Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Changement de variable

Changement de variable

IntroductionOn ne peut toujours déterminer la famille de primitives à vue.

Il faut souvent appliquer des techniques pour ramener

l’intégrande sous l’une des formes de base de façon à pouvoir en

déterminer la famille de primitives. Dans cette présentation,

nous verrons comment :

• transformer algébriquement l’intégrale ;

• effectuer un changement de variable.

Nous verrons ultérieurement d’autres techniques pour les

formes plus complexes d’intégrales.

• transformer l’intégrale en utilisant une ou des identités

trigonométriques;

S

Transformation algébrique de l’intégraleEffectuer l’intégration suivante :

L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on peut effectuer une transformation algébrique pour obtenir une somme de fonctions. Cela donne :

, par les propriétés des exposants;

, par distributivité;

(x3 + 2) x dx = (x3 + 2) x1/2 dx

(x3 + 2) x dx.

= (x5/2 + 2x1/2)dx

= x5/2 dx + 2 x1/2dx , par les propriétés de l’intégrale;

, par l’intégration des formes de base.

= x7/2

7/2+ 2 x3/2

3/2+ k

On trouve donc :

= 2x7/2

7+

4x3/2

3+ k (x3 + 2) x dx

S

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

En transformant, on obtient :

, en simplifiant;

, par les propriétés de l’intégrale indéfinie;

, par l’intégration des formes de base.

On trouve donc :

x3 – 5x2 + 3x + 2 x2

dx.

x3 – 5x2 + 3x + 2 x2

dx x3 x2

dx = x2 x2

– 5 xx2

+ 3 1x2

+ 2

x – 5 + 3 = 1x

+ 2 x–2

x dx – 5 dx + 3 = 1x

dx + 2 x–2 dx

– 5x + 3 ln |x| = + 2 + k x–1

–1 x2 2

– 5x + 3 ln |x| = 2x

x2 2

+ k –

S

x3 – 5x2 + 3x + 2 x2

dx

S

Identités trigonométriquesEffectuer l’intégration suivante :

L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on sait que :

, par identités trigonométriques;

, par simplification;

On trouve donc : = cos x + k S

En utilisant ces identités, on obtient :

, par les propriétés de l’algèbre;

tan x sec x

dx.

tan x = sin x cos x sec x =

1 cos x

tan x sec x

dx

et

sin x cos x

dx=1

1/cos x

sin x cos x

dx=cos x

1

sin x dx=

, par l’intégrale de la forme de base.= – cos x + k

tan x sec x

dx

S

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on sait que :

tan2 x = sec2 x – 1

, par identité trigonométrique;

, par l’intégrale des formes de base.

On trouve donc :

tan2 x dx.

= tan x – x + k

S

tan2 x dx

En utilisant cette identité, on obtient :

= (sec2 x – 1) dx

= sec2 x dx – dx

= tanx – x + k

, par les propriétés de l’intégrale indéfinie;

tan2 x dx

Changement de variableNous avons vu que l’intégration est le processus inverse de la dérivation. Nous allons nous en inspirer pour développer la procédure de changement de variable. Procédons par un exemple.

Considérons la fonction définie par f(x) = (x2 – 4)3.

La dérivation en chaîne de cette fonction donne :

f '(x) =d

dx (x2 – 4)3 = 3(x2 – 4)2 ddx

(x2 – 4)

= 3(x2 – 4)2 (2x) = 6x (x2 – 4)2

En effectuant cette dérivation, on a considéré que la fonction f était une fonction composée où u = (x2 – 4). On devra faire de même pour intégrer.

Remarque

SS

Supposons maintenant que l’on veuille effectuer l’intégration suivante :

4x (x2 – 4)2 dx

Posons u = (x2 – 4). En dérivant cette expression, on obtient :

= 2x.dudx

x2 – 4 ddx

= On a donc du = 2x dx.

On peut alors réécrire l’intégrale de la façon suivante :

4x (x2 – 4)2 dx = 2 u2 du = 2 u2 du

u3 3

= 2 + k

(x2 – 4)3 3= 2 + k

, par changement de variable;

On trouve donc :(x2 – 4)3

3= 2 + k

, par changement de variable.

SS

4x (x2 – 4)2 dx

, par l’intégrale de la forme de base.

REMARQUE :

L’intégration par changement de variable s’accompagne d’un ajustement des constantes dans la plupart des cas.

Cela est normal puisque dans le processus de dérivation il y a simpli-fication des constantes.

S

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

L’intégrale n’est sous une forme directement intégrable. On peut tenter un changement de variable en posant :

= 6x – 5.dudx

ddx 3x2 – 5x = On a donc du = (6x – 5) dx.

