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eivd RgulationautomatiqueChapitre 4Rgulateur PID4.1 Fonctions de transfert dun systme asservi5+-5++w(t)v(t)y(t)Ga1(s) Ga2(s)rgulateurpartie du systme rglersitue avant l' introductiondes perturbations v(t)(amplificateur de puissance,actionneur, etc)partie du systme rglersitue aprs l' introductiondes perturbations v(t)(processus, capteur, etc)e(t)Gc(s)u(t)f_04_23. epsFig. 4.1 Schma fonctionnel universel dun systme de rgulation automatique.Le retour est unitaire, i.e. le schma est sous forme canonique, gure 3.6 page 128)(chiersource).Lestechniquesdetransformationet derductiondeschmasfonctionnelsvues au chapitre 3 permettent de prsenter le schma fonctionnel universel dunsystmedergulationautomatiquelinairequelconquesouslaformedonnelagure4.1. Il sagitduschmafonctionnel universel, qui faitapparatrelesfonctions de transfertdu rgulateurGc(s),de la partie Ga1(s) du systme rgler situe avant le point dintroductiondes perturbationsv(t),Chapitre4 137 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquede la partie Ga2(s) du systme rgler situe aprs le point dintroductiondes perturbationsv(t), partir desquelles les fonctions de transfertdu systme rglerGa(s),en boucle ouverteGo(s),en boucle fermeGw(s), rgulation de correspondance,en boucle fermeGv(s), rgulation de maintien,vont tre calcules dans les paragraphes suivants.4.1.1 Fonction de transfert du systme rglerGa(s)Le systme rgler comprend toutes les fonctions de transfert situes entrela commandeu(t) donne par le rgulateur et la grandeur rgle mesurey(t) :Ga(s) =Y (s)U(s)v(t)=0= Ga1(s) Ga2(s) (4.1)Les techniques de modlisation voques au chap.2 ainsi que celles didenticationmise en pratique en laboratoire (voir aussi [10]) ont pour but de dterminer Ga(s)aussi prcisment que ncessaire pour ensuite tre en position de slectionner etde calculer le rgulateur utiliser.4.1.2 Fonction de transfert en boucle ouverteGo(s)5+-5++w(t)v(t)y(t)Ga1(s) Ga2(s)e(t)Gc(s)u(t)f_04_36. epsy(t)Fig. 4.2 Fonction de transfert en boucle ouverte(chiersource).La fonction de transfert en boucle ouverteGo(s) sobtient par dnition encoupant la boucle de contre-raction (directement en amont du comparateur), enposantw(t) =0etv(t) =0, eninjectantdirectementlesignal (derreur)e(t)(gure 4.2) et en calculant :Go(s) =Y (s)E(s)w(t)=0,v(t)=0, boucle ouverte= Gc(s) Ga(s) (4.2)Chapitre4 138 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueAnoterquecettergletrssimpledecalcul deGo(s)sappliquesansautresile systme est plus compliqu, parexemple silnest pas sous forme canonique(gure 4.3).5-w(t)=0e(t)Gc(s)f_04_33. epsy(t)5v(t)x(t)Ga1(s) Ga2(s)Ga3(s)5Ga4(s)-5Ga5(s)Fig.4.3Fonctiondetransfertenboucleouvertedunsystmeprsentsousune forme quelconque, i.e. non canonique(chiersource).4.1.3 Fonction de transfert en boucle ferme, rgulation decorrespondanceGw(s)La fonction de transfert en boucle ferme, rgulation de correspondance, per-met de dterminer le comportement statique et dynamique du systme asservi enpoursuite de consigne. On la calcule pourv(t)=0, i.e. sans perturbation, pourbien mettre en vidence leet de la consigne seule sur la grandeur rgle :Gw(s) =Y (s)W(s)v(t)=0(4.3)En se rfrant au schma fonctionnel universel (gure 4.1 page 137, noter que leretour est unitaire), on a :Gw(s) =Y (s)W(s)v(t)=0=Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)1 +Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)(4.4)Gw(s) =Y (s)W(s)v(t)=0=Go(s)1 +Go(s)(4.5)En principe, Gw 1 car on sattend naturellement ce quey(t) w(t). Laconsquence importante en est queGo(s) devrait tre aussi grande que possible(cf dilemme stabilit-prcision, 1.5.3 page 33). En eet :Gw(s) 1 Go(s) (4.6)Pour mettre cela en vidence, on peut prsenterGw(s) sous la forme :Gw(s) =Y (s)W(s)=11 +1Go(s)(4.7)Chapitre4 139 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueS-w(t) y(t)Go(s)( )( )( )( )( )G sY sW sGsGswoo= =+ 1f_04_24. epsFig. 4.4 Fonction de transfert en rgulation de correspondance(chiersource).4.1.4 Fonction de transfert en rgulation de maintien Gv(s)Gv(s) traduit leet des perturbations v(t) sur la grandeur rgle y(t), lorsquew(t) = 0. On a :Gv(s) =Y (s)V (s)w(t)=0=Ga2(s)1 +Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)=Ga2(s)1 +Go(s)(4.8)On sattend naturellement ce que, dans le cas idal, Gv(s) 0, traduisant une1sS1s1s++v(t)y(t)-Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)( )( )( )( )( )GsY sV sG sGsvao= =+21f_04_26. epsFig. 4.5 Fonction de transfert en rgulation de maintien(chiersource).insensibilit aux perturbations, ce qui est le cas siGo(s) .Chapitre4 140 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.2 Rponsedusystmeasservi travaillantdansles deux modes de rgulationPar linarit, on peut simplement crire que la rponse du systme asservi leet simultan de la consigne et de la perturbation est donne parY (s) = Gw(s) W(s) +Gv(s) V (s) (4.9)puis selon la dnition de la linarit du 1.7.5 page 45, les causes ajoutent leurseets. Il est ds lors possible de calculer y(t) par transforme de Laplace inverse :y(t) = L1{Y (s)} = L1{Gw(s) W(s)} +L1{Gv(s) V (s)} (4.10)Chapitre4 141 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3 Rgulateur PID analogique4.3.1 IntroductionLe rgulateur, dont la fonction de transfert est dsigne parGc(s) ("control-ler", Regler), est situ en amont du systme rglerGa(s).-5W(s) Y(s) Gc(s) Ga(s)U(s) E(s)REGULATEURSYSTEMEA REGLERV(s)f_04_03. epsFig. 4.6 Schma fonctionnel dun systme asservi mono-variable. On distinguele rgulateurGc(s) et le systme rglerGa(s) (chiersource).Lesystmergler Ga(s)comprend, outreleprocessus, lamplicateurdepuissance,lactionneur,lecapteuretllectroniquedetraitementdelamesureassocie.5+-5++w(t)v(t)y(t)Ga1(s) Ga2(s)rgulateurpartie du systme rglersitue avant l' introductiondes perturbations v(t)(amplificateur de puissance,actionneur, etc)partie du systme rglersitue aprs l' introductiondes perturbations v(t)(processus, capteur, etc)e(t)Gc(s)u(t)f_04_23. epsFig. 