Chap 1_Espace vectoriel _exercices corrigés

S3 ; Module M10 ; Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel (Exercices corrigés)

Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2009

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EXERCICES CORRIGÉS

Exercice 1 ...................................................................................................................................................... 2

Exercice 2 ...................................................................................................................................................... 3

Exercice 3 ...................................................................................................................................................... 5

Exercice 4 ...................................................................................................................................................... 8

Exercice 5 .................................................................................................................................................... 10

Exercice 6 .................................................................................................................................................... 11

Exercice 7 .................................................................................................................................................... 13

Exercice 8 .................................................................................................................................................... 14



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Exercice 1

Enoncé :

Dans chacun des cas suivants, montrer que le sous ensemble V est un sous espace vectoriel

de 3IR , en donner une base et en déduire la dimension :

1) { }00/),,( 3 =−=+∈= zyetzxIRzyxV

2) { }02/),,( 3 =−−∈= zyxIRzyxV .

3) { }020/),,( 3 =−=+−∈= yxetzyxIRzyxV

Solution :

1) { }00/),,( 3 =−=+∈= zyetzxIRzyxV :

Soit ),,( zyxX = un vecteur de 3IR ,

VzyxX ∈= ),,( ssi :

♦ IRzzzyxzzzzyxzyetzxzyetzx ∈−=⇔−=⇔=−=⇔=−=+ ),1,1,1.(),,(),,(),,(00

♦ )1,1,1.(),,/()(!),,( −==∈∃⇔∈ ααα zyxzIRVzyx

♦ { })1,1,1(− est alors une base de V , 1dim =V et >−=< )1,1,1(V .

2) { }02/),,( 3 =−−∈= zyxIRzyxV :



♦ 2),(),1,0,2.()0,1,1.(),,(),,2(),,(202 IRzyzyzyxzyzyzyxzyxzyx ∈+=⇔+=⇔+=⇔=−−

♦ )1,0,2.()0,1,1.(),,/(),(),(!),,( 2 βαβαβα +===∈∃⇔∈ zyxzyIRVzyx

♦ { })1,0,2(),0,1,1( est alors une base de V , 2dim =V et >=< )1,0,2(),0,1,1(V .

Ou bien :


♦ 2),(),1,2,0.()0,1,1.(),,(),2,(),,(202 IRzxzxzyxzzxxzyxzxyzyx ∈−+=⇔−=⇔−=⇔=−−

♦ )1,2,0.()0,1,1.(),,/(),(),(!),,( 2 −+===∈∃⇔∈ βαβαβα zyxzxIRVzyx

♦ { })1,2,0(),0,1,1( − est alors une autre base de V , 2dim =V et >−=< )1,2,0(),0,1,1(V .

3) { }020/),,( 3 =−=+−∈= yxetzyxIRzyxV :



♦ IRyyzyxyyyzyxyyxzetyx ∈−=⇔−=⇔−=+−== ),1,1,2.(),,(),,2(),,(2

♦ )1,1,2.(),,/()(!),,( −==∈∃⇔∈ ααα zyxyIRVzyx

♦ { })1,1,2( − est alors une base de V , 1dim =V et >−=< )1,1,2(V .



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Exercice 2

Enoncé :

Dans chacun des cas suivants, donner une base du sous espace vectoriel V et en déduire sa

dimension :

1) )0,1,1,0(),1,1,0,1(),2,1,1,2(,,, 321321 −===>=< vvvvvvV .

2) )0,1,0,1(),1,1,0,1(),0,1,1,0(,,, 321321 ===>=< vvvvvvV .

3) )1,3,2(),2,1,3(),3,2,1(,,, 321321 ===>=< vvvvvvV .

4) )3,2,4(),1,0,2(),0,1,1(,,, 321321 −===>=< vvvvvvV .

Solution :

Le système { }321 ,, vvvS = est un système générateur de V . Une CNS pour que S soit une base

de V est que S soit libre :

♦ Si le système S est libre alors S est une base de V .

♦ Sinon, on extrait de S un sous système libre d’ordre 2 , sinon d’ordre 1, qui est alors une base

de V .

1) )0,1,1,0(),1,1,0,1(),2,1,1,2(,,, 321321 −===>=< vvvvvvV :

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est–il libre ? 0)0,0,0,0(... 321

?

