Chap4 Dynamique Solide VAS2 Potel Gatignol

Catherine Potel, Philippe Gatignol Universit du Maine, Le Mans

COURS DE MECANIQUE

2me anne

Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL

Chapitre 4. DYNAMIQUE DU SOLIDE

Universit du Maine - UFR Sciences et Techniques

Catherine Potel, Philippe Gatignol Universit du Maine, Le Mans

AVANT-PROPOS A noter que la numrotation des paragraphes adopte ici est calque sur celle du cours oral afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne rpond pas aux normes de prsentation usuelles d'un document crit.

Chapitre 4 Dynamique du solide DEUST VAS 2

Catherine Potel - 4.1 - Universit du Maine - Le Mans

Le but de ce chapitre est d'noncer dans toute sa gnralit le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) ainsi que ses consquences pour l'tude du mouvement d'un systme matriel quelconque. Deux formes particulires de ce principe ont dj t nonces : le Principe Fondamental de la Statique (PFS) au chapitre 3, et le Principe Fondamental de la Dynamique du point matriel, dans le cours de mcanique du point. L'nonc gnral, dans le cas d'un systme matriel quelconque, ncessite la dfinition pralable de grandeurs dites "dynamiques" qui associent les notions de masse, vitesse et acclration.

Les points importants de ce chapitre sont :

L'nonc prcis du PFD, avec le concept de repre galilen Les lments d'inertie d'un solide rigide

I GRANDEURS DYNAMIQUES D'UN SYSTEME MATERIEL Un systme matriel quelconque peut tout d'abord tre modlis par un ensemble de points matriels, mais l'extension aux systmes rpartition continue de masse est immdiate. Il suffit en effet de remplacer tous les signes

i par une intgrale simple, double ou triple,

selon la gomtrie considre. Considrons donc prsent des systmes mcaniques constitus d'un ensemble de points matriels A A n1,... dots des masses m m n1,... . Nous noterons par un tel systme : = =A m A m A mn n i i1 1, ,..., , ,d i d io t d io t, et l'on s'intresse au mouvement de par rapport un repre R 0. 1. Torseur dynamique

a) Cas du point matriel Le Principe Fondamental de la Dynamique du point matriel s'nonce de la manire suivante :

Si un point matriel A , de masse m, est en mouvement par rapport un repre galilen R 0, la somme des forces (extrieures) appliques au point A est gale au produit de la

masse m du point par l'acclration galilenne du point : ( ) ( )Aext/Am 0 = RR rr . (4.1)



On a vu par ailleurs qu' chaque force applique A on peut associer un glisseur dont le support passe par A, et l'ensemble des forces appliques A, le glisseur unique quivalent

la somme de tous ces glisseurs : ( )[ ]Aext,A Rr . Il est alors logique de considrer galement le glisseur A m A, /

r R 0d i , appel glisseur dynamique. Le PFD du point A, lorsque R 0 est galilen, peut alors s'exprimer par l'galit

des glisseurs : ( )[ ] ( )[ ]Aext,A/Am,A 0 = RR rr . (4.2) L'galit des vecteurs libres redonne l'nonc classique rappel l'quation (4.1). L'galit des moments en un point K ne donne aucune information supplmentaire. En effet, si l'on choisit K A , on obtient trivialement :

r r0 0= .

De la mme manire que prcdemment, on introduit le moment dynamique du point matriel A, pris au point K :

r r K A K A m A/ /R R0 0d i d i= . (4.3)

b) Gnralisation au cas du systme

L'ensemble des glisseurs dynamiques ( )[ ] ( )[ ]{ }0nnn0111 /Am,A,,/Am,A RR rLr est appel : torseur dynamique de en mouvement par rapport R 0 : ( ) ( )[ ]{ }0ii0 /Ad,A/ RRD r= , (4.4) de rsultante dynamique ( ) ( ) ( )0

i0ii0 /Gm/Am/d RRR == rrr , (4.5)

et de moment dynamique au point K

( ) ( ) = i

0iii0K /AmAK/ RRrr

, (4.6-a)

soit ( ) ( ) =i

0iK0K /A/ RRrr

, (4.6-b)

o G est le centre de masse du systme et m est la masse totale de ce systme. Le centre de masse G est tel que



GOmAOmi

ii = . (4.7) Le PFD exprimera que, pour un repre d'observation R 0 bien choisi, le torseur dynamique est gal au torseur des forces extrieures appliques au systme . 2. Principe fondamental de la dynamique

a) Enonc du principe Cet nonc est l'nonc gnral du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD). Tous les autres noncs s'en dduisent comme cas particuliers.

Il existe un repre privilgi, appel repre galilen, soit R 0, tel que pour tout systme matriel , en gnral en mouvement par rapport R 0 , le torseur dynamique de par rapport R 0 soit gal au torseur des forces extrieures exerces sur , soit ( ) { }= ext/ 0RD (4.8)

Cette galit (ou quivalence) entre torseurs se traduit par l'galit des rsultantes :

rd ext /R R0d i b g= , (4.9)

et par l'galit des moments en un point K :

rK K ext /R M0d i b g= . (4.10)

Dans le cas du point matriel unique, la distinction entre forces extrieures et forces intrieures ne se posait pas. Sur ce plan, l'extension aux systmes matriels n'est pas immdiate : il est fondamental que le PFD pour les systmes ne fasse intervenir que les forces extrieures .

b) Repres galilens, invariance galilenne Le PFD postule l'existence dans l'Univers d'au moins un repre R 0 dans lequel l'nonc du principe est valable. Prciser la position d'un tel repre dans l'espace cosmique n'est pas chose facile. Dans la ralit, on considre toujours des repres qui ne sont galilens que de manire approche.



La dfinition du repre galilen dans lequel on considre le PFD comme valable dpend en ralit de l'chelle du problme considr : - Pour un problme de dynamique concernant un systme mcanique l'chelle de l'homme (machine, vhicule, ...) un repre li la Terre locale (au sol ou la pice) est suffisant. Ce faisant, on nglige des mouvements tels que la rotation de la Terre. - Pour des problmes terrestres plus grande chelle, on ne peut plus ngliger cette rotation. On prendra alors un repre dont l'origine est au centre de la Terre et dont les axes ont des directions fixes par rapport aux toiles. Cependant, on nglige encore dans ce cas le mouvement (elliptique) de la Terre autour du Soleil. - L'tude du mouvement des plantes dans le systme solaire se fait sur la base d'un repre dont l'origine est au centre de masse du systme solaire (pratiquement le centre du Soleil) et dont les axes ont des directions fixes par rapport aux toiles. - A des chelles plus grandes (galaxie, cosmos), on sort pratiquement du domaine de la Mcanique classique en raison des trs grandes vitesses mises en jeu, et chercher dfinir des repres galilens n'a plus grand intrt. Invariance galilenne

Thorme : Lorsque, pour un problme donn, un repre R 0 peut tre considr comme galilen, il lui correspond une infinit de repres, mobiles par rapport R 0,

qui peuvent eux aussi tre considrs comme galilens, avec la mme approximation. Ce sont tous les repres anims d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport R 0 .

Dmonstration :

Soit R B1 1 1= O ,d i, un repre anim d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport R B0 0 0= O ,d i . La base B1 du repre R 1 peut tre choisie de telle sorte qu'elle concide constamment avec la base B 0 de R 0

(figure 4.1). Tous les points lis R 1 ont mme vitesse, chaque instant, par exemple celle de O 1.

O1

0x

y0

y1

z 0x1

O 0

z 1

R 0

R 1

figure 4.1



La translation tant rectiligne uniforme, le vecteur rV O 1 0/Rd i est constant au cours du

temps. Considrons alors un systme matriel quelconque . Soit A i l'un de ses points de masse m i . Par composition des vitesses, on peut crire :

r r rV A V A V Oi i/ / /R R R0 1 1 0d i d i d i= + (4.11)

Pour les acclrations, en drivant par rapport au temps et par rapport la base B B0 1 :

r r r A A Oi i/ / /R R R0 1 1 0d i d i d i= + . (4.12) Or le vecteur

rV O 1 0/Rd i est constant au cours du temps, donc on obtient :

r r A Ai i/ /R R0 1d i d i= . (4.13)

Par suite, pour le systme matriel , on a galit des deux torseurs dynamiques : D R D R / /0 1d i d i= . (4.14) Si R 0 est galilen, on a par ailleurs, d'aprs le PFD : ( ) ( )= ext/ 0 RRD . (4.15) Il en rsulte que R 1 est tel que pour tout systme matriel on ait l'galit : ( ) ( )= ext/ 1 RRD , (4.16) et par suite R 1 est lui-mme galilen.

c) Principe de l'action-raction

On gnralise ici ce qui a dj t vu en statique. Considrons deux systmes matriels 1 et 2 en mouvement par rapport un repre galilen R 0, et dsignons par le systme total : = 1 2 (4.17) On a, pour les torseurs dynamiques, l'galit suivante : D R D R D R / / /0 1 0 2 0d i d i d i= + . (4.18) Par ailleurs, les actions mises en jeu sont de deux sortes : - les actions extrieures au systme total , qui s'appliquent soit 1, soit 2 .