4.7 Schma fonctionnel universel dun systme asservi (chiersource).Chapitre4 142 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueLentre du rgulateur comprend forcment la consigne w(t) et la mesure y(t)de la grandeur rgle. Le plus souvent la comparaisone(t) = w(t) y(t) (4.11)directe est eectue, appele cart ou erreur.Le rgulateur a pour charge de maintenir le signal derreure(t) aussi prochedezroquepossible ;danscebut,ilfournitausystmerglerlacommandeu(t) telle que limagey(t) de la grandeurrgle obtenue par mesure tende correspondre la consignew(t).La commandeu(t) est construite sur la base des signaux de consignew(t) etde mesurey(t) de la grandeur rgle selon la loi de commandeu(t) = u(w(t), y(t)) . (4.12)Ralise par une lectronique de signal (amplicateurs oprationnels) voire im-plants dans un microprocesseur ( 1.6 page 40), cette commande est en gnraldunfaibleniveaudepuissance, raisonpourlaquelleunamplicateurdepuis-sance est normalement intercal entre le rgulateur et le processus proprementparler. Ledit amplicateur de puissance fait ds lors partie intgrante du systme rgler ( 4.1.1 page 138).Applique au systme rgler, la commandeu(t) provoque donc une modi-cation de la grandeur rgley(t). Le rgulateur en tenant compte pour formeru(t), on constate quey(t) apparat : lorigine de laction entreprise par le rgulateur ;comme consquence de cette action.Reprsent graphiquement sous forme de schma fonctionnel, le systme prsentedonc une boucle, i.e. une boucle de contre-raction.La loidecommande du rgulateur peut tre trs simple (rgulateur tout-ou-rien, appel aussi rgulateur action 2 positions)u(t) = umaxsi e(t) > 0 (4.13)u(t) = uminsi e(t) < 0 (4.14)ou beaucoup plus complique (rgulateurs ous, rseaux de neurones).Chapitre4 143 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.2 Rgulateurs non-linairesSi lon imagine vouloir rgler la temprature dune salle et la maintenir auxenvirons de20[C], on se dit quil sut denclencher ou dclencher le chauageselon que la temprature ambiante est plus petite ou plus grande que la temp-rature souhaite (gure 4.8).Avec ce rgulateur, appel tout-ou-rien, ou encore action deux positions,latempratureoscilleralgrementautourde20[C]etcelasatisfactiondesutilisateurs de la salle. Cependant, le chauagiste risque dtre trs mcontent caril verra la chaudire senclencher et dclencher sans cesse pour de courts instants.Cette situation nest pas acceptable pratiquement. Pour viter cela, on lui prfreAAmplificateurde puissanceCorps dechauffeiTcuTextpthwPotentiomtrede mesurePotentiomtrede consigne+-euRgulateur action deux positionsComparateurGnrateurde consigneCapteuryPuissancedissipepar effet Joulef_04_26. epsFig. 4.8 Rgulation automatique de la temprature dun local (chiersource).unautrergulateurdeuxniveauxavechystrse(gure4.9pagesuivante).Danscecas, onverralatempratureoscilleravecplusdamplitudeautourde20[C] et cela sans gne pour le confort des personnes prsentes. De son ct, lechauagiste sera satisfait, car la chaudire senclenchera et dclenchera pour desChapitre4 144 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiqueu(t)w(t)+-euRgulateur action deux positionsavec hystrsey(t)e(t)f_04_29. epsFig. 4.9 Rgulateur action deux position avec hytrse(chiersource).dures raisonnables prservant ainsi sa dure de vie. Il faut cependant noter que0w(t)y(t)0u(t)tt-umax+umaxlargeur del' hystrsef_04_27. epsFig. 4.10 Allure de la grandeur rgle (temprature mesure) lors dun asser-vissement par rgulateur action deux position avec hytrse(chiersource).la non-linarit de ces rgulateurs simples rend dicile leur synthse sur la basedun cahier des charges xant les performances du systme asservi. Malgr cela,ilssontfrquemmentutilisspourdesapplicationsdontlactionneursupporteune forte sollicitation et pour lesquelles une oscillation constante de la grandeurrgley(t) autour de la consignew(t) est admissible. Un exemple dapplicationest la rgulation du courant fournit par une alimentation dcoupage [9].Dans ce qui suit, on se limitera la prsentation et ltude du rgulateurPID, de loin le rgulateur le plus utilis en pratique.Chapitre4 145 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.3 Rgulateur action proportionnelle (P)Loi de commande, fonction de transfert, rponses indicielle et harmo-nique du rgulateur PLe rgulateur action proportionnelle, ou rgulateur P, a une action simple etnaturelle, puisquil construit une commandeu(t) proportionnelle lerreure(t).Cette action sapparente un eet ressort (ressort de rappel).Loi de commande du rgulateur P :u(t) = Kp e (t) (4.15)Fonction de transfert du rgulateur P :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp(4.16)Schma fonctionnel du rgulateur P (gure 4.11)e(t) u(t) Kpf_04_01 _01 . epsFig. 4.11 Reprsentation dun rgulateur Ppar son schma fonctionnel(chiersource).Rponse indicielle du rgulateur P :0t [s]1e(t)=A(t)u(t)=Kpe(t)f_04_02_01 . epsFig. 4.12RponseindicielledurgulateurP(idal). Larponseentraitillrappelle quaucun systme physique ne peut ragir statiquement, i.e. sans retard.Danslecasduneralisationlectronique(amplicateursoprationnelsparexemple)durgulateurP, il estclairqueletempsdemonteesquissestenprincipengligeableparrapportauxconstantesdetempsdusystmergler(chiersource).Chapitre4 146 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueRponse harmonique du rgulateur P (gure 4.13)w [rad/s]A(w) [dB]0 [dB]w [rad/s]j(w) [deg]0+90-901 0-11 001 011 021 03Kp [dB]1 0-11 001 011 021 03-451/Tp0.1/Tp1/Tpf_04_07. epsFig. 4.13 Rponse harmonique du rgulateur P(chiersource).Lattnuation esquisse en traitill partir de la pulsation1Tprappelle que la ca-ractristique entre-sortie de tout lment physiquement ralisable tend toujoursvers 0 lorsque la frquence tend vers linni. Dans le cas du rgulateur P, elle estpar exemple due aux limites en frquence de lamplicateur oprationnel utilispour sa ralisation lectronique (gure 4.14 page suivante).Les inductance et capacit parasites des rsistances pourraient galement in-tervenir, certes plus haute frquence.Avantages et inconvnients de laction proportionnelleOnvoitquelergulateurPassureunetransmissioninstantanedusignalderreur ; dans ce sens, son action est relativement dynamique : sa commande nedpend pas du pass, ni dune tendance, mais simplement de ce qui se passe linstant prsent.Une limitation du rgulateur P est son incapacit annuler notamment ler-reur statiqueEven rgulation de maintien, i.e. celle qui apparat conscutive-ment lintervention dune perturbation constante. En eet, si la commande u(t)Chapitre4 147 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueR2+-u(t)e(t)R1( )( )( )/I7 I- I44?= = -21f_04_1 8_01 . epsFig. 