Chap1 Slci

Chap1 : Les systèmes linéaires continus et invariants COURS d’AUTOMATIQUE

Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI

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AUTOMATIQUE – Chapitre1 : Les systèmes linéaires continus et invariants

1) Introduction On appelle système automatique un système pour lequel tout ou partie du savoir-faire est confié à une machine. L’ensemble des techniques, des procédés et des organisations qui conduisent à l’obtention de la valeur ajoutée constitue le savoir-faire. Aujourd’hui, les systèmes sont conçus avec un comportement confié à une informatique locale, on les qualifie donc de systèmes automatiques et non plus de systèmes automatisés.

L'automatique est la discipline scientifique traitant, d'une part, de la caractérisation des systèmes automatisés et d'autre part, du choix, de la conception, et de la réalisation du système de commande.

Les systèmes de commande automatiques s'inspirent le plus souvent du comportement de l'homme.

2) Historique de l’automatique

Le but d'un système automatique est de :

• réaliser des tâches trop complexes ou dangereuses pour l'homme.

Ex : inspection des canalisations d'une centrale nucléaire

• faire des tâches répétitives et pénibles.

Ex : assemblages en automobile

• accroître la précision.

• la Clepsydre (horloge à eau servant à mesurer des intervalles de temps et inventée par Ctesybios)

L'automatique a pour étymologie le mot automate, mais pour origine scientifique la régulation et les techniques utilisées pour mettre en œuvre la régulation. De l'antiquité jusqu'au 19ème siècle, on rencontre des mécanismes construits de manière intuitive. On peut citer l'exemple de :



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Du 19ème siècle jusqu'au milieu du 20ème siècle, est mise en place la théorie du bouclage (Maxwell) et des algèbres mathématiques de description (Nyquist, Bode, Black).

Depuis le milieu du 20ème siècle, c'est l'ère de l'automatique moderne avec l'apparition de calculateurs numériques. La représentation d'état est introduite et est particulièrement adaptée à la commande des systèmes complexes (Kalman). Des méthodes d'étude des systèmes non-linéaires et des systèmes échantillonnés sont mises en place.

3) Classification des systèmes automatisés

Les systèmes automatisés sont classés en fonction de la nature des informations de commande et de mesure. On distingue deux types d'informations : analogiques et discrètes.

a) Signal analogique

Une information analogique peut prendre, de manière continue, toutes les valeurs possibles dans un intervalle donné. Un signal analogique peut être représenté par une courbe continue. Les grandeurs physiques (température, vitesse, position, tension, ...) sont des informations analogiques.

b) Signal discret

Une information discrète est constituée d'un nombre fini de valeurs. On distingue :

• une information logique du type « vrai/faux », « noir/blanc », « 0/1 ». Elle est associée à l'état d'une variable qui ne peut prendre que deux valeurs possibles. Ces informations peuvent aussi être appelées des informations binaires (bit) ou « Tout Ou Rien » (TOR).

• une information numérique sous la forme d'un mot binaire, constitué de plusieurs bits (variables binaires 0/1). Cette information numérique est en général issue d'un traitement (échantillonnage et codage) d'une information analogique (on parle de conversion analogique numérique CAN).

• du régulateur de Watt ayant pour but de maintenir constante la vitesse de rotation d'une turbine à vapeur…



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On peut alors distinguer les systèmes automatisés suivants :

• systèmes automatisé à logique combinatoires : un signal logique (ou une combinaison de signaux logiques) conduit toujours à un unique état de la sortie du système. Dans ces systèmes, l'information logique est traitée de manière instantanée. (exemple : digicode) ;

• systèmes automatisés séquentiels (ou à évènements discrets) : la sortie du système est élaborée à partir d'un ensemble de signaux logiques d'entrée mais prend également en compte la chronologie des évènements logiques. (exemple : chaîne de fabrication de figurines en chocolat) ;

• systèmes automatisés asservis : les signaux traités sont analogiques ou numériques et leurs valeurs ne peuvent pas être prédéterminées. Une mesure du signal de sortie est en permanence réalisée (par un capteur) et la valeur est comparée à l'entrée, puis corrigée. La distinction système asservi numérique ou analogique tient compte du type de partie commande utilisée.