(6x – 5) (3x2 – 5x) dx.

u = 3x2 – 5x

En dérivant, on obtient :

On peut alors réécrire l’intégrale de la façon suivante :

, par changement de variable;

, par les propriétés des exposants;

On trouve donc :

, par l’intégrale de la forme de base;

(6x – 5) (3x2 – 5x) dx

S

= u du

= u1/2 du u3/2 3/2

= + k

, par changement de variable.2(3x2 – 5x)3/2 3

= + k

2(3x2 – 5x)3/2 3

= + k S

(6x – 5) (3x2 – 5x) dx

Changement de variableProcédure

pour effectuer une intégrale par changement de variable.

1. Analyser l’intégrale à effectuer et déterminer la forme de base apparentée à celle de l’intégrande. Choisir dans l’expression à intégrer une fonction u = g(x) permettant de ramener l’intégrale à la forme de base.

2. Calculer la différentielle de u, du = g '(x) dx.

3. Faire la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx.

Après avoir fait cette substitution, l’intégrale ne doit contenir que la variable u. Si ce n’est pas le cas, il faut choisir une autre fonction u.

4. Intégrer en fonction de la variable u.

5. Exprimer le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

Intégrale de fonctions usuelles Les formes de base auxquelles on tente de ramener l’intégrale par un changement de variable sont :

du = u + k

eu du = eu + k

ddu = 1 u

ddu = eu eu

ur du = + kur +1

r +1

cos u du = sin u + kd

du = cos usin u

sin u du = –cos u + kd

du = sin u–cos u

sec2u du = tan u + kd

du = sec2utan u

sec u tan u du = sec u + kd

du = sec u tan usec u

. . . . . .

, où r ≠ –1ur +1

r +1

ddu

= ur

Cette liste n’est pas exhaustive. Il incombe à l’étudiant de la compléter et d’en garder mémoire.

2x e3x2 – 2 dx

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = eu.

= 6x.dudx

ddx 3x2 – 2 = On a donc du = 6x dx et 2x dx =

2x e3x2 – 2 dx.

On trouve donc :

, par l’intégrale de la forme de base;

S

eu 3

= + k

, par changement de variable.e3x2 – 2

3= + k

On posera donc u = 3x2 – 2.

Étape 2 : Calculons la différentielle de u.

du 3

Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx.

= eu du13

L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.

, par changement de variable;

e3x2 – 2 3

= + k 2x e3x2 – 2 dx

S

Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

SSS

sin2x cos x dx

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base semble être f(u) = u2, où u = sin x

= cos x.dudx

ddx sin x = On a donc du = cos x dx.

sin2x cos x dx.

On trouve donc :

, par l’intégrale de la forme de base;

S

u3 3

= + k

, par changement de variable.sin3 x

3= + k

Posons donc u = sin x.

Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx.

= u2 du

L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.

, par changement de variable;

Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

sin3 x 3

= + k sin2x cos x dx

SSSS

sin(2πt +π/2) dt

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base semble être f(u) = sin u.

= 2π.dudt

ddt 2πt +π/2 = On a donc du = 2π dt et dt = du/2π.

sin(2πt +π/2) dt.

On trouve donc :

, par l’intégrale de la forme de base;

S

= + k – cos u 2π

, par changement de variable.

Posons donc u = 2πt +π/2.

Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx.

L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.

, par changement de variable;

Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

sin(2πt +π/2) dt

SSSS

= sin u du1

2π

= cos(2πt +π/2) + k – 12π

= cos(2πt +π/2) + k – 12π

REMARQUE :

Il faut parfois transformer l’expression algébriquement ou utiliser les identités trigonométriques pour exprimer l’intégrale sous une forme permettant un changement de variable.

S

tan x dx

ExerciceEffectuer l’intégration suivante :

Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base pourrait être f(u) = 1/u, où u = cos x

= –sin x.dudx

ddx cos x = On a donc sin x dx = –du

tan x dx.

On trouve donc :

, , par l’intégrale de la forme de base;

S

= – ln |u| + k

, par changement de variable.

Posons donc u = cos x.

Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx.

L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.

, par changement de variable;

Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

tan x dx

SSSS= –ln |cos x| + k

L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant :

tan x = sin x cos x tan x dxOn peut donc écrire : = dxsin x

cos x

= dxsin xcos x

= du–1u

= –ln |cos x| + k

REMARQUE :

On peut conserver cette intégrale parmi les formes de base pour l’utiliser sans avoir à refaire la procédure que nous venons de suivre.

On aurait pu ramener cette intégrale à une forme de base en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’intégrande par sec x.

S

ConclusionLes intégrales que nous aurons à effectuer seront rarement sous une forme de base. Il nous faudra le plus souvent transformer l’intégrale pour pouvoir l’effectuer.

Dans certains cas, de simples manipulations algébriques vont nous permettre d’exprimer la fonction à intégrer à l’aide de formes de base.

Parfois, il faut avoir recours aux identités trigonométriques pour exprimer en fonction des formes de base.

Le changement de variable est une procédure très fréquente et indispensable dans bien des cas. On doit souvent jumeler cette procédure avec une transformation algébrique ou l’utilisation d’identités trigonométriques.

Pour utiliser les techniques d’intégration correctement, il faut beaucoup de pratique.