4.14 Schma de principe de la ralisation lectronique dun rgulateur P(chiersource). appliquer au systme doit tre non-nulle an que celui-ci puisse retrouver oumaintenir son tat dquilibre, il est dans le mme temps ncessaire que lerreursoit non-nulle puisque :u(t) = 0 u(t) = Kp e (t) = 0 e (t) = 0 (4.17)La gure 4.15 page suivante illustre le phnomne pour le systme rglerGa (s) =Y(s)U (s)=1(1 +s) (1 +s 0.01)(4.18)contre-ractionn par un rgulateur P de gainKp= 50.Chapitre4 148 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.400.20.40.60.81t [s]Grandeur rgle y(t)Rponse indicielle avec un rgulateur P0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.402468t [s]Commande u(t)f_ch_04_01_1.epsFig. 4.15 Rponse indicielle en boucle ferme avec asservissement par rgulateurP : une erreur statique subsiste car le signal de commandeu(t) appliquer ausystme rglerGa(s) doit tre dans ce cas non-nul pour quey(t) atteigne unniveau dirent de zro(chiersource).Chapitre4 149 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.4 Rgulateur action intgrale (I)Le problme de lerreur statiqueLesexemplesdesasservissementsdevitesseetdetempraturevusaucha-pitre 1 ont montr quun systme, mme contre-ractionn par un rgulateur P,pouvait prsenter une erreur permanente en rgime permanent constant. Cetteerreur intervenant alors que les signaux dentre (consigne ou perturbation) sontconstants, on la dsigne par erreur statique.Dans le cas de la rgulation de vitesse ( 1.5.2 page 32), ce phnomne sex-plique par le fait que mme dans un cas aussi banal que lorsque le moteur est vitesse constante (= const.) et vide (Tem= 0[N m]), le moteur DC doit trealiment par une tension aux bornes de linduitua(t) gale la tension induitede mouvementem(t) :ua (t) = RaTemKT=0 [A]..ia (t) +KE=0 [V] .. em (t) (4.19)ia(t)5ua(t)Tem(t)M(t)5em(t)KTKEKmMy(t)5y(t)Kp1u(t)v(t)w(t)rgulateuramplificateurde

puissance(suppos

idal)capteur

devitessemoteur

DCe(t) 1 /Ra1 +sLa/Ra1 /Rf1 +sJ/Rff_04_1 1 . epsA vitesse non nulle, la commande u(t) etsa version amplifie en puissance ua(t)doivent tre non-nulles pour au moinsquilibrer la FEM em(t) qui estproportionnelle la vitesse M(t)Fig. 4.16AsservissementdevitessedunmoteurDC. Latensionua(t)auxbornes de linduit doit tre non-nulle si la vitesse(t) est dirente de zro, neserait-ce que pour quilibrer (au moins) la FEMem(t) (chiersource).Ainsi, mme en rgulation de correspondance, soit sans couple rsistant, ler-reur statique est non nulle :u() = em () = Kp e () = 0 Ew = 0 (4.20)Chapitre4 150 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueIl faut donc que le systme prsente une erreur pour quune tension dalimentationua() non-nulle soit applique aux bornes de linduit.Il nen va pas autrement en rgulation de maintien : si des perturbations decouple interviennent, telles que les frottements sec ou visqueux (gure 4.17) ouplusgnralementuncouplersistantTres(t)agissantsursonarbre,lemoteurdoit fournir du couple pour les compenser an de se maintenir en tat dquilibre.Ce couple (moteur) ne peut alors tre fourni que si la tensionua(t) aux bornesde linduit est suprieure la tension induiteem(t) :ua (t) = RaTemKT=0 [A]..ia (t) +KE=0 [V] .. em (t) (4.21)Celle-ci tant positive dirente de zro puisque le moteur tourne,ua(t) doitdonctrepositivedirentedezro.AvecunrgulateurdetypeP,lerreurnepeut donc qutre dirente de zro et le systme asservi prsente donc ce quonappelle du statisme.Couple defrottementVitesse0Couple defrottementVitesse0Frottement sec pur Frottement visqueux linaire f_04_38. epsFig. 4.17 Caractristiques couple/force-vitesse des frottements sec et visqueuxidaux(chiersource)Annulation de lerreur statiquePour remdier au problme du statisme, on pourrait dans un premier tempsaugmenter la consigne de la valeur de lerreur statique constate E (gure 4.18page suivante).Chapitre4 151 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquey(t)5y(t)Kpu(t)v(t)w(t)Ga(s) 5,w(t)e(t)potentiomtrew' (t)V+V-f_04_1 2_01 . epsFig. 4.18 Annulation manuelle de lerreur statique par dcalage de la consigne(chiersource).Sur cette lance, on pourrait dcider dagir directement sur la commande u(t)en procdant comme suit (gure 4.19) :ajouterlacommandeup(t)issuedurgulateurPlaquantitajustableui(t) ;augmenter ou diminuer ui(t) progressivement jusqu ce que e(t) soit nulle ; up est alors nulle (up= 0) etui est exactement gale la valeur ncessairelacompensationdelerreurstatique, etbienquelerreursoitnulle, lacommandeu(t) = up(t) +ui(t) est bel et bien non-nulle.y(t)5y(t)Kpup(t)v(t)w(t)Ga(s) 5ui(t)e(t)potentiomtreu(t)V+V-f_04_1 2_02. epsFig. 4.19 Annulation manuelle de lerreur statique par augmentation du signalde commande(chiersource).Chapitre4 152 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueEnvuedautomatisercetteprocdure, onlatranscritsurlediagrammedela gure 4.20. On voit quil sagit de trouver un lment, compltant laction P,Mesurer e(t)e(t)=0 ?Augmenter ui(t)(Diminuer ui(t))Maintenir ui(t)f_04_1 0. epsFig. 4.20 Annulation manuelle de lerreur statique par augmentation du signalde commande : suite des oprations eectues (chiersource).qui accumule le signal dentree(t) et se maintient son dernier niveau lorsquelerreurestnulle:lasolutionautomatisedelaprocdureconsisteintgrerlerreur. La loi de commande est donc :ui (t) =1Tit_e () d (4.22)La commande propose est forme des deux contributions up et ui, contributionsproportionnelle (P) et intgrale (I). Le rgulateur est donc actions proportion-nelle et intgrale : cest un rgulateur PI (gure 4.21 page suivante).Loi de commande, fonction de transfert, rponses indicielle et harmo-nique du rgulateur PILoi de commande du rgulateur PI :u(t) = Kp__e (t) +1Tit_e () d__(4.23)Fonction de transfert du rgulateur PI :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp1 +s Tis Ti(4.24)Chapitre4 153 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquey(t)5y(t)Kpup(t)v(t)w(t)Ga(s) 5ui(t)e(t) u(t)rgulateur PIf_04_1 3. epsKi/sFig. 4.21 Asservissement par rgulateur PI (chiersource).Schma fonctionnel du rgulateur PI :5e(t) u(t)f_04_01 _02. epsKp1sTiFig. 4.22 Schma fonctionnel du rgulateur PI (chiersource).Rponse indicielle du rgulateur PI :0t [s]1e(t)=e(t)KpTi( ) ( ) ( ) u t K e tTe dpit= + -1t tf_04_02_02. epsFig. 4.23 Rponse indicielle du rgulateur PI (chiersource).Chapitre4 154 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueRponse harmonique du rgulateur PI :w [rad/s]A(w) [dB]0 [dB]w [rad/s]j(w) [deg]0-90-1 801 0-11 001 011 021 03Kp [dB]1 0-11 001 011 021 03-451/Ti10/Ti0.1/Ti1/Ti10/Ti0.1/TiPIPIf_04_04. epsFig. 4.24 Rponse harmonique du rgulateur PI (chiersource).Chapitre4 155 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueRalisation lectronique de principe :R2+-u(t)e(t)R1C2f_04_1 8_02. epsFig. 