Chap1_Torseurs
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Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 1
Pr : H.FATMAOUI
Chapitre 1 Torseurs
1.1 Bases 1.1.1 Pointeur / Vecteur Glissant et moments Un Pointeur est un vecteur
V li un point A. on le note (A,
V ) .
On appelle Moment en P du pointeur (A,
V ) le vecteur
= VPAVAM P ),(rr
Un Vecteur Glissant est un vecteur
V li une droite //
V . on le note (,
V ) Pour une droite //
V fixe, on a :
BA,
==+== ),()(),( VBMVPBVVPBVPAVAM PPrrrr
pour A qcq
1.1.2 Relation fondamentale des moments
QP,
+== VPAVQPVQAVAM Q ),(rr
soit : QP,
+= VQPVAMVAM PQ ),(),(rrrr
Vr
P A
),( VAM Prr
A
B
),( VM Prr
Vr
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Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 2
1.2 Torseurs
Etant donn un champ de pointeurs { }niVAM ii ...1),( == r
ou un champ de vecteurs glissants { }niVVAM iii ...1)),,(( == rr on dfinit le Torseur T associ au champ M au point P comme le couple dun vecteur et dun vecteur li P :
{ }
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Pen rsultant Moment
RsultanteR avec
),(1
1
1
1
PP
n
iiiP
n
ii
P
n
iiiPP
n
ii
P
MVPAM
VR
VAMM
VRT
r
rr
r
On appelle Rr
la Rsultante du torseur et PMr
le Moment rsultant en P, ce sont les 2 Elments de rduction en P.
1.2.1 Proprits
1.2.1.1 Dplacement
QP, Qn
ii
n
iii
n
ii
n
iiiP MVPQVQAVPQVPAM
rr+=+==
=
=
=
=
1111 soit :
QP,
+=+= QPRMRPQMM QQPrrr
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Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 3
1.2.1.2 Invariant Scalaire
Le produit scalaire I =
RM P est indpendant du point P, on l'appelle Invariant Scalaire du Torseur.
Dmonstration : QP, I =
=+= RMRRPQRMRM QQP )(
Corollaire
La projection de
PM sur
R est donc indpendante du point P.
1.2.2 Somme
La somme de 2 torseurs revient la runion de leurs 2 champs de vecteurs, elle sobtient par sommes des lments de rduction au mme point P.
{ } { }
21
21
2
2
1
121
PPPPPPPP
PP
MMM
RRR
M
R
M
RTTP
+=
+==
+
=+
Dmonstration
{ } { } { } ),(),( 21
21
1 12211
1 121
2121
PPPPP
n
i
n
iiiPiiPP
n
i
n
iii
PPP
MMM
RRR
VAMVAMM
VVRTTTTP
+=
+==
+=
+=
==+
= =
= =
1.2.3 Comoment
Le Comoment de 2 torseurs est dfini par le calcul suivant.
1221
2
2
1
1
+=
= PP
PPPP
P MRMRM
R
M
RP ce calcul est indpendant de P !
