Toutes les Mathématiques

D.Duverney-S.Heumez-G.Huvent

Edition Ellipses 2004

http://www.editions-ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=4668

CHAPITRE 28ANALYSE VECTORIELLE

L’ analysevectorielle fait intervenir à la fois des outilsanalytiques(dérivéespartielles) et du calcul vectoriel. Les notions de base de l’analysevectoriellesontindispensablesenélectrostatiqueet en électromagnétismenotamment.Après avoirétudiécechapitre, vousdevez:A. Connaîtrelesopérateursde l’analysevectorielle(nabla, gradient, divergenceet rotationnel) et savoir démontrer leurspropriétés.B. Savoircalculerdesintégralesdesurfacesimples.C. Connaîtrela définition du flux d’un champ devecteursà travers unesurfaceorientée, et savoircalculerdesflux simples.D. Savoir ce qu’est un champ àflux conservatif.E. Connaîtreles formules de Stokes et d’Ostrogradski.F. Savoir ce qu’est unanglesolide.

28.1. Opérateurs de l’analyse vectorielle

L’ espaceétantrapportéà la base orthonormaledirecte i , j , k , on définit

l’ opérateurauxdérivéespartiellesnablapar :

∇ = ∂dx

i + ∂∂y

j + ∂∂z

k (28.1)

On noteraquenablaest unopérateur auxdérivéespartielles, et pas unvecteur.Il opèreà gaucheenutilisantles trois types demultiplicationvectorielle.Soit d’abordU = U(M) unefonction de troisvariables(fonction scalaire) ; ondéfinit le gradientdeU par :

gradU = ∇ U = ∂dx

i + ∂∂y

j + ∂∂z

k U = ∂Udx

i + ∂U∂y

j + ∂U∂z

k (28.2)

Onretrouvela définition25.12.

Soit maintenantE = E (M) = Ex i + Ey j + Ez k un champ devecteurs; on

définit la divergenceet lerotationnelde E respectivement par :

div E = ∇ . E = ∂dx

i + ∂∂y

j + ∂∂z

k . Ex i + Ey j + Ez k , d’où :

div E = ∇ . E = ∂Ex

dx+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂z(28.3)

318 Chapitre 28

rot E = ∇ ∧ E =

∂dx∂dy∂dz

∧Ex

Ey

Ez

, d’où :

rot E = ∂Ez

∂y− ∂Ey

∂zi − ∂Ez

∂x− ∂Ex

∂zj + ∂Ey

∂x− ∂Ex

∂yk (28.4)

Remarque 28.1. L’ opérateurnabla est essentiellementune notation, trèscommodepour retenir les définitions du gradient, de la divergenceet durotationnelet retrouverles formules(28.2), (28.3) et (28.4).Exemple 28.1.Soit k un paramètre. Considérons lechampnewtoniendéfini en

coordonnées sphériques [voir(25.16)] par E = E (M) = kr2 er .

Puisquer = OM et er = OM

OM, on a :

E = k OM

OM3 = k

(x2 + y2 + z2)32

x i + y j + z k (28.5)

Il en résulteque :

div E = k ∂∂x

x(x2 + y2 + z2)− 32 + ∂

∂yy(x2 + y2 + z2)− 3

2

+ ∂∂z

z(x2 + y2 + z2)− 32 .

En utilisantla formule qui donne ladérivéed’un produit, ilvient :

∂∂x

x(x2 + y2 + z2)− 32 = (x2 + y2 + z2)− 3

2 − 3x2(x2 + y2 + z2)− 52

= (x2 + y2 + z2)− 52 (x2 + y2 + z2 − 3x2) = (x2 + y2 + z2)− 5

2 (−2x2 + y2 + z2).

Lesdérivéespartiellespar rapport ày et z s’obtiennentsanscalcul, en permutantles rôles dex et y et ceux dex et z respectivement. Ainsi :

div E = k(x2 + y2 + z2)− 52 [(−2x2 + y2 + z2) + (x2 − 2y2 + z2) + (x2 + y2 − 2z2)],

c’est-à-dire divE = 0. Un champnewtonienest àdivergencenulle.

Le lecteurcalculerarot E et vérifieraquerot E = 0 (exercice28.1).Remarque 28.2.Composonsla divergenceet legradient:

div gradU = div ∂Udx

i + ∂U∂y

j + ∂U∂z

k

Analyse vectorielle 319

= ∂dx

∂Udx

+ ∂dy

∂Udy

+ ∂∂z

∂Udz

= ∂2Udx2 + ∂2U

dy2 + ∂2Udz2 .