Nous étudierons dans ce module uniquement les systèmes automatisés asservis.

Lorsqu'une grandeur de sortie est une grandeur mécanique (position, vitesse, action mécanique,...), le système asservi est aussi appelé servomécanisme.

On classe les asservissements en deux grandes familles :

• les systèmes régulateurs pour lesquels la consigne d'entrée est fixe, comme par exemple pour une régulation de température, de débit... Ils sont destinés à maintenir une sortie constante pour une consigne d'entrée constante.

• les systèmes asservis suiveurs ou en poursuite d'une loi de référence dans lesquels la consigne d'entrée varie en permanence, comme par exemple pour une machine-outil à commande numérique, un radar... L'objectif de ce système est d'ajuster en permanence le signal de sortie au signal d'entrée.

Signal analogique (à gauche) et numérique (échantillonné puis codé) (à droite)

Missile Tomahawk Block IV



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4) Les systèmes bouclés

Un système bien conçu peut être tout à fait satisfaisant du point de vue de son comportement s'il n'est pas perturbé.

Cependant, lorsque le système est perturbé par un événement extérieur (perturbation), la valeur de la sortie ne correspond pas à la valeur attendue et peut être très éloignée.

On parle dans ces conditions d'un système en boucle ouverte (sans retour).

Pour automatiser le système (supprimer l'intervention humaine, c'est à dire ne pas agir en permanence sur les radiateurs dans l'exemple), on introduit une boucle de retour (ou rétroaction). Le système est alors appelé système en boucle fermée.

La boucle de retour, constituée de capteurs, permet d'évaluer la situation à l'instant t et fournit un état de la sortie à la partie commande.

Cette information est analysée par la partie commande et comparée à la consigne.

Elle élabore ensuite un signal qui permet de commander la partie opérative.

Chauffage d’une pièce

Schéma : perturbations

Schéma : Régulation du chauffage d'une salle à l'aide d'un thermocouple.



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5) Représentation d’un système automatique

Les systèmes industriels étant par nature complexes, il est nécessaire de décomposer le système en sous-systèmes plus facilement modélisables. Par assemblage des différents modèles, il sera possible de déduire le comportement global du système complexe.

Pour représenter un système automatique, on utilise un schéma-bloc fonctionnel mettant en relation les entrées et sorties du système et permettant de comprendre la structure du système selon un point de vue commande.

On distingue trois types d'éléments graphiques :

• Le bloc : le nom du système est en général le nom du composant (moteur, réducteur, roue...) ou bien encore l'opérateur mathématique associé à une fonction particulière (exemple : l'opérateur ∫ pour décrire une intégration du type passage d'une vitesse à une position mais qui n'a pas de matérialisation physique). Une entrée secondaire correspond en général à une perturbation.

• Le point de sommation ou (sommateur, soustracteur, comparateur) qui réalise des opérations du type addition ou soustraction.

Schéma : structure d’un système automatisé bouclé.



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• Le point de prélèvement ou de jonction : une variable est réutilisée comme entrée d'un bloc.

Exemple : asservissement en vitesse d’un bras de robot portique 6) La modélisation des entrées a) Les signaux tests Pour étudier un système d'un point de vue expérimental ou pour réaliser une validation d'un modèle, il est nécessaire d'utiliser des consignes simples ou signaux d'entrée test. Les signaux seront toujours nuls pour les temps négatifs. On utilise majoritairement les signaux suivants :

• Impulsion de Dirac (ou impulsion unité) (t)δ :

Cette "fonction" (on l'appelle distribution) modélise une action s'exerçant pendant un temps très court.

Une consigne UC image de la vitesse souhaitée est comparée à la tension Um délivrée par le capteur proportionnelle à la vitesse réelle redω .

L’écart de la tension ε est corrigé par un correcteur

qui fournit la tension Ucom au variateur pilotant le moteur par une tension Umot. La vitesse de rotation du moteur motω est réduite par un réducteur pour

obtenir une vitesse en sortie redω .