- les actions mutuelles des systmes 1 et 2 . Pour les premires, on a l'galit suivante entre les torseurs associs : { } { } { }2/1// extextext += (4.19) o la notation ext / prcise que les actions considres sont extrieures relativement . Les actions exerces sur 1, extrieures 1, sont quant elles constitues des actions provenant de l'extrieur de et de l'action de l'autre constituant 2 . On a ainsi l'galit : { } { } { }121/1/ extext 1 += , (4.20) et de mme pour 2 : { } { } { }212/2/ extext 2 += (4.21) Appliquons prsent le PFD chacun des systmes 1, 2 et , le repre R 0 tant galilen : ( ) { }1/01 1ext/ = RD (4.22) ( ) { }2/02 2ext/ = RD (4.23) ( ) { }= /0 ext/RD (4.24) De l'galit (4.18) entre les torseurs dynamiques, on dduit alors l'galit suivante : { } { } { }22/1// extextext 1 += . (4.25) A l'aide des quations (4.20) et (4.21), on crit ensuite : { } { } { } { } { }212/121// extextext +++= , ce qui conduit, d'aprs l'quation (4.19), : { } { }2112 +=O , soit finalement : { } { }2112 = . (4.26) On est ainsi conduit l'nonc suivant :

Principe : Les actions d'un systme mcanique 1 sur un autre systme mcanique 2 sont opposes aux actions du systme 2 sur le systme 1, en ce sens que les torseurs correspondants sont opposs.



d) Dynamique des systmes de masse ngligeable Lorsque les masses des divers points constitutifs de peuvent tre considres comme ngligeables (vis--vis de masses d'objets extrieurs interagissant avec ), le torseur dynamique D R O /b g = pour tout repre R , et en particulier pour un repre R 0 galilen. Le PFD conduit alors l'galit : ext =l q O . (4.27) Cas particulier important : constituant intermdiaire de masse ngligeable

1

2%

Figure 4.2

Considrons deux systmes mcaniques 1 et 2 lis entre eux par un systme intermdiaire % de masse ngligeable (figure 4.2). On suppose de plus que % n'est soumis aucune autre action, de contact ou distance, que celles exerces par 1 et 2 .

Le torseur des actions extrieures s'exerant sur le systme ~ est donc la somme du torseur des actions de 1 sur ~ et du torseur des actions de 2 sur ~ , soit { } { } { }+= ~~~ext 21 . (4.28) D'aprs le PFD, sous la forme particulire de l'quation (4.27), on a donc : { } { } O=+ ~~ 21 . (4.29) En vertu du principe de l'action-raction nonc au I.2.b), on en dduit : { } { }21 ~~ = . (4.30) Conclusion : lorsque % est un systme intermdiaire, de masse ngligeable, ne recevant d'autres actions extrieures que celles exerces par les deux constituants 1 et 2 qu'il relie, ce systme intermdiaire % transmet 2 intgralement les actions qu'il reoit de la part de 1. Ce rsultat serait faux si la masse de % tait prise en compte : les deux torseurs { } ~1 et { }2~ diffreraient alors d'une quantit gale au torseur dynamique D R% / 0d i o R 0 prsent doit tre galilen.



Application pratique : clavetage L'un des moyens pour un arbre 1 de transmettre une certaine puissance une poulie 2 , est d'utiliser une clavette % (figures 4.3).

OOz

y

x

C

%

1 2

figure 4.3-a figure 4.3-b La poulie 2 est alors lie en rotation l'arbre 1 par l'intermdiaire de la clavette % . Si l'on connat { } ~1 , et si l'on nglige la masse de la clavette, alors on pourra crire, d'aprs l'quation (4.30) que { } { }21 ~~ = . La puissance tant notamment transmise par l'intermdiaire de la projection sur l'axe ze

r du moment ( ) ~1OM , soit ( ) CM = z1O e~ r (o C est couramment appel "couple moteur"), on aura alors ( ) CM = z2O e~ r , ce qui revient crire : ( ) CM = z21O er . (4.31) Exemple du ressort Le systme de la figure 4.4 est constitu de trois ressorts reliant deux points matriels A et B de masses respectives 1m et 2m , dont les dplacements, respectivement nots )t(x1 et )t(x 2 ,

sont rfrencs dans le repre ayant pour origine leur position d'quilibre respective.

ex

x 1 x 2

A Bm 1 m 2k

1 k 2k 3

(t) (t)

Figure 4.4

A Bm 1 m 2T

T '

Figure 4.5

Les ressorts sont des systmes de masse ngligeable. Ainsi, le ressort de raideur 3k reliant les point A et B

n'est soumis qu' deux actions mcaniques extrieures, celles des points A et B (figure 4.5).



x Notons ( )'T,A r l'action du ressort sur le point A (et non l'inverse), et ( )T,B r l'action du ressort sur le point B (Figure 4.5), soit { } ( ) { }ressortA'T,AAressort == r , (4.32-a) et { } ( ) { }ressortBT,BBressort == r . (4.32-b) x L'application du PFD au ressort de masse ngligeable conduit, d'aprs l'quation (4.27) { } { } O=+ ressortBressortA , (4.33) soit, pour les rsultantes, 0T'T

rrr = , d'o T'T

rr = . (4.34)

II ELEMENTS D'INERTIE D'UN SOLIDE 1 Introduction

e ze ze z

Figure 4.6

Le solide de la figure 4.6 est constitu d'un disque de grand diamtre et d'un axe de plus faible diamtre, le tout pouvant tourner autour de re z.

On considre quatre anneaux identiques (donc de mme masse), que l'on dispose de deux manires diffrentes (figure 4.7) ; sur la figure 4.7-a), ils sont colls sur la face avant du disque, et sur la figure 4.7-b), ils sont fixs sur l'axe du disque.

e z

1

e z

2

e z

1

e ze z

1

e z

2

e ze z

2

Figure 4.7-a) Figure 4.7-b) Si l'on veut faire tourner chacun des deux systmes, l'exprience montre qu'il faudra dpenser beaucoup plus d'nergie pour communiquer une vitesse de rotation donne au systme c (figure 4.7-a) qu'au systme d (figure 4.7-b), alors que chacun des deux systmes a la mme masse. On peut en conclure que la distance de la masse par rapport l'axe est un lment important dans l'tude de la dynamique des systmes.



2 Rpartition de masse continue Le cas, plus frquent, des solides rpartition continue de masse, fait appel la notion

d'intgrale : tous les signes i

n

=

1 se transforment en

Sz sur une ligne, une surface ou un volume. Citons quelques exemples de solides homognes :

a) Cas d'une ligne

Masse linique = mL

= M L 1 unit : kg m. 1

b) Cas d'une surface

Masse surfacique = mS


c) Cas d'un volume

Masse volumique = mV


3 Exemples de calcul du moment dynamique

a) Pendule simple

x 0

ggg

z 0

O

A

y 0

x 1

y 1

l

m

Figure 4.8

Le systme de la figure 4.8 est constitu d'une tige sans masse de longueur OA de longueur l laquelle est accroche une masse m considre comme ponctuelle au point A . La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe ( )

0ze,Or avec le bti. La

position de la tige est repre par l'axe 1xO , faisant un angle avec l'axe 0xO (figure 4.8). Le repre ( )000 zyx0 e,e,e,O rrr=R est galilen, l'acclration de la pesanteur tant telle que

0xeggrr = .