332211 ===⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0,0()0,1,1,0.()1,1,0,1.()2,1,1,2.()0,0,0,0(... 321332211 =−++⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0,0()2,,,2( 213213121 =+−+++⇒ ααααααααα

♦

∈−=−=

⇒

−=−=−=

−=−=

⇒

=+=−+

=+=+

⇒

IR1

13

12

12

1132

13

12

21

321

31

21 2

2

2

2

02

0

0

02

ααα

αα

αααααα

αααα

ααααα

αααα

♦ )0,0,0,0()../))0,0,0()(,,( 3322113

321 =++∈≠∃⇒ vvvIR αααααα ,

par exemple )1,2,1(),,( 321 −−=ααα : )0,0,0,0(2et )0,0,0()1,2,1( 321 =−−≠−− vvv

♦ Le système { }321 ,, vvvS = n’est donc pas libre.

♦ De la relation )0,0,0,0(2 321 =−− vvv , on déduit que

−=

−=

+=

213

312

321

22

1

2

12

vvv

vvv

vvv

♦ Les systèmes { }21,vv , { }32 ,vv et { }31,vv sont alors générateurs de V .

♦ D’où : >>=<>=<>=<=< 313221321 ,,,,, vvvvvvvvvV

♦ On vérifie que ces trois systèmes { }21,vv , { }32 ,vv et { }31,vv sont libres.

♦ { }21,vv , { }32 ,vv et { }31,vv sont alors des bases de V et 2dim =V .



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2) )0,1,0,1(),1,1,0,1(),0,1,1,0(,,, 321321 ===>=< vvvvvvV :

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est–il libre ? 0)0,0,0,0(... 321

?

332211 ===⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0,0()0,1,0,1.()1,1,0,1.()0,1,1,0.()0,0,0,0(... 321332211 =++⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0,0(),,,( 2321132 =+++⇒ ααααααα

♦ 0

0

0

0

0

0

0

321

2

213

1

23

2

321

1

32

===⇒

=−−=

=−=

⇒

==++

==+

⇒ ααα

αααα

ααα

αααα

ααα

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est alors libre.

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est donc une base de V et 3dim =V .

3) )1,3,2(),2,1,3(),3,2,1(,,, 321321 ===>=< vvvvvvV :

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est–il libre ? 0)0,0,0(... 321

?

332211 ===⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0()1,3,2.()2,1,3.()3,2,1.()0,0,0(... 321332211 =++⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0()23,32,23( 321321321 =++++++⇒ ααααααααα

♦ 0

03023

032

0)(6

023

032

023

)3(

)2(

)1(

321

3

23

321

321

321

321)3()2()1()1(

321

321

321

===

⇒

=−=

−−=⇒

=++=++=++

⇒

=++=++=++

⇒++→

αααα

ααααα

ααααααααα

ααααααααα

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est alors libre.

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est donc une base de V et 3dim =V .

♦ Comme V est un sous espace vectoriel de 3IR et 3dimdim 3 == IRV alors

3IRV =

4) )3,2,4(),1,0,2(),0,1,1(,,, 321321 −===>=< vvvvvvV :

♦ Le système { }321 ,, vvvS = est–il libre ? 0)0,0,0(... 321

?

332211 ===⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0()3,2,4.()1,0,2.()0,1,1.()0,0,0(... 321332211 =−++⇒=++ αααααα vvv

♦ )0,0,0()3,2,42( 3231321 =+−++⇒ ααααααα

♦

−==∈

⇒

−==

=+−⇒

=+=−

=++⇒

32

31

3

32

31

333

32

31

321

3

2

3

2

0462

03

02

042

αααα

α

αααα

ααα

αααα

ααα IR

♦ )0,0,0()../))0,0,0()(,,( 3322113

321 =++∈≠∃⇒ vvvIR αααααα ,

par exemple )1,3,2(),,( 321 −=ααα : )0,0,0,0(32et )0,0,0()1,3,2( 321 =+−≠− vvv

♦ Le système { }321 ,, vvvS = n’est donc pas libre.



5/16

♦ De la relation )0,0,0,0(32 321 =+− vvv , on déduit que

+−=

+=

−=

213

312

321

3231

32

21

23

vvv

vvv

vvv

♦ Les systèmes { }21,vv , { }32 ,vv et { }31,vv sont alors générateurs de V .

♦ D’où : >>=<>=<>=<=< 313221321 ,,,,, vvvvvvvvvV

♦ On vérifie que ces trois systèmes { }21,vv , { }32 ,vv et { }31,vv sont libres.

♦ { }21,vv , { }32 ,vv et { }31,vv sont alors des bases de V et 2dim =V .