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(t) 0, t 0δ = ∀ ≠

• Échelon unité (désignation usuelle u(t)) : u(t) 0, t 0= ∀ < et u(t) 1, t 0= ∀ ≥

• Rampe de pente unitaire :

f(t) 0, t 0= ∀ < et f(t) a.t, t 0= ∀ ≥ ou f(t) a.t.u(t)=

Toute fonction mathématique simple nulle pour les temps négatifs peut ainsi s'écrire à l'aide d'un échelon unitaire.

La réponse à un échelon s'appelle une réponse indicielle.

Cette fonction modélise un signal qui passe très rapidement de 0 à 1 et qui reste ensuite à 1.

Exemple : appui sur un interrupteur (mise sous tension).

La réponse à une impulsion de Dirac s'appelle une réponse impulsionnelle.

Exemple : chocs tels que l'action d'un marteau, la frappe d'une corde de piano, un coup d'une baguette de caisse claire...



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b) Les signaux complexes

Tout signal peut s'écrire comme la somme de signaux élémentaires en utilisant la fonction échelon et en prenant en compte le retard de fonctions. On est alors en mesure de modéliser tout type d'entrée.

Exemple : le signal fenêtre

Autre exemple : signal complexe à base de rampe 7) Modélisation des performances

Une simulation ayant été réalisée, il est alors nécessaire d'analyser la réponse du système obtenue. Si une expérience a été menée en parallèle, on peut confronter la réponse expérimentale à la réponse simulée. La seule comparaison visuelle des courbes ne suffit pas.

De la même manière, le cahier des charges définit des critères associés à des valeurs permettant de qualifier et quantifier les performances du système.

Exemple : la fonction sinusoïdale f(t) sin( t).u(t)= ω

avec 2

T

πω = et T la période de la sinusoïde.



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4 critères principaux permettent d'analyser la réponse d'un système automatique :

• La stabilité,

• La précision,

• La rapidité,

• L'amortissement.

L'asservissement idéal est un système ayant une bonne stabilité et bonne précision, le régime transitoire doit être rapide et bien amorti. Ces critères de performances ne sont pas toujours compatibles.

Par exemple en mécanique, un processus rapide est léger, il a ainsi une faible inertie et risque d'être peu amorti voire instable. D'autre part si on veut améliorer la précision, on raidit l'asservissement et on risque de tomber alors sur un phénomène d'instabilité. Tout l'art de l'automaticien est de réaliser une partie commande permettant de respecter au mieux ces critères.

a) La stabilité Un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Le bouclage peut déstabiliser un système. C'est le critère que l'on regarde en premier, car sinon on ne peut pas analyser les autres critères. Exemples de systèmes stables et instables : (entrée échelon)

Systèmes stables

Systèmes instables



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b) La précision La précision qualifie l'aptitude du système à atteindre la valeur visée. Elle est caractérisée par l'écart (t) e(t) s(t)ε = − entre la consigne et la valeur effectivement atteinte par

la grandeur de sortie. L'écart éventuel s'exprime dans la même unité que la grandeur de sortie.

• Ecart statique sε :

Le système est en mode régulation (entrée fixe). On définit alors l'écart statique sε

comme l’écart entre la consigne e0 (échelon) et la réponse s(t) en régime permanent.

• Ecart de traînage ou de poursuite vε :

Il représente la différence entre la consigne variable et la réponse en régime permanent (système en mode suiveur).

vtlim(e(t) s(t))

→∞ε = − avec en général e(t)=a.t.u(t) (rampe)

Un système suiveur est précis si l'écart de traînage est nul.

c) La rapidité

La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeur d'entrée.

Cependant, la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique, on retient alors comme principal critère d'évaluation de la rapidité d'un système, le temps de réponse à n%.

stlim(e0.u(t) s(t))→+∞

ε = −

Un système régulateur est précis si l'écart statique est nul.



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En pratique, on utilise le temps de réponse à 5% (t5%), c'est le temps mis par le système pour atteindre sa valeur de régime permanent à ±5% près et y rester.

d) L’amortissement L'amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la sortie. Plus ces oscillations s'atténuent rapidement, plus le système est amorti.