Lm

S

V



Le torseur dynamique de la tige par rapport au repre 0R se rduit au torseur dynamique du point A par rapport au repre 0R , donn par ses lments de rduction au point O :

( ) ( )00 /Am/Ad RR = rr , (4.35-a) et ( ) ( )00O /AmOA/A RR = rr . (4.35-b) x Le vecteur position OA est donn par ses composantes sur la base ( )

011 zyx1 e,e,errr=B :

1xeOA

rl= . (4.36) x La vitesse du point A par rapport au repre 0R s'crit

( )0/

0 tdOAd/AV

B

R

=r , (4.37)

soit, en appliquant la formule de changement de base de drivation

( ) ( ) OA/td

OAd/AV 01/

0

1

+

= BBR

B

rr , (4.38)

soit ( ) ( )110 yxz0 eee0/AV

r&lrlr&rr =+=R . (4.39)

x L'acclration du point A par rapport au repre 0R s'crit

( ) ( )0/

00 td

/AVd/A

B

RR

=rr

, (4.40)

soit, en appliquant la formule de changement de base de drivation

( ) ( ) ( ) ( )001/

00 /AV/td

/AVd/A

1

RBBR

RB

rrrr +

= , (4.41)

soit ( ) ( )101 yzy0 eee/A

r&lr&r&&lr += R , (4.42)

d'o ( )11 yx

20 ee/A

r&&lr&lr += R . (4.43)

x La rsultante dynamique du point A par rapport au repre 0R s'crit donc, en remplaant ( )0/A Rr par son expression (4.43) dans la relation (4.35-a) : ( )

11 yx2

0 emem/Adr&&lr&l

r +=R . (4.44) x Le moment dynamique au point O du point A par rapport au repre 0R s'crit, en remplaant ( )0/A Rr par son expression (4.43) dans la relation (4.35-b) : ( )

0z2

0O em/Ar&&l

r = R . (4.45) Le terme 2ml est le produit de la masse du point A par le carr de la distance au carr entre le point A et l'axe de rotation ( )

0ze,Or . C'est le moment d'inertie du point A par rapport l'axe ( )

0ze,Or .



b) Pendule compos

x 0

ggg

z 0

O

G

y 0

x 1

y 1

l

Figure 4.9

Le systme de la figure 4.9 est constitu d'une tige pesante homogne S de masse m de longueur l . Le centre de masse G est donc situ une distance 2l du point O. La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe ( )

0ze,Or avec le bti. La position de la

tige est repre par l'axe 1xO , faisant un angle avec l'axe 0xO (Figure 4.8). Le repre ( )

000 zyx0 e,e,e,Orrr=R est galilen,

l'acclration de la pesanteur tant telle que 0xegg

rr = .

M

O

d de masse dm

Figure 4.10

Un point M courant de la tige a pour coordonnes polaires ( ), (figure 4.10). Un petit lment d de la tige, centr sur le point M, a pour masse = dmd . (4.46) o est la masse linique de la tige ( l=m ). Il convient de noter ici que est la variable de description spatiale de la tige t fixe ; il est donc constant t fix et ne varie donc pas en fonction du temps.

L'acclration du point M par rapport au repre 0R s'crit, en utilisant le rsultat de

l'quation (4.43) et en remplaant l par : ( )

11 yx2

0 ee/Mr&&r&r += R . (4.47)

Le moment dynamique au point O de la tige S par rapport au repre 0R s'obtient alors en

sommant tous les moments dynamiques lmentaires du point M courant au point O, lorsque M dcrit toute la tige, soit variant de 0 l : ( ) ( ) =

l rr0

00O md/MOM/S RR , (4.48)

soit ( ) [ ]ll r&&r&&r 03z0 z20O 3ede/S 00 == R , d'o, en remplaant par lm ( )

0z

2

0O e3m/S

r&&lr = R . (4.49) La quantit 3m 2l est homogne une masse multiplie par une longueur au carr. Les quantits 2ml et 3m 2l qui interviennent dans les cas particuliers a) et b) sont ce que l'on appelle les moments d'inertie du solide (S) par rapport l'axe ( )

0ze,Or qui est ici l'axe de

rotation fixe par rapport au repre 0R . L'objet du paragraphe suivant est de gnraliser ces

notions.



4 Dfinition des lments d'inertie d'un solide

a) Moment d'inertie par rapport une droite A 2

1A

iA

1d2d

id()

Figure 4.11

Soit une droite b g (figure 4.11). Si l'on dsigne par d i les distances des points A i du solide Sb g par rapport b g, on dfinit le moment d'inertie de Sb g par rapport b g par : I S m di i

i b g = 2 . (4.50)

Dans le cas d'une seule masse (Figure 4.8), ( ) 2Oz mSI 0 l= . Remarques : un moment d'inertie est toujours positif Dimension : I M L = 2 unit : kg m. 2

b) Moment d'inertie par rapport aux axes d'un repre R

M

K

x

y

z

22 zy +

22 zx +

22 yx +

Figure 4.12

Soit K un point quelconque. On considre la base B = r r re e ex y z, ,d i associe au repre R B= K,b g, ce repre n'tant pas ncessairement li Sb g. En dsignant par x y z, ,b g les coordonnes cartsiennes d'un point M dans le repre R ,

c'est--dire K M x e y e z ex y z = + +r r r , on peut

crire, d'aprs la dfinition du II4.a), les moments d'inertie par rapport aux trois axes du repre :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,mdyxyxmSIC

,mdzxzxmSIB

,mdzyzymSIA

masse de continuen rpartitio

SM22

i

2i

2iiKz

SM22

i

2i

2iiKy

SM22

i

2i

2iiKx

44 344 21

+=+==+=+==+=+==

(4.51-a)

(4.51-b)

(4.51-c)

o ( )22 zy + , ( )22 zx + et ( )22 yx + dsignent respectivement le carr de la distance du point M aux axes (Kx), (Ky) et (Kz) (figure 4.12). Exemple : Le moment d'inertie d'une tige, assimile une ligne (figure 4.9) par rapport l'axe

0Oz est ( ) 3mSI 2Oz0 l= . Il convient de noter que le moment d'inertie par rapport un axe parallle, par exemple l'axe 0Gz passant par le centre de masse G du solide, n'est pas gal

3m 2l : ( ) ( )SISI00 GzOz .



c) Produits d'inertie par rapport aux plans de coordonnes d'un repre R

Dfinition : on appelle "produit d'inertie" du solide Sb g par rapport aux deux plans de coordonnes x = 0 et y = 0 , la quantit :

J S m x yKx Ky i ii

ib g = . (4.52) L'orientation des axes de coordonnes est essentielle ici pour obtenir le signe de ces produits d'inertie. ( )

( )( ) .mdyxyxmSJF

,mdzxzxmSJE

,mdzyzymSJD

masse de continuen rpartitio

SMii

iiKyKx

SMii

iiKzKx

SMii

iiKzKy

43421

=========

(4.53-a)

(4.53-b)

(4.53-c)

Remarques : - Les produits d'inertie sont des quantits positives, ngatives ou nulles. - On pourra se reporter au tableau de la figure 4.15 pour connatre les lments d'inertie en un point O , et les centres de masse de quelques solides homognes.

! Lorsque l'on cherche un lment d'inertie en un autre point que le point O , il faut utiliser le thorme de Huygens ( II.5.b).

d) Oprateur d'inertie

Dfinition : L'oprateur d'inertie du solide Sb g en un point K et exprim dans la base B = r r re e ex y z, ,d i peut s'crire sous la forme d'une matrice symtrique, appele matrice d'inertie:

I

B

K S A F EF B DE D C

b g=

LNMMM

OQPPP . (4.54)

Si la base B est associe un repre R B= K,b g li Sb g, alors I K Sb g ne dpend pas du temps.



y Axes principaux d'inertie

Thorme : Il existe au moins une base B , appele base principale d'inertie de Sb g au point K , telle que tous les produits d'inertie soient nuls, c'est--dire telle que la matrice d'inertie soit diagonale :

I

B

K S AB

C

b g=

LNMMM

OQPPP

0 00 00 0

. (4.55)

Tout axe de symtrie d'un solide est axe principal d'inertie. Tout plan de symtrie d'un solide est un plan principal d'inertie. Exemples : Solide de rvolution d'axe K e z, rd i :

R B= K,b g est repre principal d'inertie.

I

B

K S AA

C

b g=

LNMMM

OQPPP

0 00 00 0

K est centre de symtrie sphrique :

Tout axe passant par K est axe principal d'inertie.

