Systemes de conducteurs  a l’equilibre   electrostatique(Cours VII, VIII et IX)

1. Proprietes generales

On considere un conducteur, de forme quelconque, a l’equilibre (c’est-a-dire qu’il

n’y a pas de mouvement macroscopique de charges electriques). Demontrer les pro-

prietes fondamentales suivantes :

1. (*) Le champ electrique a l’interieur d’un conducteur a l’equilibre est nul.

2. (*) Le volume d’un conducteur a l’equilibre est equipotentiel.

3. (*) La densite volumique de charge a l’interieur d’un conducteur a l’equilibre

est nulle.

4. (*) En un point M  de la surface d’un conducteur a l’equilibre, le champ elec-

trique est donne par

 E (M ) =  σ(M )

0 n(M ) ,   (22)

ou   n(M ) est la normale sortante au conducteur en M  et  σ(M ) la densite surfa-

cique de charge sur le conducteur en M .

5. (*) Un petit element de surface d2S  en un point M  de la surface d’un conducteur

a l’equilibre est soumis a une force    F (M ) = P (M ) n(M ) ou P , appelee  pression 

electrostatique , est donnee par la formule

P (M ) =  σ2(M )

20·   (23)

Les proprietes precedentes permettent de decrire toute la physique des conducteurs

a l’equilibre.

En particulier, si l’on a un systeme de conducteurs isoles (la charge totale de chaque

conducteur est donc fixee), les charges sur chaque conducteur vont se distribuer en

surface afin que le champ electrique soit nul a l’interieur de tous les conducteurs. On

peut montrer que cette condition fixe de maniere unique les densites surfaciques de

charge sur les conducteurs et donc egalement le champ electrique en tout point de

l’espace.

Un autre cas de figure est celui ou l’on fixe le potentiel de chaque conducteur. On

peut alors montrer que le potentiel est automatiquement fixe de maniere unique en

tout point de l’espace. Il en est donc de meme pour le champ electrique. La relation

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(22) permet alors de determiner la densite surfacique de charge sur chaque conducteur

(et donc en particulier la charge totale portee par chaque conducteur).

De maniere generale, pour un systeme de conducteurs au potentielV i et de charges

totales  Qi, on peut montrer qu’il existe toujours une relation lineaire de la forme

Qi =

 j

C ijV  j .   (24)

Les constantes   C ij, qui ne dependent que de la geometrie du probleme (formes et

positions relatives des conducteurs), sont les coe  ffi cients d’influence . Le coefficient

C ii  porte le nom de  capacite  du conducteur numero i  en presence des autres. On a

toujours C ij  = C  ji,  C ii >  0,  C ij  < 0 si i = j  et  C ii  ≥

 j=i |C ij|.

Montrer que l’energie electrique d’un systeme de conducteurs a l’equilibre est

donnee par

E  elec  = 1

2

i

QiV i = 1

2

i,j

C ijV iV  j ,   (25)

ou Qi  et V i sont respectivement la charge totale et le potentiel du conducteur numero

i.

2. Cas particuliers

Deux cas particuliers nous interessent au premier chef : celui d’un unique conduc-

teur a l’equilibre, ou celui de deux conducteurs a l’equilibre en etat d’influence totale

(on parle dans ce cas de condensateur ).

1. (*) Calculer la capacite C  d’un conducteur spherique de rayon R  (application

numerique pour  R  = 1m et pour   R   egal au rayon de la Terre). On suppose

que sa charge totale est Q. Quel est son potentiel ? Quelle est son energie ? (on

calculera l’energie de deux manieres diff erentes, l’une utilisant la formule (25),

l’autre utilisant la densite d’energie portee par le champ electrique (20)).

2. Dans le cas d’un condensateur, on a toujours Q1  =  −Q2  =  Q  et  C 11  =  C 22  =

−C 12  =  C .

(a) (*) Quelle est la relation entre Q,  C , V 1  et V 2 ?

(b) (*) Quelle est l’energie electrique stockee dans un condensateur ? En pra-

tique, pour un condensateur donne, il existe une limite a cette energie (ou,

ce qui est equivalent, a la diff erence de potentiel que l’on peut appliquer

entre les armatures) : pourquoi ?

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(c) (*) Calculer la capacite par unite de surface d’un condensateur plan dont

les armatures sont separees par une distance L.

(d) Calculer la capacite d’un condensateur spherique dont les armatures ont

des rayons R1  et  R2 > R1.

(e) Calculer la capacite par unite de longueur d’un condensateur cylindrique

dont les armatures ont des rayons R1  et R2 > R1

(Reponse : C  = 2π0/ ln(R2/R1)).

(f) Retrouver la capacite du condensateur plan en prenant des limites appro-

priees des resultats pour les condensateurs spheriques et cylindriques.

3. Quelques applications

1. (*) Decrire et expliquer le principe de l’ecran electrostatique (cage de Faraday).

Que se passe-t-il si la foudre tombe sur votre voiture alors que vous vous y

trouvez ?

2. Expliquer la presence, a la surface de la Terre, d’un champ electrique pointant

vers le bas et d’intensite 120 V/m.

3. (*) Pendant un orage, la surface de la Terre et la surface inferieure des nuages

forment, avec une assez bonne approximation, un condensateur plan. On sup-

pose que le nuage se trouve a 1000 metres d’altitude et qu’il couvre une surface

d’environ 20 km2. Quelle est l’energie emmagasinee sous forme electrique au

moment ou un eclair se produit ? (en tenant compte de l’humidite, le champ

electrique critique sera pris a environ un million de volts par metre) (Reponse :

9 1010 J)

4. (*) Au voisinage d’une region pointue d’un conducteur, le champ electrique peut

etre tres intense. Expliquer ce phenomene, appele pouvoir des pointes .

5. Decrire et expliquer le phenomene du “feu de St Elme.”

6. En raison des frottements de l’air, les avions se chargent electriquement en vol

et ceci pourrait devenir tres dangereux a l’atterrissage. Comment resout-on ce

probleme ?

7. (*) On relie d’un cote les armatures positives et de l’autre les armatures nega-

tives de deux condensateurs. L’un, de capacite C 1, porte initialement une charge

Q0  tandis que l’autre, de capacite C 2, est initialement non electrise.

(a) Quelles charges portent-t-ils apres avoir ete mis en contact ? (Reponse :

Qi =  Q0C i/(C 1 + C 2))

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(b) Quelle est la diff erence de potentiel entre eux ? (Reponse :∆V  = Q0/(C 1 +

C 2))

(c) Soient   C 1   = 2.0 µF et   C 2   = 6.0 µF. On suppose que la tension qui a

servi a charger initialement C 1  est de 18 V. Determiner l’energie totale em-

magasinee dans les condensateurs avant leur association et apres. L’ener-

gie est elle conservee ? Expliquer. (Reponses : E  avant  = 324 µJ,  E  apres   =

(C 1/(C 1 + C 2))E  avant  =  E  avant/4)

Nous verrons de nombreuses autres applications de ces notions, en particulier des

condensateurs, dans la suite du cours.

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