Exercice 3

Enoncé :

Dans 4IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :

{ }00/),,,( 41 =−+=−+∈= tzyetzyxIRtzyxV

{ }00/),,,( 42 =+=+∈= tzetyxIRtzyxV

{ }tzxetyIRtzyxV ===∈= 0/),,,( 43

1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus.

2) Déterminer 21 VV ∩ , 32 VV ∩ et 31 VV ∩ .

3) A-t-on 421 IRVV =⊕ ?

431 IRVV =⊕ ?

431 IRVV =⊕ ?

Solution :

1) Cherchons une base de 1V , une base de 2V et une base de 3V .

♦ { }00/),,,( 41 =−+=−+∈= tzyetzyxIRtzyxV . Soit ),,,( tzyxX = un vecteur de

4IR :

� 1),,,( VtzyxX ∈= ssi ),,,(),,,(

,0

0zyzyzytzyx

IRzy

zyt

zyx

tzy

zyx++−=⇔

∈+=+−=

⇔

=−+=−+

� 1),,,( VtzyxX ∈= ssi 2),(),1,1,0,1.()1,0,1,1.(),,,( IRzyzytzyx ∈+−=

� 1),,,( VtzyxX ∈= ssi )1,1,0,1.()1,0,1,1.(),,,/(),(),(! 2 βαβαβα +−===∈∃ tzyxzyIR

� { })1,1,0,1(),1,0,1,1(− est alors une base de 1V , 2dim 1 =V et >−=< )1,1,0,1(),1,0,1,1(1V .

♦ { }00/),,,( 42 =+=+∈= tzetyxIRtzyxV . Soit ),,,( tzyxX = un vecteur de

4IR :

� 2),,,( VtzyxX ∈= ssi ),,,(),,,(

,0

0zzxxtzyx

IRzx

zt

xy

tz

zyx−−=

∈−=−=

⇔

=+=−+

� 2),,,( VtzyxX ∈= ssi 2),(),1,1,0,0.()0,0,1,1.(),,,( IRzxzxtzyx ∈−+−=

� 2),,,( VtzyxX ∈= ssi )1,1,0,0.()0,0,1,1.(),,,/(),(),(! 2 −+−===∈∃ βαβαβα tzyxzxIR

� { })1,1,0,0(),0,0,1,1( −− est alors une base de 2V , 2dim 2 =V

et >−−=< )1,1,0,0(),0,0,1,1(2V



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♦ { }tzxetyIRtzyxV ===∈= 0/),,,( 43 . Soit ),,,( tzyxX = un vecteur de

4IR :

� 3),,,( VtzyxX ∈= ssi : ),,0,(),,,(,

00

xxxtzyx

IRx

xtxz

y

tzx

y=⇔

∈==

=⇔

===

� 3),,,( VtzyxX ∈= ssi 2),1,1,0,1.(),,,( IRxxtzyx ∈=

� 3),,,( VtzyxX ∈= ssi )1,1,0,1.(),,,/()(! ααα ==∈∃ tzyxxIR

� { })1,1,0,1( est alors une base de 3V , 1dim 3 =V et >=< )1,1,0,1(3V .

2) Cherchons une base de 21 VV ∩ , une base de 32 VV ∩ et une base de 31 VV ∩ .

♦ Soit ),,,( tzyxX = un vecteur de 4IR , 21),,,( VVtzyxX ∩∈= ssi 1VX ∈ et 2VX ∈

� 21),,,( VVtzyxX ∩∈= ssi )0,0,0,0(),,,(

0

0

0

0

0

0

0

0

=⇔

===−=

===

⇔

=+=+

=−+=−+

tzyx

zt

yx

ty

z

tz

yx

tzy

zyx

� Donc { })0,0,0,0(21 =∩VV


� 32),,,( VVtzyxX ∩∈= ssi )0,0,0,0(),,,(

0

0

0

0

0

0

=⇔

====

−==−=

⇔

===

=+=+

tzyx

xzt

y

zt

yx

tzx

y

tz

yx

� Donc { })0,0,0,0(32 =∩VV


� 31),,,( VVtzyxX ∩∈= ssi ),,0,(),,,(00

0

0

xxxtzyx

tzx

y

zzyt

zzyx

tzx

y

tzy

zyx

=⇔

===

=+==+−=

⇔

===

=−+=−+

� 31),,,( VVtzyxX ∩∈= ssi 2),1,1,0,1.(),,,( IRxxtzyx ∈=

� 31),,,( VVtzyxX ∩∈= ssi )1,1,0,1.(),,,/()(! ααα ==∈∃ tzyxxIR

� { })1,1,0,1( est alors une base de 31 VV ∩ , 1dim 31 =∩VV et 331 )1,1,0,1( VVV >==<∩



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3) Vérifions si 421 IRVV =⊕ ,

431 IRVV =⊕ et

432 IRVV =⊕ .

♦ 421 IRVV =⊕ :

� 2dim 1 =V : { }21,uu est alors une base de 1V , )1,0,1,1(1 −=u et )1,1,0,1(2 =u .