I

B

K S AA

A

b g=

LNMMM

OQPPP

0 00 00 0

Kx y

z

(S)G

Figure 4.13

K

Figure 4.14



e) Elments d'inertie de quelques solides homognes usuels

Figure 4.15

! Lorsque l'on cherche un lment d'inertie en un autre point que le point O , il faut utiliser

le thorme de Huygens ( II.5.b).

C

e

n

t

r

e

d

e

m

a

s

s

e

e

t

l

m

e

n

t

s

d

'

i

n

e

r

t

i

e

a

u

p

o

i

n

t

O

d

e

q

u

e

l

q

u

e

s

s

o

l

i

d

e

s

h

o

m

o

g

n

e

s

u

s

u

e

l

s

S

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M

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s

:

A

i

n

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l

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e

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f

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c

y

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,

l

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c

.

.

.

N

.

B

.

:

l

e

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o

l

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"

c

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"

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u

p

p

o

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d

'

p

a

i

s

s

e

u

r

n

g

l

i

g

e

a

b

l

e

.



5 Centre de masse d'un solide

a) Rpartition de masse discontinue

Considrons un systme mcanique constitu d'un ensemble de points matriels A A n1,... dots des masses m m n1,... (figure 4.16). Les masses m i sont supposes

constantes dans toute la suite. Nous noterons par un tel systme : = =A m A m A mn n i i1 1, ,..., , ,d i d io t d io t,

Dfinition : Le centre de masse G d'un corps est le barycentre de la rpartition de masse du corps. Sa position est donne par :

=

=

= n

1ii

n

1iii

m

OAmOG , (4.56-a)

soit =

= n1i

iiOAmOGm , (4.56-b)

o m est la masse totale du systme. Remarque : En vertu du PFS, le centre de masse d'un corps est le point d'application de la force de pesanteur exerce sur ce corps, d'o le nom frquent de centre de gravit. Soit le repre R B= K,b g avec B = r r re e ex y z, ,d i. En vertu de la dfinition du centre de masse G donne au II.5.a), ses coordonnes cartsiennes x y zG G G, ,d i dans le repre R sont telles que :

m x m x

m y m y

m z m z

G i ii

G i ii

G i ii

===

(4.57)

O les x y zi i i, , reprsentent les coordonnes des points A i dans le repre R .

O

2A

3A

1A

A i

Figure 4-16



b) Thorme de Huygens pour les moments d'inertie

Thorme de Huygens : Le moment d'inertie d'un solide par rapport une droite est gal la somme du moment d'inertie par rapport cette droite de la masse du solide concentre au centre de masse G et du moment d'inertie du solide par rapport la droite parallle passant par G .

I S I S I m GG

m d

b g b g b g= + ,2

1 24 34 , (4.58)

o G est la droite parallle et passant par G , et d est la distance entre et G (figure 4.17) Exemples :

()d G

( )G Figure 4.17

Solide de rvolution d'axe K e z, rd i :

R B= K,b g est repre principal d'inertie.

I

B

K S AA

C

b g=

LNMMM

OQPPP

0 00 00 0

D'aprs le tableau de la figure 4.15

A I S M d M R M M zGx G= + = + +b g 2 2 2 214 112 l et C M R= 12 2 K est centre de symtrie sphrique :

Tout axe passant par K est axe principal d'inertie.

( )

=

A000A000ASK

B

I

D'aprs le tableau de la figure 4.15, A M R= 25

2

Kx y

z

(S)G

Figure 4.18

K

Figure 4.19



III CALCUL DES GRANDEURS DYNAMIQUES POUR UN SOLIDE RIGIDE 1. Application de l'oprateur un vecteur L'criture des grandeurs dynamiques comportera des termes de la forme ( ) ( ){ }0K /S BBI r , o B est la base associe au repre li au solide ( )S . Si l'on pose ( ) zzyyxx0 eee/ rrrr ++= BB , (4.59) alors les composantes de ( ) ( ){ }0K /S BBI r dans la base B sont :

( ) ( ){ }z

z

z

y

y

y

x

x

x

z

y

x0K

CDE

DBF

EFA

CDEDBFEFA/S

+

+

=

=

BBB

BBIr

. (4.60)

2. Torseur dynamique y La relation (4.5) donnant l'expression de la rsultante dynamique est toujours valable : ( ) ( )00 /Gm/d RR = rr , (4.61) y Le moment dynamique au point K peut s'exprimer sous la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ }0K0/

0K00K

/S/

td/d

S/SKGKm/S0

BBIBB

BBIRR

B

+

+=

rr

rrr

, (4.62)

o B est la base associe au repre li au solide ( )S . y Si, de plus, le repre 0R est galilen, l'nonc du Principe Fondamental de la Dynamique, nonc au I.2.a) se traduit par :

D RR R

R MS ext S

d S ext S

S ext SK K/

/

/0

0

0

d i l q d i b gd i b g= = =

RS|T|

r

r . (4.63)



3 Cas particuliers importants d'application du PFD

a) Solide en rotation autour d'une droite y Exemple du pendule compos, dj tudi partiellement au I.3.b).

x 0

ggg

z 0

O

G

y 0

x 1

y 1

l

Figure 4.20

Le systme de la figure 4.20 est constitu d'une tige pesante homogne ( )S de masse m de longueur l . Le centre de masse G est donc situ une distance 2l du point O. La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe ( )

0ze,Or avec le bti. La position de la

tige est repre par l'axe 1xO , faisant un angle avec l'axe 0xO (figure 4.8). Le repre ( )

000 zyx0 e,e,e,Orrr=R li au bti est

galilen, l'acclration de la pesanteur tant telle que 0xegg

rr = . Le repre ( )

011 zyx1 e,e,e,Orrr=R est li la tige, tel que ( ) ( ) ==

1010 yyxx e,ee,errrr .

3 Le systme tudi est la tige ( )S . 3 Les actions mcaniques extrieures sont :

x Action de la pesanteur : { } ( )P,GS r= avec 0xegmP

rr = ,

soit { }10 00

0singm0cosgm

G00000gm

GS

BB

=

= .

x Action du bti 0 sur la tige ( )S : { }S0 , tel que ( ) 0eS00zO =

rM ,

soit { }10Z

MYLX

OS0

B

= .

3 Le vecteur rotation associ au mouvement de 1B par rapport 0B est ( )

0z01 e/r&r = BB , (4.64)

et sa drive par rapport au temps et par rapport la base 0B est donc

( )

0

0

z

/

01 etd/d r&&

r=

B

BB . (4.65)

3 Le vecteur acclration du centre de masse G par rapport au repre 0R s'obtient partir de la relation (4.43), en remplaant l par 2l , et A par G, soit ( )

11 yx2

0 e2e2/Gr&&lr&l

r += R . (4.66)



La rsultante dynamique s'crit donc ( ) ( )

11 yx2

00 e2me2m/Gm/Sdr&&lr&l

rr +== RR . (4.67) 3 Le Principe Fondamental de la Dynamique s'crit, pour les rsultantes : ( ) ( )0/SdSext RR r= , (4.68) soit 2mcosgmX 2=+ &l , (4.69-a) 2msingmY = &&l , (4.69-b) et 0Z = . (4.69-c) 3 La tige tant assimile une ligne de longueur l , ses lments d'inertie au point O peuvent tre dduits des lments d'inertie d'un cylindre (plein ou creux) de rayon 0R = du tableau de la figure 4.15. Il convient de noter que, dans ce tableau, le point O joue le rle du centre de masse G de la figure 4.20, tout comme l'axe z joue celui de l'axe 1x . Par consquent, l'oprateur d'inertie au point O, relativement la base 1B (base associe au repre 1R li au

solide) est diagonal et est de la forme :

( )

=

C000B000AS

1

O

B

I , (4.70)

o ( ) ( ) 0SISIA11 GxOx === , (4.71-a)

( ) ( ) ( ) 3m2mSISIB 22GyOy 11 ll =+== , (4.71-b) et ( ) 3mBSIC 2Oz 1 l=== . (4.71-c) Remarque : Le moment d'inertie B de la tige par rapport l'axe 1yO est calcul ici en

utilisant le thorme de Huygens ( II.5.b), et avait t calcul directement au II.3.b). 3 L'oprateur d'inertie, appliqu au vecteur rotation ( )01 /BBr , s'crit donc