Pour caractériser la qualité de l'amortissement on peut retenir deux critères :

• le taux de dépassement, qui caractérise l'amplitude maximale des oscillations :

S(t1) S

D1%S

− ∞=∞

• le temps de réponse à 5 % qui correspond au temps de stabilisation du système.



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On peut également définir les taux de dépassements D2%, D3%... correspondant aux maxima et minima successifs. Le premier dépassement est quasiment toujours le plus pénalisant et donc celui pris en compte.

Il est à noter que pour certaines applications (l'usinage par exemple), un comportement oscillant n'est pas autorisé et tout dépassement est inacceptable.

8) Définition du SLCI On rappelle qu'un système est représenté par un bloc contenant le nom du système. Les entrées (causes) sont situées à gauche et les sorties (effets) à droite.

On étudie dans cette partie essentiellement les systèmes monovariables qui ne possèdent qu'une seule entrée et une seule sortie.

Nous verrons à la fin une manière de traiter les systèmes multivariables (les systèmes qui possèdent plus d'une entrée).

a) Système linéaire Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors le principe de proportionnalité et de superposition :

• Proportionnalité : si la réponse à l’entée e(t) est s(t), alors la réponse à l’entrée e(t)λ

est s(t)λ



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En traçant la réponse s(t) en fonction de e(t) (pour un instant donné ou en régime permanent), on obtient la caractéristique du système égale à une droite de pente K (gain du système). Attention à ne pas confondre la caractéristique Sortie =f(Entrée) avec la courbe s(t) (sortie fonction du temps) qui, elle, est quelconque (très souvent non-linéaire en fonction du temps). La réponse en régime établi est de même nature que l'entrée, compte- tenu de la linéarité du système.

• Superposition : Si s1(t) (resp. s2(t)) est la réponse à l'entrée e1(t) (resp. e2(t)) alors s1(t) + s2(t) est la réponse à l'entrée e1(t) + e2(t)

En étudiant la réponse du système à des entrées simples (signaux tests) et en utilisant cette propriété, il est alors possible d'obtenir la réponse du système à un signal complexe.



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9) Non linéarité La plupart des systèmes physiques ne sont pas linéaires. On observe des caractéristiques S=f(E) non-linéaires :

Cependant dans de nombreux cas, ces systèmes ne sont utilisés que sur une plage réduite de leur domaine d'application.

Pour étudier ces systèmes, on linéarise la caractéristique entrée-sortie au voisinage du point de fonctionnement étudié en remplaçant la portion de courbe par une droite. Le système est dit alors linéarisé.

10) Systèmes continus

Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par des fonctions continues). On parle aussi dans ce cas de système analogique.

La plupart des systèmes physiques, d'un point de vue macroscopique, sont continus. Dans les systèmes de commande modernes, l'information est traitée numériquement ce qui nécessite un échantillonnage des signaux. On parle dans ce cas de systèmes échantillonnés ou discrets. Si l'échantillonnage est très rapide (période d'échantillonnage très petite), on peut traiter le système par un modèle continu.



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11) Systèmes invariants

Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, ...) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").

Si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors s(t )− τ est la réponse à e(t )− τ .

12) Modélisation des systèmes automatisés

Pour les systèmes automatisés réels, on se ramène au cas des SLCI en faisant des hypothèses simplificatrices. La comparaison du modèle avec la réalité permettra de valider ou non les hypothèses proposées. Pour modéliser un SLCI, il est nécessaire de déterminer une équation reliant l'entrée e(t) (ou les entrées) et la sortie s(t). Un modèle de connaissance établi à partir de lois physiques permet d'aboutir généralement à une telle équation.

a) Les systèmes simples

La grande majorité des systèmes peuvent être modélisés par une constante, c'est à dire une relation de proportionnalité directe entre l'entrée et la sortie : s(t) = K e(t).

La constante de proportionnalité est alors directement le gain du système.

On peut ainsi modéliser par une constante la majorité des adapteurs (réducteur à roue et vis sans vis, à engrenages, système vis-écrou...), préactionneurs (variateur), capteurs (potentiomètre, génératrice tachymétrique...).