On introduit ainsi un nouvelopérateur, le Laplacien:

∆U = div gradU = ∇2

U = ∂2Udx2 + ∂2U

dy2 + ∂2Udz2 (28.6)

A partir desdéfinitions, on démontre un grandnombrede formules d’analysevectorielle. Les deux plus importantes, quidoiventêtreconnues, sont :

rot gradU = 0 ; div rot E = 0 (28.7)

Voir l’ exercice 28.2 pour leur démonstration. Lesexercices25.12 et 28.3donnent d’autres exemples de formules utiles.

28.2. Surfaces de l’espace

28.2.1. Représentation d’une surface

Dans l’espacerapporté au repère orthonormal direct O, i , j , k , une

surface(Σ) estdéfiniepar uneéquationde la formeF(x,y,z) = 0.Par exemple, l’équationax + by + cz+ d = 0 est celle d’un plan, tandis quel’ équation(x − xΩ )2 + (y − yΩ )2 + (z − zΩ )2 = R2 estcellede la sphère decentreΩ de rayonR. Un troisième exemple important est le suivant :Exemple 28.2.Soienta, b, c ∈ R+

∗ . L’ équationcartésienne:

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1 (28.8)

est celle d’un ellipsoïde de centre O, d’axes principaux Ox, Oy, Oz. Pourvisualiser cette surface, coupons-la par exemple par un planhorizontald’équationz = z0, avec−c ≤ z0 ≤ c. La sectioncorrespondantea pouréquation:

x2

a2 + y2

b2 = 1 − z02

c2 ⇔ x2

a 1 − z02

c2

2 + y2

b 1 − z02

c2

2 = 1.

Il s’agit donc d’une ellipse. Ainsi la section d’un ellipsoïde par un planhorizontalest uneellipse. Il en est demêmelorsqu’on coupe l’ellipsoïdepar unplan x = x0 ou y = y0. Ainsi un ellipsoïdea la forme d’unballon de rugbyaplati, comme représentéfigure 28.1 page suivante . Si a = b = c = R,l’ ellipsoïdeest la sphère decentreO de rayonR.Il sera souventcommoded’utiliser une représentationparamétrique d’unesurface. Puisqu’unesurfaceest unobjet à deuxdimensions, il seranécessaired’utiliser deux paramètres. Ainsi unereprésentationparamétrique d’unesurfacesera de la forme :x = f(u,v) ; y = g(u,v) ; z = h(u,v).Onparleraalors denappe paramétrée.

320 Chapitre 28

Figure 28.1 : Ellipsoïde x

y

z

Exemple 28.3.La surfacede la sphère decentre O de rayonR peut êtreparamétrée par :

x = Rsinθcosϕ ; y = Rsinθsinϕ ; z = Rcosθ (28.9)

où θ varie entre0 etπ, tandis queϕ varie entre0 et 2π (figure 28.2). Eneffet, leparamétrage(28.9) n’est pasautre chose que les formules de passage descoordonnées sphériques aux coordonnéescartésiennes, avec r = R, puisque lepoint M sedéplaceà lasurfacede la sphère.

ϕ

M

θ

Figure 28.2

dσ

Figure 28.3

Σ dM

grad F(M)

M

28.2.2. Vecteur normal à une surface

Théorème 28.1. Un vecteurnormal à la surface(Σ) d’équationcartésienne

F(x,y,z) = 0 au point M(x,y,z) est levecteurN = gradF(M).

Démonstration : Déplaçons le pointM d’un déplacementinfinitésimal dM enrestant sur la surface (Σ) (figure 28.3). Alors F reste égal à 0 dans ce

déplacement, detelle sorte quedF = 0. Or on sait quedF = gradF(M).dM. Il

en résulte que grad F(M).dM = 0 pour tout déplacementdM sur (Σ),c’est-à-dire quegrad F(M) et dM sont orthogonaux pour tout déplacement

infinitésimal sur la surfacede (Σ) à partir de M. Ainsi grad F(M) est biennormal à(Σ) au pointM.Exemple 28.4.Si (P) est le plan d’équationax + by + cz+ d = 0, un vecteur

Analyse vectorielle 321

normal à(P) est N = grad F = ∂Fdx

i + ∂F∂y

j + ∂F∂z

k = a i + b j + c k .