( ) ( ){ }

=

=

&&

r

C00

00

C000B000A/S

111

01O

BBB

BBI ,

soit ( ) ( ){ }00 z

2z01O e3meC/S

r&lr&r == BBI . (4.72)

3 De mme, en utilisant la relation (4.65), l'oprateur d'inertie, appliqu la drive du vecteur rotation ( )01 /BBr par rapport au temps et par rapport la base 0B ( ) ( )

00

0

z2

z

/

01O e3meCtd

/dS

r&&lr&&r

==

B

BBI . (4.73)



3 Le moment dynamique au point O du solide S par rapport au repre 0R , ( )0O /S Rr , s'crit, en utilisant la relation (4.62) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ,/S/td/d

S/SOGOm/S

01O01

/

01O00O

0

BBIBB

BBIRR

B

+

+=

rr

rrr

(4.74)

soit, en remplaant ( )0/SO Rr par le vecteur 0r (liaison pivot entre le solide S et le bti 0), et en utilisant les relations (4.72) et (4.73) ( ) ( )

000 z2

zz2

0O e3mee3m/Sr&lr&r&&l

r += R , d'o ( )

0z2

0O e3m/Sr&&l

r = R . (4.75) 3 Le moment au point des actions mcaniques extrieures est donn par ( ) ( ) ( )S0SSext O

PGO

OO +=

MMM 4434421 r ,

soit ( )2singm

00

0ML

0singm

cosgm

002

Sext

1111

O

=+

=

l

l

BBBBM . (4.76)

3 Le Principe Fondamental de la Dynamique s'crit, pour les moments au point O : ( ) ( )0OO /SSext RM = r , (4.77) soit 0L = , (4.78-a) 0M = , (4.78-b) et = &&ll 3m2singm 2 . (4.78-c) L'quation (4.78-c) donne l'quation du mouvement ( ) 0sin2g3 =+ l&& , (4.79) qui, sous forme linarise, s'crit 020 =+&& , (4.80-a) avec ( )l2g30 = , (4.80-b) o 0 est la pulsation propre des oscillations libres non amorties de la tige.



y Gnralisation au cas du solide en rotation autour d'une droite

Soit un solide Sb g en rotation autour de l'axe K e z, r 0d i (figure 4.21). On dsigne par R B0 0= K,d i le repre suppos galilen et par R B= K,b g le repre li au solide Sb g , avec B 0 0 0 0= r r re e ex y z, ,d i et B = r r re e ex y z, , 0d i. Le vecteur rotation associ au mouvement de B par rapport B 0 est

de la forme

r r B B/ 0 3 0d i = e z . (4.81) Le moment dynamique au point K du solide Sb g par rapport au repre 0R est donn par la relation (4.62)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ }0K0/

0K00K

/S/

td/d

S/SKGKm/S0

BBIBB

BBIRR

B

+

+=

rr

rrr

, (4.62)

3 D'aprs le III.1, II/5/c), l'oprateur d'inertie, appliqu au vecteur rotation ( )0/BBr , s'crit

( ) ( ){ }

3

3

3

3

0K

CDE

00

CDEDBFEFA/S

=

=

BBB

BBIr

, (4.82)

donc ( ) ( ) ( ){ }0

ED

CDE

00

/S/ 23

23

3

3

3

3

0K0

=

=BBB

BBIBBrr

, (4.83)

3 De mme, l'oprateur d'inertie, appliqu la drive du vecteur rotation ( )0/BBr par rapport au temps et par rapport la base 0B s'crit

( ) ( )3

3

3

3/

0K

CDE

00

CDEDBFEFA

td/d

S0

=

=

&&&

&

r

BB

BBI

B

. (4.84)

3 Si on prend le centre de gravit G pour point K , c'est--dire K G , alors : K G

= r0 (4.85)

z 0

K

G(S)

Figure 4.21



3 Si B = r r re e ex y z, , 0d i est base principale d'inertie, alors D E F= = = 0 et donc :

r r r K zS m K G K S C e/ / &R R0 0 3 0d i d i= + . (4.86) Or K est un point fixe de Sb g par rapport R 0 donc r r K S =/R 0 0d i , d'o ( )

0z30K eC/Sr&r = R . (4.87)

c) Solide en translation par rapport R 0

Dans ce cas,

r r B B/ 0 0d i = et donc :

r r K S m K G K S/ /R R0 0d i d i= . (4.88)

Remarque : dans ce cas, on prendra toujours K G , ce qui revient crire :

r r G S /R 0 0d i = . (4.89)

d) Solide ayant un point fixe par rapport R 0

Dans ce cas,

r r K S =/R 0 0d i , d'o :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0K0/

0K0K /S/td

/dS/S

0

BBIBBBB

IRB

+

= rrrr

(4.90)

4 Cas gnral d'un systme mcanique de solides rigides De manire gnrale, un systme mcanique est constitu de plusieurs solides rigides S 1d i, S 2d i, ... S nd i, tous en mouvement par rapport un repre R B0 0 0= O ,d i .

On peut attacher chaque solide S id i un repre R Bi i iK= ,d i et ainsi dfinir les vecteurs rotations associs au mouvement de B i par rapport B 0 ,

r B Bi / 0d i . En revanche, on ne peut pas lier un repre au systme , ni dfinir un vecteur rotation associ son mouvement par rapport R 0.



Le torseur dynamique de par rapport R 0 est alors la somme des torseurs dynamiques de chaque solide S id i :

D R D RR R R R

M R R

/ /

/ / /

/ /0 0

1

0 0 01

0 01

d i d i d i d i d id i d i= = =

=

RS||T||=

=

=

S

m G m G

Si

i

n i ii

n

K K ii

n

r r

r

(4.91) 5 Mise en quations d'un problme La mise en quations d'un problme de dynamique pour l'tude du mouvement d'un systme matriel quelconque procde d'une dmarche qui reprend chacune des tapes de la modlisation telles que nous les avons dcrites dans l'Introduction de ce cours. Cette marche suivre a dj t partiellement aborde au chapitre 3 dans le cas d'un problme de statique. Nous la dcrivons en dtail prsent dans le cas de la dynamique d'un systme constitu de solides rigides, en illustrant nos propos sur l'exemple de la figure 4.22 qui reprsente la nacelle d'un mange voltigeur : un bras S1 est entran d'un mouvement de rotation autour de l'axe vertical du mange par un moteur (non reprsent). L'axe S2 de la nacelle est articul S1 par une liaison de type cardan, dont le dtail est port sur la figure 4.22-b o l'on distingue le croisillon %S . La nacelle S3, suppose sphrique, tourne librement autour de son axe S2.

S

S

S

S

So

o

1

2

3

1 2

3

2

x

x

x

y

yy

z

zz

0

0

0

1

1

~

~

~z 1

2

O

A

B

C

H

S

S

1

2

2

2

x

x

y

y

zz

1

1

~

~

~

z 12

A

S~

y2

figure 4.22-a figure 4.22-b



a) Les tapes de la modlisation Il convient avant toutes choses de bien identifier le systme mcanique que l'on se propose d'tudier et d'en distinguer les diverses parties. Dans le cas prsent, il s'agira d'un ensemble de solides supposs indformables, chacun des solides tant une partie constitutive du systme total. On doit en outre prciser l'espace d'observation du mouvement, en gnral par la donne d'un repre, et savoir si ce repre peut tre considr comme galilen. Etape gomtrique On dcrit d'abord la forme schmatique de chaque constituant et l'on dsigne ses dimensions essentielles. Le bras S1 a la forme d'un barreau horizontal OA de longueur a, l'axe S2 est assimil une tige rectiligne AB de longueur l , la nacelle est schmatise par une boule sphrique de centre C et de rayon R. Les relations gomtriques, c'est--dire le type des liaisons, entre les constituants sont ensuite indiques : liaison de cardan entre S1 et S2 se traduisant par les deux pivots S S1 / % et % /S S2, liaison pivot entre S2 et S3. Le systme est souvent li une ou plusieurs pices externes, fixes dans le repre d'observation, que l'on appelle le bti. Dans l'exemple considr, le constituant S1 est li au bti S0 par une liaison pivot. Ce premier travail tant fait, on introduit les paramtres de position du systme. Il convient pour cela de choisir le repre (en gnral galilen) de l'espace d'observation par rapport auquel sera dcrit le mouvement. Il est souvent utile d'introduire galement des repres mobiles lis aux divers constituants ainsi que certains repres intermdiaires. La figure 4.22 comporte les repres ncessaires au positionnement du systme :

- R0 0 0 0= O x y z,b g li au bti fixe S0 et suppos galilen, - R1 1 1 1= A x y z,b g li au bras S1, - R2 2 2 2= A x y z,b g li l'axe S2 mais dont seuls les axes Ay2 et Az2 sont dessins, - % , % % %R = A x y zb g intermdiaire entre S1 et S2, mais en ralit li au croisillon du cardan. - R3 3 3 3= C x y z,b g li la nacelle S3, non reprsent, dont l'axe Cz3 conciderait avec Az2.