4.25 Ralisation lectronique de principe dun rgulateur PI (chiersource).A la mise sous tension de linstallation, il faut veiller ce que la capacitC2 soit initialise une valeur correcte (en principe dcharge), sans quoi lesystme risque demble de recevoir un saut de commande u(t). Un dispositifde dcharge deC2 est donc prvoir.Le rgulateur PI est le rgulateur le plus utilis en pratique o ses contributions la prcision mais aussi la robustesse du systme asservi sont particulirementapprcies.Rgulateur I purLactionPdurgulateurPInestpasutiledupointdevuedelaprcisionen rgime permanent ; cependant, le fait que laction P permette la transmissioninstantane du signal derreur rend le rgulateur PI plus dynamique que le rgula-teur I pur discut ici, mis en oeuvre dans quelques cas particuliers o le critre deperformance "rapidit" nest pas important et o lon souhaite avoir une actionrelativement "molle" sur le systme rgler.Loi de commande du rgulateur I :u(t) =KpTit_e () d= Kit_e () d (4.25)Fonction de transfert du rgulateur I :Gc (s) =U (s)E (s)=Kps Ti=Kis(4.26)Chapitre4 156 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueRemarque La fonction de transfert ci-dessus est bel et bien celle dun rgula-teur I pur : elle traduit le fait que la commandeu(t) dlivre par le rgulateurest proportionnellelintgraledelerreur. Elle ne comporte donc pas decontribution proportionnelle lerreur et doit de ce fait tre distingue du rgu-lateur PI qui lui comporte les 2 actions simultanment. Il sagit dune confusionrencontre chez certains tudiants. . .Avantages et inconvnients de laction intgraleLa rponse harmonique du rgulateur PI (gure 4.24 page 155) montre quecelui-ci est action plutt intgrale basse frquence et plutt proportionnellehautefrquence. Cecomportementintgrateurbassefrquencefaitlavan-tage du principal du rgulateur PI, son action I permettant dannuler une erreurstatique. Cela peut galement se comprendre en observant sur la rponse harmo-nique qu basse frquence, le gain de lintgrateur tend vers linni : en dautrestermes, le gain de boucleGo(j) = Gc(j) Ga(j) (4.27)tend vers linni et lon a, en rgulation de correspondance dune partGw (j ) =Y(j )W (j )=Go (j )1 +Go (j ) 1 pour Go (j ) (4.28)et en rgulation de maintien dautre partGv (j ) =Y(j )V(j )=Ga2 (j )1 +Go (j ) 0 pour Go (j ) (4.29)Lexamen de ces deux fonctions de transfert en boucle ferme, values en bassesfrquences, peutmontrerunautreavantagedutermeintgrateur: si legainGa(j) varie quelque peu, par suite de lusure, du vieillissement, de la tempra-ture, etc, les performances en boucle ferme du systme ne sen ressentent quefaiblement puisque lon a approximativement :Gw (j ) =Y(j )W (j )=Go (j )1 +Go (j ) 1 + 1 (4.30)Gv (j ) =Y(j )V(j )=Ga (j )1 +Go (j ) Ga (j )1 +0 (4.31)On dit que le rgulateur action intgrale amliore la robustesse du systme,rendant en particulier ses performances de prcision peu dpendantes des varia-tionsdesparamtres(notammentdugainpermanentKa)dusystmerglerGa(s).Chapitre4 157 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueS-w(t) y(t)Go(s)( )( )( )( )( )G sY sW sGsGswoo= =+ 1f_04_24. epsFig. 4.26 Schma fonctionnel pour le calcul de la fonction de transfert en boucleferme, rgulation de correspondance(chiersource)1sS1s1s++v(t)y(t)-Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)( )( )( )( )( )GsY sV sG sGsvao= =+21f_04_26. epsFig. 4.27 Schma fonctionnel pour le calcul de la fonction de transfert en boucleferme, rgulation de maintien(chiersource)LinconvnientdurgulateurPIpeutsedduiredirectementdesarponsefrquentielle (gure 4.24 page 155), laquelle montre qu basse frquence, tous lessignaux sont dphass de 90[] : laction intgrale est lente et ralentit ainsi lapropagation des signaux dans la boucle. Elle augmente ainsi le risquedinsta-bilit inhrent tout systme contre-ractionn. Il faut donc tre sur ses gardeslorsque lon sapprte mettre en oeuvre un rgulateur comprenant une actionintgrale. Dans le meilleur des cas, la stabilit du systme est maintenue grceau talent de lingnieur automaticien mais ses performances dynamiques (ra-pidit) sont forcment dgrades en comparaison des rsultats obtenus avec unrgulateurPseul. Onobtientdoncunsystmeasservi plusprcismaismoinsrapide.Deplus, lacommande intgrale atteignant sonmaximumlorsquelerreurestnulle, i.e. lorsque la grandeur rgley(t) atteint la consignew(t),il est vraisemblable (mais pas garanti) que la rponse indicielle (en rgulation decorrespondance) du systme asservi prsente un dpassement de la consigne plusimportant quavec un rgulateur P. En eet, en se plaant dans la situation o lesystme asservi reoit un saut de consignew(t)=(t), on comprend dune ma-Chapitre4 158 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquenire intuitive que la contribution intgrale ne cesse de crotre que lorsque lerreursannule (gure 4.28). Ainsi, laction I "pousse" de plus en plus le systme toutpendant que lerreur est de mme signe et lentrane dautant plus violemmentque le gainKpTisur cette action est lev. Si, au momentt01o lerreur sannulepour la premire fois, la commandeu(t01) est trop leve, le systme dpasse laconsigne et lerreur change de signe : il y a dpassement. Ceci est en fait nces-saire pour que la commande atteigne son niveau nal, lerreur devant forcmentchanger de signe an de diminuer le contenu de lintgrateur, lequel devant trou-ver le niveau requis pour maintenir le systme son nouvel tat dquilibre y()dtermin par la consigne.0 1 2 3 4 5 6 700.511.52t [s]Grandeur rgleRponses indicielles avec rgulateur P et IKp=50, Ki=0Kp=0, Ki=1.12Kp=0, Ki=12.50 1 2 3 4 5 6 721012345t [s]CommandePIIf_ch_04_02_1.epsFig. 4.28 Rponses indicielles en boucle ferme, rgulateur P pur avec Kp= 50,I pur avecKi= 12.5 etKi= 1.12(chiersource).La gure 4.28 illustre le phnomne pour le systme rglerGa (s) =Y(s)U (s)=1(1 +s) (1 +s 0.01)(4.32)contre-ractionn de trois manires direntes :rgulateur P de gainKp= 50 ;Chapitre4 159 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquergulateur I pur de gainKi= 1.12 ;rgulateur I pur de gainKi= 12.5.On observe quen t01, pour Kp= 0, lerreur sannule mais les commandes sontrespectivement nulle et maximale pour les rgulateurs P et I. De plus, lorsque legain sur laction intgrale est trop lev, un comportement oscillatoire mal amortiest observable. Enn, il vaut la peine de remarquer quavec le rgulateur P, uneerreur statique subsiste alors quen revanche, le systme est beaucoup plus rapide.Chapitre4 160 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.5 Rgulateur actionproportionnelle(P) et drive(D)Considrons les deux situations suivantes (gure 4.29), o lerreure(t0) a lamme amplitude, mais oelle crot dans le premier cas ;elle dcrot dans le second cas.t [s]e(t)0t0e(t0)t [s]e(t)0t0e(t0)Situation 1:l' erreur crot en t=t0Situation 2 :l' erreur dcrot en t=t0f_04_09. epsFig. 