� 2dim 2 =V : { }21,vv est alors une base de 2V , )0,0,1,1(1 −=v et )1,1,0,0(2 −=v

� 421 IRVV =⊕ ssi { }2121 ,,, vvuuS = est une base de

4IR .

� { }2121 ,,, vvuuS = est une base de 4IR ssi { }2121 ,,, vvuuS = est libre.

o )0,0,0,0(.. 22112211 =+++ vvuu ββαα

o )0,0,0,0()1,1,0,0.()0,0,1,1.()1,1,0,1.()1,0,1,1.( 2121 =−+−++−⇒ ββαα

o 0

0

0

0

0

0

0

2121

221

22

11

112

221

22

11

121

====⇒

=+−=−=

==−=

⇒

=−+=+=−

=++−

⇒ ββαα

βαααβ

αββαα

βααβαβα

βαα

o Le système { }2121 ,,, vvuuS = est alors libre.

� Le système { }2121 ,,, vvuuS = est donc une base de 4IR

� Donc : 4

21 IRVV =⊕

♦ 431 IRVV =⊕ :

� 2dim 1 =V : { }21,uu est alors une base de 1V , )1,0,1,1(1 −=u et )1,1,0,1(2 =u .

� 1dim 3 =V : { }3v est alors une base de 3V , )1,1,0,1(3 =v

� 431 dim3dimdim IRVV ≠=+ ou bien { })0,0,0,0()1,1,0,1(31 >≠=<∩VV

� Donc : 4

31 IRVV ≠⊕

♦ 432 IRVV =⊕ :

� 2dim 2 =V : { }21,vv est alors une base de 2V , )0,0,1,1(1 −=v et )1,1,0,0(2 −=v

� 1dim 3 =V : { }3v est alors une base de 3V , )1,1,0,1(3 =v

� 431 dim3dimdim IRVV ≠=+

� Donc : 4

32 IRVV ≠⊕ , (remarquons que { })0,0,0,0(31 =∩VV )



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Exercice 4

Enoncé :

Dans chacun des cas suivants, déterminer le rang du système { }4321 ,,, vvvvS = de 4IR :

1) )1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321 −−=−−=−−== vvvv .

2) )1,1,0,1(),1,0,2,3(),0,1,1,2(),1,2,0,1( 4321 −=−=−=−= vvvv

3) )0,2,2,4(),2,0,2,3(),0,1,1,2(),2,2,0,1( 4321 −==−=−−= vvvv .

Solution : { }4321 ,,, vvvvS = : 4)(1 ≤≤ Srg

1) )1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321 −−=−−=−−== vvvv : { }4321 ,,, vvvvS =

♦ Cherchons si 4)( =Srg : { }4321 ,,, vvvvS = est-il libre ?

� )0,0,0,0(.. 44332211 =+++ vvvv αααα

� )0,0,0,0()1,1,1,1.()1,1,1,1.()1,1,1,1.()1,1,1,1.( 4321 =−−+−−+−−+⇒ αααα

� 0

0

0

0

0

)(

)(

0

0

0

0

4321

43

21

43

21

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

====⇒

=−=−=+=+

⇒

−=+−−=−

+=++−=+

⇒

=+−−=−+−=−−+=+++

⇒ αααα

αααααααα

αααααααα

αααααααα

αααααααααααααααα

� Le système { }4321 ,,, vvvvS = est alors libre.