Ici le vecteurnormal estindépendantdeM, et onretrouvele théorème 7.2.Exemple 28.5.Un vecteurnormal au pointM(x,y,z) de l’ellipsoïded’équation:

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1

est N = gradF = ∂Fdx

i + ∂F∂y

j + ∂F∂z

k = 2 xa2 i + y

b2 j + zc2 k .

Dans le cas de la sphère decentreO de rayonR, on voit que :

N = 2R2 x i + y j + z k = 2

R2 OM.

On retrouveainsi que le rayonOM estorthogonalà lasurfacede la sphère.

Remarque 28.3.Etantdonné unvecteurnormal N en un pointM d’unesurface(Σ), on peutdéfinir deuxvecteursnormauxunitairesenM (figure28.4) :

n1 = N

N; n2 = − N

N= −n1.

Lorsqu’on a choisi un des deuxvecteursnormaux unitaires, on dit qu’on aorienté la surface(Σ). Ceci revientà définir un sens positif de traverséede (Σ)(dans le sens duvecteurnormalunitaire n choisi).

Figure 28.4 Σ

n1

M

n2

Remarque 28.4. On dit qu’une surface de l’espaceest fermée lorsqu’elledélimite unintérieur et un extérieur. Par exemple une sphère ou unellipsoïdesont dessurfacesfermées ; parcontreun plan n’en est pas une. Parconvention,une surface fermée sera toujoursorientéevers l’extérieur, c’est-à-dire que sonvecteurnormalunitairesera toujoursdirigéevers l’extérieur. Ainsi la sphère decentreO de rayonR seraorientéepar levecteurnormalunitaire:

n = OM

OM= 1

Rx i + y j + z k

28.2.3. Lignes de champs et surfaces équipotentielles

Soit E un champ devecteurs. Onappelleligne de champtoutecourbe(L) telle

que, en tout pointM de(L), le champE au pointM esttangentà (L).Par exemple, siE = −g k est le champ depesanteurau voisinagedu sol, les

322 Chapitre 28

lignes de champ sont les droitesverticales(figure28.5 pagesuivante).

Si E = kr2 er est un champnewtoniend’origineO, les lignes de champ sont les

droites passant parO (figure28.6 pagesuivante).

g

g

g

Figure 28.5

Figure 28.6

E

E

E

E

E

Supposonsmaintenant que le champE dérived’un potentielscalaireV ; alors

E = −grad V. On appellesurfaceéquipotentielletoute surfaceoù les pointssont aumêmepotentiel, c’est-à-dire d’équationV = C, où C est uneconstantedonnée.

Exemple 28.6.Soit E = −g k le champ depesanteurau voisinagedu sol. On

sait queE dérivedupotentielscalaireV = gz. Donc unesurfaceéquipotentiellea pouréquationgz = C, c’est-à-direz = C

g . Lessurfaceséquipotentiellessont

donc les planshorizontauxz = constante(figure28.5).

Exemple 28.7.Soit E = kr2 er un champnewtoniend’origine O. Il dérivedu

potentiel scalaire V = kr . Les surfaceséquipotentiellesont pour équation

kr = C, c’est-à-direr = k

C. Ce sont les sphères d’équationsr = constante

(figure28.6).Dans les deux casparticuliersreprésentésfigures28.5 et 28.6, onconstatequelignes de champ et surfaceséquipotentiellessecoupentà angle droit.Ceci estun résultatgénéral, puisqu’unvecteurnormal à lasurfaceéquipotentielleV = C

au point M est N = grad V = − E (théorème 28.1). Ainsi le champE est

orthogonalà la surfaceéquipotentielleau pointM ; puisqueE esttangentà lalignede champ,celle-ci coupe lasurfaceéquipotentielleà angledroit.

28.2.4. Intégrales de surface

Une intégralede surfaceest uneintégralede la forme :

I = ∫∫Σf(M)dσ (28.10)

Ici Σ désigne unesurfacede l’espace, le pointM décrit Σ, f est unefonction deM, et dσ est un morceauinfinitésimal de surfaceentourantle point M. On

Analyse vectorielle 323

notera que les intégralesdoublesétudiéesdans lechapitre 26 sont des casparticuliersd’intégralesdesurface: dans ce casΣ est unesurfaceplanedu planOxy.Pour calculer l’ intégrale de surface (28.10), on choisit unereprésentationparamétrique deΣ. Onobtientdσ enfaisantvarierles deux paramètres defaçoninfinitésimale. On se ramène alors à uncalculd’intégraledouble.