Les paramtres de position peuvent alors tre dfinis : ce sont des grandeurs algbriques, qui entreront comme telles dans les quations. Il importe donc de prciser avec soin comment leur



signe est dfini. Dans l'exemple 4.22, quatre angles algbriques dterminent la position du systme par rapport au repre fixe R0 :

- 1 0 1=r re ex x,d i valu positivement selon rez0 ,

- 2 1=r re ex x, %d i valu positivement selon r re ez z0 1= ,

- 2 2=r re ez z% ,d i valu positivement selon rey% (il est donc ngatif sur la figure),

- 3 2 3=r re ex x,d i valu positivement selon rez2 .

Etape cinmatique Le temps tant introduit, il s'agit d'examiner quels sont les divers mouvements possibles du systme, indpendamment des efforts qui lui seront appliqus mais en tenant compte des liaisons gomtriques qui viennent d'tre analyses. Les calculs de vecteurs vitesse et acclration font partie de cette tape ainsi que l'criture ventuelle de conditions de roulement sans glissement. Des quatre angles introduits ci-dessus, le premier est une fonction connue du temps ds lors que le mouvement du bras S1 est une rotation uniforme impose par le moteur : 1 = t . Les trois autres angles sont des fonctions inconnues du temps qui seront dtermines par rsolution du problme de dynamique. Les supposant provisoirement connues, on peut calculer les vitesses de tous les points du systme. On appliquera par exemple le thorme de composition des vitesses et les champs de vitesses relatives seront calculs comme moments des torseurs distributeurs des vitesses appropris. En utilisant les notations dfinies au chapitre 1, on peut crire : - R R1 0/ :

r r R R1 0 0/d i= ez , r rV O =R R1 0 0/d i =

=

RS|T|UV|W|

V R RB

1 0

1 0

0 00 0

0/

&d i

O (4.92)

- R R2 1/ :

r r r R R2 1 2 21/ & & %d i= + e ez y , r rV A =R R2 1 0/d i =

RS|T|UV|W|

V R RB

2 1 2

2

0 000

/ && %

d iA

(4.93)

- R R3 2/ :

r r R R3 2 3 2/ &d i= ez , r rV C =R R3 2 0/d i =

RS|T|UV|W|

V R RB

3 2

3 2

0 00 0

0/

&d i

C (4.94)



Etape cintique Les masses et leurs rpartitions sont ensuite dcrites. La schmatisation des solides est ici essentielle mais elle n'est pas suffisante. Des prcisions complmentaires sont ncessaires. Dans le cas du bras S1, dont le mouvement est impos, les prcisions sur sa masse ne sont pas primordiales pour l'tude du mouvement. Elles pourraient toutefois intervenir dans le calcul de certaines forces exerces sur le bti et des rsistances rencontres par le moteur. On pourra prciser alors, outre la masse totale m1, la position du centre de masse G1 et le moment d'inertie I SOz0 1b g. L'axe S2 sera par exemple assimil une tige d'paisseur ngligeable, rpartition de masse homogne, de masse totale m2 . Son centre de masse G2 sera alors le milieu de la tige AB et l'on saura calculer son moment d'inertie par rapport toute mdiatrice. Le croisillon %S du cardan pourra tre suppos de masse ngligeable. On prcisera enfin, pour la nacelle, sa masse totale m3. S'il s'agit d'une sphre homogne, son centre de masse est alors son centre C et ses moments d'inertie par rapport tout diamtre peuvent se calculer. Ces donnes permettent alors de calculer tout torseur cintique ou dynamique de chacun des constituants donc du systme total. Etape physique L'tape physique commence par l'inventaire de tous les efforts s'exerant sur le systme considr, tant intrieurs qu'extrieurs. Puis on nonce les lois de forces correspondantes et l'on prcise les torseurs qui reprsentent ces efforts. On identifie, parmi les composantes des vecteurs ainsi crits, celles qui sont a priori inconnues. Dans l'exemple considr, l'ensemble du systme est soumis au champ de la pesanteur terrestre. L'tape cintique ayant prcis la rpartition des masses, on peut dire que l'action de la Terre se ramne aux trois forces suivantes, reprsentes par des glisseurs :

G m gez1 1 0, rd i , G m gez2 2 0, rd i , C m gez, 3 0rd i

Les efforts extrieurs sont complts par les actions de liaison du bti S0 sur le bras S1. Ceux-ci sont caractriss par une rsultante et un moment que l'on considrera au point O situ sur l'axe de rotation. Les six composantes correspondantes sont inconnues, mais la troisime



composante du moment a une signification particulire : elle reprsente ce que l'on appelle communment le "couple moteur" exerc sur le bras.

{ }010

1

1

1

1

1

01

1

1

1

1

1

10

N00

000

O0ML

ZYX

ONML

ZYX

OSS

BBB

+

=

= (4.95)

o l'on a mis en vidence dans ce dernier membre la somme des actions d'une liaison pivot sans frottement (chapitre 2) et de l'action du moteur, en effet rduite un couple dans cette dcomposition. Les actions intrieures sont constitues des interactions entre les divers solides du systme. On doit faire des hypothses sur la qualit de ces liaisons, faute de quoi le mouvement ne pourrait tre dcrit. Par exemple, on supposera que la liaison cardan entre S1 et S2 est parfaite c'est--dire que les deux pivots correspondants sont sans frottement. En termes de torseurs d'efforts, on crira donc :

{ }B

~0Z~M~Y~L~X~

AS~S1

= , { }B

~NZ0Y

LX

ASS~

22

2

22

2

=

D'aprs le thorme des corps intermdiaires de masse ngligeable, ces deux torseurs sont gaux. On peut donc crire directement :

{ }B

~0Z0Y

LX

ASS

2

2

22

21

= (4.96a)

On peut alors remarquer que la liaison entre S1 et S2 peut galement tre modlise par une liaison sphrique doigt. Certaines forces intrieures peuvent tre connues en fonction des paramtres de position, en obissant alors certaines lois. Ainsi, on pourrait envisager qu'un ressort de rappel ramne le croisillon dans sa position de rfrence pour laquelle son plan est perpendiculaire au bras S1 (2 0= ). Une loi de rappel linaire de coefficient k conduirait l'expression du moment des actions correspondantes par rapport l'axe Az1. On aurait alors :

{ }B

~kZ0Y

LX

ASS

22

2

22

21

= (4.96b)



De la mme faon, une liaison pivot parfaite entre la nacelle et son axe conduit au torseur d'action suivant :

{ }23

33

33

32

0ZMYLX

CSS

B

= (4.97)

On remarquera, en comparant les torseurs distributeurs des vitesses dtermins lors de l'tape cinmatique et les torseurs d'action prcdents :

quations (4.92) et (4.95) , (4.93) et (4.96) , (4.94) et (4.97) que chaque liaison entre deux solides de ce systme introduit six inconnues, paramtre de position ou composante d'effort (rsultante ou moment). D'une manire gnrale, une liaison introduit n inconnues (n 6) lies par n 6 quations. Dans le cas prsent, on est donc en prsence de 18 inconnues : les trois angles a priori inconnus en fonction du temps (1 est connu) et 15 inconnues de liaison, dont le couple moteur N1. Etape dynamique Il s'agit maintenant de faire appel au PFD afin d'obtenir les quations ncessaires l'tude du mouvement. L'identification d'un repre galilen, si elle n'a pas encore t faite, est prsent indispensable. Le PFD met en jeu le torseur dynamique du systme, donc de chacun de ses constituants, par rapport ce repre. L'tape cintique a donn tous les lments ncessaires ce calcul :