♦ Donc : 4)( =Srg

2) )1,1,0,1(),1,0,2,3(),0,1,1,2(),1,2,0,1( 4321 −=−=−=−= vvvv : { }4321 ,,, vvvvS =


� )0,0,0,0(.. 44332211 =+++ vvvv αααα

� )0,0,0,0()1,1,0,1.()1,0,2,3.()0,1,1,2.()1,2,0,1.( 4321 =−+−+−+−⇒ αααα

�

=+−=−+−

−==+−

⇒

=+−=−−−

=+=+++

⇒

0

022

2

0

0

02

02

032

431

431

32

431

431

421

32

4321

αααααα

ααααα

αααααα

αααααα

�

∈=

−==

⇒

∈=−+−−

−=−=

⇒

IRIR 3

4

32

31

3

4343

32

431

0

2

02)(2

2

αα

αααα

ααααα

ααααα

� )0,0,0,0()../))0,0,0,0()(,,,( 443322114

4321 =+++∈≠∃⇒ vvvvIR αααααααα ,

par exemple )0,1,2,1(),,,( 4321 −=αααα : )0,0,0,0(2et )0,1,2,1(),,,( 3214321 =+−−= vvvαααα

� Le système { }4321 ,,, vvvvS = n’est donc pas libre.

♦ Donc : 4)( <Srg



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♦ Cherchons si 3)( =Srg : Si au moins l’un des sous systèmes d’ordre 3({ }321 ,, vvv , { }421 ,, vvv ,

{ }431 ,, vvv ou { }432 ,, vvv ) extraits de { }4321 ,,, vvvvS = est libre alors 3)( =Srg

� De la relation )0,0,0,0(2 321 =+− vvv , on déduit que le système { }321 ,, vvv n’est pas libre.

� On vérifie que les deux autres systèmes { }421 ,, vvv et { }432 ,, vvv sont libres.

♦ Donc : 3)( =Srg

3) )0,2,2,4(),2,0,2,3(),0,1,1,2(),2,2,0,1( 4321 −==−=−−= vvvv : { }4321 ,,, vvvvS =


� )0,0,0,0(.. 44332211 =+++ vvvv αααα

� )0,0,0,0()0,2,2,4.()2,0,2,3.()0,1,1,2.()2,2,0,1.( 4321 =−++−+−−⇒ αααα

�

∈∈

−−==

⇒

==−−−

=++=++

⇒

=+−=−−−

=++=+++

⇒

IR

IR

4

1

412

13

13

421

421

421

31

421

432

4321

22

022

022

0424

022

022

022

0432

αα

ααααα

ααααα

αααααα

ααααα

ααααααα

� )0,0,0,0()../))0,0,0,0()(,,,( 443322114

4321 =+++∈≠∃⇒ vvvvIR αααααααα ,

par exemple )1,1,4,1(),,,( 4321 −=αααα : )0,0,0,0(4et )1,1,4,1(),,,( 43214321 =++−−= vvvvαααα

� Le système { }4321 ,,, vvvvS = n’est donc pas libre.

♦ Donc : 4)( <Srg

♦ Cherchons si 3)( =Srg : Si au moins l’un des sous systèmes d’ordre 3({ }321 ,, vvv , { }421 ,, vvv ,

{ }431 ,, vvv ou { }432 ,, vvv ) extraits de { }4321 ,,, vvvvS = est libre alors 3)( =Srg

� De la relation 231 2vvv =+ , on déduit que le système { }321 ,, vvv n’est pas libre.

� De la relation 431 vvv =+ , on déduit que le système { }431 ,, vvv n’est pas libre.

� De la relation 24 2vv = , on déduit que les systèmes { }421 ,, vvv et { }432 ,, vvv sont liés.

♦ Donc : 3)( <Srg

♦ Cherchons si 2)( =Srg : Si au moins l’un des sous systèmes d’ordre 2 extraits de

{ }4321 ,,, vvvvS = est libre alors 2)( =Srg

� On vérifie, par exemple, que le système { }21,vv est libre.

♦ Donc : 2)( =Srg



10/16

Exercice 5

Enoncé :

Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs 4321 ,, vetvvv forment une base de

4IR et exprimer le vecteur v dans cette base :

1) )4,1,2,1(),0,1,3,1(),1,0,3,2(),2,1,2,1( 4321 =−=−=−−= vvvv et )1,1,1,1( −−=v .

2) )1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321 −−=−−=−−== vvvv et )1,1,2,1(=v .

Solution :

{ }4321 ,,, vvvvS = est un système d’ordre 4 et 4dim 4 =IR .Pour montrer que { }4321 ,,, vvvvS =

est une base de 4IR , il suffit alors de montrer que { }4321 ,,, vvvvS = est libre.