Exemple 28.8.CalculerI = ∫∫Σz2dσ, où Σ est la sphère decentreO de rayon

R.On utilise le paramétrage de la sphère donné par(28.9). Pour obtenir dσ,faisonsvarier θ de dθ et ϕ de dϕ (figure 28.2). Onobtientà la surfacede Σ unrectangleinfinitésimal d’aire dσ. Ce rectanglea pour longueurRdθ et pourlargeurRsinθdϕ (voir le calculdedV en coordonnées sphériques,section27.4).Donc :

dσ = R2 sinθdθdϕ (28.11)

PourdécrireΣ, θ varie entre0 etπ et ϕ varie entre0 et 2π. D’où :

I = ∫θ=0

θ=π∫ϕ=0

ϕ=2π(Rcosθ)2R2 sinθdθdϕ = R4 ∫θ=0

θ=πcos2θsinθdθ ∫ϕ=0

ϕ=2πdϕ

= R4 − 13

cos3θ0

π× [ϕ]0

2π = 43

πR4.

28.3. Flux d’un champ de vecteurs

Soit E un champ devecteurset (Σ) unesurfacede l’espace(figure 28.7). Ondésiremesurer laquantitéde champ qui traverse la surface(Σ). Pourcela, oncommencepar orientercettesurface(de manièrearbitraire) grâceà unvecteurnormalunitaire n . On prendensuiteen compte l’angleformé, localement au

point M, entrele champE et n . La quantitéde champ quitraverse(Σ) serad’autantplus grande quecetangleserapetit, c’est-à-dire que le produitscalaire

E . n sera plus grand. Ondéfinit donc le flux infinitésimal qui traverselasurfacedσ au pointM par :

dφ = E . n dσ (28.12)

Le flux du champ E à travers la surfaceorientée(Σ) sera doncdéfini parl’ intégraledesurface:

φ = ∫∫ΣE . n dσ (28.13)

324 Chapitre 28

Figure 28.7

Σ

n

M

E

S M

dσ

Figure 28.8

E

n

Exemple 28.9.Soit E un champconstant. PosonsE = E . Soit (Σ) une

surfaceplaneorientée(figure 28.8) d’aireS. Alors levecteurnormalunitaire n

à (Σ) forme avec E un angleα indépendantde M. Le flux de E à travers(Σ)vaut :

φ = ∫∫ΣE . n dσ = ∫∫Σ

E . n cosαdσ.

Puisque n = 1, il vient :

φ = Ecosα ∫∫Σdσ = EScosα (28.14)

Dans le cas où lasurface(Σ) tourne avec une vitesseangulaireconstanteωautour d’un axeorthogonalà E , on aα = ωt puisqueE estconstantet le fluxqui traverse(Σ) estsinusoïdal, de la formeφ = EScosωt.Remarque 28.5.Le calcul du flux d’un champnewtonienest plusdifficile etconduiraà la notion d’anglesolide, que nousdévelopperonsdans lasection28.5.

28.4. Formules de Stokes et d’Ostrogradski

28.4.1. Expression intrinsèque de la divergence

Nous avonsdéfini la divergenced’un champ àpartir de l’opérateurnabla. Cettedéfinition n’est pasintrinsèque, puisqu’elle se fait à partir des coordonnéescartésiennesx, y, z. La définition intrinsèquede ladivergenceutilise la notiondeflux et s’énonceainsi : soitdV un volumeinfinitésimalentourantle pointM ;orientons lasurfaceinfinitésimaledSqui délimitedV vers l’extérieur(surface

fermée). Alors leflux du champE à traversdSvaut :

dφ = div E .dV (28.15)

Ainsi la divergencemesure-t-elle la quantité de champ qui sort localement(diverge) du pointM.

Exemple 28.10.Retrouvons àpartir de l’expressionintrinsèquedφ = div E .dVl’expression (28.3) de la divergenceen coordonnéescartésiennes. Nousconsidérons au pointM(x,y,z) le volume infinitésimal dV limité par les plans

Analyse vectorielle 325

d’abscissesx et x + dx, y et y + dy, zet z + dz(figure28.10).