4.29 Prsentation de situations dasservissement identiques en t = t0 pourun rgulateur P(chiersource).Intuitivement, on conoit quil serait illogique dappliquer dans ces deux situationsla mme commandeu(t0), bien que ce soit bel et bien laction quentreprendraitun rgulateur de type P!Il vient alors lide de former la commandeu(t0) non pas en tenant compteexclusivement de lamplitude de lerreur (action P) linstant considrt0, maisaussidesonvolution,danslebutdesavoirquelleestlatendancedusignalderreur et den quelque sorte de la prvoir. Un bon moyen consiste valuer sontaux de variation, savoir sa pente en calculant la drive de lerreur ent0.Pour ce faire, la drive par rapport au tempsdedtdu signal derreure(t) estcalculeaumoyendunblocfonctionnel. Multiplieparungainajustable Tdan de pouvoir doser son action, cette contribution est ensuite ajoute celle delaction P. La loi de commande du rgulateur PD obtenu est alors :u(t) = Kp_e (t) +Tddedt_(4.33)Chapitre4 161 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueLoi de commande, fonction de transfert, rponses indicielle et harmo-nique du rgulateur PDLoi de commande du rgulateur PD :u(t) = Kp_e (t) +Tddedt_(4.34)Fonction de transfert du rgulateur PD :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp (1 +s Td) (4.35)Schma fonctionnel du rgulateur PD :5e(t) u(t)f_04_01 _03. epsKp sTdFig. 4.30 Schma fonctionnel du rgulateur PD(chiersource).Rponse indicielle du rgulateur PD :0t [s]1e(t)=e(t)KpTdd(t)0t [s]1e(t)=e(t)KpTdd(t)( ) ( )u t K e t Tdedtp d= + f_04_02_03. epsFig. 4.31 Rponse indicielle du rgulateur PD(chiersource).Chapitre4 162 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueRponse harmonique du rgulateur PD :Gc (j ) =U (j )E (j )= Kp (1 +j Td) (4.36)w [rad/s]A(w) [dB]0 [dB]w [rad/s]j(w) [deg]0+90-901 0-11 001 011 021 03Kp [dB]1 0-11 001 011 021 03+451/Td10/Td0.1/Td1/Td10/Td0.1/TdPDDPf_04_05. epsFig. 4.32 Rponse harmonique du rgulateur PD(chiersource).Chapitre4 163 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueAvantages : eet stabilisant et amlioration de la rapiditLaction D apporte une amlioration notable du comportement dynamique,acclrant la vitesse de raction du rgulateur aux moindres variations de lerreur.Ainsi, un signal derreur, si faible que soit son amplitude, pourra gnrer une r-action trs nergique du rgulateur si son taux de croissancededtest lev. LactionD anticipe donc lvolution de la grandeur rgley(t) et a tendance acclrerlapropagationdessignauxdanslaboucle, commeleconrmelarponsehar-monique ci-dessus, laquelle montre que les signaux de haute frquence subissentune avance de phase tendant asymptotiquement vers+90[]. On peut dores etdj dduire de cette constatation que laction D a un eet plutt favorable surla stabilit du systme asservi : il est donc important de raliser que laction Dest plutt stabilisante et amliore la rapidit des systmes.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.511.52t [s]Grandeur rgleKp=1, Td=0Kp=1, Td=30 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010.500.511.52t [s]Grandeur de commandeKp=1, Td=0f_ch_04_03_1.epsFig. 4.33 Rponses indicielles en boucle ferme, pour un mme systme asservipar un rgulateur P puis un rgulateur PD. Ce dernier ore, avec la mme actionproportionnelle (Kp=1 dans les 2 cas) un comportement mieux amorti et tout la fois plus dynamique(chiersource).Lagure4.33comparelesrponsesindiciellesenboucleferme,rgulationChapitre4 164 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquedecorrespondance, avecdesrgulateursPetPDdemmegainproportionnelKp= 1 :Systme rgler :Ga (s) =Y(s)U (s)=100(1 +s 10) (1 +s 100)(4.37)Rgulateur P :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp= 1 (4.38)Rgulateur PD :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp (1 +s Td) = 1 (1 +s 3) (4.39)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.20.40.60.811.21.4t [s]Grandeur rgle y(t)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010.500.511.52t [s]Grandeur de commandeuudupf_ch_04_03_2.epsFig. 4.34 Rponse indicielle en boucle ferme avec rgulateur PD. La dcompo-sition de la commande u(t) en ses contributions proportionnelle (uP(t)) et drive(uD(t)) montre bien leet danticipation ("freinage") de laction D(chiersource).Outre le comportement moins oscillatoire du systme asservi par un rgulateurPD, on remarque que le systme est plus rapide. Quant la commande, on vrieChapitre4 165 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquesur la gure 4.34 page prcdente quaprs une impulsion de grande amplitudesuivantimmdiatementlapplicationdusautunitdeconsigne, ellechangedesignepour"freiner"lesystme, lerreurtantdjentraindedcrotre. Elleestpardailleursenavancesur e(t), contrairementlacommandepurementproportionnelle.Des contre-exemples dmentant cette armation peuvent cependant tre trou-vs en relevant que si que leet davance de phase de laction D est favorable parlefaitquilfacilitelapropagationdes signauxdanslaboucle,cette avanceestnanmoins limite la valeur (certes respectable) de+90[], alors que le gaincontinue crotre sans limite apparente au rythme de+20_dBdcade. Il est doncplausible de se retrouver dans une situation ou les+90[] davance que subit unsignal hautefrquencesontenpartieoutotalementcompenssparlesretardspropres au systme rgler (par exemple dans le cas dun systme possdant unretard pur) alors que le gain reste une valeur leve. Les mthodes danalyseharmonique tudies ultrieurement ( 6.7 page 223) permettront de quantierprcisment cet eet et de sen prmunir.UneconsquencedirectedeleetdanticipationdelactionDestquil estaprioriplusfaciledelimiterlesdpassementsdelarponseindicielleavecunrgulateur PD quavec un rgulateur P ou PI : laction D apporte une contributionallantdiminuantdslemomentolerreurdcrot, introduisantainsi uneetdefreinagelorsdelapprochedelaconsigne. Danscesens, lactionDestunecommande particulirement "intelligente".Inconvnients : sensibilit aux bruits et prcision statiqueUn inconvnient majeur de laction D est rechercher au niveau de leet desbruitsn(t) intervenant sur la mesure (gure 4.35 page ci-contre). Le drivateuramplie leet des