Chap4CoursPhys3
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CHAPITRE IV. Systèmes linéaires forcés à un degré de liberté.
4.1 Force dexcitationPour vaincre les frottements responsables des pertes dénergie et du ralentissement des sys-tèmes en mouvement, il faut appliquer une force externe quon appelle excitation.
4.2 Équation de Lagrange des systèmes forcésSi en plus du frottement f = q, il existe une force dexcitation externe F (t); léquation deLagrange sécrit:
d
dt
@L@x
@L@x
= @D@x+ F (t) (En translation) (4.1.a)
d
dt
@L
@
! @L@
= @D
@+M(t) (En rotation. M est le moment de la force F :) (4.1.b)
4.3 Équation du mouvement des systèmes forcésLéquation du mouvement des systèmes linéaires amortis par f = q et excités par F (t) estde la forme (a est une constante)
q + 2
q + !20q = F (t) =a: (4.2)
4.4 Résolution de léquation dumouvementLa résolution de léquation (4:2) est très simple pour une excitation sinusoïdale F (t) = F0 cost.Dans ce cas (4:2) sécrit: q+2 q+!20q=(F0=a) cost: La solution générale de cette équation est:
q(t) = qT(t) + qP(t):
qT(t) est la solution (transitoire) de léquation homogène (sans F ): Elle dépend du signede 2 !20: Elle est dite transitoire car elle séteint au cours du temps (Voir Chap. III.) qP(t) est la solution (permanente) de léquation nonhomogène (avec F ): Elle est appeléepermanente car elle dure tout au long dumouvement. Elle est de la forme q(t) = A cos (t+ ) :On trouve A et à laide de la représentation complexe comme suit:
F0 cost ! F0ejt:
q(t) = A cos (t+ ) ! q(t) = Aej(t+) = Aejt:
q + 2
q + !20q = (F0=a) cost !
q + 2q + !20q = (F0=a) e
jt
=) 2Aejt + 2jAejt + !20Aejt = (F0=a) ejt=)
2 + 2j+ !20
A = F0=a
=) A =F0=a
(!20 2) + j2: (4.3)
Lamplitude du mouvement est donc:
A = jAj = F0=aq(!20 2)
2+ 422
: (4.4)
La phase du mouvement (déphasage entre q(t) et F (t)) est donnée par:
tan =Im (A)
Re (A)= 2
(!20 2): (4.5)
Finalement la solution du mouvement en régime permanent est
q (t) = A cos (t+ ) : (Avec A donné par (4:4) et donnée par (4:5) ) (4.6)
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4.5 RésonanceLa pulsation dexcitation pour laquelle lamplitude A atteint son maximum est appeléepulsation de résonance (damplitude) R. A est maximale lorsque @A
@ = 0: Daprès (4:4) :@A
@= 0 =)
[4!20 2
+ 82] (F0=a)
2h(!20 2)
2+ 422
i3=2 = 0 =) 4!20 2
+ 82 = 0; soit
=q!20 2
2 R: () R = !0
r1 1
2Q2: (4.7)
À cette pulsation, lamplitude est
Amax =F0=aq
42!20 44 ()
Amax =F0a!20
Qr1 1
4Q2
.(4.8)
Pour quil y ait résonance il faut que: !20 22 > 0 =) 1 12Q2 > 0 =) Q > 1p
2:
Le facteur de qualité doit donc être supérieur à 1p2=) lamortissement doit être faible.
Daprès (4:5) ; tan = 1 ( = 2 ) lorsque
= !0: (4.9)
Cette pulsation est appelée pulsation de résonance de phase.
4.6 Bande passante et facteur de qualitéLa puissance instantanée fournie par la force dexcitation est: P = dW
dt =F:dqdt = F:
q:
En utilisant (4:6) ; on trouve: P = F0 cost:A sin (t+ ) = 12AF0 [sin+ sin (2t+ )] :
La puissance moyenne est hPi = 1T
R T0Pdt = 1
2AF0 sin = 12AF0
tanp1+tan2
: Daprès (4:4)et(4:5):
hPi =2
F 20 =a
(!20 2)
2+ 422
: (4.10)
hPi est maximale lorsque @hPi@ = 0 =)
= !0:
hPimax =F 204a
:(4.11)
Les pulsations c1 et c2 pour lesquelles hPi est à moitié de son maximum sont appeléespulsations de coupure. La largeur c2c1 = B est appelée la bande passante. Daprès(4.10), hPi = hPimax
2 (à faible amortissement: !0) pour c1 !0 et c2 !0 + : Donc
B = 2: (4.12)!0B=!02= Q est le facteur de qualité (Voir Chap. III ).Les graphes de A; ; et hPi en fonction de la pulsation dexcitation sont:
A 30=Q
10=Q
3=Q
2/1=Q
RΩ Ω02
0ωaF
02004,3
ωaF
02010
ωaF φ
0
2π−
π−
Ω0ω
10=Q3=Q
2/1=Q
maxP
P
B
0ω Ω1cΩ 2cΩ
max21 P
A = F0=aq(!202)
2+422
: = tan1 2
(!202)
: hPi = 2(F 2
0 =a)(!202)
2+422
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Analogie entre les systèmes mécaniques et électriquesLe formalisme développé en cours est valable pour toute coordonnée généralisé q. Dans le cas des sys-tèmes mécaniques q peut être x; y; z; ; :::, alors que dans le cas des systèmes électriques q est la chargeq qui circule dans le circuit. Nous avons alors les tableaux suivants des analogies mécanique-électrique.
Analogie entre grandeursSystème Mécanique Système Electrique
Grandeur réelle complexe Grandeur réelle complexeCoordonnée x x Charge q q
Vitesse v =x v=
x Courant i =
q i=
q
Force F F Tension E E
Analogie entre formulesSystème Mécanique Système Electrique
Formule complexe Formule complexe
Impédance mécanique Z= F
vImpédance électrique Z = E
i
Force dinertie mdv
dt= jm!v f.c.e.m dinductance L
di
dt= jL!i
Force de frottement v Tension dune résistance Ri
Force dun ressort kx = kRvdt =
k
j!v Tension dune capacité
q
C=1
C
Ridt =
1
jC!i
Analogie entre éléments et caractéristiquesSystème Mécanique Système Electrique
Ressort k Capacité inverse1
CInertie m Inductance LFrottement Résistance R
Pulsation de résonancepk=m Pulsation de résonance 1=
pLC
Bande passante 2 = =m Bande passante 2 = R=L
Energie dun ressort 12kx
2 Energie dun condensateur 12
q2
CEnergie cinétique dun corps 1
2mv2 Energie dune bobine 1
2Li2
Puissance dissipée par frottement v2 Puissance dissipée par e¤et Joule Ri2
Exemple
k m α
F
x L RC
E
q
kx v + F = mdvdt
1
C
Ridt+ L
di
dt+Ri E = 0
F =k
j!v + jm!v + v E =
1
jC!i+ jL!i+Ri
Impédance mécanique Impédance électrique
Z = F
v=k
j!+ jm! + Z = E
i=
1
jC!+ jL! +R
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