O

M

dx dy

dz

x

y

z

Figure 28.10

A B

B'

A' M'

C

C'

i

ϕ rsinθ

dr

rsinθdϕ

Figure 28.11

M

θ r

rdθ

er

eθ

On a dV = dxdydzet le vecteurnormal à laface ABB′A′ est i ; cetteface apourairedydz. Puisque tous les points decettefaceont pour abscissex + dx, le

flux dφ1 à traversABB′A′ vautdφ1 = E . i .dydz= Ex(x + dx,y,z)dydz.

Demême, le vecteurnormal àMCC′M′ est− i , et leflux dφ2 à traversMCC′M′

vaut dφ2 = − E . i .dydz= −Ex(x,y,z)dydz. Donc le flux infinitésimal à y et zconstants vaut :

dφy,z = dφ1 + dφ2 = [Ex(x + dx,y,z) − Ex(x,y,z)]dydz= ∂Ex

∂xdxdydz.

En procédantde mêmepour lesquatreautresfacesde dV, on voit que lefluxsortant dedV a pourvaleur:

dφ = dφy,z + dφx,z + dφx,y = ∂Ex

∂x+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂zdxdydz.

En remplaçant dans(28.15) et en divisant pardxdydz, onobtientbien :

div E = ∂Ex

dx+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂z.

Exemple 28.11.Calculons l’expression de ladivergenceen coordonnées

sphériques. Onconnaîtalors E dans la base orthonormaledirecte er ,eθ ,eϕ :

E = Er er + Eθeθ + Eϕeϕ. Le volumedV (figure 28.11) est levolumehabitueldes coordonnées sphériques et vautdV = r2 sinθdrdθdϕ. La face qui a pourvecteurnormal−er a pourairer2 sinθdθdϕ et leflux correspondantvaut :

dφ1 = −Er(r,θ,ϕ)r2 sinθdθdϕ.

Quand on augmenter de dr, le flux sortant à travers lafacede vecteurnormaler vautdφ2 = Er(r + dr,θ,ϕ)(r + dr)2 sinθdθdϕ.Donc leflux sortant àθ et ϕ constants a pour expression :

326 Chapitre 28

dφθ,ϕ = dφ1 + dφ2 = Er(r + dr,θ,ϕ)(r + dr)2 − Er(r,θ,ϕ)r2 sinθdθdϕ

= ∂∂r

(r2Er )sinθdrdθdϕ.

En raisonnantdemêmepour les autresfaces, on voit que leflux total sortant duvolumedV vaut :

dφ = dφθ,ϕ + dφr,ϕ + dφr,θ

= ∂∂r

(r2Er )sinθdrdθdϕ + ∂∂θ (sinθEθ )rdrdθdϕ + ∂Eϕ

∂ϕ rdrdθdϕ.

En remplaçant dans(28.15) et en divisant parr2 sinθdrdθdϕ, on obtientl’expression de ladivergenceen coordonnées sphériques:

div E = 1r2

∂∂r

(r2Er ) + 1r sinθ

∂∂θ (sinθEθ ) + 1

r sinθ∂Eϕ

∂ϕ (28.16)

Remarque 28.6.Le calcul de ladivergencedu champnewtonien, effectuéencoordonnéescartésiennesdans l’exemple 28.1, estévidemmentbeaucoupplussimple en coordonnées sphériques. Dans ce cas eneffet, Er = k

r2 , Eθ = 0 et

Eϕ = 0. Ainsi r2Er = k = constante, detelle sorte que divE = 0 par(28.16).

28.4.2. Expression intrinsèque du rotationnel

La définitionintrinsèque durotationnelutilise également la notion deflux ; soitune courbe fermée(C) orientéeinfinitésimaleentourantle pointM ; orientons lasurfaceinfinitésimaledSdélimitée par(C) par larègledu tire-bouchon (figure

28.12). Alors lacirculationδW du champE le long de(C) vaut :

δW = rot E . n .dS (28.17)

Ainsi δW estégaleauflux du rotationnelde E à traversdS. Le mot rotationnelvientde ce qu’onfait circuler(tourner) le champ localement autour deM.