1) { }4321 ,,, vvvvS = : )4,1,2,1(),0,1,3,1(),1,0,3,2(),2,1,2,1( 4321 =−=−=−−= vvvv , )1,1,1,1( −−=v

♦ Montrons que { }4321 ,,, vvvvS = est une base de 4IR : { }4321 ,,, vvvvS = est-il libre ?

� )0,0,0,0(.. 44332211 =+++ vvvv αααα

� )0,0,0,0()4,1,2,1.()0,1,3,1.()1,0,3,2.()2,1,2,1.( 4321 =+−+−+−−⇒ αααα

� 0calcul après

042

0

02332

02

321

421

431

4321

4321

===

=+−−=+−−

=+++=+++

⇒ ⇒ ααα

αααααα

αααααααα

� Le système { }4321 ,,, vvvvS = est alors libre.

♦ Donc { }4321 ,,, vvvvS = est une base de 4IR .

♦ Ecrivons le vecteur )1,1,1,1( −−=v dans la base { }4321 ,,, vvvvS = .

� { }4321 ,,, vvvvS = est une base de 4IR :

� 443322114

4321 ../),,,(! vvvvvIR αααααααα +++=∈∃

� 44332211 .. vvvvv αααα +++=

�

=−+=−+

=+++−=

−−

+

⇒

−=+−−−=+−−

=+++=+++

⇒

142

1

12332

)4(

)3(

)2(

)3()1(

142

1

12332

12

)4(

)3(

)2(

)1(

421

431

4321

24

421

431

4321

4321

αααααα

αααααα

αααααα

αααααααα

�

−=−=

==

⇒

−=−=

−=−=

−

−⇒

=−=−

−=−=

−⇒

=+=++

=++−=

⇒

3

4

8

3

3

1

2

)3(4)4(

)3(

)3()2(

)1(

145

1

2

)4(

)3(

)3()2(

)1(

152

1

132

)4(

)3(

)2(

)1(

2

3

1

4

2

23

31

24

32

32

31

24

21

321

321

24

αααα

ααα

αααα

αααα

αααα

ααααα

ααααα

♦ Donc 4321 3438 vvvvv +−−=



11/16

2) { }4321 ,,, vvvvS = : )1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321 −−=−−=−−== vvvv , )1,1,2,1(=v

♦ Montrons que { }4321 ,,, vvvvS = est une base de 4IR : { }4321 ,,, vvvvS = est-il libre ?

� Le système { }4321 ,,, vvvvS = est libre, voir l’exercice 4-1.

♦ Donc { }4321 ,,, vvvvS = est une base de 4IR .

♦ Ecrivons le vecteur )1,1,2,1(=v dans la base { }4321 ,,, vvvvS = .

� { }4321 ,,, vvvvS = est une base de 4IR :

� 443322114

4321 ../),,,(! vvvvvIR αααααααα +++=∈∃

� 44332211 .. vvvvv αααα +++=

�

−=+=

=−−+−=

−−

−

⇒

=+−−=−+−=−−+=+++

⇒

122

2

)2()1(

)4()3(

)2(

)3()1(

1

1

2

1

)4(

)3(

)2(

)1(

43

43

4321

42

4321

4321

4321

4321

αααα

αααααα

αααααααααααααααα

�

−=

−=

=

=

⇒

−==

+=−=

⇒

4

14

14

54

1

14

32

4

3

1

2

4

43

41

42

α

α

α

α

ααα

αααα

♦ Donc 4321 41

41

41

45

vvvvv −−+=

Exercice 6

Enoncé :

Dans 3IR muni de sa base canonique { }321 ,, eee , on considère les vecteurs )0,1,1(1 =v ,

)1,1,0(2 =v et )1,0,1(3 =v .

1) Montrer que les vecteurs 1v , 2v et 3v forment une base de 3IR .

2) Exprimer les vecteurs 1e , 2e et 3e dans cette base.

Solution :

1) { }321 ,, vvvS = est un système d’ordre 3 et 3dim 3 =IR . Pour montrer que { }321 ,, vvvS = est une

base de 3IR , il suffit alors de montrer que { }321 ,, vvvS = est libre.

♦ { }321 ,, vvvS = : )1,0,1(),1,1,0(),0,1,1( 321 === vvv

♦ Montrons que { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR : { }321 ,, vvvS = est-il libre ?

� )0,0,0(.. 332211 =++ vvv ααα

� )0,0,0()1,0,1.()1,1,0.()0,1,1.( 321 =++⇒ ααα



12/16

� 0

020

0

0

321

1

12

13

32

21

31

===⇒

=−−=−=

⇒

=+=+=+

⇒ αααα

αααα

αααααα

� Le système { }321 ,, vvvS = est alors libre.