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Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 4
Dmonstration : PPP
PPQQQ
PRQPRRQPRPRQPRRQPRP
RQPMRRQPMRMRMRP
=
+
+=
+
+=
++
+=+=
12211221
1122211221
,,,,
1.2.4 Axe central
Thorme et dfinition Si
0R le lieu de tous les points Q tels que
QMR // existe et est une droite
R// appele Axe
central du torseur :
=
RQ ,0 Dmonstration
+=
+
=
+=
+=
+==
ROQOQ
RR
OQR
R
MROQ
ROQRMROQR
RQORQORMR
RQORMRMRMR
o
O
O
O
OQQ
22
2
20
0//
rr
r
r
ou : si un tel point Q0 existe les autres vrifient
+==
RQQRMRMR QQ 000 soit :
===
=
=
RQQRRR
QQRQQRQQRQQRRQQR ,0 02 00002
0 rr
- calcul de Q0 dans le plan
=
RO, soit tel que : 00
= OQR
0
2
000 0//
=
== OQRMRROQRMRMRMR OOQQ
r
On a donc :
+
=
= R
R
MROQR
MROQ OO 220 rr
Proprits
Le moment est constant sur laxe central, et sa norme y est minimum, plus prcisment il vient :
= RR
IMQ Q 2r et RIM Q r=
est le moment minimum du torseur
Dmonstration
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Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 5
=+=
+=
+
+=+=
RR
IMRR
IM
MR
RRRR
MRMRR
MRRMRQOMMQ
OO
OO
OO
OOQ
22
222
rr
rrr
P
( ) 000
0 2
0
22
00
0
0et ,//QpQp
Q
QPMMRPQMM
RPQRRPQRMRPQMM
>+=
+=
1.2.5 Equiprojectivit
Un champ de vecteurs lis ( ){ }3, REPVP P est dit quiprojectif ssi il vrifie :
PM VMPVMPEPM = ,
Cela revient dire que EPM , les projections de MV et PV sur la droite (MP) sont gales.
Thorme Le champ ( ){ }3, RPMP P des moments dun torseur est quiprojectif :
PM MMPMMPPM = ,
Dmonstration : ( ) ( ) 0, === RMPMPMMMPMMPMMPPM PMPM
Thorme rciproque
Tout champ ( ){ }3, RPVP P quiprojectif est le champ des moments dun torseur.
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Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 6
Lemme tout champ V quiprojectif vrifie ( ) ( ) OMVVOPVVPMO OPOM = ,,
Dmonstration du Lemme : ( ) ( ) ( )OPMOVVVVMPVVPMO POOMPM ++== 0,, Soit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OMVVOPVVOPVVOPVVMOVVMOVV opOMPOOMPOOM +=+++=0
Dmonstration du thorme :
Soit un repre orthonorm ( )ZYXO ,,, et 3 points ( )ZYX ,, tels que XOX = , YOY = , ZOZ = . Ce repre fix, posons par ailleurs OPP VVAP = . Avec cette notation le lemme devient :
OMAOPAPM PM = , Cherchons maintenant lexpression de PA dans la base ( )ZYX ,,
OP
A
A
A
OPA
OPA
OPA
OZA
OYA
OXA
A
Z
Y
X
Z
Y
X
P
P
P
P
=
=
=
posons maintenant
====
====
====
YAOYAOZAZAa
ZAOZAOXAXAa
XAOXAOYAYAa
ZZYYyz
XXZZzx
YYXXxy
Il vient
=
=
=
xy
zx
yz
xy
zx
yz
yzzx
yzxy
zxxy
P
a
a
a
POOPa
a
a
OPaa
aa
aa
A0
00
Soit RPOVVP OP += avec
=
xy
zx
yz
a
a
a
R
Ainsi V est bien le champ des moments du torseur dont les lments de rduction en O sont :
La rsultante ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
==
==
==
=
XVVYVVaZVVXVVaYVVZVVa
R
OYOXxy
OXOZzx
OZOYyz
ZYX ),,' et le moment en O : OV
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1.3 Classification et Dcomposition
Torseur Invariant Scalaire nul
. 0,0 == OMR : le moment est nul en tout point cest le Torseur Nul
. 0R : I tant nul 0, = QMQ le Torseur est un vecteur glissant ou Glisseur R sur son axe . 0,0 = OMR : R tant nul OP MMP = , le Torseur est un Couple.
Torseurs Gnraux Invariant Scalaire non nul
Dcomposition comme somme dun Glisseur sur son axe et dun Couple de moment parallle son axe :
QQ
Q
Q RR
IRRR
IM
R
Q
+
=
=
22
0
0,
Remerciement :
Mes remerciements vont au Professeur Y. Remion de lIUT Lonard de Vinci de Reims, pour la qualit des schmas dillustration ainsi que le contenu de ce cours.
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