bruits et ceci dautant plus que ceux-ci se situent par naturedans une gamme de frquences relativement leves. On a en eet, dans le casdun bruit sinusodaln(t) =N sin (2 f t) de frquencef:dndt=ddt_ N sin (2 f t)_ = 2 f N. .amplitude multiplie par f cos (2 f t) (4.40)Enconsquence, lacommandeu(t)peuttresavrerinutilisable, malmenantle systme rgler et notamment lactionneur par des -coups trs violents (-gure 4.36 page 168). Il sagit l dun problme trs important auquel on se heurtepresquetoujoursenpratique. Unebauchederemdeseraproposeaupara-graphe 4.3.5 page 169.Un problme li la trs grande dynamique de la raction du terme D appa-rat galement lorsque la consigne varie brutalement : le systme rgler ayanttoujours de linertie, i.e. son temps de raction ntant pas inniment court, lavariationbrutaledelaconsignesereteinstantanmentsurlerreur, dontlaChapitre4 166 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique-W(s) Y(s) Gc(s) Ga(s)U(s) E(s)V(s)55N(s)bruit sur la mesuref_04_28. epsFig. 4.35 Prise en compte de la prsence bruitn(t) sur la mesure(chiersource).drive peut amener la commande des valeurs trs leves, comme le montre larponse indicielle du rgulateur PD (gure 4.31 page 162). Pratiquement, lam-plitude de la commande est toujours limite, ne serait-ce quenaturellement, car la puissance disponible bien sr elle aussi limite,ou encorearticiellement des ns de protection de lactionneur.En consquence, il est trs vraisemblable qu la suite dune variation trop ra-pide de la consigne, une saturation de la commande u(t) intervienne, faisant ainsitravailler le systme en rgime non-linaire. Outre le fait quune telle situation estanormale et ne devrait pas se prolonger, cela signie que le modle du systme rgler ne correspond plus celui adopt. Lanalyse et la prdiction de compor-tement, si ellerestepossible, devientnanmoinsplusdicile. Enpratique, onvite donc dexciter un systme asservi avec des signaux ancs abrupts commelesautunitenestunexemple. Cedernierestetrestedoncpluttunsignaldanalyse rserv lidentication de la fonction de transfert Ga(s) du systme rgler ou plus simplement aux tudes thoriques. Une alternative consiste ltrerla consigne an de limiter ses variations (gure 4.38 page 169).Dautrepart, si lactionDestparticulirementbnqueenrgimetransi-toire, lorsque la consigne et/ou la grandeur rgle voluent, orant une meilleureprcision dynamique, il nen va pas de mme en rgime permanent o la contri-butiondriveestdautantplusfaiblequelerreurvariepeu:elleestmmenulle lorsque lerreur est constante ! De ce fait, il est exclu, dans le contexteChapitre4 167 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.13020100102030c, m [t/min]Influence du bruit de mesure sur la commande dans le cas dun asservissement de vitesse0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.40.30.20.100.10.20.3u [V]t [s]f_bruit_02_1.epsFig. 4.36 Inuence du bruit de mesure dun asservissement de vitesse. Bien quela consigne de vitessec soit zro, la vitesse mesurem sen carte continuel-lement, le rgulateur ragissant au bruit de mesure(chiersource).dunsystmeasservi, demettreenoeuvreunrgulateuractionDseule. Untel rgulateur serait trs ecace en rgime dynamique mais savrerait bien srtotalement inoprant en rgime permanent constant, incapable de ragir dans lecas pourtant le plus facile, i.e. celui ou lerreur est constante. Pour lexemple dela rgulation de vitesse de moteur DC prcdemment tudi, cela signie quuneerreur de vitesse constante ne gnrerait aucune tension aux bornes de linduit :ua(t) = 0 [V] !Laction D namliore donc pas directement la prcision en rgime permanent,cette tche tant la charge de laction P voire de laction I si un rgulateur com-prenant les trois types dactions P, I et D est mis en oeuvre. En consquence,on notera que laction D ne permettant pas la transmission dun signalconstant, elle doit donc toujours saccompagner au moins dune actionP en parallle (rgulateur PD).Toutefois, par le fait que laction D est plutt stabilisante, le gain de lactionP peut parfois tre ajust une valeur plus leve en minimisant le risque dinsta-Chapitre4 168 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquew(t)y(t)u(t)y(t)RgulateurSYSTEMEAREGLERvu+umax-umaxLIMITATIONv(t)f_04_1 9. epsFig. 4.37 Limitation volontaire (et ncessaire en pratique) de la grandeur decommande, des ns de protection du systme rgler (chiersource).5-w(t) y(t)Go(s) Gfiltre(s)wfiltr(t)Gw(s)f_04_20. epsFig. 4.38 Filtrage de la consigne an dviter les saturations de la commande(chiersource).bilit : la prcision en rgime permanent peut tre ainsi amliore indirectementpar laction drive.Rgulateur PD ralisableLoprateur "ddt" ou "s" eectuant la drive du signal derreur (gure 4.30page 162) nest pas ralisable physiquement ; en eet, lexamen de son diagrammedeBode(gure4.32page163)montrequesongainA()tendverslinnienmme temps que la frquence du signal. La puissance de celui-ci est alors, dansle cas dun signal sinusodal damplitude unitaire :p (t) =_ ddte (t)_2=_ ddt sin ( t)_2= 2 cos2( t) (4.41)limp(t) = (4.42)Cette puissance tend vers linni lorsque en fait autant, ce qui rend caduque laralisation dun drivateur pur. Il faut donc sattendre ce qu partir dune cer-taine frquence, le gainA() du drivateur rel cesse daugmenter au rythme deChapitre4 169 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique20_dBdcade et se stabilise une valeur constante avant mme de dcrotre. Les fr-quences caractristiques correspondantes sont lies aux imperfections invitablesde la ralisation, telle que par exemple la bande passante nie des amplicateursoprationnels, lescapacitsparasitesdestagesamplicateursouplussimple-ment des rsistances, tout autant dlments qui provoquent une attnuation dugain partir dune frquence plus ou moins leve.Enpratique, lesconsquencessontngligeables, eugardlagammedesfrquencesauxquellescesphnomnesparasitesinterviennent.Quiplusest,onsouhaitera mme dans certains cas amplier leur eet en compltant dlibrmentlactionD parunltrage passe-basde pulsationcaractristique1aTdnettementplus basse. La raison cela est dordre essentiellement pratique : on souhaite parce moyen attnuer leet des bruits. Aussi le rgulateur PD ralis a-t-il souventpour fonction de transfert :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp_1 +s Td1 +s a Td_= Kp1 +s (1 +a) Td1 +s a Td(4.43)oaestuncoecientajustablenommfacteurdavancedephase valantengnral0.1 0.2.5e(t) u(t)++f_04_30. epsKpsTd1 +saTdFig. 