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Exemples de SLCI simples :

• Ressort : La relation reliant la force exercée sur le ressort F(t) (sortie) à l'allongement x∆ (entrée) est donnée par la relation : F k x= ∆ où k est la raideur du ressort. Ainsi le gain K du système est ici égal à k.

• Réducteur :

On observe sur la figure que la petite roue qui possède Z1 dents (10 dents) tourne plus vite que la grande roue qui possède Z2 dents (30 dents). Ainsi lorsque la petite roue tourne d'un tour, elle pousse Z1 dents de la grande roue qui ne tourne alors que de Z1 / Z2 tour. Le rapport de réduction entre les rotations est donc de Z1/Z2.

On a ainsi pour les vitesses de rotation : 2 Z1

1 Z2

ω =ω

Le gain K du système est alors égal à Z1

Z2.

b) Systèmes du premier ordre Un modèle plus élaboré, couramment rencontré, est le modèle du premier ordre. La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du premier ordre est donnée par :

Où τ est la constante de temps du système (en seconde) et K le gain du système.

• Circuit RL :

On s'intéresse à un circuit RL (résistance + bobine) couramment rencontré dans les circuits électriques (filtres par exemple). Les équations électriques du circuit sont les suivantes :

di(t)e(t) u(t) L

dt= + avec u(t)=Ri(t)

Soit L du(t)

e(t) u(t)R dt

= +

ds(t). s(t) K.e(t)

dtτ + =



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On obtient une équation différentielle d’ordre 1. c) Système du second ordre Le modèle du second ordre est très couramment rencontré.

La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du second ordre est donnée par :

Avec :

0ω : pulsation propre non amortie du système (en rad.s-1)

Z : coefficient d’amortissement (sans unités), on emploie aussi la notation m ou ξ

K : gain du système en [s]/[e]

• Masse ressort-amortisseur :

On s'intéresse au mouvement d'une roue par rapport au châssis par l'intermédiaire d'un amortisseur et ressort.

Ce système peut être modélisé par une masse reliée en série à un ressort et un amortisseur montés en parallèle.

0 0 0

d²s(t) ds(t)2z ²s(t) K. ².e(t)

dt² dt+ ω + ω = ω



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On note F(t) la force exercée sur la masse M et x(t) la position de cette masse par rapport à l'équilibre.

La masse M est soumise :

• à l'action F(t)

• à l'action du ressort : -k x(t)

• à l'action de l'amortisseur : dx(t)

fdt

−

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse M, on obtient l'équation :

L’équation obtenue est une équation différentielle d’ordre 2. d) Généralisation

Un système plus complexe, très couramment rencontré dans les systèmes continus, est le moteur à courant continu. Celui-ci est décrit par les équations suivantes (cf cours de physique de spé pour l'origine de ces équations) :

• équation électrique : m

di(t)U (t) e(t) Ri(t) L (1)

dt= + +

• équation mécanique : mm

d (t)J C (t)(2)

dt

ω=

• équation du couplage (dû au magnétisme) : mC (t) ki(t)(3)= et me(t) k (t)(4)= ω

Cm représente un couple en N.m=action mécanique ayant tendance à mettre en rotation (semblable à une force mais pour la rotation).

R,L,J,k sont des constantes.

mω est la vitesse de rotation de l’arbre moteur.

Si L est négligée (ce qui revient à dire que l'établissement du régime permanent dans le circuit électrique est bien plus rapide que l'établissement du régime permanent mécanique), on obtient, en combinant les équations (2), (3) et (4) dans (1) :

m mm m

d (t) d² (t)R LU (t) k (t) (J ) (J )

k dt k dt²

ω ω= ω + +

D'autre part si l'on souhaite obtenir l'angle de rotation mθ en sortie du moteur telle que

mm

d (t)

dt

θω = , on obtient :

3

m m mm 3

d (t) d² (t) d (t)R LU (t) k (J ) (J )

dt k dt² k dt

θ θ θ= + + (équation différentielle du 3ème ordre)

d²x(t) dx(t)M F(t) kx(t) f

dt² dt= − −



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D'une manière générale, un système linéaire continu invariant peut être modélisé par une équation différentielle d'ordre n qui s'écrit sous la forme :

En effet, l'équation d'un sous-système pouvant être déterminée, en combinant les différentes équations selon le schéma-bloc fonctionnel du système global, on aboutit à une nouvelle équation différentielle d'ordre supérieur mettant en jeu l'entrée et la sortie du système.