♦ Donc { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR .

2) Ecrivons les vecteurs )1,0,0(eet ),1,0( ),0,0,1( 321 === ee dans la base { }321 ,, vvvS = .

♦ )0,0,1(1 =e : 33221113

321 ../),,(! vvveIR αααααα ++=∈∃

� 3322111 .. vvve ααα ++=

� )0,0,1()1,0,1.()1,1,0.()0,1,1.( 321 =++⇒ ααα

�

=

−=

=

⇒

=−=

=⇒

−=−=

=+⇒

=+=+=+

⇒

21

21

21

121

0

0

1

3

2

1

13

12

1

23

21

31

32

21

31

α

α

α

αααα

α

αααα

αα

αααααα

♦ Donc 3211 21

21

21

vvve +−=

♦ )0,1,0(2 =e : 33221123

321 ../),,(! vvveIR αααααα ++=∈∃

� 3322112 .. vvve ααα ++=

� )0,1,0()1,0,1.()1,1,0.()0,1,1.( 321 =++⇒ ααα

�

−=

=

=

⇒

==−=

⇒

−==+

−=⇒

=+=+=+

⇒

21

2121

121

0

1

0

3

2

1

12

1

13

32

21

13

32

21

31

α

α

α

ααα

αα

αααα

αα

αααααα

♦ Donc 3212 21

21

21

vvve −+=

♦ )1,0,0(3 =e : 33221133

321 ../),,(! vvveIR αααααα ++=∈∃

� 3322113 .. vvve ααα ++=

� )1,0,0()1,0,1.()1,1,0.()0,1,1.( 321 =++⇒ ααα

�

=

=

−=

⇒

=−=

=⇒

=+−=−=

⇒

=+=+=+

⇒

2121

21

1211

0

0

3

2

1

2

21

23

32

21

13

32

21

31

α

α

α

ααα

αα

αααααα

αααααα

♦ Donc 3213 21

21

21

vvve ++−=



13/16

Exercice 7

Enoncé :

Sous quelles conditions sur le paramètre IRa ∈ , les vecteurs )0,1,1(1 −=v , )1,2,1(2 −−=v et

),1,0(3 av −= forment-ils une base de 3IR ?

Solution : ),1,0(),1,2,1(),0,1,1( 321 avvv −=−−=−=

♦ { }321 ,, vvvS = est un système d’ordre 3 et 3dim 3 =IR .

♦ Pour montrer que { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR , il suffit alors de montrer que S est libre.

♦ Discutons la dépendance des vecteurs 1v , 2v et 3v selon les valeurs du paramètre a .

� )0,0,0(.. 332211 =++ vvv ααα

� )0,0,0(),1,0.()1,2,1.()0,1,1.( 321 =−+−−+−⇒ aααα

�

=−==

⇒

=+−+−=

=⇒

=+−=−+−

=−⇒

0)1(0.

2

0.

02

0

1

13

12

32

213

12

32

321

21

aaa ααααα

ααααα

αα

ααααα

αα

� 1er

cas : 01≠−a ( 1≠a )

o 0

0

0

0)1(321

1

13

12

1

13

12

===

⇒

===≠

=−==

⇒ αααα

αααα

ααααα a

a

o Le système { }321 ,, vvvS = est alors libre.

� Donc si 1≠a alors { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR .

� 2ème

cas : 01=−a ( 1=a )

o

∈==

⇒

====

=−==

⇒IR

a

a 1

13

12

13

12

1

13

12

00

0

0)1( ααααα

αααα

ααααα

o )0,0,0()../))0,0,0()(,,( 3322113

321 =++∈≠∃⇒ vvvIR αααααα

par exemple )1,1,1(),,( 321 =ααα : )0,0,0(et )0,0,0()1,1,1( 321 =++≠ vvv

o Le système { }321 ,, vvvS = est alors lié.

� Donc si 1=a alors { }321 ,, vvvS = n’est pas une base de 3IR .



14/16

Exercice 8

Enoncé :

Dans 3IR , on considère les vecteurs ),1,1(1 av = , )1,,1(2 av = et )1,1,(3 av = . Discuter suivant

le paramètre IRa ∈ :

1) La dépendance des vecteurs 321, vetvv .

2) Le rang du système { }321 ,, vvv .

3) La dimension du sous espace vectoriel engendré par les vecteurs 321, vetvv .