4.39 Schma fonctionnel dun rgulateur PD ralisable(chiersource).Ce rgulateur est parfois appel rgulateur avance de phase,en raison delavance provisoire quil apporte la phase, comme le montre sa rponse harmo-nique (gure 4.40 page suivante). Le calcul et le trac de la rponse indicielle dece rgulateur sont faits en exercice.Chapitre4 170 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquew [rad/s]A(w) [dB]0 [dB]w [rad/s]j(w) [deg]0+90-901 0-11 001 011 021 03Kp [dB]1 0-11 001 011 021 03+451/((1+a)Td) 0.1/((1+a)Td)1/(aTd)1/(aTd)PPDD PP10/((1+a)Td)1/((1+a)Td) 0.1/((1+a)Td) 10/((1+a)Td)0.1/(aTd)0.1/(aTd)f_04_08. epsFig. 4.40 Rponse harmonique dun rgulateur PD ralisable(chiersource).Chapitre4 171 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.6 Rgulateur industriel PIDLe rgulateur PID, i.e. Proportionnel-Intgral-Drive, est la combinaison destroisactionsdebaseP,IetD.GrceautermeI,ilpermetlannulationduneerreur statique tout en autorisant grce laction D des performances de rapiditsuprieures celles dun rgulateur PI.Loi de commande du rgulateur PID :u(t) = Kp__e (t) +1Tit_e () d+Tddedt__(4.44)Fonction de transfert du rgulateur PID :Gc (s) =U (s)E (s)= Kp1 +s Ti +s2 Ti Tds Ti(4.45)Schma fonctionnel du rgulateur PID :5e(t) u(t)f_04_01 _04. epssTd1sTiKpFig. 4.41 Schma fonctionnel du rgulateur PID(chiersource).Rponse indicielle du rgulateur PID :0t [s]1e(t)=e(t)KpTiKpTdd(t)( ) ( ) ( )u t K e tTe d Tdedtpitd= + + -1t tf_04_02_04. epsFig. 4.42 Rponse indicielle du rgulateur PID(chiersource).Chapitre4 172 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquew [rad/s]A(w) [dB]0 [dB]w [rad/s]j(w) [deg]0P-901 0-11 001 011 021 03+45-451/Tc110/Tc10.1/Tc11/Tc210/Tc20.1/Tc2I D+90wn10wn0.1wn1 0-11 001 011 021 031/Tc110/Tc10.1/Tc11/Tc210/Tc20.1/Tc2wnf_04_06. epssi (1 +sTi+s2TiTd) = (1 +2z/wns+s2/wn2) n' est pas factorisable (zros complexes)si (1 +sTi+s2TiTd) = (1 +sTc1)(1 +sTc2) est factorisable (zros rels)Fig. 4.43 Rponse harmonique du rgulateur PID(chiersource).Rponse harmonique du rgulateur PID :Gc (j ) =U (j )E (j )= Kp1 +j Ti + (j )2 Ti Tdj Ti(4.46)Pour tablir les fonctions de transfert des rgulateurs PD et PID, on a supposque le drivateur pur tait ralisable. Ceci explique pourquoi les expressions deGc(s) obtenuesGc (s)|PID=U (s)E (s)= Kp1 +s Ti +s2 Ti Tds Ti(4.47)Gc(s)|PD=U(s)E(s)= Kp (1 +s Td) (4.48)Chapitre4 173 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquepossdent plus de zros que de ples, i.e. ont un degr relatif d ( 2.5.3 page 83) telque d = nm < 0. Cette supposition se justie pour autant que les phnomnesparasites qui interdisent la construction dun drivateur pur interviennent desfrquences nettement suprieures la zone de travail du rgulateur, ce qui est enprincipe le cas. On peut donc souvent les prendre telles quelles pour les tracs derponses indicielles ou harmoniques.En ralit, tout systme physiquement ralisable possde plus de ples que dezros (d = n m > 0), ce qui se traduit concrtement par le fait que le gain detout systme nit par dcrotre et dphaser les signaux lorsque la frquence estsusamment leve. Notons que cette armation rend galement impossible laralisation dun gain pur (d = n m = 0) !M [rad/s]A(M) [dB]0 [dB]d=n-m=0d=n-m0f_04_22. epsFig. 4.44 Allures gnrales des gains de systmes degr relatif d = nm < 0,d=n m=0 etd=n m>0. Seul ce dernier est physiquement ralisable(chiersource).Le calcul suivant montre cela pour un systme dynamique linaire dordren,ayantm zros et de type (i.e. ayant ples ens = 0 [s1]) :G(s) =U (s)E (s)=Ks 1 +s b1 +. . . +sm1 bm1 +sm bm1 +s a1 +. . . +sn1 an1 +sn anG(j ) =K(j ) 1 + (j ) b1 +. . . + (j )m1 bm1 + (j )m bm1 + (j ) a1 +. . . + (j )n1 an1 + (j )n anlimG(j ) =K bman(j )nm=_A() = |G(j )|| Kbmannm() = arg {G(j )}| (n m) (90[])(4.49)Chapitre4 174 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.7 "Hit parade" des rgulateurs classiquest [s]yI(t)yPI(t)yP(t)yPID(t)yPD(t)0w(t)f_04_21 . epsFig. 4.45 "Hit parade" des rgulateurs classiques (chiersource).Action Avantage DsavantageP dynamique nepermetpasdannuleruneer-reur statiqueI annulation derreur statique,amlioration de la robustesseactionlente, ralentit le systme(eet dstabilisant)D actiontrs dynamique, amliorela rapidit (eet stabilisant)sensibilit aux bruits forte sollici-tation de lorgane de commandeTab. 4.1 Rsum des eets respectifs des actions P, I, et D.Chapitre4 175 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.4 Mthodes empiriques de synthse (selon [1])En 1942, Ziegler et Nichols ont propos deux approches exprimentales des-tines ajuster rapidement les paramtres des rgulateurs P, PI et PID. La pre-mire ncessite lenregistrement de la rponse indicielle du systme rgler seul(Ga(s)), alors que la deuxime demande damener le systme en boucle ferme sa limite de stabilit.Il estimportantdesoulignerquecesmthodesnesappliquentengnralqudessystmessanscomportementoscillantetdontledphasageenhautesfrquences dpasse 180[]. Ces systmes possdent souvent un retard pur et/ouplusieurs constantes de temps. On les rencontre surtout dans les processus physico-chimiques tels que les rgulation de temprature, de niveau, de pression, etc.4.4.1 MthodedeZiegler-Nicholsenboucleouverte(pre-mire mthode de Ziegler-Nichols)Surlenregistrementdelarponseindicielle(gure4.46)duseulsystmergler (cest--dire sans le rgulateur), on trace la tangente au point dinexionQ de la courbe. On mesure ensuite les tempsTu correspondant au point dinter-section entre labscisse et la tangente ainsi que le tempsTg("temps de montede la tangente").0 5 10 15 20 250.200.20.40.60.811.2TuTu+Tgt [s]Rponse indicielle du systme rgler seul, Tu=3.1109, Tg=7.3892QFig. 4.46 Rponse indicielle du systme rgler seul : on mesure les tempsTuetTg(chiersource).Chapitre4 176 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueOnpeut alors calculer les coecients durgulateur choisi laideduta-bleau 4.4.1.Type KpTiTdPTgTu- -PI 0.9 TgTu3.3 Tu-PID 1.2 TgTu2.0 Tu0.5 TuTab. 