Chap 3- Application Représentation Fourier.pdf

7/25/2019 Chap 3- Application Reprsentation Fourier.pdf

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REPRSENTATION DE FOURIER

Ing. Poly. Elmoukhtar Ebi El Maaly


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Ide de la reprsentation frquentielle dessignaux

Dfinition de la transforme de Fourier (ouTF) dun signal

Une liste de proprits de base de TF plusquelques transformes

Spectre, spectrogramme, et signal bandelimite

Pourquoi la transforme de Fourier rapide ouFFT

INTRODUCTION

2


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I-REPRSENTATION FRQUENTIELLE

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Pour tout signal de reprsentation temporelle s(t), on

sait trouver une reprsentation en frquencequivalente, ou spectre S(f).

Origine de la reprsentation frquentielle

Pour rsoudre lquation de propagation de lachaleur sur un intervalle de temps T, Joseph Jean-Baptiste Fourier (19me sicle) a imagin de remplacer lesecond membre s(t) de cette quation par une srie deFourier, somme de sinusodes ci-dessous, sachant que la

solution pour s(t) sinusodale tait connue :

0

)2

cos()(n

nn ntT

cts


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Le signal carr s(t) dessin ci-dessous peut tre dcompos sur ladure dune priode (ici T=1/440s) en srie de Fourier (voir

droite) :

4

0 12

))12(4402cos()(

n n

tnts

Do la reprsentation frquentielle de s(t) complter:

T

s(t)

t

)12(440 nfn

1/31/5

1/9

)( nn fc

f

440

I-REPRSENTATION FRQUENTIELLE


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II-TRANSFORME DEFOURIER

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dtetssts tiTF )()(~)(

destss tiTF

)(~

2

1)()(~

1

dtetsfSts ftiTF 2)()()(

dfefStsfS ftiTF 2)()()(1

)(~)( sfS

Avec la pulsation :

Quand Ttend vers linfini, la dfinition de la srie de

Fourier tend vers la transforme de Fourier ci-dessous (i2= - 1) :


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III- QUELQUES PROPRITS DETF

1. TF est linaire:

6

2. TF[produit de convolution]=produit et inversement

)()()())(*()( fEfHfStehts TF

dtehdethtehts )()()()())(*()(

3. Dualit de TFet TF-1 (on permute t etf, et on fait

apparatref )

dtetXfxdfefXtx tfifti 22 )()()()(

)]([)()( 2 tXTFdtetXfx fti

)]([)]([)]()([ tfbTFtsaTFtbftasTF


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IV- QUELQUES TRANSFORMES DEFOURIER

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La transforme de limpulsion de Dirac est la fonction unit :

1)()( 02 dttedtet fti

La transforme dunpeigne de Dirac est un peigne de Dirac

TF

T nTttPeigne )()(

nT T

nf

T

fPeigne

T

)(1

)(1

1

)(t

t0

0lim

0)0(1)(

t

tdtt

t0 T T2 T3T

)(tPeigneT

Impulsion de Dirac Peigne de Dirac


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la transforme du cosinus est constitue de deux raies :

8

TFtfitfi ee

tfts2

)2cos()(00 22

0

2

))()(()( 00 fffffS

La transforme dun rectangle est un sinus cardinal

221)()( T

etT

entreT

tts

fT

fTTfTcTfS

)sin()(sin)(

TF

t0 2/T2/T

)/( TtLa fonctionrectangle

f

1



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COMMENT PROUVER LES GALITS SUIVANTES ?

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)(]1[ fTF

)(][ 02 0

ffeTF tif

)(0f

f)](sin[ 00 tfcfTF

)]([)]([ 2 tfTFeTtfTF fTi



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TF[s(t)]est une quantit complexe a priori, avec un module,une phase, etc On nomme :

Spectre damplitude, ou spectre de s(t) le module de S soitou en dB

Spectre de phase largument de S not

Spectre de puissance

10

)(fS

)(fS

*2 )()()( fSfSfS

))(log(20)( fSfSdB

S(f) est dfini pour des frquencesf positives et des

frquences ngatives reprsentes dans le spectrebilatral. Du fait des symtries damplitude et dephase, on peut reprsenter seulement les frquences>0 (monolatral).