Deux questions peuvent alors se poser :

• Comment prendre en compte la modification de modélisation d'un composant (moteur par exemple) de manière aisée ?

• Comment obtenir la réponse du système pour une entrée quelconque afin d'analyser les performances globales du système ?

On constate dans ces deux situations que l'écriture sous forme différentielle du SLCI n'est pas adaptée.

La résolution de l'équation différentielle est habituellement obtenue en ajoutant :

• une solution particulière qui caractérise le comportement du système pendant le régime permanent ou établi.

• une solution de l'équation différentielle sans second membre qui correspond au comportement du système pendant le régime transitoire.

Cette méthode de résolution reste difficile pour des équations d'ordre élevé où lorsque la sollicitation e(t) est de forme compliquée.

L'outil privilégié pour traiter un SLCI de manière efficace, tant pour analyser le comportement, que pour résoudre une équation d'ordre quelconque, est la transformation de Laplace qui permet d'obtenir une relation algébrique entre la sortie et l'entrée.

n n 1 m m 1

n n 1 0 m m 1 0n n 1 m m 1

d s(t) d s(t) d e(t) d e(t)a a ... a .s(t) b b ... b .e(t)

dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +



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13) La transformée de Laplace Afin de simplifier la résolution du problème, on a recours à une transformation mathématique qui va remplacer les équations différentielles par des fractions polynomiales : la transformation de Laplace. a) Définition

Soit f(t) une fonction continue par morceaux, telle que pt

tlime .f(t)−

→∞ existe et vaut 0 (avec

p variable complexe).

On peut alors définir la transformée de Laplace de la fonction f(t) notée F(p) L f(t)= telle

que : F(t) devient par la transformée de Laplace : Avec p variable complexe.

• Dans la pratique, on ne calcule que les transformées de Laplace de fonctions causales, c'est-à-dire telles que f(t) = 0 pour t < 0. Ces fonctions f représentent des grandeurs physiques: intensité, température, effort, vitesse,...

• F(p) existe si l'intégrale a un sens et converge. Dans les cas rencontrés en SII, les conditions d'existence et de convergence sont réunies.

• La variable p peut aussi être notée avec la lettre s.

• On a l'habitude de noter la transformée de Laplace par une majuscule quand cela est possible ( (t) (p)ω → Ω par exemple). Cependant, pour ne pas alourdir les notations, on

confond parfois les notations si la grandeur originelle est déjà en majuscule (le couple C(t) C(p)→ par exemple).

b) Conditions de Heavyside

On dit qu'une fonction du temps f(t) vérifie les conditions de Heaviside si elle vérifie :

c'est à dire si les conditions initiales sont nulles.

c) Calcul de la transformée de Laplace d’un échelon unitaire

Par définition :

pt

t 0

F(p) e .f(t)dt∞

−

=

= ∫

f(0 ) 0+ = , f '(0 ) 0+ = , f ''(0 ) 0+ =

ptpt pt

t 0 t 0

e 1U(p) L u(t) e .u(t).dt e .dt

p p0

∞ ∞ −− −

= =

∞−= = = = =

∫ ∫



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d) Propriétés essentielles

• Unicité

- à f(t) correspond F(p) unique,

- à F(p) correspond f(t) unique.

• Linéarité :

On suppose L[f1(t)]=F1(p) et L[f2(t)]=F2(p), A et B deux constantes, alors :

L[A.f1(t)|B.f2(t)]=A.L[f1(t)]|B.L[f2(t)]=A.F1(p)|B.F2(p)

• Transformée de Laplace d’une équation différentielle :

• Transformée de la dérivée

Pour la dérivée première : df(t)

L p.F(p) f(0 )dt

+ = −

Pour la dérivée seconde : d²f(t) df(0 )

L p².F(p) p.f(0 )dt² dt

++ = − −

De manière générale, dans les conditions de Heaviside : n

n

n

d f(t)L p .F(p)

dt

=

Dériver par rapport à t dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique.