D R D R D R D R / / / /0 1 0 2 0 3 0d i d i d i d i= + +S S S

On remarquera que le corps intermdiaire %S , de masse ngligeable, a un torseur dynamique nul. L'tape cinmatique aura dj fourni certaines quations de nature cinmatique comme des conditions de roulement sans glissement ou des expressions telles que 1 = t . L'tape physique aura galement permis d'crire les quations traduisant les lois de forces ou plus simplement de dclarer que certaines inconnues de forces de liaison sont nulles. Il reste complter ces quations par celles qui expriment le PFD. L'application du PFD un systme composite relve d'une stratgie qui est dcrite dans le paragraphe suivant.



b) Stratgie pour l'application du PFD L'application du PFD un systme matriel donn se traduit par l'galit de deux torseurs et fournit par suite 6 quations scalaires. Chaque solide constitutif du systme met en jeu 6 inconnues : ce sont les 6 paramtres de position si le solide est compltement libre (systme plantaire par exemple) ou, dans les cas les plus simples, un nombre infrieur de coordonnes, gal au nombre de degrs de libert de la liaison du solide, complt 6 par des inconnues de liaison, comme on l'a fait remarquer la fin de l'tape physique ci-dessus. Afin d'obtenir autant d'quations que d'inconnues, il convient donc d'appliquer autant de fois le PFD que le systme total comporte de composantes solides. Cette application multiple du PFD rsulte galement d'une autre ncessit : celle de faire intervenir au moins une fois, dans l'criture des quations, les actions de liaison entre deux constituants solides du systme. En effet, il serait illusoire de penser que l'application du PFD au seul systme total puisse conduire l'tude complte du mouvement, puisque cette application ne fait intervenir que les actions extrieures ce systme et ne permet donc pas d'exprimer la qualit physique des liaisons internes au systme. Nous avions dj signal ce point propos des problmes de statique (chapitre 3). Mais cette application rpte du PFD doit tre bien comprise et elle donne lieu une stratgie qu'il faut matriser. Nous en indiquons ci-dessous les points essentiels. Il faut faire intervenir au moins une fois les actions entre deux constituants, le thorme de l'action-raction tant bien sr acquis. Pour ce faire, le PFD sera appliqu un sous-systme contenant l'un des solides mais pas l'autre, de telle sorte que ces actions apparaissent comme extrieures dans cette application. Ainsi, dans l'exemple, l'application du PFD au sous-systme S S1 2+ rend les actions de la nacelle S3 sur son axe S2 extrieures. L'application rpte du PFD doit conduire des quations indpendantes. La considration successive des trois systmes S S1 2+ , S1 et S2 ne donnerait pas 18 quations indpendantes, mais 12 seulement compte tenu du thorme de l'action-raction (qui a d'ailleurs t dmontr ainsi). Afin d'obtenir les quations les plus simples possibles, il faut s'efforcer de faire intervenir chaque application du PFD un nombre d'inconnues minimum en prenant en compte le moins d'actions de liaison possible. Dans cette optique, l'application successive du PFD aux systmes rduits chacun des solides S1, S2 et S3 de l'exemple, si elle fournit bien 18



quations indpendantes, n'est pas optimale. Dans cette stratgie, les actions entre S1 et S2, de mme que celles entre S2 et S3, interviendraient deux fois. Une stratgie plus conomique consiste ici appliquer successivement le PFD aux systmes S3, S S2 3+ et S S S1 2 3+ + . Elle conduit 18 quations indpendantes et elle ne fait intervenir chaque action interne qu'une fois. Parmi les inconnues du problme, on distingue : les inconnues principales qui sont les paramtres de position du systme dont la dtermination en fonction du temps permet de connatre le mouvement; les inconnues auxiliaires constitues des composantes a priori inconnues des forces de liaison tant externes qu'internes. Leur dtermination peut tre importante sur le plan de la tenue mcanique du systme mais elle n'est pas primordiale pour l'tude du mouvement, l'exception des cas o certaines valeurs seuil de ces inconnues auxiliaires dterminent la nature du mouvement (contact avec frottement par exemple). On cherchera donc frquemment extraire de l'ensemble des quations rsultant de l'application du PFD celles qui ne font intervenir que les inconnues principales. De telles quations sont dites "quations du mouvement". L'examen attentif des proprits des liaisons internes et externes donnera souvent la possibilit d'obtenir directement ces quations. Sur l'exemple considr, il convient d'obtenir trois quations ne faisant intervenir que les inconnues principales 2, 2 et 3 (1 tant connue par ailleurs). On y parvient par la stratgie suivante : - PFD pour S3 seul :

galit des moments au point C, projete sur le vecteur de base rez2 1 quation. - PFD pour S S2 3+ :

galit des moments au point A, projete sur les vecteurs de base rey% et rez% 2 quations.

Parmi les inconnues auxiliaires, le couple moteur N1 est important connatre. On dterminera sa valeur en fonction des inconnues principales sans introduire d'inconnues supplmentaires par application du PFD au systme S S S1 2 3+ + :

galit des moments au point O, projete sur le vecteur de base rez0 N1.

c) Cas particulier des systmes plans Un systme mcanique peut souvent tre schmatis par un systme plan, mme si son paisseur n'est pas ngligeable. On a dj trait de tels systmes en statique au chapitre 3 et



l'on a tudi la cinmatique des systmes plans dans le chapitre 1. Le III.6 traitera un exemple de ce type en dynamique. Les vecteurs ordinaires (vitesses, acclrations, forces) sont dans le plan et ont par suite deux composantes. Les pseudo-vecteurs (rotations instantanes, moments des forces) sont perpendiculaires au plan et n'ont par suite qu'une composante sur la direction oriente conforme l'orientation du plan. Chaque solide dans le plan dpend de trois paramtres et chaque constituant solide du systme introduit donc trois inconnues, principales ou auxiliaires. L'application du PFD, par galit des torseurs, conduit l'criture de trois quations scalaires. Mises part ces diffrences numriques, tout ce qui a t dit ci-dessus au niveau des tapes de la modlisation (dont la reconnaissance du caractre plan du modle fait partie) puis de la stratgie pour l'application du PFD demeure valable. 6. Exemple

Soit le systme constitu d'une tige S 1d i d'extrmits A et C et d'un

cerceau S 2d i, comme le montre la figure 4.23. On dsigne par S 0d i le bti et par R B0 0= O,d i, avec B 0 0 0 0=

r r re e ex y z, ,d i, le repre qui lui est li.

La tige S 1d i est de longueur 2l, homogne de masse M et a pour centre de masse G , milieu de AC. Son extrmit A est astreinte se dplacer sans frottements sur l'axe O e y,

r0

d i . Le cerceau S 2d i est homogne de masse m, il a pour rayon r et pour centre de masse C, et il est li la tige S 1d i par une liaison pivot sans frottements d'axe C e z, r 0d i. La liaison entre ce cerceau et le bti S 0d i peut tre modlise par une liaison ponctuelle en K. Le coefficient de frottement entre les deux matriaux constituant le cerceau et le bti est not f .

G

A

C

O

r

x 0

d iS 1l

.B0

ex

0ez

0

ey

0

S 2d i

S 0d i

l

y 0

S 0d iK

figure 4.23



Soit = FHG IKJ re A Cx0 , . Vue l'orientation de l'espace, < 0 dans la position de la figure. La

position du cerceau autour de son axe C e z,r

0d i est repre par le paramtre angulaire .

