chap1_2016

7/23/2019 chap1_2016

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(Chapitre I)

Nada Ben Elhadj

Formulation d’un Programme

Linéaire

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La formalisation d’un PL est une tâche délicate mais essentielle carelle conditionne la découverte ultérieure de la onne solution!

"énéralement il # a trois étapes $ suivre pour pouvoir construire le

mod%le d&un PL '! Identifier les variales du prol%me $ valeur non connues (variale

de décision) et les représenter sous forme s#moliue (e*' x 1+ *2),

-! Identifier l’ojectif ou le crit%re de sélection et le représenter sousla forme d’une fonction mathématiue linéaire en fonction desvariales de décision! .pécifier si le crit%re de sélection est $ma*imiser ou $ minimiser,

/! Identifier les restrictions (les contraintes) du prol%me relativesau* variales de décision! Il est ien rare u’un responsaledispose de toute lierté d’action! Le plus souvent il e*iste deslimites $ ne pas dépasser ui rev0tent la forme d’éuations oud’inéuations mathématiues!

Etapes de modélisation d’un PL

2

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Problème de l’usine de meubles

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La direction d’une usine de meules a constaté u’il # a des temps morts danschacun des départements de l’usine! Pour remédier $ cette situation+ elledécide d’utiliser ces temps morts pour fariuer deu* nouveau* mod%les de

ureau*+ M1 et M2. Les temps de réalisation pour chacun de ces mod%les dans les ateliers de

scia1e+ d’assemla1e et de sala1e ainsi

ue les temps lires dans chacun de ces

ateliers sont donnés dans ce taleau !Ces temps représentent le nomre

d’heures nécessaires $ un homme pour effectuer le travail!

Les profits ue la compa1nie peut réaliser pour chacun de ces mod%les sontde 300 u.m pour M1 et de 200 u.m Pour M2.

La direction désire déterminer comien de ureau* de chaue mod%le elledoit fariuer pour ma*imiser son profit!

M1 M2 Temps Libres

.cia1e - -2

3ssemla1e - --

.ala1e -

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Les composantes d’un PL

1) Choix des variables:

Chap!I' 4ormulation PL4

5éfinition' On appelle variable toute quantité utile à la

résolution du problème dont le modèle doit déterminer la

valeur.

Cette définition permet de différencier les variales desparam%tres+ ui sont des données ui peuvent varier+ par

e*emple d’une période $ l’autre ou d’un scénario $ l’autre! E*! 6sine de meules'

x 1 = nombre de bureaux du modèle M1 ,

x 2 = nombre de bureaux du modèle M2.

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5éfinition' On appelle paramètres du modèle toutes les

données numériques présentes dans l’énoncé ou qui se

calculent à partir de ces dernières.

/ t#pes de param%tres' Les coef! 7conomiues' de1ré de réalisation de l’ojectif de

l’entreprise associé $ une valeur unitaire de chacune desvariales (pri* de vente+ co8t variale unitaire9)' c j : 300,200

Les ressources' les capacités de production limitées+ les

normes $ respecter+ les potentiels de vente9! (bi) : 20,22,12 Les coef! techniues' le de1ré de consommation d’une

ressource par une activité! 3 la ressource i et $ l’activité

correspondra le coef' aij : 2,1,!

I. Les composantes d’un PL

2 ) Paramètres

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3 ) Expression de l’objectif

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5éfinition' On appelle "onction obecti" d’un problèmed’optimisation le critère de c#oix entre les diverses solutions

possibles. $c’est la fonction ui doit 0tre ma*imisée ouminimisée! %

La fonction ojectif est une forme linéaire en fonction desvariales de décision!

Ex. sine de mebles: La direction désire ma*imiser sonprofit en produisant des ureau* de mod%le M1 et M2!

L’ojectif s’e*prime comme suit '

max ! " #$$ x 1 % 2$$ x 2

$&= 'ro"it de la direction de l’usine%

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4 ) Expression des contraintes

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5éfinition' On appelle contraintes du problème toutes les relationslimitant le c#oix des valeurs possibles des variables.

Ces relations peuvent 0tre de simples contraintes de si1ne desvariales! Par e*emple+ le nomre de ureau* ne peut 0trené1atif'

x 1 & $' x 2 & $.

Elles peuvent 0tre plus comple*es9

Contraintes de la direction ' Les temps lires de chauedépartement imposent des contraintes u’il faut respecter!

(ontrainte imposée par les temps libres à l’atelier scia)e*

x 1 % 2x 2 ( 2$.

+es autres contraintes* 2 x 1 % x 2 ( 22 et x 1 % x 2 ( 12.

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*pothèses sr les variables de d+cision

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Proportionnalit+: La contriution des variales de décision $ lafonction ojectif et au* contraintes est proportionnelle $ leur valeur!

E*' # x 1 #,- x 2 1,x 1 /o0 x 1

dditivit+:

La contriution des variales de décision $ la fonction ojectif et au*contraintes est indépendante des valeurs prises par les autres variales+

E*: !"#x 1%x 2 !"2x 1 x 2

La fonction ojectif et le terme 1auche des contraintes sont composés dela somme des contriutions individuelles de chaue variale de décision!

ivisibilit+: Les variales peuvent prendre des valeurs non enti%res(fractionnaires)!

Certitde: Les param%tres du prol%me (en dehors des variales dedécisions) ont des valeurs connues avec certitude!