Figure 28.12

E

n M

(C) dS

O

M

dx dy

dz

x

y

z

Figure 28.13

A B

F E

C

D

k

Exemple 28.12. Retrouvons l’expression durotationnel en coordonnéescartésiennesà partir de l’expressionintrinsèque(28.17). Pourcela, examinons

Analyse vectorielle 333

où ∑ qint désigne lasommedes chargesintérieuresà (Σ). Cet énoncéest lethéorème deGauss. Il permet decalculerle champélectrostatiquecréépar desdistributions de chargessimples.

EXERCICES DU CHAPITRE 28

Les basiques

Exercice28.1 (A) : Calculerle rotationneldu champnewtonienE = kr2 er .

Exercice28.2 (A) : Démontrer querot gradU = 0 et div rot E = 0.

Exercice28.3 (A) : Démontrer les formules suivantes :

1) div λ E = E .gradλ + λdiv E .

2) div E ∧ F = F . rot E − E . rot F .

Exercice28.4 (A) : Transformer lesvecteurssuivants :

1) u = rot λ E ; 2) v = rot rot E .

Exercice28.5 (A) : Soit ω unvecteurconstant, et soit V = ω ∧ OM.

Démontrer queω = 12

rot V .

Exercice28.6 (B) :Soit R > 0. Calculerl’ intégraledesurfaceI = ∫∫Sf(M)dσ,

où f(M) = f(x,y,z) = z , etSest lademi-sphère d’équation:

x2 + y2 + z2 = R2 , z ≥ 0.

Exercice28.7 (B) :Soit R > 0 eta > 0. Calculerl’ intégraledesurface:

I = ∫∫Sf(M)dσ,

où f(M) = f(x,y,z) = zx2 + y2 , etSest lecylindred’équation:

x2 + y2 = R2,0 ≤ z ≤ a.

Exercice28.8 (C) :Soit R > 0 eth > 0. Soit la portionΣ decylindred’équationx2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h, x ≥ 0, y ≥ 0. Déterminer le flux du champ de

vecteursE = z i + x j − 3y2z k à traversΣ (onpréciseral’ orientationchoisie).Exercice28.9 (A,C,E) :Soit R > 0, et soitS la demi-sphère d’équation:

x2 + y2 + z2 = R2 , z ≥ 0.

334 Chapitre 28

Onconsidèrele champ devecteursE = y i + x(1 − 2z) j − xy k .

1) Calculer rot E . En déduire le flux de rot E à traversS (on préciseral’ orientationchoisie).2) Retrouvercerésultatenutilisantla formule de Stokes.3) Retrouverce résultaten fermant lasurfaceS par le disque decentreO derayonR situé dans le planOxy, et enutilisantla formule d’Ostrogradski.Exercice28.10 (C,D,E) :Soit R > 0, et soitS la demi-sphère d’équation:

x2 + y2 + z2 = R2 , z ≥ 0.

En utilisant la formule d’Ostrogradski, trouver leflux du champconstant

E = E k à traversS(onpréciseral’ orientationdeSchoisie).Exercice28.11 (C,D,F) : Soit R > 0 et a > 0. Soit D le disque de lafigure28.22.1) Calculerl’ anglesolide souslequelon voit ce disque depuis le pointO.

2) Calculerle flux du champnewtonienE = kr2 er à traversD, orientédans le

sens desy croissants.

R

a

x

z

y

Figure 28.22

D

O

H

a

b

Figure 28.23

h

Σ M

Exercice28.12 (A,C,E) : On se propose decalculer le flux du champ de

vecteursE = xy2 i à travers lasurfacede la sphère(S) de rayonR orientéevers l’extérieur, de deux manièresdifférentes.1) Calcul direct.a)Calculerlesintégrales

I = ∫0

2πsin2ϕcos2ϕdϕ ; J = ∫0

πsin5θdθ.

b) Soit M(x,y,z) un point de lasurface(S). Montrer que levecteurnormal

unitaire n à (S) au pointM vaut n = 1R

x i + y j + z k .

c) Calculer E . n , puis leflux φ du champE à travers(S).2) Calcul par la formule d’Ostrogradski.

a)Calculerdiv E .

b) Calculerl’ intégraletriple ∫∫∫(Σ)div E .dV, où (Σ) désigne levolumeintérieurà

(S). Endéduireφ.