4.2AjustagedesgainsdergulateursP, PIetPIDselonlapremiremthode de Ziegler-Nichols.Gnralement les gains proportionnels (Kp) proposs par Ziegler-Nichols sonttrop levs et conduisent un dpassement suprieur 20%. Il ne faut donc pascraindre de rduire ces gains dun facteur 2 pour obtenir une rponse satisfaisante.Une illustration de cette dmarche est donne ci-dessous.ExempleConsidrant la rponse indicielle dun systme apriodique (gure 4.46 pageprcdente), on peut y mesurer : Tg= 7.4 [s] Tu= 3.1 [s]Du tableau de Ziegler-Nichols, on tire les trois paramtres du rgulateur Kp= 1.2 TgTu= 2.8, rduit de50%, ce qui donneKp= 1.4 Ti= 2.0 Tu= 6.2 [s] Td= 0.5 Tu= 1.55 [s]La division par 2 de la valeur du gain proportionnel permet dobtenir une rponseindicielle tout fait satisfaisante (deuxime graphe, gure 4.47 page suivante).4.4.2 Mthode de Ziegler-Nichols enboucle ferme (se-conde mthode de Ziegler-Nichols)Cette mthode ncessite de boucler le systme sur un simple rgulateur pro-portionnel dont onaugmentelegainjusquamener lesystmeosciller demanire permanente (gure 4.48 page 179) ; on se trouve ainsi la limite de sta-bilit du systme. Aprs avoir relev le gain critique Kcr et la priode doscillationTcr de la rponse, on peut calculer les paramtres du rgulateur choisi laide dutableau 4.4.2 page suivante.Les valeurs proposes par Ziegler et Nichols ont t testes dans de trs nom-breuses situations et il faut souligner quici galement elles conduisent un tempsde monte relativement court assorti dun dpassement lev.Chapitre4 177 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique0 5 10 15 20 2500.20.40.60.811.21.4t [s]Rponse indicielle en boucle ferme, Kp=1.4251, Ti=6.2218[s], Td=1.5555[s]Fig. 4.47 Rponse indicielle en boucle ferme, rgulateur PID ajust selon lapremire mthode de Ziegler Nichols (chiersource).Type KpTiTdP 0.5 Kcr- -PI 0.45 Kcr0.83 Tcr-PID 0.6 Kcr0.5 Tcr0.125 TcrTab. 4.3Ajustagedes gains dergulateurs P, PI et PIDselonlasecondemthode de Ziegler-Nichols.Cettesituationntantpastoujourssatisfaisante, onestamencorrigerlgrement les coecients proposs et, enparticulier, diminuer legainKp.Une modication possible est propose par le tableau 4.4.2 page suivante. Il estimportant de remarquer que les paramtres Ti et Td proposs dans les 2 mthodesde Ziegler-Nichols ont t xs dans un rapport constant gal 4. Cela conduit,pour le rgulateur, 2 zros confondus en12 Td= 2Ti(4.50)4.4.3 Auto-ajustement dun rgulateur PIDUne exprience telle que celle propose au 4.4.2 nest gnralement pas ad-mise en milieu industriel car la matrise de lamplitude des oscillations est dlicateChapitre4 178 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique-5w(t) Ga(s)u(t) e(t)f_04_32. epsKpy(t)tAcrTcry(t)Kcr0Fig. 4.48 Mise en oscillation dun systme par contre-raction(chiersource).Type KpTiTdP 0.4 Kcr- -PI 0.4 Kcr0.4 Tcr-PID 0.4 Kcr0.4 Tcr0.1 TcrTab. 4.4 Ajustage modi des gains de rgulateurs P, PI et PID selon la secondemthode de Ziegler-Nichols.et le risque dune perte de stabilit est trop grand. An de contourner ce problme,on prfre crer les oscillations entretenues laide dun rgulateur tout-ou-rien,tout en limitant lamplitude du signal de commandeu(t) A. Ainsi, loscilla-tion de la grandeur rgle y(t) sera galement limite (gure 4.49 page suivante).Onnoteraquenrgimepermanent, lesignal decommandeu(t)estunsignalcarrdamplitudeAetquelagrandeurrgley(t)estpriodiquedamplitudeAcr, mais non purement sinusodal. Considrant, dans une premire approxima-tion, que cette amplitude nest pas trs loigne de celle du premier harmoniqueY1Acrdey(t) (on rappelle que le systme rglerGa(s) est typiquement denature ltre passe-bas) et sachant que celle du signal carru(t) vautU1= 4 A,on dtermine le gain du systme pour cette frquence en eectuant le rapportY1U1des harmoniques dordre 1.Le systme boucl tant en oscillation entretenue la pulsationcr, son gainde boucle en cette pulsationGo(j cr) = Kpcr Ga(j cr) = KpcrY1U1= 1 (4.51)Chapitre4 179 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique-5w(t) Ga(s)u(t)e(t)f_04_31 . epsPIDeu+A-A"RELAIS"y1(t)tAcrTcrt4A/FAu1(t)u(t)y(t)Fig. 4.49Miseenoscillationcontrledunsystmeasservi aumoyendunlment non-linaire (caractristique de relais) (chiersource).est ds lors 1 ( 1.5.3 page 33) ; si le gain du systme rgler la frquencedoscillation estY1U1, son inverse nest autre que le gain critiqueKp=Kcrquilfaut placer dans le rgulateur pour transformer lensemble en un systme oscillantde manire permanente. On se trouve alors dans la situation dcrite par Ziegler-Nichols dans la mthode en boucle ferme. Alors :Kcr=1|Ga(j cr)|=_Y1U1_1=4 AAcr(4.52)En saidant du tableau de Ziegler-Nichols, on a ainsi la possibilit dobtenir ex-primentalement et automatiquement les paramtres dun rgulateur PID.Il est intressant de souligner que cette mthode ne ncessite aucune connais-sance pralable de linstallation rgler. Il sut de lancer linstallation avec lergulateurtout-ou-rienpuis, unefoislesparamtrestrouvs, delecommuteren rgulation automatique. Cette approche, dnomme mthode du relais, a tpropose en 1984 par strm et Hgglnd de luniversit de Lund en Sude.ExempleUne illustration de ces possibilits est donne ci-dessous avec un systme pos-sdant 3 constantes de temps et un retard pur dont la fonction de transfert vaut :G(s) =Y (s)U(s)=es1.5(1 +s 2)3(4.53)Chapitre4 180 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiquePour ce systme, la mthode du relais nous donne une priodeTcr de12.6 [s] et0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001050510Commande dlivre par le relais0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100420246t [s]Signal de sortieFig. 4.50Mthodedurelais: onmesurelapriodedoscillationTcretsonamplitudeAcr(chiersource).un gain critiqueKcrKcr=4 AAcr=4 105= 2.55 (4.54)A partir de l et du tableau de Ziegler-Nichols modi (tab. 4.4.2 page 179), onen tire : Kp= 0.4 Kcr= 1.1[] Ti= 0.4 Tcr= 5.0 [s] Td= 0.1 Tcr= 1.26 [s]Lintroductiondecesparamtresdanslergulateurconduitlarponseindi-cielle en boucle ferme illustre sur la gure 4.50. Cette rponse est pratiquementoptimale et est donc tout fait satisfaisante. Il est intressant de comparer lesrponses indicielles obtenues par les 2 mthodes de Ziegler-Nichols (gures 4.47page 178 et 4.51 page suivante). Dans les 2 cas, le systme tait le mme et onChapitre4 181 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique0 5 10 15 20 2500.20.40.60.811.21.4t [s]Rponse indicielle en boucle ferme, Kp=1.1, Ti=5[s], Td=1.26[s]Fig. 4.51 Rponse indicielle en boucle ferme, rgulateur PID ajust selon la se-conde mthode de Ziegler Nichols, avec laide de la technique du relais(chiersource).peutconstaterquelesrsultatssontassezprochesmalgrdesparamtresPIDlgrement dirents.Enn, il est important dinsister sur le fait que la mthode de Ziegler-Nicholsen boucle ferme fonctionne relativement bien pour des systmes sans comporte-ment oscillant et dont le dphasage en hautes frquences franchit les 180 [] etquelle nest pas applicable dans dautres situations.Chapitre4 182 mee\cours_ra.tex\16avril2005