 M(ω) = 20log10(K)
ϕ(ω) = 0
si ω = ∞ M(ω) = −∞, ϕ(ω) = −180o
Mdb
ϕo
ω = 0
ω = ∞
−180o
K
ωc
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Black d’un element du deuxieme ordre - 2
G(ω) = K
([
1 −ω2
ω2n
]
+ 2ζω
ωn
)
M(ω) = 20 log10(K) + 20 log10
√[
1 −ω2
ω2n
]2
+ 4ζ2ω2
ω2n
ϕ(ω) = arctan
2ζω
ωn
1 −ω2
ω2n
si ω = 0 M(ω) = 20log10(K)
ϕ(ω) = 0
si ω = ∞ M(ω) = ∞, ϕ(ω) = 180o
Mdb
ϕ
ω = 0
ω = ∞
+180o
K
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist
Definition C’est la partie imaginaire deG(ω)
en fonction de lapartie r eelledeG(ω)
Fonction de transfert en boucle ouverte
G(ω) = Re(ω) + Im(ω) = Meϕ(ω)
Lien entre Nyquist, Bode et Black
Nyquist =⇒ Im(ω) = f [Re(ω)]
Bode =⇒ 1 : Mdb = f(ω)
2 : ϕo = f(ω)
Black =⇒ M(ω) = ϕ(ω)
Im(ω)
Re(ω)
ω = 0ω = ∞
ϕ(ω)
M(ω)
ωc
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Analyse fréquentielle
Fonction de transfert en boucle ouverte
G(s) =K
sl
[1 + b1s + . . . + bmsm
1 + a1s + . . . + ansn
]
Diagramme de Nyquist en basses frequences
Im
Re
ω=
0
l = 0
Im
Re
ω = 0 ω = 0
l = 1
Im
Reω
=0
ω=
0
l = 2
Im
R
ω = 0 ω = 0
l = 3
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist en hautes frequences
Im
Re
ω = ∞
n + l − m = 1
Im
Re
ω = ∞
n + l − m = 2
Im
Re
ω = ∞
n + l − m = 3
Systemes Asservis, 2004 – p. 28/50
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist de l’element integral
Fonction de transfert
G(s) =1
τs=⇒ G(ω) =
1
ωτ= −
1
ωτ
si ω = 0 Re(ω) = 0, Im(ω) = −∞si ω = ∞ Re(ω) = 0, Im(ω) = 0
si ω =1
τRe(ω) = 0, Im(ω) = −1
Im
Re
ω = 0
ω=
∞
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist d’un element differentiel
Fonction de transfert
G(s) = τs =⇒ G(ω) = ωτ
si ω = 0 Re(ω) = 0, Im(ω) = 0
si ω = ∞ Re(ω) = 0, Im(ω) = ∞
si ω =1
τRe(ω) = 0, Im(ω) = 1
Im
Re
ω=
0
ω=
∞Systemes Asservis, 2004 – p. 30/50
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist d’un element du premier ordre - 1
Fonction de transfert
G(s) =1
1 + τs=⇒
G(ω) =1
1 + ωτ=
1
1 + ω2τ2−
ωτ
1 + ω2τ2
si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0
si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = 0
si ω =1
τ=⇒ Re(ω) =
1
2, Im(ω) = −1
2
Im
R
ω = 0ω=
∞
1
Systemes Asservis, 2004 – p. 31/50
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist d’un element du premier ordre - 2
Fonction de transfert
G(s) = 1 + τs =⇒G(ω) = 1 + ωτ
si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0
si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = ∞
si ω =1
τ=⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 1
Im
R
ω = ∞
ω=
0
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist d’un element du deuxieme ordre - 1
Fonction de transfert
G(s) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n
=⇒
G(ω) =
1 −ω2
ω2n
[
1 −ω2
ω2n
]2
+
[
2ζω
ωn
]2−
2ζω
ωn[
1 −ω2
ω2n
]2
+
[
2ζω
ωn
]2
si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0
si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = 0
si ω = ωn =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = −1
2ζ
Im
Rω = 0
ω=
∞ω=
ωn
1
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Analyse fréquentielle
Diagramme de Nyquist d’un element du deuxieme ordre - 2
Fonction de transfert
G(s) =1
ω2n
(s2 + 2ζωns + ω2n) =⇒
G(ω) =
[
1 −ω2
ω2n
]
+ 2ζω
ωn
si ω = 0 =⇒ Re(ω) = 1, Im(ω) = 0
si ω = ∞ =⇒ Re(ω) = −∞, Im(ω) = +∞
si ω = ωn =⇒ Re(ω) = 0, Im(ω) = 2ζ
Im
R
ω = ∞
ω=
ωn
ω=
0
1
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Analyse fréquentielle
Stabilit e - Crit ere de Nyquist
Equation caracteristique
1 + G(s)H(s) = 0
Crit ere de stabilite
N = Z-P
N = nombre d’encerclements dans le sens horaire du point−1 + 0
P = nombre de polesa parties reelles positives deG(s)H(s)
Z = nombre de zerosa parties reelles positives de1 + G(s)H(s)
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Analyse fréquentielle
Interpr etation du crit ereN=Z-P
Pour qu’un systeme soit stable, il faut queZ = 0
Si P 6= 0 ⇒ pour obtenir un systeme stable on doit avoirZ = 0 etdoncN = −P ⇔ P encerclements de−1 + 0 dans le sensanti-horaire
Si P = 0 ⇒ pour obtenir un systeme stable on doit avoirZ = 0 ⇒N = 0 ⇔ aucun encerclement de−1 + 0
Si on a un encerclement de−1 + 0 dans le sens horaire⇐⇒systeme instable
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Analyse fréquentielle
Stabilit e par Nyquist : Exemple
Fonction de transfert en boucle ouverte :
B.O.