Solutions des exercices 837

Or l’ intégrale triplecorrespondau volume(ordinaire) intérieur à la sphèreΣx.Donc :

V = ∫x=−R

x=R 43

πρ3dx = 43

π ∫x=−R

x=RR2 − x2

3dx = 8

3π ∫x=0

x=RR2 − x2

3dx.

On peut calculer cette intégrale grâce au changement de variablex = Rsinθ. Ilvient :

V = 83

πR4 ∫0

π2 cos4θdθ.

Cette dernière intégrale se calcule parlinéarisation:

cos4θ = 116

(eiθ + e−iθ )4 = 116

(e4iθ + 4e2iθ + 6 + 4e−2iθ + e−4iθ )

= 18

(cos4θ + 4cos2θ + 3).

Il vient finalementV = π2

2R4.

Solutions des exercices du chapitre 28

Exercice 28.1 : On a E = k OM

OM3 = k(x2 + y2 + z2)− 3

2 x i + y j + z k .

Donc :

rot E = ∇ ∧ E =

∂∂x∂∂y∂∂z

∧

x(x2 + y2 + z2)− 32

y(x2 + y2 + z2)− 32

z(x2 + y2 + z2)− 32

=

z ∂∂y

(x2 + y2 + z2)− 32 − y ∂

∂z(x2 + y2 + z2)− 3

2

x ∂∂z

(x2 + y2 + z2)− 32 − z ∂

∂x(x2 + y2 + z2)− 3

2

y ∂∂x

(x2 + y2 + z2)− 32 − x ∂

∂y(x2 + y2 + z2)− 3

2

=

−3zy(x2 + y2 + z2)− 52 + 3yz(x2 + y2 + z2)− 5

2

−3xz(x2 + y2 + z2)− 52 + 3zx(x2 + y2 + z2)− 5

2

−3yx(x2 + y2 + z2)− 52 + 3xy(x2 + y2 + z2)− 5

2

=0

0

0

.

Exercice 28.2 : 1) rot gradU = ∇ ∧ gradU =

∂∂x∂∂y∂∂z

∧

∂U∂x∂U∂y∂U∂z

838 Solutions des exercices

=

∂2U∂y∂z

− ∂2U∂z∂y

∂2U∂z∂x

− ∂2U∂x∂z

∂2U∂x∂y

− ∂2U∂y∂x

=0

0

0

car ∂2U∂y∂z

= ∂2U∂z∂y

. . . (formule(8.34)).

2) div rot E = ∇ . rot

E = ∇ . ∇ ∧ E =

∂∂x∂∂y∂∂z

.

∂∂x∂∂y∂∂z

∧Ex

Ey

Ez

=

∂∂x∂∂y∂∂z

.

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

= ∂∂x

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z+ ∂

∂y∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x+ ∂

∂z∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

= ∂2Ez

∂x∂y− ∂2Ey

∂x∂z+ ∂2Ex

∂y∂z− ∂2Ez

∂y∂x+ ∂2Ey

∂z∂x− ∂2Ex

∂z∂y= 0 (formule(8.34)).

Exercice 28.3 : 1) div λ E = ∇ . λ E =

∂∂x∂∂y∂∂z

.

λEx

λEy

λEz

= ∂∂x

(λEx) + ∂∂y

(λEy) + ∂∂z

(λEz). Par la règle dedérivationd’un produit:

div λ E = ∂λ∂x

Ex + λ ∂Ex

∂x+ ∂λ

∂yEy + λ ∂Ey

∂y+ ∂λ

∂zEz + λ ∂Ez

∂z

= λ ∂Ex

∂x+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂z+ ∂λ

∂xEx + ∂λ

∂yEy + ∂λ

∂zEz = λ div E + gradλ . E .

2) div E ∧ F = ∇ . E ∧ F =

∂∂x∂∂y∂∂z

.

Ex

Ey

Ez

∧Fx

Fy

Fz

=

∂∂x∂∂y∂∂z

.

EyFz − EzFy

EzFx − ExFz

ExFy − EyFx

= ∂∂x

(EyFz − EzFy) + ∂∂y

(EzFx − ExFz) + ∂∂z

(ExFy − EyFx)

En utilisantdenouveaula règle dedérivationd’un produit, il vient :

Solutions des exercices 839

div E ∧ F = ∂Ey

∂xFz + Ey

∂Fz

∂x− ∂Ez

∂xFy − Ez

∂Fy

∂x+ ∂Ez

∂yFx + Ez

∂Fx

∂y

− ∂Ex

∂yFz − Ex

∂Fz

∂y+ ∂Ex

∂zFy + Ex

∂Fy

∂z− ∂Ey

∂zFx − Ey

∂Fx

∂z

= −Ex∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z− Ey

∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x− Ez

∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

+ Fx∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z+ Fy

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x+ Fz

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y.