• Transformée d’une intégrale

t

u 0

F(p)L f(u).du

p=

=

∫

Dans les conditions de Heaviside, intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.

• Passage d’une vitesse à une position

dx(t)v(t)

dt= donne dans le domaine de Laplace

X(p)V(p)

p= (pour des conditions initiales

nulles).

m m m mm m

d (t) d² (t) d (t) d² (t)RJ LJ RJ LJL u(t) k. (t) kL (t) L L

k dt k dt² k dt k dt²

ω ω ω ω = ω + + = ω + +



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• Transformée de Laplace d’une rampe

La rampe tu(t) n'est autre que l'intégrale de l'échelon u(t).

Donc la transformée de Laplace de tu(t) est égale à 1

p²

e) Théorèmes pratiques

• Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale :

Lorsqu'on veut obtenir des informations sur la fonction temporelle mais qu'on ne souhaite pas déterminer la transformée inverse de F(p), on peut utiliser les deux théorèmes suivants :

• Théorème de la valeur initiale : t 0 plim f(t) limpF(p)

→ →∞=

• Théorème de la valeur finale : t p 0lim f(t) limpF(p)

→∞ →=

Remarque : ces deux derniers résultats n'ont de sens que si les limites existent (il faut d'abord montrer que le système est stable, la réponse doit être bornée pour une entrée bornée).

• Théorème du retard (translation temporelle) :

• Transformée de Laplace d'un créneau :

c(t) u(t) u(t )= − − τ où u(t) est l’échelon unité.

Ainsi par linéarité et en utilisant le théorème, on obtient : 1 exp( p)

L c(t)p p

−τ= −

Soit 1

L c(t) (1 exp( p))p

= − −τ

Si on calcule la limite en 0 de 1

c(t)τ, on obtient l’impulsion de Dirac. En utilisant le résultat

précédent, on peut notamment montrer que la transformée de Laplace d'une impulsion de Dirac est égale à 1.

p pL f(t ) e L f(t) e .F(p)− τ − τ− τ = =



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f) Transformées des fonctions usuelles Pour utiliser la transformée de Laplace, on ne recalcule pas les fonctions, on utilise le tableau récapitulatif suivant. L'utilisation de la fonction échelon permet de travailler dans R+ et ainsi de pouvoir utiliser la transformée de Laplace. N.B : Les transformées de Laplace de l'impulsion de Dirac, de l'échelon, de la rampe et de la fonction exponentielle sont à connaître par cœur car elles sont très utilisées. 14) La fonction de transfert

A partir de l'équation différentielle d'un SLCI, il est possible de déterminer une fonction (appelée fonction de transfert) qui caractérise le comportement du SLCI.

Le schéma-bloc fonctionnel peut alors être mis sous la forme d'un schéma-bloc qui contient toutes les informations nécessaires pour simuler le système global.

Vous devez être capable de :

• Déterminer la fonction de transfert d'un SLCI à partir d'une équation différentielle.

• Définir le schéma-bloc à partir des différentes fonctions de transfert.

Soit un système dont l'entrée est notée e(t) et la sortie s(t). On appelle fonction de transfert H(p) du système (ou transmittance) :

S(p)H(p)

E(p)=



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Dans le domaine symbolique, la relation entre l'entrée et la sortie est bien linéaire : S(p) H(p)E(p)=

Si l'entrée est une impulsion de Dirac (E(p) = 1), on a alors S(p) = H(p).1 = H(p).

La fonction de transfert représente donc la transformée de Laplace de la réponse "impulsionnelle" du système étudié.

Cette fonction de transfert caractérise le comportement intrinsèque du système et ne dépend ni de l'entrée, ni de la sortie (cf. obtention). Fonction de transfert du moteur : L’entrée est um(t) (Um(p)) et la sortie m(t)ω ou m(p)Ω

Sachant qu’on a la relation : m m

RJ LJU (p) (k p p²) (p)

k k= + + Ω

La fonction de transfert est donnée par : 15) La représentation du système par schéma bloc Pour représenter le comportement du système décrit par la fonction de transfert H(p), on utilise des blocs.