G(s)H(s) = K1
s(3s + 1)(s + 1)
T (ω) = − 4K
(1 − 3ω2)2 + 16ω2−
K(1 − 3ω2)
ω(1 − 3ω2)2 + 16ω3
stabilit e
Im(ω) = 0 ⇐⇒ ω =1
√3
Re(ω) > −1 ⇐⇒ K <4
3
Les diagrammes sont en page suivante→ · · ·
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Analyse fréquentielle
Crit ere de stabilite de Bode
1 = systeme stable
2 = systemea la limite de stabilite
3 = systeme instable
Mdb
−180o
ϕo
ω
ω
1
2
3
Systemes Asservis, 2004 – p. 39/50
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Analyse fréquentielle
Crit ere de stabilite de Nyquist simplifie
1 = systeme stable
2 = systemea la limite de stabilite
3 = systeme instable
Im
Re
123
×−1
Systemes Asservis, 2004 – p. 40/50
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Analyse fréquentielle
Crit ere de stabilite de Black
1 = systeme stable
2 = systemea la limite de stabilite
3 = systeme instable
Mdb
ϕo
123
×−1
−180o
Systemes Asservis, 2004 – p. 41/50
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Analyse fréquentielle
Abaques de Hall
Objectif : Determiner la r eponse frequentielle en boucle fermeea partir dudiagramme de Nyquist obtenu pour la boucle ouverte
Im
Re
Mi
Mj
Im
Re
ϕi
ϕj
Systemes Asservis, 2004 – p. 42/50
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Analyse fréquentielle
Abaques de Hall - Procedure
☞ Juxtaposer le diagramme de Nyquist du systeme en boucle ouverte surl’abaque
☞ noter les valeurs des courbesequigain etequiphase passant par chaquepoint d’intersection
☞ construire le diagramme de Nyquist du systeme en boucle ferme
Systemes Asservis, 2004 – p. 43/50
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Analyse fréquentielle
Abaque de Black-Nichols
Objectif Determiner la r eponse frequentielle en boucle fermeea partir du
diagramme de Black obtenu pour la boucle ouverte
Phase eno
Gai
nen
db
2 db
6 db
12 db
−150o
−90o
−30o
0
+6
+12
+18
−6
−12
−180−30−60−90−120−150−180−210
Systemes Asservis, 2004 – p. 44/50
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Analyse fréquentielle
Abaque de Black-Nichols - Procedure
☞ juxtaposer le diagramme de Black du systeme en boucle ouverte surl’abaque
☞ noter les valeurs des courbesequigain etequiphasepassant par chaque point d’intersection
☞ construire le diagramme de Bode du systeme en boucle fermee
Systemes Asservis, 2004 – p. 45/50
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Analyse fréquentielle
Performances des systemes - Diagramme de Bode
0
−180o
Mdb
ϕo
ωph
∆ϕ
∆G
ωam
ω
ω
∆G =1
|G(ωam)|∆ϕ = π + arg [G(ωph)]
Systemes Asservis, 2004 – p. 46/50
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Analyse fréquentielle
Performances des systemes - Diagramme de Bode - suite
Mdb
ω
Mp
ωp
Facteur de Surtension
ωb
-3db
Mdb
ω
Mp
ωp
Bande passante
Systemes Asservis, 2004 – p. 47/50
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Analyse fréquentielle
Performances des systemes
A O∆ϕ
Im
Re−1
1
∆G =1
OA
Nyquist
−180o
∆G
∆ϕ
Mdb
ϕo
Black
Systemes Asservis, 2004 – p. 48/50
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Analyse fréquentielle
Performances des systemes
−1
Mdb
ϕo
ωp
Mp
Nichols
−1
Im
Re
ωp
Mp
Hall
Systemes Asservis, 2004 – p. 49/50
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Analyse fréquentielle
Conclusions
Etude de la reponse frequentielle
Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50
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Analyse fréquentielle
Conclusions
Etude de la reponse frequentielle
Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)
Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50
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Analyse fréquentielle
Conclusions
Etude de la reponse frequentielle
Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)
Presentation des differents abaques (Black-Nichols, Hall)
Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50
Copyright c©2003 by E.K. Boukas
Analyse fréquentielle
Conclusions
Etude de la reponse frequentielle
Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)
Presentation des differents abaques (Black-Nichols, Hall)
Definition des differentes performances dans le domaine frequentiel
Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50
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Analyse fréquentielle
Conclusions
Etude de la reponse frequentielle
Presentation des differents diagrammes (Bode, Black, Nyquist)
Presentation des differents abaques (Black-Nichols, Hall)
Definition des differentes performances dans le domaine frequentiel
Etude de la stabilite par le critere de Nyquist
Systemes Asservis, 2004 – p. 50/50