On reconnaîtalors desproduitsscalaires :div

E ∧ F =Fx

Fy

Fz

.

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

−Ex

Ey

Ez

.

∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

= F . rot E − E . rot F .

Exercice 28.4 : 1) rot λ E =

∂∂y

(λEz) − ∂∂z

(λEy)

∂∂z

(λEx) − ∂∂x

(λEz)

∂∂x

(λEy) − ∂∂y

(λEx)

=

∂λ∂y

Ez + λ ∂Ez

∂y− ∂λ

∂zEy − λ ∂Ey

∂z

∂λ∂z

Ex + λ ∂Ex

∂z− ∂λ

∂xEz − λ ∂Ez

∂x

∂λ∂x

Ey + λ ∂Ey

∂x− ∂λ

∂yEx − λ ∂Ex

∂y

=

∂λ∂y

Ez − ∂λ∂z

Ey

∂λ∂z

Ex − ∂λ∂x

Ez

∂λ∂x

Ey − ∂λ∂y

Ex

+ λ

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

=

∂λ∂x∂λ∂y∂λ∂z

∧Ex

Ey

Ez

+ λ. rot

E .On adoncfinalement:

rot λ E = gradλ ∧ E + λ. rot E .

840 Solutions des exercices

2) rot rot E =

∂∂y

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y− ∂

∂z∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x

∂∂z

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z− ∂

∂x∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

∂∂x

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x− ∂

∂y∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z

=

∂2Ey

∂y∂x− ∂2Ex

∂y2 − ∂2Ex

∂z2 + ∂2Ez

∂z∂x

∂2Ez

∂z∂y− ∂2Ey

∂z2 − ∂2Ey

∂x2 + ∂2Ex

∂x∂y

∂2Ex

∂x∂z− ∂2Ez

∂x2 − ∂2Ez

∂y2 + ∂2Ey

∂y∂z

. Faisonsapparaître deslaplaciens:

rot rot E =

∂2Ey

∂y∂x+ ∂2Ez

∂z∂x+ ∂2Ex

∂x2 − ∂2Ex

∂x2 − ∂2Ex

∂y2 − ∂2Ex

∂z2

∂2Ez

∂z∂y+ ∂2Ex

∂x∂y+ ∂2Ey

∂y2 − ∂2Ey

∂x2 − ∂2Ey

∂y2 − ∂2Ey

∂z2

∂2Ex

∂x∂z+ ∂2Ey

∂y∂z+ ∂2Ez

∂z2 − ∂2Ez

∂x2 − ∂2Ez

∂y2 − ∂2Ez

∂z2

=

∂∂x

∂Ex

∂x+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂z

∂∂y

∂Ex

∂x+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂z

∂∂z

∂Ex

∂x+ ∂Ey

∂y+ ∂Ez

∂z

−

∂2Ex

∂x2 + ∂2Ex

∂y2 + ∂2Ex

∂z2

∂2Ey

∂x2 + ∂2Ey

∂y2 + ∂2Ey

∂z2

∂2Ez

∂x2 + ∂2Ez

∂y2 + ∂2Ez

∂z2

=

∂∂x

div E

∂∂y

div E

∂∂z

div E

−∆Ex

∆Ey

∆Ez

= grad div E − ∆ E .

Exercice 28.5 : Posonsω = ωx i + ωy j + ωz k , où ωx, ωy et ωz sont desconstantes.

Alors rot V = rot

ωx

ωy

ωz

∧x

y

z

=

∂∂x∂∂y∂∂z

∧ωyz − ωzy

ωzx − ωxz

ωxy − ωyx

=

∂∂y

(ωxy − ωyx) − ∂∂z

(ωzx − ωxz)

∂∂z

(ωyz − ωzy) − ∂∂x

(ωxy − ωyx)

∂∂x

(ωzx − ωxz) − ∂∂y

(ωyz − ωzy)

=ωx − (−ωx)ωy − (−ωy)ωz − (−ωz)

= 2

ωx

ωy

ωz

.