Solution :

)1,1,(),1,,1(),,1,1( 321 avavav ===

1) Discutons la dépendance des vecteurs 1v , 2v et 3v selon les valeurs du paramètre a .

♦ )0,0,0(.. 332211 =++ vvv ααα

♦ )0,0,0()1,1,.()1,,1.(),1,1.( 321 =++⇒ aaa ααα

♦

=++=++

=+++++⇒

=++=++=++

⇒

0

0

0)2(

)3(

)2(

)3()2()1(

0

0

0

)3(

)2(

)1(

321

321

321

321

321

321

αααααα

ααα

ααααααααα

a

a

a

a

a

a

♦ 1er

cas : 02 ≠+a ( 2−≠a )

o

=++=++

=++−≠

=++=++

=+++

⇒0

0

02

0

0

0)2(

321

321

321

321

321

321

αααααα

ααα

αααααα

ααα

a

aa

a

a

a

o

=−=−+−=

⇒

=−−+=−−+

+−=⇒

0)1(

0)1(

)(

0

0

)(

1

2

213

2121

2121

213

αα

ααα

αααααααα

ααα

a

a

a

a

o 1er

sous cas : 02 ≠+a et 01≠−a ( 2−≠a et 1≠a )

o 0

0

0

0)(1

0)1(

0)1(

)(

321

1

2

213

1

2

213

===

⇒

==

=+−=≠

=−=−+−=

⇒ ααααα

ααα

αα

ααα a

a

a

o Le système { }321 ,, vvvS = est alors libre.

o Donc si 2−≠a et 1≠a alors { }321 ,, vvvS = est libre.



15/16

o 2ème

sous cas : 02 ≠+a et 01=−a ( 1=a )

o

∈∈

+−=

⇒

==

+−==

=−=−+−=

⇒IR

IRa

a

a

1

2

213213

1

2

213 )(

00

00

)(1

0)1(

0)1(

)(

αα

αααααα

αα

ααα

o )0,0,0()../))0,0,0()(,,( 3322113


par exemple )2,1,1(),,( 321 −=ααα : )0,0,0(2et )0,0,0()2,1,1( 321 =−+≠− vvv


o Donc si 1=a alors { }321 ,, vvvS = n’est pas libre.

o Remarque : si 1=a alors )1,1,1(321 === vvv .

♦ 2ème

cas : 02 =+a ( 2−=a )

o

==∈

−⇒

=++−=+−

=−=

=++=++

=+++

⇒13

12

1

321

321

321

321

321

)2(

)2()1(

02

02

00

)2(

)1(2

0

0

0)2(

αααα

α

αααααα

αααααα

ααα IRa

a

a

a

o )0,0,0().../))0,0,0()(,,( 3322113


par exemple )1,1,1(),,( 321 =ααα : )0,0,0(et )0,0,0()1,1,1( 321 =++≠ vvv


o Donc si 2−=a alors { }321 ,, vvvS = n’est pas libre.

♦ Résumé :

o si 2−≠a et 1≠a alors { }321 ,, vvvS = est libre.

o si 2−=a ou 1=a alors { }321 ,, vvvS = est lié.

2) Discutons l’ordre du système { }321 ,, vvvS = selon les valeurs du paramètre a .

♦ 1er

cas : 2−≠a et 1≠a

o Le système { }321 ,, vvvS = est libre : 3)( =⇒ Srg

♦ 2ème

cas : 2−=a : )1,1,2(),1,2,1(),2,1,1( 321 −=−=−= vvv

o Le système { }321 ,, vvvS = est lié : 3)( <⇒ Srg

o Le système { }21,vv est libre : 2)( =⇒ Srg



16/16

♦ 3ème

cas : 1=a : )1,1,1(321 === vvv

o 1)( =⇒ Srg

3) Donnons la dimension du sous espace vectoriel >< 321 ,, vvv : { }321321 ,,,,dim vvvrgvvv >=<

♦ 1er

cas : 2−≠a et 1≠a

o { } 3,,dim3),,( 321321 >=<⇒= vvvvvvrg

♦ 2ème

cas : 2−=a :

o { } 2,,dim2),,( 321321 >=<⇒= vvvvvvrg

♦ 3ème

cas : 1=a :

o { } 1,,dim1),,( 321321 >=<⇒= vvvvvvrg

Chap 1_Espace vectoriel _exercices corrigés

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Transcript of Chap 1_Espace vectoriel _exercices corrigés