V- SPECTRE DUN SIGNAL


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Pourquoi utiliser le spectre et ne pas se contenter de lareprsentation temporelle.

Dans de nombreux domaines, multimdia,musique, et autres on utilise des rfrences auspectre et la frquence pour dfinir fonctions etperformances

Menfin, pourquoi ? Quels sont les atouts de cette

reprsentation frquentielle ?



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DCRIRE EN FRQUENCE EST PARFOIS PLUS

PRATIQUE QUE DE DCRIRE EN TEMPS

Soient 512 chantillons dun signal x(nTe), n= 0 ..

511.Dcompos en srie de Fourier, il savre que 3harmoniques suffisent pour le reprsenter.Transmettre les chantillons cest transmettre 512

valeurs, alors que transmettre les harmoniquesimplique moins de 10 valeurs amplitudes,frquences, et phases.

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(compression de linformation)



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DCOMPOSER EN SRIES DE FOURIER PERMET DE

RSOUDRE LES PROBLMES PAR SUPERPOSITION

Ctait lobjectif de Fourier comme on la dit,cela provient de ce que les fonctions de type :

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(simplification de certains problmes)

sont fonctions propres des filtres linaires invariants

dans le temps

)2sin()2cos(2 ftifte jft

Do la spcification trs utilise des filtres par leur

rponse frquentielle H(f)

tjfAe 0

2 tjfefAH 0

2

0 )(

Filtre linaire H(f)



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Q: YA-TIL UN RISQUE DE PERTE DINFORMATION

PASSER DU TEMPS AUX FRQUENCES ?

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R: Non ! Ces deux reprsentations sont rigoureusementquivalentes, le spectre est unique (comme le signal !)

Parler en temps dun signal parler en frquence

Signal rapide, lent bande large, troite,

Les capteurs incitent utiliser le temps, car ils relventles signaux au cours du temps, mais ils peuvent tre plus

ou moins sensibles selon la frquence.Il faut donc bien considrer une dualit tempsfrquence du signal, deux faons de le dcrire.



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VI- TRANSFORME DEFOURIERDISCRTE

On dfinit la transforme de Fourier discrte TFDpar :

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n

fnTiee

eenTxfXnTxTFD 2)()()]([

Cest une fonction priodique de la frquencef , lapriode est la frquence dchantillonnage :

ee Tf /1

TFD nest pas calculable en pratique, car la frquencevarie continment, et il faudrait considrer uneinfinit de termes.

La solution adopte dans lalgorithme de FFT est de :

1. Conserver seulement Ntermes x(nTe) dune fentretemporelle2. Calculer Mpoints seulement sur la priode de TFD

pour les frquences :

1,1, 000 Nnnnn

1

22

, MM

k

M

fkf ek


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VII- TRANSFORME DEFOURIERRAPIDEFFT

Dans le cas o M=N, si on note :

16

1)2/(

2/

1)2/(

2/

2

1 12

)()1

()()1

()(

)()()(0

0

0

0

N

Nk

N

Nk

nk

NkN

nki

ke

Nn

nn

Nn

nn

nk

NeN

nki

ek

WfXN

efXN

nTx

WnTxenTxfX

FFT est-elle priodique ? et FFT-1 ?

nk

N

N

nki

We

2

(pour FFT)

(pour FFT-1)


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Le cas o N est une puissance de 2 allge le

calcul de FFT, du fait des proprits depriodicit et de symtrie de

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N

inknk

N eW

2

Un DSP (Digital Signal Processor), est un micro-processeur spcialis dans le traitement du signalnumrique, conu entre autres pour calculerlalgorithme de FFT.

KN 2 Donc, lalgorithme de FFT impose Matlab calcule la fft : faire help fft, et voir lexempleplot(abs(fft(s,1024)))



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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

50

100

150

200

250

fe=8000;t=[0:1023]*(1/fe);

s=0.5*cos(2*pi*880*t);

f=[0:1023]/1024*fe;

plot(f,abs(fft(s,1024)))

grid

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

50

100

150

200

250

fe=8000;

t=[0:1023]*(1/fe);

s=0.5*cos(2*pi*880*t);

f=[-512:511]/1024*fe;spec= fftshift(fft(s,1024))

plot(f,abs(spec))

grid


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