Si l'on dsigne par x l'abscisse du point de contact K entre le cerceau S 2d i et le bti S 0d i, on est conduit crire : x OK= = 2lcos . A l'instant initial t = 0, on suppose que le systme est au repos : & = 0, & = 0. Le plan de l'tude est le suivant : Inventaire des actions appliques aux divers solides Application du PFD : appliquant les principes exposs au 10-4-1, on considrera successivement les systmes suivants : - systme = S S1 2d i d i - solide S 2d i Ecriture de la condition de roulement sans glissement en K et rsolution du problme. Etude du mouvement commenant t = 0, avec les conditions initiales de repos.

a) Inventaire des actions appliques

G

A

C

O

r

x 0

d iS 1l

.B0

ex

0ez

0

ey

0

S 2d i

S 0d i

l

y 0

S 0d i

K

F

A

P1

2

P

R C

R K

figure 4.24

Action de la gravit : =S G P1 1n s d i, r avec r rP M g e y1 0= =S C P2 2n s d i, r avec r rP m g e y2 0= Action de S 0d i sur S 1d i : S S A FA0 1 =n s d i, r avec r rF F eA A x= 0 Action de S 0d i sur S 2d i : S S K R K0 2 =n s d i, r avec r r rR T e N eK K x K y= +0 0



Action de S 1d i sur S 2d i : S S R MC C1 2 =n s n sr r, . Or la liaison pivot d'axe C e z,

r0

d i est sans frottements donc r rM eC z =0 0 . De plus, le problme est plan donc

r r r rM e M eC x C y = =0 0 0. Finalement, S S C R C1 2 =n s d i, r avec r r rR X e Y eC C x C y= +0 0 .

b) Application du PFD au systme = S S1 2d i d i Le repre R 0 pouvant tre considr comme galilen, l'nonc du PFD conduit :

ext = l q d iD R/ 0 c'est--dire : + + + =S S S S S S1 2 0 1 0 2 0n s n s n s n s d iD R / , ou encore :

r r r r rP P F R dA K1 2 0+ + + = /Rd i (4.98)

et K G P K C P K A FA K + + =r r r r1 2 0 /Rd i. (4.99)

avec

r r rd M G m C / / /R R R0 0 0d i d i d i= + (4.100)

et r r r K K KS S / / /R R R0 1 0 2 0d i d i d i= + (4.101)

Calcul des rsultantes :

O G O A A G = + donc

O Gr

B 0 0

ll

cossin

, (rappelons que < 0).

r llV G d O G

d t/

/

& sin& cosR

B B0

0 0 0d i = FH

GGIKJJ =

d'o r

ll G d O G

d t/

/

&& sin & cos&& cos & sinR

B B0

2

2

0 0

2

2

0d i d id i= FH

GGIKJJ =

+

(4.102)

O C O K K C r = + =

B 0

2

0

lcos donc

rl rV C e x/ & sinR 0 2 0d i = ,

d'o r

l r C e x/ && sin & cosR 0 22 0d i d i= + . (4.103)



En combinant les quations (4.98), (4.102) et (4.103), on obtient, en projection sur les vecteurs re x0 et

re y0 : F T M mA K+ = + +l l&& sin & cos && sin & cos 2 22d i d i (4.104) + = M g m g N MK l && cos & sin 2d i (4.105) Calcul des moments au point K : D'aprs la formule de changement de point,

( ) ( ) ( )( )43421

rrrr

0/GM

0101G01K /SdGK/S/SR

RRR

+= , (4.106)

avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }011G01/

011G01G /S/td

/dS/S

0

BBIBBBB

IRB

+

= rrr

r.

Or, d'aprs les calculs effectus au III.3.a),

I

B

G SB

B

1

1

0 0 00 00 0

d i=

LNMMM

OQPPP o B

M= l2

3

Si B1 dsigne une base associe un repre li au solide S 1d i, alors :

r r r S e z1 0 1 0 0/ / &B B Bd i d i= = , o = r re ex x0 1,d i et r le A Cx1 2=

.

donc ( )0z

2

01G e3M/S

r&&lr = R .

D'aprs l'quation (4.106), on a alors :

r

l

ll

ll

K S

Mr

M

M1 0

0

2

0 0

2

200

30 0

/&&

cossin

&& sin & cos&& cos & sinR

BB B

d i d id i= + + , ce qui conduit, tous calculs faits :

r l l

l r

K

z

S M M

M r e

1 0

22 2

2

32 2

0

/ && && cos & sin

&& sin & cos

Rd i d id it

= + RST+ +

(4.107)



( ) ( ) ( )002C02K /CmCK/S/S RRR += rrr , (4.108) De la mme manire que prcdemment, on trouve : ( )

0z2

02C erm/Sr&&r = R ,

donc r l

K S

m rr

m

2 0

02

0 0

200

0

0

200

/&&

&& sin & cosR

B B Bd i d i= + +

d'o r

l r K zS m r m r e2 0 2 22 0/ && && sin & cosRd i d io t= + + (4.109)

K G P r M gM g

= =rll

l1

0 0 00

0

0

00

B B B

cossin

cos

K C P r e m g ey y = =r r r r2 0 0 0b g

K A F rF

F rA

A

A

= =

r l

llB B B0 0 0

22

000

002

cossin

sin

b g d'o :

M g F r M m r

M m r

M

Al ll

l

l

cos sin && &&

&& sin & cos&& cos & sin

= ++ + ++

23

2

2 2

22

2

2 2

b gb g d i

d i (4.110)

c) Application du PFD au solide S 2d i

L'nonc du PFD conduit ext S S =2 2 0n s d iD R/ , c'est--dire : + + =S S S S S S2 0 2 1 2 2 0n s n s n s d iD R/ , ou encore :

r r r rP R R m CK C2 0+ + = /Rd i , (4.111-a)

ce qui conduit deux quations scalaires

( )

=++=+

.gmYN,cossinm2XT

CK

2CK &&&l

(4.111-b)(4.111-c)

et ( )02CK /SRKC R= rr . (4.112) L'quation (4.112) s'crit encore :

B B0 0

20

0 00

=rTN m r e

K

K z&& r ,

d'o = &&rmTK . (4.113)



d) Rcapitulatif des quations et des inconnues du problme Inventaire des inconnues 3 forces inconnues : FA , TK et N K 2 angles : et En tout 5 inconnues Inventaire des quations L'application du PFD au systme = S S1 2d i d i conduit 3 quations (4.104), (4.105) et (4.110). L'application du PFD S 2d i conduit 1 quation (4.113). Si l'on prend maintenant en compte l'hypothse de roulement sans glissement, on disposera alors d'1 quation supplmentaire, ce qui conduit finalement 5 quations. Conditions vrifier Il faut vrifier par ailleurs que FA > 0 et N K > 0. L'hypothse de non glissement impose galement par ailleurs : T f NK K< . (4.114)

e) Condition de roulement sans glissement La condition de roulement sans glissement en K s'crit : r rV K 2 0 0/Rd i = . Or

r r rV K V C S C K2 0 2 0 2 0/ / /R R Bd i d i d i= + ,

donc r r0

00

0

00

0 0

= + &&

x e rxB B

,

c'est--dire & &x r+ = 0. (4.115)



Or x = 2lcos donc l'quation (4.115) s'crit : + =2 0l & sin & r ,

f) Etude du mouvement commenant t = 0 Pour connatre && t = 0, il faut driver une nouvelle fois par rapport au temps : + + =2 02l && sin & cos && d i r . (4.116) Les cinq quations (4.104), (4.105), (4.110), (4.113) et (4.116) s'crivent, t = 0 et donc pour & = 0 : F T M mA K+ = + 2b gl && sin (4.117) + + = M m g N MKb g l && cos (4.118)

M g F r M m r M m r

M

Al ll l

l

cos sin && && && sin

&& cos

= + + ++

23

2

2

22

2

b g b g (4.119)

T m rK = && (4.113) + =2 0l && sin && r . (4.120) Les quations (4.113) et (4.120) impliquent : T m r mK = =&& && sin 2 l . (4.121) En remplaant TK par son expression dans l'quation (4.117), on obtient : F M m mA = + 2 2b gl l&& sin && sin , d'o F M mA = + 4b gl && sin (4.122) En remplaant FA et m r 2 && par leurs expressions dans l'quation (4.119), on a alors :

M g M m r

M m r M m r M

l l ll l l l

cos && sin sin

&& && sin && sin && cos

+ + = + + + +

4 2

32 2 2

22

b g b gb g ,

ce qui va permettre d'obtenir && :

M g r M m M m m

M m M M

l l

l

cos && sin

&& sin cos

+ + + + LNM OQP =

4 2 2

2 4 23

02 2

b gb g ,

c'est--dire M g m Ml lcos && sin sin cos + + +FHG IKJLNM OQP =2 2 2 28 2 13 0,



c'est--dire M g m Ml lcos && sin + +FHG IKJLNM OQP =2 28 1 13 0, c'est--dire M g m Ml lcos && sin = LNM OQP2 28 43 ,

d'o && cossin

= +3

4 6 2M gm Mld i (4.123)

On en dduit donc que && > 0. Or < 0 donc, d'aprs l'quation (4.122), on vrifie bien que FA > 0. En remplaant && par son expression dans l'quation (4.120), on a : r M g

m M&& sin cos

sin = +

Chap4 Dynamique Solide VAS2 Potel Gatignol

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