3emar4e importante:

6n mod%le linéaire ne doit pas contenir des iné1alités strictes!

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5orme 0+n+rale d’n P/:

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Considérons u’il # a x i 6i"1'78) produits (varialesinconnues) nécessitant l’utilisation de M ressources! Notons c j+la mar1e unitaire du produit (profit unitaire) j et bi+ la uantitéde ressource i disponile! Notons par aij la uantité deressource i consommée pour produire une unité de produit j!

Les données numériues du prol%me sont résumées au taleausuivant'

Ressource Produit Capacitédisponible

x 1 x 2 … x N

1 a 11 a 12 … a 2N b 1

2 a 21 a 22 … b 2

… .

M a M1 a M2 … a MN b M

Marge c 1 c 2 … c N

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En suivant les étapes de formulation ci:dessus+ on peutreprésenter le PL sous forme d’éuations et inéuationslinéaires comme suit '

0,,0,0

)(

)(

)( .

)(

21

2211

22222121

11212111

2211

≥≥≥

≤=≥+++

≤=≥+++

≤=≥+++

+++=

N

M N MN M M

N N

N N

N N

x x x

bou xa xa xa

bou xa xa xa

bou xa xa xacs

xc xc xc Z Min Max

K

K

M

K

K

K


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( )

( )

====

==

=

≥

≤

=

mnmm

n

n

ij

m

n

n

aaa

aaa

aaa

m jnia A

b

b

b

bcccc

x

x

x

x

x

b Axcx Z

21

22221

11211

2

1

21

2

1

.

.

....

....

,...,1 ,,...,1,

.

.,,...,, ,

.

.

:où

0

:s.cMaximiser


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Ex: Problème de Production 1:

12

Une société cherche à décider les quantités à

fabriquer de deux types P1 et P2. Les prix de vente

unitaires sont respectivement de 15 dinars pour P1

et

de 8 dinars pour P2. haque unité de P1 nécessite 2

unités de mati!res premi!res et "#$5 heures ouvrier.

%andis que chaque unité de P2 nécessite 1 unité de

mati!res premi!res et "#5 heures ouvrier. %outes lessemaines# la société dispose de &"" unités de

mati!res premi!re et de ' ouvriers qui travaillent

chacun &" heures par semaine.(odéliser ce probl!me sous forme d)un

pro*ramme linéaire.

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Problème de Production 1: suite!

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+ans le souci de contr,ler ses dépenses# la société a décidé

d-acheter uniquement la quantité de mati!re premi!re

nécessaire pour sa production et de réduire le nombre

d-ouvriers à & seulement.es ouvriers peuvent travailler des heures supplémentaires

à raison de 5 dinars l-heure. leurs salaires de base sont

considérés comme co/ts fixes pour la société0. fin de

répondre à la demande de la semaine à venir# la société sait

qu-il faut fabriquer au moins 5" unités des deux produits P1

et P2 ensembles. haque semaine# &"" unités de mati!re

premi!re sont disponibles sur le marché à un prix unitaire de2#5 dinars.

3e4modéliser ce probl!me

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Exemple d’un problème d’investissement

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Pour maximiser son revenu# une entreprise a lapossibilité d-investir dans & sortes de titres # # et+ rapportant chacun un intér6t respectif de 8.57#

1"7# 117 et 7. Pour des considérations financi!res au moins 257

de la somme totale doit 6tre investie dans des titresde type et . u plus '"7 de la somme totale doit6tre investie dans les titres de type # et +. +e plusil est nécessaire que la somme investie dans le titre soit plus importante que celle investie dans le titre

. 9ormuler ce probl!me sous la forme d-un

pro*ramme linéaire.

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Exemple d’un problème de transport

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6ne entreprise de production dispose de trois usines +- et/ dans des endroits différents! Elle cherche $ transporter saproduction mensuelle dans des entrep;ts situés dans lesvilles + -+ / et <! Les co8ts de transport dépendent du trajetsuivi et sont consi1nés dans le taleau suivant'

.achant ue les usines produisent respectivement 2+ = et >tonnes par mois et ue la capacité de stoc?a1e de chaueentrep;t est de @ tonnes+ formuler ce prol%me sous laforme d’un pro1ramme linéaire!

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Exemple d’un problème de mélange

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Un fabricant produit deux types de farine 91 et 92# à

partir de trois céréales 1# 2 et . Un :ilo*ramme

de farine 91 doit contenir au moins $"7 de la céréale1 alors qu)un :* de farine 92 doit contenir au moins

5"7 de la céréale 1 et au plus "7 de la céréale

. Un :* de 91 rapporte un *ain de "#"5 dinars et

un :* de 92 rapporte un *ain de "#1"" dinars. Lefabricant dispose dans ses usines de 15"" :* de 1#

8"" :* de 2 et de 1""" :* de . 9ormuler le

probl!me sous la forme d)un PL.

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En résumé !

17

ien;lire;l)énoncé;du;probl!me<

=dentifier;clairement;les;données

ttention;aux;unités;de;mesure;> +éfinir;les;variables.

?érifier;que;l)ob@ectif;et;toutes;les;contraintes;

peuvent;6tre;représentées;avec;ces;variables ?érifier;que;l)ob@ectif;et;les;termes;de;*auche;des;

contraintes;fonctionnelles;sont;bien;linéaires;

proportionnalité;et;additivité0

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