Un bloc peut représenté un composant ou bien un sous-système ou également un système complexe.

Le schéma-bloc fonctionnel peut alors être modifié en schéma-bloc pour lequel les noms des composants sont remplacés par la fonction de transfert correspondante et les variables temporelles sont remplacées par les variables symboliques (E(p), S(p)...).

Asservissement en vitesse (bras portique) : Le capteur est caractérisé par un gain Kc, le variateur par un gain Kv, le réducteur par un gain Kr. On note C(p) la fonction de transfert du correcteur et H(p) celle du moteur. Le schéma-bloc fonctionnel de l'asservissement en vitesse est rappelé ci-dessous.

m

m

(p) 1H(p)

RJ LJU (p)(k p p²)

k k

Ω= =

+ +



25

Le schéma-bloc du système avec fonctions de transfert est alors : 16) Obtention de la fonction de transfert

On se place dans le cas de conditions initiales nulles (conditions de Heaviside).

Le niveau initial du système importe peu, c'est sa réaction à une excitation à partir d'un état stable que l'on souhaite étudier. On peut donc toujours se ramener à des conditions initiales nulles moyennant un changement d'origine.

a) Premier ordre : circuit LC

Le système est régi par l’équation : ds(t)

s(t) Ke(t)dt

τ + = avec les conditions initiales nulles.

En utilisant la transformation de Laplace, on obtient : pS(p) S(p) KE(p)τ + =

Soit Ainsi pour un système du premier ordre :

KS(p) H(p)E(p) E(p)

1 p= =

+ τ

KH(p)

1 p=

+ τ



26

b) second ordre : système masse-amortisseur

Le système est régi par l'équation : 0 0 0

d²s(t) ds(t)2z ²s(t) K. ².e(t)

dt² dt+ ω + ω = ω

En utilisant la transformation de Laplace, on obtient : o o op²S(p) 2z pS(p) ²S(p) K ²E(p)+ ω + ω = ω

Soit : o

o o

K ²E(p)S(p) H(p)E(p)

p² 2z p ²

ω= =

+ ω + ω

Ainsi pour un système du second ordre : c) Forme canonique d’une fonction de transfert

On définit la forme canonique d'une fonction de transfert en mettant en facteur le terme de plus bas degré au numérateur et au dénominateur.

L'ordre est alors le degré du dénominateur après simplification.

Le gain est la constante apparaissant en facteur au numérateur.

Forme canonique d'un premier ordre : K

H(p)1 p

=+ τ

Forme canonique d'un second ordre :

o o

KH(p)

2z p²1 p

²

=+ +

ω ω

Cette forme est fondamentale car elle permet de nombreuses analyses pratiques (analyse temporelle, fréquentielle, dimensionnelle).

o

o o

K ²H(p)

p² 2z p ²

ω=

+ ω + ω



27

Fonction de transfert canonique du moteur On a montré que la fonction de transfert du moteur est la suivante :

m

m

(p) 1H(p)

RJ LJU (p)(k p p²)

k k

Ω= =

+ +

Soit sous forme canonique : m

m

(p) 1 1H(p)

RJ LJU (p) k(1 p p²)

k² k²

Ω= =

+ +

Par analyse dimensionnelle (on peut remarquer que p a pour dimension l'inverse d'un temps),

on peut poser : m

RJ

k²τ = et e

L

Rτ = , on a alors :

m

m m m e

(p) 1H(p) K

U (p) 1 p p²

Ω= =

+ τ + τ τ

Si on cherche la fonction de transfert, m

m

(p)

U (p)

θ, on a : m

m m m e

(p) 1H(p)

U (p) p(1 p p²)

θ= =

+ τ + τ τ

L'ordre est 3 mais pour caractériser le fait qu'il y a une puissance de p au dénominateur, on introduit la notion de classe d'une fonction de transfert (valeur de la puissance de p en facteur). Ici la classe est 1.

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